DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS 1. Sea w = w(α , ϕ ) una función de clase uno en un abierto no vacío de R 2 . Se considera el sistema { 3 + 2 } : ⎧ ⎪ w = x senα cos ϕ + y senα senϕ + z cos α ⎪ ⎪ ∂w S⎨ = x cos α cos ϕ + y cos α sen ϕ − z sen α , ⎪ ∂α ⎪ ∂w ⎪ ∂ϕ = − x sen α senϕ + y sen α cos ϕ ⎩ que define como funciones implícitas z = z ( x, y ), α = α ( x, y ) y ϕ = ϕ ( x, y ). Se pide ∂z ∂z calcular y en función de α y ϕ . ∂x ∂y 2. Sea f ∈ C 2 ( I ), siendo I un abierto no vacío de R y z = z ( x, y ) una función implícita definida por la ecuación z = x + y f ( z ). Demostrar, que cualquiera que sea ∂ ∂z ∂ ∂z ϕ ∈ C1 ( I ), se cumple: [ϕ ( z ) ] = [ϕ ( z ) f ( z ) ]. ∂y ∂x ∂x ∂x Sea u = g ( z ), con g ∈ C n ( R) ( n ≥ 1 entero ). Se considera la función implícita z = z ( x, y ) definida por la ecuación z = x + y ϕ ( z ), con ϕ ∈ C n ( R). demostrar que se 3. verifica la fórmula de Lagrange: ∂ nu ∂ n −1 ⎛ ∂u ⎞ = n −1 ⎜ ϕ ( z ) n ⎟. n ∂y ∂x ⎝ ∂x ⎠ u = u ( x, y, z , t ) y v = v( x, y, z , t ) dos funciones implícitas de las cuatro ⎧u = z + x ϕ (u , v) variables independientes x, y, z , t , definidas por el sistema { 2 + 4 } : ⎨ ⎩v = t + yψ (u, v) 4. Sean siendo ϕ ,ψ ∈ C1 ( A) dos funciones dadas y A ⊂ R 2 abierto no vacío, Si f ∈ C1 ( A) es una función arbitraria, demostrar que: f x = ϕ f z y f y = ψ ft . 5. Demostrar que z = z ( x, y ) definida por el sistema { 2 + 2 } : ⎧ x cos α + y sen α + ln z = f (α ) satisface la ecuación: ⎨ ⎩− x sen α + y cos α = f ´(α ) α = α ( x, y ) y f son funciones de clase uno. 2 ⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ 2 ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = z . ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ 2 6. Demostrar que z = z ( x, y ) definida por el sistema { 2 + 2 } : ⎧⎪( z − f (α )) 2 = x 2 ( y 2 − α 2 ) ∂z ∂z , satisface la ecuación: = xy. ⎨ 2 ∂x ∂y ⎪⎩( z − f (α )) f ´(α ) = α x α = α ( x, y ) y f son funciones de clase uno. 7. La ecuación f ( x 2 − y 2 , y 2 − z 2 ) = 0, donde f es una función real de clase uno, ∂z ∂z define una función implícita z = z ( x, y ). Demostrar que: xz + yz − xy = 0. ∂y ∂x 8. Comprobar que la función z = z ( x, y ) definida implícitamente por la ecuación y = x ϕ ( z ) + ψ ( z ), siendo ϕ ,ψ funciones reales de clase dos, satisface la condición: 2 ∂2 z ∂2 z ⎛ ∂2 z ⎞ −⎜ ⎟ = 0. ∂x 2 ∂y 2 ⎝ ∂x∂y ⎠ 9. Sea f una función real de clase dos y z = z ( x, y ) una función implícita definida por la ecuación f ( x + z, y + z ) = 0. Hallar d 2 z.