Introducción

Introducción
Desde los tiempos antiguos, se observaba que algunos materiales se atraen
o se alejan entre sı́ luego de haber sido frotados, existiendo una variedad de
ortos fenómenos que están relacionados con dicho efecto. Esta nueva propiedad recibió el nombre de electricidad. Otros materiales como la magnetita, pedazos de hierro y el acero producı́an el mismo efecto de atracción
y repulsión que los materiales eléctricos pero la interacción era diferentes,
esto últimos recibieron el nombre de materiales magnéticos. Ambas clases
de fenómenos estabas relacionados uno con el otro, resultado que se probo
posteriormente, esta interconexión entre ambos efecto recibió el nombre de
electromagnetismo.
Esta nueva clase de interacción, poseı́a una propiedad ya estudiada, que es
una teorı́a de acción a distancia cuando se estudiaban las propiedades eléctricas y magnéticas por separadas
1
Índice general
I
Electrostática
4
1. Fenómenos eléctricos
1.1. Carga eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Conservación de la carga . . . . . . . . . . .
1.1.2. Modelo atómico . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Cuantización de la carga . . . . . . . . . . .
1.2. Caracterı́sticas y modelos eléctricos . . . . . . . . .
1.2.1. Modelo de cómo cargar un cuerpo . . . . . .
1.2.2. Conductores y aislantes . . . . . . . . . . .
1.3. Modelo de acción a distancia . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Ley de gravitación . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3. Principio de superposición . . . . . . . . . .
1.4. Modelo de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Campo eléctrico para cargas puntuales . . .
1.4.3. Movimiento de carga en un campo eléctrico
1.5. Dipolo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1. Campo de un dipolo eléctrico . . . . . . . .
1.5.2. Torque sobre un dipolo eléctrico . . . . . . .
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13
13
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16
18
19
21
22
22
2. Distribuciones continuas de cargas
2.1. Densidades de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Cálculo de campo eléctrico mediante la ley de Coulomb
2.3. Un anillo cargado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. El disco cargado uniformemente . . . . . . . . .
2.4. El alambre uniformemente cargado . . . . . . . . . . .
2.4.1. Alambre infinito y semi-infinito . . . . . . . . .
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ÍNDICE GENERAL
2.4.2. Plano infinito . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1. Geometrı́a plana para la ley de Gauss . .
2.5.2. Geometrı́a esférica para la ley de Gauss .
2.5.3. Geometrı́a cilı́ndrica para la ley de Gauss
2.6. Discontinuidad del campo eléctrico . . . . . . .
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32
3. Potencial eléctrico y energı́a electrostática
33
4. Circuitos
4.1. Capacidad . . . . . . . . . . . . . .
4.2. corriente eléctrica . . . . . . . . . .
4.3. Circuitos RC de corriente continua
4.4. Instrumento de medidas . . . . . .
34
34
34
34
34
II
Magnetostática
5. campo magnético
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36
Parte I
Electrostática
4
Capı́tulo 1
Fenómeno eléctricos en
distintos estados y bajo
distintos modelos
1.1.
Carga eléctrica
En primer lugar, examinaremos un experimento teórico que da inicio a
la interacción electrostática y al concepto de carga eléctrica, que en la antigüedad recibió el nombre de electricidad.
Figura (a)
φ
Figura (b)
hilo
Varilla
Corcho
hilo
Varillas
α
Corcho
Figura 1.1: Experimentos con varillas de vidrio y ámbar
✎ Cuando se frota una varilla de vidrio y la acercamos a un trozo de
corcho, que está suspendido por un hilo, este se desvı́a de su posición vertical
acercándose a la varilla, tal como se indica en la figura 1.1a,
✎ Cuando realizamos el mismo experimento con una varilla de ámbar
electrizada (por frotación) ocurre el mismo efecto de la figura 1.1a. Como
5
6
CAPÍTULO 1. FENÓMENOS ELÉCTRICOS
el ángulo φ de desviación es el mismo1 decimos que ambos materiales son
objetos de la misma interacción.
✎ Cuando ambas varillas se colocan una muy cerca de la otra, se observa
que la deflexión α es mucho menor que φ. Y en algunos casos es prácticamente nula, es decir α ≈ 0 tal como se muestra en figura 1.1b.
La intuición nos dice que la deflexión α deberı́a ser por lo menos más grande
que el ángulo φ, puesto que ambas interacciones por separadas producı́an
el mismo efecto. Sin embargo, esto contradice nuestra intuición y por tal
razón la única conclusión es que ambas varillas producen efectos contrario.
Permitiendo establecer que existen dos estados de electricidad, uno que se
manifiesta con el vidrio y otra que se manifiesta con el ámbar.
Por convenio ó convención, se le asigno a cada tipo de electricidad un signo,
el cual es establecido por las siguiente reglas:
➣ A los materiales que poseen el mismo efecto que el vidrio electrizado,
diremos que está cargado positivamente, es decir tiene carga positiva.
➣ Y los materiales que poseen el mismo efecto que el ámbar electrizado,
diremos que está cargado negativamente, es decir tiene carga negativa.
Para establecer una diferencia entre estas dos clase de electricidad procedemos a realizar un segundo experimento, el cual consiste en frotar la varilla
de vidrio y tocar un trozo de corcho, repitiendo este procedimiento con un
segundo trozo de corcho y acercamos ambos trozos observamos un efecto de
repulsión entre ellos. tal como se ilustra en la figura 1.2a.
1
Para que esto ocurra, se debe producir la misma electricidad en ambas varillas.
7
1.1. CARGA ELÉCTRICA
hilo
Corcho
β
β
Figura (a)
hilo
hilo
hilo
β
Corcho
β
Figura (b)
Figura 1.2: Experimentos para ver el tipo de interacción entre corchos cargados positivamente y negativamente
✐ Si repetimos el mismo procedimiento con la varilla de ámbar, se observa el mismo efecto de repulsión.
✐ Ahora tocamos un trozo de corcho con la varilla de vidrio electrizada
y el otro trozo de corcho con la varilla de ámbar electrizada, luego acercamos
estos dos corchos que fueron cargados con las distintas varillas, y observamos
que ambos trozos de corcho se atraen uno al otro, tal como se observa en la
figura 1.2b.
La conclusión mostradas en este segundo experimentos sobre las dos manifestaciones de la electricidad, a saber positiva y negativa, es:
➪ Dos cuerpos con la misma electrización, bien sea positiva ó negativa
poseen una interacción repulsiva.
➪ Dos cuerpos con diferente clase de electrización, poseen una interacción
atractiva.
Por lo expuesto arriba, concluimos lo siguiente:
Para caracterizar el estado de electricidad de un cuerpo
se define una cantidad llamada carga eléctrica, que puede ser positiva ó negativa, la cual es representada por el
sı́mbolo Q ó q.
La carga eléctrica está en igualdad de condición que la masa de un cuerpo.
por tal razón las partı́culas se caracterizan por dos atributos fundamentales:
carga y masa. En el sistema de unidades internacional (SI), la unidad usada
para la carga eléctrica es:
[q] = C
(La cantidad 1C se lee como un coulomb)
8
1.1.1.
CAPÍTULO 1. FENÓMENOS ELÉCTRICOS
Conservación de la carga
La carga eléctrica neta de un cuerpo es la suma algebraica de la carga
positiva con la negativa, ası́ un cuerpo que posee igual cantidad de carga
negativa que positiva se dice que está eclécticamente neutro. A los cuerpos
que tienen carga neta diferente de cero, se le llaman ion.
La conservación de la carga, se enuncia de la siguiente manera:
Todos los cuerpos aislados posee una carga neta que no
varia a menos que sobre el sistema se le adicione carga.
Hasta la actualidad nos se ha hallado excepción a esta regla. Esto quiere
decir que la carga no se crea ni se destruye.
Problema 1.1.1
Se coloca sobre una esferas metálica una carga Q = 3C, si luego se une a
otra esfera de carga q = −2C calcule: (a) la carga neta de las dos esferas
unidas, (b) la carga de ambas esferas luego de separarlas, suponiendo que la
carga se redistribuye de tal manera que después de la separación la carga se
reparte en una fracción de 2/3.
1.1.2.
Modelo atómico
Los átomos son las partı́culas más pequeñas de un cuerpo, las cuales no se
pueden seguir dividiéndose sin que pierda sus propiedades. Por este motivo
se denomina materia base ó elemento.
En la antigüedad se consideraba que los átomos eran las partı́culas más
pequeñas que existı́an. Después surgió el modelo ideado por el fı́sico Niels
Bohr, el cual considera que los átomos están compuestos por un núcleo
de carga positiva (carga nuclear) y alrededor de este orbita un conjunto de
partı́culas de carga negativa llamada electrones, los cuales tienen están en
orbitas bien determinadas (llamadas capas) y son los responsables por lo menos de los enlace quı́micos y la conducción eléctrica.
A su ves, el núcleo está compuesto por dos partı́culas llamada protones
y neutrones; los protones son los responsables de la carga nuclear y los neutrones, que no poseen carga eléctrica, son los responsable de que los protones
9
1.1. CARGA ELÉCTRICA
se mantenga unidos al núcleo.
Hasta tiempos recientes se pensó que los neutrones y protones eran partı́culas elementales. Ahora se sabe que en realidad son una mezcla de entidades
llamadas quarks. Estas nuevas partı́culas están confinadas dentro de los protones y neutrones por fuerzas mucho más poderosas que la electromagnética.
Y aparentemente estas partı́culas, no son susceptibles a ser detectados como
entidades separadas.
Los cuerpos cargados o también llamados iones, pueden explicarse a través
de la estructura atómica; se dice que un cuerpo está cargado positivamente
o es un ion positivo cuando hay un deficit de electrones en su estructura
atómica, y un cuerpo se dice que está cargado negativamente cuando tiene
una ganancia de electrones en su estructura atómica.
1.1.3.
Cuantización de la carga
En el modelo atómico hablamos de la carga nuclear, la cual es positiva,
cuyo valor es un múltiplo entero2 del valor de una carga fundamental e, esto
es
carga nuclear = Ze donde Z = 1, 2, 3, . . . , ∞
este hecho se conoce con el nombre de cuantización de la carga y todos
los cuerpos de la naturaleza posee una carga igual a un múltiplo entero de la
carga elemental. El valor para la carga elemental es;
e = 1,603 × 10−19 C
con este valor se establece que la carga de un protón es igual al valor de la
carga elemental (qp = e) y la carga de un electrón toman el valor negativo de
la carga elemental (qe = −e), es costumbre denotar esta carga con el sı́mbolo
e− .
En investigaciones recientes se estableció que los quarks son las únicas
partı́culas que posee carga fraccionarias. Existen dos clases de quarks, esto
es quarks up de carga 23 e y un quarks down de carga − 31 e, ası́:
2
Para el caso de un elemento de la tabla periódica, este número entero corresponde al
número atómico de dicho elemento.
10
CAPÍTULO 1. FENÓMENOS ELÉCTRICOS
➢ Un neutrón está compuesto por un quarks up y dos quarks down, de
manera que la carga neta para esta partı́cula es nula, esto es:
2
1
e−2
e = 0.
3
3
➢ Un protón está compuesto por dos quarks up y uno quarks down, de
manera que su carga es:
1
2
2
e − e = e.
3
3
Problema 1.1.2
Indique cuales de las siguientes cargas que se muestran el a continuación
existen en la naturaleza.
q1 = 8, 015 × 10−16 C
q2 = 9, 056 × 10−21 C
q3 = 9, 618 × 10−19 C
1.2.
1.2.1.
Caracterı́sticas y modelos eléctricos
Modelo de cómo cargar un cuerpo
Los cuerpos en la naturaleza están formados por átomos, los cuales a su
ves son eléctricamente nulos, puestos que la carga nuclear se compensa con
la carga de la nube electrónica. Para que un cuerpo neutro se convierta en
un ion, debe suceder:
Cuando un cuerpo es cargado positivamente (ion positivo) decimos que hay deficit de electrones, en contraste
con cuerpos cargados negativamente (ion negativo) se
dice que hay una ganancia de electrones.
Existen al menos dos vı́as posible de cargar un cuerpo, a saber:
✐ Carga por contacto: cuando hablamos de cargar un cuerpo por contacto, nos referimos a que es posible desprender ó captar los electrones
más externos del núcleo y conducirlos a otro átomo para llenar las capas de valencia de este último. Proceso que sucede cuando frotamos
una varilla de vidrio, ebonita, ámbar, etc.
1.2. CARACTERÍSTICAS Y MODELOS ELÉCTRICOS
11
✐ Carga por inducción: para cargar un cuerpo eléctricamente neutro por
inducción se requiere el concepto de dipolo. Esto es, cuando se acerca
una cuerpo cargado a otro que está eléctricamente neutro, las cargas se
redistribuye de tal manera que las carga del material con signo opuestos
se ven atraı́das al cuerpo inductor y las del mismo signo son alejadas,
sin que estas puedan salirse del material como se presenta en la figura
1.3 la cual se alcanza en el equilibrio electrostático.
-q
-
+q
cuerpo
neutro
+
+
+
+q
Figura 1.3: Carga por inducción de un material neutro
1.2.2.
Conductores y aislantes
Según su comportamiento eléctrico los materiales pueden clasificarse en
conductores o dieléctricos (aislantes). Los materiales conductores (como los
metales) permiten el movimiento de portadores de carga (electrones de la
última capa) con relativa facilidad. Por lo general, los materiales conductores
poseen un gran número de portadores de carga, los cuales interactuan rápidamente en presencia de cargas externas al material, siendo estos portadores
responsable de la corriente eléctrica3 dentro de un cuerpo. Los conductores
tienen la siguiente propiedad interesante:
Cuando se carga un conductor bien sea por contacto o
por inducción, dicha cargas se aloja en las superficies del
mismo, de manera tal que la región entre las superficies
del mismo no contienen carga alguna, siempre que se
alcance el equilibrio electrostático.
Para entender el mecanismos expuesto arriba, consideremos un conductor
hueco con un cierto espesor el cual contiene dos superficies, tal como se ilustra
en la figura 1.4; la superficie externa y la superficie interna. Inicialmente el
conductor está cargado con carga Q (Q = 0 si el conductor está descargado),
3
Concepto que será introducido posteriormente.
12
CAPÍTULO 1. FENÓMENOS ELÉCTRICOS
entonces la carga de este debe estar alojada en la superficie exterior, ası́ la
carga en la superficie exterior es qext = Q y en la superficie interior es qint = 0,
tal como se muestra en la figura 1.4a. Ahora se coloca una carga Q0 en el
hueco del conductor tal como se muestra en la 1.4b, debido al fenómeno de
inducción, en la superficie interna del conductor se induce una carga de igual
magnitud pero de signo opuesto a la carga colocada en el hueco, ası́ qint =
−Q0 . Cuando se alcanzar el equilibrio electrostático, la carga alojada en la
superficie exterior debe ser por conservación de la carga,
qint + qext = qNeta
−Q0 + qext = Q
qext = Q + Q0
qext =Q
qint =0
Figura (a)
qext =Q+Q0
qint =−Q0
Q0
Figura (b)
Figura 1.4: Distribución de carga en un conductor en equilibrio electrostático
Un material aislante ó generalmente llamado dieléctrico, tiene sus electrones firmemente unidos a sus respectivos átomos estando las últimas capas
llenas, no permitiendo el transporte de carga con facilidad. En la naturaleza no existen aislantes perfectos, ası́ cualquier cuerpo permite el transporte
de carga, aunque sea en grado insignificante. Por ejemplo, para los materiales dieléctrico conducen entre 1015 a 1020 veces peor que los denominados
conductores.
13
1.3. MODELO DE ACCIÓN A DISTANCIA
1.3.
Modelo de acción a distancia
1.3.1.
Ley de gravitación
Una de las fuerzas más fundamentales de la fı́sica es la fuerza gravitacional
establecida por Issac Newton en 1666, lo que se conocı́a en la época como
una teorı́a de acción a distancia. Esta interacción establece los siguiente:
La fuerza que siente un cuerpo de masa m1 debido a un cuerpo
de masa m2 viene dada por
m1 m2
F~12 = −G
rb12
|~r12 |2
(1.1)
2
donde G = 6, 67 × 10−11 NKgm2 es la constante de gravitación
def
universal y ~r12 = ~r1 − ~r2 es un vector cuya cola y punta están
ubicadas en el centro de masa de m2 y m1 respectivamente,
como se muestra en la figura 1.
Esta fuerza fue llamada acción a distancia ya que a medida que se separ12 →∞
raban las masas la interacción se hace más débil (F12 −−
−−→ 0). El signo que
aparece en (1.1) indica que la interacción es netamente atractiva. Antes de
que Newton formulase la ley de gravitación universal, se requirió el concepto
de masa, el cual es una propiedad intrı́nseca de los cuerpos y que se denomino
fuente de la interacción.
1.3.2.
Ley de Coulomb
A partir de los experimentos de Charles Coulomb en 1785, se estableció que la interacción entre dos cuerpos cargados que se mantienen en equilibrio, satisfacen las siguientes propiedades:
☞ La magnitud de la fuerza es proporcional al inverso del cuadrado de la
mı́nima distancia que une a los centros de las cargas.
F ∝ r −2 =
1
.
r2
Cuando se refiere a la mı́nima distancia como el segmento de recta que
une a dos cargas.
14
CAPÍTULO 1. FENÓMENOS ELÉCTRICOS
☞ La magnitud de la fuerza es proporcional al producto de la magnitud
de cada una de las cargas, esto es:
F ∝ |Q||q| .
☞ La fuerza será de atracción si las cargas posee signos opuesto de lo
contrario, la fuerza es de repulsión si las cargas posee signos iguales.
Estando esta fuerza orientada en la misma dirección de la recta que
une a los dos centros.
+
+
+
−
Estas tres propiedades permiten establecer que las fuerzas que siente un
cuerpo de carga q1 debido a la interacción eléctrica de otro cuerpo de carga
q2 , cuando ambas permanecen en reposo, viene dada por la relación
q1 q2
q1 q2
F~12 = K
rb12 = K
~r12
2
|~r12 |
|~r12 |3
donde:
(1.2)
➣ F~12 el primer subı́ndice indica la fuerza que siente la carga q1 , y el
segundo subı́ndice indica la carga q2 que ejerce la fuerza.
➣ El sı́mbolo K es la constante de proporcionalidad que se elige según
el sistema de unidades que se establezca para la carga eléctrica. En
el sistema de unidades internacional, esta constante tiene el siguiente
valor
N m2
1
= 9 × 109 2
K=
4πε0
C
2
siendo ε0 = 0, 885 × 10−11 NCm2 una magnitud constante llamada constante eléctrica ó constante de permitividad del espacio libre.
def
➣ El vector ~r12 = ~r1 − ~r2 tiene como cola el centro de la carga q2 y punta
el centro de la carga q1 . Y los vectores ~r1 y ~r2 son las posiciones de
las cargas q1 y q2 respectivamente. El vector ~r12 recibe el nombre de
posición relativa, y su representación gráfica se indica en la figura 1.5.
1.3. MODELO DE ACCIÓN A DISTANCIA
F~12
~r1
15
q1
~r12 = ~r1 − ~r2
q2
~r2
Figura 1.5: Fuerza eléctrica que siente una carga cuando q1 q2 > 0.
En tal sentido podemos preguntarnos ¿cuál será la fuerza que sentirá q2
debido a q1 ? Según la definición (1.2) podemos escribir
q2 q1
q1 q2
q1 q2
F~21 = K
~r21 = K
(−~r12 ) = −K
~r12 = −F~12
3
3
|~r21 |
| − ~r12 |
|~r12 |3
(1.3)
puesto que ~r21 = ~r2 − ~r1 = −(~r1 − ~r2 ) = −~r12 , esto indica que la interacción
eléctrica entre pares de cargas puntuales satisfacen la tercera ley de Newton.
Problema 1.3.1
Una partı́cula de carga q1 = −2Q está ubicada en la posición (2`, `) respecto
a un origen O, un segundo cuerpo de carga q2 = Q se encuentra ubicado
a una distancia horizontal de 3` y a la derecha del origen. (a) Calcule la
magnitud de la fuerza que siente la carga q2 debido a q1 . (b) Indique la
orientación del vector por medio de los puntos cardinales.
1.3.3.
Principio de superposición
Para establecer la fuerza eléctrica que siente una carga debido a un sistema de carga se considera, de acuerdo a la experiencia, que la fuerza con la
cual dos carga interaccionan no se ve modificada por el resto de los cuerpos
cargados. Este hecho se conoce como el principio de superposición, el cual
afirma lo siguiente:
La fuerza neta sobre una carga colocada en un punto será la
suma vectorial de las fuerzas que cada conjunto de carga, actuando por separado, ocasiona al actuar sobre la carga colocada en tal punto.
16
CAPÍTULO 1. FENÓMENOS ELÉCTRICOS
Por consiguiente, la fuerza eléctrica neta (F~α ) que siente una carga qα debido
a un sistema de N cargas, digamos q1 , q2 , . . . , qN , viene dada por:
F~α = F~α1 + F~α2 + · · · + F~αN =
i=N
X
Fαi
(1.4)
i=1
Es importante hacer notar que el principio de superposición no siempre es
válido, de hecho este sólo se cumple para teorı́as que son lineales (teorı́as que
no presentan caos).
Es importante resaltar algunos aspectos relacionados con el principio de
superposición
✍ Las leyes de Newton aplica sobre los cuerpos cargados, siendo la fuerza
eléctrica (1.4) una fuerza de interacción adicional a las fuerzas mecánicas como la tensión, la normal, etc.
✍ A pesar que la tercera ley de Newton se cumple para un par de carga
no es válida cuando interviene un sistemas de partı́culas. Ası́, para
calcular la fuerza sobre cualquiera de las partı́culas que conforma una
distribución debido al resto debe usarse (1.4) y por ningún motivo (1.3).
1.4.
1.4.1.
Modelo de campo
Campo eléctrico
Cualquier región del espacio donde una carga, que llamaremos de prueba,
sienta una fuerza electrostática será denominada región de campo eléctrico.
~ depende del
La entidad llamada campo eléctrico, denotada por el sı́mbolo E,
punto donde se coloque la carga de prueba. Ası́, el campo eléctrico en un
punto con posición ~r se obtiene colocando una carga de prueba q0 en dicho
punto y midiendo la relación entre la fuerza que siente la carga de prueba
con dicha carga, esto es:
~
~ r ) = Fq 0 .
(1.5)
E(~
q0
Por depender este campo del punto donde se calcule, se dice que posee propiedades locales. La unidades para el campo eléctrico en el sistema internacional,
17
1.4. MODELO DE CAMPO
se expresan de la siguiente manera:
N
C
A continuación enunciaremos algunas propiedades generales relacionadas a
campo eléctricos:
[E] =
✍ El campo eléctrico es independiente del valor de la carga de prueba que
se use.
✍ El campo eléctrico cumple con el principio de superposición en cada
~ 1 (p), E
~ 2 (p), . . . , y E
~ N (p), es el
punto del espacio. Esto quiere decir, si E
respectivo campo eléctrico producido por cada una de las N fuentes en
el punto p, entonces el campo debido a esta distribución es:
~
~
~
~ N (p) =
E(p)
= E(p)
+ E(p)
+···+ E
i=N
X
Ei (P )
(1.6)
i=1
✍ Se dice que un campo eléctrico es homogéneo si este no depende de
los puntos del espacio. Un campo eléctrico es uniforme cuando este no
varı́a en el tiempo, en electrostática los campos ni varı́an con el tiempo
por consiguiente son uniformes.
✍ El campo eléctrico entre las superficie de un conductor es nulo, bajo
el equilibrio electrostático y en las superficies de la misma el campo eléctrico generado por un conductor cargado es perpendicular a la
~ · d` = 0 siendo d` un elemento de camino sobre la
superficie, ası́ E
superficie.
~ existe una carga Q, entonces dicha
Si en una región de campo eléctrico E
~ De manera que, la fuerza
carga siente una fuerza eléctrica dada por F~ = QE.
es paralela al campo cuando la carga es positiva y será antiparalela al campo
si la carga es negativa.
Problema 1.4.1
Una carga está suspendida mediante un hilo, si el cuerpo de masa m está cargado positivamente, cuya magnitud para la carga es Q, y se encuentra en una
~ = |E|ı̂
~ de magnitud desconocida. En presencia
región de campo eléctrico E
de este campo el cuerpo de desvı́a de la vertical formando un ángulo α
respecto a esta, quedando la carga en equilibrio. Calcule la magnitud del
campo eléctrico.
18
1.4.2.
CAPÍTULO 1. FENÓMENOS ELÉCTRICOS
Campo eléctrico para cargas puntuales
Para obtener el campo eléctrico en un punto P de una carga puntual
Q ubicada en la posición ~rQ , consideramos una carga de prueba en P y
calculemos el cociente entre la fuerza que siente dicha debido a Q y la carga
de prueba que llamaremos q0 , Ası́:
~ rP ) = 1 F~q0 Q = 1 K q0 Q ~rP Q = K Q ~rP Q
E(~
q0
q0 |~rP Q |3
|~rP Q |3
(1.7)
donde ~rP Q = ~rP − ~rQ , siendo ~rP y ~rQ la posición de los puntos P y Q respectivamente. Obsérvese que este campo satisface las propiedades generales
mencionadas, una de ellas es que depende del punto ~rP y la otra es que no
depende de la carga de prueba que se utilice. Adicionalmente, si colocamos
una carga q una posición ~rq en la región de campo producido por la carga
puntual; entonces la fuerza que siente dicha carga debido al campo e ignorando la interacción entre la fuente (Q) de campo eléctrico y q, resulta la ley
de Coulomb (1.2):
~ rq ) = q K Q ~rqQ
F~q = q E(~
|~rqQ |3
=K
qQ
~rqQ ≡ F~qQ
|~rqQ |3
La región de campo eléctrico producido por una carga puntual está caracterizada por (1.7), sin embargo puede visualizarse a través de lı́neas de intensidad
que reciben el nombre de lı́neas de campos eléctrico ó lı́neas de fuerzas. Estas lı́neas se trazan de tal modo que la tangente a ellas en cada punto
coincida con la dirección de campo y sentido del vector campo eléctrico, tal
como se muestra en la figura.
Las lı́neas de fuerza para una carga puntual, son un conjunto de rectas que
salen de la carga si esta es positiva, y entran a la carga si esta es negativa,
como se indica en la figura.
19
1.4. MODELO DE CAMPO
Problema 1.4.2
Se tiene un paralelogramo de lado a y base 2a como el mostrado en la
figura.
√ En los vértices de este paralelogramo se repartida las cargas q, −q, 2q
y − 14q como se indican. Calcule el campo
eléctrico para esta distribución
√
3
en el punto P ubicado en la posición (0, 2 a).
Y
q
P
60o
√
− 14q
2q
1.4.3.
−q
X
Movimiento de carga en un campo eléctrico
En esta sección, estudiaremos el movimiento de carga a través de una
región de campo eléctrico, despreciando los efectos magnéticos que se originan
debido al movimiento de la carga (autointeracción). Cuando una cuerpo de
~ r ), entonces
carga Q y masa m ingresa a una región de campo eléctrico E(~
~ r ).
sobre él actuara la fuerza eléctrica debido al campo, es decir F~elec = QE(~
Ası́, la dinámica del cuerpo a baja velocidades, queda regida por la segunda
ley de Newton,
X
~
F~ = mA
=⇒
~ r ) + F~mec = mA
~
QE(~
(1.8)
donde F~mec es la resultante de todas las fuerza mecánicas que existan en el
problema, tales como el peso, la tensión, la fuerza del resorte, la normal, etc.
A continuación estudiemos algunos aspectos generales de la cinemática
de cuerpos cargados en presencia de campo eléctricos.
20
CAPÍTULO 1. FENÓMENOS ELÉCTRICOS
☞ En ausencia de fuerzas mecánicas y en presencia de un campo eléctrico
~ 0 , la aceleración del cuerpo es constante A
~ = QE
~ por lo
uniforme E
m
que la integración de estas ecuaciones conduce a la expresiones de la
cinemática, esto es:
~ 2,
~r(t) = ~r0 + ~v0 t + 21 At
~ (t) = ~v0 t + At
~ ,
V
~ · ∆~r .
V 2 = v 2 + 2A
0
Obsérvese, que en este caso que una partı́cula cargada positivamente se
desvı́a en la dirección del campo, una partı́cula cargada negativamente
se desvı́a en dirección contrarı́a al campo y una partı́cula neutra se
mueve en lı́nea recta tal como se muestra en la figura 1.6.
~
E
Q<0
Región de Campo
Q=0
Q>0
Figura 1.6: Deflexión de una partı́cula cargada en un campo
☞ Supongamos el caso de una dimensión, de manera que la componente
de campo eléctrico depende de la posición x, entonces en ausencia de
Q
fuerza mecánicas la aceleración Ax = m
E(x) no es constante, debido a
la dependencia de la posición. Para encontrar la componente horizontal
de la velocidad, denotada por ux , debemos integrar, para ello se coloca
dux
dux dx
dux
=
= ux
.
dt
dx dt
dx
Sustituyendo la expresión para la aceleración e integrando, resulta que:
Ax =
Q
dux
E(x) = ux
,
m
dx
Z ux (x)
Z
Q x
ux dux =
E(x) dx ,
m x0
v0
Z
2Q x
2
2
E(x) dx ,
ux (x) = v0 +
m x0
21
1.5. DIPOLO ELÉCTRICO
luego para encontrar la posición se debe despejar la velocidad colocar
ux = dx
e integrar esta ecuación nuevamente.
Para ello conviene denotar
dt
Rx
la integral del campo como V (x) = x0E(x) dx , y luego,
r
2Q
V (x) ,
ux (x) = v02 +
m
r
dx
2Q
= v02 +
V (x) ,
dt
m
Z x(t)
Z t
dx
q
= dt ,
x0
0
v02 + 2Q
V
(x)
m
Z x(t)
dx
q
,
t=
x0
v02 + 2Q
V
(x)
m
A los puntos señalados anteriormente, es posible agregarle la interacción
gravitacional, esto produce una sutil complicación matemática, pero la
ideas centrales ya están expuestas.
1.5.
Dipolo eléctrico
Se llama dipolo eléctrico a un sistema de dos cargas puntuales +q y
−q, iguales en magnitud pero de signos opuestos, separadas una de la otra
por una distancia ` mucho menor que la distancias hasta aquellos puntos en
que se determina el campo del sistema. El eje que pasa por los centros de
ambas carga recibe el nombre de eje del dipolo, tal como se muestra en la
figura.
~r−
−q
~`
+q
~r+
Figura 1.7: Dipolo eléctrico entre dos cargas
El dipolo eléctrico está caracterizado por la expresión
p~ = q ~` con ~` = ~r− − ~r+
(1.9)
22
CAPÍTULO 1. FENÓMENOS ELÉCTRICOS
donde ~` es un vector de magnitud igual a la separación de las dos cargas y
está dirigido a lo largo del eje del dipolo desde la carga negativa a la carga
positiva. Los vectores ~r− y ~r+ son las posiciones de las −q y +q respectivamente.
Para el caso de un sistema de N partı́culas cargadas con q1 , q2 , . . . , qN ,
el momento dipolar viene dado por:
p~ =
i=N
X
qi~ri
(1.10)
i=1
siendo ~ri la posición de la carga qi . Obsérvese que se obtiene el resultado (1.9)
cuando el sistema está conformado por dos carga de igual magnitud pero de
signos opuesto, es decir q1 = q y q2 = −q.
El momento dipolar exhibe un propiedad interesante, la cual es satisfecha
por todo los cuerpos de la naturaleza que son eclécticamente neutros.
P
Sı́ la suma de un sistema de carga en cero, esto es
qi = 0,
el vector momento dipolar eléctrico p~ es independiente del origen. Por lo que se puede elegir cualquier sistema de coordenada para calcularlo.
Esto puede demostrase de manera muy sencilla, ya que si cambiamos el origen
de un sistema de coordenada a otro desplazado con respecto al primero en
~ entonces todas las posiciones respecto a este nuevo origen son
un vector D,
~
~
Ri = D + ~ri , ası́ el momento dipolar eléctrico en el nuevo origen es:
!
i=N
i=N
i=N
i=N
X
X
X
X
~i =
~ + ~ri ) =
~+
p~R =
qi R
q i (D
qi R
qi~ri = p~
i=1
i=1
i=1
1.5.1.
Campo de un dipolo eléctrico
1.5.2.
Torque sobre un dipolo eléctrico
i=1
Capı́tulo 2
Distribuciones continuas de
cargas
2.1.
Densidades de carga
Una densidad es una relación que debe existir entre una fuente y como
estarı́a, dicha fuente distribuida en el espacio.En particular se trabajaran con
tres distribuciones de carga.
✍ Densidad lineal de carga (λ): se define como la relación entre la carga
y la longitud que la contiene, esto es,
λ=
Carga
Longitud donde está contenida la carga.
=⇒
λ=
Q
`Q
(2.1)
✍ Densidad superficial de carga (σ): se define como la relación entre la
carga y el área que la contiene, esto es,
σ=
Carga
área donde está contenida la carga.
=⇒
σ=
Q
AQ
(2.2)
✍ Densidad volumétrica de carga (ρ): se define como la relación entre la
23
24
CAPÍTULO 2. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGAS
carga y el volumen que la contiene, esto es,
ρ=
Carga
volumen donde está contenida la carga.
=⇒
ρ=
Q
VQ
(2.3)
Se dice que una densidades de carga es uniforme cuando esta permanece
constante independientemente de la porción de carga que se tome. Sin embargo, cuando esta no es uniforme se debe tomar un elemento infinitesimal
de carga la cual debe estar contenida en un elemento de región, esto es:
λ=
dq
d`
σ=
dq
dA
ρ=
dq
dV
(2.4)
A partir de estas expresiones se podrá calcular la carga contenida en determinada región del espacio, para ello usamos algunas de las siguientes expresiones:
Z
Z
Z
σ dA Qtotal =
ρ dV
(2.5)
λ d` Qtotal =
Qtotal =
En toda
la longitud
En toda
la superficie
En todo
el volumen
Problema 2.1.1
Se tiene una varilla de longitud ` = 3cm la cual posee una carga neta
Q = 3C. (a) ¿Cuál será la densidad lineal? si la carga está uniformemente
distribuida. (b) ¿Qué carga está contenida a una longitud de 32 `? para el
caso en que la densidad de carga es uniforme (c) ¿Qué valor de carga
está contenida a 32 `? si la densidad varia con la longitud de la forma
λ(x) = 2Qx
donde x es la posición de un punto sobre la varilla medida desde
`2
un extremo de la misma.
2.2.
Cálculo de campo eléctrico mediante la
ley de Coulomb
Para calcular el campo eléctrico de un cuerpo extenso y cargado en un
punto P ubicado en una posición ~rp , el cual tiene distribuida la carga en
toda su región, se toma un elemento infinitesimal de carga dq colocado en
una posición arbitraria sobre el cuerpo ~rq . El elemento de carga infinitesimal
25
2.3. UN ANILLO CARGADO
dq puede considerarse como una fuente puntual, el cual produce un elemento
infinitesimal de campo en el punto P , tal como se indica en la figura. Utilizando la ley de Coulomb, para obtener el elemento infinitesimal de campo,
podemos escribir
~ rp ) = K dq ~rpq
(2.6)
dE(~
|~rpq |3
donde ~rpq = ~rp − ~rq es la posición relativa desde el elemento de carga dq
hasta el punto donde se desea calcular el campo. El campo debido a toda la
distribución continua se obtiene integrando la ecuación (2.6), para obtener
Z
~rpq
~ rp ) = K
E(~
dq
(2.7)
Toda la
rpq |3
Región del |~
cuerpo
El elemento infinitesimal de carga puede ser sustituido por alguna de las
expresiones de (2.4) según sea la forma de la región de la fuente.
2.3.
Un anillo cargado
Consideremos un anillo de radio R y carga Q distribuida uniformemente en todo su longitud (2πR), Estamos interesados en calcular el campo
eléctrico en un punto arbitrario al eje del anillo que pasa por su centro y es
perpendicular al área de este,
Z como se muestra en la figura 2.1.
θ
dq1
~ 1 (~rp )
dE
Y
X
dq2
~ 2 (~rp )
dE
Figura 2.1: Campo eléctrico de una anillo cargado.
Por simetrı́a, se ha tomado dos elementos de carga infinitesimal de igual
magnitud (dq1 = dq2 = dq), esto a su ves genera dos elementos infinitesimales
en dicho punto. Además, se considera que el punto P está ubicado en la
26
CAPÍTULO 2. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGAS
posición ~rp = 0ı̂ + y̂ + 0k̂ y las posiciones genéricas para los elementos de
cargas dq1 y dq2 son ~rq1 = −R sin θı̂ + R cos θ k̂ y ~rq2 = −~rq1 = R sin θı̂ −
R cos θ k̂ respectivamente, donde el ángulo θ varı́a desde θ = 0 hasta θ = π.
En tal sentido, el campo que produce cada elemento de carga en P es:
dq
dq1
(R sin θı̂ + y̂ − R cos θ k̂)
~
r
=
K
pq
1
|~rpq1 |3
(R2 + x2 )3/2
dq
~ 2 (~rp ) = K dq2 ~rpq2 = K
dE
(−R sin θı̂ + y̂ + R cos θ k̂)
3
|~rpq2 |
(R2 + x2 )3/2
~ 1 (~rp ) = K
dE
Q
permanece consteniendo en cuente que la densidad lineal de carga λ = 2πR
tante, ya que la carga Q está distribuida uniformemente, podemos escribir el
elemento de carga usando (2.4), esto es
dq = λd` =
Q
Qdθ
d(Rθ) =
2πR
2π
. si aplicamos superposición, para obtener el campo en P e integrando sobre
toda la fuente, obtendremos:
~ rp ) =
dE(~
2Kydq
̂
(R2 + y 2 )3/2
=⇒
Z
π
2Ky
Qdθ
̂
2
3/2
+y )
2π
0
Z
KQy
1 π
=
dθ
̂
(R2 + y 2 )3/2 π 0
KQy
=
̂
2
(R + y 2 )3/2
~ rp ) =
E(~
(R2
esto permite concluir que el campo eléctrico sobre el eje de un anillo a una
distancia x del centro del mismo vienen dado por:
~ rp ) =
E(~
KQ
~rp
(R2 + |~rp |2 )3/2
(2.8)
siendo ~rp un vector cuya cola está en el centro del anillo y la punta es cual-
27
2.3. UN ANILLO CARGADO
quier punto sobre el eje del anillo.
Problema 2.3.1
Considere dos anillos cargados uniformemente de radio a y b, de manera
que los ejes de cada anillo coincide. El anillo de radio a posee carga +Q y
está a la derecha de otro anillo de carga −Q, cuyos centros están separados
por una distancia D. Calcule el campo eléctrico en un punto P ubicado a
una distancia x medido desde el centro del anillo derecho y sobre el eje de
los anillo. ¿Cuál será la fuerza que sentirá una carga q en el punto P ?
2.3.1.
El disco cargado uniformemente
Un disco puede ser considerado como una sucesión concéntrica de anillo
de radio variable. En esta sección, se calculará el campo de un disco cargado
uniformemente en puntos sobre un eje que pasa por el centro del disco y es
perpendicular a su área (eje del disco). Para ello, se considera el campo de
un anillo de carga dq como un elemento infinitesimal del campo generado por
el disco, tal como se indica en
Z la figura 2.2.
r
~ rp )
dE(~
P
Y
X
Figura 2.2: Campo eléctrico de un disco cargado
Usando (2.8) para escribir el elemento de campo generado por un de anillo
de carga dq, además colocando que el anillo posee un radio arbitrario r y el
punto P está ubicado a una posición ~rp = y̂, entonces
~ rp ) =
dE(~
(r 2
Kydq
̂ .
+ y 2 )3/2
Q
Teniendo en cuente que la densidad superficial de carga σ = πR
2 permanece constante, ya que la carga Q está distribuida uniformemente, podemos
28
CAPÍTULO 2. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGAS
escribir el elemento de carga el cual está contenido en un elemento de área
igual a dA = 2πrdr usando (2.4), esto es
dq = σdA =
Q
2Q
(2πrdr) = 2 rdr
2
πR
R
~ rp ) y luego
. sustituyendo el elemento de carga dq en la expresión para dE(~
integrando desde r = 0 hasta r = R resulta:
2Kydq
̂
+ y 2 )3/2
Z π
2Kydq 2Q
~
E(~rp ) =
rdr ̂
2
2 3/2 R2
0 (r + y )
Z R
4KyQ
rdr
̂
=
3/2
2
R
0 (r 2 + y 2 )

r=R 
1
4KyQ 

p
̂ −
=
2
2
2
R
r + y r=0
"
#
4KQ y̂
y̂
=
−p
R2
|y|
R2 + y 2
~ rp ) =
dE(~
(r 2
si denotamos por ~rp = y̂ y teniendo en cuenta que r̂p =
campo eléctrico toma la siguiente expresión,
y̂
,
|y|
entonces el
"
#
4KQ
1
~ rp ) =
E(~
r̂p − p
~rp
R2
R2 + |~rp |2
(2.9)
siendo ~rp un vector que va desde el centro del disco hasta el punto P que
está sobre el eje.
2.4.
El alambre uniformemente cargado
Consideremos un alambre de longitud `, el cual posee carga una carga Q
distribuida de manera uniforme. El campo eléctrico de esta distribución en
un punto P ubicado a una altura b y a una distancia a del extremo derecho
2.4. EL ALAMBRE UNIFORMEMENTE CARGADO
del alambre, tal como se muestra en la figura 2.3.
Y
x
29
P = (a + `, b)
dq
X
a
`
Figura 2.3: Campo eléctrico para un alambre uniformemente cargado
Tomando un elemento de carga infinitesimal dq ubicado a una posición
~rq = xı̂, además conocemos la posición del punto P , la cual viene dada por
~rp = (`+a)ı̂+b̂, entonces el elemento de campo producido por este diferencial
de carga viene dado por:
~ rp ) = dE(~
Kdq
(a + ` − x)2 + b2
3/2
a + ` − x ı̂ + b̂ .
Teniendo en cuenta que la densidad lineal de carga λ = Q` permanece constante, podemos escribir el elemento de carga dq contenido en una longitud
d` = dx como:
Q
dq = λd` = dx
`
que al sustituirlo en la expresión para el elemento de campo producido por
dq, además de integrar desde x = 0 hasta x = `, resulta:
K Q` dx
~
dE(~rp ) = 3/2 [(a + ` − x) ı̂ + b̂]
(a + ` − x)2 + b2
Z
KQ ` (a + ` − x) ı̂ + b̂
~
dx
E(~rp ) =
` 0 (a + ` − x)2 + b2 3/2
" Z
#
Z `
`
KQ
(a + ` − x)dx
dx
ı̂
=
3/2 + b̂
3/2
`
0
0
(a + ` − x)2 + b2
(a + ` − x)2 + b2

x=` 
x=`
ı̂
KQ 
b̂
a+l−x

p
p
=
−
2
2
2
2
2
`
(a + l − x) + b x=0 b
(a + l − x) + b x=0
"
! #
!
KQ
1
1
(` + a)/b
a/b
√
=
−p
−p
̂
ı̂ − √
`
a2 + b 2
a2 + b 2
(` + a)2 + b2
(` + a)2 + b2
30
CAPÍTULO 2. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGAS
Ası́, el campo eléctrico en el punto P con coordenadas (` + a, b) toma la
siguiente forma:
"
#
bı̂
−
a̂
KQ
bı̂
−
(`
+
a)̂
~ rp ) =
√
E(~
− p
(2.10)
`
b a2 + b2 b (` + a)2 + b2
Esta expresión nos permite obtener el campo eléctrico en varios puntos del
plano, para ello basta con asignarle valores a las coordenadas del punto P .
✐ Campo a la mitad del alambre: se quiere obtener una expresión para
el campo eléctrico producido por una alambre sobre un eje transversal
que corta a la mitad al alambre. Para ello basta con colocar a = −`/2
en (2.10), ası́:
~ rp ) = 2KQ p 1
~rp
(2.11)
E(~
|~rp |2
`2 + 4|~rp |2
donde ~rp = b̂ es un vector que está dirigido desde la mitad del alambre
hasta en punto sobre el eje transversal que corta al alambre.
✐ Campo a un extremo del alambre: se quiere obtener una expresión para el campo eléctrico producido por una alambre sobre un eje transversal que corta el extremo derecho del alambre. Para ello basta con
colocar a = 0 en (2.10), ası́:
1
KQ
1
`/b
~
E(~rp ) =
(2.12)
−√
ı̂ + √
̂
`
|b|
`2 + b 2
`2 + b 2
donde ~rp = b̂ es un vector que está dirigido desde la mitad del alambre
hasta en punto sobre el eje transversal que corta al alambre.
✐ Campo a un extremo lateral del alambre: se quiere obtener una expresión para el campo eléctrico producido por una alambre sobre un extremo del eje del alambre, tal como se muestra en la figura . Para ello
no basta con colocar b = 0 puesto que (2.10) es divergente al tomar
ese lı́mite. Sin embargo, al repetir el procedimiento se observa que la
componente ̂ se anula cuando b = 0, en tal sentido basta tomar la
componente ı̂ de (2.10) con b = 0 resultando:
1
KQ 1
~
−
E(~rp ) =
ı̂
(2.13)
`
|a| |` + a|
31
2.4. EL ALAMBRE UNIFORMEMENTE CARGADO
2.4.1.
Alambre infinito y semi-infinito
Cuando se tienen distribuciones infinitas, se requiere que la carga esté uniformemente distribuida en toda la región (la cual no tiene frontera por ser
infinita), de manera que la densidad de carga permanezca constante en cualquier punto sobre la distribución infinita. En tal sentido, para un alambre
infinito se requiere que λ permanezca constante.
Para obtener el campo de un alambre infinito, es posible usar el resultado
(2.11) con ` → ∞, sin embargo se debe tener en cuenta que el cociente λ = Q`
debe permanecer constante. Por tal razón, se debe escribir (2.11) en términos
de λ y luego tomar el lı́mite ` → ∞, resultando ası́:
~ rp ) = 2Kλ ~rp
E(~
|~rp |2
(2.14)
siendo este el campo producido por un alambre infinito, sobre puntos que
son radiales al eje del alambre, tal como se muestra en la figura 2.4.
~ rp )
E(~
~rp
λ
Figura 2.4: Campo eléctrico para un alambre infinito uniformemente cargado
Ahora consideremos el campo producido por un alambre semi-infinito, el
cual posee una densidad lineal de carga λ constante, en un punto P ubicado
en el extremo derecho y separado por una distancia horizontal a y una altura
b tal como se indica en la figura .
32
CAPÍTULO 2. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGAS
Y
P = (a + `, b)
λ
x
dq
X
a
`
Figura 2.5: Campo de un alambre semi-infinito a la derecha del
2.4.2.
2.5.
Plano infinito
Ley de Gauss
2.5.1.
Geometrı́a plana para la ley de Gauss
2.5.2.
Geometrı́a esférica para la ley de Gauss
2.5.3.
Geometrı́a cilı́ndrica para la ley de Gauss
2.6.
Discontinuidad del campo eléctrico
Capı́tulo 3
Potencial eléctrico y energı́a
electrostática
33
Capı́tulo 4
Circuitos
4.1.
Capacidad
4.2.
corriente eléctrica
4.3.
Circuitos RC de corriente continua
4.4.
Instrumento de medidas
34
Parte II
Magnetostática
35
Capı́tulo 5
campo magnético
36