:J `L:J=

62
2 lit/m in
C=7~
-~
y
r
'""-.
lliVminlll"iVmin
¡f'I~~
:J
ti
3lit/min
'L:J=­
En la figura se indica ,por ejemplo , que del tanque X fluye mezcla hacia cada uno de los otros tres
tanques a razón de 1 litro por minuto . De Y fluye hacía X a razón de 2 litros por minuto , etc ..
Supóngase que inicialmente todos los tanques estaban llenos del líquido y que se colocaron en el
tanque X 1000 grs del polvo químico , en Y 2000 grs. , en Z 100 grs. y en el tanque W 500 grs.; se
desea hallar la cantidad de polvo químico presente en cada tanque para cada instante t.
a) Modele este problema como un sistema dinámico con condición iniciaL
b) Encuentre una función u( 1) que permita hallar la cantidad de polvo qu ímico presente en cada
tanque para cada instante t.
c) Analice la estabilidad del sistema dinámico y prediga el com portamiento de su solución a largo
plazo .
d) Trabajando en modo aproximado con 6 dígitos
i) Elabore una tabla que muestre la cantidad de polvo químico presente en cada tanque, cada
20 minutos, desde el instante inicial hasta completar 2 horas y 40 minutos .
ii) Construya una tabla que muestre la cantidad de polvo químico presente en cada tanque
desde el minuto 130 hasta el minuto 140 : determine , a partir de esta tabla , el tiempo
aproximado que se tarda en tener en todos los tanques aproximad amente igual cantidad
de polvo químico
EJERCICIO 9.12
En el proceso de limpieza de un conjunto de cuatro tanques X ,Y , Z , W , intercomunicados y cada
uno de 100 litros de capacidad , se establece un flujo de agua con detergente entre dichos tanques
como se indica en la siguiente figura
63
2 I",mi n
«
1 lit/mio
ll gu8
2 litlmio
x
1 lI t/m ín
~
~.
/
~n
1
z~
~
2 lit/min
~
3 lit/m i n
---:>
1 lit/min
6 Iit/min
Supóngase que inicialmente se coloca ron 500 grs de detergente en el tanque X, 1000 grs en
Y,1000 grs en ellanque Z y 500 grs en W .
a)
Encuentre una función que permita hallar la cantidad de detergente presente en cada tanque
para cualq uier instante t.
b) Construya una tabla en la que se muestre la ca ntid ad de detergente presente en cada tanque ,
cada hora ,durante el segundo día
c) Si se considera que un tanq ue est á prácti ca ment limpio cuando contiene menos de 1gr de
detergente, determine , a partir de la tabla anterior, el tiempo aproximado en horas que
demora la limpieza de los cuatro tanques.
EJERCICIO 9.13
Resolver el siguiente sist ema dinámico , an alizar su estabilidad y predecir el comportamiento de
su soluaón a largo plazo.
dx(t)
- ­ = - 2 x(t) ­ 2 v(l )
JI
dy(/ )
-di­ = 2x (l) ­
4 v (t)
.
-t-
2 w(t )
d:(t )
- ­ = x(l) -t- 2 )/(/) ­ 3:0( / )
dI
Jw (t )
- ­ = 6=(1 ) ­ 6w ( l)
dr
x(O) = 5
,
y( O) = O
.:( 0 ) = 7
w( O)
EJERCICIO 9.14
Considere la ecu ación cuadrática 2x 2 + 5y 2 + ~l2 +·hy ­ -Lxz -S,,, = 10 .
=I
64
a)
Si V
[j
=
Y
Y A=
22 25 --2
]
4 , muestre que la ecuación dada puede expresarse en
[
- 2 -4
5
forma matricial como VT A V = I() .
b) Muestre que A es diagonalizable unitariamente y encuentre una matriz ortogonal Q y una
matriz diagonal A . tales que QT AQ = A .
e)
Si Z
=[: ] =aT v , exprese la ecuación cuadrálica dada en términos de u . v . w
; identifoque
luego la superficie cuadrática correspondiente.
d) Graftque la superficie cuadrática anterior e identifique sus caraderísticas principales.
Bibliografía.
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MORALES Julio César. Hagamos matemáticas y gráficas con derive. Medellín, Centro de
Publicaciones Universidad Nacional, 1996, 70 p.
RESTREPO, P. FRANCO, R. MUÑOZ, L. E. Algebra Lineal con aplicaciones, Santafé de
Bogotá, Imprenta Universidad Nacional , 1997,615 p.
CORONADO, Luís y otros. Prácticas de Matemáticas con derive. Madrid, Clagsa. 1994, 418
p.