Geometría analítica de la recta en el plano

Geometría analítica de la recta en el plano
La Geometría analítica consiste en emplear operaciones de cálculo para resolver problemas
de geometría. En un plano, podemos representar una recta mediante una ecuación, y
determinar los valores que cumplan determinadas condiciones, por ejemplo, las de un
problema de geometría.
Ecuación de la recta
En una recta, la pendiente
es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación:
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación
punto-pendiente):
Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su
pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos
puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos. La
pendiente m es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje X.
La ecuación de la recta que pasa por el punto
dada m es:
y tiene la pendiente
Ejemplo
La ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, − 4) y que tiene una pendiente de − 1
/ 3.
Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:
Aquí aparece la recta expresada en su ecuación general.
Forma simplificada de la ecuación de la recta
Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0,
b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, y − y1 = m(x − x1):
Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la
pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se puede utilizar esta
ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación
dada.
Forma segmentaria de la ecuación de la recta (Ecuación simétrica)
Así como a la ordenada al origen se le puede llamar b, a la abscisa al origen se le puede
llamar a. Si se plantea como problema encontrar la ecuación de una recta,
conocidos a y b (la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos puntos de la recta los
cuales son los siguientes:
y
Note que estos puntos son los interceptos de la recta con cada uno de los ejes X y Y.
Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero primero se debe calcular la
pendiente:
Después se sustituye en la ecuación y − y1 = m(x − x1), usando cualquiera de los dos
puntos, en este caso (a, 0):
Por último se tiene que dividir toda la ecuación entre el término independiente ab:
Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. Esta ecuación se suele utilizar
para obtener la ecuación de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los
ejes y cuando, a partir de la ecuación de una recta, se desean conocer los puntos donde
dicha recta interseca a los ejes. Se conoce también como ecuación canónica de la
recta.
Ecuación Normal de la recta (Primera forma; Ecuación de Hesse)
Ludwig Otto Hesse (1811-1874, matemático alemán, profesor en la Universidad de
Heidelberg y en la Universidad Técnica de Múnich.)
Esta es la forma normal de la recta:
Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ángulo
omega ω es el ángulo formado entre la recta y el eje de las ordenadas.
Donde x que es una constante que nos ayudará a obtener la forma normal, la cual se
puede obtener de la forma general de la recta.
Extrayendo la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de A y B. Como sigue:
Con el número x podemos obtener a cosω y a senω de la misma ecuación general de la
recta, dividiendo a A y B entre k y para calcular d dividimos a C entre k.
Debemos tener cuidado al calcular C, porque C=-kd, entonces si C>0 (es positiva)
tomaremos el valor negativo de k (y será el mismo todas las veces que usemos a k en
la misma ecuación), cuando C<0 (es negativa) usaremos el valor positivo de k.2
La recta en coordenadas cartesianas
La ecuación explícita de una recta en el plano, por ejemplo la recta corresponde a
la fórmula general:
La ecuación anterior debe cumplirse en los puntos A y B, de modo que:
Resolviendo el sistema de ecuaciones:



m se denomina pendiente de la recta y su valor es el de la tangente del ángulo (α)
que forma la recta con el eje x.
m es el resultado de dividir la diferencia ordenadas entre la diferencia de abscisas de
un par de puntos cualesquiera de la recta.
n representa el punto de intersección de la recta con el eje Y (eje de ordenadas).
Rectas notables

La ecuación de una recta vertical responde a la ecuación general x = xv (constante).


La ecuación de una recta horizontal, responde a la ecuación
general y = yh (constante).
La recta natural, que pase por el origen O (0, 0), cumplirá la condición n = 0, siendo

su ecuación:
Dos rectas cualesquiera:
.
serán paralelas si y solo si
cuando:
serán perpendiculares si y sólo si
. Además, serán coincidentes
, es decir: