MA-0720 I-2011 - Escuela de Matemática

Universidad de Costa Rica, Escuela de Matemática
MA-720 Teorı́a de Probabilidades, I ciclo lectivo 2011
Carta al estudiante
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Descripción del curso
Este es un primer curso clásico de teorı́a de probabilidades con orientación
especı́fica hacia las carreras de Matemática Pura y las Ciencias Actuariales. El
objetivo central es dotar al estudiante de los conceptos básicos de la teorı́a, ası́
como las herramientas operativas del cálculo de probabilidades.
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Contenidos del curso
Capı́tulo 1. Elementos de combinatoria: cardinalidad de conjuntos finitos; permutaciones simples; permutaciones con objetos repetidos; permutaciones de n objetos, tomados m de ellos a la vez; números de Stirling de primera especie; arreglos
de objetos en cajas ordenadas; palabras en orden creciente; combinaciones sin repeticiones; distribución de objetos en varios subconjuntos; selección simultánea de objets
en varias clases; combinaciones con repeticiones; selección de objetos no consecutivos;
el binomio de Newton, coeficientes binomiales; el triángulo de Pascal; coeficientes
multinomiales; el teorema del multinomio; particiones de un conjunto; los números
de Bell; fórmulas de inversión; números de Stirling de segunda especie; principio de
inclusión y exclusión.1
Capı́tulo 2. Eventos, probabilidad, independencia: probabilidades empı́ricas, combinatorias y geométricas; álgebra de eventos; axiomática de la teorı́a fundamental de
probabilidades; espacios de probabilidad y álgebra de eventos; probabilidades condicionales; independencia estocástica; regla de la multiplicación, teorema de Bayes; teorema de las probabilidades totales.2
Capı́tulo 3. Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad : variables aleatorias; propiedades básicas; combinaciones de variables aleatorias; funciones de distribución; distribuciones multivariadas; esperanzas; varianzas; distribuciones marginales; teorema de descomposición de Lebesgue.3
Capı́tulo 4. Distribuciones discretas: distribuciones discretas univariadas; distribuciones Binomial, Pascal, Hipergeométrica, Poisson; distribuciones discretas multivari1 Capı́tulos
1 a 5 del libro Combinatoria Enumerativa, de Piza E.
1 y 2 del libro An introduction to probability and mathematical statistics, de
Tucker H.G. y capı́tulos 1 y 2 del libro Problemas de la teorı́a de las probabilidades y de
estadı́stica matemática, de Gmurman V.E.
3 Capı́tulo 3 del libro An introduction to probability and mathematical statistics, de Tucker
H.G. y capı́tulo 3 del libro Theory of Probability, de Harris B.
2 Capı́tulos
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adas; esperanzas; momentos; manipulaciones con variables aleatorias discretas.4
Capı́tulo 5. Distribuciones absolutamente continuas: definiciones básicas; densidades
de funciones absolutamente continuas; distribuciones Uniforme, Gamma, Beta, Normales, Exponenciales, Logı́stica, Chi-Cuadrado F y t; distribuciones multivariadas;
densidades condicionadas; estadı́sticas de orden; distribuciones de muestreo; Normal
multivariada; esperanzas; varianzas; manipulaciones con variables aleatorias absolutamente continuas.5
Capı́tulo 6. Esperanzas, funciones generadoras y funciones caracterı́sticas: valores
esperados, momentos, desiguadad de Chebyshev; momentos absolutos y la desigualdad
de Lapunov; funciones generadoras de probabilidad; funciones generadora de momentos; integral de Riemann-Stieltjes; funciones caracterı́sticas y sus propiedades; fórmulas
de inversión y teorema de Fubini; valores esperados y momentos de funciones de varias
variables aleatorias.6
Capı́tulo 7. Convergencia en probabilidad y teoremas lı́mite: convergencia en ley;
convergencia en probabilidad; convergencia en media cuadrática; convergencia casi
segura; teoremas centrales del lı́mite: el teorema de Lévy-Cramér; el teorema de
Moivre-Laplace; el teorema de Lindeberg-Lévy; el teorema de Lapunov, el teorema
de Gnedenko; las leyes de los grandes números de Poisson, Chebyshev y Khintchin; la
ley fuerte de los grandes números.7
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Bibliografı́a
Ekeland, Ivar: Al Azar: la suerte, la ciencia y el mundo (versión española),
Editorial Gedisa, 1992.
Feller, William: An introduction to Probability Theory and its applications,
John Wiley & Sons, Inc, London, 1950.
Fisz, Marek: Probability Theory and Mathematical Statistics, John Wiley &
Sons, Inc., New York, 1963.
Gmurman, V.E.: Problemas de la teorı́a de las probabilidades y de estadı́stica
matemática, Editorial Mir, Moscú, 1975.
Harris, Bernard: Theory of Probability, Addison Wesley, Reading, Massachusetts, 1966.
4 Capı́tulo 4 del libro An introduction to probability and mathematical statistics, de Tucker
H.G. y capı́tulo 3 del libro Introduction to Probability Theory, de Hoel-Port-Stone.
5 Capı́tulos 5 y 6 del libro An introduction to probability and mathematical statistics, de
Tucker H.G. y capı́tulos 5 y 6 del libro Introduction to Probability Theory, de Hoel-Port-Stone.
6 Capı́tulo 7 del libro An introduction to probability and mathematical statistics, de Tucker
H.G. y capı́tulos 6 y 7 del libro Introduction to Probability Theory, de Hoel-Port-Stone y
capı́tulo 4 del libro Theory of Probability, de Harris B.
7 Capı́tulo 7 del libro An introduction to probability and mathematical statistics, de Tucker
H.G. y capı́tulo 7 del libro Theory of Probability, de Harris B.
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Hoel, Paul G. & Port, Sidney C. & Stone, Charles J.: Introduction to
Probability Theory, Houghton Mifflin Company, Boston, 1971.
Piza, Eduardo: Combinatoria enumerativa, Editorial de la Universidad de
Costa Rica, San José, 2006.
Prohorov, Yu. V. & Rozanov, Yu. A.: Probability Theory, Springer
Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1969.
Tucker, Howard G.: An Introduction to Probability and Mathematical Statistics, Academic Press, New York, 1967.
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Evaluación
3 exámenes parciales: 75%; trabajos y exposiciones: 25%.
Prof. Eduardo Piza Volio
San Pedro de Montes de Oca, marzo del 2011.
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