instituto tecnológico de san luis potosí

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ
PRO-CÁLCULO
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
“No hay nada repartido de modo más equitativo que la razón:
todo el mundo está convencido de tener suficiente”
René Descartes
4ta EDICIÓN
Enero 2016
1
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ
PROGRAMA DE FORTALECIMIENTO ACADÉMICO EN EL ÁREA DE MATEMÁTICAS PARA
ESTUDIANTES DE PRIMER INGRESO AL ITSLP
Mensaje para los estudiantes:
Este curso es una iniciativa del departamento de ciencias básicas y un esfuerzo simultáneo del
propio departamento, subdirección académica y la dirección de esta institución con el propósito de
contribuir a recuperar algunos conceptos matemáticos básicos que hayas extraviado en el sinuoso
camino que te trajo hasta aquí, o bien según sea tu caso; ofrecerte la oportunidad de reafirmar los
antecedentes mínimos necesarios para iniciarte en el fascinante estudio del cálculo diferencial e integral.
Conforme vayas descubriendo cosas nuevas que consideres te sean de utilidad, tendrás la
sensación de haber estado una gran parte de tu vida en una habitación a oscuras, en donde podías tocar
los muebles, las paredes y la puerta; pero sin llegar a saber cómo eran en realidad.
Esperamos que este curso y los próximos que te ofrezca este departamento te ayuden a
encender la luz para ver lo que siempre ha estado ahí. Descubrirás que es lo que hay, donde se
encuentra y lo que puedes hacer con ello. Esto es algo que en un futuro tu profesión te lo agradecerá. Te
aseguramos que lograrlo depende en gran parte de tu actitud hacia el trabajo.
Con el orgullo e identidad de nuestra historia cómo institución de prestigio en educación
superior nos planteamos permanentemente la siguiente pregunta: ¿qué buscamos, sino la perfección, en
el intento de mejora continua inherente a todo profesional? Lograrlo es muy difícil pero intentarlo debe
ser obligatorio.
Bienvenido al Instituto Tecnológico de San Luis Potosí!
2
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Calendario de actividades
3
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Índice
Contenido
1
Aritmética ............................................................................................................................................6
1.1
Jerarquía de operaciones ...............................................................................................................6
1.2
Potenciación ...................................................................................................................................8
1.3
Radicación ....................................................................................................................................11
1.4
Reducción y Simplificación de Quebrados ...................................................................................15
1.4.1
Reducción de quebrados ......................................................................................................15
1.4.2
Simplificación de quebrados ................................................................................................16
1.5
2
Operaciones con Números Fraccionarios ....................................................................................17
1.5.1
Suma de quebrados..............................................................................................................17
1.5.2
Resta de quebrados..............................................................................................................18
1.5.3
Multiplicación de quebrados................................................................................................19
1.5.4
División de quebrados ..........................................................................................................19
Álgebra ...............................................................................................................................................21
2.1
Conceptos básicos ........................................................................................................................21
2.1.1
Expresión algebraica y Término algebraico..........................................................................21
2.1.2
Clasificación de las expresiones algebraicas ........................................................................23
2.1.3
Términos semejantes ..........................................................................................................24
2.1.4
Valor numérico de una expresión algebraica.......................................................................25
2.1.5
Lenguaje algebraico..............................................................................................................26
2.2
Operaciones algebraicas ..............................................................................................................27
2.2.1
Suma o adición .....................................................................................................................27
2.2.2
Resta o sustracción...............................................................................................................28
2.2.3
Multiplicación de polinomios ...............................................................................................29
2.2.4
División de Polinomios .........................................................................................................30
4
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2.3
Productos notables y Factorización .............................................................................................31
2.3.1
Productos notables ..............................................................................................................31
2.3.2
Factorización ........................................................................................................................32
2.4
Fracciones algebraicas..................................................................................................................35
2.4.1
2.5
3
Ecuaciones de primer grado con una incógnita. .........................................................................38
Geometría, Trigonometría y Geometría Analítica .....................................................................39
3.1
Geometría ....................................................................................................................................39
3.1.1
Puntos y rectas en el plano ..................................................................................................40
3.1.2
Ángulos .................................................................................................................................41
3.1.3
Triángulos y sus propiedades ...............................................................................................46
3.1.4
Teorema de Pitágoras ..........................................................................................................49
3.2
Trigonometría...............................................................................................................................50
3.2.1
Funciones Trigonométricas ..................................................................................................50
3.2.1
Identidades trigonométricas ................................................................................................52
3.3
Geometría Analítica......................................................................................................................53
3.3.1
4
5
Operaciones con fracciones (operaciones básicas)..............................................................35
Ecuación de la recta y su gráfica ..........................................................................................53
Sustitución, Reducción y Simplificación ......................................................................................55
4.1
Reducción y Simplificación ...........................................................................................................55
4.2
Sustitución, Reducción y Simplificación .......................................................................................56
Resolución de Problemas ...............................................................................................................58
5.1
Problemas de Aritmética .............................................................................................................60
5.2
Problemas de Álgebra ..................................................................................................................62
5.3
Problemas de Geometría .............................................................................................................63
5.4
Problemas de pensamiento lateral ..............................................................................................63
BIBLIOGRAFÍA ..............................................................................................................................................65
5
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Módulo 1 Aritmética
Objetivo: Mediante una experiencia grata, relajada, consciente y casi placentera, el estudiante
reafirmará algunos conceptos de la Aritmética Elemental.
Nota: No permitir el uso de calculadora, celular o Tablet.
1
Aritmética
1.1
Jerarquía de operaciones
Saber
Signos de agrupación:
Son empleados para asociar dos o más términos y que las expresiones sean claras. Al indicar la
jerarquización de las operaciones, se utilizan los siguientes signos:
a) Paréntesis ordinario
()
Ejemplo:
(2x+3)
b) Paréntesis rectangular o corchete
[]
Ejemplo:
[2 + (3-x)]
c) Paréntesis de llave
{}
Ejemplo:
{1- [2 + (3-x)]}
Y nos indican que las operaciones colocadas dentro de ellas deben de ser realizadas primero.
El orden en que se realizan las operaciones es: potenciación y radicación; después
multiplicación y división, y por último sumas y restas.
En la expresión
correcto.
(
(
)
)
, realiza las operaciones indicadas siguiendo el orden
(
)
Saber Hacer
6
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Observa que en el ejemplo anterior se respetó la jerarquía de las operaciones, ya que primero se realizó
la operación entre paréntesis, luego las divisiones y las multiplicaciones, y finalmente las sumas y restas.
¿Qué resultado obtendrías en caso de no seguir la jerarquía de operaciones?
Saber Hacer
Una posibilidad al no respetar la jerarquía de operaciones en el ejemplo anterior es la
siguiente:
𝟐
𝟒
(
)
𝟖
𝟖
(
)
(𝟗
𝟏
𝟖
𝟑
𝟐
𝟒
𝟖
𝟏)
𝟖
𝟖
𝟖
𝟖
𝟑
𝟓
𝟏
(𝟗
𝟏)
𝟏
𝟖
𝟖
𝟗
.
¿Obtuviste el mismo resultado?
¿Qué otras posibilidades hay de equivocarse?
Ejercicio en clase
por el profesor
(
En la expresión
el orden correcto.
)
realiza las operaciones indicadas siguiendo
Ejercicios 1.1.1
Saber Hacer con
Autonomía
Hallar el valor de:
1.
(
)
2.
(
)(
3. (
)
4.
(
)
(
)
)
(
(
)
)
7
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1.2
Potenciación
Saber
Si n es un número entero positivo y b es cualquier número real entonces: 𝑏 𝑛 𝑏 ∗ 𝑏 ∗ … ∗ 𝑏, n
factores. Al número b se le llama base de la potencia y es el número que se multiplica por sí
mismo y a n se le da el nombre de exponente e indica las veces que la base se repite como factor.
Saber Hacer
La segunda potencia o cuadrado de un número es el resultado de tomarlo como factor dos
veces.
La tercera potencia o cubo de un número es el resultado de tomarlo como factor tres veces.
Definición del exponente cero: Si b es un número real diferente de cero, entonces: 𝑏
,
Se ha convenido en llamar la primera potencia de un número al mismo número. Así:
,
. Así:
Saber Hacer con
Autonomía
Ejercicios 1.2.1
Hallar el valor de:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. (
8.
)
[(
)
]
(
)
8
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Saber
Regla 1.
Si se multiplican números de igual base los exponentes se suman:
𝑏 𝑛 𝑏𝑚
Regla 2.
𝑚
Si se dividen dos números de igual base los exponentes se rest
𝑏𝑛
𝑏𝑚
Regla 3.
𝑏𝑛
𝑏𝑛
𝑚
En las potencias los exponentes se multiplican:
(𝑏 𝑛 )𝑚
𝑏 𝑛𝑚
Saber Hacer
Producto De
Potencias De
Igual Base
(
)
(
( )
(
)
Usando la regla 2. Para dividir potencias de la
misma base se restan los exponentes.
Cociente De
Potencias De
Igual Base
Potencias De Los
Exponentes
)
Usando la regla 1. Para multiplicar potencias de la
misma base se suman los exponentes.
(
)
(
)
Usando la regla 3. Los exponentes se multiplican
(
)
9
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Ejercicios 1.2.2 Emplee las reglas 1,2 y 3 para las potencias de igual base para resolver los ejercicios
propuestos.
Saber Hacer con
Autonomía
PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
Encontrar:
COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
Encontrar:
1.
6.
2.
.
.
7.
3.
.
.
8.
4.
.
.
9.
.
5.
11. (
.
10.
)
12. (
)
.
13. ( .
)
(
(
.
.
)
)
14.
15.
16.
Saber
Propiedad distributiva para la multiplicación:
(𝑎𝑏)𝑚
𝑎𝑚 𝑏 𝑚
Propiedad distributiva para la división:
𝑎 𝑚 𝑎𝑚
𝑏
𝑏𝑚
Definición del exponente entero negativo (𝑏 𝑛 ): Si n es un entero y 𝑏 ≠
𝑏
𝑛
𝑏𝑛
entonces
.
10
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Saber Hacer
Operación:
(
Solución:
)
(
( )
)
( )
Ejercicio en clase
por el profesor
Hallar el valor de:
(
Ejercicios 1.2.3
)
Saber Hacer con
Autonomía
Hallar el valor de:
1.
(
)
2.
3.
(
4.
5.
(
6.
1.3
)
(
( .
) )
.
)
Radicación
Saber
RADICACIÓN. Consiste en hallar la base cuando se conoce la potencia y el exponente
(operación inversa de la potenciación).
11
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Saber Hacer
Como
, el número 4 que elevado al cuadrado da 16, es la raíz cuadrada de de 16, lo
que se expresa como
𝟐
En la práctica el índice 2 se omite, por lo que: √
, se escribe como √
Ejercicio en clase
por el profesor
1. Hallar el valor de:
√
2. Determine la cantidad subradical en:
√𝑡
Ejercicios 1.3.1
Saber Hacer con
Autonomía
Hallar el valor de (recuerde no usar
calculadora, celular, etc., para realizar la
Determine la cantidad subradical en:
operación):
1. √
1. √
2. √
2. √
3. √
3. √
4. √
4. √
5. √
5. √
12
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Saber


Las raíces impares de una cantidad, tienen el mismo signo que la cantidad subradical.
Las raíces pares de una cantidad negativa no se pueden extraer porque toda cantidad ya
sea positiva o negativa elevada a una potencia par da un resultado positivo.
Saber Hacer
√
√
𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑒𝑟
√
Saber
Propiedades de los radicales:
Donde n, m son números naturales mayores o iguales a 2, y a y b son números reales.
1
𝑛
2
𝑛
𝑎
𝑏
𝑛
4
√𝑎𝑚
𝑚 𝑛
𝑛
√𝑎 √𝑏 √𝑐
√
3
𝑛
𝑛
√𝑎𝑏𝑐
√ √𝑎
RAÍZ DE UN PRODUCTO
𝑛
√𝑎
RAÍZ DE UN COCIENTE
𝑛
√𝑏
𝑚
RAÍZ DE UNA POTENCIA
𝑎𝑛
RAÍZ DE UNA RAÍZ
𝑚𝑛
√𝑎
Saber Hacer
Raíz de un Producto
√( )(
)
√ √
Raíz de un Cociente
√
Raíz de una Potencia
Raíz de una Raíz
( )( )
√
√
√
√√
√
√
13
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Saber
A partir de la propiedad 3, se deriva que:
𝑘𝑛
√𝑎𝑘𝑚
𝑛
√𝑎𝑛
𝑛
√𝑎𝑚
𝑎
Expresado como exponente fraccionario
Saber Hacer
Sabemos que √
de forma más directa que √
𝑛
, sin embargo usando √𝑎𝑛
𝑎, tenemos
Ejercicio en clase
por el profesor
Use las propiedades de los radicales para determinar el valor de la
expresión.
1. √
9
2. √𝑎9
3. √𝑥
14
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Saber Hacer con
Autonomía
Ejercicios 1.3.2
Use las propiedades de los radicales para determinar el valor de cada
expresión.
1.
2.
√
√
3.
√
4.
5.
6.
7.
1.4
√
√
9
√
√
(
8.
√
9.
√
)
Reducción y Simplificación de Quebrados
1.4.1 Reducción de quebrados
Saber
CONVERTIR UN MIXTO EN QUEBRADO. Se multiplica el entero por el denominador, y al
producto se le suma el numerador, el resultado se divide entre el denominador.
Convertir el número mixto
en quebrado impropio.
R:
(
)
Saber Hacer
7
15
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Saber
REDUCIR UN ENTERO A UN QUEBRADO DE DENOMINADOR DADO. Se multiplica el
entero por el denominador y el producto se divide entre el denominador.
Saber Hacer
Reducir 6 a quebrado equivalente de denominador 7.
R:
7
7
7
Saber Hacer con
Autonomía
Ejercicios 1.4.1
Convertir en quebrados
2. 3 a cuartos
1.
3.
Reducir:
7
4. 5 a tercios
5.
6. 15 a onceavos
7.
8. 22 a treceavos
9.
10. 80 a 92avos
1.4.2 Simplificación de quebrados
Saber
SIMPLIFICAR UNA FRACCIÓN. Es convertirla en otra fracción equivalente cuyos términos
sean menores, para lo cual se dividen sus términos sucesivamente entre los factores
comunes que tengan.
Saber Hacer
Reducir a su más simple expresión
R:
7
16
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Saber Hacer con
Autonomía
Ejercicios 1.4.2
Reducir a su más simple expresión
1.
2.
7
9
3.
4.
5.
1.5
Operaciones con Números Fraccionarios
1.5.1 Suma de quebrados
Saber
SUMA DE QUEBRADOS. Se suman los numeradores y el resultado se divide entre el
denominador común, se simplifica el resultado y se encuentran los enteros si los hay.
Saber Hacer
Efectuar
R:
17
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Saber Hacer
Efectuar
9
R: Primero simplificamos los quebrados:
7
El mínimo común denominador es 420 (resultado de multiplicar 7 con 60, ya que 4 es
divisor de 60). Entonces:
(
)
(
)
(
)
1.5.2 Resta de quebrados
Saber
RESTA DE QUEBRADOS. Se restan los numeradores y el resultado se divide entre el
denominador común, se simplifica el resultado y se encuentran los enteros si los hay.
Saber Hacer
1. Efectuar
R:
2. Efectuar
R: simplificando lo quebrados:
El mínimo común denominador es 80. Entonces:
(
)x
(
)x
18
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Efectuar
Ejercicio en clase
por el profesor
1.5.3 Multiplicación de quebrados
Saber
MULTIPLICACIÓN DE QUEBRADOS. Se multiplican los numeradores y el resultado se
divide entre el producto de los denominadores. Se simplifica el resultado y se encuentran
los enteros si los hay.
Saber Hacer
Efectuar
7
Efectuar:
1.5.4 División de quebrados
Ejercicio en clase
por el profesor
Saber
DIVISIÓN DE QUEBRADOS. Se multiplica el dividendo por el divisor invertido. Se simplifica
el resultado y se encuentran los enteros si los hay.
19
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Saber Hacer
7
Efectuar
7
R:
7
Saber Hacer con
Autonomía
Ejercicios 1.5.1
SUMA Y RESTA
1.
(
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
)
1. (
SIMPLIFICACIÓN DE UNA
FRACCIÓN COMPLEJA
)
1.
7
2.
(
)
2. (
3.
(
)
3. (
)
3.
4.
(
4. (
)
4.
)
5.
5.
9
)
2.
(
)
⁄
7⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
5.
⁄
6.
(
7.
(
8.
(
9
)
6. (
)
)
7
)
(
7. (
)
8. (
)
9
)
6.
)
7.
9
8.
⁄
⁄
⁄
⁄
9.
9.
(
)
9.
⁄
⁄
10.
(
)
10.
(
)
⁄
10.
⁄
⁄
⁄
20
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Módulo 2 Álgebra
Objetivo:
Homogenizar y reforzar los conocimientos básicos en álgebra, requeridos en las
diferentes disciplinas del Sistema Tecnológico.
Nota: No permitir el uso de calculadora, celular o Tablet.
2
Álgebra
2.1
Conceptos básicos
2.1.1 Expresión algebraica y Término algebraico
Saber
ÁLGEBRA es la rama de las matemáticas que estudia la cantidad considerada del modo más general
posible.
En Aritmética, se dice que se emplea el lenguaje numérico ya que solo se efectúan operaciones con
números. En Álgebra, las cantidades se representan por medio de letras (las cuales pueden representar
todos los valores) para generalizar. Los símbolos empleados en Álgebra para representar las cantidades
son los números y las letras. Cuando se emplean letras, números y signos y además se les usa como
números generalizados, se dice que empleamos el lenguaje algebraico.
TÉRMINO ALGEBRAICO: es una expresión algebraica que consta de uno o varios símbolos
no separados entre sí por el signo + o
𝟒𝒂𝟐
𝟒 es el coeficiente numérico
𝒂𝟐
es el factor literal
EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más
operaciones algebraicas (uno o más términos algebraicos).
𝑎
𝑎𝑏
El GRADO DE UN TÉRMINO puede determinarse respecto a una variable o bien respecto a todas las
variables que aparecen en el término (grado absoluto).
21
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ
Saber Hacer
Ejemplo de clasificación de un término algebraico:
TÉRMINO
ALGEBRAICO
COEFICIENTE
FACTOR LITERAL
GRADO CON
RESPECTO A
LA VARIABLE
GRADO
ABSOLUTO
---------
Saber Hacer con
Autonomía
Clasifica los términos algebraicos de la tabla siguiente:
TÉRMINO
ALGEBRAICO
COEFICIENTE
FACTOR LITERAL
GRADO CON
RESPECTO A LA
VARIABLE
GRADO CON
RESPECTO A LA
VARIABLE
GRADO
ABSOLUTO
.
(
)
22
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2.1.2 Clasificación de las expresiones algebraicas
Saber
Clasificación
Monomio
Tiene un término
Binomio
Tiene dos términos
Trinomio
Tiene tres términos
Polinomio
Tiene varios términos
El término independiente con respecto a una variable es el término que no contiene a dicha
variable.
Se dice que se ordena un polinomio, cuando se ordenan los términos de tal manera que los
exponentes de una literal (la que se indique o se seleccione) se acomoden en orden
ascendente o descendente.
Saber Hacer
Clasificación
Ejemplo
Monomio
Tiene un término
Binomio
Tiene dos términos
Trinomio
Tiene tres términos
Polinomio
Tiene varios términos
NOTA: En el polinomio
el término independiente con respecto a
es 7.
23
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ
Clasifica y ordena las expresiones algebraicas de la tabla siguiente:
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
2.1.3
Ordena respecto a
cualquier letra en forma
descendente
Saber Hacer con
Autonomía
Ordena respecto a
cualquier letra en
forma ascendente
CLASIFICACIÓN
Términos semejantes
TERMINOS SEMEJANTES. Cuando dos o más términos tienen la misma literal se dice que son
semejantes.
Los términos
𝑎𝑏 y 𝑎𝑏 son semejantes ya que sus factores literales (𝑎𝑏 ) son
iguales.
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES. Es una operación en la que la que varios términos
semejantes se reducen a un único término.
𝑎𝑏
𝑎𝑏
𝑎𝑏
Ejemplo:
Saber Hacer
Reducir
R:
Paso 1: Agrupar los términos positivos que contienen el factor literal y reducirlos a un solo término
Paso 2: Agrupar los términos negativos que contienen el factor literal
y reducirlos a un solo término
Paso 3: Restar los coeficientes dejando el signo del mayor
24
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ
Saber Hacer con
Autonomía
Reduce los términos semejantes
.
.
(
(
)
)
(
)
( )
(
)
(
)
2.1.4 Valor numérico de una expresión algebraica
VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIVALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Es
el resultado que se obtiene al sustituir las literales por valores numéricos dados y después
efectuar las operaciones indicadas.
Ejemplo:
Hallar el valor numérico de
R: Sustituimos
y
para
Saber Hacer
y
por su valor y tenemos ( )( )
Hallar el valor numérico para 𝑥
( )( )
Ejercicio en clase
por el profesor
y 𝑦
(𝑥
)
(𝑦
)
25
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ
Determina el valor numérico de las expresiones siguientes para:
(
)
(
Saber Hacer con
Autonomía
)
2.1.5 Lenguaje algebraico
Saber
Con las cantidades algebraicas representadas por literales pueden hacerse las mismas
operaciones que con los números aritméticos.
Ejemplos:
1. Escriba la suma del cuadrado de
con el cubo de .
Saber Hacer
R:
2. Compro
libretas iguales por $m. ¿Cuánto me costó cada libreta?
R: cada libreta me costó $
3. Tenía $12 y gasté $ . ¿Cuánto me queda?
R: Me quedan $(
4.
)
Compré tres celulares a $ cada uno, seis memorias USB a $
gasté?
y dos tablets a $ . ¿Cuánto
Tres celulares a $ , el gasto por ellos es de $
Seis memorias USB a $ , el gasto por ellos es de $
Dos tablets a $ , el gasto por ellos es de $
R: El gasto total fue de $(
)
26
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ
Expresa las siguientes expresiones en lenguaje algebraico:
Escribe la suma de
Saber Hacer con
Autonomía
y
Escribe la suma del cuadrado de
potencia de
, el cubo de
y la quinta
Si es un número entero, escribe los dos números enteros
consecutivos posteriores a
El Profesor Gustavo Vera tenía $ , cobró $ y le regalaron $ ,
¿Cuánto tiene en total?
2.2
Operaciones algebraicas
Saber
2.2.1 Suma o adición
SUMA. Es una operación algebraica que tiene por objeto reunir dos o más expresiones
en una sola expresión algebraica.
Ejemplo:
Sumar
R:
Se agrupan los términos semejantes con la variable
y se reducen a un solo término:
Se agrupan los términos semejantes con la variable
y se reducen a un solo término:
Saber Hacer
Se agrupan los términos semejantes con la variable y se reducen a un solo término:
Entonces la suma es la reunión de los términos resultantes
En la práctica los polinomios también se pueden sumar colocándose uno debajo del otro en columna.
27
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ
Saber Hacer con
Autonomía
Efectúa la operación indicada:
1.
7
2.
3.
2.2.2 Resta o sustracción
RESTA. Es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos
(minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia). En la
resta algebraica hay que restar del minuendo cada uno de los términos del sustraendo.
Ejemplo: de
restar
Saber Hacer
(
)
Saber Hacer con
Autonomía
Efectúa la operación indicada:
1. (
2.
)
9
(
)
(
7
9
)
3.
28
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ
2.2.3 Multiplicación de polinomios
MULTIPLICACIÓN.
Es una operación que tiene por objeto, dadas las cantidades llamadas multiplicando y
multiplicador, hallar una tercera cantidad llamada producto.
El producto de dos o más monomios es otro monomio obtenido a través de:
1) La ley de los signos.
2) El producto de los coeficientes.
3) El producto de las variables de acuerdo con las leyes de los exponentes.
Para encontrar el producto de un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio
por todos y cada uno de los términos de polinomio.
Para determinar productos entre polinomios, se aplica la propiedad distributiva. Esto es,
se multiplica cada término de uno de los polinomios por los términos del otro.
Ejemplos:
1. Multiplicar
R:
Saber Hacer
∗
∗
2. Multiplicar (
R: (
)(
)(
)
(
)
)
∗
(
(
)(
3. Multiplicar(
(
∗
)
(
)
(
)
)
( ∗
)
(
)
)
(
)
( ∗
)
)
R:
Opción 1: (
)(
)
Opción 2: para multiplicar (
(
∗
)(
) ((
)∗(
))
(( ) ∗ (
))
)
29
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Saber Hacer con
Autonomía
Efectúa la operación indicada:
1. (
)(
)
2. (
)(
3. (
)(
4. (
)
)(
5. (
6. (
)
)
)(
)(
)(
)
)
2.2.4 División de Polinomios
Saber
DIVISIÓN. Es una operación que tiene por objeto dado el producto de dos factores
(dividendo) y uno de los factores (divisor) hallar el otro factor (cociente).
Ejemplo:
1. Dividir 3a 3  6a 2 b  9ab 2 entre 3a
R:
2. Dividir
Saber Hacer
3a 3  6a 2 b  9ab 2
 a 2  2ab  3b 2
3a
11a 3  3a 5  46a 2  32 entre 8  3a 2  6a
R: Se ordenan los polinomios y se efectúa la división
 3a 2  6a  8  3a 5
a 3  2a 2  3a  4
11a 3  46a 2
32
 3a 5  6a 4  8a 3
6a 4  3a 3  46a 2
 6a 4  12a 3  16a 2
 9a 3  30a 2
32
 9a 3  18a 2  24a
 12a 2  24a  32
12a 2  24a  32
0
30
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Saber Hacer con
Autonomía
Efectúa la operación indicada:
1.
2.
3.
4.
5.
2.3
Productos notables y Factorización
2.3.1 Productos notables
.
Saber
Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado
puede ser escrito por simple inspección; es decir sin efectuar la multiplicación
Cuadrado de un binomio:
Es el cuadrado del primero más el doble producto del primero por el segundo más el
cuadrado
del segundo.
(𝑎 𝑏)
𝑎
𝑎𝑏 𝑏
(𝑎 𝑏)
𝑎
𝑎𝑏 𝑏
Cubo de un binomio:
El cubo de la primera cantidad más el triple producto del cuadrado del primero por el
segundo más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo más el cubo del
segundo.
(𝑎 𝑏)
𝑎
𝑎 𝑏
𝑎𝑏
𝑏
(𝑎 𝑏)
𝑎
𝑎 𝑏
𝑎𝑏
𝑏
Ejemplo:
Determine el cuadrado del binomio
R:
(
)
( )(
)
( )
Saber Hacer
(
)
31
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ
Saber Hacer con
Autonomía
Efectúa la operación indicada:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
(
)
(
)
(
)
(
)
)
((
(
))
(
)
(
)
2.3.2 Factorización
Saber
FACTORIZACIÓN. Es el proceso de escribir un número o una expresión algebraica como
el producto de otros números o expresiones algebraicas se denomina factorización.
Saber
(𝑎 𝑏)𝑢 𝑎𝑏 (𝑢 𝑎)(𝑢 𝑏). Se usa para factorizar
Fórmulas especiales: 𝑢
trinomios de la forma 𝑥
𝑏𝑥 𝑐, para lo cual, se buscan dos números que sumados
den el coeficiente de x y multiplicados den el término constante c.
Ejemplos:


Saber Hacer
(
)(
(
)
)(
)
(

)(
)
Saber
Trinomio cuadrado perfecto: Una cantidad es trinomio cuadrado perfecto si es producto
(𝑎 𝑏)
de dos factores iguales, 𝑎
𝑎𝑏 𝑏
Ejemplo:

Saber Hacer
(
)
32
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
(
)
Saber
Diferencia de cuadrados: Es el producto de los binomios conjugados,
𝑢
𝑣
(𝑢 𝑣)(𝑢 𝑣)
Ejemplos:




Saber Hacer
(
)(
)
)(
)(
(
(
)
)
)(
(
)
Saber Hacer con
Autonomía
Efectúa las siguientes factorizaciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Diferencia de cubos: 𝑢
Suma de cubos: 𝑢
𝑣
Ejemplos:



(
)
( )
(
(
Saber
𝑣
(𝑢 𝑣)(𝑢
𝑢𝑣 𝑣 )
(𝑢 𝑣)(𝑢
𝑢𝑣 𝑣 )
(
)(
)
)(
Saber Hacer
)
)
(
)(
)
33
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ
Factorización por factores comunes
Ejemplos:

(
(

(
)
)(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
)
(
)(
(
)
)
Saber Hacer
Factorización por agrupamiento
Ejemplos:

(

(
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)(
)
)
)
Factorización por el método de completar el cuadrado: se completa el cuadrado sumando y restando el
mismo término algebraico y se resuelve por diferencia de cuadrados
Ejemplo:
R:
(
)
(
)(
)
(
)(
)
Efectúa las siguientes factorizaciones:
Saber Hacer con
Autonomía
1.
2.
3.
(
4.
(
)
(
)
)
(
)
5.
6.
7.
8.
9.
10.
34
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ
Saber
Trinomios de la forma 𝑎𝑥
𝑏𝑥 𝑐, se diferencia al trinomio cuadrado perfecto en el
coeficiente de x. Para Factorizar se multiplica el trinomio por el coeficiente del término
cuadrático, posteriormente se buscan dos números que multiplicados den el término
constante (𝑎 ∗ 𝑐) y sumados den el término lineal (𝑏). Finalmente se divide entre el
número descompuesto en n factores y que son divisibles entre ellos.
Saber Hacer
Ejemplo:
 Factorizar
R:
(
)
(
)
(
)(
( )( )
)
(
)(
)
Saber Hacer con
Autonomía
Efectúa las siguientes factorizaciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2.4
Fracciones algebraicas
2.4.1 Operaciones con fracciones (operaciones básicas)
Saber
Suma y resta (regla general)
1) Se simplifican las fracciones dadas si es posible.
2) Se obtiene el mínimo común denominador.
3) Se efectúan las operaciones indicadas.
4) Se suman los numeradores de las fracciones que resulten y se parte esta suma
por el denominador común.
5) Se reducen términos semejantes en el numerador.
6) Se simplifica la fracción si es posible.
35
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Saber Hacer
Ejemplo:
(
)
(
)
Saber
Fracciones con denominadores compuestos, para encontrar el mínimo común
denominador se factoriza cada fracción. El factor común proviene de la factorización de
cada uno de los denominadores:
(𝑎
) (𝑎
)(𝑎
)
(𝑎
) (𝑎
𝑎
)(𝑎
)
(𝑎
) (𝑎
𝑎
)(𝑎
)
Ejemplo:
Saber Hacer
(
)(
)
(
(
)(
)(
(
(
)(
)
)
)(
)(
(
)
)(
)
)
Saber Hacer con
Autonomía
Efectúa la operación indicada:
1.
2.
3.
4.
5.
(
)
(
)
36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ
Multiplicación
Saber Hacer
Ejemplo:
(
)(
)
(
)(
)
(
(
)(
)(
( )(
)( )(
)
)
(
)
)
División
Ejemplo:
(
)
(
(
(
)(
)(
)(
)(
(
(
)(
)
(
)
)(
)
)
)
(
)
(
)
Saber Hacer con
Autonomía
Efectúa la operación indicada:
(
)(
(
)
)(
)(
)
)
37
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ
2.5
Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Ecuación es una igualdad condicionada que está compuesta por términos, cuyos valores no conocemos,
Saber
denominados variables o incógnitas de la ecuación, por lo general representados por las últimas letras
del abecedario, y por términos cuyos valores no cambian, denominados constantes.
Existen varios tipos de ecuaciones, dependiendo de su grado y número de incógnitas. El grado de una
ecuación con una incógnita nos lo indica el mayor exponente que tenga la variable, habiendo ecuaciones
de primer grado o lineales como
, ecuaciones de segundo grado como
,
ecuación de tercer grado o ecuación cúbica
.
Resolver una ecuación lineal con una incógnita consiste en encontrar el valor de la variable que al
sustituir en la ecuación original mantiene la igualdad. Para llegar a la solución es necesario dejar en el
primer miembro de la ecuación a todos los términos que contengan a la variable, y en el segundo
miembro los términos que no lo contengan, de modo que cuando algo está sumando lo restamos en
ambos miembros de la ecuación para que no se altere la igualdad, esto implica que dos términos se
cancelarán en uno de los miembros. Simplificando podemos decir que al trasladar términos de un
miembro a otro de la ecuación equivale a cambiarle el signo a la operación; así mismo cuando un
miembro está multiplicando pasará al otro miembro dividiendo.
Saber Hacer
Ejemplo:
Resolver la ecuación
para
Saber Hacer con
Autonomía
Resolver la ecuación indicada:
1.
2.
(
)
(
)
3.
4.
5.
38
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ
Módulo 3 Geometría, Trigonometría
y Geometría Analítica
Objetivo:
Desarrollar el pensamiento espacial para mejorar el pensamiento científico, ya que es
usado para representar y manipular información en el aprendizaje y en la resolución de
problemas.
Nota: En esta sección los problemas básicos serán marcados como B, mientras que los problemas
opcionales corresponderán a los marcados como O.
3
Geometría, Trigonometría y Geometría Analítica
3.1
Geometría
Saber
La Geometría es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de las figuras geométricas y las
relaciones entre ellas. Su estudio comprende dos partes: la geometría plana y la geometría del espacio.
La geometría plana estudia las figuras geométricas cuyos elementos están todos en el mismo plano. La
geometría del espacio trata de las figuras que no están en un mismo plano. En este apartado nos
dedicaremos al estudio de la geometría plana.
Cubo
Pirámide Triangular
Prisma Pentagonal
Ejemplos de cuerpos geométricos cuyos elementos no están en un mismo plano
Rectángulo
Pentágono
Circulo
Ejemplos de figuras geométricas planas
Segmento
39
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3.1.1 Puntos y rectas en el plano
Saber
Los puntos contenidos en un mismo plano se
llaman COPLANARES
Los puntos que se encuentran sobre una misma línea
recta se llaman COLINEALES
Por dos puntos distintos A y B pasa una y solo una recta
Recta ⃡
Un segmento es la porción de recta comprendida entre dos puntos (incluyendo estos puntos)
Segmento ̅̅̅̅
Una semirrecta es cada una de las partes en las cuales queda dividida una recta por cualquiera de sus
puntos.
Rectas CONCURRENTES son las que tienen un punto en común
Rectas PARALELAS son las que no tienen puntos en común
40
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De las afirmaciones que se enuncian referentes a la figura siguiente, indica cuales son correctas
Saber Hacer con
Autonomía
La recta ⃡
coincide con la recta ⃡
El punto F pertenece a la recta m
Las rectas ⃡
y⃡
concurren en el punto F
El punto E es el punto de intersección de las rectas ⃡
La recta ⃡
ym
no es paralela a la recta m
El punto E está situado entre los puntos A y B
Los puntos B, E y F son colineales
AB = AE + EB
Las semirrectas
y
completan una recta
Vuelva a redactar las incorrectas para que sean verdaderas
3.1.2 Ángulos
Definición de ángulo
Un ángulo es la figura formada por dos semirrectas con un origen común y una de las
regiones en que dichas semirrectas separan el plano.
Siendo 𝑂𝐴 y 𝑂𝐵 dos semirrectas distintas que tienen un origen común O, el ángulo que
forman se indica por cualquiera de las notaciones ∡𝐴𝑂𝐵 o ∡𝐵𝑂𝐴.
41
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Clasificación de los ángulos
Nombre
Ángulo recto
Saber
Definición y Medida
Figura
∡
Es el ángulo cuyos lados son
perpendiculares entre sí. Un
ángulo recto mide
Ángulo llano
Es el ángulo cuyos lados
forman una recta. Equivale a
dos ángulos rectos y mide
∡
Ángulo agudo
Es un ángulo menor que un
ángulo recto. Mide menos de
∡
Ángulo obtuso
Es un ángulo mayor que un
ángulo recto pero menor que
un ángulo llano. Mide más de
pero menos de
Ángulo
perigonal
Es el ángulo cuyos lados
coinciden. Equivale a cuatro
ángulos rectos y mide
Ángulo
entrante
Es un ángulo mayor que un
ángulo llano pero menor que
un ángulo perigonal. Mide
más de
pero menos de
∡
∡
∡
42
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ
Saber Hacer con
Autonomía
Completa la tabla siguiente con las clases de pares de ángulos indicados. Usa como guía los ángulos
complementarios para un adecuado llenado de la tabla, ya que en los ejercicios siguientes tendrás que
recurrir a estos datos.
Nombre
Definición
Figura
Ángulos consecutivos
Ángulos adyacentes
Son dos ángulos consecutivos que forman un
ángulo llano.
Ángulos opuestos por
el vértice
Ángulos
complementarios
Son dos ángulos tales que la suma de sus
medidas es igual a
. Decimos que cada uno de
ellos es el complemento del otro.
∡
∡
Ángulos
suplementarios
Son dos ángulos tales que la suma de sus
medidas es igual a 18 . Decimos que cada uno
de ellos es el suplemento del otro
Ángulos conjugados
43
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ
Ejercicio en clase
por el profesor
Respecto a los datos de la siguiente figura calcula las medidas de los ángulos: AOC, BOC,
COD, BOD, AOD, y BOE.
Saber Hacer con
Autonomía
Presenta por escrito los cálculos para determinar
El complemento de
El suplemento de
Calcula la medida de cada uno de los ángulos alfa ( ) siguientes
Saber Hacer con
Autonomía
44
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ
Saber
Grados y radianes
La variable de entrada de una función trigonométrica es la medida del ángulo; la variable de salida
es un número real. Existe otra forma de medir los ángulos, que para ciertos trabajos y ciertas áreas
de las matemáticas es más conveniente.
Definición de radián: un ángulo central de un círculo mide 1 radián si interseca un arco cuya
longitud mide lo mismo que el radio.
Así, podemos pasar de medidas en grados a medidas en radianes y viceversa.
°
𝑟𝑎𝑑𝑖á𝑛
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜
𝜋
𝜋
°
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
Saber Hacer
Cambios de medidas angulares
Para cambiar
Multiplicar por
Ejemplos
Grados a radianes
Radianes a grados
¿Cuántos radianes hay en 120°?
(
)
Ejercicio en clase
por el profesor
¿Cuántos grados hay en 𝝅/𝟑 radianes?
45
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ
Saber Hacer con
Autonomía
Convierta los siguientes ángulos de grados a radianes y viceversa.
radianes
/
radianes
/
radianes
/
radianes
/
3.1.3 Triángulos y sus propiedades
Saber
La importancia de los triángulos en todas las ciencias es grande, por eso es necesario tener presente las
características fundamentales de ellos.
Las principales propiedades que tienen los triángulos son:
-
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
-
Ningún triángulo puede tener más de un ángulo recto (90°).
-
Cada lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos.
-
El ángulo que se opone al lado mayor es el mayor ángulo.
Cuando se trata con triángulos es habitual el convenio de denotar con letras mayúsculas los vértices y los
ángulos (la misma letra para el vértice y el correspondiente ángulo). Para indicar un lado (o lo que mide)
se usa la misma letra que la del ángulo opuesto pero escrita en minúscula.
46
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Clasificación de triángulos de acuerdo a la medida de sus lados
EQUILÁTERO
ISÓSCELES
ESCALENO
Sus tres lados son
congruentes
Dos de su lados son
congruentes
No tiene lados congruentes
* CONGRUENTES = EQUIVALENTES O IGUALES
Ejercicio en clase
por el profesor
Determina que clase de triángulos son según las longitudes de sus lados.
a)
b)
Saber Hacer con
Autonomía
Construye un triángulo cuyos lados midan:
,
y
.
¿Qué tipo de triángulo resultó? ____________________________________.
Construye un triángulo cuyos lados midan:
,
y
.
¿Qué tipo de triángulo resultó? ____________________________________.
47
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ
Saber
Clasificación de triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos
EQUIÁNGULOS
ACUTÁNGULOS
OBTUSÁNGULOS
RECTÁNGULOS
Tienen tres ángulos
congruentes
Tienen tres ángulos
agudos
Tienen un ángulo obtuso
Tienen un ángulo recto
Saber Hacer con
Autonomía
Determina que clase de triángulos se pueden formar (si es que es posible) según las
amplitudes de ángulos proporcionadas en cada caso.
,
y
,
,
y
y
, 60 y
,
y
,
y
48
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3.1.4 Teorema de Pitágoras
Saber
El cuadrado de la hipotenusa del triángulo rectángulo es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos:
𝑐
𝑎
𝑏
Ejercicio en clase
por el profesor
La base de un triángulo isóceles mide 8cm y cada uno de sus lados mide 5cm. Calcula la
longitud de la altura trazada a la base.
Respuesta: 3cm
Saber Hacer con
Autonomía
1. Encuentra el lado que falta en los siguientes triángulos rectángulos y dibújalos:
a)
b)
c)
d)
2. Considere un cuadrado cuya diagonal mide 10 unidades. Determine el área del cuadrado.
49
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ
3. Determina el área de un triángulo equilátero cuyo lado mide
.
4. Cuál es el área del siguiente triángulo? ¿Cuál es su perímetro?
Saber
3.2
Trigonometría
3.2.1 Funciones Trigonométricas
Hay seis funciones trigonométricas de un ángulo agudo de un triángulo.
Definición de las funciones trigonométricas
50
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ
Ejercicio en clase
por el profesor
Use el triángulo para completar la tabla
°
⬚
⬚
°
⬚
⬚
°
⬚
⬚
𝑠𝑒𝑛
Use el triángulo para completar la tabla
𝑠𝑒𝑛
𝑠𝑒𝑛
°
⬚
⬚
°
⬚
⬚
°
⬚
⬚
°
⬚
⬚
°
⬚
⬚
°
⬚
⬚
Saber Hacer con
Autonomía
51
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ
Use la calculadora para completar la siguiente tabla.
Saber Hacer con
Autonomía
/
/
/
(
(
)
)
(
(
)
/ )
Saber
3.2.1 Identidades trigonométricas
A partir de la definición de las funciones trigonométricas, habrás notado que:
Que son conocidas como identidades trigonométricas reciprocas
Otras identidades fundamentales son:
Demuestra que la ecuación que sigue es una identidad, transformando el lado izquierdo en el lado
derecho.
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
Saber Hacer
Identidades reciprocas y tangente
Sumar fracciones
52
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ
(
Multiplicar
)
(
)
Cancelar
Verifica la identidad trigonométrica transformando el lado izquierdo en el derecho.
(
3.3
)
Saber
Geometría Analítica
3.3.1 Ecuación de la recta y su gráfica
Conceptos básicos:
o
o
o
o
o
Recta horizontal y recta vertical
Rectas paralelas y perpendiculares
Pendiente de una recta, , y su inclinación, .
Ecuación de la recta en su forma pendiente-ordenada al origen (
Graficar la recta a partir de una tabulación
La pendiente de una recta es la tangente de su ángulo de inclinación,
Si (
es:
)y
(
)
.
) son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la pendiente de la recta
con
≠
.
53
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ
Dadas dos rectas y con pendientes
y
respectivamente, ocurre que:
 Si son paralelas, entonces sus pendientes son iguales, es decir:
.
 Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando ángulos rectos, entonces la
pendiente de una de ellas es igual al recíproco de la pendiente de la otra con signo opuesto, es
decir:
.
Ejercicio en clase
por el profesor
Grafique los puntos y trace la recta que une los dos puntos y determine analíticamente la
pendiente y la inclinación de la recta que pasa por el punto (
) y ( )
Saber Hacer con
Autonomía
Grafique los puntos y trace la recta que une los dos puntos y determine analíticamente la
pendiente y la inclinación de la recta que pasa por cada par de puntos
I. (
) y (
)
II. (
) y (
)
III. (
) y (
)
1. Determine la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta
eje en
.
y corta al
2. Una recta que tiene una inclinación mayor que / radianes tiene una pendiente negativa.
¿Cierto o falso?
3. Determine la ecuación de la recta que corta el eje
por los puntos ( ) y ( ).
en 6 y es paralela a la recta que pasa
4. Genere una tabla de valores de algunos pares ordenados de números que satisfacen la
siguiente ecuación
. Determine el ángulo que la línea recta forma con el eje
horizontal.
5. Determine analíticamente la inclinación de la línea recta cuya ecuación es
Trace la gráfica de .
.
6. Genere tabla de valores de algunos pares ordenados de números que satisfacen la
siguiente ecuación
. Trace la gráfica. Use un transportador para determinar su
inclinación. Determine analíticamente la inclinación de la recta.
7. Trace la gráfica de la recta 8
. Determine su pendiente e inclinación
54
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Módulo 4 Miscelánea
4
Sustitución, Reducción y Simplificación
4.1
Reducción y Simplificación
Ejercicio en clase
por el profesor
Simplifica la expresión dada y expresa el resultado con la variable que interviene con
exponentes positivos.
( )( 𝑥 )
( )( ( 𝑥) )( )
(( 𝑥) )
𝑠𝑒𝑛𝑥
Respuesta:
𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
Saber Hacer con
Autonomía
Simplifica la expresión dada y expresa el resultado con la variable(s) que intervenga(n) con
exponentes positivos y los radicales correspondientes cuando sea el caso.
√
( )(
7)
(
( )(
)
7)
¿qué pasa en la expresión original si
? ¿qué pasa si
en la versión
55
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ
simplificada?
(
)(
(
)( )
) (
(( ) )
)(
(
(( ) )
)( )
)(
(
(
)(
)
( )( )
)
(
(
4.2
)
)
(
)(
(
)(
)
)
)
( )(
)
Sustitución, Reducción y Simplificación
(
𝑦) , cuando 𝑦
Ejercicio en clase
por el profesor
Respuesta: 16
Saber Hacer con
Autonomía
Sustituya el valor dado para la variable en cada caso, reduzca y simplifique el resultado,
expresándolo como un entero, fracción o raíz correspondiente, con su análoga representación
decimal cuando el resultado no sea entero.
1. (
), cuando
2. (
3. (
), cuando
)(
), cuando
56
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ
4. (
), cuando
, cuando
5.
(
6.
7. (
) , cuando
, cuando
8.
9.
10.
11.
), cuando
(
√
) , cuando
, cuando
, cuando
12.
13.
cuando
7
cuando
.
57
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Módulo 5 Resolución de problemas
5
Resolución de Problemas
ALGUNOS CONSEJOS PARA RESOLVER PROBLEMAS MATEMÁTICOS
¡Por favor!, dame un problema
Los matemáticos entendemos la palabra "problema" de forma diferente a la usual. Si le dices a un amigo
"tengo un problema", seguro que ese amigo entiende que te sucede algo que puede tener consecuencias
desagradables. Casi todo el mundo procura evitar los problemas y a nadie le gusta que le "calienten la
cabeza" con problemas. A nadie... menos a los matemáticos. Para un matemático tener un buen
problema es garantía de horas de trabajo interesante, a veces, incluso, apasionante. En todos los
tiempos el deseo de resolver algunos grandes problemas ha sido el mayor estímulo para el progreso de
las matemáticas. Hacer matemáticas consiste, esencialmente, en resolver y en proponer problemas.
Te digo todo esto, porque ya es hora de que empieces a considerar los problemas como amigos que te
brindan la oportunidad de progresar de una forma activa en tus estudios, de comprobar si de verdad
sabes lo que crees saber y, a veces, de experimentar ese destello de plenitud gozosa que sobreviene
cuando, después de horas de intenso trabajo, alcanzas la "iluminación" de la respuesta correcta, simple y
elegante.
Es muy posible que hayas llegado a estas instancias sin haberte enfrentado nunca con un problema de
verdad, un problema que no sea un mero ejercicio. Porque no son lo mismo.
EJERCICIOS
• De un vistazo sabes lo que te piden que hagas.
• Conoces de antemano un camino y no tienes más que aplicarlo para llegar a la solución.
• El objetivo principal es aplicar en una situación concreta, de forma más o menos mecánica,
procedimientos y técnicas generales previamente ensayados.
• Proponen tareas perfectamente definidas.
PROBLEMAS
• Suele ser necesario leerlos con atención para entenderlos correctamente.
• Sabes, más o menos, a dónde quieres llegar, pero ignoras el camino.
• El objetivo es que organices y relaciones tus conocimientos de forma novedosa. Suponen una actitud
mental positiva, abierta y creativa.
• En general, son cuestiones más abiertas y menos definidas que los ejercicios.
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ALGUNOS CONSEJOS QUE TE AYUDARÁN A PENSAR MEJOR
Para ser eficaz resolviendo problemas, es conveniente que tengas en cuenta las siguientes
recomendaciones.
La actitud inicial es importante. Cuando nos enfrentamos a un problema es muy importante la actitud
que tienes ante él. ¿Estás ansioso por resolverlo o no tienes gana ninguna? ¿Tus condiciones físicas
(cansancio, sueño, etc.) son las adecuadas? ¿Tienes curiosidad, disposición de aprender, gusto por el
reto?
Ten confianza en tus capacidades. Con frecuencia, no es necesario saber mucho para resolver bien un
problema. Basta con pensar correctamente. Actúa, pues, sin miedo, con tranquilidad, convencido de que
está a tu alcance.
Sé paciente y constante. No abandones a la menor dificultad. Si te quedas atascado, no te des por
vencido; piensa un nuevo enfoque del problema. Cada problema requiere su tiempo.
Concéntrate en lo que haces. Resolver problemas es una actividad mental compleja. Requiere poner en
tensión todos nuestros resortes mentales.
Busca el éxito a largo plazo. Aprender a resolver problemas es un proceso lento. Los frutos tardarán un
cierto tiempo en llegar pero cuando notes los progresos sentirás una gran satisfacción.
ETAPAS EN LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA
No existen reglas que aseguren el éxito en la solución de problemas. Sin embargo, sí se pueden señalar
algunos pasos generales para el proceso de resolverlos.
A.- Comprende el problema. Lee tranquilamente el enunciado. Puede ser necesario que lo leas varias
veces, hasta estar seguro de haberlo entendido y de que no se te ha escapado ningún dato interesante.
Has de tener muy claro en qué consiste, qué conoces, qué se te pide, cuáles son las condiciones. Esto es
imprescindible para afrontar el problema con garantías de éxito.
B.- Elabora un plan de actuación. Cuando ya estás seguro de haber entendido bien el problema y crees
tener toda la información necesaria, es el momento de elegir una estrategia para resolverlo. Existe una
gran variedad de estrategias que conviene que conozcas y que practiques para mejorar tu capacidad de
resolver problemas. Al final te indico algunas de las más frecuentes.
C.- Lleva adelante tu plan. Ya tienes una estrategia que te parece adecuada. Trabájala con decisión y no
la abandones a la primera dificultad. Pero si ves que las cosas se complican demasiado y que no te
acercas nada a la solución, vuelve al paso anterior y prueba con una estrategia diferente. Por lo general
hay varias formas de llegar a la solución y no podemos esperar acertar siempre con la más apropiada al
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primer intento.
¿Salió? ¿Seguro? Revisa el resultado y cerciórate bien de que has llegado a la solución. Son innumerables
las veces que creemos haber resuelto un problema y luego no es así. Las medias ideas y medias
soluciones sirven de poco.
D.- Mira atrás y reflexiona sobre todo el proceso. ¿Has resuelto el problema? ¡Enhorabuena! ¿Has
pasado un buen rato interesado, entretenido, intentándolo con ganas, y has acabado por no resolverlo?
¡Enhorabuena también! Se aprende mucho más de los problemas trabajados con interés y tesón y no
resueltos, que de los que se resuelven casi a primera vista. Ahora debes reflexionar sobre todo el
proceso. Esta etapa puede ser la más provechosa de todas y la que más a menudo olvidamos realizar.
• Examina a fondo el camino que has seguido. ¿Cómo has llegado a la solución? ¿O, por qué no has
llegado a la solución? ¿Ibas bien encaminado desde el principio? ¿Habías intuido la estrategia
correcta en el paso B? ¿O, por qué no se te ocurrió pensar en ella? ¿Qué es lo que te engañó al
escoger estrategias? ¿Cuál fue la chispa que te hizo intuir que iba a ir bien?
• Revisa la solución desde un principio tratando de comprender bien no sólo que funciona sino por qué
funciona. Mira a ver si se te ocurre hacerlo de modo más simple.
• Familiarízate con el método de solución, a fin de utilizarlo en problemas futuros. Descartes dijo una
vez: "Cada problema que resolví se convirtió en una regla que más adelante me sirvió para
solucionar otros problemas."
• Reflexiona un poco sobre tu propio proceso de pensamiento y saca consecuencias para el futuro. Con
experiencias repetidas como ésta tal vez te puedas hacer un diagnóstico de tu propio estilo de
conocimiento. Cada uno tiene el suyo peculiar. ¿Cómo es tu pensamiento? ¿Visual o analítico?
¿Dependes mucho de la expresión verbal o de la fórmula escrita? ¿Tiendes a pensar en círculos,
obsesivamente? ¿Tiendes al compromiso con una sola idea, sin flexibilidad? ¿Cómo podrías
fomentar la fluencia espontánea de ideas variadas, originales, novedosas? Si lo consigues,
tendrás una gran ventaja al saber en qué clases de problemas te puedes ocupar con ventaja y en
cuáles tu probabilidad de éxito no es tan grande. Sabrás cómo abordar problemas, no ya
matemáticos, sino de toda clase, aproximándote a ellos tratando de sacar el mejor partido
posible de las ventajas de tu propio estilo.
E .-Redactar el proceso de resolución
Esfuérzate por redactar de forma clara, ordenada, elegante, que
pueda ser comprendida con facilidad por otra persona. Es frecuente que al hacerlo te des cuenta de que
hay algún punto que no sabes explicar bien o alguna dificultad que tú habías pasado por alto. Aunque no
hubieras llegado a resolverlo, hacer una buena redacción describiendo el proceso que has seguido, los
sucesivos intentos, el porqué crees que no sale, etc., te ayudará a mejorar. Además, puede resultar muy
útil para que quien te lo propuso pueda darte orientaciones que sean más adecuadas para ti.
5.1
Problemas de Aritmética
Aritmética: Parte de las matemáticas que estudia los números y las operaciones hechas con ellos.
EJEMPLO:
La Copa de Oro 2015, en la que México jugó contra Costa Rica, atrajo a muchas personas al partido. El
primer día fueron 3,000 personas menos que el segundo día. El segundo día fueron 2,000 personas
menos que el tercer día. El tercer día fueron 18,678 personas. ¿Cuántas personas fueron el primer y
segundo día?
SOLUCIÓN:
Descarta la información que no es necesaria y utiliza los pasos para la resolución de problemas:
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PASO 1. Comprende el problema: ¿Cuántas personas fueron el primer y segundo día? Estos son los datos
que se proveen:
• El primer día fueron 3,000 personas menos que el segundo día.
• El segundo día fueron 2,000 personas menos que el tercer día.
• La asistencia del tercer día fue de 18,678 personas.
PASO 2. Planea la estrategia para la solución del problema. En este caso, haremos una tabla con los datos
del problema.
PASO 3. Resuelve el problema. Utilizaremos el método conocido como “Trabajar hacia atrás”. (Para
trabajar hacia atrás, usaremos los datos del tercer día y le restaremos los datos de los días anteriores.)
Para resolver este problema se utilizará la operación matemática de la resta.
PASO 4. Resultado: El primer día fueron 13,678 personas y el segundo día fueron 16,678.
PASO 5. Comprueba mediante la operación inversa. Me refiero a la suma de los datos: 13,678 + 3,000 =
16,678 + 2,000 = 18,678
Problemas propuestos de aritmética.
1. Calcula qué fracción de la unidad representa:
a) La mitad de la mitad.
b) La mitad de la tercera parte.
c) La tercera parte de la mitad.
d) La mitad de la cuarta parte.
2. Una familia ha consumido en un día de verano:
2 botellas de litro y medio de agua.
4 botes de 1/3 de litro de zumo.
5 limonadas de 1/4 de litro.
¿Cuántos litros de líquido han bebido? Expresa el resultado con un número mixto.
3. 4 hombres hacen una obra en 12 días. ¿en cuántos días podrán hacer la obra 7 hombres? Expresa
el resultado con un número mixto.
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5.2
Problemas de Álgebra
Álgebra: Parte de las matemáticas en la cual las operaciones aritméticas son generalizadas empleando
números, letras y signos. Cada letra o signo representa simbólicamente un número u otra entidad
matemática. Cuando alguno de los signos representa un valor desconocido se llama incógnita.
EJEMPLO:
Tres socios se van a repartir su capital. Si el primero y el tercero recibirán
recibirá el segundo?
9
y
del capital, ¿cuánto
SOLUCIÓN:
Descarta la información que no es necesaria y utiliza los pasos para la resolución de problemas:
PASO 1. Comprende el problema: ¿Cuántos socios son? ¿Cómo puedo representar la parte del capital
que reciben el primer y el tercer socio?
Estos son los datos que se proveen:



Son tres socios.
Hay dos variables que se desconocen y son el capital y la cantidad que recibe el segundo
socio.
El primer socio recibe 9 del capital

El tercer socio recibe del capital
PASO 2. Planea la estrategia para la solución del problema. En este caso, usaremos las expresiones
algebraicas para obtener un modelo matemático.
PASO 3. Resuelve el problema. Define el modelo matemático.
Sea el capital.
Sea
la cantidad que recibe el segundo socio.
El primer socio recibe 9 del capital, entonces recibe 9
El tercer socio recibe del capital, entonces recibe
Así que el segundo socio recibe el capital total menos lo que juntos reciben el primer y el tercer socio, es
decir:
(9
)
PASO 4. Resultado.
9
9
9
, el segundo socio recibe 9 del capital.
PASO 5. Comprueba el resultado. La suma de las fracciones debe dar la unidad.
Problemas propuestos de álgebra
1. Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos
hay?
2. Trabajando juntos, dos obreros tardan en hacer un trabajo 14 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en
hacerlo por separado si uno es el doble de rápido que el otro?
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3. Andrés quiere invertir $18,000.00 en tres cuentas bancarias, de tal forma que la segunda y la
tercera sean respectivamente el doble y el triple de la primera cuenta. ¿Cuánto depositó en la
primera cuenta?
5.3
Problemas de Geometría
1. Determine los lados del siguiente triángulo.
2. ¿Cuál es el área del pentágono? ¿Cuál es su perímetro?
3. Desde un punto a 340 pies de la base de un edificio, el ángulo de elevación hasta la parte alta del
edificio es de 65°. Encuentre la altura del edificio.
4. Desde la parte superior de un puente que mide 100 pies de altura, un hombre observa un
automóvil que se desplaza frente al edificio. Si el ángulo de depresión del automóvil cambia de
22° a 46° durante el periodo de observación, ¿cuánto se ha trasladado el automóvil?
5. Un gran pingüino lleno de helio está amarrado en el inicio de la ruta de un desfile esperando que
empiece. Dos cables atados a la parte inferior del pingüino crean ángulos de 48° y 40° con el piso
y están en el mismo plano que la línea perpendicular desde el pingüino al piso. Si los cables están
sujetados uno del otro por 10 pies, ¿qué tan alto está el pingüino del piso?
5.4
Problemas de pensamiento lateral
La expresión de pensamiento lateral empezó a ser utilizada hace algunos años por el psicólogo Edward de
Bono para referirse a un proceso mental diferente del deductivo, un proceso para pensar desde
diferentes ángulos, en donde hasta lo que parece absurdo adquiere un sentido y lo que parece imposible
se hace posible.
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Estos ejercicios intelectuales han sido usados por personas que buscan en el pensamiento lateral
promover una mayor atención de los estudiantes a los planteos de diversos problemas, enfatizando la
comprensión antes que la aplicación mecánica de procesos.
Antes de dar su respuesta o decir “es imposible” o “es absurdo” ¿se ha hecho las preguntas adecuadas?
Tenga en cuenta que antes de sumergirse en un problema y ponerse a hacer cálculos o ejercitar la
memoria, conviene examinarlo “desde arriba” (o, mejor aún, “desde un costado”) para estar seguro de
que tiene claro qué quiere averiguar o descubrir.
Problemas propuestos de pensamiento lateral
1. Triángulos. ¿Cuál triángulo es más grande? ¿Uno cuyos lados miden 200, 300 y 400 cm u otro
cuyos lados miden 300, 400 y 700 cm?
2. Dos hombres en el hotel. Los señores López y Pelayo eran dos empresarios que hicieron
reservación para la noche en el mismo hotel. Se les dieron habitaciones vecinas en el tercer piso.
Durante la noche el Sr. Pelayo dormía profundamente. Sin embargo, a pesar del cansancio, el Sr.
López no lograba hacerlo. Al fin el Sr. López llamó por teléfono al Sr. Pelayo e inmediatamente
después de colgar cayó dormido. ¿Por qué sucedió así?
3. El código. El portero de un club exclusivo dice una palabra a quien desea entrar. Si responde
correctamente, entra; si no, es rechazado.
4. Un NO SOCIO esperanzado observó cuidadosamente cuando se acercó un socio. “Dos” dijo el
portero. “Tres” contestó el socio. Lo dejaron entrar. Llegó otro socio. “Tres”, dijo el portero.
“Cuatro”, respondió el socio. Como también lo dejaron entrar, el hombre decidió que era fácil y
dio un paso adelante. “Cuatro”, dijo el portero. “Cinco”, contestó el hombre. Furioso, el portero
lo expulsó dándole una palmada en la nuca. ¿Qué tendría que haber dicho?
5. Tres amigos reciben como pago de un trabajo una partida de cerveza, envasada en 21 botellas
iguales, de las cuales se hallan:
7 llenas
7 mediadas
7 vacías
Quieren ahora repartirse estas 21 botellas de modo que cada uno de ellos reciba el mismo
número de botellas y la misma cantidad de cerveza sin abrir las botellas.
6. Un joyero disponía de ocho anillos iguales por su forma, tamaño y color. De estos ocho anillos,
siete tenían el mismo peso; el octavo era sin embargo un poquito más ligero que los otros.
¿Cómo podría el joyero descubrir el anillo más ligero e indicarlo con toda seguridad utilizando la
balanza y efectuando dos pesadas, sin disponer de pesa alguna?
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BIBLIOGRAFÍA

ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON GEOMETRÍA ANALÍTICA
Walter Fleming-Dale Varberg
Tercera Edición
Prentice- Hall

ARITMÉTICA
Aurelio Baldor
Editorial Patria

MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS INTRODUCTORIAS CON NIVELADOR MYMATHLAB
Tutor interactivo online
Demana-Waits-Foley-Kennedy-Blitzer
Editorial Pearson
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PRECÁLCULO
Larson-Hostetler
Séptima Edición, 2008
Editorial Reverté
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PRECÁLCULO
Max A. Sobel
Quinta Edición
Editorial Pearson
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ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Earl W. Swokowski y Jeffery A, Cole
Undécima Edición
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