Teor´ıa y Pol´ıtica Fiscal Repaso Ecuaciones Diferenciales y

Teorı́a y Polı́tica Fiscal
Repaso Ecuaciones Diferenciales y Control Óptimo
Esteban Tamayo
1.
Ecuaciones Diferenciales
En general trabajaremos con Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden con
Coeficientes Variables. La forma general de una de estas ecuaciones es:
ẏ(t) + p(t)y(t) = q(t)
(1)
dy
. Aquı́ p(t) y q(t) son funciones conocidas del tiempo. Decimos que la ecuadt
ción tiene coeficientes variables justo porque p(t) puede cambiar en el tiempo. Si la función
p(t) resulta ser una constante, la ecuación diferencial tendrı́a coeficientes constantes.
donde ẏ(t) :=
No trabajaremos con ecuaciones no lineales, e.g.:
ẏ(t) + p(t)y 2 (t) = q(t)
En general no trabajaremos con ecuaciones de órdenes mayores, e.g.:
ÿ(t) + p(t)y(t) = q(t)
Nuestro objetivo al resolver una ecuación de este tipo es encontrar una expresión para la
función y(t).
1.1.
Solución Usando un Factor Integrante
Solucionar la ecuación diferencial de esta manera se basa en observar que la parte
izquierda de (1) se asemeja mucho a la solución que uno encontrarı́a al tomar la derivada
de un producto de funciones. Recordemos que la derivada de un producto de dos funciones
f (x) y g(x) es:
d
(f (x)g(x)) = f (x)g 0 (x) + f 0 (x)g(x)
dx
Teniendo esto en cuenta, consideremos la función:
f (t) = µ(t)y(t)
Donde y(t) es nuestra incógnita del problema original y µ(t) es alguna función del tiempo,
que aún no conocemos. Tomando la primera derivada de esta función con respecto al tiempo
obtenemos:
d
f˙(t) =
(µ(t)y(t)) = µ(t)ẏ(t) + µ̇(t)y(t)
(2)
dt
1
Ahora, si multiplicamos la ecuación diferencial original (1) por µ(t), obtenemos:
µ(t)ẏ(t) + µ(t)p(t)y(t) = µ(t)q(t)
(3)
Comparando la ecuación (2) con el lado izquierdo de la ecuación (3) observamos que
son iguales cuando:
µ̇(t) = µ(t)p(t)
(4)
Si (4) es cierto, entonces la ecuación (3) se puede escribir como:
µ(t)ẏ(t) + µ̇(t)y(t) = µ(t)q(t)
d
(µ(t)y(t)) = µ(t)q(t)
dt
(5)
Integrando la ecuación (5) a ambos lados con respecto a t obtenemos una expresión para
y(t), cumpliendo nuestro propósito original y ası́ resolviendo la ecuación diferencial:
Z
Z
d
(µ(t)y(t)) dt = µ(t)q(t) dt
dt
Z
µ(t)y(t) = µ(t)q(t) dt + c
Z
1
1
µ(t)q(t) dt +
c
(6)
y(t) =
µ(t)
µ(t)
Donde c es una constante de integración que se define por condiciones iniciales o finales.
Ya tenemos una solución para la ecuación diferencial donde conocemos q(t), pero aún
no conocemos µ(t). Debemos entonces construir esta función a partir de algo conocido.
Para hacer esto, partimos de la condición de igualdad que impusimos en la ecuación (4).
Reorganizando esa ecuación obtenemos:
µ̇(t)
= p(t)
µ(t)
Integrando ambos lados de esta ecuación con respecto a t obtenemos:
Z
Z
µ̇(t)
dt = p(t) dt
µ(t)
Z
ln µ(t) + c = p(t) dt
Z
µ(t) = exp
p(t) dt − c
2
(7)
Dado que µ(t) es una función auxiliar que estamos construyendo, podemos usar cualquier valor para la constante de integración. Por simplicidad fijaremos, para esta función,
c = 0. Adicionalmente, como p(t) es una función conocida del tiempo, la construcción del
factor integrante se hace posible. Denominaremos la función µ(t) como el factor integrante.
Recibe este nombre debido a que, si la ecuación diferencial en la forma de la ecuación (1)
que se busca resolver se multiplica por esta función, el lado izquierdo resultante se puede
escribir como la derivada de un producto y se puede integrar fácilmente.
Factor Integrante:
Z
µ(t) = exp
p(t) dt
(8)
Para resolver cualquier ecuación diferencial lineal de primer orden es usual seguir los
siguientes pasos:
1) Reorganizar la ecuación en la forma de la ecuación (1), i.e, en la forma:
y(t) + p(t)y(t) = q(t)
Esto permite identificar facilmente las funciones p(t) y q(t). Note que el coeficiente de
ẏ(t) es igual a uno.
2) Construir el factor integrante µ(t) a partir de la ecuación (8), usando la función p(t).
3) Multiplicar la ecuación diferencial (la cual debe estar en la forma mencionada) por el
factor integrante para obtener:
µ(t)ẏ(t) + µ(t)p(t)y(t) = µ(t)q(t)
4) Dado que el factor integrante fue construido tal que µ̇(t) = µ(t)p(t), se reescribe la
ecuación anterior como:
d
(µ(t)y(t)) = µ(t)q(t)
dt
5) Se integra esta ecuación a ambos lados con respecto al tiempo y se despeja y(t), encontrando una solución a la ecuación diferencial.
6) De existir, se usan las condiciones iniciales para encontrar el valor de la constante.
Podemos seguir estos pasos para la ecuación (1), encontrando ası́ una solución general
para cualquier ecuación diferencial lineal de primer order. Esta se obtiene reemplazando el
factor integrante (8) en la ecuación (6).
3
Solución General:
Z
Z
Z
Z
y(t) = exp − p(t) dt
exp
p(t) dt q(t) dt + c exp − p(t) dt
(9)
Esta solución general presenta una solución a la ecuación diferencial en términos de
las dos funciones conocidas p(t) y q(t). De nuevo, la constante c se encuentra usando
condiciones iniciales o finales. Tanto el procedimiento con el factor integrante como la
solución general llevarán a la misma solución, aunque la “facilidad” con que se llega a la
solución con uno u otro método cambiará según la forma de p(t) y q(t).
1.2.
Ejemplos
Resolvamos las siguientes ecuaciones diferenciales usando el factor integrante y la solución general.
1.2.1.
ED: tẏ(t) + 2y(t) = 4t2 , Condición inicial: y(1) = 4
Sigamos los pasos necesarios para usar el factor integrante:
1) Reorganizamos la ecuación:
tẏ(t) + 2y(t) = 4t2
2
ẏ(t) + y(t) = 4t
t
Podemos observar que:
2
t
q(t) = 4t
p(t) =
2) Construimos el factor integrante:
Z
µ(t) = exp
p(t) dt
Z
2
µ(t) = exp
dt
t
µ(t) = exp [2 ln t + c] donde fijamos c = 0
µ(t) = exp ln t2
µ(t) = t2
4
3) Multipliquemos la ecuación diferencial por el factor integrante:
2
t2 ẏ(t) + t2 y(t) = t2 (4t)
t
t2 ẏ(t) + 2ty(t) = 4t3
4) Ahora el lado izquierdo de la anterior ecuación se puede escribir como la derivada del
producto del factor integrante y la incógnita y(t):
d 2
t y(t) = 4t3
dt
5) Finalmente, integramos esta ecuación a ambos lados con respecto al tiempo y despejamos y(t), encontrando una solución a la ecuación diferencial:
Z
Z
d 2
t y(t) dt = 4t3 dt
dt
t2 y(t) = t4 + c
c
y(t) = t2 + 2
t
6) Como sabemos que y(1) = 4, podemos encontrar el valor de la constante:
y(1) = 4 = (1)2 +
c
(1)2
4=1+c
c=3
La solución de la ecuación diferencial es:
y(t) = t2 +
3
t2
Si usamos la solución general, basta con reemplazar p(t) y q(t) en (9):
Z
Z
Z
Z
y(t) = exp − p(t) dt
exp
p(t) dt q(t) dt + c exp − p(t) dt
Z Z
Z Z 2
2
2
y(t) = exp −
dt
exp
dt (4t) dt + c exp −
dt
t
t
t
Z Z
Z Z 1
1
1
y(t) = exp −2
dt
exp 2
dt (4t) dt + c exp −2
dt
t
t
t
5
Z
y(t) = exp [−2 ln(t)]
exp [2 ln(t)] (4t) dt + c exp [−2 ln(t)]
Z
y(t) = exp ln t−2
exp ln t2 (4t) dt + c exp ln t−2
Z
c
1
y(t) = 2 4t3 dt + 2
t
t
c
1 4
y(t) = 2 t + d + 2
t
t
c+d
2
y(t) = t + 2
t
Usando condiciones iniciales:
c+d
(1)2
4=1+c+d
y(1) = 4 = (1)2 +
c+d=3
Llegamos ası́ a la solución:
y(t) = t2 +
1.2.2.
3
t2
ED: −λ̇(t) = λ(t) (r(t) − n)
En este ejemplo resolveremos las segunda CPO del Modelo de Ramsey presentado
en Fergusson y Suárez (2010, Ch. 2). Sigamos los pasos necesarios para usar el factor
integrante:
1) Reorganizamos la ecuación:
−λ̇(t) = λ(t) (r(t) − n)
−λ̇(t) − λ(t) (r(t) − n) = 0
λ̇(t) + λ(t) (r(t) − n) = 0
Podemos observar que:
p(t) = r(t) − n
q(t) = 0
6
2) Construimos el factor integrante:
Z
µ(t) = exp
p(t) dt
Z
µ(t) = exp
r(t) − n dt
Nota: Siguiendo el libro, podemos simplificar un poco la notación del factor integrante
usando la definición de la tasa de interés promedio hasta el periodo t:
Z
1 t
r(s) ds
r̄(t) =
t 0
Teniendo en cuenta lo anterior y usando s como la variable de integración:
Z t
Z t
Z t
t
µ(t) = exp
r(s) ds −
n ds
multiplicando
r(s) ds por ,
t
0
0
0
Z t
t
µ(t) = exp
r(s) ds − n(t − 0) + c
usando la definición de r̄(t),
t 0
µ(t) = exp [tr̄(t) − nt + c] donde fijamos c = 0
µ(t) = exp [(r̄(t) − n) t]
3) Multipliquemos la ecuación diferencial por el factor integrante:
Z
Z
exp
r(t) − n dt λ̇(t) + exp
r(t) − n dt (r(t) − n) λ(t) = 0
o, de manera equivalente,
exp [(r̄(t) − n) t] λ̇(t) + exp [(r̄(t) − n) t] (r(t) − n) λ(t) = 0
4) Ahora el lado izquierdo de la anterior ecuación se puede escribir como la derivada del
producto del factor integrante y la incógnita λ(t)1 :
d
(exp [(r̄(t) − n) t] λ(t)) = 0
dt
5) Finalmente, integramos esta ecuación a ambos lados con respecto a s entre 0 y t y
1
Esto se ve más facil al usar el factor integrante en su forma original, como en la penúltima ecuación.
Sin embargo usaremos la notación de Fergusson y Suárez (2010, Ch. 2).
7
despejamos λ(t), encontrando una solución a la ecuación diferencial2 :
Z
0
t
Z t
d
0 ds
(exp [(r̄(s) − n) s] λ(s)) ds =
ds
0
t
t
= c
exp [(r̄(s) − n) s] λ(s)
s=0
s=0
exp [(r̄(t) − n) t] λ(t) − exp [(r̄(0) − n) 0] λ(0) = c − c
exp [(r̄(t) − n) t] λ(t) − λ(0) = 0
exp [(r̄(t) − n) t] λ(t) = λ(0)
λ(t) = λ(0) exp [− (r̄(t) − n) t]
6) Al integrar usando una integral definida, la constante de integración no es arbitraria,
entonces no es necesario encontrarla en este caso. De haber usado una integral indefinida
para resolver la ecuación, tendrı́amos una constante arbitraria, la cual encontrarı́amos
usando condiciones iniciales.
La solución de la ecuación diferencial es:
λ(t) = λ(0) exp [− (r̄(t) − n) t]
Nota: Si se usa la solución general, la solución se encuentra más fácilmente en este caso.
¡Inténtelo!
2.
Teorı́a del Control Óptimo
Aquı́ nos enfrentamos a un problema de optimización dinámica donde tenemos dos
tipos fundamentales de variables:
1) Variables de Estado: Describen el estado del sistema dinámico. Usaremos x(t) para
denotar este tipo de variables. Puede haber más de una variable de estado en el problema
de optimización. Ejemplos: PIB, Utilidad, Stock de Capital.
2) Variables de Control: Variables sobre las cuales se toman decisiones. Usaremos u(t)
para denotar este tipo de variables. Puede haber más de una variable de control en el
problema de optimización. Ejemplos: Tasa de Interés, Tasa o Nivel Impositivo, Cantidad
de Trabajo Ofrecido.
El objetivo es tomar decisiones sobre las variables de control u(t) de tal manera que se
puedan encontrar las trayectorias óptimas tanto de las variables de estado (que denotaremos
x∗ (t)) y de las variables de control (que denotaremos u∗ (t)).
2
Si se toma simplemente la integral indefinida con respecto a t, obtendremos una constante arbitraria
en vez de λ(0) como la constante en este caso.
8
2.1.
Forma General del Problema
En cada momento del tiempo tendremos una función que se busca maximizar. Esta
función depende del tiempo, de las variables de estado y de las variables de control. En
general es de la forma:
f (t, x(t), u(t))
(10)
Debemos recordar que puede haber cualquier número de variables x(t) o u(t). Sin embargo,
como queremos encontrar las trayectorias optimas en cada momento del tiempo, definimos
un funcional V [x, u] que depende de las funciones x y u en todo momento del tiempo 3 :
Z ∞
V [x, u] =
f (t, x(t), u(t)) dt
(11)
0
Aunque aquı́ escribimos el funcional como una integral entre cero e infinito, el problema
también puede tener un horizonte finito, en cuyo caso la integral estará definida entre cero
y un tiempo terminal T .
Teniendo este funcional objetivo, buscamos entonces encontrar formas para las funciones u(t) (trayectorias óptimas de los controles) que optimicen las funciones x(t) (trayectorias de los estados). Para que esto sea posible, necesitamos relacionar las variables de
control u(t) con las variables de estado x(t) de alguna manera. Por lo tanto necesitamos
incluir algunas relaciones entre estos dos tipos de variables, las cuales serán restricciones
en el problema de optimización. Estas relaciones en general describen como cambia cada
variable de estado en cada momento del tiempo en función principalmente de alguna o algunas variables de control, y posiblemente en función de las variables de estado y el tiempo.
Dichas relaciones se conocen como ecuaciones de movimiento, y se presentan de la forma:
ẋ(t) = g(t, x(t), u(t))
(12)
Para poder encontrar la trayectoria óptima de los estados, se necesita una ecuación de
movimiento para cada variable de estado.
Finalmente, el problema requiere de condiciones iniciales y posiblemente condiciones
terminales. Las condiciones terminales se pueden escribir como una condición de transversalidad4 . En nuestro caso, las condiciones de transversalidad tendrán una interpretación
económica interesante. Sin embargo debemos mencionar primero un tercer tipo de variables
que aparecerán en el problema de optimización:
3
Un funcional es similar a una función, con la diferencia de que toma funciones, y no variables, como su
argumento. Es decir, el funcional depende de la forma de las funciones que toma como argumento y no de
las variables de las cuales estas funciones dependen, lo cual es el caso de una variable compuesta. Note como
en el funcional que utilizamos, como tomamos la integral sobre el tiempo, no hay“cambios” en el tiempo
que modifique el funcional. Por lo tanto, el valor del funcional solo cambia cuando cambia la forma de x y
u.
4
La condición de transversalidad recibe su nombre debido a que describe como las variables del sistema
“atraviesan” la curva sobre la cual se define el fin del sistema dinámico.
9
3) Variables de Coestado: Acompañan las variables de estado, cumpliendo un papel
similar a los multiplicadores de Lagrange en un problema de optimización estática.
Usaremos λ(t) para denotar este tipo de variables. Habrá una variable de coestado
por cada variable de estado en el problema de optimización, cumpliendo el papel de
multiplicador para su correspondiente restricción (ecuación de movimiento). Tal como
en el caso estático, esta variable se puede entender como un “precio sombra”, i.e., el
cambio marginal en el valor óptimo de la función objetivo (y por ende el beneficio
marginal) generado al relajar marginalmente la restricción asociada a esa variable de
coestado.
Dado la interpretación de la variable de coestado, la condición de transversalidad que
utilizaremos serán en general de las siguientes formas:
Con horizonte finito:
x(T ) ≥ 0
λ(T ) ≥ 0
λ(T )x(T ) = 0
Con horizonte infinito:
lı́m x(T ) ≥ 0
T →∞
lı́m λ(T ) ≥ 0
T →∞
lı́m λ(T )x(T ) = 0
T →∞
Estas condiciones de transversalidad dicen que al final del periodo de vida del agente
en cuestión no puede haber valores negativos de las variables de estado ni de la utilidad
marginal de relajar las restricciones (primeras dos ecuaciones en cada caso). Adicionalmente, al final de los tiempos los agentes querrán hacer uso de las variables de estado en su
totalidad, bien sea porque se “usa” totalmente la variable como tal, o la utilidad marginal
que se puede generar al relajar su respectiva restricción se vuelve nula.
Ya contamos con todos los elementos para plantear el problema de optimización dinámica que buscamos resolver. Siendo ası́, el problema de optimización dinámica implica maximizar el funcional objetivo en función de las variables de control, sujetos a la ecuaciones
de movimiento, a las condiciones iniciales y finales, y a las condiciones de trasnversalidad.
En su forma general el problema es:
10
Z
u(t)
∞
f (t, x(t), u(t)) dt
máx V [x, u] =
0
s.a. ẋ(t) = g(t, x(t), u(t))
· Condiciones Iniciales/Finales
· Condiciones de Transversalidad
Es importante anotar que en los problemas de control óptimo siempre estamos resolviendo un problema de maximización. Por lo tanto, si quisiéramos encontrar un mı́nimo
basta con definir el funcional objetivo como el negativo del funcional que se plateó acá.
2.2.
Función Auxiliar: Hamiltoniano
Como en el caso estático, donde usábamos el Lagrangiano como función auxiliar al
problema como herramienta para resolverlo, en el caso dinámico contamos con el Hamiltoniano. En su forma general definiremos el Hamiltoniano como:
Hamiltoniano:
H(t, x(t), u(t), λ(t)) := f (t, x(t), u(t)) + λ(t)g(t, x(t), u(t))
(13)
Aquı́, f (t, x(t), u(t)) es la función objetivo que planteamos en (10), y es la misma función que se encuentra dentro de la integral en el funcional en (11), g(t, x(t), u(t)) es la parte
derecha de la ecuación de transición planteada en (12), y λ(t) es la variable de coestado
asociada a esta restricción. Recordemos que habrá una variable de coestado y una restricción por cada variable de estado.
Nota Importante: A diferencia del Lagrangiano utilizado en optimización estática donde
el signo que acompañaba el multiplicador de Lagrange podı́a ser negativo o positivo, el
signo que acompaña la variable de coestado en el caso del Hamiltoniano siempre tiene que
ser positivo.
Para asegurar la existencia de un óptimo se deben cumplir una serie de condiciones
necesarias de primer orden. Es importante aclarar que estas condiciones son necesarias,
más no suficientes, para asegurar la existencia de un máximo. Sin embargo, las funciones
que utilizaremos (y que en general se utilizan en Economı́a) son funciones bien comportadas que tienen las caracterı́sticas necesarias para aseguran que un máximo mientras se
cumplan estas condiciones necesarias, haciéndolas suficientes en nuestro caso. En general,
las condiciones necesarias son de tres tipos.
11
Condiciones Necesarias de Primer Órden:
1)
∂H(·)
= 0 : La elección de u(t) debe maximizar H(·) en cualquier momento t.
∂u(t)
2)
∂H(·)
= −λ̇(t) : Ecuaciones de movimiento de las variables de coestado.
∂x(t)
3)
∂H(·)
= ẋ(t) : Ecuaciones de movimiento de las variables de estado.
∂λ(t)
Cabe recordar que habrá una restricción del tipo ‘1’ por cada variable de control, y una
restricción del tipo ‘2’ y del tipo ‘3’ por cada variable de estado.
2.3.
Ejemplo: Crecimiento Económico en un Modelo de Un Sector
Resolvamos un problema completo usando la teorı́a del control óptimo. Este es un ejemplo que contiene los elementos básicos de un problema de este tipo, y nos permitirá repasar
el uso de ecuaciones diferenciales y sus soluciones.
2.3.1.
Planteamiento
Supongamos una economı́a infinita donde se produce un solo tipo de bien en cada
momento del tiempo, denotado por Y (t), usando como insumo solo el stock de capital, K(t).
Adicionalmente, supongamos que la tecnologı́a con la que se produce en esta economı́a es
lineal, por lo que la función de producción de esta economı́a es de la forma:
Y (t) = f (K(t)) = aK(t)
(14)
Donde a es una constante conocida.
Adicionalmente, Y (t) también representa el ingreso de los hogares en ese momento t.
En cada momento los hogares usan su ingreso para consumir C(t) y para invertir I(t). Por
lo tanto:
Y (t) = C(t) + I(t)
(15)
La inversión, la cual representa una adición al stock de capital de la economı́a, es la única
forma de ahorro de las familias. Suponemos también que una fracción δ del stock de capital
se deprecia en el momento t. De esta manera, podemos describir el cambio en el stock de
capital en un momento del tiempo t mediante la siguiente ecuación diferencial de primer
orden:
K̇(t) = I(t) − δK(t)
(16)
Esta ecuación muestra que en cada momento t al stock de capital cambia (K̇(t))) al
agregársele lo que las familias deciden invertir y se le resta la depreciación del capital
12
acumulado hasta ese momento. Ahora, reorganizando (15) y reemplazando en (16) obtenemos:
K̇(t) = Y (t) − C(t) − δK(t)
Reemplazando la función de producción obtenemos una ecuación de movimiento para el
capital:
K̇(t) = aK(t) − C(t) − δK(t)
K̇(t) = (a − δ)K(t) − C(t)
(17)
Dado que el capital es el único insumo para la producción, haciéndolo determinante
para el ingreso de los hogares, y que su movimiento está determinado por las decisiones
de consumo y ahorro/inversión de los hogares, esta ecuación de puede entender como una
restricción presupuestal para los hogares. Adicionalmente, observamos acá que el capital
evoluciona según las decisiones de los hogares sobre el consumo (la decisión de inversión
se toma simultáneamente, ya que lo que no se consume se ahorra). Por lo tanto, podemos clasificar al capital como una variable de estado, y el consumo como una variable de
control5 .
El hogar representativo de esta economı́a recibe utilidad del consumo en cada momento
t según la siguiente función de utilidad instantánea:
u(C(t)) = ln C(t)
(18)
Este hogar, el cual vive infinitos periodos, deberá entonces escoger la senda óptima de
consumo teniendo en cuenta la restricción presupuestal en (17). Asumiremos también que
los hogares prefieren el consumo presente al consumo futuro, y por lo tanto descuenta la
utilidad futura mediante un factor e−ρt , con tasa de descuento ρ ∈ [0, 1]. Como nos interesa
la utilidad en todo momento del tiempo, el objetivo del hogar será maximizar la integral
a través del tiempo de la función de utilidad descontada. Ası́, el funcional objetivo de los
hogares será:
Z
∞
V [C] =
e−ρt ln C(t) dt
(19)
0
Adicionalmente, supondremos una condición inicial sobre el capital:
K(0) = K0 > 0
(20)
Hasta el momento contamos con el funcional objetivo, la ecuación de movimiento de
la variable de control, y tenemos condiciones iniciales. El único elemento restante es la
condición de transversalidad. Tomando λ(t) como la variable de coestado que acompaña
5
De hecho, estas serán las únicas variables que incluiremos en el sistema dinámico. Solo habrá una
variable de estado y una variable de control.
13
al capital, la condición de transversalidad será:
lı́m λ(t) ≥ 0,
t→∞
lı́m K(t) ≥ 0,
t→∞
lı́m λ(t)K(t) = 0
t→∞
(21)
La última condición dice que al final de todos los tiempos los hogares querrán bien sea
utilizar todo el capital de la economı́a o procurar que la utilidad marginal que se puede
obtener de relajar la restricción sobre el uso del capital sea nula. Las otras dos condiciones simplemente dicen que ni el capital ni la utilidad que se puede obtener de relajar su
restricción pueden ser negativos al final de los tiempos.
El problema de los hogares se puede plantear como un problema de control óptimo:
Z ∞
máx V [C] =
e−ρt ln C(t) dt
C(t)
0
s.a. K̇(t) = (a − δ)K(t) − C(t)
K(0) = K0 > 0
lı́m λ(t) ≥ 0,
t→∞
lı́m K(t) ≥ 0,
t→∞
lı́m λ(t)K(t) = 0
t→∞
Recordemos que siempre que usamos la teorı́a del control óptimo estamos resolviendo un
problema de maximización.
2.3.2.
Solución
Para encontrar una solución nos apoyamos en el Hamiltoniano asociado al problema de
los hogares:
H(t, K(t), C(t), λ(t)) = e−ρt ln C(t) + λ(t) [(a − δ)K(t) − C(t)]
(22)
De nuevo, recordemos que el sigo que acompaña la variable de coestado en el Hamiltoniano
siempre debe ser positivo.
Las condiciones necesarias de primer orden que se deben cumplir son:
∂H(·)
−eρt
=
− λ(t) = 0
∂C(t)
C(t)
∂H(·)
= λ(t)(a − δ) = −λ̇(t)
∂K(t)
∂H(·)
= (a − δ)K(t) − C(t) = K̇(t)
∂λ(t)
(23)
(24)
(25)
Ahora usaremos estas condiciones necesarias de primer orden, las condiciones iniciales, y las condiciones de transversalidad para encontrar las sendas óptimas del consumo
∗
∞
∗
∞
{C ∗ (t)}∞
t=0 , del capital {K (t)}t=0 y de la variable de coestado, {λ (t)}t=0 .
14
Empecemos por la ecuación (24). Esta ecuación es muy similar a la que resolvimos en el
ejemplo de la sección 1.2.2. De hecho, las CPOs correspondientes a las variables de estado
en cualquier problema de control óptimo tendrán una forma muy similar a esta. Entonces,
reorganizado (24) un poco, e integrando entre cero y t usando s como la constante de
integración:
λ̇(t)
= −(a − δ)
λ(t)
Z t
Z t
λ̇(s)
ds = − (a − δ) ds
0 λ(t)
0
t t
= − (a − δ)s ln λ(s) s=0
s=0
ln λ(t) − ln λ(0) = − [(a − δ)t − (a − δ)(0)]
λ(t)
ln
= −(a − δ)t
λ(0)
λ(t)
= exp [−(a − δ)t]
exp ln
λ(0)
λ(t) = λ(0)e−(a−δ)t
(26)
La ecuación (26) representa una trayectoria para la variable de coestado. Sin embargo aún
no conocemos el valor de λ(0). Este lo encontraremos más adelante usando la condición
inicial y la condición de trasnversalidad.
De la ecuación (23) es fácil observar que:
C(t) =
e−ρt
λ(t)
(27)
Reemplazando (26) en (27) obtenemos:
e−ρt
λ(0)e−(a−δ)t
1 −ρt (a−δ)t
C(t) =
e e
λ(0)
1 (a−δ−ρ)t
e
C(t) =
λ(0)
C(t) =
(28)
La ecuación (28) representa una trayectoria para el consumo, pero aún seguimos sin
conocer el valor de λ(0), el cual encontraremos luego.
Ahora debemos resolver la última CPO en (25). Si observamos cuidadosamente, esta
ecuación es una ecuación diferencial muy parecida a las que estudiamos en la sección 1,
15
con la excepción de que depende de dos variables (K(t) y C(t)) en vez de una sola. Sin
embargo, si reemplazamos (28) en (25) logramos que la ecuación diferencial solo dependa
del capital, del tiempo y de algunos parámetros. Haciendo esto tenemos:
K̇(t) = (a − δ)K(t) −
1 (a−δ−ρ)t
e
λ(0)
(29)
Ahora tenemos una ecuación diferencial lineal de primer orden, la cual, en este caso, tiene
coeficientes constantes. Sin embargo, al ser este un caso particular de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes variables podemos hacer uso del factor
integrante para resolverla. Sigamos los pasos necesarios para resolverla.
1) Reorganizamos la ecuación:
1 (a−δ−ρ)t
e
λ(0)
1 (a−δ−ρ)t
K̇(t) + (δ − a)K(t) = −
e
λ(0)
K̇(t) − (a − δ)K(t) = −
Podemos observar que:
p(t) = δ − a
1 (a−δ−ρ)t
q(t) = −
e
λ(0)
2) Construimos el factor integrante:
Z
µ(t) = exp
p(t) dt
Z
µ(t) = exp
(δ − a) dt
µ(t) = exp [(δ − a)t + c]
donde fijamos c = 0
µ(t) = e(δ−a)t
(30)
3) Multipliquemos la ecuación diferencial por el factor integrante:
1 (a−δ−ρ)t (δ−a)t
e
e
λ(0)
1 −ρt
e(δ−a)t K̇(t) + e(δ−a)t (δ − a)K(t) = −
e
λ(0)
e(δ−a)t K̇(t) + e(δ−a)t (δ − a)K(t) = −
4) Ahora el lado izquierdo de la anterior ecuación se puede escribir como la derivada del
16
producto del factor integrante y la incógnita K(t):
i
d h (δ−a)t
1 −ρt
e
K(t) = −
e
dt
λ(0)
5) Finalmente, integramos esta ecuación a ambos lados con respecto a s entre 0 y t y
despejamos K(t):
t
Z t
d (δ−a)s
1 −ρs
e
K(s) ds = −
e
ds
0 ds
0 λ(0)
−ρs t
e
1
t
(δ−a)s
e
K(s) =−
λ(0) −ρ s=0
s=0
"
#
1
e−ρt e−ρ(0)
(δ−a)t
(δ−a)0
e
K(t) − e
K(0) = −
−
λ(0) −ρ
−ρ
1
1 −ρt
e(δ−a)t K(t) − K(0) = −
e
−1
λ(0) −ρ
1 −ρt
e
−1
e(δ−a)t K(t) = K(0) +
ρλ(0)
1 −ρt
K(t) = K(0)e−(δ−a)t +
e
− 1 e−(δ−a)t
ρλ(0)
i
1 h (a−δ−ρ)t
K(t) = K(0)e(a−δ)t +
e
− e(a−δ)t
ρλ(0)
1
1
K(t) = K(0)e(a−δ)t +
e(a−δ−ρ)t −
e(a−δ)t
ρλ(0)
ρλ(0)
1
1
K(t) = K(0) −
e(a−δ)t +
e(a−δ−ρ)t
ρλ(0)
ρλ(0)
Z
(31)
La ecuación (31) representa una trayectoria para el capital, pero aún seguimos sin
conocer el valor de λ(0), el cual encontraremos ahora.
De las condición inicial en (20) sabemos que K(0) = K0 . Reemplazando esto en (31)
obtenemos:
1
1
K(t) = K0 −
e(a−δ)t +
e(a−δ−ρ)t
(32)
ρλ(0)
ρλ(0)
Ahora usaremos la condición de transversalidad lı́mt→∞ λ(t)K(t) = 0 presentada en
(21). Reemplazando las sendas para el capital (32) y para la variable de coestado (26)
que habı́amos encontrado en la condición de transversalidad mencionada obtenemos una
17
expresión para λ(0):
−(a−δ)t
lı́m λ(0)e
t→∞
K0 −
1
(a−δ−ρ)t
e
+
=0
e
ρλ(0)
1
1
+ e−ρt = 0
lı́m K0 λ(0) −
t→∞
ρ
ρ
1
K0 λ(0) − = 0
ρ
1
K0 λ(0) =
ρ
1
ρλ(0)
(a−δ)t
λ(0) =
1
ρK0
(33)
Esta expresión para λ(0) se puede usar para encontrar las sendas óptimas del consumo, del
capital y de la variable de coestado. Esto lo logramos reemplazando (33) en la senda que
encontramos por a el consumo (28), para el capital (32) y la variable de coestado (26). Ha∗
∞
∗
∞
ciendo esto, obtenemos las trayectorias {C ∗ (t)}∞
t=0 , {K (t)}t=0 y {λ (t)}t=0 que resuelven
el problema.
Para el Consumo:
C(t) =
1
ρK0
−1
e(a−δ−ρ)t
C ∗ (t) = ρK0 e(a−δ−ρ)t
(34)
Para el Capital:
K(t) =
−1 !
−1
1
1
(a−δ)t
K0 − ρ
e
+ ρ
e(a−δ−ρ)t
ρK0
ρK0
K(t) = (K0 − K0 ) e(a−δ)t + K0 e(a−δ−ρ)t
K ∗ (t) = K0 e(a−δ−ρ)t
(35)
Para la Variable de Coestado:
λ∗ (t) =
1 −(a−δ)t
e
ρK0
(36)
La solución del problema está entonces descrita por las trayectorias óptimas del consumo, del capital y de la variable de coestado presentadas en (34), (35) y (36).
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Referencias
Chiang, A. (1999). Elements of dynamic optimization. Waveland Pr. Inc.
Chiang, A. (2004). Fundamental methods of mathematical economics (4th ed.). McGrawHill/Irwin.
Fergusson, L., y Suárez, G. (2010). Polı́tica fiscal: Un enfoque de trubtación óptima.
Bogotá: CEDE-Universidad de los Andes.
Lomelı́, H. E., y Rumbos, I. B. (2010). Metodos dinámicos en economı́a: Otra búsqueda
del tiempo perdido (2nd ed.). México: Editorial JIT.
Simon, C. P., y Blume, L. (1994). Mathematics for economists. W. W. Norton & Company.
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