matemáticas ii - Universidad Complutense de Madrid

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID
PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS
OFICIALES DE GRADO
Curso 2014-2015
MATERIA: MATEMÁTICAS II
INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN
Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones
propuestas y responder razonadamente a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta
prueba se puede utilizar calculadora cientı́fica, siempre que no disponga de capacidad de representación
gráfica o de cálculo simbólico. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas.
Calificación: Las preguntas 1a y 2a se valorarán sobre 3 puntos; las preguntas 3a y 4a sobre 2 puntos.
Tiempo: 90 minutos.
OPCIÓN A
Ejercicio 1 . Calificación máxima: 3 puntos.

x=0
 −1
ax − b
0<x≤1
a) (2 puntos) Determinar los valores a, b, c para que la función f (x) =
 2
x + bx + c 1 < x ≤ 2
sea continua en el intervalo [0, 2] y derivable en (0, 2).
b) (1 punto) Aplicar, si es posible, el Teorema del Valor Medio a la función g(x) = x2 + x en el
intervalo [1, 2] y calcular, en tal caso, un punto de dicho intervalo en el que g 0 (x) tome el valor
predicho por el Teorema del Valor Medio.
Ejercicio 2 . Calificación máxima: 3 puntos.
(
x − y + az = 0
Dados la recta r ≡
, con a ∈ R, y el plano π ≡ x + y + z − 2 = 0, se pide:
ay − z = 4
a) (1 punto) Hallar todos los valores de a para los que la recta r es paralela al plano π.
b) (1 punto) Para a = 2, determinar la distancia de la recta r al plano π.
c) (1 punto) Para a = 1, hallar el seno del ángulo que forman r y π.
Ejercicio 3 . Calificación máxima: 2 puntos.



1
1
0 0
3 0 eI= 0
Dadas las matrices: L =  1
−1 −1 1
0
0
1
0

0
0 , se pide:
1
a) (1 punto) Calcular la matriz inversa de L.
b) (1 punto) Buscar la matriz A, tal que LALt = I, donde Lt es la traspuesta de L.
Ejercicio 4 . Calificación máxima: 2 puntos.


m −2 0
Dada la matriz A =  0 −2 0 , se pide:
0
1 m
a) (1 punto) Estudiar el rango de A, según los valores de m, e indicar para qué valores de m admite
inversa la matriz A.
b) (1 punto) Sin calcular A−1 , hallar m para que det(A) = det(4A−1 ).
OPCIÓN B
Ejercicio 1 . Calificación máxima: 3 puntos.

y = 5
 2x +
x + my = 7 , en función de los valores
a) (2 puntos) Discutir el sistema de ecuaciones

x −
y = 4
del parámetro m y hallar la solución del sistema anterior en los casos en los que ésta sea única.
b) (1 punto) Encontrar el valor o valores de k que hacen incompatible el sistema
x −
y + kz = 2
kx − ky + 4z = −4
Ejercicio 2 . Calificación máxima: 3 puntos.
Dada la función f (x) = x2 e−x , se pide:
a) (1 punto) Determinar su dominio, ası́ntotas y cortes con los ejes.
b) (1 punto) Calcular su derivada, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos.
c) (1 punto) Determinar los puntos de inflexión y dibujar la curva y = f (x).
Ejercicio 3 . Calificación máxima: 2 puntos.
Dadas las rectas

 x=3+λ
y = 2 − 2λ
r≡

z = 3 + 3λ
y s≡
x+1
= y − 5 = −(z + 2),
2
se pide:
a) (1 punto) Estudiar la posición relativa de r y s.
b) (1 punto) Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (1, 6, −3), está contenida
en el plano que determinan r y s y es perpendicular a r.
Ejercicio 4 . Calificación máxima: 2 puntos.
Dados el plano π ≡ x + y − z + 1 = 0 y la recta r ≡ (x, y, z) = (0, 0, 1) + λ(2, 1, 0), se pide:
a) (00 5 puntos) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P (1, 0, −1) y es paralelo a π.
b) (1 punto) Determinar la distancia del origen de coordenadas a la recta r.
c) (00 5 puntos) Determinar la distancia del origen de coordenadas al plano π.
MATEMÁTICAS II
CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN Y CALIFICACIÓN
Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas.
OPCIÓN A
Ejercicio 1.
a) Planteamiento: 1 punto. Resolución: 1 punto.
b) Aplicar el Teorema del valor medio: 00 5 puntos. Encontrar el punto pedido: 00 5 puntos.
Ejercicio 2.
a) Planteamiento: 00 5 puntos. Resolución: 00 5 puntos. No es necesario comprobar que la recta no
está contenida en el plano.
b) Planteamiento: 00 5 puntos. Resolución: 00 5 puntos.
c) Planteamiento: 00 5 puntos. Resolución: 00 5 puntos.
Ejercicio 3.
a) Procedimiento: 00 5 puntos. Cálculos: 00 5 puntos.
b) Procedimiento: 00 5 puntos. Cálculos: 00 5 puntos.
Ejercicio 4.
a) Por la obtención del valor crı́tico m = 0: 00 25 puntos. Por determinar el rango en cada caso ([m = 0],
[m 6= 0]): 00 25 puntos. Por indicar cuando hay inversa: 00 25 puntos.
b) Procedimiento: 00 5 puntos. Cálculos: 00 5 puntos.
OPCIÓN B
Ejercicio 1.
a) Por obtener correctamente el valor crı́tico m = −4: 00 5 puntos (repartidos en planteamiento: 00 25,
resolución: 00 25). Por discutir correctamente cada caso ([m = −4], [m 6= −4]): 00 5 puntos (repartidos en
planteamiento: 00 25, resolución: 00 25). Por resolver el sistema 00 5 puntos (repartidos en procedimiento:
00 25, cálculos: 00 25).
b) Por obtener los valores k = ±2: 00 5 puntos. Por estudiar cada uno de los dos casos: 00 25 puntos.
Ejercicio 2.
a) Dominio: 00 25 puntos. Ası́ntotas: 00 5 puntos. Cortes con los ejes: 00 25 puntos.
b) Derivada: 00 25 puntos. Puntos crı́ticos 00 25 puntos. Intervalos de crecimiento y decrecimiento: 00 25
puntos. Extremos relativos 00 25 puntos.
c) Derivada segunda: 00 25 puntos. Puntos de inflexión: 00 25 puntos. Gráfica: 00 5 puntos.
Ejercicio 3.
a) Planteamiento: 00 5 puntos. Resolución: 00 5 puntos.
b) Planteamiento: 00 5 puntos. Resolución: 00 5 puntos.
Ejercicio 4.
a) Planteamiento: 00 25 puntos. Resolución: 00 25 puntos.
b) Procedimiento: 00 5 puntos. Cálculos: 00 5 puntos.
c) Procedimiento: 00 25 puntos. Cálculos: 00 25 puntos.