mate 2º eso. bloque 9. funciones, estadística y probabilidad

MATEMÁTICAS 2º ESO.
BLOQUE 9. FUNCIONES, ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD.
(En el libro Temas 8, 9 y 10, páginas 141, 159 y 177)
1. Funciones.
1.1. Coordenadas en el plano.
1.2. Definición de función.
1.3. Intervalos. Semirectas. Propiedades de las funciones (Dominio, Recorrido, Puntos
de corte con los ejes, Continuidad, Periodicidad, Simetría, Monotonía, Extremos,
Curvatura, Puntos de inflexión y Asíntotas).
1.4. Principales funciones.
 Función de proporcionalidad directa.
 Función afín.
 Rectas horizontales y verticales.
1.5. Posición relativa de dos rectas.
2. Estadística.
2.1. Definiciones estadísticas: estadística, población, muestra, carácter estadístico,
clasificación.
2.2. Recuento y agrupación de datos. Tablas de frecuencias.
2.3. Gráficos estadísticos: histogramas, diagramas de barras, polígonos de frecuencias,
diagramas de sectores, diagramas de barras comparadas.
2.4. Parámetros estadísticos: media, moda, mediana, rango, varianza, desviación típica
y coeficiente de variación.
3. Probabilidad.
3.1. Definiciones. Sucesos.
3.2. Probabilidad de sucesos equiprobables. Regla de Laplace.
3.3. Propiedades de la probabilidad.
 0  p 1

p( E )  1 , p( )  0
p( A)  1  p( A)
1
1. Funciones.
1.1.Coordenadas en el plano.
Para representar los puntos en el plano, necesitamos dos rectas perpendiculares,
llamados ejes cartesianos o ejes de coordenadas:
El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas.
El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas.
El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el origen de coordenadas
Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por (x, y)
La primera coordenada se mide sobre el eje de abscisas, y se la denomina
coordenada x del punto o abscisa del punto.
La segunda coordenada se mide sobre el eje de ordenadas, y se le llama coordenada
y del punto u ordenada del punto.
Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes iguales y a cada una de
ellas se les llama cuadrante.
2
Ejemplo: representa gráficamente los puntos A(3, 4), B(-5, 3), C(-4, -3), D(4, -5),
E(0,3), F(0, -2), G(-3, 0) y H(3, 0)
1.2.
Definición de función:
Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la
primera le corresponde como máximo un solo valor de la segunda, llamada imagen.
Ejemplo: El precio de un viaje en taxi viene dado por:
y = 3 + 0.5 x
Siendo x el tiempo en minutos que dura el viaje.
Como podemos observar la función relaciona dos variables (“varían”) x e y.
x es la variable independiente.
y es la variable dependiente (depende de los minutos que dure el viaje).
Las funciones se representan sobre unos ejes cartesianos para estudiar mejor su
comportamiento.
x
y= 3 + 0.5x
10 20 30
8 13 18
1.3. Intervalos. Semirectas. Propiedades de las funciones:
Intervalos: conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que
se llaman extremos del intervalo.
Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y
menores que b.
3
(a, b) = {x
/ a < x < b}
Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales
que a y menores o iguales que b.
[a, b] = {x
/ a ≤ x ≤ b}
Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números
reales mayores que a y menores o iguales que b.
(a, b] = {x
/ a < x ≤ b}
Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números
reales mayores o iguales que a y menores que b.
[a, b) = {x
/ a ≤ x < b}
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos
intervalos, se utiliza el signo ( unión) entre ellos.
Las semirrectas están determinadas por un número. En una semirrecta se encuentran
todos los números mayores (o menores) que él.x > a
x>a
4
x≥a
x<a
x≤a
Los puntos aislados se representan entre llaves
Las propiedades de las funciones son:
1ª Dominio: es el conjunto de valores de x para los que está definida la función. Se
representa como Dom(f(x)).
2ª Rango o Recorrido: es el conjunto de valores que puede tomar la variable
dependiente, y. Se representa como Im f. Es, por tanto, el conjunto de puntos del
eje y al que corresponde algún punto del eje x
Ejemplo: Halla el dominio y el recorrido de la siguiente función:
Dom(f(x))=
Imf=
(los valores de 4’5 y 3’2 son aproximados observando la gráfica)
5
3 ª Puntos de corte con los ejes:
a) Gráficamente (nos dan el dibujo):
Ejemplo: Indica el punto de corte con los ejes de las siguientes funciones:
En el dibujo vemos que la parábola corta a ambos ejes en el punto (0,0)
La recta corta al eje x en el punto (-2, 0) y al eje y en el punto (0,1)
b) Numéricamente:
-Con el eje x: la coordenada y debe ser 0 (explicarlo con un ejemplo general).
Sustituimos la y por 0 y hallamos el valor de x. Las coordenadas del punto
intersección con el eje x serán (x,0).
-Con el eje y: la coordenada x debe ser 0 (explicarlo con un ejemplo general).
Sustituimos el valor de x por 0 y hallamos el valor de y. Las coordenadas del punto
intersección con el eje y serán (0,y)
Ej: Halla el punto de corte con los ejes de la función y=-2x+3
-Con el eje x: y=0. Sustituimos en la ecuación de la función y por 0 y despejamos
x:
0=-2x+3, despejamos x= 3/2, luego el punto de corte con el eje x será (3/2, 0)
-Con el eje y: x=0. Sustituimos en la ecuación de la función x por 0 y despejamos y:
y=-2∙0+3= 3, por tanto el punto de corte con el eje y será (0,3)
4 ª Continuidad: una función es continua si se puede representar si levantar el lápiz
del papel
6
5 ª Periodicidad: Una función es periódica cuando su valor se repite cada vez que
la variable x recorre un cierto intervalo. Su gráfica se “repite” cada cierto intervalo.
Ejemplo de una función periódica sería:
Su periodo sería 4
6ª Simetría:
a) Par o respecto al eje y. Ejemplo:
b) Impar o respecto al origen de coordenadas
7º Monotonía (Crecimiento y decrecimiento): una función es creciente cuando al
aumentar una magnitud también aumenta la otra y es decreciente cuando al
7
aumentar una magnitud disminuye la otra. Una función puede tener tramos
crecientes y decrecientes. Ejemplo:
Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
(-∞ , - 1): creciente. (Es decir, al aumentar la x, aumenta la y. “SUBE”)
(- 1 , 1):
decreciente. (Es decir, al aumentar la x, disminuye la y . “BAJA”)
(1 , ∞): creciente.
8º Extremos (Máximos y mínimos): Un máximo es un punto tal que a su izquierda
la función crece y a su derecha decrece. Un mínimo es un punto tal que a su
izquierda la función decrece y a su derecha crece.
Los máximos relativos son los “Picos” de la función. El mayor de todos ellos es el
máximo absoluto
8
9ª Curvatura: Una función es cóncava en un intervalo cuando para cualquier par de
puntos de la curva (dentro del intervalo), el segmento que los une queda por debajo
de la gráfica. Cuando el segmento queda por encima de la gráfica, la función es
convexa en dicho intervalo.
10ª Puntos de inflexión: son aquellos puntos donde la función pasa de ser cóncava
a convexa o de convexa a cóncava
11ª Asíntotas: Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando
indefinidamente pero sin llegar a tocarlas. Pueden ser horizontales (paralelas al eje
x), verticales (paralelas al eje y) u oblicuas (inclinadas). Si una función no puede
tener a la vez asíntotas horizontales y oblicuas.
Ejemplos de asíntotas horizontales y verticales:
9
Ejemplos de una función con una asíntota vertical y otra oblicua:
1.3.
Principales funciones:
-Función de proporcionalidad directa: son del tipo y=mx, donde m es la
pendiente de la recta. Pasan por el origen de coordenadas. Si m>0 la función
es creciente. Si m<0 es decreciente. Ejemplos:
10
-Función afín: : son del tipo y = mx + n. m es la pendiente y n es la
ordenada en el origen (= valor de y cuando la x es 0). Al igual que antes, si
m>0 es creciente y si m<0 es decreciente. Ejemplos:
-Función de proporcionalidad inversa: relaciona dos magnitudes
inversamente proporcionales. Su expresión es de la forma y=k/x con k#0.
Ejemlo:
-Rectas horizontales: paralelas al eje x. Son del tipo y= k € R. Ejemplos: y=
-2, y= 3
-Rectas verticales: paralelas al eje y. Son del tipo x= k € R. Ejemplos:
x= -4, y= 5. NO SON FUNCIONES
Ejemplos de rectas verticales y horizontales:
11
1.4.
Posición relativa de dos rectas: (poner ej dibujando sus gráficas)
1ª) Coincidentes: Tienen todos sus puntos en común. Misma pendiente y
ordenada en el origen. m=m´. n= n’. Ejemplos de funciones concidentes:
y= (2x+6)/2 e
y= x+3
2ª) Paralelas: no se cortan en ningún punto. Tienen la misma pendiente,
distinta ordenada en el origen. m=m’, n n’. Ejemplos de funciones paralelas:
y= -7x+5
e
y= -7x+10
3ª) Secantes: se cortan en un punto. Sus pendientes son distintas. m≠m’.
Puede hallarse su punto de corte resolviendo el sistema de ecuaciones que
forman. Ejemplo de funciones secantes:
y= -8x+1 e
y= 5x.
Si quisiésemos hallar el punto de corte de las rectas anteriores resolveríamos el
sistema de ecuaciones que forman:
Solución del sistema: x= 1/13, y= 5/13, por tanto el punto de corte de las rectas
será: C (1/13, 5/13)
(PONER EJEMPLOS DE OBTENCIÓN DE LA EC DE UNA RECTA A
PARTIR DE SU DIBUJO O DADO UN PUNTO Y SU PENDIENTE)
2. Estadística:
2.1.
Definiciones estadísticas:
Estadística: trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las
observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.
Población: conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadístico.
Muestra: conjunto representativo de la población de referencia. El número de
individuos de una muestra es menor que el de la población
Carácter estadístico: Cada una de las propiedades (aspectos) que pueden estudiarse en
los individuos de una población. Pueden ser:
a) Cuantitativos: se pueden medir. Ejemplos: número de asistentes a una reunión,
número de personas de cierta edad…
b) Cualitativo: no se pueden medir. Ejemplos: lugar de residencia de una persona,
color preferido…
12
2.2. Recuento y agrupación de datos. Tablas de frecuencias.
La tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos,
asignando a cada dato su frecuencia correspondiente. Contiene los siguientes elementos:
1º Valores de la variable (Xi)
2º Frecuencia absoluta (fi) es el número de veces que aparece un determinado valor.
La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa
por N
3º Frecuencia absoluta acumulada (Fi) es la suma de las frecuencias absolutas de
todos los valores inferiores o iguales al valor considerado.
4º Frecuencia relativa (hi) es el cociente entre la frecuencia absoluta de un
determinado valor y el número total de datos. hi=fi/N
5º Frecuencia relativa acumulada (Hi) es el cociente entre la frecuencia acumulada de
un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar también en tantos
por ciento. Hi=Fi/N
6º Porcentaje (pi)= hi·100
7º Porcentaje acumulado (Pi)= Hi·100
8º xi·fi (para calcular la media aritmética)
9º xi2· fi (para calcular la varianza)
La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si las
variables toman un número grande de valores o la variable es continua. En este caso, se
agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada
clase se le asigna su frecuencia correspondiente. Ejemplo:
Nº de aprobados Ci (clase) Fi (frecuencia absoluta)
[0, 5)
2,5
15
[5, 10)
7,5
12
Ejemplo de distribución de datos aislados:
Las notas de un examen de matemáticas de 30 alumnos de una clase son las siguientes:
5, 3, 4, 1, 2, 8, 9, 8, 7, 6, 6, 7, 9, 8, 7, 7, 1, 0, 1, 5, 9, 9, 8, 0, 8, 8, 8, 9, 5, 7
Hacer la tabla de frecuencias
xi fi
0 2
Fi
2
hi=fi/N
2/30
H i= Fi/n
2/30
pi= hi∙100
200/30
Pi=Hi∙100
200/30
xi∙fi
0
xi2∙fi
0
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3
1
1
1
3
2
5
7
5
5
6
7
8
11
13
18
25
30
3/30
1/30
1/30
1/30
3/30
2/30
5/30
7/30
5/30
30
1
5/30
6/30
7/30
8/30
11/30
13/30
18/30
25/30
30/30
300/30
100/30
100/30
100/30
300/30
200/30
500/30
700/30
500/30
100
500/30
600/30
700/30
800/30
1100/30
1300/30
1800/30
2500/30
3000/30
3
2
3
4
15
12
35
56
45
175
3
4
9
16
75
72
245
448
405
1277
2.3. Gráficos estadísticos:
A) Diagrama de barras:
Se representan sobre unos ejes de coordenadas. En el eje x se colocan los valores de la
variable, y sobre el eje y se colocan las frecuencias.
Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia. Dichas
barras se representan separadas.
Ejemplo: la siguiente tabla muestra un estudio sobre los grupos sanguíneos de 20 personas
distintas. Representar el diagrama de barras para esa tabla
Grupo
sanguíneo
fi
A
6
B
4
AB
1
0
9
20
14
B) Histograma:
Representación gráfica de una variable en forma de barras. En el eje vertical se representan las
frecuencias y en el eje horizontal los valores de las variables. A diferencia de los diagramas de
barras, los histogramas dibujan rectángulos unidos entre sí. Los datos se agrupan en intervalos.
En el ejemplo de debajo podemos ver un histograma en el que se muestra la distribución de
edades de las personas que han acudido a un cursillo (eje x) y el número de personas que
pertenecen a esa franja de edad (frecuencia absoluta, eje y)
C) Polígono de frecuencias:
Para representarlo se unen los puntos medios de los rectángulos del histograma.
Ejemplo
Haz el histograma y el polígono de frecuencias correspondientes a la siguiente tabla,
donde se expresan los pesos de 65 personas adultas:
[50, 60)
[60, 70)
[70, 80)
[80, 90)
[90, 100)
[100, 110)
[110, 120)
fi
8
10
16
14
10
5
2
65
15
D) Diagrama de sectores:
Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es
proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente.
El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ángulos (pero
puede hacerse de manera aproximada)
Ejemplo
En una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la natación, 4 juegan al
fútbol y el resto no practica ningún deporte. Representa esta información con un
diagrama de sectores (explicar paso a paso cómo sacar el ángulo)
Alumnos
Ángulo
Baloncesto
12
144°
Natación
3
36°
Fútbol
9
108°
Sin deporte
6
72°
Total
30
360°
E) Diagrama de barras comparadas:
Están compuestos por varias barras que corresponden a las características que se
desea mostrar o comparar.
El siguiente gráfico nos muestra el número de matriculados en un curso
determinado en los años 2008, 2009, 2010 y 2011 clasificados por sexos
(pintado- hombres), (sin pintar- mujeres)
(Eje x, años; Eje y, nº de matriculados)
16
2.4 Parámetros estadísticos:
Un parámetro estadístico es un número que se obtiene a partir de los datos de una
distribución estadística. Los más importantes son:
-Media aritmética: es el valor promedio de la distribución. Se calcula sumando todos
los valores de las variables y dividiendo por el número de datos. Se representa por .
-Moda: es el valor que más se repite. Se representa por Mo
-Mediana: valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que
él, una vez ordenados estos. Es el valor central. Se representa por Me.
Cálculo de la mediana
1º Ordenamos los datos de menor a mayor. Si son muchos, es necesario agruparlos en
una tabla
2º Hay dos casos:
a) Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación
central de la misma.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 Como son 9 datos: 9/2= 4,5≈5 (la mediana es el que ocupa la 5ª
posición) Me= 5
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b) Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las
dos puntuaciones centrales.
7, 8, 9, 10, 11, 12 Como son 6 datos, 6:2= 3. La mediana se halla calculando la media
entre el que ocupa la posición 3 y la posición 4. Posición3= 9, Posición 4= 10.
Me=(9+10)/2= 9.5
-Rango o recorrido: diferencia entre el mayor y el menor de los datos. Se representa
por r.
-Varianza: es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribución estadística. Se representa por s2 ó σ2 . s2=
/ N - 2,
siendo xi los valores de la variable,
la media aritmética y N el número total de datos.
-Desviación típica: es la raíz cuadrada de la varianza. Se representa por s ó σ
-Coeficiente de variación: es la relación entre la desviación típica de una muestra y su
media. Se representa por CV. CV= s2/ . Se suele expresar en portentaje también como
CV= (s2/ )*100 (no dictar: expresa la “homogeneidad” de los datos)
Ejemplo práctico:
Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
xi
61
64
67
70
73
fi
5
18
42
27
8
N= 100
Calcular la media aritmética, moda, mediana, rango, varianza, desviación típica y el
coeficiente de variación (en porcentaje)
Media aritmética:
6745/100= 67,45
Moda: 67 (valor que más se repite)
Mediana: como son datos pares, la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.
100/2 = 50, es decir, las puntuaciones centrales son la nº50 y la nº51. A la puntuación nº50 le
corresponde un valor = 67 y a la nº51 también. Luego la mediana es: (67+67)/2= 67
18
Rango o recorrido: r= 73-61= 12
Varianza: s2=
/N-
2
(612*5+642*18+672*42+702*27+732*8)/100-67,4522 =
455803/100-4549,5025= 4558,03-4549,5025 = 8,5275 ≈ 8,53
Desviación típica: s=
= 2,92
Coeficiente de variación: CV= (s2/ )*100= (8,53/67,45)*100≈ 0,1265*100= 12,65%
3. Probabilidad.
3.1. Definiciones.
La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de
resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los
resultados posibles.
Un suceso es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria. Ejemplo:
al lanzar un dado un suceso posible es que saliese un 5, un número par, etc
El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia
aleatoria, lo representaremos por E. Ejemplo: el espacio muestral si lanzamos una
moneda al aire será: E={C, X}
3.2. Probabilidad de sucesos equiprobables. Regla de Laplace:
Dos sucesos son equiprobables si tienen la misma probabilidad de que ocurran.
Ejemplo: sacar una determinada carta de una baraja, sacar cara al lanzar una moneda…
Regla de Laplace: si hacemos un experimento aleatorio en el que todos los sucesos son
equiprobables (como los anteriores), la probabilidad de que ocurra ese suceso es P=
número de casos favorables/ número de casos posibles
Ejemplos:
-Si lanzo una moneda al aire, calcular la probabilidad de que salga cara:
P= ½= 0,5= 50%
-De una baraja de 40 cartas, calcular la probabilidad de sacar un as
19
P= 4/40=0,1= 10%
-Si lanzo un dado al aire, calcular la probabilidad de sacar un múltiplo de 2. P= 3/6=
0,5= 50%
3.3. Propiedades de la probabilidad.
1ª) La probabilidad es positiva y menor o igual que 1 0 ≤ p(A) ≤ 1. Si la expresamos
en porcentajes, también puede decirse que es menor o igual al 100%
2ª) La probabilidad del suceso seguro es 1. p(E) = 1. Ejemplo: ¿Qué probabilidad hay
de tirar un dado y sacar un número menor que 7?
3ª) La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la
probabilidad del suceso contrario es:
Ejemplo: si tiramos un dado, hallar la probabilidad de no sacar un 5.
P(A)= probabilidad de sacar un cinco
P(
= probabilidad de no sacar un 5
P(
= 1- P(A)= 1-1/6= 5/6
20