Año 2010 - IES Ramón Olleros

Selectividad
Junio 2010 (Prueba General)
JUNIO 2010
Opción A
 2 −3 1 
1.- Sean las matrices: A =  0 1 2  y B =
 5 3 −1


Halla una matriz X tal que 2X – BA = AB.
2 0 1


 3 −3 2  .
 −1 −2 −3 


2.- La cantidad C de tomates (en kg) que se obtienen de una planta de tomate depende de la
cantidad de abono x (en gramos) que se añade en el proceso de siembra según la función
C(x) =10−5 · (x + 20)2 (a − x), donde x ∈ [0, 200] y a es un parámetro.
a) Determina el valor de a sabiendo que con 130 gramos de abono se recogen 20,25 kg de tomate.
b) Supuesto a = 220, calcula la cantidad de abono que debe echar un agricultor en cada planta para
recoger la máxima cantidad de tomates. ¿Cuál es esa máxima cantidad de tomates?
3.- Consideremos dos dados, uno normal con las caras numeradas del 1 al 6 y otro trucado, con 4
caras con el número 5 y 2 caras con el número 6. Se elige al azar uno de los dados y se realizan dos
tiradas con el dado elegido.
a) Calcula la probabilidad de sacar 5 en la primera tirada y 6 en la segunda.
b) Si el resultado de la primera tirada es 5 y el resultado de la segunda tirada es 6, ¿cuál es la
probabilidad de haber elegido el dado trucado?
4.- En el juego del tiro al plato Antonio acierta el plato el 55% de las veces que dispara. En cambio
María falla en el 40% de las tiradas. Si disparan los dos a la vez, ¿cuál es la probabilidad de que
ambos acierten?
Dpto. Matemáticas
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Selectividad
Junio 2010 (Prueba General)
Opción B
1.- El dueño de un supermercado ha comprado embutido, bebidas y conservas, por un importe total
de 4600 €. El valor de las conservas es el mismo que el de las bebidas y embutidos juntos. Si vende
todos estos productos, añadiendo un beneficio del 10 % en el embutido, el 20 % en las bebidas y el
15 % en las conservas, obtendrá un importe total de 5305 €. Calcula lo que pagó por cada uno de
ellos.
1
, para x ∈ (−2, 2).
4 − x2
a) Halla los máximos y mínimos de la curva en el intervalo considerado y estudia su crecimiento y
decrecimiento.
b) Representa gráficamente la curva en dicho intervalo.
c) Calcula la recta tangente a la curva f (x) en el punto x =1.
2.- Dada la curva de ecuación f (x) =
3.- Una industria conservera envasa latas de sardinas, cuyo peso sigue una distribución normal con
media µ y desviación típica σ =1.
a) Suponiendo que µ = 90 gramos y que cada lata debe pesar entre 88 y 92 gramos para salir al
mercado, ¿qué proporción de latas salen efectivamente al mercado?
b) Suponiendo que se desconoce µ, se toma una muestra de 25 latas para su estimación,
obteniéndose un media muestral de 90,25 gramos. Determina un intervalo de confianza al 95 %
para µ.
4.- Una caja tiene 12 bombones, de los cuales 2 son de chocolate blanco y el resto de chocolate
negro. Si se cogen 4 bombones al azar y sin reemplazamiento, calcula la probabilidad de que los 4
sean de chocolate negro.
Dpto. Matemáticas
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Selectividad
Junio 2010 (Prueba General)
SOLUCIONES
Opción A
 2 −3 1 
1.- Sean las matrices: A =  0 1 2  y B =
 5 3 −1


Halla una matriz X tal que 2X – BA = AB.
2 0 1


 3 −3 2  .
 −1 −2 −3 


Solución:
En primer lugar despejemos la matriz X de la expresión 2X – BA = AB.
1
2X – BA = AB ⇒ 2X = AB + BA ⇒ X = (AB + BA)
2
Una vez despejada, calculemos las matrices AB y BA (recuerda que en general el producto de
matrices no es conmutativo):
 2 −3 1   2 0 1   −6 7 −7 
AB =  0 1 2  ·  3 −3 2  =  1 −7 −4 
 5 3 −1  −1 −2 −3   20 −7 14 

 

 
−3 1 
 2 0 1   2 −3 1   9

 
 
BA =  3 −3 2  ·  0 1 2  =  16 −6 −5 
 −1 −2 −3   5 3 −1  −17 −8 −2 
 


 
Así:
 −6 7 −7   9 −3 1  
4 −6 
3
1
1 
1 
 


1 −7 −4  +  16 −6 −5   =
X = (AB + BA) =
17 −13 −9 



2 
2
2 
 


 3 −15 12 
 20 −7 14   −17 −8 −2  
2.- La cantidad C de tomates (en kg) que se obtienen de una planta de tomate depende de la
cantidad de abono x (en gramos) que se añade en el proceso de siembra según la función
C(x) =10−5 · (x + 20)2 (a − x), donde x ∈ [0, 200] y a es un parámetro.
a) Determina el valor de a sabiendo que con 130 gramos de abono se recogen 20,25 kg de tomate.
b) Supuesto a = 220, calcula la cantidad de abono que debe echar un agricultor en cada planta para
recoger la máxima cantidad de tomates. ¿Cuál es esa máxima cantidad de tomates?
Solución:
a) Debemos calcular a para el caso en que C (130) = 20,25. Por tanto:
C (130) = 20,25
⇒
20,25 = 10−5 · (130 + 20)2 (a − 130)
⇒
a=
20, 25
+ 130 = 220
10−5 ·1502
b) Si a = 220 entonces la función C que nos da la cantidad de tomates (en kg) que se obtienen de
una planta de tomate viene dada por C (x) = 10−5 · (x + 20)2 (220 − x).
Nos piden calcular la cantidad de abono que debe echar un agricultor en cada planta para recoger la
máxima cantidad de tomates, y por tanto, debemos maximizar dicha función. Para ello, calculemos
la derivada de la función C (x), C ‘(x), e igualemos la a cero para obtener los puntos singulares:
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C ‘(x) = 2 ·10−5 · (x + 20) · (220 − x) – 10−5 · (x + 20)2 =
= 10−5 (x + 20) [2 (220 – x) – (x + 20)] = 10−5 (x + 20) (420 – 3x)
Al igualarla a cero tenemos que:
10−5 (x + 20) (420 – 3x) = 0
⇒
x = –20 y x = 140
La solución negativa no tiene sentido en el contexto del problema, y por tanto nos olvidamos de
ella. Para la solución positiva, comprobamos si hace máxima la cantidad de tomates producida. Para
ello, calculemos C ‘’(x):
C ‘’(x) = 10−5 (420 – 3x) – 3 · 10−5 (x + 20) = 10−5 (360 – 6x)
Como:
C ‘’(140) = 10−5 (360 – 6 · 140) = 10−5 (360 – 840) = 10−5 · (–480) < 0
⇒ Máximo
Por tanto, para que la producción de tomates sea máxima se ha de abonar la planta con 140 gramos
de abono. En ese caso la producción de tomate ascendería a C (140) = 20,48 kg.
3.- Consideremos dos dados, uno normal con las caras numeradas del 1 al 6 y otro trucado, con 4
caras con el número 5 y 2 caras con el número 6. Se elige al azar uno de los dados y se realizan dos
tiradas con el dado elegido.
a) Calcula la probabilidad de sacar 5 en la primera tirada y 6 en la segunda.
b) Si el resultado de la primera tirada es 5 y el resultado de la segunda tirada es 6, ¿cuál es la
probabilidad de haber elegido el dado trucado?
Solución:
Para resolver este problema, consideremos los siguientes sucesos:
N: Elegir el dado normal.
T: Elegir el dado trucado.
S5: Sacar un 5.
S6: Sacar un 6.
Con estos sucesos elaboremos el siguiente diagrama de árbol que nos ayude a resolver el problema:
Elegir dado
1ª tirada
S5
1/6
1/2
S5
S5
4/6
5/6
S6
S6
1/6
5/6
2/6
4/6
S6
S6
S6
S6
T
2/6
Dpto. Matemáticas
1/6
N
5/6
1/2
2ª tirada
S5
4/4
2/6
4/6
S6
S6
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a) La probabilidad de sacar 5 en la primera tirada y 6 en la segunda viene dada por el teorema de la
probabilidad total:
P (S5 en 1ª tirada ∩ S6 en 2ª tirada) =
= P (N) · P (S5 en 1ª tirada / N) · P (S6 en 2ª tirada / (N ∩ S5 en 1ª tirada)) +
+ P (T) · P (S5 en 1ª tirada / T) · P (S6 en 2ª tirada / (T ∩ S5 en 1ª tirada)) =
=
1 1 1 1 4 2 1
8
9 1
· · + · · =
+
=
=
2 6 6 2 6 6 72 72 72 8
b) Para calcular la probabilidad de haber elegido el dado trucado, si el resultado de la primera tirada
es 5 y el resultado de la segunda tirada es 6, utilizamos el teorema de Bayes:
P(T ∩ S 5en1ª tirada ∩ S 6 en 2ª tirada)
=
P( S 5en1ª tirada ∩ S 6 en 2ª tirada)
1 4 2
8
· ·
64 8
=
= 2 6 6 = 72 =
1
1 72 9
8
8
P (T / (S5 en 1ª tirada ∩ S6 en 2ª tirada)) =
4.- En el juego del tiro al plato Antonio acierta el plato el 55% de las veces que dispara. En cambio
María falla en el 40% de las tiradas. Si disparan los dos a la vez, ¿cuál es la probabilidad de que
ambos acierten?
Solución:
Para resolver este problema, consideremos los siguientes sucesos:
A: Antonio acierta.
M: María acierta.
Estos dos sucesos son independientes, y por tanto se ha de cumplir que:
P (A ∩ M) = P (A) · P (M)
Según los datos del problema tenemos que:
P (A) = 0,55
P (M) = 0,60
Entonces:
P (A ∩ M) = P (A) · P (M) = 0,55 · 0,60 = 0,33
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Junio 2010 (Prueba General)
Opción B
1.- El dueño de un supermercado ha comprado embutido, bebidas y conservas, por un importe total
de 4600 €. El valor de las conservas es el mismo que el de las bebidas y embutidos juntos. Si vende
todos estos productos, añadiendo un beneficio del 10 % en el embutido, el 20 % en las bebidas y el
15 % en las conservas, obtendrá un importe total de 5305 €. Calcula lo que pagó por cada uno de
ellos.
Solución:
Consideremos las siguientes variables:
x: valor del embutido comprado.
y: valor de las bebidas compradas.
z: valor de las conservas compradas.
A partir de los datos del problema podemos escribir las siguientes ecuaciones:
• Importe total de 4600 €:
x + y + z = 4600
• El valor de las conservas es el mismo que el de las bebidas y embutidos juntos:
z=x+y
• Si vende todos estos productos, añadiendo un beneficio del 10 % en el embutido, el 20 % en
las bebidas y el 15 % en las conservas, obtendrá un importe total de 5305 €:
1,10x + 1,20y + 1,15z = 5305
Obtenemos así un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Si sustituimos la segunda ecuación
en las otras dos, conseguimos reducirlo al siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
2x + 2y = 4600 ⇒ x + y = 2300
2,25x + 2,35y = 5305 ⇒ 45x + 47y = 106100
Resolviendo este sistema obtenemos que: x = 1000 € e y = 1300 €.
Sustituyendo estos valores para calcular z, obtenemos que z = 2300 €.
1
, para x ∈ (−2, 2).
4 − x2
a) Halla los máximos y mínimos de la curva en el intervalo considerado y estudia su crecimiento y
decrecimiento.
b) Representa gráficamente la curva en dicho intervalo.
c) Calcula la recta tangente a la curva f (x) en el punto x =1.
2.- Dada la curva de ecuación f (x) =
Solución:
Se tiene que para la función dada f (x) tiene por dominio: Dom f (x) = \ – {–2, 2}. Por tanto, como
nos dicen que x ∈ (−2, 2), la función siempre está definida en él.
a) Para hallar los máximos y mínimos de la curva en el intervalo considerado y estudiar su
crecimiento y decrecimiento, calculemos su derivada primera:
0·(4 − x 2 ) − 1·(−2 x)
2x
f ‘(x) =
=
2 2
(4 − x )
(4 − x 2 ) 2
Dpto. Matemáticas
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Dicha derivada se anula para x = 0. Así, el signo de la derivada primera en el intervalo (−2, 2) es:
f ‘(x) < 0
–2
f ‘(x) > 0
0
2
De aquí se deduce que la función decrece en el intervalo (–2, 0) y crece en el intervalo (0, 2). Por
tanto, como en x = 0 cambia la monotonía de creciente a decreciente, la función f presenta un
mínimo en dicho punto.
 1
Mínimo en  0, 
 4
b) Para representar la función en dicho intervalo podemos ayudarnos calculando los valores hacia
los que tiende la función cuando x tiende a –2 y a 2.
1
1
1
1
Lim+
= + = +∞
y
Lim−
= + = +∞
2
2
x →− 2 4 − x
x→2 4 − x
0
0
Por tanto, las rectas x = –2 y x = 2 son asíntotas verticales.
Así, teniendo en cuenta lo anterior, que la función no corta al eje OX, que corta al eje OY en el
 1
punto donde presenta el mínimo,  0,  , que el signo de la función es positivo en el intervalo
 4
considerado, y que es una función par, entonces su representación es:
c) La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto x = 1 viene dada por:
y – f (1) = f ‘(1) (x – 1)
1
1
2x
2·1
2
, entonces f ‘(1) =
= , y como f ‘(x) =
= . Por tanto la
2 2
2 2
2
4 −1 3
(4 − x )
(4 − 1 )
9
ecuación de la recta tangente es:
Así, f (1) =
y–
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1
2
= (x – 1)
3 9
⇒
7/7
2x – 9y + 1 = 0
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3.- Una industria conservera envasa latas de sardinas, cuyo peso sigue una distribución normal con
media µ y desviación típica σ =1.
a) Suponiendo que µ = 90 gramos y que cada lata debe pesar entre 88 y 92 gramos para salir al
mercado, ¿qué proporción de latas salen efectivamente al mercado?
b) Suponiendo que se desconoce µ, se toma una muestra de 25 latas para su estimación,
obteniéndose un media muestral de 90,25 gramos. Determina un intervalo de confianza al 95 %
para µ.
Solución:
a) Consideremos la variable aleatoria X que nos da el peso de las latas de sardinas de la citada
empresa conservera. Dicha variable sigue una distribución normal N (90, 1). Para calcular la
proporción de latas salen al mercado, teniendo en cuenta que cada lata debe pesar entre 88 y 92
gramos, calculemos P (88 ≤ X ≤ 92) y expresemos el resultado en forma de porcentaje:
92 − 90 
 88 − 90
P (88 ≤ X ≤ 92) = P 
≤Z≤
 = P (–2 ≤ Z ≤ 2) =
1 
 1
= 2 P (Z ≤ 2) – 1 = 2 · 0,9772 – 1 = 1,9544 – 1 = 0,9544
Por tanto, el 95,44 % de las latas salen efectivamente al mercado.
σ
σ 

b) El intervalo de confianza pedido será de la forma  x − zα / 2 ·
, x + zα / 2 ·
 , en el que
n
n

x = 90,25 gramos, n = 25 y para una confianza del 95 % le corresponde un z α / 2 = 1,96. Así pues:
σ
σ  
1
1 

IC =  x − zα / 2 ·
,90, 25 + 1,96·
, x + zα / 2 ·
 =
 =  90, 25 − 1,96·
25
25 
n
n 

= (89,858; 90,642)
4.- Una caja tiene 12 bombones, de los cuales 2 son de chocolate blanco y el resto de chocolate
negro. Si se cogen 4 bombones al azar y sin reemplazamiento, calcula la probabilidad de que los 4
sean de chocolate negro.
Solución:
Consideremos el suceso Ni, que indica la extracción de un bombón negro, siendo i el número de
extracción. Así, la probabilidad pedida viene dada por:
P (4 bombones negros) = P (N1) · P (N2 / N1) · P (N3 / N1 ∩ N2) · P (N4 / N1 ∩ N2 ∩ N3) =
10 9 8 7 14
=
· · · =
12 11 10 9 33
Nota: No se trata de una distribución binomial ya que al realizar extracciones sin reemplazamiento
no se mantiene constante la probabilidad de sacar un bombón negro en cada extracción.
Otra forma de realizar este ejercicio es a través de la combinatoria. El número de casos posibles
viene dado por las distintas formas en que se pueden elegir 4 bombones negros de entre los 10 que
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10 
hay, es decir,   . El número de casos posibles viene dado por las distintas formas en que se
4
12 
pueden elegir 4 bombones negros de entre todos los que hay, es decir,   . Así:
4
10 
10!
 
4
Número de casos favorables
4!·6! 14
P (4 bombones negros) =
=
=   =
12!
Número de casos posibles
33
12 
 
4!·8!
4
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