tema 2: números enteros

TEMA 2: NÚMEROS
ENTEROS
1º ESO. MATEMÁTICAS
¿Por qué aparecen los números enteros?
¿Por qué aparecen los números enteros?
La cueva de Voronia, es la cueva
conocida más profunda de la Tierra,
localizada en el Cáucaso occidental.
La recta numérica
−4 −3 −2 −1
0
1 unidad hacia la izquierda
+1 +2 +3 +4
1 unidad hacia la derecha
Valor absoluto de número entero
DEFINICIÓN
•  Valor absoluto de un número: “El valor absoluto de un
número entero es la distancia en la recta numérica de ese
número al cero.”
0
−6
6 unidades de distancia
−6 = 6
EJERCICIO
Calcula el valor absoluto de los números marcados en la
recta numérica.
0
−7
0
−1 0
+6
+2
+4
+5
Opuesto de número entero
DEFINICIÓN
•  Opuesto de un número entero: “El opuesto de un número
entero es otro número entero con el mismo valor absoluto
y distinto signo”.
0
−6
6 unidades de distancia
−6 = +6
+6
6 unidades de distancia
+6 = +6
De forma práctica: dos números son opuestos si cuando los representamos en
la recta numérica están a la misma distancia del cero.
EJERCICIO
EJERCICIO
*Página 29. Ejercicio 4
Representa en una recta los siguientes números.
*Página 29. Ejercicio 5
¿Qué números están representados en esta recta? ¿Cuál es
su valor absoluto? ¿Y su opuesto?
EJERCICIO
EJERCICIO
*Página 29. Ejercicio 6
Calcula el valor absoluto de estos números.
*Página 29. Ejercicio 7
Halla el opuesto de cada uno de los siguientes números.
Comparación de números enteros
•  Un número es mayor que otro si al representarlo en la
recta numérica se encuentra a su derecha
EJERCICIO
¿Cuál es mayor, +7 o +2?
¿Cuál es mayor, -6 o -4?
−6
−4
0
+2
+7
Comparación de números enteros
•  “Un número es mayor que otro si al representarlo en la
recta numérica se encuentra a su derecha”
EJEMPLO
Ordena de mayor a menos los siguientes números.
Comparación de números enteros
EJERCICIO
*Página 30. Ejercicio 10
EJERCICIO
*Página 30. Ejercicio 11
Ordena de mayor a menos los siguientes números
enteros positivos.
Ordena de mayor a menor los siguientes números
enteros negativos
Comparación de números enteros
EJERCICIO
*Página 30. Ejercicio 12
EJERCICIO
*Página 30. Ejercicio 13
Copia en tu cuaderno y completa con los signos < o >
estas expresiones.
Determina los números enteros a tales que:
Suma de enteros del mismo signo
+6
•  Para sumar enteros del mismo signo,
+5
sumamos sus valores absolutos y al
resultado le añadimos el signo de los
sumandos.
+4
+3
+2
+1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
Un ascensor en el piso -1 baja 3 pisos, se
detiene y luego baja 2 pisos más ¿En qué
piso se detiene?
(−1) + (−3) + (−2) = −6
Suma de enteros de distinto signo
•  Para sumar enteros de distinto signo, restamos sus
valores absolutos y añadimos al resultado el signo del
sumando que tiene mayor valor absoluto.
+6
+5
Un ascensor en el piso 2 baja 3 pisos ¿En
qué piso se detiene?
+4
+3
+2
+1
0
-1
-2
-3
(+2) + (−3) = −1
EJERCICIO
EJERCICIO
*Página 31. Ejercicio 17
*Página 31. Ejercicio 18
EJERCICIO
*Página 31. Ejercicio 19
Resta de números enteros
•  Para restar dos números enteros tenemos que convertir
la resta en una suma.
•  Para ello seguiremos la siguiente norma: “Un menos
delante de un número entero entre paréntesis, cambia el
signo del interior del paréntesis y deja fuera un signo +”
EJEMPLOS
−(−1) = +(+1)
−(+2) = +(−2)
Resta de números enteros
•  Cuando restemos número enteros tendremos en cuenta
la regla vista con anterioridad. De forma que
convertiremos la resta en una suma de número enteros.
EJEMPLOS
(−2) − (−1)
(+4) − (+1)
(+5) − (−1)
−(−2) − (−3)
Resta de números enteros
•  Halla el resultado de estas operaciones aplicando la regla
que hemos visto.
*Ejercicio 23
Resta y suma de enteros
Cuando los números no están separados por paréntesis
haremos la conversión añadiendo un signo + y dejando el
signo del entero.
EJEMPLOS
−2 −1 = (−2) + (−1) = −3
+4 −1 = (+4) + (−1) = +3
−5 +1 = (−5) + (+1) = −4
Multiplicación de enteros
•  Para multiplicar dos números enteros:
(−2)⋅ (+5) = − 10
2. El signo del
resultado será (+)
si tienen el mismo
signo o (-) si
tienen signo
diferente.
1. Multiplicamos sus valores
absolutos. 2x5=10
Multiplicación de enteros
REGLA DE LOS SIGNOS
El signo del resultado será (+) si tienen el mismo
signo o (-) si tienen signo diferente.
+⋅+ = +
−⋅+ = −
(+2)⋅ (+5) =
+ 10
(−2)⋅ (+5) =
− 10
+⋅− = −
(+2)⋅ (−5) =
− 10
−⋅− = +
(−2)⋅ (−5) =
+ 10
Multiplicación de números enteros
EJERCICIO
*Ejercicio 35
Calcula el resultado de estas operaciones.
EJERCICIO
*Ejercicio 36
Calcula el resultado de estas operaciones.
División de níumeros enteros
•  Para dividir dos números enteros:
(−20) : (+5) = − 4
2. El signo del
resultado será (+)
si tienen el mismo
signo o (-) si
tienen signo
diferente.
1. Dividimos sus valores
absolutos. 20:5=4
División de enteros
REGLA DE LOS SIGNOS
El signo del resultado será (+) si tienen el mismo
signo o (-) si tienen signo diferente.
+:+ = +
−:+ = −
(−20)⋅ (+5) =
+:− = −
(+20)⋅ (−5) = − 4
−:− = +
(−20)⋅ (−5) = +
(+20) : (+5) = +
4
−4
4
EJERCICIO
*Ejercicio 40
EJERCICIO
*Ejercicio 41
EJERCICIO
*Ejercicio 42
En una división exacta, el dividendo es +12, y el
cociente, –4. ¿Cuál es el divisor?
EJERCICIO
*Ejercicio 42
Escribe cada uno de estos números como cociente de
otros dos números enteros.
Propiedad distributiva
•  El producto de un número entero por una suma, es igual
a la suma de los productos de dicho número por cada
sumando.
EJEMPLO
3⋅ (4 + 2)
Aplicando la propiedad distributiva
Resolviendo el paréntesis
3⋅ (6) = 18
3⋅ 4 + 3⋅ 2 =
= 12 + 6 = 18
EXPLICACIÓN GRÁFICA
6 COLUMNAS
3⋅ (6) = 18
Resolviendo el paréntesis
4 COLUMNAS
2 COLUMNAS
3 FILAS
3⋅ 4 + 3⋅ 2 = 12 + 6 = 18
Aplicando la propiedad distributiva
EJEMPLO
Halla el resultado de dos formas distintas
3⋅ (−7 +1)
APLICANDO DISTRIBUTIVA
3⋅ (−7 +1) = 3⋅ (−7) + 3⋅ (+1) = −21+ 3 = −18
RESOLVIENDO PARÉNTESIS
3⋅ (−7 +1) = 3⋅ (−6) = −18
EJERCICIOS
Halla el resultado de dos formas distintas
APLICANDO DISTRIBUTIVA
−2 ⋅ (5 − 4) = −2 ⋅ (5) − 2 ⋅ (−4) = −10 + 8 = −2
RESOLVIENDO PARÉNTESIS
−2 ⋅ (5 − 4) = −2 ⋅ (+1) = −2
APLICANDO DISTRIBUTIVA
−2 ⋅ ((−2) − 3) = −2 ⋅ (−2) − 2 ⋅ (−3)= +4 + 6 = +10
RESOLVIENDO PARÉNTESIS
−2 ⋅ ((−2) − 3) = −2 ⋅ (−5) = +10
EJERCICIO
*Ejercicio 47
EJERCICIO
*Ejercicio 48
EJERCICIO
*Ejercicio 49
Copia en tu cuaderno y completa.
Obtén el resultado utilizando la propiedad distributiva.
Sacar factor común
•  Sacar factor común es un proceso inverso a aplicación de
la propiedad distributiva
EJEMPLO
Aplicando la propiedad distributiva
3⋅ (4 + 2)
3⋅ 4 + 3⋅ 2
Sacar factor común
3⋅ (4 + 2)
3⋅ 4 + 3⋅ 2
EJEMPLOS
Saca factor común en las siguientes
expresiones
1
−2 ⋅ (5) − 2 ⋅ (−4)
2
−2 ⋅ (−2) − 2 ⋅ (−3)
3
3⋅ (−7) + 3⋅ (+1)
EJERCICIOS
1
−10 + 8 =
2
−21+14
3
−15 − 24
Saca factor común en las siguientes
expresiones
EJERCICIOS
*Ejercicio 54
Extrae factor común en cada una de
estas operaciones y obtén el resultado.
EJERCICIOS
*Ejercicio 55
Copia en tu cuaderno y completa las siguientes
expresiones. Calcula el resultado.
EJERCICIOS
*Ejercicio 56
Extrae factor común y resuelve estas sumas.
EJERCICIOS
*Ejercicio 97
Aplica la propiedad distributiva
*Ejercicio 99
Calcula extrayendo primero factor
común.
EJERCICIOS
*Ejercicio 96
EJERCICIOS
*Ejercicio 98
EJERCICIOS
*Ejercicio 101
Extrae factor común.
Operaciones combinadas
•  Operaciones combinadas son sumas, restas,
multiplicaciones y divisiones con paréntesis y corchetes.
•  Para realizarlas seguiremos el orden siguiente:
1
Realizar las operaciones en el interior
de los paréntesis.
2
Realizar las multiplicaciones y
divisiones de izquierda a derecha.
3
Realizar las sumas y restas.
Operaciones combinadas
EJEMPLO
( 2 − 7) ⋅ 5 + 3
1
= (−5) ⋅ 5 + 3 =
2
= −25 + 3 = −22
3
1
Realizar las operaciones en el interior
de los paréntesis.
2
Realizar las multiplicaciones y
divisiones de izquierda a derecha.
3
Realizar las sumas y restas.
Operaciones combinadas
EJEMPLO
(−3− 7) : 5 − 3⋅ (−1− 2) =
1
1
Realizar las
operaciones en el
interior de los
paréntesis.
2
Realizar las
multiplicaciones y
divisiones de
izquierda a
derecha.
3
Realizar
las sumas
y restas.
= (−10) : 5 − 3⋅ (−3) =
2
= −2 + 9 = +7
3
Operaciones combinadas
EJEMPLO
3⋅ (−1+ 3) : 2 − 4 : (−2 + 4) =
1
1
Realizar las
operaciones en el
interior de los
paréntesis.
2
Realizar las
multiplicaciones y
divisiones de
izquierda a
derecha.
3
Realizar
las sumas
y restas.
= 3⋅ (+2) : 2 − 4 ⋅ (+2) =
2
= 6 : 2 − 8 = +3− 8 = −5
2
3
EJERCICIO
*Ejercicio 102
EJERCICIO
*Ejercicio 103
PROBLEMA
*Ejercicio 107
Hace dos años, una empresa obtuvo unos beneficios por
valor de 250 000 euros. El año pasado tuvo 55 000 euros
de pérdidas.
¿Cuál ha sido el resultado global de la empresa en los dos
últimos años?
PROBLEMA
*Ejercicio 109
•  Roma fue fundada en el año 753 a. C. y el final del Imperio
romano en Occidente tuvo lugar en el año 476 d. C.
•  ¿Cuántos años transcurrieron desde la fundación de Roma
hasta el final del Imperio?
PROBLEMA
*Ejercicio 113
En una estación de esquí, la temperatura desciende 2
grados cada hora a partir de las 0.00 y hasta las 8.00.¿Qué
temperatura hay a las 8.00 si a las 0.00 era de 4 ºC?
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