ondas en medios elasticos - laboratorio de física de sólidos

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR
División de Física y Matemáticas
Departamento de Física
ONDAS EN MEDIOS ELASTICOS,
ONDAS SONORAS,
ONDAS ELECTROMAGNETICAS
Física V
FS 2213
Problemario propuesto por:
Estrella Abecassis de Laredo
Alfredo Bello
Abril - Julio 2001
1-1
FS 2213,Problemario 1
Introducción y Objetivos_____________________________________________________________________________
INTRODUCCION
El curso de Física V es el último de la serie de Físicas Generales que son parte del ciclo
básico de las carreras de ingeniería de la Universidad Simón Bolívar.
El curso comprende como se ve en el programa oficial adjunto, la introducción al
concepto de ondas viajeras primero en medios elásticos como la cuerda vibrante y luego en el
aire como ondas sonoras. Se quiere que una vez entendido el concepto de perturbación que se
propaga en un medio sin deformarse el estudiante sea introducido a la idea de la sumatoria de
ondas y a la formación de ondas estacionarias. Las aplicaciones de estas ideas serán constantes a
lo largo de los estudios profesionales de las diferentes carreras de ingeniería ya que en ellas están
las semillas de la descomposición de señales en series de Fourier o las transformadas de Laplace
de tan gran uso en ingeniería eléctrica o electrónica.
Luego de pasar en revista la propagación y sumatoria de ondas se insistirá en los aspectos
de transporte de energía de una onda, en los conceptos de velocidad de fase y de grupo.
El sonido será tratado como ejemplo de ondas longitudinales y la interferencia de 2 o más
ondas sonoras también será expuesto para explicar las ondas estacionarias en tubos abiertos o
cerrados a un extremo. El efecto Doppler en el caso de ondas sonoras se explicará encontrando
las expresiones para los diferentes casos de movimientos relativos fuente sonora-observador.
Las ondas electromagnéticas como consecuencia de las ecuaciones de Maxwell serán
estudiadas a continuación, y se mostrará la correspondencia entre el campo magnético oscilante y
el campo eléctrico así como sus orientaciones respectivas con relación a la dirección de
propagación de la onda viajera. Se definirá el vector de Poynting como el flujo de energía por
unidad de tiempo a través de un área unidad perpendicular a la dirección de propagación. La
velocidad de la luz y su medición será introducida.
Se deberá hacer énfasis en las aplicaciones que se derivan de todos estos conceptos como
por ejemplo la física de los diferentes instrumentos musicales, el tono de un instrumento, las
escalas, las ondas estacionarias en los instrumentos de cuerda, de viento y de percusión.
Este problemario cubre los tres primeros temas del Programa de FS2313, hemos tratado
de agrupar los problemas más representativos de cada tema y hemos indicado las respuestas. Es
nuestro consejo que traten de resolver estos problemas a medida que se va viendo la teoría para
que al resolverlos en clase se den cuenta de cuales eran las dificultades o los errores que
cometieron. Si no intentan resolverlos por sí solos y lo hacen después de haberlos resuelto en
clase, no podrán autoevaluarse correctamente.
Buena suerte para este curso que estamos seguros les va a proporcionar conceptos, ideas y
herramientas que usarán a lo largo de su carrera y de su vida profesional.
Estrella de Laredo y Alfredo Bello
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Prof. Estrella de Laredo, Prof. Alfredo Bello
1-2
FS 2213,Problemario 1
Introducción y Objetivos_____________________________________________________________________________
OBJETIVOS
Entre los objetivos de este curso, y por ende de este problemario, que cubre los temas de Ondas en Medios
Elásticos, Ondas Sonoras y Ondas Electromagnéticas, están los siguientes:
1) Entender la onda viajera transversal como una perturbación que se propaga.
2) Saber escribir la expresión de una onda viajera armónica.
3) Manejar las correspondencias entre velocidad de propagación de una onda, longitud de onda,
frecuencia, frecuencia angular, número de ondas.
4) Entender la cuerda vibrante como ejemplo de onda viajera en un medio elástico.
5) Saber escribir la velocidad de la onda en una cuerda como solución de la ecuación de onda
6) Conocer las expresiones para la densidad de energía cinética potencial y total.
7) Conocer la expresión de la potencia disponible en una onda viajera.
8) Entender cómo la suma de dos ondas viajeras puede dar lugar a una onda estacionaria.
9) Entender el principio de superposición.
10) Dominar las diferencias entre ondas transversales en una cuerda y ondas sonoras longitudinales.
11) Poder escribir la intensidad de una onda en Db.
12) Entender el proceso de interferencia de dos ondas. Pulsaciones.
13) Conocer la posibilidad de descomponer una señal en su espectro de Fourier.
14) Conocer el origen de las ondas estacionarias sonoras en un tubo
15) Ser capaz de calcular las frecuencias de las ondas en tubos abiertos y cerrados a un extremo
16) Ser capaz de explicar cualitativamente a partir del espectro de Fourier el tono de un instrumento
musical.
17) Ser capaz de explicar cualitativamente los cambios de frecuencia que se producen al existir un
movimiento relativo fuente-sonora observador.
18) Poder calcular los cambios de frecuencia o las velocidades de desplazamiento a partir del efecto
Doppler
19) Poder diferenciar las diferentes fuentes de radiación electromagnética, Cuerpos incandescentes,
Lásers, fuentes de microondas, ondas de radio, televisión….
20) Entender las ondas electromagnéticas como solución de las ecuaciones de Maxwell
21) Ser capaz de deducir la expresión de la velocidad de la luz en el vacío.
22) Conocer la expresión del vector de Poynting
23) Entender la constancia de la velocidad de la luz en el vacío.
24) Entender la relación entre el efecto Doppler y el corrimiento hacia el rojo de los objetos luminosos del
Universo
Estos objetivos están cubiertos por la serie de problemas propuestos a continuación sobre estos
temas. Se ha tratado de proponer problemas de dificultades crecientes que ilustran los diferentes
temas tratados en las clases teóricas. Muchos de estos problemas son problemas de examen en
algún trimestre en el cual hemos dictado este curso. Esperamos que este problemario les ayude en
el proceso de aprendizaje.
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FS 2213,Problemario 1
Introducción y Objetivos_____________________________________________________________________________
Unidades Temáticas del Programa de FS 2213 Cubiertas por este
Problemario:
1. ONDAS EN MEDIOS ELASTICOS
Ondas Mecánicas, Tipos de ondas. Ondas Viajeras.
Velocidad de las Ondas. Potencia e intensidad en el Movimiento ondulatorio. El Principio de
Superposición. Interferencia de ondas. Ondas Estacionarias. Resonancia.
2. ONDAS SONORAS
Ondas audibles, ultrasónicas, e infrasónicas.
Propagación y velocidad de las ondas longitudinales.
Ondas longitudinales viajeras.
Sistemas vibrantes y fuentes sonoras.
Pulsaciones. Efecto Doppler.
3. ONDAS ELECTROMAGNETICAS.
Fuentes de radiación.
Ondas viajeras y ecuaciones de Maxwell.
Energía y Vector de Poynting. Momentum. Polarización.
El efecto electromagnético.
Velocidad de la luz.
Fuentes y observador en movimiento. Efecto Doppler.
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FS 2213, Problemario 1
Ondas en Medios Elásticos_______________________________________________________________________________
ONDAS EN MEDIOS ELASTICOS
Ondas Viajeras.
1.- La Ecuación de una onda transversal que viaja sobre una cuerda larga está dada
por y = 6.0 sen(.020πx + 4.0πt ) , donde x y y están expresadas en cm y t en segundos. Calcular
a) la amplitud,
b) la longitud de la onda,
c) la frecuencia,
d) la rapidez,
e) el sentido de propagación de la onda
f) la rapidez transversal máxima de una partícula de la cuerda.
Respuesta: a)0.06 m, b) 1 m, c) 2.0 Hz, d) 2 m/s, e) En la dirección negativa de x. f) 0.75 m/s.
2.- Una onda sinusoidal viaja a lo largo de una cuerda. El tiempo que tarda un punto particular en
moverse desde su desplazamiento máximo hasta su desplazamiento cero es de 0.17 s, ¿cuánto valen
a) su período
b) su frecuencia?
c) si la longitud de la onda es de 1.4 m, ¿cuál es su velocidad?
Respuesta: a) 0.68 s, b) 1.47 Hz, c) 2.05 m/s.
3.- Una onda cuya frecuencia es de 500 Hz, tiene una velocidad de 350 m/s.
a) ¿Qué separación hay entre dos puntos que están desfasados en 60º.
b) ¿ Cuál es la diferencia de fase entre dos desplazamientos de un cierto punto que se
presentan con una separación de 10−3 segundos?.
Respuesta: a) 0.12 m, b) 180º.
4.- a) Desde un generador de onda sujeto a un resorte enrollado se manda una onda sinusoidal
longitudinal y continua. La frecuencia de la fuente es de 25 Hz. Y la distancia entre dos
rarefacciones sucesivas del resorte es de 24 cm. Determinar la rapidez de la onda.
b) Escribir la ecuación de la onda, si el desplazamiento longitudinal máximo de una partícula del
resorte es de 0.30 cm y la onda se mueve en el sentido negativo de x. Suponiendo que la fuente está
en {x = 0} y que el desplazamiento para x = 0 y t = 0 es nulo.
Respuesta: a) 6 m/s, b) y = 0.30 x10−2 sen( 26.2 x + 157t )
5.- Una onda sinusoidal continua está viajando por una cuerda con una velocidad de 80 cm/s. Se
encuentra que el desplazamiento de las partículas de la cuerda situadas en {x = 10 cm } varían con el
. − 4.0t ) en cm. La densidad lineal de masa de la cuerda es de
tiempo según la ecuación y = 5.0 sen(10
4.0 g/cm.
a) ¿Cuál es la frecuencia de la onda?
b) ¿Cuál es la longitud de dicha onda?
c) Escribir la ecuación general del desplazamiento transversal de las partículas de la cuerda
como función de la posición y del tiempo. (d) Calcular la tensión de la cuerda.
Respuesta: a) 0.64 Hz, b) 1.26 m, c) y = 5 × 10−2 sen(5x − 4t + 0.5), d) 0.26 N.
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FS 2213, Problemario 1
Ondas en Medios Elásticos_______________________________________________________________________________
6.- Una onda transversal armónica simple se está propagando por una cuerda hacia la izquierda (o
sea, en el sentido -x). La figura muestra una gráfica del desplazamiento como una función de la
posición en el tiempo t = 0 . La tensión de la cuerda es de 3.6 N y su densidad lineal de 25 g/m .
Calcular:
a) La amplitud,
b) la longitud de onda,
c) la rapidez de onda
d) el periodo
e) la rapidez máxima de una partícula de la cuerda.
f) Escribir la ecuación que describe a esta onda viajera. (ver Figura página siguiente)
Respuesta: a) 0.05 m, b) 0.40 m, c) 12 m/s, d) 0.033 s, e) 9.42 m/s,
f) y = 0.05sen(15.7 x + 189t + 0.927)
7.- Una cuerda uniforme, de masa m y longitud L, cuelga de un techo.
a) Demostrar que la rapidez de una onda transversal en la cuerda es una función de la
distancia y medida desde el extremo inferior y que su valor es v = gy .
b) Demostrar que el tiempo que transcurre para que la onda transversal recorra la cuerda
completa es t = 2 L / g
c) ¿Afecta la masa de la cuerda a los resultados de a) y b)?.
8.- a) Demostrar que la intensidad I ( la energía que atraviesa la unidad de área en la unidad de
tiempo) es el producto de la energía por unidad de volumen u y la rapidez de propagación v de una
perturbación ondulatoria.
b) Las ondas de radio viajan a una rapidez de 3.0 × 108 m / s . Encontrar la densidad de energía en una
onda de radio, a 480 km. de una fuente de 50000W, suponiendo que las ondas fuesen esféricas y que
la propagación fuese isotrópica.
Respuesta: b) 5.75 × 10−17 J/m3
9.-
a) Demostrar que la rapidez máxima de una partícula en una cuerda por la cual pasa una
onda sinusoidal es u = Ymω .
b) Las partículas de la cuerda oscilan con movimiento armónico simple. La energía mecánica
de cada partícula es la suma de sus energías potencial y cinética y siempre es igual al valor
máximo de su energía cinética. Considérese un elemento de la cuerda de masa µ∆x y
demuéstrese que la energía por unidad de longitud de la cuerda esta dada por
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FS 2213, Problemario 1
Ondas en Medios Elásticos_______________________________________________________________________________
E1 = 2π 2 µν 2 ym2
c) Finalmente demostrar que la potencia media, o ritmo promedio de transferencia de
energía, es el producto de la energía por unidad de longitud y de la rapidez de la onda.
d)¿Son estos resultados válidos solamente para una onda sinusoidal?.
Respuesta: c ) 2π 2 µ vν 2 ym2
10.- Determinar la amplitud del movimiento resultante cuando se combinan dos movimientos
sinusoidales que tienen la misma frecuencia y que viajan en el mismo sentido si sus amplitudes son
3.0 cm y 4.0 cm., y difieren en fase por π / 2 rad.
Respuesta: a) y = 5sen( kx ± ωt ± φ ), φ = 0.93,0.65rad
11.- Una fuente S y un detector D de alta frecuencia están separados por una distancia d sobre el
suelo. La onda directa de S esta en fase en D con la onda de S que se ha reflejado en una capa
horizontal cuando su altura es H (ver figura). Los rayos incidentes y reflejados forman el mismo
ángulo con la capa reflectora. Cuando la capa se eleva a una distancia h no se detecta ninguna señal
en D. Despreciar la absorción de la atmósfera y determinar la relación entre d, h, H y la longitud de
onda λ de tales ondas.
Respuesta: λ = 2 d 2 + 4( h + H )2 − 2 d 2 + 4 H 2
12.- Tres ondas sinusoidales componentes tienen el mismo periodo, pero sus amplitudes están en la
relación 1, 1/2 y 1/3 y sus ángulos de fase son 0, π / 2 y π respectivamente. Dibujar la onda
resultante de la suma de estas tres ondas y discutir su naturaleza.
2
1
Respuesta: y = A sen( kx − ωt ) + A cos( kx − ωt )
3
2
13.- El ultra sonido intenso de 10 MHz. De frecuencia se utiliza para modificar o para destruir los
tumores en los tejidos blandos.
a) ¿Cuál es la longitud de onda en el aire de tal onda de sonido?
b) si la rapidez del sonido es de 1500 m/s, ¿cuál es la longitud de onda en el tejido?
Respuesta: a) 3.44x10-5 m a 20ºC, b) 15
. × 10−4 m.
14.-
a) Una regla para determinar la distancia a un relámpago es contar los segundos que
transcurren desde el instante en que se ve el relámpago hasta que se oye el trueno y dividir la
cuenta entre cinco. Se supone que el resultado de la distancia en millas. Explicar esta regla y
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FS 2213, Problemario 1
Ondas en Medios Elásticos_______________________________________________________________________________
determinar su error porcentual en condiciones típicas.
b) ¿Cuál sería la regla equivalente para determinar la distancia en kilómetros?.
Respuesta: b) ∆t/3
15.- La rapidez del sonido en un cierto metal es V. Un extremo de una tubería larga de dicho metal,
cuya longitud es l, se golpea fuertemente. Una persona que escucha en el otro extremo oye dos
sonidos, uno de la onda que viaja por la tubería y otro de la onda que ha viajado por el aire.
a) Si v es la rapidez del sonido en el aire, ¿qué intervalo de tiempo t transcurre entre ambos
sonidos?
b) Suponiendo que ∆t = 1.0s, y que el metal es hierro. Determinar la longitud l.
Respuesta: a) l(V-v)/(Vv), b) 368 m.
16.- En un juego de fútbol en un gran estadio, dos espectadores ven, y en un momento posterior
oyen, el golpe dado al balón en el campo. Cuando el tiempo de retardo de un espectador es de 0.90 s
y el del otro es de 0.60 s, las líneas trazadas desde cada espectador al jugador que ha golpeado el
balón forman un ángulo de 90 grados.
a) ¿Qué distancia Hay de cada espectador al jugador?
b) ¿Qué distancia hay entre ambos espectadores?
Respuesta: a) 206 m, 310 m. b) 372 m.
17.- En la figura se muestra un interferómetro acústico usado para demostrar la interferencia de las
ondas acústicas. S es un diafragma que vibra por la influencia de un electroimán. D es un detector de
sonido, como el oído o un micrófono. La trayectoria SBD puede variar su longitud, pero la
trayectoria SAD está fija.
El interferómetro contiene aire y se encuentra que la intensidad del sonido tiene un valor de 100
unidades, en una posición de B y asciende continuamente hasta un valor máximo de 900 unidades en
una segunda posición a 1.65 cm de la primera. Determinar
a) la frecuencia del sonido emitido por la fuente
b) las amplitudes relativas de las dos ondas que llegan al detector en cualquiera de las
posiciones de B.
c) ¿cómo puede ser que estas ondas tengan amplitudes diferentes, considerando que se
originan en la misma fuente?.
Respuesta: a) 5197 Hz, b) A/B = 2 c) Recorren caminos distintos
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FS 2213, Problemario 1
Ondas en Medios Elásticos_______________________________________________________________________________
18.- Una nota cuya frecuencia es de 300 Hz tiene una intensidad de 10
. µW / m2 . ¿Cuál es la amplitud
de las vibraciones del aire causadas por este sonido?
Respuesta: 3.66x10-8 m
19.- Dos fuentes de sonido están separadas por una distancia de 10 m. Ambas emiten sonidos con la
misma amplitud y frecuencia (300 Hz), pero están desfasadas en 180 grados. ¿Qué puntos de la línea
que las une corresponderán a un mínimo relativo de la intensidad del sonido por efecto de la
interferencia destructiva?
Respuesta: x = L/2 ± nλ/2
20.- La sección de violines de las orquestas sinfónicas están divididas en dos partes colocadas a uno
y otro lado del director. Considérese a dos violinistas separados por 8.0 m , colocados
simétricamente respecto al director a 5.0 m de él, si la potencia emitida por cada violín es de
10
. × 10−4W . ¿Cuáles son
a) la intensidad de cada músico por separado según lo escucha el director
b) la intensidad combinada de ambos cuando tocan simultáneamente (la misma nota) según
la escucha el director.
Respuesta: a) 3.2 × 10−7W / m2 . b) 4.6 × 10−7W / m2 .
21 .- Dos altavoces, S1 y S2 , emiten sonidos uniformemente en todas las direcciones de frecuencia
200 Hz. S1 tiene una potencia acústica de 12
. × 10−3W y S2 tiene una de 1.8 × 10−3W. Los altavoces
están separados por 7.0 m. Considérese un punto P que esta a 4.0 m de S1 y a 3.0 m de S2 .
a) ¿ Como están relacionadas las fases de las ondas que llegan a P?
b) ¿Cuál es la intensidad del sonido en P cuando se desconecta a S2 (dejando S1 );
c) se desconecta a S1 (dejando a S2 )
d) S1 y S2 funcionan conjuntamente.
Respuestas: a) ∆φ = 3.65 rad, b) 6.0 x10-6 W/m2 , c) 1.6x10-5 W/m2,d) 4.9x10-6 W/m2
Ondas Estacionarias.
22.- La ecuación de una onda transversal que viaja por una cuerda es y = 10 cos( 0.007 x − 13t − 0.8 ) ,
donde x y y están en centímetros y t en segundos. Escribir la ecuación de una onda que al añadirse a
la anterior produce ondas estacionarias en la cuerda.
Respuesta y = 10cos(0.008 x + 13t − φ )
23.- Dos cuerdas, cuyas densidades lineales son µ1 y µ 2 , están amarradas en x = 0 y sujetas a una
tensión F. A la unión entre las cuerdas llega una onda y = Asen( k1 ( x − v1t )) , la cual viaja por la
cuerda de densidad µ1, y es parcialmente transmitida a la cuerda de densidad µ 2 , y parte se refleja.
Estas dos ondas pueden expresarse en las formas B sin( k 2 ( x − v2 t )) y C sin( k1 ( x + v1t )) ,
respectivamente.
a) Suponiendo que k2 v2 = k1v1 = ω y que el desplazamiento del nudo provocado por las
ondas incidentes y reflejada sea igual al provocado por la onda transmitida, demostrar
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FS 2213, Problemario 1
Ondas en Medios Elásticos_______________________________________________________________________________
que A = B + C .
b) Si se supone que ambas cuerdas tienen la misma pendiente cerca del nudo, (¿por que?),
es decir que ( dx / dy )1 = ( dx / dy )2 , demostrar que
C= A
( k 2 − k1 )
(ν − ν 2 )
=A 1
( k 2 + k1 )
(ν 1 + ν 2 )
¿En que condiciones resulta C negativo?
Respuesta: Si v2 >v1
24.- En un experimento de laboratorio con ondas estacionarias, se fija una cuerda de 0.90 m a la
rama de un diapasón que funciona con electricidad y que vibra perpendicularmente a la longitud de
la cuerda con una frecuencia de 60 Hz. La masa de la cuerda es de .044Kg.
a) ¿qué tensión debe tener la cuerda (conseguida colgando peso en su otro extremo) si tiene
que vibrar con cuatro husos?
b) ¿qué pasaría si el diapasón se girase de manera que vibrara paralelamente a la longitud
de la cuerda?.
Respuesta a) 35.6 N.
L1
Aluminio
L2
Acero
m
25.- Un alambre de aluminio, cuya longitud es l1 = 60.0 cm y cuya sección transversal es
100
. × 10−2 cm2 está unido a un alambre de acero de la misma sección transversal. El alambre
complejo soporta a un cuerpo m cuya masa es de 10.0 kg, en una disposición como la que se muestra
en la figura, de tal manera que la distancia l2 desde la unión hasta la polea de soporte es de 86.6 cm.
En al alambre se generan ondas transversales utilizando un generador externo de frecuencia variable.
a) Determinar la menor frecuencia de excitación para la cual se observa una onda
estacionaria tal que el punto de unión de los alambres sea un nodo.
b) ¿Cuál es el número total de nodos que se observan a esta frecuencia, excluyendo los dos
extremos del alambre? La densidad del aluminio es de 2.60 g / cm3 y la del acero es de
7.80 g / cm3 .
Respuesta: a) 323.8 Hz, b) 6 nodos
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Ondas Sonoras_________________________________________________________________________________________
ONDAS SONORAS
1. Si la cuerda de un violín esta afinada a una cierta nota, ¿ en cuanto tiene que aumentar la tensión
de la cuerda para emitir una nota del doble de la frecuencia original (esto es, una nota de un tono
una octava mas alto)?
Respuesta: F2 = 4Fi
2. Un tubo abierto de un órgano tiene una frecuencia fundamental de 300 Hz. El primer sobretono
de un tubo cerrado de un órgano tiene la misma frecuencia que el primer sobre tono del tubo
abierto. ¿Cuál es la longitud de cada tubo?.
Respuesta: 0.43 m, 0.57 m.
3. Cierta cuerda de violín tiene 50 cm entre sus puntos fijos y una masa de 2.0g. Cuando se la pulsa
sin fijarla con los dedos, la cuerda suena en la nota "A" (440 Hz). ¿Dónde debe colocarse un
dedo para que suene como una "C" (528 Hz)?.
Respuesta: A 8.3 cm del extremo.
4. En la figura S es un pequeño altavoz manejado por un oscilador de audio y un amplificador cuya
frecuencia solo puede ajustarse desde 1000 hasta 2000 Hz. D es una pieza de un tubo cilíndrico
de metal laminado de 45.72 cm de largo.
Si la rapidez del sonido en el aire es de 344.42 m/s a la temperatura ambiente, ¿a qué
frecuencias ocurrirá la resonancia cuando la frecuencia emitida por el altavoz se hace variar
desde 1000 hasta 2000 Hz?
Hacer un esquema de los nodos de desplazamiento para cada frecuencia. Ignorar los efectos de
los extremos.
Respuesta: 1130 Hz, 1507 Hz, 1883 Hz.
S
D
5. Un pozo de paredes verticales y cuyo fondo esta lleno con agua, resuena a 7.0Hz y no lo hace a
frecuencias inferiores. El aire en el pozo tiene una densidad de 1.1 Kg/m3, una presión de
9.5 × 104 Pa y una relación de calores específicos igual a 7/5. ¿Cuál es la profundidad del pozo?
Respuesta: 12.4 m
6. Un tubo de 1.0 m de longitud esta cerrado en uno de sus extremos. Cerca del extremo abierto se
coloca un alambre estirado; este alambre tiene 0.30m de larga y una masa de 0.010 kg. Se le
mantiene fijo por sus dos extremos y se le hace vibrar en su modo fundamental. De esta manera
la columna de aire del tubo se pone en vibración por resonancia, a su frecuencia fundamental.
Encontrar
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FS 2213, Problemario 1
Ondas Sonoras_________________________________________________________________________________________
a) la frecuencia de oscilación de la columna de aire
b) la tensión en el alambre.
Respuesta: a) 86 Hz, b) 89 N.
7. Una cuerda de violín de 31.6 cm, cuya densidad lineal es de 0.65 g/m, se le coloca cerca de un
altavoz que es alimentado por un oscilador variable de audiofrecuencia. Se encuentra que cuando
la frecuencia del oscilador se hace variar continuamente en un intervalo que va desde 500 hasta
1500 Hz, la cuerda se pone en oscilación solamente a las frecuencias de 880 y 1320 Hz. ¿Cuál
es la tensión en la cuerda?
Respuesta: 50.3 N
8. Dos cuerdas de piano idénticas tienen una frecuencia fundamental de 600 Hz cuando su tensión
es la misma. ¿Qué aumento fraccional en la tensión de una de las cuerdas produciría seis batidos
por segundo cuando ambas cuerdas vibren simultáneamente?
Respuesta: 2%
9. Un diapasón de frecuencia desconocida produce tres batidos por segundo con un diapasón patrón
de 384 Hz de frecuencia. Cuando se pone una pequeña pieza de cera en una de las ramas del
primer diapasón, la frecuencia de los batidos decrece. ¿Cuál es la frecuencia de este diapasón?
Respuesta: 387 Hz.
Efecto Doppler.
10. Un aeroplano de retropropulsión sobrevuela a una altura de 5000 m con una rapidez de 1.5 Mach
( es decir 1.5 veces la rapidez del sonido).
a) Determinar el ángulo formado por la onda de choque con la línea de movimiento del
avión.
b) ¿Cuánto tiempo después de que el avión ha pasado directamente por encima llegara la
onda de choque al suela?
Respuesta: a) 41.8º, b) 10.8 s
11. Un silbato con una frecuencia de 540 Hz gira en un circulo de 0.60 m con una rapidez angular
de 15.0 r/s. ¿Cuáles son
a) la menor frecuencia oída por una persona que esta en reposo y a una gran distancia del
centro del círculo?
b) la mayor frecuencia oída por esta misma persona
Respuesta: a) 526.2 Hz, b) 554.5 Hz.
12. a) ¿Se podría uno acercar a un alto de semáforo lo suficientemente rápido como para que
pareciese un siga?
b) De ser así, ¿lo multarían a uno por exceso de velocidad? Considérese que para la luz roja
λ = 620 × 10−9 m , para la luz verde λ = 540 × 10−9 m y que la rapidez de la luz es
c = 3.0 × 108 m / s .
Respuesta: 384
. × 107 m / s
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FS 2213, Problemario 1
Ondas Sonoras_________________________________________________________________________________________
13. Un murciélago esta volando dentro de una cueva, orientándose muy efectivamente por el uso de
pulsos ultrasónicos (emisiones cortas que duran 1 milisegundo o menos y se repiten varias veces
en un segundo). Supongamos que la emisión del sonido del murciélago tiene una frecuencia de
39000 Hz. Durante un primer descenso rápido directamente hacia una superficie plana de la
pared, el murciélago se mueve a 1/40 de la rapidez del sonido en el aire. ¿Cuál es la frecuencia
del sonido que el oye reflejado en la pared?
Respuesta: 41000 Hz.
14. Una fuente de ondas sonoras de 1800 Hz de frecuencia se mueve hacia la derecha con una
rapidez de 32.91 m/s respecto al piso. A su derecha hay una superficie reflectora que se mueve
hacia la izquierda con una rapidez de 65.83 m/s relativa al piso. Considérese que la rapidez del
sonido en el aire es de 329.18 m/s y determínese
a) la longitud de la onda del sonido emitido en el aire por la fuente,
b) el número de ondas por segundo que llegan a la superficie reflectora,
c) la rapidez de las ondas reflejadas,
d) la longitud de las ondas reflejadas.
Respuesta: a) 0.165 m, b) 2400 ondas, c) 32.91m/s, d) 0.11 m.
15. Una sirena emite un sonido con una frecuencia de 1000 Hz y se mueve alejándose de nosotros
hacia un acantilado con una rapidez de 10 m/s.
a) ¿Cuál es la frecuencia del sonido que oiríamos llegar directamente de la sirena?
b) ¿Cuál es la frecuencia del sonido que se oiría reflejado en el acantilado?
c) Se podría oír la frecuencia de los batidos? Considérese que la rapidez del sonido en el
aire de 330 m/s.
Respuesta: a) 970 Hz, b) 1030 Hz, c) no.
16. Las Microondas que viajan con la rapidez de la luz, son reflejadas por un aeroplano distante que
se aproxima a la fuente de las ondas. Se determina que cuando las ondas reflejadas se abaten
contra las ondas radiadas por la fuente, la frecuencia de los batidos es de 990 Hz. Si las
microondas tienen una longitud de onda de 0.10 m ¿cuál es la rapidez con la que se aproxima el
aeroplano
Respuesta: 49.5 m/s
17. Una niña esta asomada a la ventana de un tren que se mueve con una velocidad de 10.0 m/s
hacia el este. El tío de la niña esta junto a los rieles y observa al tren que se mueve alejándose. El
silbato de la locomotora vibra a 500 Hz. El aire esta tranquilo.
a) ¿Qué frecuencia escucha el tío?
b) ¿Qué frecuencia escucha la niña?
c) Empieza a soplar un viento desde el este a 10 m/s. ¿Qué frecuencia escucha ahora el tío?
d) ¿Qué frecuencia escucha ahora la niña?.
Respuesta: a) 485.8 Hz, b) 500 Hz, c) 486.2 Hz, d) 500 Hz.
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FS 2213, Problemario 1
Ondas Electromagnéticas________________________________________________________________________________
ONDAS ELECTROMAGNETICAS
1. Sea una onda electromagnética cuyo campo magnético y cuyo campo eléctrico están dados por
las expresiones siguientes:
By = B0 cos( kz − ωt − ϕ ),
Ex = E0 cos( kz − ωt − ϕ )
Demuestre la relación que existe entre las amplitudes B0 y E0.
E
µεω
Respuesta: B0 = 0 0 E0 = 0 .
k
c
2. Si en un medio de constante dieléctrica κ y su permeabilidad magnética es µ0, se propaga una
o.e.m., ¿cuál será la relación entre las amplitudes del campo eléctrico al campo magnético?
B
Respuesta: E0 = 1/0 2
cκ
3. El campo eléctrico de una onda electromagnética plana está dado por Ex = 0, Ey = E0cos(kx-ωt),
Ez = 0, ¿cuáles son las componentes de B y la dirección de propagación de la onda?
G
Respuesta: B = ( E0 / c ) cos( kz + ωt )i ; en la dirección -z
4. Demuestre que las dimensiones de 1/ε0µ0 son las de una velocidad al cuadrado.
Respuesta:[L2/T-2]
5. ¿Cuáles son la frecuencia y la longitud de onda de
a) Caracas 750,
b) de la Mega 107.3?
Respuesta: a) 750 kHz (AM), 400 m; 107.3 MHz (FM) 2.8 m.
6. Una onda armónica plana de longitud de onda λ se propaga en la dirección -x. La componente z
del campo eléctrico tiene amplitud e0 y la componente en la dirección y es nula. Escriba la
expresión del campo eléctrico.
G
Respuesta: E = E0 cos( kx + ωt + φ )k
7. Una onda armónica plana se propaga en una dirección del plano XY que hace un ángulo α con el
eje x. Escriba la expresión del campo eléctrico e indique las direcciones posibles para E0.
Respuesta: E = E0 cos( k ( x cos α + y sin α ) − ωt + φ ) ,cualquier dirección en el plano perpendicular a
la dirección de propagación
8. Si la intensidad de una onda electromagnética es 6x106 W/m2, calcule la amplitud
a) del campo eléctrico,
b) del campo magnético.
Respuesta: a) 6.6x104 V/m, b) 2.2x10-4 T
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FS 2213, Problemario 1
Ondas Electromagnéticas________________________________________________________________________________
9. Si la potencia emitida por una antena de radio es de 30 kW, y se supone que emite en todas las
direcciones con la misma intensidad, calcule cuál será a 5 km de la antena la amplitud
a) del campo eléctrico,
b) del campo magnético.
Respuesta: a) E0= 0.27 V/m, b) B0= 8.9x10-10 T.
10. El sol emite energía a una tasa de 3.8x1026W/m2, calcule
a) la magnitud del vector de Poynting a una distancia L = 1.5x1011 m del sol,
b) la presión de radiación sobre una superficie perfectamente absorbente y perpendicular a la
dirección de la radiación.
Respuesta: a) S = 1300 W/m2, b) P = 4.5x10-6 N/m2.
11. Un haz de luz con vector de Poynting S cae sobre una superficie perfectamente reflectora y hace
un ángulo α con la vertical. ¿Cuál es el momentum que se transfiere a la superficie por unidad de
área en un tiempo ∆t?
G
pf
G α
pi
Respuesta: ∆p/A = 2(S/c)cos2α ∆t.
BIBLIOGRAFIA
1) Robert Resnick, David Halliday. FISICA Parte I, CECSA 1982.
2) Paul M.Fishbane, Stephen Gasiorowicz and Stephen Thornton, Physics for Scientists and
Engineers, Prentice-Hall 1996.
3) Raymond Serway, Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, McGraw Hill
1994.
4) Hugh D. Young, Roger Freedman, University Physics, Addison-Wesley Pub. Co. 1996.
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