influencia de la topología de redes apolonias sobre modelo social

FÍSICA
Acta Cientı́fica Venezolana, 66(2): 107–113, 2015
INFLUENCIA DE LA TOPOLOGÍA DE REDES
APOLONIAS SOBRE MODELO SOCIAL DE AXELROD
Jorge A. Moreno-Meccia y Mario G. Cosenza
Departamento de Fı́sica, Grupo de Caos y Sistemas Complejos, Universidad de Los Andes, Mérida, Venezuela
Recibido: 24/04/2015
Corregido: 19/07/2015
Aceptado: 03/08/2015
RESUMEN Se investiga la influencia que pueden tener las conexiones entre elementos sobre procesos
dinámicos. En particular se estudia el modelo de influencia cultural de Axelrod sobre redes apolonias, ya
que estas tienen varias propiedades presentes en las redes sociales reales. Se observa que las caracterı́sticas
de estas redes subyacentes afectan el comportamiento de la dinámica del sistema. Hemos encontrado que el
punto crı́tico de la transición de fase en el modelo de Axelrod aumenta con el tamaño de la red apolonia
como una ley de potencia. Este comportamiento es similar al obtenido por otros autores para redes libres
de escala convencionales, pero difiere del resultado observado en redes libres de escala con alto coeficiente
de agrupamiento. Nuestros resultados sugieren que la existencia de la transición de fase en el lı́mite termodinámico para el modelo de Axelrod no puede ser atribuido solamente al alto coeficiente de agrupamiento,
sino que otras propiedades topológicas como la longitud caracterı́stica pudieran tener un papel relevante en
el comportamiento emergente de este modelo social. Palabras claves: dinámica social, modelo de Axelrod,
redes complejas, redes apolonias, transición de fase.
INFLUENCE OF APOLLONIAN NETWORK TOPOLOGY
ON AXELROD SOCIAL MODEL
ABSTRACT We investigate the influence that element connections may have on dynamic processes. In
particular, we studied the Axelrod cultural influence model on apollonian networks since these have many
properties that are present in real social networks. It is observed that the characteristics of this underlying
network affect the behavior of the system dynamics. We found that the critical point of the phase transition
in the Axelrod model increases with the size of the apollonian network as a power law. This behavior is
similar to that obtained by other authors for conventional scale-free networks, but differs from the observed
result in scale-free networks with a high clustering coefficient. Our results suggest that the existence of the
phase transition in the thermodynamic limit for the Axelrod model cannot only be attributed to the high
clustering coefficient, but other topological properties such as the characteristic path length may have a
role in the emergent behavior of this social model. Keywords: social dynamics, Axelrod model, complex
networks, apollonian networks, phase transition.
INTRODUCCIÓN
Uno de los problemas estudiados en la sociologı́a
es el origen y la persistencia de la diversidad cultural en una sociedad, lo que ha llevado al desarrollo
de diversos modelos cualitativos y cuantitativos sobre
este tópico. Con esta orientación, el sociólogo Robert
Axelrod introdujo1 en 1997 un modelo dinámico conceptualmente simple para representar cómo ocurre la
diseminación cultural en una sociedad. Este modelo
permite estudiar el mecanismo de competencia entre
la monoculturalidad y la multiculturalidad de un sistema social, basado en la definición de “cultura” como
un conjunto de atributos individuales que están sujetos a una influencia social; es decir, que pueden cambiar como efecto de las interacciones mutuas. Básicamente consiste en un autómata celular en el cual
los individuos interaccionan entre sı́ en función de su
similitud cultural.1
El modelo de Axelrod ha sido ampliamente estudia-
108
do por los fı́sicos, presentando alto interés en el área
de la sociofı́sica con enfoque en la auto-organización
que resulta de una dinámica local simple que representa la influencia social. Dicho interés se debe principalmente a que el sistema presenta una transición
de fase estadı́stica separando una fase ordenada, caracterizada por el crecimiento de una región cultural
dominante que abarca una enorme fracción de todo
el sistema, de una desordenada donde el sistema se
encuentra altamente fragmentado en regiones con diferentes culturas.2
Originalmente, el modelo de Axelrod fue definido
sobre una red regular bidimensional con enlaces a primeros vecinos (con grado k = 4). En este caso, cada
nodo representa un individuo con un conjunto de atributos sometidos a una influencia cultural de sus cuatro vecinos (norte, sur, este y oeste).1 Sin embargo,
este arreglo estructural difiere del caracterı́stico de
los sistemas sociales reales tanto en la topologı́a de
conexiones propiamente, ası́ como en las propiedades
estadı́sticas que presentan.3
El estudio empı́rico de diversas redes reales ha permitido caracterizar ciertas propiedades no triviales
que se manifiestan en la mayorı́a de los sistemas de
cualquier naturaleza, incluyendo las redes sociales.
Dichas topologı́as se agrupan bajo el término de “redes complejas” y representan un área de estudio muy
importante actualmente. De esta rama ha surgido una
serie de desarrollos que extiende la antigua teorı́a de
grafos y busca descubrir los principios comunes que
gobiernan el comportamiento de estas redes, ası́ como
el desarrollo de algoritmos y herramientas que faciliten su comprensión y estudio. En este sentido, se han
propuesto distintos modelos que logran incorporar algunas de estas propiedades de las redes complejas, y
en algunos casos explicar de algún modo cómo emergen a partir de simples reglas que rigen las conexiones
entre sus elementos. También se ha determinado que
las propiedades de las redes juegan un papel muy importante en las dinámicas y procesos que ocurren en
los sistemas.3
En este trabajo se busca investigar acerca del efecto que puedan tener algunas propiedades de las redes
complejas sobre la dinámica del modelo de influencia cultural de Axelrod. Particularmente, se estudia
el comportamiento de la transición de fase emergente en el modelo de Axelrod sobre la topologı́a de redes apolonias,4, 5 ya que en ellas coexisten simultáneamente varias de las propiedades presentes en las redes
reales, incluyendo redes sociales tales como alto agrupamiento, distancia promedio corta, distribución de
Moreno-Meccia & Cosenza
grado con ley de potencia, estructura de comunidades y autosimilaridad a diferentes escalas.4, 5 Nuestro
propósito es determinar, cualitativa y cuantitativamente, cómo las caracterı́sticas de las redes apolonias
afectan los comportamientos colectivos del modelo social de Axelrod, en comparación con otras topologı́as
de redes sobre las cuales ha sido estudiado previamente por otros autores.
MODELO DE AXELROD SOBRE
REDES REGULARES
Axelrod asume que la cultura de un individuo puede ser descrita en términos de un conjunto de atributos (tales como el lenguaje, la religión, forma de
vestir y peinar, tecnologı́a que usa, preferencia polı́tica, gusto musical, etc.), en el cual se abstrae el contenido especı́fico de la cultura de los individuos. Se
puede entonces describir la cultura como una lista de
atributos (caracterı́sticas) para los cuales existe un
conjunto de posibles rasgos (opciones). El modelo se
representa mediante un autómata celular donde cada individuo tendrá F variables enteras que definen
los atributos generales de los individuos, definido mediante un vector cultural de dimensión F donde cada
atributo podrá tomar sólo valores enteros entre 1 y
q, siendo q el número de posibles rasgos por atributo.
De esta manera existen q F estados culturales posibles
para cada individuo.1
La dinámica de interacción del modelo de Axelrod se basa en dos premisas simples: (a) la probabilidad de interacción entre individuos es proporcional
al número de atributos culturales que ellos comparten; y (b) la interacción entre individuos incrementa
su similitud cultural. Ası́ los individuos estarán más
propensos a interaccionar con aquéllos con los que poseen más atributos culturales en común; además en
cada interacción se incrementará el número de atributos que dichos individuos comparten y, por lo tanto,
también la probabilidad de una próxima interacción.
En resumen, para cada instante de tiempo un nodo y
uno de sus vecinos son seleccionados al azar, e interaccionan con una probabilidad proporcional al número
de atributos que comparten dichos individuos. En caso de interacción, se escoge un atributo al azar para
el cual el nodo copia ese rasgo de su vecino.1
El sistema se asume en un estado inicial desordenado, donde cada uno de los F atributos de los individuos toman valores aleatorios entre 1 y q. A medida
que la dinámica avanza, la interacción entre agentes
Modelo social de Axelrod
lleva a los vecinos a hacerse más similares. En la evolución de la dinámica del modelo se observa que el
sistema se congela asintóticamente, llegando a un “estado absorbente” en donde todos los vecinos tienen
vectores culturales idénticos o totalmente diferentes,
por lo que no hay interacción posible subsiguiente entre ellos y la dinámica se detiene. Se dice que dos individuos tendrán la misma cultura si comparten los
mismos rasgos para cada uno de los atributos, y se
denomina “región cultural” al conjunto de nodos adyacentes que poseen un mismo vector cultural. Los
estados absorbentes pueden ser de dos tipos bien diferenciados: un estado monocultural, en el cual casi
todos los agentes convergen a un mismo vector cultural y existe aproximadamente una sola región que
abarca todo el sistema; y un estado multicultural, en
el cual coexisten numerosas regiones adyacentes que
poseen vectores culturales totalmente diferentes.1, 2
Una cantidad útil para estudiar el estado final
del sistema es el tamaño de la región cultural más
grande, Smax , promediada sobre diferentes realizaciones. La fracción del sistema ocupada por esta región,
< Smax > /N , se considera un parámetro de orden.
Cuando esta cantidad se aproxima a cero, el sistema
se encuentra en un estado multicultural donde existe
un gran número de pequeñas regiones. Por otro lado,
cuando < Smax > /N se acerca a la unidad, el sistema se encuentra en un estado monocultural donde el
tamaño de la región más grande es comparable con el
tamaño del sistema.1, 2
La naturaleza del estado final del sistema depende de la evolución total de la dinámica, la cual se
rige por la competencia entre el desorden generado
por el parámetro q y el ordenamiento causado por
las interacciones sociales locales, llevando el sistema
a un estado fragmentado o uniforme, respectivamente, dependiendo de la caracterı́stica que domine. De
esta manera, dependiendo del parámetro q el sistema presenta una transición de fase estadı́stica, separando una fase ordenada, caracterizada por el crecimiento de una región cultural dominante que abarca una enorme fracción de todo el sistema, de una
desordenada donde el sistema se encuentra altamente fragmentado en regiones con diferentes culturas.
Existe un valor de q crı́tico, qc , tal que para valores
inferiores (q < qc ) la dinámica converge a un estado
final monocultural, < Smax > /N ≈ 1 (fase ordenada); mientras que para valores superiores (q > qc )
la dinámica converge a un estado final multicultural,
< Smax > /N ≈ 0 (fase desordenada). Se tiene que
para redes regulares bidimensionales se observa una
109
transición de fase fuera de equilibrio de primer orden
que se define mejor a medida que crece el tamaño del
sistema, obteniéndose en el lı́mite termodinámico un
valor preciso de qc que separa ambas fases.2
Se han realizado otros estudios con el fin de determinar cómo influye la forma y estructura de las
conexiones entre los nodos que conforman el sistema
social sobre la dinámica que es llevada por ellos. Por
un lado, se ha estudiado cómo influye la dimensión de
las redes regulares en el comportamiento de las transiciones de fase emergentes del modelo.6, 7 Por otro
lado, también se ha estudiado el papel que pueden
jugar algunas de la propiedades de las redes complejas sobre esta dinámica social.8 Estos últimos resultados son de interés para este trabajo, por lo que se
discuten en la próxima sección.
MODELO DE AXELROD SOBRE
REDES COMPLEJAS
El creciente estudio de diferentes sistemas reales
desde la perspectiva de redes complejas ha llevado a
la conclusión de que éstos presentan algunos principios de organización concretos codificados de alguna
manera en su topologı́a, y se reflejan en algunas propiedades estadı́sticas que son comunes en la mayorı́a
de ellos. Estas propiedades no triviales incluyen: una
longitud caracterı́stica corta; un alto coeficiente de
agrupamiento; y una ley de potencia en la distribución de grado.3
Por esta razón se han desarrollado numerosos modelos y herramientas que logren capturar en términos
cuantitativos los principios y propiedades que definen a los sistemas. Uno de los más importantes es
el modelo de Watts y Strogatz (WS) para redes de
pequeño mundo,9 el cual parte de una red regular en
la que se realizan reconexiones aleatorias de los enlaces existentes con una probabilidad p. Con esto se
logra en la red una baja longitud caracterı́stica pero al mismo tiempo se mantiene un alto coeficiente
de agrupamiento.9 Otro modelo muy importante es
el de Barabási-Albert (BA) para redes libres de escala,10 el cual genera una red en crecimiento donde se
incorporan los nodos con un criterio de conexión preferencial. Esto conlleva a que los nodos más antiguos
adquieren mayor número de enlaces, lo cual se refleja
en una distribución de grado emergente de la red que
cumple con una ley de potencia.10
Las propiedades de las redes complejas suelen jugar
un papel importante en los comportamientos colecti-
110
vos emergentes del sistema al afectar la dinámica que
se lleva sobre ellas.3 Es por ello que en este caso se
busca estudiar la vinculación que pueda haber entre
la dinámica social y la topologı́a subyacente del sistema.
Por un lado, en la Ref.8 presentaron la dinámica
de Axelrod sobre redes de pequeño mundo basadas
en el modelo WS, y estudiaron el comportamiento de
dicha dinámica con la variación del parámetro p (recableado). Encontraron que para cualquier valor fijo
de p > 0 ocurre una transición de fase fuera de equilibrio, donde existe un valor crı́tico qc que separa el
estado ordenado del desordenado tal y como en las redes regulares (p = 0). En este estudio se observa que
el valor de qc se hace más alto a medida que aumenta la cantidad de desorden espacial (p), lo que indica
que el número de enlaces de larga distancia contribuyen a ordenar el sistema. Cuantitativamente, reportan que el punto crı́tico sigue una ley de potencia con
el parámetro p de la forma qc (p) − qc (p = 0) ∝ p0,39 .
Este resultado indica que la conectividad de pequeño
mundo favorece los estados monoculturales (globalización) en la dinámica de Axelrod.8
A diferencia de las redes regulares (p = 0), el punto
crı́tico de la transición parece hacerse más susceptible
al tamaño del sistema a medida que se incorpora más
aleatoriedad (p > 0), de modo que el punto crı́tico
aumenta a medida que crece el sistema. Este comportamiento no es reportado en el trabajo de la Ref.8
Por otro lado, también se ha estudiado la dinámica de Axelrod en redes libres de escala basadas en
el modelo BA.8 Sobre estas redes la dinámica también presenta una transición de fase orden-desorden,
la cual ocurre para valores de q mayores a medida
que el sistema se hace más grande. Para cada tamaño
de sistema N se obtiene el valor crı́tico y se encuentra una ley de potencia qc (N ) ∝ N 0,39 . Esto indica
que, en el lı́mite termodinámico, la transición fuera
de equilibrio de las redes libres de escala desaparece
y el estado monocultural se establece en el sistema.
Este fenómeno puede ser asociado a los hubs que, al
poseer un gran número de enlaces, esparcen sus atributos culturales en gran parte del sistema ayudando
ası́ a establecer el orden en él. Al aumentar N , incrementa el número de hubs y también sus respectivos
grados.8
Por último, en la Ref.8 se estudió la dinámica de
Axelrod sobre redes libres de escala estructuradas, basadas en un modelo11 donde comparten caracterı́sticas de las redes de pequeño mundo y redes libres
de escala. Esto quiere decir que, además de presen-
Moreno-Meccia & Cosenza
tar una ley de potencia en su distribución de grado,
también poseen un alto coeficiente de agrupamiento (C ≈ 5/6 independiente del tamaño del sistema),
propiedad que no poseen las redes libres de escala
tradicionales (BA).11
Para este caso fue reportado que la dinámica presenta un comportamiento diferente del observado con
las redes libres de escala tradicionales (BA). En particular, se obtiene que sobre las últimas redes la transición de fase fuera de equilibrio persiste para N muy
grandes. También se tiene que independientemente
del tamaño del sistema, éste llega a un estado desordenado para valores de q > qc . Esta forma sugiere una transición de fase que existe igualmente en
el lı́mite termodinámico. Tal comportamiento con el
aumento del tamaño del sistema, similar al obtenido
sobre redes regulares, se debe a que, a grandes escalas, las redes libres de escala estructuradas presentan
una topologı́a similar a una red unidimensional. Sin
embargo, a diferencia de las redes regulares, en esta
topologı́a el sistema alcanza un ordenamiento parcial
del sistema para valores superiores al punto crı́tico.
Esto se debe a que el tamaño de la región cultural
más grande en el estado asintótico < Smax > se relaciona con el mayor grado local presente en la red
(kmax ), lo que nos dice que el hub mayor (nodo con
mayor grado) iguala sus atributos con sus vecinos, de
modo que conforman la región cultural más grande
del sistema.8
MODELO DE AXELROD SOBRE
REDES APOLONIAS
Existe un modelo de redes deterministas denominado redes apolonias4, 5 cuya estructura se basa en
la figura geométrica del fractal de Apolonio. Tanto
los nodos como los enlaces de la red son incluidos
por niveles, de modo de ir completando exactamente el grafo que represente los elementos del fractal. Al
número de niveles considerados e incluidos se le llama
nivel de construcción de la red, L, parámetro que define el número de nodos y enlaces de la misma. En la
Figura 1 se ilustra la topologı́a de las redes apolonias
para varios niveles de construcción.
Es de particular interés el hecho de que en las redes
apolonias coexisten numerosas propiedades presentes
en las redes complejas, tales como ley de potencia
en su distribución de grado, alto coeficiente de agrupamiento y corta longitud caracterı́stica.4, 5 En esta
sección estudiamos el modelo de influencia cultural
Modelo social de Axelrod
111
Figura 1: Esquematización de redes apolonias para los primeros cinco niveles de contrucción L.
de Axelrod definido sobre redes apolonias. Con esto
buscamos profundizar el estudio de la influencia que
tienen las propiedades topológicas de las redes complejas en el comportamiento emergente de la dinámica de dicho modelo. Para la construcción de estas
redes hemos utilizado un algoritmo12 que permite generar redes apolonias estándares para cualquier nivel
de construcción empleando un método basado en el
etiquetado de los nodos.
En la Figura 2a se muestra que el modelo de Axelrod sobre una red apolonia también presenta una
transición de fase fuera de equilibrio (intermedia entre primer y segundo orden) en función del parámetro
q. El punto crı́tico qc , el cual separa la fase homogénea
de la desordenada, se define como el valor de q para el
cual el sistema presenta la mayor desviación estándar
con respecto al parámetro de orden < Smax /N >. En
la Figura 2b se muestra el parámetro de orden de
la dinámica acompañado de su error respectivo para
algunos valores de q. Se puede apreciar como la desviación estándar alcanza su máximo en q para el valor
crı́tico de la transición.
Para determinar cómo afecta el número de elementos del sistema el comportamiento de la transición de
fase, graficamos el parámetro de orden para varios
tamaños del sistema N en aumento, tal y como se
muestra en la Figura 3a. En dicha gráfica podemos
observar cómo la transición de fase se corre hacia la
derecha a medida que incrementa el tamaño del sistema. En otras palabras, el punto crı́tico de la transición
aumenta con el tamaño de la red. Esto puede apreciarse claramente en la Figura 3b. Más aún, qc escala
con N como ley de potencia N β con β = 0,2, de mo-
Figura 2: (a) < Smax > /N en función de q (F = 10) en
redes apolonias con sus respectivos errores. (b) Valor de
la desviación estándar para el mismo sistema; el máximo
representa en punto crı́tico qc . Se grafican 50 realizaciones
para cada valor de q con N = 9844.
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Moreno-Meccia & Cosenza
que la transición de primer orden que se define mejor al aumentar el tamaño del sistema no puede ser
atribuido a esta propiedad de la red.
CONCLUSIONES
Figura 3: (a) < Smax /N > en función de q (F = 10)
en redes apolonias para diferentes tamaños del sistema:
N = 1096 (triángulos), N = 3283 (cı́rculos), N = 9844
(diamantes), N = 29527 (cuadrados). (b) qc en función de
N . En la gráfica log–log la función se ajusta con una recta
con exponente β = 0,2.
Se puede observar que el comportamiento emergente de la transición de fase en el modelo de influencia
cultural de Axelrod es sensible a la topologı́a de la red
subyacente y a sus diferentes propiedades estadı́sticas.
En particular, se determinó que sobre redes apolonias el punto crı́tico de la transición de fase para el
parámetro q escala con el tamaño del sistema como
ley de potencia, lo que implica que no existe transición en el lı́mite termodinámico.
Comparando estos resultados con los obtenidos en
trabajos previos sobre diferentes redes complejas, se
puede inferir que la longitud caracterı́stica tiene un
rol protagonista en la emergencia del punto crı́tico para la transición. Tanto las redes apolonias, pequeño
mundo y libres de escala BA presentan una longitud
caracterı́stica pequeña y carencia de la transición para sistemas grandes ya que esta propiedad favorece la
difusión en la red, lo que conlleva a la homogeneidad
cultural. Lo contrario ocurre en las redes regulares
que poseen una longitud caracterı́stica del orden del
tamaño del sistema. Dado a que la red libre de escala
estructurada se asemeja a una red regular unidimensional para sistemas de gran tamaño, también hace
que prevalezca la transición de fase para el lı́mite termodinámico.
AGRADECIMIENTO
do que no existe transición en el lı́mite termodinámico
para N → ∞. Este comportamiento es similar al que
se obtiene8 para redes libres de escala con el modelo
BA. Para valores similares de tamaños N , la transición en la red apolonia ocurre para valores de qc
mucho más bajos que los obtenidos en las redes libres
de escala.
Este resultado difiere del obtenido en Ref.8 para las
redes libres de escala estructuradas, las cuales poseen
un coeficiente de agrupamiento muy similar al de las
redes apolonias. Si bien las redes apolonias presentan un alto coeficiente de agrupamiento, la dinámica
sobre estas redes no presentan transición de fase en
el lı́mite termodinámico, de la misma manera como
ocurre en las redes libre de escala BA que poseen un
coeficiente de agrupamiento muy bajo. Esto indica
Este trabajo fue realizado con el apoyo del Consejo
de Desarrollo Cientı́fico, Humanı́stico, Tecnológico y
de las Artes de la Universidad de Los Andes, Mérida,
Venezuela, mediante el proyecto No. C-1692-10-05-B.
Agradecemos al Profesor Kay Tucci por su valiosa
colaboración e importantes sugerencias.
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pp. 141–146, 2011.
∗ Correspondencia:
Jorge A. Moreno-Meccia, Departamento de Fı́sica, Grupo de Caos y Sistemas
Complejos, Universidad de Los Andes, Mérida 5101,
Venezuela.
CE: [email protected]
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