(x)=a - ifuap

Análisis Numérico y Programación
Unidad III
-Interpolación mediante
trazadores:
Lineales, cuadráticos y cúbicos
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Primavera 2009
LMM
Análisis Numérico y Programación
Conceptos generales
• Problema general:
Se tiene un conjunto discreto de
valores (mediciones) de una
cantidad, se requiere conocer
un valor intermedio entre los
valores discretos.
1
•
2
•
Opciones
1. Obtener una curva que
represente la tendencia
general de los datos. Vimos
regresión por mínimos
cuadrados.
2. Una curva que pase por
cada uno de los puntos en
forma directa. Interpolación,
vimos mediante polinomios,
ahora veremos trazadores
2
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Polinomios de Newton (o Lagrange):
para n+1 datos, un polinomio de grado n
f(x) a
orden n
f n ( x ) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f [ x1 , x0 ] +
( x − x0 )( x − x1 ) f [ x2 , x1 , x0 ] + ... +
( x − x0 )( x − x1 )...( x − xn −1 ) f [ xn , xn −1 ,..., x0 ]
f [ xi , x j ] =
Con las diferencias
divididas
f ( xi ) − f ( x j )
f [ xi , x j , xk ] =
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xi − x j
f [ xi , x j ] − f [ x j , xk ]
xi − xk
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Polinomios de interpolación de
Lagrange
n+1 datos
xi, yi, i=0,1,…,n
n
f n ( x ) = ∑ Li ( x ) f ( xi )
i =0
n
Li ( x ) = ∏
j =0
i≠ j
x − xj
xi − x j
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Trazadores
(splines, en inglés)
•
¿Qué es un
trazador?
Cinta semirígida
usada para trazar
curvas en dibujos,
planos.
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Análisis Numérico y Programación
Trazadores
(splines, en inglés)
•
•
•
a)
b)
Usan polinomios, pero de
grado inferior
Se ajustan subconjuntos de
datos
¿Por qué usarlos?
Para funciones que
presentan un cambio local
abrupto
Polinomios de grado
superior presentan
oscilaciones indeseables, al
limitar el grado en el
trazador éstas se eliminan.
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Trazadores lineales
• Conjunto de funciones lineales (entre
cada pareja de datos, la función de
interpolación es lineal)
f(x)
f ( x ) = f ( x0 ) + m0 ( x − x0 ), x0 ≤ x ≤ x1
f ( x ) = f ( x1 ) + m1 ( x − x1 ), x1 ≤ x ≤ x2
=nodo
m1
m0
m2
...
f ( x ) = f ( xn −1 ) + mn −1 ( x − xn −1 ), xn −1 ≤ x ≤ xn
x
No da una función suave
En los nodos la primera derivada
de f(x) es discontinua
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x0
x1
x
x2
x3
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Ejemplo
• Ajuste los datos de la tabla con
trazadores de primer grado.
• Evalúe la función en x=5
Solución.
Se calculan las pendientes de las
líneas entre pares de puntos.
Para el caso x=5, notamos que se
encuentra en el intervalo [4.5,7]. La
pendiente en este intervalo es
Evaluando con esta
pendiente en la función
lineal correspondiente
x0
x1
x2
x3
x
3.0
4.5
7.0
9.0
f(x)
2.5
1.0
2.5
0.5
2.5 − 1
m=
= 0.60
7 − 4.5
f ( x = 5) = f ( x = 4.5) + m(5 − 4.5)
= 1. + 0.60 * 0.5 = 1.3
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Trazadores Cuadráticos
•
•
•
En general, si las m-ésimas derivadas deben ser
continuas, se requiere un trazador de un grado al menos
m+1.
Los de segundo grado tienen primeras derivadas
continuas en los nodos.
En cada intervalo
f(x)
f i ( x ) = ai x + bi x + ci
2
Si n+1 datos, n intervalos Æ 3n
constantes (a,b,c) por determinar
Æ necesitamos 3n ecuaciones.
Notar que hay n-1 nodos
interiores, es decir, nodos que no
son los extremos.
a1,b1, c1
x
x0
x1
x
x2
x3
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¿Cómo encontrar las ecuaciones?
• Los valores de la función
de polinomios
adyacentes deben ser
iguales en los nodos
interiores (i = 2,…, n)
f(x)
f(x)=ai-1
Tenemos 2n-2 ecs.
Pues
n-1 nodos interiores
(2 ecs. para c/nodo)
x2+b
ai −1 xi2−1 + bi −1 xi −1 + ci −1 = f ( xi −1 )
(I)
ai xi2−1 + bi xi −1 + ci = f ( xi −1 )
i-1
x+ci-1
Intervalo i-1
f(x)=aix2+bix+ci
Intervalo i
xi-1
xi-2
x
xi
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¿Cómo encontrar las ecuaciones restantes?
• La primera y la última
a1 x02 + b1 x0 + c1 = f ( x0 )
función deben pasar por
2
a
x
n n + bn xn + cn = f ( xn )
los puntos extremos.
• Las primeras derivadas
en los nodos interiores
f ' ( x ) = 2ax + b
o bien
deben ser iguales.
2ai −1 xi −1 + bi −1 = 2ai xi −1 + bi
• Suponemos que en el
primer punto la segunda
derivada es cero. Así,
trazador del primer
a1=0
intervalo es lineal
(trazador natural)
No. ecs
(II)
2
(III)
(IV)
Total 2n-2+2+n-1+1 = 3n ecuaciones
Pero Ec (IV) ya da el valor de una a,
entonces 3n-1 ecuaciones
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n-1
1
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Sistema de ecuaciones resultante
• Note que el sistema de
ecuaciones para las a, b,
c puede escribirse como
(Nota: m =3n-1)
⎛ A11
⎜
⎜ A21
⎜
⎜⎜
⎝ Am1
A12
A22
...
...
...
Am 2 ...
A1m ⎞⎛ χ1 ⎞ ⎛ B1 ⎞
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A2 m ⎟⎜ χ 2 ⎟ ⎜ B2 ⎟
⎟⎜ ... ⎟ = ⎜ ... ⎟
⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
Amm ⎠⎝ χ m ⎠ ⎝ Bm ⎠
El cual puede resolverse numéricamente.
Por ejemplo, la subrutina gauss da un vector de resultados, que
corresponden a
c1 c2
b1
c3 c4
c5 c6
c7 c8 …
c1 a2 b2 c2 a3 b3
c3 …
cm-2 cm-1 cm
am
bm
cm
a1=0
Intervalo
1
2
3
m
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Ejemplo
•
•
Usar los datos de la tabla de la pag. 8
Notar que tenemos 4 datos y 3 intervalosÆ 9 incógnitas, pero por Ec.
(IV) solo quedan 8.
• Obtener el sistema de ecuaciones para las a, b, c.
• Mostrar que los coeficientes para cada intervalo son
a1= 0
b1= -1
c1=5.5
a2=0.64 b2=-6.76 c2= 18.46
a3=-1.6 b3= 24.6 c3=-91.3
• Usar la subrutina gauss (en archivo gauss.for) para resolver el
sistema de ecuaciones resultante.
•
Escribir las expresiones para los trazadores en cada intervalo
fi(x)=aix2+bi+ci.
• Evaluar la función en x=5
Problema 18.10 del Chapra.
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Trazadores cúbicos
Polinomio de
tercer grado
f i ( x ) = ai x + bi x + ci x + d i
3
2
Se tienen 4n ecuaciones de las condiciones siguientes
•
•
•
•
•
Los valores de la función deben ser iguales en los nodos
interiores (2n-2)
La primera y la última función deben pasar por los puntos
extremos (2).
Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser
iguales (n-1).
Las segundas derivadas en los nodos interiores deben ser
iguales (n-1).
Las segundas derivada en los extremos son cero.
Trazadores en los extremos son lineales (2).
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Pero … mejor formulación alternativa
•
Los nodos están unidos por una cúbicaÆ la segunda
derivada es una línea recta. La escribimos como un
polinomio de interpolación de Lagrange
f i′′ ( x ) = f i′′ ( xi −1 )
x − xi
x − xi −1
+ f i′′ ( xi )
xi −1 − xi
xi − xi −1
•No conocemos las segundas derivadas.
•Integramos dos veces para obtener fi(x) Æ dos constantes
de integración. Notar que segundas derivadas de miembro
derecho tienen valores dados y vamos a determinarlos.
∫
f i′′ ( x )dx =
f i′′ ( xi −1 )
f i′′ ( xi )
( x − xi )dx +
( x − xi −1 )dx
xi −1 − xi ∫
xi − xi −1 ∫
Primera integral,
Etc.
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procedimiento
Para la primera integral, por ejemplo
∫
f i′′ ( x )dx =
f i′( x ) =
f i′′ ( xi −1 )
f i′′ ( xi )
( x − xi )dx +
( x − xi −1 )dx
xi −1 − xi ∫
xi − xi −1 ∫
f i′′ ( xi −1 ) 2
f i′′ ( xi ) 2
( x / 2 − xi x ) +
( x / 2 − xi −1 x ) + C1
xi −1 − xi
xi − xi −1
•Las constantes C1 y C2 se obtienen de: igualamos f(x) a
f(xi-1) y a f(xi), al evaluarla en xi-1 y xi, respectivamente.
•Obtenemos un polinomio de grado 3 (resultado de doble
integración de x) con dos incógnitas: las segundas derivadas
(ver Ec. C18.3 de Chapra).
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• Derivando la expresión para fi(x) y haciendo que esta
primera derivada sea continua en los nodos interiores,
se obtienen n-1 ecuaciones con n+1 segundas
derivadas de f (evaluadas en los n+1 nodos)
desconocidas.
• Haciendo cero las segundas derivadas en los extremos
eliminamos dos incógnitas Æ se tienen n-1 ecuaciones
con n-1 segundas derivadas como incógnitas
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Ecuación cúbica para cada intervalo
Rescribimos la ecuación para fi(x)
f i′′ ( xi −1 )
f i′′ ( xi )
3
fi ( x) =
( xi − x ) +
( x − xi −1 )3
6( xi − xi −1 )
6( xi − xi −1 )
⎡ f ( xi −1 ) f ′′ ( xi −1 )( xi − xi −1 ) ⎤
+⎢
−
⎥( xi − x )
6
⎣ xi − xi −1
⎦
⎡ f ( xi )
f '' ( xi )( xi − xi −1 ) ⎤
+⎢
−
⎥( x − xi −1 )
6
⎣ xi − xi −1
⎦
(V)
Notar que al sustituir los valores de las segundas derivadas, la función queda
perfectamente definida (las cantidades restantes son los datos).
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Sistema de ecuaciones
• Con las segundas derivadas como
incógnitas, la Ec. C18.3.4 del Chapra
queda como
( xi − xi −1 ) f ' ' ( xi −1 ) + 2( xi +1 − xi −1 ) f ' ' ( xi ) + ( xi +1 − xi ) f ' ' ( xi +1 )
6
6
=
[ f ( xi +1 ) − f ( xi )] +
[ f ( xi −1 ) − f ( xi )]
xi +1 − xi
xi − xi −1
(VI)
Notar que la matriz del sistema es tridiagonal y simétrica
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Matriz tridiagonal
⎛ f1
⎜
⎜ e2
⎜0
⎜⎜
⎝0
g1
f2
0
g2
e3
f3
e4
0
0⎞
⎟
0⎟
g3 ⎟
⎟⎟
f4 ⎠
Se puede definir por tres vectores e, f, g de n elementos, donde
e1=gn=0
Si corresponde a un sistema de ecuaciones, los términos
independientes se pueden dar en otro vector de n elementos, digamos
el vector r. Ver subrutina tridiag.
La solución de este sistema de ecuaciones puede obtenerse fácilmente,
ver subrutinas decomp_thomas y subst_thomas.
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Comparación entre los distintos trazadores
Para los datos de la pag. 8
Aunque la interpolación
cúbica es muy parecida al
trazador, difieren sobre
todo en las derivadas en
los extremos.
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Comparación entre los distintos métodos de interpolación
Regresión lineal
Regresión polinomial
Regresión lineal múltiple
Interpolación polinomial de
Newton en diferencias
divididas
Interpolación polinomial de
Lagrange
Trazadores cúbicos
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Ejercicios
• Utilice la subrutina spline para interpolar los datos
de la pag. 8
• Recuerde que debe leer el número de datos y los
arreglos x,y=f(x). Estos últimos se encuentran en un
archivo.
• Evalúe la función en x=5. Compare con los valores
obtenidos usando trazadores lineales y cuadráticos.
• Resuelva los ejercicios 11, 21 y 22 del Cap. 18 del
Chapra.
• Resuelva los ejercicios 3, 9 y 10 del Cap. 20 del
Chapra.
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