UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS MAESTRÍA EN MODELOS ALEATORIOS MODELO ESTOCÁSTICO DE EQUILIBRIO GENERAL (MEEG) PARA LA CONSTRUCCIÓN DE DENSIDADES A PRIORI DE VAR BAYESIANOS: UNA APLICACIÓN A LA ECONOMÍA VENEZOLANA Trabajo de Grado de Maestrı́a presentado ante la ilustre Universidad Central de Venezuela por la Prof. Mariela Perdomo León, para optar al Tı́tulo de Magister Scientiarium Mención Modelos Aleatorios. TUTOR: Dr. Daniel Barráez Caracas, noviembre de 2008 Resumen del Trabajo de grado presentado para optar al tı́tulo de Magister Scientiarum Mención Modelos Aleatorios Modelo estocástico de equilibrio general (MEEG) para la construcción de densidades a priori de VAR bayesianos: una aplicación a la economı́a Venezolana Prof. Mariela Perdomo León Universidad Central de Venezuela Caracas, noviembre de 2008 En este trabajo se estudia y se implementa en el computador el método de Negro y Schorfheide para construir densidades “a priori” de un VAR. Las densidades a priori definidas, permiten estimar la densidad a posterior usando conjugados naturales. Se implementa está técnica con el fin de efectuar predicciones para la producción, inflación y tasas de interés. Se realizan las predicciones y se comparan con un VAR frecuentista y un BVAR de Litterman. Las estimaciones y predicciones se efectuarán para las economı́as de EEUU y Venezuela. Palabras claves: MEEG, VAR, BVAR, predicciones. Agradecimientos En primer lugar agradezco a Dios, porque él me ha permitido realizar todas mis metas a pesar de los obstáculos que se han presentado en el camino. A mis padres porque ellos son mi luz y fortaleza, son los que siempre me dan ánimos para seguir adelante y triunfar. A mis hermanos, porque siempre me han apoyado en todo lo que he realizado. Quiero agradecer a mi tutor el Dr. Daniel Barráez, por su colaboración y disposición en la realización de este trabajo de grado, por sus sabios consejos, por la confianza depositada en mı́ y sobre todo por su apreciada amistad. A los profesores del Postgrado en Modelos Aleatorios en especial, la Dra. Glaysar Castro y el Dr. José Rafael León por darme las herramientas fundamentales en mis estudios de Maestrı́a. Al Dr. Harold Zavarce por darme la oportunidad de desarrollar mi Trabajo de Grado en la Oficina de Investigaciones Económicas del Banco Central de Venezuela. Al personal de la Oficina de Investigaciones Económicas y el Departamento Modelos Económicos del BCV en especial a Jeison Pérez, Roberto Ferrer, Giovanni Guedez y Wendy Bolı́var. Al Fondo Nacional de Ciencia, Tecnologı́a e Investigación (Fonacit) por financiar mis estudios de Maestrı́a. A mis compañeros y amigos del Postgrado en Modelos Aleatorios en especial a Rafael Abreu, Claudia de la Hoz y Begui Ovando por darme ánimos para continuar y por su apreciada amistad. Y en general, a todos que de alguna u otra forma me ayudaron en la realización de mi trabajo de grado. A mis padres, por ser mis mejores amigos. Índice Introducción 1 1. Vectores Autoregresivos (VAR) 3 1.1. Representación reducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Representación estructural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Representación en medias móviles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4. Vectores Autoregresivos Bayesianos (BVAR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4.1. Estimación Bayesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.2. Función de Verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5. Modelo estocástico de equilibrio general (MEEG) . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2. BVAR de Del Negro y Schorfheide 11 2.1. Densidad a Priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2. Densidad a Posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3. Algoritmo de Metropolis Hasting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4. El algoritmo combinado de Metropolis - Hasting y Sims . . . . . . . . . . . . . . 17 2.5. Algoritmo de estimación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.6. Cálculo de los momentos poblacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.7. Medias Armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3. Resultados Empı́ricos 28 3.1. Implementación de los modelos VAR y BVAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.1.1. Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 i 3.1.2. Data de EEUU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.2.1. Implementación del Modelo VAR reducido . . . . . . . . . . . . 29 3.1.2.2. Implementación del Modelo BVAR Litterman . . . . . . . . . . 32 3.1.2.3. Implementación del Modelo BVAR Schorfheide . . . . . . . . . 35 3.1.2.4. Desempeño predictivo de los modelos . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.3. Data Venezolana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.1.3.1. Implementación del Modelo VAR reducido . . . . . . . . . . . . 48 3.1.3.2. Implementación del Modelo BVAR Litterman . . . . . . . . . . 51 3.1.3.3. Implementación del Modelo BVAR Schorfheide . . . . . . . . . 54 3.1.3.4. Desempeño predictivo de los modelos . . . . . . . . . . . . . . . 57 Consideraciones Finales 67 Referencias 68 Apéndices 69 A. Algoritmo de C. Sims 70 B. Programas en matlab 73 C. Gráficos de las Simulaciones 75 C.1. Data EEUU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 C.2. Data Venezolana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 ii Índice de figuras C.1. Simulaciones de los parámetros 1 (data EEUU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 C.2. Simulaciones de los parámetros 2 (data EEUU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 C.3. Simulaciones de las autocorrelaciones (data EEUU) . . . . . . . . . . . . . . . . 77 C.4. Simulaciones de los shocks (data EEUU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 C.5. Simulaciones de los parámetros 1(data Venezolana) . . . . . . . . . . . . . . . . 79 C.6. Simulaciones de los parámetros 2 (data Venezolana) . . . . . . . . . . . . . . . . 80 C.7. Simulaciones de las autocorrelaciones (data Venezolana) . . . . . . . . . . . . . . 80 C.8. Simulaciones de los shocks (data Venezolana) 81 iii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Los modelos estocásticos de equilibrio general (MEEG), son una herramienta ampliamente utilizada en el modelaje macroeconómico moderno, desde el punto de vista teórico, especı́ficamente en el medio académico (investigación) y por las instituciones diseñadoras y ejecutoras de polı́ticas macroeconómicas, como por ejemplo, los Bancos Centrales. Los MEEG, se basan en la noción básica de la economı́a de precios de equilibrio de mercado. Además, modelan varios mercados de forma simultánea tomando en cuenta las interacciones entre ellos, en lugar de un único mercado aislado o equilibrios parciales. Las ventajas de los modelos estócasticos de equilibrio general, en primer lugar, se fundamentan en la Teorı́a Económica, es decir, “están microfundamentados” por lo que permiten comprender el funcionamiento de una economı́a y tienen la capacidad para modelar complejas interrelaciones entre las diversas variables económicas. Sin embargo, los MEEG, tienen ciertas desventajas, dentro las cuales se pueden mencionar las siguientes, poca capacidad predictiva, se calibran (no se estiman) o son de difı́cil y costosa estimación, además son complejos y requieren sofisticados programas para ayudar a encontrar soluciones numéricas (Metropolis - Hastings, Filtros de Kalman y resolución de sistemas con expectativas). Por otra parte, los Vectores Autoregresivos fueron introducidos por Sims [11], han sido de gran utilidad para el modelaje de variables económicas, además, son considerados atractivos puntos de partida para la modelización económetrica. Por su parte Litterman [8] propuso el modelo VAR bayesiano con el objetivo de ofrecer una solución al problema de la sobreparametrización de los VAR reducidos. Además de Litterman, se han desarrollado otras investigaciones sobre 1 los VAR bayesianos dentro de los cuales se puede destacar, Doan, Litterman y Sims [5], con un modelo BVAR con coeficientes variables en el tiempo, Ballabriga, Alvárez y Jareño [1], con un modelo BVAR para la economı́a española y para Venezuela una referencia actual es el trabajo de Bolı́var [2], [3] sobre predicciones de variables macroeconómicas mediante VAR bayesianos: una aplicación al caso venezolano. El objetivo de este trabajo de grado, es estudiar e implementar en el computador el método del Negro y Schorfheide [4], para construir las densidades a priori de los predictores. Para ello, se plantea un método para construir densidades a priori de un proceso autoregresivo multivariado (VAR), a partir de las densidades a priori de los MEEG. Las densidades a priori construidas con este método, permiten calcular la densidad a posteriori conjunta de los parámetros del VAR y los parámetros del modelo macroeconómico. El trabajo de grado tiene la siguiente estructura: en el capı́tulo uno se presenta los Vectores Autoregresivos (VAR) y sus diferentes tipos de representaciones, además, se explican los Vectores Autoregresivos Bayesianos (BVAR), la función de verosimilitud y se presenta el modelo estocástico de equilibrio general (MEEG), especı́ficamente se muestra el sistema de ecuaciones el cual está determinado por las variables: producción, inflación y tasas de interés. En el capı́tulo dos se presenta el BVAR de Del Negro y Schorfheide, la densidad a priori, densidad a posteriori, el algoritmo de estimación y el cálculo de los momentos poblacionales. En el último capı́tulo se encuentra la implementación en el programa Matlab de los modelos VAR y BVAR tanto para la data de EEUU, como para la data de Venezuela. Finalmente, se efectúa la comparación de los modelos en base a su desempeño predictivo, tomando como medida el error medio cuadrático (emc). 2 Capı́tulo 1 Vectores Autoregresivos (VAR) En este capı́tulo se presentará las definiciones y notaciones que serán utilizadas en los capı́tulos siguientes, para ello seguimos la exposición de Lutkepohl [9]. 1.1. Representación reducida Los Vectores Autoregresivos son una generalización de un AR(p) para el caso multivariado. Un proceso es un VAR de orden p si, yt = ν + φ1 yt−1 + · · · + φp yt−p + ut t = 0, ±1, ±2, ... con, yt = (yt1 , ..., ytK )0 es una v.a. de dimensión (K × 1). φi es una matriz de dimensión (K × K). ν = (ν1 , ..., νK )0 es un vector constante de dimensión (K × 1). 0 ut = (u1t , ..., uK t ) es un vector aleatorio de dimensión (K × 1). p es el número de retardos. ut es llamado ruido blanco, donde, E(ut ) = 0 y Σ u 0 E[ut us ] = 0 si s = t si s 6= t 3 (1.1) La matriz de covarianza Σu es asumida como no singular. En la representación reducida cada variable a tiempo t se escribe como combinación lineal de sus retardos y los retardos de las demás variables, no se contemplan los efectos contemporáneos de las variables. 1.2. Representación estructural La representación estructural de un VAR de orden p está dada por, B0 yt = α + B1 yt−1 + B2 yt−2 + · · · + Bp yt−p + ξt , (1.2) donde, B0 es una matriz invertible de dimensión (K × K) cuya diagonal es unitaria. α es un vector constante de dimensión (K × 1). Bi con i = 1, . . . , p es la matriz de coeficientes de dimensión (K × K). ξt se le denominan los shocks estructurales. ξt es un ruido blanco, tal que, E(ξt ) = 0 y Γ E[ξt ξs0 ] = 0 si s = t si s 6= t donde Γ es una matriz diagonal positiva definida. En el VAR estructural se estudia el efecto contemporáneo que ejercen las variables entre si. 1.3. Representación en medias móviles La representación de un VAR(p) está dada por: Yt = ν + A1 Yt−1 + Ut . 4 (1.3) la representación MA de Yt es: Yt = µ + ∞ X Ai Ut−i . (1.4) i=0 Yt es expresada en términos del pasado y el presente del error Ut y la media µ. Ventajas y Desventajas de los VAR En la siguiente tabla se presentarán algunas de las ventajas y desventajas de los VAR. Ventajas Desventajas Los VAR reducidos son fáciles de estimar Los Modelos estructurales son complejos Buen desempeño predictivo No son explicativos, en cuanto al funcionamiento de una economı́a Cualquier modelo económetrico de ecuaciones El problema de la sobreparametrización y simultáneas puede ser expresado disponibilidad de los datos macroeconómicos a través de un var reducido El nombre de Vector Autoregresivo, resulta natural cuando se observa que relaciona un vector de variables con su propio pasado. Es importante destacar que los modelos VAR, son considerados atractivos puntos de partida para la modelización econométrica [1]. Por otra parte los VAR reducidos permiten realizar predicciones y los VAR estructurales permiten estudiar las relaciones estructurales. 1.4. Vectores Autoregresivos Bayesianos (BVAR) El modelo VAR bayesiano fue propuesto por Litterman [8], con el objetivo de ofrecer una solución al problema del sobreajuste de los VAR reducidos. Se pretende evitar la influencia de la variabilidad aleatoria en la estimación, sin tener que confrontar la disyuntiva de incluir o excluir retardos de las distintas variables, de forma que el modelo resultante mantenga la generalidad de la representación autoregresiva. 5 1.4.1. Estimación Bayesiana Sea Ψ el vector de parámetros a estimar de un modelo. En la estadı́stica bayesiana Ψ es una v.a. con una densidad a priori p(Ψ) y el objetivo es estimar la densidad a posteriori p(Ψ|Y ), es decir, la densidad de Ψ dada la muestra. Para ello se hace uso de la fórmula de Bayes, p(Ψ|Y ) = p(Y |Ψ)p(Ψ) , p(Y ) p(Ψ) la densidad a priori de los parámetros. p(Y |Ψ) la función de verosimilitud. p(Y ) la densidad conjunta de la muestra. p(Ψ|Y ) la densidad a posteriori de los parámetros. Como p(Y ) es una constante, se puede escribir de la siguiente forma, p(Ψ|Y ) ∝ p(Y |Ψ)p(Ψ), en este caso, Ψ = (φi , i = 1, ..., p, Σu ). La inferencia bayesiana se basa en el uso de una distribución de probabilidad para describir todas las cantidades desconocidas relevantes a un problema de estimación. Cabe señalar que en la estadı́stica clásica Ψ es una constante desconocida. El enfoque bayesiano permite expresar de forma más realista la información que se dispone, mediante la asignación de distribuciones de probabilidad a los distintos coeficientes del modelo. Litterman [8], propuso complementar la representación autoregresiva con la especificación de una distribución a priori sobre los coeficientes. El modelo resultante de esta combinación se denomina Vectores Autoregresivos Bayesianos (BVAR). 1.4.2. Función de Verosimilitud Para la función de verosimilitud se asume que las innovaciones ut en la representación autoregresiva del modelo yt = φ0 + φ1 yt−1 + · · · + φp yt−p + ut tienen una distribución Normal 6 multivariada N (0, Σu ) condicional al pasado de las observaciones de yt , con yt un vector de dimensión n × 1. Sea Y una matriz de dimensión T × n es y1 1 1 y2 Y = .. . yT1 decir, y12 ... y22 ... . . . .. . . n . . . yT .. . yT2 y1n y2n 0 0 Sea k = 1 + np y X una matriz de dimensión T × k con filas x0t = [1, yt−1 , . . . , yt−p ], es decir, n yt−p 1 yt−1 ... 1 .. .. .. ... X= . . . n 1 . . . yt−p 1 yt−1 U es una matriz de dimensión T × n y φ u1 1 1 u2 U = .. . u1T T ×(1+np) es de dimensión (1 + np) × n, es decir, 2 n u1 . . . u 1 u22 . . . un2 .. . . .. , . . . 2 n uT . . . uT φ10 φ20 ... φ= φ11 φ21 .. . .. . ... . . .. . .. n . . . φp φ1p φ2p φn0 φn1 El VAR puede ser expresado como Y = Xφ + U con la función de verosimilitud, 1 1 −T /2 −1 0 0 0 0 0 0 p(Y |φ, Σu ) = |Σu | exp − tr[Σu (Y Y − φ X Y − Y Xφ + φ X Xφ)] , (2π)nT /2 2 condicional a las observaciones y1−p , . . . , y0 . 7 (1.5) 1.5. Modelo estocástico de equilibrio general (MEEG) El modelo consiste en un hogar representativo, empresas competitivas y una autoridad monetaria que ajusta las tasas de interés nominal, en respuesta a las desviaciones de la inflación. Los hogares maximizan su función de utilidad, " Et ∞ X s=t β s−t (Cs /As )1−τ − 1 Ms + χlog − hs 1−τ Ps # , (1.6) donde Et denota el operador de expectativas, β es el factor de descuento, τ es el parámetro de aversión al riesgo, Cs es el consumo a tiempo s, As factor de productividad a tiempo s, χ es el factor de escala, h son las horas trabajadas y Ps es el nivel de precios nominal. Además, la tasa de inflación se define como, πt = Pt . Pt−1 (1.7) La restricción presupuestaria de los hogares, está dado por, Ct + Bt Mt Tt Mt−1 Bt−1 + + = Wt ht + + Rt−1 + Dt , Pt Pt Pt Pt Pt (1.8) donde Ct es el consumo a tiempo t, Bt /Pt son los bonos a tiempo t, Mt /Pt son los balances reales a tiempo t, Tt /Pt es el impuesto a tiempo t, Wt es el salario a tiempo t, ht son las horas trabajadas a tiempo t, Rt−1 son las tasas de interés a tiempo t − 1 y Dt son los beneficios de las empresas a tiempo t. La función de producción está dada por, Xt (j) = At ht (j), (1.9) donde el factor de productividad At es exógeno, además, es un proceso autoregresivo en logaritmos de raı́z unitaria lnAt = lnγ + lnAt−1 + zet , 8 (1.10) donde zet es un AR(1), zet = ρz zet−1 + z,t , (1.11) y z,t puede interpretarse como el shock a la tecnologı́a. El banco central, sigue una tasa de interés nominal para ajustar sus instrumentos en respuestas a las desviaciones de la inflación y producción de sus respectivos niveles, es decir, Rt = R∗ Rt−1 R∗ ρR " πt ψ1 π∗ Xt Xt∗ ψ2 #(1−ρR ) eR,t , (1.12) donde R∗ tasa de interés nominal, Xt es la producción potencial, Xt∗ = At y R,t es el shock a las tasas de interés. El parámetro 0 ≤ ρR < 1 determina el grado de las tasas de interés. El gobierno consume una fracción ζt de cada bien j. Se define gt = que get = ln gg∗t es un proceso AR(1) estacionario, get = ρg get−1 + g,t , 1 (1−ζt ) y se asume (1.13) donde g,t es el shock de los gastos del gobierno. Presupuesto del gobierno ζt Xt + Rt−1 Tt Mt Bt Bt−1 Mt−1 + = + + , Pt Pt Pt Pt Pt (1.14) donde Xt es la producción, Rt−1 es las tasas de interés a tiempo t − 1, Bt−1 /Pt son los bonos a tiempo t − 1, Mt−1 /Pt son los balances reales a tiempo t − 1 y Tt /Pt es el impuesto a tiempo t. El sistema se reduce a tres ecuaciones, producción, inflación y tasas de interés nominal: 1 et − E[e x et = E[e xt+1 ] − τ −1 (R πt+1 ]) + (1 − ρg )e gt + ρz zet , τ γ π et = ∗ E[e πt+1 ] + κ[e xt − get ], r et = ρR R et−1 + (1 − ρR )(ψ1 π R et + ψ2 x et ) + R,t , 9 (1.15) (1.16) (1.17) et tasas de interés, get gastos del gobierno, zet es el donde x et es la producción, π et es la inflación, R shock a la tecnologı́a, r∗ = γ β es el estado estacionario de las tasas de interés reales, τ factor de aversión, κ es una función de ajuste de los precios y elasticidad de la demanda y ρR determina el grado de las tasas de interés. El sistema de expectativas racionales está dado por las ecuaciones (1.11), (1.13), (1.15) - (1.17) y son resueltas por el algoritmo de Sims [12] (ver apéndice A). Las relaciones entre las desviaciones del espacio de estado, el crecimiento de la producción, inflación y tasas de interés están dadas por las siguientes ecuaciones de medida: ∆lnXt = lnγ + ∆xet + zet , (1.18) ∆lnPt = lnπ ∗ + π et , et ]. lnRta = 4[(lnr∗ + lnπ ∗ ) + R Por otra parte, el MEEG tiene tres shocks estructurales 0t = [R,t , g,t , z,t ]. Se supone que los shocks son normales independientes, idénticamente distribuidos. El vector de los parámetros del modelos está definido de la siguiente forma, θ0 = [lnγ, lnπ ∗ , lnr∗ , κ, τ, ψ1 , ψ2 , ρR , ρg , ρz , σR , σg , σz ]. 10 Capı́tulo 2 BVAR de Del Negro y Schorfheide En este capı́tulo se estudia el método de Del Negro y Schorfheide [4], para ello se muestra la densidad a priori, la densidad a posteriori y el algoritmo de estimación. 2.1. Densidad a Priori Sea Y la muestra observada, T el número de observaciones y X la matriz de rezagos de Y. La muestra observada es aumentada con observaciones sintéticas T ∗ = λT , (Y ∗ , X ∗ ) (para λ fijo), generadas del MEEG, (cuyo vector de parámetro es θ). La función de verosimilitud combina la data observada y la sintética, obtenida de ( 1.5) y ( 2.1), 1 1 −T /2 −1 ∗0 ∗ ∗ 0 ∗0 ∗ ∗0 ∗ 0 ∗0 ∗ |Σu | exp − tr[Σu (Y Y − φ X Y − Y X φ + φ X X φ)] . p(Y (θ)|φ, Σu ) = (2π)nT /2 2 (2.1) Factorizando obtenemos, p(Y ∗ (θ), Y |φ, Σu ) = p(Y ∗ (θ)|φ, Σu )p(Y |φ, Σu ), el término p(Y ∗ (θ)|φ, Σu ) puede ser interpretado como una densidad a priori de (φ, Σu ). La información acerca de los parámetros del VAR está contenida en la data simulada a partir del MEEG. 11 En la expresión ( 2.1) si se sustituyen los momentos muestrales por los momentos poblacionales (λT Γ∗yy (θ), λT Γ∗yx (θ) y λT Γ∗xx (θ)) se tiene la siguiente definición, −1 − λT +n+1 2 p(φ, Σu |θ) , c |Σu | 1 −1 ∗ 0 ∗ ∗ 0 ∗ exp − tr[λT Σu (Γyy (θ) − φ Γxy (θ) − Γyx (θ)φ + φ Γxx (θ)φ)] 2 (2.2) con c(θ) el factor de normalización, es decir, c(θ) = (2π) nk 2 λT −k n |λT Γ∗xx (θ)|− 2 |λT Σ∗u (θ)|− 2 ×2 n(λT −k) 2 π n(n−1) 4 n Y Γ[(λT − k + 1 − i)/2] i=1 En 2.2 tenemos una densidad a priori de φ y Σu condicionada por los parámetros del MEEG. La densidad a priori condicionada puede ser expresada como producto de densidades conjugadas naturales, lo cual simplifica su cómputo. Si definimos, ∗ φ∗ (θ) = Γ∗−1 xx (θ)Γxy (θ), (2.3) ∗ Σ∗u = Γ∗yy (θ) − Γ∗yx (θ)Γ∗−1 xx (θ)Γxy (θ) (2.4) Σu |θ ∼ Inv − W ishart(λT Σ∗u (θ), λT − k, n), (2.5) φ|Σu , θ ∼ N (φ∗ (θ), Σu ⊗ (λT Γ∗xx (θ))−1 ), (2.6) Σu , φ|θ ∼ Inv − W ishart − N . (2.7) entonces, Por Zellner [13], p(Σu , φ|θ) tiene una distribución Inversa Wishart-Normal. La densidad conjunta de los parámetros del VAR y los parámetros del MEEG se obtiene como, p(φ, Σu , θ) = p(φ, Σu |θ)p(θ) (2.8) Por otra parte, como φ∗ (θ) ( 2.3) es el estimador de mı́nimos cuadrados ordinarios (mco) (en el caso de una regresión lineal el estimador de máxima verosimilitud (emv) es igual al estimador de mco) φ∗ (θ) minimiza el emc a un paso. 12 2.2. Densidad a Posteriori p(φ, Σu , θ|Y ) = p(φ, Σu |Y, θ)p(θ|Y ), (2.9) p(φ, Σu , θ|Y ) es la densidad posterior de todos los parámetros. p(φ, Σu |Y, θ) es la densidad posterior de los parámetros del VAR dado los parámetros del MEEG. p(θ|Y ) es la densidad a posteriori de los parámetros del MEEG, es generada por Metropolis - Hasting y empleando el Algoritmo de Sims [12] . Además, p(φ, Σu |Y, θ) = p(Σu |Y, θ)p(φ|Y, θ, Σu ). Como la densidad a priori tiene una distribución Inversa W ishart - N ormal y la función de verosimilitud tiene una distribución N ormal, se tiene que son conjugados naturales, Zellner [13], muestra que la “densidad a posterior” de φ y Σu es Inversa Wishart-Normal, es decir, Σu |Y, θ ∼ Inv − W ishart((λ + 1)T Σ̃u (θ), (1 + λ)T − k, n), φ|Y, Σu , θ ∼ N (φ̃, Σu ⊗ (λT Γ∗xx (θ) + X 0 X)−1 ), donde φ̃(θ) y Σ̃u (θ) son los estimadores de MV de φ y Σu , es decir, φ̃(θ) = (λT Γ∗xx (θ) + X 0 X)−1 (λT Γ∗xy (θ) + X 0 Y ), Σ̃u (θ) = 1 [(λT Γ∗yy (θ) (λ+1)T + Y 0 Y ) − (λT Γ∗yx (θ) + Y 0 X)(λT Γ∗xx (θ) + X 0 X)−1 (λT Γ∗xy (θ) + X 0 Y )]. Por otra parte se demostrará dos proposiciones relacionadas con la densidad a posteriori y la verosimilitud. Proposición 1. La densidad posterior conjunta de los parámetros del VAR y el MEEG puede ser escrita como, p(φ, Σu , θ|Y ) = p(φ, Σu |Y )p(θ|φ, Σu ). 13 Demostración p(φ, Σu , θ|Y ) = p(φΣu |Y )p(θ|φΣu Y ), Luego, p(φ, Σu , θ|Y ) = p(φΣu Y ) p(θφΣu ) p(θφΣu Y ) p(φΣu Y ) , p(Y ) p(φΣu ) p(θφΣu Y ) p(φΣu Y ) Asociando, p(φ, Σu , θ|Y ) = p(θφΣu Y ) p(θφΣu ) p(φΣu Y ) p(φΣu Y ) , p(φΣu Y ) p(θφΣu Y ) p(φΣu ) p(Y ) Luego por definición de probabilidad condicional tenemos, p(φ, Σu , θ|Y ) = p(θ|φΣu Y ) p(Y |φΣu ) p(φΣu |Y ), p(Y |θφΣu ) Como, p(Y |θφΣu ) = p(Y |φΣu ), (2.10) Lo anterior puede ser interpretado como, la verosimilitud de los parámetros del VAR es igual a la verosimilitud de los parámetros de VAR con el parámetro del MEEG. Finalmente, p(φ, Σu , θ|Y ) = p(θ|φΣu Y ) p(φΣu |Y ). Proposición 2. La función de verosimilitud puede ser escrita como, Z p(Y |θ) = p(Y |φ, Σu ) p(φ, Σu |θ) d(φ, Σu ). Demostración Z Z p(Y |φ, Σu ) p(φ, Σu |θ) d(φ, Σu ) = 14 p(Y |φ, Σu θ) p(φ, Σu |θ) d(φ, Σu ), Por ( 2.10), Z Z p(Y |φ, Σu ) p(φ, Σu |θ) d(φ, Σu ) = p(Y φ, Σu |θ) d(φ, Σu ), En consecuencia, Z p(Y |φ, Σu ) p(φ, Σu |θ) d(φ, Σu ) = p(Y |θ). Proposición 3. La función de verosimilitud está dada por la siguiente expresión, p(Y |θ) = p(Y |φ, Σ)p(φ, Σ|θ) . p(φ, Σ|Y ) (2.11) Demostración Las hipótesis están dadas por las siguientes expresiones: p(Y |φΣθ) = p(Y |φΣ), (2.12) p(θ|Y ) = p(θ|Y φΣ), (2.13) Considerando el posterior de los tres parámetros, tenemos, p(θφΣ|Y ) = p(θ|φΣY )p(φΣ|Y ), Por ( 2.13), p(θφΣ|Y ) = p(θ|Y )p(φΣ|Y ), Por lo tanto, p(φΣ|Y ) = p(θφΣ|Y ) , p(θ|Y ) Luego, por ( 2.12), p(Y |φ, Σ)p(φ, Σ|θ) p(Y |φ, Σθ)p(φ, Σ|θ) = , p(φ, Σ|Y ) p(φ, Σ|Y ) Sustituyendo ( 2.14) en la expresión anterior, p(Y |φ, Σ)p(φ, Σ|θ)p(θ|y) , p(θφ, Σ|Y ) 15 (2.14) Luego, p(Y )p(φΣ|θ)p(θ|y) , p(θΣφ) Finalmente, p(Y )p(φΣθ)p(θY ) = p(Y |θ). p(φΣθ)p(θ)p(Y ) 2.3. Algoritmo de Metropolis Hasting Dada la función de densidad f , la densidad objetivo, el algoritmo de Metropolis - Hasting construye un conjunto de simulaciones de f . Este algoritmo es especialmente útil cuando se puede evaluar la densidad (salvo por una constante multiplicativa), pero no se puede calcular de manera explı́cita los momentos de la densidad. Es un algoritmo de simulación del tipo MCMC (Monte Carlo Markov Chain), denominados ası́, porque esta familia de algoritmos generan una cadena de Markov ergódica, cuya distribución lı́mite es f , es decir, en la t-ésima iteración el algoritmo genera un valor aleatorio νt tal que, para t suficientemente grande, su densidad se puede aproximar por f , es decir, el lı́mt→∞ νt = ν con ν una v.a. cuya densidad es f . La referencia al algoritmo de Metropolis - Hasting corresponde a un término general que se utiliza para una familia de métodos de simulación de cadenas de Markov que se derivan del algoritmo propuesto por [10]. El algoritmo consiste en los siguientes pasos: Algoritmo de Metropolis- Hasting 1. Generar un iterado inicial θ0 2. Desde t = 1 hasta n, a. Generar θt∗ a partir de una distribución de salto 3. Asignar θt+1 θ∗ con probabilidad ρ(θ , θ∗ ) t t t = θ con probabilidad 1 − ρ(θ , θ∗ ) t t t con, ρ(θt , θt∗ ) = min 16 n p(θt∗ ) ,1 p(θt ) o ρ se denomina la probabilidad de aceptación de Metropolis - Hasting. La regla de aceptación y rechazo del algoritmo anterior se puede interpretar de la siguiente forma, si el salto produce un valor para el que se aumenta la densidad posterior, hacer θt+1 = θt∗ , si el salto no aumenta la densidad a posteriori, con cierta probabilidad se acepta o se rechaza. 2.4. El algoritmo combinado de Metropolis - Hasting y Sims Se quiere simular la densidad a posteriori p(θ|Y ) de los parámetros del modelo. Las simulaciones se obtendrán mediante el Algoritmo de Metropolis - Hastings considerando la función objetivo p(Y |θ)p(θ) como función de θ, que es calculable salvo por una constante multiplicativa. El cálculo de la función de verosimilitud se efectuará empleando la ecuación ( 2.15), la cual para poder ser determinada se necesitan los momentos muestrales y poblaciones de la data. En particular los momentos poblacionales son obtenidos mediante la representación de espacios de estado ( 2.16) y ( 2.17) (ver Algoritmo de estimación). El algoritmo combinado está dado por los siguientes pasos. Algoritmo de Estimación 1. Generar un iterado inicial θ0 2. Desde t = 1 hasta n, a. Generar θt∗ = θt−1 + N (0, Σ) b. Calcular la representación en espacios de estados con el Algoritmo de Sims c. Calcular p(Y |θt ) por medio de la ecuación (2.15) d. Asignar θ∗ con probabilidad ρ(θ , θ∗ ) t t t θt+1 = θ con probabilidad 1 − ρ(θ , θ∗ ) t t t con, ρ(θt , θt∗ ) = min n p(θt∗ ) ,1 p(θt ) o 17 2.5. Algoritmo de estimación Se asume que el espacio de parámetros de λ es finito, es decir, Λ = {l1 , . . . , lq }. λ se estima y se genera la distribución a posteriori conjunta de los parámetros del MEEG y del VAR usando el siguiente algoritmo: 1. Para λ ∈ Λ se usa el algoritmo de Metrópolis Hasting, para generar las simulaciones de pλ (θ|Y ) ∝ pλ (Y |θ)p(θ). Los pasos necesarios para evaluar pλ (θ|Y ) se basan en la siguiente ecuación: p(Y |θ) = p(Y |φ, Σ)p(φ, Σ|θ) p(φ, Σ|Y ) (2.15) n |λT Γ∗xx (θ) + X 0 X|− 2 |(λ + 1)T Σu (θ)|− = n |λT Γ∗xx (θ)|− 2 |λT Σu (θ)|− × (2π)− nT 2 2 n((λ+1)T −k) 2 2 n(λT −k) 2 Qn i=1 (λ+1)T −k 2 λT −k 2 Γ[((λ + 1)T − k + 1 − i)/2] Qn . i=1 Γ[(λT − k + 1 − i)/2] Para cada θ: a) Se resuelve el MEEG dado por las ecuaciones (1.11), (1.13), (1.15) - (1.17), con el algoritmo que describe Sims [12]. Esto conduce a una ecuación de transición de la forma, st = T (θ)st−1 + R(θ)t . (2.16) Las ecuaciones (1.18) pueden escribirse en forma apilada como: yt = Z(θ)st + D(θ) + νt . (2.17) En la implementación se elegirá st tal que νt = 0. Se define la matriz de covarianza de los shocks como: E[νt νt0 ] = 0, E[t 0t ] = Σ (θ), 18 E[t νt0 ] = Σν (θ). b) Se calculan los momentos poblacionales Γ∗yy (θ), Γ∗yx (θ) y Γ∗xx (θ) desde la representación de estados de (2.16) y (2.17). Note que, E[yt yt0 ] = ZΩss Z 0 + ZRΣν + (ZRΣν )−1 + Σνν + DD0 , 0 ] = ZT h (Ωss Z 0 + RΣν ) + DD0 . E[yt yt−h donde Ωss = E[st s0t ] el cual puede ser obtenido por la ecuación de Lyapunov Ωss = T Ωss T 0 + RΣ R0 . 2. Basado en las simulaciones se modifica el estimador de la media armónica para obtener las aproximaciones numéricas de la data pλ (Y ), de acuerdo con Geweke [7]. 2.6. Cálculo de los momentos poblacionales Como se señaló en la sección anterior se calcularán los momentos poblacionales a partir de la representación de estados de (2.16) y (2.17). Las dimensiones st , T , R, yt , Zt , D y νt están dadas por, dim(yt ) = n × 1 dim(st ) = h × 1 dim(νt ) = n × 1 dim(R) = n × l dim(Z) = n × h dim(D) = n × 1 dim(T ) = h × h dim(t ) = l × 1 Es importante señalar que st es un proceso autoregresivo (AR) con media cero; t y νt son dos ruidos blancos. En la definición usual de representación de espacios de estados se supone que t y νt no están correlacionados. Se supondrá, siguiendo a Del Negro y Schorfheide [4] que, Σ t1 = t2 ν E[νt1 t1 ] = 0 si t 6= t . 1 2 Se denota la matriz de covarianza de los shocks y sus correlaciones mediante, Σνν (θ) = E[νt νt0 ], Σ (θ) = E[t 0t ], Σν (θ) = E[t νt0 ]. (2.18) En el modelo considerado en este trabajo (como en gran parte de los modelos estudiados en el área), νt y D(θ) son nulos. Daremos las demostraciones para el caso general, es decir, donde 19 νt y D(θ) no necesariamente son nulos. Se denota la covarianza de st mediante Ωss , es decir, Ωss = E[st s0t ] . En las siguientes proposiciones, (siguiendo a Del Negro y Schorfheide [4]) se presentan identidades para el cálculo de los momentos poblacionales. Proposición 3. Ωss satisface la siguiente ecuación de Lyapunov, Ωss = T Ωss T 0 + RΣ R0 . Demostración De (2.16) se tiene que st = T (θ)st−1 +R(θ)t ; vamos a calcular la siguiente función de covarianza, E[st s0t ] = E[(T st−1 + Rt )(T st−1 + Rt )0 ]. Por propiedad de matrices transpuestas, E[st s0t ] = E[(T st−1 + Rt )(s0t−1 T 0 + 0t R0 )]. Aplicando propiedad distributiva obtenemos, E[st s0t ] = E[T st−1 s0t−1 T 0 + T st−1 0t R0 + Rt s0t−1 T 0 + Rt 0t R0 ]. Por la linealidad de la esperanza, E[st s0t ] = T E[st−1 s0t−1 ]T 0 + T E[st−1 0t ]R0 + RE[t s0t−1 ]T 0 + RE[t 0t ]R0 . h Como st−1 = T st−h−1 + h−1 X T j−1 Rt−j y t no está correlacionado con los t−j , entonces, st−1 y j=1 t no están correlacionados, luego, E[st s0t ] = T E[st−1 s0t−1 ]T 0 + RE[t 0t ]R0 . Luego, Ωss = E(st s0t ) y Σ (θ) = E[t 0t ], entonces, Ωss = T Ωss T 0 + RΣ R0 (2.19) 20 Proposición 4. E[yt yt0 ] = ZΩss Z 0 + ZRΣν + (ZRΣν )0 + Σνν + DD0 . Demostración Vamos a calcular la siguiente función de covarianza, E[yt yt0 ] = E[(Zst + D + νt )(Zst + D + νt )0 ]. Por propiedad de matrices transpuestas, E[yt yt0 ] = E[(Zst + D + νt )(s0t Z 0 + D0 + νt0 )]. Aplicando propiedad distributiva obtenemos, E[yt yt0 ] = E[Zst s0t Z 0 + Zst D0 + Zst νt0 + Ds0t Z 0 + DD0 + Dνt0 + νt s0t Z 0 + νt D0 + νt νt0 ]. Por propiedad de esperanza, la esperanza de la suma, es la suma de las esperanzas, entonces, E[yt yt0 ] = ZE(st s0t )Z 0 + E(Zst D0 ) + E(Zst νt0 ) + E(Ds0t Z 0 ) + E(DD0 ) + E(Dνt0 ) + E(νt s0t Z 0 ) +E(νt D0 ) + E(νt νt0 ). Luego, Ωss = E(st s0t ), st es un proceso autoregresivo (AR) con media cero y νt = 0, E[yt yt0 ] = ZΩss Z 0 + E(Zst νt0 ) + E(νt s0t Z 0 ) + E(νt νt0 ) + E(DD0 ). Sustituyendo (2.16) y teniendo en cuenta que la E(DD0 ) = DD0 y por (2.18) Σνν (θ) = E[νt νt0 ], entonces, E[yt yt0 ] = ZΩss Z 0 + E[Z(T st−1 + Rt )νt0 ] + E[νt (T st−1 + Rt )0 Z 0 ] + Σνν + DD0 . Aplicando propiedad distributiva obtenemos, E[yt yt0 ] = ZΩss Z 0 + E[ZT st−1 νt0 + ZRt νt0 ] + E[νt (s0t−1 T 0 + 0t R0 )Z 0 ] + Σνν + DD0 . La esperanza de la suma, es la suma de las esperanzas, tenemos E[yt yt0 ] = ZΩss Z 0 + E[ZT st−1 νt0 ] + E[ZRt νt0 ] + E[νt s0t−1 T 0 Z 0 ] + E[νt 0t R0 Z 0 ] + Σνν + DD0 , st es un proceso autoregresivo (AR) con media cero y sabiendo que E[νt−h st−i ] = 0 con h, i = 1, 2, . . . y h 6= i, tenemos, E[yt yt0 ] = ZΩss Z 0 + ZRE[t νt0 ] + E[νt 0t ]R0 Z 0 + Σνν + DD0 . 21 Por (2.18) Σν (θ) = E[t νt0 ], luego, E[yt yt0 ] = ZΩss Z 0 + ZRΣν + Σ0ν R0 Z 0 + Σνν + DD0 . Finalmente, por propiedad de matrices transpuestas, tenemos, E[yt yt0 ] = ZΩss Z 0 + ZRΣν + (ZRΣν )0 + Σνν + DD0 (2.20) En el caso de la definición de una representación de espacios de estados ordinaria (con y ν no correlacionados), las expresiones anteriores Σν = 0, en consecuencia ZRΣν = 0. Como, νt = 0 y t y νt no están correlacionados, tendremos lo siguiente, Γ∗yy (θ) = Eθ [yt yt0 ] = ZΩss Z 0 + DD0 0 ] = ZT h (Ωss Z 0 + RΣν ) + DD0 Proposición 5. E[yt yt−h Demostración Iterando hacia atrás en (2.16), st = T st−1 + Rt = T (T st−2 + Rt−1 ) + Rt = T 2 st−2 + T Rt−1 + Rt = T 2 (T st−3 + Rt−2 ) + T Rt−1 + Rt = T 3 st−3 + T 2 Rt−2 + T Rt−1 + Rt .. . h−1 X h = T st−h + T j Rt−j (2.21) j=0 Además, yt−h = Zst−h + D + νt−h , yt = Zst + D + νt . 22 (2.22) Sustituyendo (2.21) en la ecuación (2.22), nos queda, yt = Z T h st−h + h−1 X ! T j Rt−j + D + νt . j=0 Ahora bien, " 0 E[yt yt−h ]=E ZT h st−h + Z h−1 X # ! T j Rt−j + D + νt (Zst−h + D + νt−h )0 . j=0 Por propiedad de matrices transpuestas, " ! # h−1 X 0 0 E[yt yt−h ]=E ZT h st−h + Z T j Rt−j + D + νt s0t−h Z 0 + D0 + νt−h . j=0 Aplicando propiedad distributiva y linealidad de la esperanza obtenemos, 0 E[yt yt−h ] = ZT h E[st−h s0t−h ]Z 0 0 h + ZT E[st−h ]D + ZT h 0 E[st−h νt−h ] +Z h−1 X T j RE[t−j s0t−h ]Z 0 j=0 +Z h−1 X T j RE[t−j ]D0 + Z j=0 h−1 X 0 0 T j RE[t−j νt−h ] + DE[s0t−h ]Z 0 + E[DD0 ] + DE[νt−h ] j=0 0 ]. +E[νt s0t−h ]Z 0 + E[νt ]D0 + E[νt νt−h Por hipótesis st es un proceso centrado, t y νt son ruidos blancos, la E[DD0 ] = DD0 , E[st s0t ] = Ωss y como st−h = T st−h−1 + Rt−h , entonces, st−h y t−j no están correlacionados, luego, 0 0 E[yt yt−h ] = ZT h Ωss Z 0 + ZT h E[st−h νt−h ] + DD0 . Iterando hacia atrás st−h , 0 0 E[yt yt−h ] = ZT h Ωss Z 0 + ZT h E[(T st−h−1 + t−h )νt−h ] + DD0 . Aplicando propiedad distributiva y linealidad de la esperanza, resulta, 0 0 0 E[yt yt−h ] = ZT h Ωss Z 0 + ZT h [E(T st−h−1 νt−h ) + E(t−h νt−h )] + DD0 . 23 Por (2.18) Σν = E[t νt ], además, como st−h−1 = T st−h−2 + t−h−1 , entonces, st−h−1 y νt−h no están correlacionados, luego, 0 E[yt yt−h ] = ZT h Ωss Z 0 + ZT h Σν + DD0 . Finalmente, 0 ] = ZT h (Ωss Z 0 + RΣν ) + DD0 E[yt yt−h (2.23) y Ωss puede ser obtenido por la ecuación de Lyapunov Ωss = T Ωss T 0 + RΣ R0 (demostrada en la proposición 1). En la representación de espacios de estado usual, Σν = 0, entonces, RΣν = 0. En este caso, 0 E[yt yt−h ] = ZT h Ωss Z 0 + DD0 0 ]. Para determinar el momento poblacional Γ∗xx se debe definir las entradas de la matriz, E[yt yt−h Vamos a definir yt y yt−h . yt0 = (yt1 , . . . , ytn ), 0 yt−h = 1 yt−h , 2 yt−h ,..., n yt−h , (2.24) Tenemos, 1 2 n yt1 yt−h yt1 yt−h . . . yt1 yt−h 2 1 n 2 yt yt−h yt2 yt−h . . . yt2 yt−h 0 E[yt yt−h ] = E .. .. .. .. . . . . 1 2 n ytn yt−h ytn yt−h . . . ytn yt−h . Luego las entradas (i, j) de la matriz anterior está dada por, j 0 Eθ [yt yt−h ](i, j) = E[yti yt−h ] con i, j = 1, . . . , n El momento poblacional Γ∗xx (θ) se denota ası́, Γ∗xx (θ) = E[xt x0t ]. 24 (2.25) Veamos como son las entradas de la matriz Γ∗xx (θ). Para ellos se define xt , 1 2 n 1 2 n 1 n x0t = (1, yt−1 , yt−1 , . . . , yt−1 , . . . , yt−l , yt−l , . . . , yt−l , . . . , yt−p , . . . , yt−p ). Luego, E(xt x0t ) = E 1 1 yt−1 2 yt−1 ... n yt−1 ... 1 yt−l 2 yt−l ... n yt−l ... 1 yt−p ... 1 yt−1 1 y1 yt−1 t−1 1 y2 yt−1 t−1 ... 1 yn yt−1 t−1 ... 1 y1 yt−1 t−l 1 y2 yt−1 t−l ... 1 yn yt−1 t−l ... 1 y1 yt−1 t−p ... 2 yt−1 .. . 2 y1 yt−1 t−1 .. . 2 y2 yt−1 t−1 .. . ... 2 yn yt−1 t−1 .. . ... 2 y1 yt−1 t−l .. . 2 y2 yt−1 t−l .. . ... 2 yn yt−1 t−l .. . ... 2 y1 yt−1 t−p .. . ... n yt−1 .. . n y1 yt−1 t−1 .. . n y2 yt−1 t−1 .. . ... n yn yt−1 t−1 .. . ... n y1 yt−1 t−l .. . n y2 yt−1 t−l .. . ... n yn yt−1 t−l .. . ... n y1 yt−1 t−p .. . ... 1 yt−l 1 y1 yt−l t−1 1 y2 yt−l t−1 ... 1 yn yt−l t−1 ... 1 y1 yt−l t−l 1 y2 yt−l t−l ... 1 yn yt−l t−l ... 1 y1 yt−l t−p ... 2 yt−l 2 y1 yt−l t−1 2 y2 yt−l t−1 ... 2 yn yt−l t−1 ... 2 y1 yt−l t−l 2 y2 yt−l t−l ... 2 yn yt−l t−l ... 2 y1 yt−l t−p ... .. . .. . .. . .. . .. . n yt−l .. . n y1 yt−l t−1 .. . n y2 yt−l t−1 .. . ... n yn yt−l t−1 .. . ... n y1 yt−l t−l .. . n y2 yt−l t−l .. . ... n yn yt−l t−l .. . ... n y1 yt−l t−p .. . ... 1 yt−p .. . 1 1 yt−p yt−1 .. . 1 2 yt−p yt−1 .. . ... 1 n yt−p yt−1 .. . ... 1 1 yt−p yt−l .. . 1 2 yt−p yt−l .. . ... 1 n yt−p yt−l .. . ... 1 1 yt−p yt−p .. . ... n yt−p n y1 yt−p t−1 n y2 yt−p t−1 ... n yn yt−p t−1 ... n y1 yt−p t−l n y2 yt−p t−l ... n yn yt−p t−l ... n y1 yt−p t−p ... .. . .. . .. . n yt−p 1 yn yt−1 t−p 2 yn yt−1 t−p .. . n n yt−1 yt−p .. . 1 yn yt−l t−p . 2 n yt−l yt−p .. . n n yt−l yt−p .. . 1 n yt−p yt−p .. . n n yt−p yt−p Se observa que la matriz E[xt x0t ] está compuesta en la primera columna por el vector xt y en la primera fila por el vector x0t y las otras entradas de la matriz están dadas por la matriz 0 E[yt yt−h ] con h = 1, . . . , p (la covarianza es estacionaria). Por otra parte, el momento poblacional Γ∗yx (θ) se denota ası́, Γ∗yx (θ) = E[yt x0t ]. Veamos como son las entradas de la matriz Γ∗yx (θ). yt0 = (yt1 , . . . , ytn ), (2.26) 1 2 n 1 2 n 1 n x0t = (1, yt−1 , yt−1 , . . . , yt−1 , . . . , yt−l , yt−l , . . . , yt−l , . . . , yt−p , . . . , yt−p ). (2.27) 25 Ahora bien, E(yt x0t ) = yt1 1 yt1 yt−1 2 yt1 yt−1 n yt1 yt−1 1 yt1 yt−l 2 yt1 yt−l n yt1 yt−l 1 yt1 yt−p n yt1 yt−p ... ... ... ... ... 2 2 1 n 2 n 2 1 n 2 yt yt yt−1 yt2 yt−1 . . . yt2 yt−p . . . yt1 yt−p . . . yt2 yt−l yt2 yt−l . . . yt2 yt−l . . . yt2 yt−1 E .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . 1 2 n 1 2 n 1 n ytn ytn yt−1 ytn yt−1 . . . ytn yt−1 . . . ytn yt−l ytn yt−l . . . ytn yt−l . . . ytn yt−p . . . ytn yt−p Se observa que la matriz E[yt x0t ], está compuesta en la primera fila por el vector x0t y en 0 la primera columna por el vector xt y las demás entradas están dadas por la matriz E[yt yt−h ] con h = 1, . . . , p Finalmente, el momento poblacional Γ∗xy (θ), lo denotaremos ası́, Γ∗xy (θ) = E[xt yt0 ], donde Γ∗xy (θ) = [Γ∗yx (θ)]0 . 2.7. Medias Armónicas Basado en las simulaciones aplicamos el método Geweke [7] (modificación de las Medias Armónicas) para obtener las aproximaciones numéricas de la densidad de la data pλ (Y ). Para el cálculo de la verosimilitud marginal usamos el método propuesto por Gelfand y Dey [6]. Teorema. El Método de Gelfand - Dey para el cálculo de la verosimilitud Marginal Sean p(θ|Mi ), p(y|θ, Mi ) y p(θ|y, Mi ) la densidad a priori, la verosimilitud y la densidad a posteriori respectivamente, para el modelo Mi definición en Θ. Si f es una función de densidad con soporte en Θ, entonces, f (θ) 1 E |y, Mi = . p(θ|Mi )p(y|θ, Mi ) p(y|Mi ) 26 . Este teorema es muy importante porque para cualquier función de densidad podemos establecer f (θ) g(θ) = y usar las simulaciones de la densidad a posterior para estimar p(θ|Mi )p(y|θ, Mi ) E[g(θ)|y, Mi ]. f (θ) p(θ|Mi )p(y|θ, Mi ) debe ser finito para todo valor de θ. Este método requiere que se elija cuidadosamente f (θ). La teorı́a asintótica subyacente del método de Gelfang-Dey[6] implica que Geweke [7], recomienda la siguiente estrategia para la elección de f (θ). La estrategia consiste en que f (θ) sea una densidad Normal truncada (es decir, no tomamos en cuenta las colas). El motivo que la densidad normal este truncada es difı́cil de comprobar porque la expresión f (θ) b los es finita en la colas para la densidad normal. Formalmente, sea θb y Σ p(θ|Mi )p(y|θ, Mi ) estimadores de E(θ|y, Mi ) y var(θ|y, Mi ) obtenidas de la simulación de la densidad a posterior. Además, p ∈ (0, 1) y sea θb el soporte de f (θ), el cual es definido por, b −1 (θb − θ) ≤ χ21−p (k)}, θb = {θ : (θb − θ)0 Σ donde χ21−p (k) es el percentil (1-p) de la distribución Chi Cuadrado con k grados de libertad. Geweke recomienda dejar f (θ) como una densidad Normal Multivariada truncada en la región de θ, es decir, 1 b 1 −1/2 0 b −1 b b b f (θ) = |Σ| exp − (θ − θ) Σ (θ − θ) I(θ ∈ θ), p(2π)k/2 2 donde I() es la función indicadora. 27 Capı́tulo 3 Resultados Empı́ricos En este capı́tulo se realiza la implementación de los modelos VAR y BVAR para la economı́a de EEUU y la de Venezuela. 3.1. Implementación de los modelos VAR y BVAR En esta sección se presenta el planteamiento de los modelos para las siguientes variables: producto (PIB), inflación y tasas de interés, se hará el estudio para los datos de la economı́a de EEUU y de Venezuela. Se realizan predicciones y se compara el modelo BVAR del Negro y Schorfheide [4] (en las secciones siguientes se denotará como BVAR Schorfheide) con un VAR frecuentista y un BVAR con una densidad a priori de Minnesota [8]. Se emplea el emc para determinar el desempeño predictivo de los modelos. 3.1.1. Modelo El modelo que se plantea es un VAR con tres variables (Producción, Inflación y Tasas de Interés). Se estudiarán dos casos, la data de EEUU1 y la data de Venezuela2 . 1 2 Fuente: Frank Shorfheide http://www.econ.upenn.edu/ schorf/research.htm Fuente: Banco Central de Venezuela 28 Variable Notación Producción y Inflación p Tasas de Interés r Las dos primeras variables mostradas en la tabla anterior se les aplica la primera diferencia y el logaritmo y para las tasas se les aplica solamente el logaritmo. 3.1.2. Data de EEUU En la data de EEUU se dispone de observaciones trimestrales especı́ficamente desde el cuarto trimestre de 1959, hasta el tercer trimestre del año 2001, el total de observaciones son 168. Los modelos serán estimados tomando en consideración los datos hasta el año 1999 (trimestre tres) y se realizarán las predicciones hasta el año 2001. 3.1.2.1. Implementación del Modelo VAR reducido En está sección se muestran los resultados de un VAR reducido para las variables mencionadas anteriormente. Las ecuaciones que se estimarán tienen la siguiente forma: yt = φ1,1 yt−1 + φ1,2 yt−2 + φ1,3 yt−3 + φ1,4 yt−4 + φ1,5 pt−1 + φ1,6 pt−2 + φ1,7 pt−3 + φ1,8 pt−4 + φ1,9 rt−1 + φ1,10 rt−2 + φ1,11 rt−3 + φ1,12 rt−4 + c1t , pt = φ2,1 pt−1 + φ2,2 pt−2 + φ2,3 pt−3 + φ2,4 pt−4 + φ2,5 yt−1 + φ2,6 yt−2 + φ2,7 yt−3 + φ2,8 yt−4 + φ2,9 rt−1 + φ2,10 rt−2 + φ2,11 rt−3 + φ2,12 rt−4 + c2t , rt = φ3,1 rt−1 + φ3,2 rt−2 + φ3,3 rt−3 + φ3,4 rt−4 + φ3,5 yt−1 + φ3,6 yt−2 + φ3,7 yt−3 + φ3,8 yt−4 + φ3,9 pt−1 + φ3,10 pt−2 + φ3,11 pt−3 + φ3,12 pt−4 + c3t , donde c1, c2 y c3 son los componentes determinı́sticos para cada ecuación. Veamos la estimación del modelo: 29 variable dependiente Producto R2 0.2845 N◦ de variables 13 N◦ de observaciones 156 Variable Rezago coef. t-estadı́stico p-valor Producto 1 0.166931 1.991643 0.048315 Producto 2 0.223533 2.604036 0.010186 Producto 3 -0.032296 -0.365696 0.715133 Producto 4 0.013707 0.169660 0.865517 Inflacion 1 -0.154003 -0.823580 0.411550 Inflacion 2 0.103370 0.520092 0.603804 Inflacion 3 0.004798 0.024553 0.980446 Inflacion 4 -0.047226 -0.247294 0.805035 Tasas 1 -0.160121 -2.688266 0.008035 Tasas 2 -0.027483 -0.405743 0.685538 Tasas 3 0.148895 2.226139 0.027569 Tasas 4 -0.019611 -0.323541 0.746758 Constante - 1.025761 4.076965 0.000075 30 variable dependiente Inflación R2 0.7827 N◦ de variables 13 N◦ de observaciones 156 Variable Rezago coef. t-estadı́stico p-valor Producto 1 0.070544 1.7498 0.082294 Producto 2 -0.0091802 -0.22234 0.82437 Producto 3 0.048633 1.1449 0.25417 Producto 4 0.062166 1.5997 0.11187 Inflación 1 0.61972 6.8901 1.64E-06 Inflación 2 -0.026213 -0.27419 0.78433 Inflación 3 0.51968 5.5294 1.48E-03 Inflación 4 -0.10528 -1.1461 0.25367 Tasas 1 0.0086332 0.30134 0.7636 Tasas 2 0.0077493 0.23785 0.81234 Tasas 3 -0.074614 -2.3193 0.021798 Tasas 4 0.041632 1.428 0.15549 Constante - -0.036345 -0.30033 0.76436 31 3.1.2.2. variable dependiente Tasas de Interés R2 0.8831 N◦ de variables 13 N◦ de observaciones 156 Variable Rezago coef. t-estadı́stico p-valor Producto 1 0.4885 3.837 0.00018629 Producto 2 0.30524 2.341 0.020613 Producto 3 0.14318 10.673 0.28761 Producto 4 -0.063415 -0.51676 0.60612 Inflación 1 0.76081 26.786 0.0082595 Inflación 2 -0.43048 -14.259 0.15607 Inflación 3 0.92135 31.043 0.0022995 Inflación 4 -0.4633 -15.972 0.11244 Tasas 1 0.58307 64.447 0.000016584 Tasas 2 0.16888 16.414 0.10292 Tasas 3 0.18118 17.834 0.076649 Tasas 4 -0.048209 -0.52362 0.60135 Constante - -0.82043 -21.468 0.033496 Implementación del Modelo BVAR Litterman En esta sección se muestran los resultados del modelo BVAR de Litterman para las variables mencionadas anteriormente . Los hiperparámetros con los cuales se realizó la estimación del modelo son los siguientes: θ = 0.1 0 θ1 = 1 θ = 0.5 2 En las siguientes tablas se presenta el ajuste realizado para cada ecuación del modelo. 32 variable dependiente Producto R2 0.2830 N◦ de variables 13 N◦ de observaciones 156 Variable Rezago coef. t-estadı́stico p-valor Producto 1 0.169287911 2.129352 0.034804751 Producto 2 0.207574264 2.563508 0.011313315 Producto 3 -0.033173196 -0.409332142 0.682861014 Producto 4 0.01758838 0.239145687 0.811308536 Inflación 1 -0.155738778 -0.910439121 0.364004619 Inflación 2 0.074559188 0.419950433 0.675103208 Inflación 3 0.027802637 0.169859963 0.865341765 Inflación 4 -0.040026245 -0.261198267 0.794286347 Tasas 1 -0.15352044 -2.796673 0.005817542 Tasas 2 -0.013485572 -0.227761 0.820132139 Tasas 3 0.112642601 2.0923470 0.03803724 Tasas 4 -0.005342191 -0.114467165 0.909015617 Constante - 1.0441880 4.43349 1.74715E-05 33 variable dependiente Inflación R2 0.7813 N◦ de variables 13 N◦ de observaciones 156 Variable Rezago coef. t-estadı́stico p-valor Producto 1 0.073975641 1.9487060 0.053136431 Producto 2 -0.003000652 -0.0792358 0.936947285 Producto 3 0.03828155 1.0460220 0.297179291 Producto 4 0.044432858 1.3744540 0.171284668 Inflación 1 0.613342154 7.2521160 1.8327E-11 Inflación 2 -0.009420816 -0.1053719 0.916216927 Inflación 3 0.473322799 5.5068480 1.48505E-07 Inflación 4 -0.081123103 -0.9804275 0.328402956 Tasas 1 0.009548738 0.3619820 0.717858496 Tasas 2 0.005545492 0.1938269 0.846565219 Tasas 3 -0.050737258 -1.9490000 0.053100936 Tasas 4 0.01944537 0.8666415 0.387478026 Constante - -0.010798256 -0.0971437 0.922737748 34 3.1.2.3. variable dependiente Tasas R2 0.8825 N◦ de variables 13 N◦ de observaciones 156 Variable Rezago coef. t-estadı́stico p-valor Producto 1 0.491911242 4.0880380 6.96485E-05 Producto 2 0.276999112 2.3099770 0.022208769 Producto 3 0.121195369 1.0379300 0.300918972 Producto 4 -0.03454904 -0.3364595 0.736979439 Inflación 1 0.693362923 2.6469060 0.008961934 Inflación 2 -0.323774458 -1.1938320 0.234367546 Inflación 3 0.718588143 2.8642950 0.004759064 Inflación 4 -0.302286151 -1.2870100 0.200009433 Tasas 1 0.591049614 6.9284780 1.07103E-10 Tasas 2 0.169353203 1.7685850 0.078930137 Tasas 3 0.180171717 1.9607170 0.051704494 Tasas 4 -0.059744121 -0.7435526 0.458272806 Constante - -0.775957626 -2.1902290 0.030001786 Implementación del Modelo BVAR Schorfheide En está sección se muestran los resultados del BVAR Schorfheide. En las siguientes tablas se presenta el ajuste realizado para cada ecuación del modelo. 35 variable dependiente Producto R2 0.20591 N◦ de variables 13 N◦ de observaciones 156 Variable Rezago coef. t-estadı́stico p-valor Producto 1 0.28439 3.2207 0.0015831 Producto 2 0.26701 2.9526 0.0036849 Producto 3 0.083175 0.89399 0.37283 Producto 4 0.099294 1.1666 0.24531 Inflación 1 -0.0067634 -0.034333 0.97266 Inflación 2 0.16704 0.79776 0.42633 Inflación 3 -0.16625 -0.80766 0.42063 Inflación 4 -0.022333 -0.11101 0.91177 Tasas 1 -0.18724 -2.984 0.0033472 Tasas 2 -0.026329 -0.36896 0.71271 Tasas 3 0.1695 2.4054 0.017431 Tasas 4 0.056211 0.88027 0.38019 Constante - 0.10929 0.41234 0.68071 36 variable dependiente Inflación R2 0.70872 N◦ de variables 13 N◦ de observaciones 156 Variable Rezago coef. t-estadı́stico p-valor Producto 1 0.093263 1.9978 0.04763 Producto 2 -0.035997 -0.7529 0.45273 Producto 3 0.086346 1.7555 0.081318 Producto 4 0.053897 1.1978 0.23298 Inflación 1 0.19802 1.9014 0.059267 Inflación 2 0.44744 4.0421 8.62E-01 Inflación 3 0.1614 1.4831 0.14024 Inflación 4 0.060141 0.5654 0.57266 Tasas 1 0.073704 2.2218 0.027871 Tasas 2 -0.058485 -1.5503 0.12329 Tasas 3 -0.015989 -0.4292 0.66841 Tasas 4 0.014494 0.4293 0.66833 Constante - -0.12292 -0.8772 0.38184 37 variable dependiente Tasas R2 0.87065 N◦ de variables 13 N◦ de observaciones 156 Variable Rezago coef. t-estadı́stico p-valor Producto 1 0.46014 3.43640 0.00077212 Producto 2 0.043298 0.31573 0.75267 Producto 3 0.12222 0.86625 0.3878 Producto 4 0.1396 1.08150 0.28128 Inflación 1 0.12544 0.41991 0.67518 Inflación 2 0.040989 0.12909 0.89747 Inflación 3 0.66641 2.13480 0.034481 Inflación 4 -0.036702 -0.12030 0.90442 Tasas 1 0.65945 6.93010 1.33E-06 Tasas 2 0.11258 1.04040 0.29993 Tasas 3 0.11677 1.09280 0.27633 Tasas 4 -0.076063 -0.78549 0.43347 Constante - -0.19926 -0.49572 0.62085 Al comparar los coeficientes estimados mediante el BVAR de Litterman, BVAR Schorfheide con los coeficientes del VAR, se observa que son similares, además, los coeficientes de las variables diferentes a la variable dependiente son cercanos a cero. Por otra parte, el coeficiente de determinación R2 siempre es mayor en el modelo VAR. 3.1.2.4. Desempeño predictivo de los modelos En está sección se presenta la comparación del desempeño predictivo de los modelos VAR frecuentista, BVAR de Del Negro y Schorfheide y el BVAR de Litterman, a diferentes horizontes para el producto, inflación y tasas de interés, para el caso de la data de EEUU usando el error 38 medio cuadrático (emc). Por otra parte, es importante destacar cual es el valor de λ que se emplea, para ello, veamos la siguiente tabla, Modelos λ Media Armónica Modelo 1 0.2 2.8267 × 10−28 Modelo 2 0.4 5.7061 × 10−21 Modelo 3 0.3 1.167 × 10−22 Modelo 4 0.25 1.8307 × 10−23 Modelo 5 0.45 3.9373 × 10−24 Modelo 6 0.5 1.4738 × 10−24 Al aplicar la media armónica a los seis modelos mostrados anteriormente se obtuvo que el λ con mayor densidad en la data es λ = 0.4. Producción (PIB) Antes de presentar las predicciones, veamos el gráfico de los datos reales de la variable producción. 39 El siguiente gráfico se muestran las predicciones realizadas al producto. En la gráfica anterior se observa que: 1. El comportamiento del VAR frecuentista es similar al BVAR de Litterman. 2. Los tres modelos no logran capturar la tendencia de la serie observada, sin embargo, el modelo BVAR Schorfheide se aproxima a la observación a dos pasos. En la siguiente tabla se presenta los emc a diferentes horizontes de predicción para el BVAR de Schorfheide, BVAR Litterman y VAR frecuentista. 40 Pasos BVAR Schorfheide BVAR Litterman VAR Frecuentista 1 0.734399 0.567623587 0.591989082 2 0.014556 0.12058251 0.125575827 3 0.062555 0.006014977 0.005155639 4 0.090359 0.19631715 0.191371402 5 0.037547 0.107933904 0.107561869 6 0.119836 0.221489736 0.221988793 7 0.170848 0.270977765 0.271498994 8 0.071334 0.134388875 0.134376422 En las siguientes tablas se presentan una comparación, especı́ficamente en el porcentaje de mejora a cada paso entre el BVAR Schorfheide - BVAR Litterman y BVAR Schorfheide - VAR frecuentista. BVAR Schorfheide BVAR Litterman Mejoras 0.7344 0.5676 -29 % 0.0146 0.1206 88 % 0.0626 0.0060 -940 % 0.0904 0.1963 54 % 0.0375 0.1079 65 % 0.1198 0.2215 46 % 0.1708 0.2710 37 % 0.0713 0.1344 47 % 41 BVAR Schorfheide VAR Frecuentista Mejoras 0.73439942 0.591989082 -24 % 0.014555998 0.125575827 88 % 0.062555456 0.005155639 -1113 % 0.090359311 0.191371402 53 % 0.037547393 0.107561869 65 % 0.119835507 0.221988793 46 % 0.170847629 0.271498994 37 % 0.071334315 0.134376422 47 % Observamos en las tablas anteriores que el modelo que minimiza el emc es el BVAR de Schorfheide, especificamente seis pasos mejora con respecto al BVAR Litterman y el VAR Frecuentista. Precios El gráfico muestra los datos reales para los precios. 42 Inflación El siguiente gráfico se muestran las predicciones realizadas a la inflación versus las observaciones. Con respecto al gráfico anterior es importante señalar varios aspectos. 1. Al igual que en el gráfico de la producción el comportamiento del VAR frecuentista es similar al BVAR bayesiano. 2. El modelo BVAR Schofheide se aproxima a las observaciones, especificamente a uno, tres y cinco pasos. En la siguiente tabla se presenta los emc a diferentes horizontes de predicción para el BVAR de Schorfheide, BVAR Litterman y VAR frecuentista. 43 Pasos BVAR Schorfheide BVAR Litterman VAR Frecuentista 1 0.000662 0.003341218 0.002023071 2 0.079766 0.050937133 0.051826581 3 0.000333 0.002429984 0.00173032 4 0.004529 0.000161226 0.000052 5 0.000099 0.003068368 0.00293295 6 0.016443 0.002464544 0.002837716 7 0.000087 0.006535544 0.006866534 8 0.035284 0.08130212 0.08098023 En la tabla anterior observamos el modelo BVAR Schorfheide en cinco pasos minimiza el emc, por su parte el BVAR Litterman lo minimiza en dos pasos, sin embargo, de manera global el BVAR Schorfheide es el modelo que minimiza el emc. En las siguientes tablas se presentan una comparación especı́ficamente en el porcentaje de mejora entre el BVAR Schorfheide - BVAR Litterman y BVAR Schorfheide - VAR Frecuentista. BVAR Schorfheide BVAR Litterman Mejoras 0.0007 0.0033 80 % 0.0798 0.0509 -57 % 0.0003 0.0024 86 % 0.0045 0.0002 -2709 % 0.0001 0.0031 97 % 0.0164 0.0025 -567 % 0.0001 0.0065 99 % 0.0353 0.0813 57 % 44 BVAR Schorfheide VAR Frecuentista Mejoras 0.0007 0.0020 67 % 0.0798 0.0518 -54 % 0.0003 0.0017 81 % 0.0045 0.0001 -8679 % 0.0001 0.0029 97 % 0.0164 0.0028 -479 % 0.0001 0.0069 99 % 0.0353 0.0810 56 % Observamos en las tablas anteriores que el modelo que minimiza el emc es el BVAR de Schorfheide, especificamente cinco pasos mejora con respecto al BVAR Litterman y el VAR Frecuentista. Tasas de Interés Antes de presentar las predicciones, veamos el gráfico de los datos reales de la variable tasas de interés. El siguiente gráfico se muestran las predicciones realizadas a las tasas de interés, versus las 45 observaciones. Con referencia al gráfico anterior es importante señalar varios puntos. 1. Al igual que en el gráfico de la producción el comportamiento del var frecuentista es similar al BVAR bayesiano 2. El modelo de BVAR Schofheide se aproxima a las observaciones especificamente los dos primeros pasos. En la siguiente tabla se presenta los emc a diferentes horizontes de predicción para el BVAR de Schorfheide, BVAR Litterman y VAR frecuentista 46 Pasos BVAR Schorfheide BVAR Litterman VAR Frecuentista 1 0.031465 0.212584102 0.270593176 2 0.082361 0.149846416 0.149795456 3 0.272058 0.282520389 0.278946746 4 0.461856 0.49866035 0.504386599 5 0.391461 0.30846908 0.304454886 6 0.127662 0.061641076 0.065554345 7 0.010969 0.067143841 0.067411344 8 0.198480 0.418770352 0.418999574 En la tabla anterior observamos el modelo BVAR Schorfheide en seis pasos minimiza el emc, por su parte el BVAR Litterman lo minimiza en un paso al igual que el var frecuentista, sin embargo, de manera global el BVAR Schorfheide es el modelo que minimiza el emc. En las siguientes tablas se presentan una comparación especı́ficamente en el porcentaje de mejora entre el BVAR Schorfheide - BVAR Litterman y BVAR Schorfheide - VAR Frecuentista. BVAR Schorfheide BVAR Litterman Mejoras 0.0315 0.2126 85 % 0.0824 0.1498 45 % 0.2721 0.2825 4% 0.4619 0.4987 7% 0.3915 0.3085 -27 % 0.1277 0.0616 -107 % 0.0110 0.0671 84 % 0.1985 0.4188 53 % 47 BVAR Schorfheide VAR Frecuentista Mejoras 0.0315 0.2706 88 % 0.0824 0.1498 45 % 0.2721 0.2789 2% 0.4619 0.5044 8% 0.3915 0.3045 -29 % 0.1277 0.0656 -95 % 0.0110 0.0674 84 % 0.1985 0.4190 53 % Observamos en las tablas anteriores que el modelo que minimiza el emc es el BVAR de Schorfheide, especificamente seis pasos de mejora con respecto al BVAR Litterman y el VAR Frecuentista. En general, al realizar las predicciones a diferentes pasos para cada uno de los modelos, se observa que el modelo que minimiza el emc es el BVAR Schorfheide, es decir, tiene un buen desempeño predictivo. 3.1.3. Data Venezolana Para la data de Venezuela, se disponen de datos trimestrales desde el segundo trimestre del año 1985 hasta junio del año 2008, con un total de 93 observaciones. Los modelos serán estimados tomando en consideración los datos hasta el año 2006 y se realizarán predicciones hasta el año 2008. 3.1.3.1. Implementación del Modelo VAR reducido Veamos la estimación del modelo para el caso Venezolano. 48 variable dependiente Producto R2 0.4559 N◦ de variables 13 N◦ de observaciones 81 Variable Rezago coef. t-estadı́stico p-valor Producto 1 -0.345324301 -3.287647 0.001601151 Producto 2 -0.237521972 -2.079006 0.041391476 Producto 3 -0.140157595 -1.223920 0.225206339 Producto 4 0.479515514 4.387339 4.09294E-05 Inflación 1 -0.160124003 -0.878792 0.382608952 Inflación 2 -0.099381456 -0.452355 0.652453252 Inflación 3 0.163314324 0.746654 0.457846201 Inflación 4 0.140571857 0.791323 0.431506914 Tasas 1 -0.031436504 -1.254754 0.213863594 Tasas 2 0.016679081 0.492220 0.624149387 Tasas 3 -0.036612555 -1.082001 0.283074164 Tasas 4 0.037937437 1.527385 0.131303573 Constante - 0.044432976 1.132315 0.26147901 49 variable dependiente Inflación R2 0.5655 N◦ de variables 13 N◦ de observaciones 81 Variable Rezago coef. t-estadı́stico p-valor Producto 1 -0.052385691 -0.7363578 0.464045752 Producto 2 0.089125515 1.1517870 0.253442143 Producto 3 0.051830948 0.6682572 0.506231497 Producto 4 0.014115307 0.1906808 0.849343795 Inflación 1 0.773191831 6.2652010 2.90808E-08 Inflación 2 0.067687438 0.4548833 0.650642122 Inflación 3 -0.337402002 -2.2775140 0.025904889 Inflación 4 0.214706355 1.7845090 0.078801769 Tasas 1 -0.006739948 -0.3971907 0.692470829 Tasas 2 0.015730152 0.6853905 0.495427508 Tasas 3 -0.007355114 -0.3209262 0.749250536 Tasas 4 0.002812446 0.1671795 0.867724996 Constante - 0.007549391 0.2840481 0.777236619 50 3.1.3.2. variable dependiente Tasas R2 0.8031 N◦ de variables 13 N◦ de observaciones 81 Variable Rezago coef. t-estadı́stico p-valor Producto 1 0.67736638 1.2817460 0.204284944 Producto 2 0.491058405 0.8542900 0.395943973 Producto 3 0.526337766 0.9135264 0.364193494 Producto 4 0.621808369 1.1307730 0.262123182 Inflación 1 0.75129045 0.8195165 0.415354957 Inflación 2 -0.199844244 -0.1807947 0.85706649 Inflación 3 -0.279196644 -0.2537030 0.800490534 Inflación 4 0.142560255 0.1595050 0.873743851 Tasas 1 0.894987695 7.1000540 9.36516E-10 Tasas 2 0.170577342 1.0005260 0.320602942 Tasas 3 -0.171163425 -1.0053770 0.318279638 Tasas 4 -0.030113533 -0.2409698 0.810303605 Constante - 0.365450717 1.8510190 0.068510093 Implementación del Modelo BVAR Litterman Al igual que en la sección 1.3 los hiperparámetros con los cuales se realizó la estimación del modelo son los siguientes: θ = 0.1 0 θ1 = 1 θ = 0.5 2 En las siguientes tablas se presenta el ajuste realizado para cada ecuación del modelo. 51 variable dependiente Producción R2 0.4413 N◦ de variables 13 N◦ de observaciones 81 Variable Rezago coef. t-estadı́stico p-valor Producto 1 -0.342109241 -3.597651 0.000554435 Producto 2 -0.229369457 -2.288275 0.024760798 Producto 3 -0.137735751 -1.425104 0.158017126 Producto 4 0.392721966 4.401738 3.28731E-05 Inflación 1 -0.162423969 -1.056361 0.29398302 Inflación 2 -0.018592859 -0.114112 0.909435248 Inflación 3 0.075671465 0.554384 0.580862769 Inflación 4 0.108192671 0.983451 0.328350461 Tasas 1 -0.031645483 -1.546841 0.12584854 Tasas 2 0.007569638 0.315719 0.753038118 Tasas 3 -0.006790929 -0.351990 0.725771591 Tasas 4 0.015794021 1.087369 0.280138821 Constante - 0.052927033 1.501483 0.137167671 52 variable dependiente Inflación R2 0.5618 N◦ de variables 13 N◦ de observaciones 81 Variable Rezago coef. t-estadı́stico p-valor Producto 1 -0.06381846 -1.053049 0.295488808 Producto 2 0.065695993 1.089970 0.278998832 Producto 3 0.030191235 0.556111 0.579686768 Producto 4 0.0047815 0.100567 0.92014585 Inflación 1 0.759526448 6.950432 8.83405E-10 Inflación 2 0.048365742 0.385262 0.701065993 Inflación 3 -0.265480548 -2.287563 0.024804291 Inflación 4 0.157041876 1.647267 0.1034258 Tasas 1 -0.004060343 -0.295156 0.768639398 Tasas 2 0.009262123 0.574209 0.567437465 Tasas 3 -0.003300319 -0.253873 0.800245004 Tasas 4 0.002159503 0.220419 0.826106205 Constante - 0.010498942 0.451940 0.652535264 53 3.1.3.3. variable dependiente Tasas R2 0.8014 N◦ de variables 13 N◦ de observaciones 81 Variable Rezago coef. t-estadı́stico p-valor Producto 1 0.484539905 1.0755170 0.285376181 Producto 2 0.24702824 0.5501002 0.583783312 Producto 3 0.251031137 0.6236147 0.534654722 Producto 4 0.283855745 0.8058494 0.422718602 Inflación 1 0.636589807 0.8271389 0.41061874 Inflación 2 -0.16273467 -0.1995899 0.842307753 Inflación 3 -0.239982234 -0.3518998 0.725838669 Inflación 4 0.053412309 0.0970557 0.922924888 Tasas 1 0.911513476 8.1853300 3.503E-12 Tasas 2 0.122797018 0.8590709 0.392868257 Tasas 3 -0.141019026 -1.0901780 0.278907509 Tasas 4 -0.037382014 -0.3905061 0.697200238 Constante - 0.40626412 2.3218120 0.022787594 Implementación del Modelo BVAR Schorfheide En está sección se implementa un BVAR Schorfheide. En las siguientes tablas se presenta el ajuste realizado para cada ecuación del modelo. 54 variable dependiente Producto R2 0.080074 N◦ de variables 13 N◦ de observaciones 81 Variable Rezago coef. Producto 1 0.095605 0.7000 0.48631 Producto 2 0.12175 0.8196 0.41531 Producto 3 -0.21602 -1.4507 0.15145 Producto 4 0.22481 1.5819 0.11832 Inflación 1 0.034204 0.1444 0.88564 Inflación 2 -0.1579 -0.5528 0.58224 Inflación 3 -0.058073 -0.2042 0.83882 Inflación 4 0.026018 0.1126 0.91065 Tasas 1 -0.027573 -0.8464 0.40029 Tasas 2 0.016019 0.3636 0.7173 Tasas 3 0.012302 0.2796 0.78063 Tasas 4 0.0055497 0.1718 0.86408 Constante - -0.003175 -0.0622 0.95057 55 t-estadı́stico p-valor variable dependiente Inflación R2 0.24824 N◦ de variables 13 N◦ de observaciones 81 Variable Rezago coef. t-estadı́stico p-valor Producto 1 -0.038998 -0.4167 0.67818 Producto 2 -0.021113 -0.2074 0.83629 Producto 3 0.2849 2.7925 6.78E-03 Producto 4 0.10388 1.0668 0.28982 Inflación 1 0.041723 0.2570 0.79794 Inflación 2 0.37832 1.9329 5.74E-02 Inflación 3 -0.023907 -0.1227 0.90272 Inflación 4 0.0045967 0.0290 0.97691 Tasas 1 0.021189 0.9493 0.34584 Tasas 2 -0.012216 -0.4047 0.687 Tasas 3 -0.0030485 -0.1011 0.91975 Tasas 4 0.0097966 0.4427 0.65938 Constante - -0.0036968 -0.1057 0.9161 56 variable dependiente Tasas R2 .72495 N◦ de variables 13 N◦ de observaciones 81 Variable Rezago coef. t-estadı́stico p-valor Producto 1 1.1156 1.78620 0.07853 Producto 2 -0.019916 -0.02932 0.9767 Producto 3 10,533 1.54680 0.12656 Producto 4 0.60615 0.93267 0.35429 Inflación 1 -0.048844 -0.04508 0.96417 Inflación 2 -0.34139 -0.26132 0.79463 Inflación 3 -0.13005 -0.09999 0.92065 Inflación 4 0.010546 0.00998 0.99206 Tasas 1 0.76784 5.15400 2.38E-02 Tasas 2 0.052529 0.26070 0.79511 Tasas 3 0.070731 0.35153 0.72628 Tasas 4 0.11791 0.79835 0.42745 Constante - -0.054948 -0.23549 0.81454 Al efectuar la comparación de los coeficientes estimados mediante el BVAR de Litterman, BVAR Shorfheide, con los coeficientes del VAR, se observa que son similares, además, los coeficientes de las variables diferentes a la variable dependiente son cercanos a cero. Por otra parte, el coeficiente de determinación R2 siempre es mayor en el modelo VAR. 3.1.3.4. Desempeño predictivo de los modelos En está sección se presentará las diferencias en cuanto al desempeño predictivo de los modelos var frecuentistas, BVAR y BVAR (Litterman), a diferentes horizontes para el producto, inflación y tasas de interés, para la de Venezuela. Esta comparación se hará haciendo énfasis en el error cuadrático medio (ecm). 57 Por otra parte, es importante señalar los valores de λ que se emplean para cada variable estudiada producción, inflación y tasas, especı́ficamente λ = 0.09, λ = 0.024 y λ = 2.8 respectivamente. Producción (PIB) Antes de presentar las predicciones, veamos el gráfico de los datos reales de la variable producción. El siguiente gráfico se muestran las predicciones realizadas al producto versus las observaciones. 58 Con respecto a la gráfica anterior se señalara varias cosas. 1. Las predicción de los tres modelos captura la tendencia de la serie observada, sin embargo, no logran capturar la magnitud de los picos, salvo la predicción a cuatro pasos en la que los tres modelos se aproximan a la observación. En la siguiente tabla se presenta los emc a diferentes horizontes de predicción para el BVAR de Schorfheide, BVAR Litterman y VAR frecuentista. Pasos BVAR Schorfheide BVAR Litterman VAR Frecuentista 1 0.002790683 0.000822775 0.000815536 2 0.000532552 0.001387553 0.001287144 3 0.001579257 0.001338943 0.000881544 4 0.000130717 6.00641E-05 3.07644E-05 5 0.001093866 0.000563709 0.000580148 6 0.000443967 0.000774388 0.000759604 7 0.002330535 0.002245457 0.001805203 8 0.000390152 0.000312869 0.000215717 59 En las siguientes tablas se presentan una comparación especı́ficamente en el porcentaje de mejora entre el BVAR Schorfheide - BVAR Litterman y BVAR Schorfheide - Var Frecuentista. BVAR Schorfheide BVAR Litterman Mejoras 0.002790683 0.000822775 -239 % 0.000532552 0.001387553 62 % 0.001579257 0.001338943 -18 % 0.000130717 0.000060064096435 -118 % 0.001093866 0.000563709 -94 % 0.000443967 0.000774388 43 % 0.002330535 0.002245457 -4 % 0.000390152 0.000312869 -25 % BVAR Schorfheide VAR Frecuentista Mejoras 0.002790683 0.000815536 -242 % 0.000532552 0.001287144 59 % 0.001579257 0.000881544 -79 % 0.000130717 0.000030764362710 -325 % 0.001093866 0.000580148 -89 % 0.000443967 0.000759604 42 % 0.002330535 0.001805203 -29 % 0.000390152 0.000215717 -81 % Observamos en las tablas anteriores que el modelo que minimiza el EMC es el VAR Frecuentista. El modelo BVAR Schorfheide no tiene un buen desempeño predictivo. 60 Precios El gráfico muestra los datos reales para los precios. Inflación El siguiente gráfico se muestran las predicciones realizadas a la inflación versus las observaciones. Con respecto a la gráfica anterior se señalara varias cosas. 61 1. El comportamiento del VAR frecuentista tiene un comportamiento análogo al BVAR bayesiano. 2. El modelo BVAR Schorfheide se aproxima a las observaciones especificamente a uno y a dos pasos. En la siguiente tabla se presenta los emc a diferentes horizontes de predicción para el BVAR de Schorfheide, BVAR Litterman y VAR frecuentista. Pasos BVAR Schorfheide BVAR Litterman VAR Frecuentista 1 0.000132466 0.000511253 0.000556081 2 1.12312E-05 0.000119504 0.00010753 3 0.000280285 0.00029206 0.000258868 4 4.41302E-05 8.27899E-05 8.50407E-05 5 0.000298335 0.000210023 0.000178373 6 0.000254682 0.000193322 0.000218064 7 2.98326E-05 2.50044E-05 3.70985E-05 8 7.48786E-06 1.11808E-07 2.05384E-07 En las siguientes tablas se presentan una comparación especı́ficamente en el porcentaje de mejora entre el BVAR Schorfheide - BVAR Litterman y BVAR Schorfheide - VAR Frecuentista. 62 BVAR Schorfheide BVAR Litterman Mejoras 0.000132466 0.000511253 74 % 0.00001123116482 0.000119504 91 % 0.000280285 0.00029206 4% 0.000044130196188 0.000082789927093 47 % 0.000298335 0.000210023 -42 % 0.000254682 0.000193322 -32 % 0.00002983258903 0.000025004437030 -19 % 0.00000748786005 0.00000011180835 -6597 % BVAR Schorfheide VAR Frecuentista Mejoras 0.000132466 0.000556081 76.18 % 0.000011231164821 0.00010753 89.56 % 0.000280285 0.000258868 -8.27 % 0.000044130196188 0.000085040744917 48.11 % 0.000298335 0.000178373 -67.25 % 0.000254682 0.000218064 -16.79 % 0.00002983258903 0.000037098509114 19.59 % 0.00000748786005 0.000000205384118 -3545.78 % En las tablas anteriores observamos que el modelo BVAR Schorfheide al igual que el VAR frecuentista minimiza el emc en cuatro pasos. 63 Tasas de Interés Antes de presentar las predicciones, veamos el gráfico de los datos reales de la variable tasas de interés. El siguiente gráfico se muestran las predicciones realizadas a las tasas de interés versus las observaciones. 64 Con respecto al gráfico es importante señalar varios aspectos. 1. Al igual que la variable inflación el comportamiento del var frecuentista tiene un comportamiento análogo al BVAR bayesiano. 2. El modelo BVAR Schorfheide se aproxima a las observaciones especificamente a dos, a tres y cuatro pasos. En la siguiente tabla se presenta los emc a diferentes horizontes de predicción para el BVAR de Schorfheide, BVAR Litterman y VAR frecuentista. Pasos BVAR Schorfheide BVAR Litterman VAR Frecuentista 1 0.014753551 0.009776647 0.011169841 2 0.019278642 0.023830927 0.025326173 3 0.022126834 0.031663189 0.029906861 4 0.024469374 0.037530727 0.036952769 5 0.019174829 0.030041389 0.028888061 6 0.018270548 0.031139086 0.028944256 7 0.00235321 0.008028705 0.005971765 8 0.000949434 0.000150039 1.20069E-06 En la tabla anterior observamos que que el modelo BVAR Schorfheide minimiza el emc en seis pasos. En las siguientes tablas se presentan una comparación especı́ficamente en el porcentaje de mejora entre el BVAR Schorfheide - BVAR Litterman y BVAR Schorfheide - VAR Frecuentista. 65 BVAR Schorfheide BVAR Litterman Mejoras 0.014753551 0.009776647 -51 % 0.019278642 0.023830927 19 % 0.022126834 0.031663189 30 % 0.024469374 0.037530727 35 % 0.019174829 0.030041389 36 % 0.018270548 0.031139086 41 % 0.00235321 0.008028705 71 % 0.000949434 0.000150039 -533 % BVAR Schorfheide VAR Frecuentista Mejoras 0.014753551 0.011169841 -32 % 0.019278642 0.025326173 24 % 0.022126834 0.029906861 26 % 0.024469374 0.036952769 34 % 0.019174829 0.028888061 34 % 0.018270548 0.028944256 37 % 0.00235321 0.005971765 61 % 0.000949434 0.000001200687627 -78974 % Observamos en las dos tablas anteriores que el modelo BVAR Schorfheide tiene una mejora en seis pasos con respecto al BVAR Litterman y el VAR Frecuentista. En general, al realizar las predicciones a diferentes pasos para cada uno de los modelos, se observa que el modelo BVAR Schorfheide no tiene un buen desempeño predictivo en comparación a los otros modelos y esto se evidencia en los errores medio cuadrático. 66 Consideraciones Finales En los resultados de la implementación de los tres modelos, se tiene que para el caso de la data de EEUU, el modelo BVAR Schorfheide tiene un buen desempeño predictivo en contraste con el BVAR de Litterman y el VAR frecuentista. Sin embargo, para la data Venezolana no ocurre de forma similar y esto se evidenció cuando se determinó el error medio cuadrático (emc) a diferentes pasos para cada modelo estudiado. El modelo estocástico de equilibro general (MEEG) considerado en este trabajo no es adecuado para la economı́a Venezolana, una de las posibles causas, es porque se trabaja con un modelo pequeño (tiene tres variables, con tres shocks), además, al observar los gráficos de las variables reales, se puede evidenciar que el comportamiento de la economı́a en Venezuela es muy diferente a la economı́a de EEUU. Por ello el MEEG que se debe implementar debe estar adaptado a las caracterı́sticas propias de la economı́a de Venezuela, en este sentido para explicar mejor la economı́a será necesario incluir más variables que no han sido estudiadas en este trabajo. 67 Referencias [1] F.C. Ballabriga, A. González, L. Julián, and J. Jareño Morago. Un modelo macroeconómico Bvar para la economı́a española: metodologı́a y resultados. Estudios económicos, ISSN 0213, 2699(64):1–125, 1998. [2] D. Barráez, Bolı́var W., and Cartaya V. Métodos Bayesianos para la predicción de variables macroeconómicas en Venezuela. Revista BCV, XXII(2):146–168, 2008. [3] W. Bolı́var. Predicción de variables macroeconómicas mediante VAR bayesianos: una aplicación al caso venezolano. Tesis de Maestrı́a, Postgrado en Modelos Aleatorios,Universidad Central de Venezuela, 2007. [4] M. Del Negro and F. Schorfheide. Priors from General Equilibrium Models for VARS. International Economic Review, 45(2):643–673, 2004. [5] T. Doan, R. Litterman, and C. Sims. Forecasting and conditional projection using realistic prior distributions. Federal Reserve Bank of Minneapolis, report 93, 1986. [6] A. Gelfand and D. Dey. Bayesian Model Choice: Asymptotics and Exact Calculations. Journal of the Royal Statistical Society Series B, 5(56):501–514, 1994. [7] J. Geweke. Using simulation methods for bayesian econometric models: inference, development, and communication. Technical report, 1998. [8] R.B. Litterman. Techniques of Forecasting Using Vector Autoregressions. 1981. [9] H. Lütkepohl. New Introduction to Multiple Time Series Analysis. Springer, 2005. 68 [10] N. Metropolis and S. Ulam. The Monte Carlo method. Journal of the American Statistical Association, 44(247):335–41, 1949. [11] C. Sims. Macroeconomics and Reality. Econometrica, 48(1), 1980. [12] C. Sims. Solving Linear Rational Expectations Models. Computational Economics, 20(1):1– 20, 2002. [13] A. Zellner. An Introduction to Bayesian Inference in Econometrics. New York, John Wiley y Sons, 1971. 69 Apéndice A Algoritmo de C. Sims El algoritmo de Sims [12] presenta una solución robusta en términos computacionales para los modelos lineales con expectativas racionales, basados en la descomposición de Schur. Cualquier modelo con expectativas racionales, sea discreto o continuo puede ser resuelto empleando este algoritmo. El modelo tiene la siguiente forma, Γ0 y(t) = Γ1 y(t − 1) + C + Ψz(t) + Πη(t), con t = 1, ..., T , C es un vector de constantes, z(t) es la variable exógena, η(t) es el error de expectativas que sastisface Et [η(t + 1)] = 0 En el caso de este trabajo el sistema de expectativas racionales está dado por las ecuaciones (1.11), (1.13), (1.15) - (1.17) (presentadas en el capı́tulo I). Este sistema de ecuaciones puede ser reescrito como, Γ0 (θ)st = Γ1 (θ)st−1 + C + Ψ(θ)zt + Π(θ)ηt , donde, et , R∗ , get , zet , E[e s0t = (e xt , π et , R xt+1 ], E[e πt+1 ]). 0t = (R,t , g,t , z,t ). ηt0 = (e xt − Et−1 (e xt ), π et − Et−1 (e πt )). Las matrices están dadas por, 70 1 0 −κ 1 0 0 −ψ2 −ψ1 Γ0 = 0 0 0 0 1 0 0 1 Γ1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/τ −(1 − ρg ) −ρz /τ −1 −1/τ 0 0 0 κ 0 0 1 −(1 − ρR ) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ρR 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ρg 0 0 0 0 0 0 0 0 ρz 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 , C= 0 0 0 0 0 0 0 0 , Ψ= 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 −β 0 0 , 0 0 0 0 , Π= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 . Al resolver el sistema por medio del algoritmo de Sims, nos conduce a la ecuación de transición (2.16) expuesta en el capı́tulo III, st = T (θ)st−1 + R(θ)t , (A.1) La ecuación de medida de (2.17) puede escribirse de forma apilada de la siguiente forma, yt = Z(θ)st + D(θ) + νt . (A.2) En la implementación νt es cero. Las matrices T y R son obtenidas por medio del algoritmo de Sims, el vector de espacios de estados es aumentado con “e xt−1 ”, es decir, et , R∗ , get , zet , E[e s0t = (e xt , π et , R xt+1 ], E[e πt+1 ], x et−1 ). 71 y las matrices Z, D son de la siguiente forma, 1 0 0 0 0 1 0 0 1 Z = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 4 0 0 0 0 0 0 lnγ D = lnπ ∗ 4lnR∗ , donde, lnR∗ = lnr∗ + lnπ ∗ Verifiquemos que yt = Z(θ)st + D(θ) es igual a las ecuaciones (1.18). x et π et e Rt R∗ lnγ ∆lnXt 1 0 0 0 0 1 0 0 1 + lnπ ∗ ∆lnPt = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 × get a 4lnR∗ lnRt 0 0 4 0 0 0 0 0 0 zet E[e xt+1 ] E[e πt+1 ] x et−1 ∆lnXt lnγ + ∆e xt + zet ∆lnPt = lnπ ∗ + π et et + lnr∗ + lnπ ∗ ] lnRta 4[R . Observamos que la ecuación (A.3), es igual a la ecuación (1.18). 72 (A.3) Apéndice B Programas en matlab Para implementar el modelo BVAR del Negro y Shorfheide [4], se realizaron un conjunto de programas en MATLAB1 versión 7.0. Estos programas realizan lo siguiente: procesamiento de los datos, implementación del modelo, densidad a priori, cálculo de la verosimilitud y la densidad a posteriori. Además, se realizan predicciones y se comparan el desempeño de los modelos. Se describirá a continuación los programas. 1. procesamiento data.m Lee los datos desde Excel (con el comando “xslread”) y los procesa para introducirlos en el modelo. Las salidas están dadas de la siguiente manera: Salida de la función ∆lnXt Primera diferencia del Producto ∆lnPt Primera diferencia de los Precios lnRta Logaritmo de las Tasas Anualizadas 2. modelo.m Función donde está el vector de parámetros del MEEG y las matrices provenientes del sistema de expectativas racionales dado por las ecuaciones (1.11), (1.13), (1.15) - (1.17) 3. priori.m Donde está la densidad a priori de los parámetros 4. verosimilitud.m Calcula la función de verosimilitud 1 c Matlab 1984-2008 es marca registrada de MathWorks, Inc. 73 5. posterior.m Calcula la densidad posterior de los parámetros. 6. fgeweke.m función propuesta por Geweke [7] para calcular la función de verosimilitud marginal. 7. marginalmodificado.m Calcula el tamaño de λ para el cual tiene la mayor densidad de los datos. Para ello utilizamos fgeweke.m 8. prediccionpib.m Realiza la predicción del producto para los tres modelos (BVAR Schorfheide, BVAR Litterman, VAR frecuentista) 9. prediccioninflacion.m Realiza la predicción de la inflación para los tres modelos 10. predicciontasas.m Realiza la predicción de las tasas para los tres modelos Para las funciones prediccionpib, prediccióninflacion y predicciontasas sus entradas y salidas son las siguientes: Entrada de la función datos Observaciones con las cuales se estima el modelo nfor Horizonte de predicción nlag Número de rezagos del modelo lambda El valor de λ nobs Número de observaciones del modelo Salida de la función fcasts Predicción emc El Error Medio Cuadrático 74 Apéndice C Gráficos de las Simulaciones C.1. Data EEUU Figura C.1: Simulaciones de los parámetros 1 (data EEUU) 75 Figura C.2: Simulaciones de los parámetros 2 (data EEUU) 76 Figura C.3: Simulaciones de las autocorrelaciones (data EEUU) 77 Figura C.4: Simulaciones de los shocks (data EEUU) C.2. Data Venezolana 78 Figura C.5: Simulaciones de los parámetros 1(data Venezolana) 79 Figura C.6: Simulaciones de los parámetros 2 (data Venezolana) Figura C.7: Simulaciones de las autocorrelaciones (data Venezolana) 80 Figura C.8: Simulaciones de los shocks (data Venezolana) 81