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Tema 1
Balance de Materiales en Yacimientos de Petróleo con Gas Disuelto
Prof. José R. Villa
Ingenierı́a de Yacimientos II - 7413
Escuela de Ingenierı́a de Petróleo
Universidad Central del Venezuela
Versión 3.2
c
2003-2007
Introducción
Mecanismos de empuje . . . . . . .
Parámetros PVT. . . . . . . . . . . .
Factor volumétrico de formación .
Solubilidad. . . . . . . . . . . . . . . .
Curvas PVT. . . . . . . . . . . . . . .
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EBM
Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caracterı́sticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modelo de tanque . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Balance volumétrico . . . . . . . . . . . . . . . .
Parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Expansión del petróleo. . . . . . . . . . . . . . .
Expansión del gas en solución . . . . . . . . . .
Expansión del petróleo + gas en solución . .
Expansión de la capa de gas . . . . . . . . . . .
Expansión agua connata y volumen poroso .
Influjo de agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vaciamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ecuación general. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mecanismos de recobro . . . . . . . . . . . . . .
Aspectos relevantes de la EBM . . . . . . . . .
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Fuentes de error
Fuentes de error . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Supersaturación de hidrocarburos lı́quidos.
Selección inadecuada de PVT . . . . . . . . .
Presión promedio de yacimiento . . . . . . .
Medición de fluidos producidos . . . . . . . .
Acuı́feros y descensos leves de presión . . .
Estimados de m . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Petróleo activo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Linealización
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Havlena-Odeh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Términos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1
Mecanismos de Empuje . . . . . . . . . . . .
Empuje por gas en solución . . . . . . . . .
Yacimiento subsaturado . . . . . . . . . . . .
Yacimiento saturado . . . . . . . . . . . . . .
Empuje por expansión de la capa de gas.
Empuje por influjo de agua . . . . . . . . .
Empuje combinado . . . . . . . . . . . . . . .
Ecuación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indice de mecanismos de empuje . . . . . .
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Métodos
Métodos de Balance de Materiales
Método F vs. Et . . . . . . . . . . . .
Método de la capa de gas . . . . . .
Método del acuı́fero . . . . . . . . . .
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Ejemplos
Descripción
Ejemplo 1 .
Ejemplo 2 .
Ejemplo 3 .
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PVT
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Muestras de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Ajuste de Bo y Rs a condiciones de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Influjo de Agua
Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reconocimiento del empuje por agua .
Clasificación. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grado de mantenimiento de presión . .
Condición de borde externo . . . . . . .
Regı́menes de flujo . . . . . . . . . . . . .
Geometrı́as de flujo . . . . . . . . . . . . .
Modelos de acuı́fero . . . . . . . . . . . .
Pot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schilthuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hurst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
van Everdingen-Hurst . . . . . . . . . . .
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. 99
100
101
102
103
105
106
111
113
116
Predicción
Introducción. . . . . . . . .
Parámetros . . . . . . . . .
Mécanismos de Recobro.
Método de Tracy . . . . .
Método de Tarner . . . . .
Método de Muskat . . . .
Ejemplo. . . . . . . . . . . .
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Referencias
164
Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Antecedentes de EBM
Antecedentes . . . . . . . .
Coleman, Wilde y Moore
Schilthuis . . . . . . . . . .
Odd . . . . . . . . . . . . . .
Woods y Muskat . . . . .
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165
167
168
169
170
171
van Everdingen, Timmerman y
Hawkins . . . . . . . . . . . . . . .
Tracy . . . . . . . . . . . . . . . . .
Havlena y Odeh . . . . . . . . . .
Dake. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mcmahon .
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........
........
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172
173
174
175
176
Mı́nimos Cuadrados
177
Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Parámetros Estadı́sticos
Introducción. . . . . . . . . .
Coeficiente de correlación.
Error del ajuste (RSME) .
Intervalo de confianza . . .
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184
186
187
189
190
MBO
191
Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Archivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Ejecución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Unidades
196
Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
3
Contenido
Introducción
EBM
Fuentes de error
Linealización
Métodos
Ejemplos
PVT
Influjo de Agua
Predicción
Referencias
Antecedentes de EBM
Mı́nimos Cuadrados
Parámetros Estadı́sticos
MBO
Unidades
Tema 1
slide 2
4
Introducción
slide 3
Introducción
Mecanismos de empuje
Parámetros PVT
Factor volumétrico de formación
Solubilidad
Curvas PVT
Tema 1
slide 4
Mecanismos de empuje
■
Expansión del lı́quido y gas en solución
■
Expansión del gas en la capa de gas
■
Expansión del agua connata
■
Reducción del volumen poroso por compactación de la roca
■
Influjo de agua
Tema 1
slide 5
Parámetros PVT
Cada fase (p) contiene dos componentes (c̄):
■
Componente asociado con la misma fase
■
Componente asociado con otra fase
Volúmenes:
■
Vp : El volumen de la fase p a condiciones de yacimiento (py , Ty )
■
Vc̄,p : El volumen del componente c̄ a condiciones normales que es liberado de la fase p
Tema 1
slide 6
5
Parámetros PVT
Figura 1: Parámetros PVT: (a) encima del punto de burbujero (b) debajo del punto de burbujeo
Tema 1
slide 7
Factor volumétrico de formación
El factor volumétrico de formación de la fase p se define como la relación entre el volumen de la fase p a condiciones de
yacimiento y el volumen del componente asociado con la misma fase a condiciones normalesa
Vo
 Bo = Vō,o
Vp
w
Bw = VVw̄,w
=
Bp =
Vp̄,p

Vg
Bg = Vḡ,g

Tema 1
slide 8
a 14.7 psi, 60 ◦ F
Solubilidad
La solubilidad del componente c̄ en la fase p se define como la relación entre el volumen de este componente en la fase p
a condiciones normales y el volumen del componente asociado con la fase p a condiciones normales.
Rc̄,p
Vc̄,p
=
=
Vp̄,p
(
Rḡ,o =
Rō,g =
Vḡ,o
Vō,o
Vō,g
Vḡ,g
Relación gas-petróleo (Rs )
Relación condensado-gas (Rv )
Tema 1
slide 9
6
Solubilidad
Figura 2: Parámetros PVT por encima de la presión de burbujeo
Tema 1
slide 10
Curvas PVT
FVF Petroleo
Relacion Gas−Petroleo en Solucion
R (MSCF/STB)
0.8
1.3
1.2
1.1
1
0.6
0.4
s
o
B (bbl/STB)
1.4
0
1000
2000
3000
0.2
0
4000
0
1000
presion (psi)
FVF Gas
3000
4000
Factor de Compresibilidad del Gas
10
1
8
0.95
Z
g
6
0.9
4
g
B (bbl/MSCF)
2000
presion (psi)
0.85
2
0
0
1000
2000
3000
0.8
4000
presion (psi)
0
1000
2000
3000
4000
presion (psi)
Figura 3: Comportamiento de propiedades PVT (T =190 ◦ F, Rsi =725 MSCF/STB, γg =0.7, Grav=30 ◦ API, pi =4000
psia)
Tema 1
slide 11
7
EBM
slide 12
EBM
Definición
Caracterı́sticas
Modelo de tanque
Balance volumétrico
Parámetros
Derivación
Expansión del petróleo
Expansión del gas en solución
Expansión del petróleo + gas en solución
Expansión de la capa de gas
Expansión agua connata y volumen poroso
Influjo de agua
Vaciamiento
Ecuación general
Mecanismos de recobro
Aspectos relevantes de la EBM
Tema 1
slide 13
Definición
La ecuación de balance de materiales (EBM) se deriva como el balance volumétrico que iguala la producción acumulada
de fluidos, expresada como un vaciamiento, y la expansión de los fluidos como resultado de una caı́da de presión en el
yacimientoa .
La forma general de la EBM fue desarrollada inicialmente por Schilthuis en 1941b . La EBM establece que la diferencia
entre la cantidad de fluidos iniciales en el yacimiento y la cantidad de fluidos remanentes en el yacimiento es igual a la
cantidad de fluidos producidos.
Cantidad de fluidos presentes
inicialmente en el yacimiento
(MMbbl)
-
Cantidad de fluidos
producidos
(MMbbl)
Tema 1
=
Cantidad de fluidos
remanentes en el yacimiento
(MMbbl)
slide 14
a L. Dake, Fundamentals of Reservoir Engineering, Elsevier, The Netherlands, 1978, pp. 73
b R. J. Schilthuis, Active Oil and Reservoir Energy, Trans., AIME, 118:33-52
Caracterı́sticas
■
La EBM representa un balance volumétrico aplicado a un volumen de control, definido como los lı́mites iniciales de aquellas
zonas ocupadas por hidrocarburos.
■
La suma algebraica de todos los cambios volumétricos que ocurren en cada una de las zonas definidas dentro del volumen de
control es igual a cero.
■
Para el análisis volumétrico se definen tres zonas: la zona de petróleo, la zona de gas y la zona de agua que existe dentro del
volumen de control.
■
Una de las principales suposiciones es que las tres fases (petróleo, gas y agua) siempre están en un equilibrio instantáneo dentro
del yacimiento.
■
Los cambios de volúmenes ocurren a partir de un tiempo t=0 a un tiempo t=t cualquiera. Primero se procede a definir los
volúmenes iniciales en cada una de las zonas, luego los volúmenes remanentes al tiempo t=t, y por último la diferencia entre
éstos representa la disminución en cada zona.
■
Posteriormente se seguirá una serie de manipulaciones matemáticas para llegar a la ecuaci’on generalizada de balance de
materiales. Todo los volúmenes están expresados a condiciones de yacimiento.
Tema 1
slide 15
8
Modelo de tanque
Producción:
petróleo, Np
gas, Gp
agua, Wp
Inyección:
gas, Gi
agua, Wi
Etapa Inicial
(1)
Etapa Final
(2)
Gas
Gas
Gas
Petróleo
Petróleo
Petróleo
Agua
Agua
Agua
Influjo de Agua
agua, We
Referencia: http://www.ipt.ntnu.no/˜kleppe/TPG4150/matbal.ppt
Tema 1
slide 16
Balance volumétrico
Vaciamiento = {Expansión del petróleo + gas en solución}
+ {Expansión del gas de la capa de gas}
+ {Expansión del agua connata + reducción del volumen poroso}
+ {Influjo de agua de acuı́fero}
+ {Inyección de gas/agua}
Tema 1
slide 17
Parámetros
■
N : Volumen inicial de petróleo en sitio a condiciones normales [MMSTB]
■
Gf : Volumen inicial de gas en la capa de gas (gas libre) a condiciones normales [MMMSCF]
■
Gs : Volumen inicial de gas disuelto en el petróleo a condiciones normales [MMMSCF]
■
G: Volumen total inicial de gas en sitio a condiciones normales [MMMSCF]
G = G f + Gs
Tema 1
slide 18
9
Parámetros
■
m: Relación entre volumen inicial de gas en la capa de gas y el volumen inicial de petróleo + gas disuelto en la zona
de petróleo (m es constante y adimensional)
G B
m = NfBoigi
■
N Boi : Volumen de petróleo + gas disuelto inicial a condiciones de yacimiento [MMbbl]
■
mN Boi : Volumen inicial de gas en la capa de gas a condiciones de yacimiento [MMbbl]
■
N Rsi Bgi : Volumen inicial de gas disuelto en el petróleo a condiciones de yacimiento [MMbbl]
■
G: Volumen total inicial de gas en sitio a condiciones normales [MMMSCF]
Boi
G = N Rsi + mN B
gi
■
Np : Petróleo producido acumulado a condiciones normales [MSTB]
■
Gp : Gas producido acumulado a condiciones normales [MMSCF]
■
Rp : Relación gas-petróleo acumulado [MSCF/STB]
G
Rp = Npp
Tema 1
slide 19
Derivación
La derivación de la EBM contempla el desarrollo de los términos que caracterizan el comportamiento volumétrico de
yacimientos de petróleo:
■
Expansión del petróleo
■
Expansión del gas en solución
■
Expansión de la capa de gas
■
Expansión del agua connata y reducción del volumen poroso
■
Influjo de agua
■
Inyección de gas/agua
■
Vaciamiento
Tema 1
slide 20
10
Expansión del petróleo
N Boi : volumen de petróleo inicial a condiciones de yacimiento [MMbbl]
N Bo : volumen de petróleo actual a condiciones de yacimiento [MMbbl]
La expansión del petróleo es [MMbbl]:
N (Bo − Boi )
(1)
FVF Petroleo
1.45
1.4
Bo (bbl/STB)
1.35
1.3
1.25
1.2
1.15
1.1
1.05
1
0
1000
2000
3000
4000
presion (psi)
Tema 1
slide 21
Expansión del gas en solución
N Rsi : gas en solución inicial a condiciones normales [MMMSCF]
N Rsi Bgi : gas en solución inicial a condiciones de yacimiento [MMbbl]
N Rs Bg : gas en solución actual a condiciones de yacimiento [MMbbl]
La expansión del gas en solución [MMbbl]
N Bg (Rsi − Rs )
(2)
Relacion Gas−Petroleo en Solucion
Relacion Gas−Petroleo en Solucion
10
0.9
0.8
0.7
BgRs (bbl/STB)
BgRsi (bbl/STB)
8
6
4
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
2
0.1
0
0
1000
2000
3000
0
0
4000
presion (psi)
1000
2000
3000
4000
presion (psi)
Tema 1
slide 22
11
Expansión del petróleo + gas en solución
La expansión del gas en solución + gas en solución [MMbbl]
N [Bo − Boi + Bg (Rsi − Rs )]
(3)
Reescribiendo:
N [(Bo + Bg (Rsi − Rs )) − (Boi )]
Haciendo uso del concepto del factor volumétrico de formación bifásico se tiene:
N [Bt − Bti ]
Bt : Factor volumétrico de formación bifásico (2F)
Bt = Bo + Bg (Rsi − Rs )
Tema 1
slide 23
Expansión del petróleo + gas en solución
FVF Bifasico
10
Bt (bbl/STB)
8
6
4
2
0
0
1000
2000
3000
4000
presion (psi)
Tema 1
slide 24
Expansión de la capa de gas
mN Boi : volumen inicial de gas en la capa de gas a condiciones de yacimiento [MMbbl]
mN Boi
:
Bgi
volumen inicial de gas en la capa de gas a condiciones normales [MMMSCF]
mN Boi
Bg :
Bgi
mN Boi
Bg
Bgi
volumen actual de gas en la capa de gas a condiciones de yacimiento [MMbbl]
− mN Boi
La expansión del gas en la capa de gas [MMbbl]
mN Boi
Bg
−1
Bgi
(4)
Tema 1
slide 25
12
Expansión agua connata y volumen poroso
La compresibilidad isotérmica se define como:
c = − V1 dV
dp
El cambio en el volumen de agua y la roca debido a la disminución de presión es:
∆Vw = cw Vw ∆p
∆Vr = cr Vr ∆p
El volumen total de agua y roca es:
N Boi
Vw = Vr Swi = (1 + m) 1−S
Swi
wi
Vr = (1 + m)
N Boi
1−Swi
La expansión del agua connata y reducción del volumen poroso es [MMbbl]:
∆Vw + ∆Vr = (1 + m) N Boi
cw Swi + cr
1 − Swi
∆p
(5)
Tema 1
slide 26
Influjo de agua
La expresión más simple para calcular el volumen de influjo de agua a un yacimiento es:
We = cW (pi − p)
W : volumen inicial de agua en el acuı́fero (depende de la geometrı́a del acuı́fero)
pi : presión inicial del yacimiento/acuı́fero
p: presión actual del yacimiento/acuı́fero (presión en el contacto agua-petróleo)
c: compresibilidad total (c = cw + cr )
Esta ecuación esta basada en la definición de compresibilidad isotérmica y puede ser aplicada para acuı́feros muy
pequeños. Para acuı́feros grandes se requiere un modelo matemático que incluya la dependecia del tiempo para tomar en
cuenta el hecho que el acuı́fero requiere un cierto tiempo para responder a un cambio en la presión del yacimiento.
En la lámina 96 se explicará la sección correspondiente a influjo de agua.
Tema 1
slide 27
13
Vaciamiento
La producción acumulada de petróleoa , gasb y aguac es:
Np Bo : producción de petróleo [MMbbl]
Gp Bg : producción de gas [MMbbl]
Np Rs Bg : producción del gas en solución [MMbbl]
Wp Bw : producción de agua [MMbbl]
La inyección acumulada de fluidos es:
Wi Bw + Gi Bg : inyección de agua y gas [MMbbl]
Definimos: Rp =
Gp
:
Np
relación gas-petróleo acumulada [MSCF/STB]
El vaciamiento total es [MMbbl]
Np [Bo + (Rp − Rs ) Bg ] + Wp Bw − Wi Bw − Gi Bg
(6)
Tema 1
slide 28
R
Pn
a N = t q dt ≈
q̄o ∆t
p
o
0
R
Pi=1
t
n
bG =
qg dt ≈
q̄g ∆t
p
R0t
Pi=1
n
c
Wp =
0
qw dt ≈
i=1
q̄w ∆t
Vaciamiento
Figura 4: Producción de petróleo, gas y agua
Tema 1
slide 29
14
Ecuación general
Combinando las expresiones 3, 4, 5 y 6 obtenemos la ecuación general del balance de materiales:
Np [Bo + (Rp − Rs ) Bg ] + Wp Bw
=
N Boi [Bo − Boi + (Rsi − Rs ) Bg ] /Boi
+
mN Boi
+
(1 + m)N Boi
+
We
Bg
−1
Bgi
cw Swc + cr
1 − Swc
∆p
(7)
Se puede observar que el vaciamiento (lado izquierdo de la ecuación) es igual a la expansión de las zonas de petróleo y
gas libre, expansión de la roca y agua connata y al influjo de agua.
Tema 1
slide 30
Ecuación general
Suponiendo que se conoce el tamaño de la capa de gas (m) y el comportamiento de influjo de agua (We ), es posible
calcular el volumen de petróleo original en sitio (N ):
N =
Np [Bo + (Rp − Rs ) Bg ] + Wp Bw − We
Bo − Boi + (Rsi − Rs ) Bg + mBoi
Bg
Bgi
− 1 + (1 + m)Boi
(8)
cw Swc +cr
1−Swc
∆p
En consecuencia, al graficar el valor de N calculado en función de la producción acumulada de petróleo (Np ), se obtiene
una lı́nea recta con pendiente igual a ceroa .
Tema 1
slide 31
a Este método fue posteriormente modificado para diagnosticar la presencia de un acuı́fero asociado a un yacimiento (Método de Campbell)
15
Ecuación general
Metodo N vs. Np
102
N (MMSTB)
101
100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 13 14
99
98
0
2
4
6
8
10
Np (MMSTB)
Tema 1
slide 32
Mecanismos de recobro
La EBM permite identificar cada uno de los procesos que ocurren en el yacimiento:
■
Expansión en la zona de petróleo: N [Bo − Boi + (Rsi − Rs ) Bg ]
■
g
Expansión de la zona de gas libre: mN Boi ( Bgi
− 1)
■
Expansión de la roca y agua connata: (1 + m)N Boi
■
Producción de petróleo y gas: Np [Bo + (Rp − Rs ) Bg ]
■
Producción de agua: Wp Bw
B
cw Swc +cr
1−Swc
∆p
Tema 1
slide 33
Aspectos relevantes de la EBM
■
Es cero dimensional, sólo se evalúa en un punto del yacimiento
■
Muestra independencia del tiempo, aunque en algunos modelos de influjo de agua se muestra dependencia explı́cita
del tiempo
■
Aunque la presión aparece sólo explı́citamente en el término de la expansión de la roca y el agua connata, se
encuentra implı́cita en los parámetros PVT (Bo , Rs , y Bg ), los cuales son dependientes de la presión. También es de
hacer notar que los cálculos de influjo de agua son dependientes de la presión.
■
No tiene forma diferencial, la EBM fue derivada comparando los volúmenes actuales a la presión p, con los
volúmenes iniciales a la presión pi .
Tema 1
slide 34
16
Fuentes de error
slide 35
Fuentes de error
Fuentes de error
Supersaturación de hidrocarburos lı́quidos
Selección inadecuada de PVT
Presión promedio de yacimiento
Medición de fluidos producidos
Acuı́feros y descensos leves de presión
Estimados de m
Petróleo activo
Tema 1
slide 36
Fuentes de error
Essenfeld y Barberiia plantean varias situaciones posibles en las cuales no se cumplen los supuestos utilizados en la
derivación de la EBM, esto se debe principalmente a que la suposición de equilibrio total e instantáneo entre las fases es
bastante ideal y generalmente no ocurre.
■
Supersaturación de hidrocarburos lı́quidos del yacimiento
■
Selección inadecuada de PVT
■
Presión promedio del yacimiento
■
Errores de medición en los volúmenes de fluidos producidos
■
Acuı́feros activos y descensos leves de presión
■
Estimados de m
■
Concepto de petróleo activo
Tema 1
slide 37
a M. Essenfeld y E. Barberii, Yacimientos de Hidrocarburos, FONCIED Fondo Editorial del Centro Internacional de Educación y Desarrollo, Caracas, 2001. pp. 141-148, 171-176.
Supersaturación de hidrocarburos lı́quidos
Existen ciertos casos en los que al caer la presión en un yacimiento que contiene crudo saturado, el gas de solución es
liberado pero en un volumen inferior al pronosticado al análisis PVT, efectuado bajo condiciones de equilibrio, es decir, se
encuentra supersaturado con gas.
Este efecto causa que la presión del yacimiento sea más baja de lo que serı́a si el equilibrio se hubiera alcanzado.
Tema 1
slide 38
Selección inadecuada de PVT
Al usar la EBM es fundamental seleccionar un análisis PVT que a diferentes presiones represente apropiadamente, en su
totalidad, la secuencia de fenómenos que actuan en la producción de los fluidos, desde el yacimiento, pasando por el
pozo hasta el separador.
Diversas investigacionesa,b han mostrado que errores asociados a los datos PVT pueden producir grandes errores en los
cálculos de los hidrocarburos en sitio.
Tema 1
slide 39
a I. S. Agbon, G. J. Aldana, J. C. Araque, A. A. Mendoza, M. E. Ramirez, Resolving uncertainties in historical data and the redevelopment of mature fields, SPE Latin America and Caribbean Petroleum
Engineering Conference held in Port-of-Spain, Trinidad, West Indies. SPE 81101., Páginas 16, 2003.
b Phillip L. Moses, Engineering applications of phase behavior of crude oil and condensate systems, Journal of Petroleum Technology. SPE 15835., Páginas 715723, July 1986.
17
Presión promedio de yacimiento
Debido a la naturaleza 0-D de la EBM y recordando la suposición del equilibrio total e instantáneo, el yacimiento se
comporta como un tanque ubicado en un “volumen de control”. De allı́ la suposición que todos los hidrocarburos, para
un momento dado, se encuentran a la misma presión.
Se debe tener en cuenta que las presiones utilizadas en la EBM deben ser representativas del sistema, y cuando sea
factible debe utilizarse una ponderación volumétrica de las presiones medidas.
Tema 1
slide 40
Medición de fluidos producidos
Una de las principales fuentes de error en la aplicación de la EBM son los valores erróneas de la producción de fluidos. Se sabe que
para yacimientos con crudo subsaturado, con errores de medición, los estimados de N y We son muy altos.
Jones-Parraa explica la situación de medición de los volúmenes de fluidos producidos: el petróleo fiscal no se mide necesariamente
por yacimiento, se mide en estaciones de flujo y luego se prorratea al yacimiento. Cuando se prueba un pozo, se pasa de un
separador de producción, a determinadas presión y temperatura, a un separador de prueba en el que las condiciones de presión y
temperatura no son necesariamente las mismas. Una vez probados todos los pozos que fluyen a una estación se suma su tasa de
producción para obtener una producción teórica por estación y determinar la fracción que cada pozo contribuye. Esta fracción se
multiplica por la tasa de producción real de la estación para determinar el petróleo que se considera que es el volumen producido
del yacimiento.
La producción de gas está sujeta a un control aún menos efectivo. Generalmente se hacen pruebas mensuales de la relación
gas-petróleo, promediándose los valores obtenidos y multiplicándose por la producción de petróleo para obtener el volumen de gas
producido.
El volumen de agua que se produce también se mide en pruebas periódicas; pero como el agua no tiene ningún valor comercial se
mide con muy poca precisión. Tomando en cuenta la incertidumbre en las mediciones de los volúmenes producidos, con frecuencia
es necesario rectificar las cifras reportadas. El gas producido a veces se calcula multiplicando el volumen de petróleo producido por
la relación gas-petróleo de la última prueba y se debe volver a calcular multiplicando por la relación promedio entre dos pruebas
consecutivas.
Tema 1
slide 41
a Juan Jones-Parra, Elementos de Ingenierı́a de Yacimientos, EdIT Ediciones Innovación Tecnológica, Caracas, 1989. pp. 3.2-3.4.
Acuı́feros y descensos leves de presión
Cuando el acuı́fero es muy activo o la capa de gas es muy grande, los cambios de presión a través del yacimiento son
muy leves.
Esta situación acarrea dificultades en la aplicación de la EBM, principalmente debido a que las diferencias de las
propiedades PVT no son significativas y también influye la precisión con que se hayan medido en el laboratorio los
parámetros Bo , Rs y Bg .
Tema 1
slide 42
Estimados de m
La EBM supone que todo el gas libre del yacimiento se encuentra en la capa de gas y que todo el petróleo en la zona de
petróleo. Sin embargo, en algunas oportunidades ocurre que existe saturación de petróleo en la capa de gas y saturación
de gas en la zona de petróleo.
En esos casos, el valor de m debe ser calculado utilizando todo el gas libre y todo el petróleo en estado lı́quido,
independientemente donde se encuentren.
Tema 1
slide 43
18
Petróleo activo
Existen casos en los cuales los descensos de presión causados por la producción e inyección de fluidos no afectan la
totalidad de hidrocarburos contenidos en el yacimiento. Esto ocurre bajo diferentes circunstancias: cuando el yacimiento
es muy grande y ha habido poca producción; cuando en el yacimiento existen zonas con bajas permeabilidad las cuales
no han sido afectadas por los descensos de presión que hay en aquellas zonas mas permeables; etc.
En estas situaciones existen dos valores de N ; petróleo activo (N activo) y petróleo inactivo (N inactivo). Se puede
notar que la suma del petróleo activo y el inactivo conforman el petróleo total en sitio (N ).
Se sabe que el petróleo original en sitio no cambia, pero si lo hace la relación del volumen activo al inactivo con el
tiempo, mas aún, el volumen de petróleo activo crece con el tiempo mientras el volumen del petróleo inactivo disminuye
con el tiempo, hasta llegar al punto que todo el petróleo activo es igual al petróleo original en sitio.
Para estas situaciones, los resultados de los cálculos con la EBM generan valores de N que corresponden al volumen de
petróleo activo y no al petróleo original en sitio, y por esta razón, a medida que transcurre el tiempo y se repite el
cálculo, el valor de N aumenta debido a que representa el volumen de petróleo activo.
Tema 1
slide 44
19
Linealización
slide 45
Linealización
Havlena-Odeh
Términos
Mecanismos de Empuje
Empuje por gas en solución
Yacimiento subsaturado
Yacimiento saturado
Empuje por expansión de la capa de gas
Empuje por influjo de agua
Empuje combinado
Ecuación lineal
Indice de mecanismos de empuje
Tema 1
slide 46
Havlena-Odeh
La EBM expresada como una lı́nea recta fue propuesta por Havlena y Odeha . El método de Havlena-Odeh consiste en
agrupar ciertos términos en la EBM y graficar un conjunto de variables con respecto a otro.
Dependiendo del mecanismo principal de empuje, se grafican diferentes conjuntos de términos en función de otros,
resultando que si el mecanismo de empuje elegido es el correcto, al igual que otros parámetros, se obtiene una relación
lineal entre las variables graficadas. Esto permite la estimación de los parámetros N , m, y/o We , a partir del
comportamiento lineal observado.
La secuencia y dirección de los puntos graficados, ası́ como la forma del gráfico le imprime un sentido dinámico a la EBM.
Tema 1
slide 47
a D. Havlena y A.S. Odeh, The material balance as an equation of a straight line, SPE Production Research Symposium, Norman, OK. SPE 559., 1963.
Términos
Definimos los siguientes términos:
F = Np [Bo + (Rp − Rs ) Bg ] + Wp Bw
Eo = Bo − Boi + (Rsi − Rs ) Bg
Eg = Bo
Ef w = Boi
Bg
Bgi
−1
cw Swc +Cr
1−Swc
∆p
Et = Eo + mEg + (1 + m)Ef w
La EBM queda de la siguiente forma:
F = N Et + We
(9)
Si esta ecuación se escribe como: F − We = N Et , entonces ésta es una ecuación lineal con pendiente igual a N
(petróleo original en sitio) y debe pasar por el punto (0,0).
Tema 1
slide 48
20
Mecanismos de Empuje
En caso que ninguno de los términos en la EBM sean despreciables, se puede decir que el yacimiento tiene una
combinación de mecanismos de empuje.
Esto significa que todas las fuentes posibles de energı́a contribuyen significativamente en la producción de los fluidos del
yacimiento. Sin embargo, en algunos casos, los yacimientos pueden ser descritos como si tuvieran un mecanismo
predominante de empuje.
Los principales mecanismos de empuje son:
■
Empuje por gas en solución
■
Empuje por expansión de la capa de gas
■
Empuje por influjo de agua
■
Empuje por compactación
Tema 1
slide 49
Empuje por gas en solución
Figura 5: Yacimiento con empuje por gas en solución (a) por debajo de la presión de burbujeo; expansión del petróleo
lı́quido, (b) por debajo de la presión de burbujeo; expansión del petróleo lı́quido más expansión del gas liberado
Tema 1
slide 50
21
Empuje por gas en solución
Figura 6: Historia de producción de un yacimiento con empuje por gas en solución
Tema 1
slide 51
Empuje por gas en solución
Figura 7: Yacimiento bajo un esquema de recuperación secundaria (inyección de agua y gas)
Tema 1
slide 52
22
Yacimiento subsaturado
En un yacimiento subsaturado todo el gas producido debe estar disuelto en el petróleo en el yacimiento. Suponiendo que
no existe una capa de gas inicial (m = 0) y el influjo de agua es despreciable (We = 0), la EBM se puede reducir a:
Np Bo = N Boi
cw Swi + cf
Bo − Boi
+
∆p
Boi
1 − Swc
La compresibilidad del petróleo se puede expresar como:
co =
Bo − Boi
Boi ∆p
La EBM se puede escribir como:
Np Bo = N Boi
Finalmente,
c S + c S + c o o
w wi
f
1 − Swc
∆p
Np Bo = N Boi Ce ∆p
(10)
Tema 1
slide 53
Yacimiento saturado
Por debajo de la presión de burbujeo, el gas es liberado del petróleo saturado y se desarrollará una capa de gas libre
dentro del yacimiento. Suponiendo que no existe una capa de gas inicial (m = 0) y el influjo de agua es despreciable
(We = 0), la EBM queda:
Np [Bo + (Rp − Rs ) Bg ] = N [Bo − Boi + (Rsi − Rs ) Bg ]
Tema 1
(11)
slide 54
Empuje por expansión de la capa de gas
Figura 8: Yacimiento con expansión de la capa de gas
Tema 1
slide 55
23
Empuje por expansión de la capa de gas
Suponiendo que el influjo de agua es despreciable (We = 0), la EBM se puede reducir a:
Np [Bo + (Rp − Rs ) Bg ]
=
N Boi [Bo − Boi + (Rsi − Rs ) Bg ] /Boi
+
mN Boi
Bg
−1
Bgi
(12)
Tema 1
slide 56
Empuje por influjo de agua
Figura 9: Producción de un yacimiento subsaturado con fuerte influjo de agua de un acuı́fero asociado
Tema 1
slide 57
Empuje combinado
La ecuación general de balance de materiales considera todos los mecanismos de empuje activos en el yacimiento:
Np [Bo + (Rp − Rs ) Bg ] + Wp Bw
=
N Boi [Bo − Boi + (Rsi − Rs ) Bg ] /Boi
+
mN Boi
+
(1 + m)N Boi
+
We
Bg
−1
Bgi
cw Swc + cr
1 − Swc
Tema 1
∆p
(13)
slide 58
24
Empuje combinado
1.
2.
3.
4.
5.
Expansión de roca y fluidos
Gas en solución
Capa de gas
Influjo de agua
Segregación gravitacional
Figura 10: Eficiencia de mecanismos de recobro en términos del factor de recobro
Tema 1
slide 59
Ecuación lineal
La ecuación general del balance de materiales es:
Np [Bo + (Rp − Rs ) Bg ] − Wp Bw
=
N Boi [Bo − Boi + (Rsi − Rs ) Bg ] /Boi
+
mN Boi
+
(1 + m)N Boi
+
We
Bg
−1
Bgi
cw Swc + cr
1 − Swc
∆p
Definimos:
F = Np [Bo + (Rp − Rs ) Bg ] + Wp Bw
Eo = Bo − Boi + (Rsi − Rs ) Bg
Eg = Bo
Ef w = Boi
Bg
Bgi
−1
cw Swc +cr
1−Swc
∆p
Et = Eo + mEg + (1 + m)Ef w
Tema 1
slide 60
Ecuación lineal
En consecuencia, la ecuación general del balance de materiales se puede escribir como:
F = N [Eo + mEg + (1 + m) Ef w ] + We
(14)
F = N Et + We
(15)
Tema 1
slide 61
25
Indice de mecanismos de empuje
La ecuación lineal de balance de materiales puede ser escrita de una forma que permite ser utilizada para cuantificar la
contribución relativa de cada mecanismo de empuje:
N
Ef w
Eg
We
Eo
+ mN
+ (1 + m) N
+
=1
F
F
F
F
(16)
Io + Ig + If w + Iw = 1
(17)
Tema 1
slide 62
26
Métodos
slide 63
Métodos
Métodos de Balance de Materiales
Método F vs. Et
Método de la capa de gas
Método del acuı́fero
Tema 1
slide 64
Métodos de Balance de Materiales
Los principales métodos de resolución de la ecuación de balance de materiales son métodos gráficos que permiten
calcular las variables desconocidas (N , m) con base en los datos de produccón, PVT, influjo de agua, partiendo de la
ecuación lineal de balance de materiales. Entre los principales método de resolución de la EBM se encuentran:
■
Método F vs. Et
■
Método de la capa de gas (F/Eo vs. Eg /Eo )
■
Método del acuı́fero (F/Et vs. We /Et )
■
Método F vs. Et iterativo (cálculo simultáneo de N y m)
Otros métodos más robustos y sin las limitaciones inherentes a los métodos gráficos anteriores son:
■
Método de regresión planar
■
Método de Tehrani (Minimización de desviaciones de presión)
Tema 1
slide 65
Métodos de Balance de Materiales
Los métodos pioneros de balance de materiales consisten en procesos iterativos para en estimar la RGP y resolver ∆Np
hasta que el valor calculado de N coincide con el valor inicialmente supuesto.
Np [Bo + (Rp − Rs ) Bg ]
N=
Bo − Boi + (Rsi − Rs ) Bg + mBoi
Entre estos métodos se encuentran:
■
Método de Tracy (1955)a
■
Método de Tarner (1944)
■
Método de Muskat-Taylor (1946)
Bg
Bgi
(18)
−1
Estos métodos son utilizados para predecir el comportamiento de producción de yacimientosb .
Tema 1
slide 66
a AIME, 1955, 204, 243-246
b Fernández, J., Bohorquez, B., Métodos de predicción del comportamiento de producción de yacimientos mediante balance de materiales, Trabajo de Pasantı́a, Escuela de Ingenierı́a de Petróleo, UCV, Nov
2006
Método F vs. Et
Suponiendo que se tiene un yacimiento volumétrico (We = 0), sin capa de gas (m = 0) y con expansión despreciable de
la roca y el agua connata, donde el principal mecanismo de empuje es el gas en solución, la ecuación lineal de balance de
materiales es:
F = N Eo
(19)
En este caso, el vaciamiento (F ) y el expansión del petróleo y gas en solución (Eo ) conocidos, por lo que al realizar un
gráfico de F vs. Eo se obtiene una linea recta que debe pasar por el origen (0,0) y la pendiente es igual al petróleo
original en sitio (N ).
Tema 1
slide 67
27
Método F vs. Et
Cuando existe influjo de agua (We 6= 0), la ecuación lineal de balance de materiales se puede escribir como:
F − We = N Eo , y el método consiste en graficar (F − We ) vs. (Eo ).
Al suponer que la expansión de la roca y el agua connta no son despreciables (Ef w 6= 0), la ecuación lineal de balance de
materiales se puede escribir como: F − We = N [Eo + Ef w ], y el método consiste en graficar (F − We ) vs. (Eo + Ef w )
En caso que se disponga un valor estimado de la capa de gas, la ecuación lineal de balance de materiales se puede
escribir como: F − We = N [Eo + mEg + (1 + m) Ef w ], y el método consiste en graficar (F − We ) vs.
(Eo + mEg + (1 + m) Ef w ). Este método supone que el valor de m es correcto o cercano al verdadero, al igual que los
valores de We , ası́ como todas las otras suposiciones intrı́nsecas a la EBM. Si el valor de m es mayor o menor que el
valor verdadero de m, el gráfico se desviará por encima o por debajo, respectivamente, de la lı́nea recta correspondiente
al valor correcto de m.
En general, el fundamento del método es graficar (F − We ) en función de Et , donde Et depende de los mecanismos de
empuje activos en el yacimiento.
Tema 1
slide 68
Método F vs. Et
Metodo F−We vs. Et
5
14
13
12
4
11
10
F−We (MMbbl)
9
8
3
7
6
5
2
4
3
1
2
1
0
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Et (bbl/STB)
Tema 1
slide 69
Método de la capa de gas
Este método permite calcular simultáneamente los valores de N y m. Graficando (F − We )/Eo en función de Eg /Eo se
obtiene una lı́nea recta cuyo intercepto con el eje Y es N , y la pendiente es mN .
Si se tiene un yacimiento donde no existe influjo de agua, el gráfico resultante es: F/Eo en función de Eg /Eo .
Se puede observar que si no existe capa de gas, el gr’afico resultante serı́a una lı́nea horizontal con intercepto N .
En el caso que todos los mecanismos de empuje se encuentren activos (se incluyen todos los términos de la EBM), el
método consiste en graficar: (F − We )/(Eo + Ef w ) en función de (Eg + Ef w )/(Eo + Ef w ).
Tema 1
slide 70
28
Método de la capa de gas
Metodo (F−We)/Eo vs. Eg/Eo
220
200
6
(F−We)/Eo (MMSTB)
180
7
8
14
13
12
11
910
5
4
3
160
2
140
1
120
100
80
0
1
2
3
4
Eg/Eo
Tema 1
slide 71
Método del acuı́fero
F
We
=N+
Eo
Eo
(20)
Este método permite calcular N imponiendo una restricción adicional: además de mostrar un comportamiento lineal, la
pendiente de la lı́nea recta debe ser igual a 1.
Si existen valores erróneos para el término relacionado con el influjo de agua (We ), se obtendrá un comportamiento
alejado de la tendencia lineal. Especı́ficamente, si We asumido es demasiado grande, la tendencia es hacia abajo del
comportamiento lineal; si el We asumido es demasiado pequeño, la tendencia es hacia arriba.
Tema 1
slide 72
29
Método del acuı́fero
Metodo F/Et vs. We/Et
2500
14
2000
13
12
F/Et (MMSTB)
11
10
1500
9
8
7
6
1000
5
4
3
500
2
1
0
0
400
800
1200
1600
2000
We/Et (MMSTB)
Tema 1
slide 73
30
Ejemplos
slide 74
Ejemplos
Descripción
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Tema 1
slide 75
Descripción
Ejemplo 1: Yacimiento inicialmente saturado asociado a un acuifero de estado estable y con expansión de roca y agua
connata despreciable
Ejemplo 2: Yacimiento inicialmente saturado asociado a un acuifero de estado estable
Ejemplo 3: Yacimiento con capa de gas libre y asociado a un acuifero de estado estable
Tema 1
slide 76
Ejemplo 1
Este es un ejemplo de un yacimiento de petróleo con gas disuelto asociado a un acı́fero lateral de estado estable. Los
datos de producción y PVT se muestran a continuación:
4
4300
4200
4100
2
4000
1
3900
1990
0
1990
1992
1994
1996
1998
2000
4000
1
3000
0.5
x 10
8
3
1.44
Bg (bbl/SCF)
4400
8.2
1.46
Bo (bbl/STB)
5
Np (MMSTB)
pressure (psi)
−4
4500
1.42
7.8
7.6
7.4
1.4
7.2
1992
1994
1996
1998
1.38
3800
2000
4000
4200
4400
4600
4000
4200
4400
4600
7
3800
4000
4200
4400
4600
840
2000
1000
Rs (SCF/STB)
Wp (MMSTB)
Gp (MMSCF)
820
0
−0.5
800
780
760
740
720
0
1990
1992
1994
1996
1998
2000
−1
1990
1992
1994
1996
1998
700
3800
2000
Tema 1
slide 77
31
Ejemplo 1
Si el yacimiento se encuentra inicialmente saturado (m = 0) y la expansión de roca y agua connata son despreciables (Ef w = 0) obtenemos:
Method F−We vs. E
t
5
N=103 MMSTB
C=[101.6 104.4]
ρ=0.9987
e=0.04 MMbbl
F−W (MMbbl)
4
10
9
8
3
7
e
6
5
2
4
3
1
2
1
0
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Et (bbl/STB)
Method F/Et vs. We/Et
220
N=102.9 MMSTB
C=[100.9 104.9]
ρ=0.9893
e=2.79 MMSTB
1
10
8 9
180
6
160
0.8
7
0.6
Iw
4 5
t
F/E (MMSTB)
200
Recovery Mechanisms
140
3
120
100
2
1
0
0.4
Io
0.2
Ig
Ifw
20
40
60
80
0
100
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
We/Et (MMSTB)
Tema 1
slide 78
Ejemplo 1
Si el yacimiento se encuentra inicialmente saturado (m = 0) y la expansión de roca y agua connata no son despreciables (cr =3 µpsi−1 , cf =4
µpsi−1 , Swi = 20%; Ef w 6= 0) obtenemos:
Method F−We vs. E
t
6
N=90.3 MMSTB
C=[88.7 92]
ρ=0.9975
e=0.06 MMbbl
4
10
9
8
3
7
e
F−W (MMbbl)
5
6
5
2
4
3
1
2
1
0
0
0
0.02
0.04
0.06
Et (bbl/STB)
Method F/Et vs. We/Et
200
N=89.3 MMSTB
C=[87.4 91.1]
ρ=0.9891
e=2.6 MMSTB
1
10
8
160
6
140
9
0.8
7
0.6
Iw
4 5
t
F/E (MMSTB)
180
Recovery Mechanisms
120
3
1
100
80
2
0.4
Io
0.2
Ig
Ifw
0
20
40
60
80
0
100
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
We/Et (MMSTB)
Tema 1
slide 79
32
Ejemplo 1
Si el yacimiento se encuentra saturado (m 6= 0) y la expansión de roca y agua connata no son despreciables (cr =3 µpsi−1 , cf =4 µpsi−1 ,
Swi = 20%; Ef w 6= 0) obtenemos:
Method F−We vs. E
Method (F−W )/(E +E ) vs. (E +E )/(E +E )
N=84.9 MMSTB
C=[83.8 86.1]
ρ=0.9986
e=0.05 MMbbl
5
4
10
9
8
3
7
e
F−W (MMbbl)
e
(F−We)/(Eo+Efw) (MMSTB)
t
6
6
5
2
4
3
1
2
1
0
0
0
200
0.04
fw
g
fw
o
fw
8
10
4
9
90
6
3
1
7
88
5
86
2
0
1
2
3
4
Et (bbl/STB)
(Eg+Efw)/(Eo+Efw)
Method F/Et vs. We/Et
Recovery Mechanisms
1
10
160
0.8
8 9
140
t
6
0.6
7
4 5
120
3
100
80
o
N=84.7 MMSTB, m=0.02
C=[76.4 92.9]
ρ=0.0729
e=2.51 MMSTB
92
84
0.06
N=84.7 MMSTB
C=[83.1 86.4]
ρ=0.9894
e=2.3 MMSTB
180
F/E (MMSTB)
0.02
94
1
2
Iw
0.4
Io
0.2
Ig
Ifw
0
20
40
60
80
0
100
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
We/Et (MMSTB)
Tema 1
slide 80
Ejemplo 2
Este es un ejemplo de un yacimiento inicialmente saturado (m = 0) asociado a un acuifero de estado estable y con expansión de roca y agua connata
(cr =3 µpsi−1 , cf =4 µpsi−1 , Swi = 20%; Ef w 6= 0). Los datos de producción y PVT se muestran a continuación:
−4
4200
4100
4000
1.48
8
1.46
6
4
2
3900
3800
1990
1995
2000
0
1990
2005
8.2
1.44
1.42
1.4
1995
2000
1.38
3800
2005
x 10
8
Bg (bbl/SCF)
4300
Np (MMSTB)
pressure (psi)
4400
10
Bo (bbl/STB)
4500
7.8
7.6
7.4
7.2
4000
4200
4400
4600
4000
4200
4400
4600
7
3800
4000
4200
4400
4600
4
x 10
Wp (MMSTB)
Gp (MMSCF)
2
1.5
1
0.5
0
1990
1995
2000
2005
1
850
0.5
800
Rs (SCF/STB)
2.5
0
−0.5
−1
1990
1995
2000
750
700
650
3800
2005
Tema 1
slide 81
33
Ejemplo 2
Method F−We vs. E
t
14
N=200 MMSTB
C=[200 200]
ρ=1
e=0 MMbbl
10
14
13
12
11
10
9
8
e
F−W (MMbbl)
12
8
7
6
6
5
4
4
3
2
2
0
1
0
0
0.02
0.04
0.06
E (bbl/STB)
t
Method F/E vs. W /E
t
550
N=200 MMSTB
C=[200 200]
ρ=1
e=0.01 MMSTB
500
450
Recovery Mechanisms
t
1
14
13
12
0.8
11
10
400
8
350
9
0.6
6
5
300
0.4
Io
0.2
Ig
4
3
2
250
200
Iw
7
t
F/E (MMSTB)
e
Ifw
1
0
100
200
0
300
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
W /E (MMSTB)
e
t
Tema 1
slide 82
Ejemplo 3
Este es un ejemplo de un yacimiento saturado (m 6= 0) asociado a un acuifero de estado estable y con expansión de roca y agua connata (cr =3
µpsi−1 , cf =4 µpsi−1 , Swi = 20%; Ef w 6= 0). Los datos de producción y PVT se muestran a continuación:
2.5
1.46
4300
4200
4100
4000
2
1.5
1
3800
1990
1995
2000
0
1990
2005
1.42
1995
2000
1.38
3800
2005
x 10
8
1.44
1.4
0.5
3900
8.2
Bg (bbl/SCF)
1.48
Bo (bbl/STB)
3
4400
Np (MMSTB)
pressure (psi)
−4
4500
7.8
7.6
7.4
7.2
4000
4200
4400
4600
4000
4200
4400
4600
7
3800
4000
4200
4400
4600
4
3
x 10
1
850
0.5
800
2
1.5
1
Rs (SCF/STB)
Wp (MMSTB)
Gp (MMSCF)
2.5
0
−0.5
750
700
0.5
0
1990
1995
2000
2005
−1
1990
1995
2000
650
3800
2005
Tema 1
slide 83
34
Ejemplo 3
Method F−We vs. E
Method (F−W )/(E +E ) vs. (E +E )/(E +E )
N=100 MMSTB
C=[100 100]
ρ=1
e=0 MMbbl
14
13
12
8
10
11
fw
9
8
6
7
e
6
o
F−W (MMbbl)
10
e
(F−W )/(E +E ) (MMSTB)
t
12
5
4
2
1
0
0
0
180
0.02
0.04
0.06
t
0.08
t
F/E (MMSTB)
100
0
2
14
11
10
13
912
2
0
1
2
fw
3
o
4
fw
Recovery Mechanisms
t
1
200
1
1
g
0.8
14
5
fw
(E +E )/(E +E )
e
250
4
78
o
120
100
0.1
N=100 MMSTB
C=[100 100]
ρ=1
e=0.01 MMSTB
3
65
fw
3
140
Method F/E vs. W /E
150
g
4
t
300
fw
160
E (bbl/STB)
350
o
N=100 MMSTB, m=0.25
C=[100 100.1]
ρ=1
e=0.01 MMSTB
e
4
3
2
200
6
7
8
9
10
12
11
13
0.6
Iw
0.4
Io
0.2
Ig
Ifw
50
100
150
0
200
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
W /E (MMSTB)
e
t
Tema 1
slide 84
35
PVT
slide 85
PVT
Muestras de fluidos
Experimentos
Ajuste de Bo y Rs a condiciones de campo
Tema 1
slide 86
Muestras de fluidos
Las muestras de fluidos se recolectan usualmente durante la etapa temprana de producción de un yacimiento. Existen dos formas de recolectar las
muestras de fluidos:
■ Muestreo de fondo
■ Muestreo por recombinación superficial
Tema 1
slide 87
Muestras de fluidos
Figura 11: Recolección de una muestra PVT de fondo
Tema 1
slide 88
36
Muestras de fluidos
Figura 12: Recolección de una muestra PVT por recombinación superficial
Tema 1
slide 89
Conversión condiciones laboratorio-campo
El análisis de laboratorio consiste de:
■ Expansión instantánea de la muestra de fluido para determinar la presión de burbujeo
■ Expansión diferencial de la muestra de fluido para determinar Bo y Rs
■ Expansión instantánea de la muestra de fluido a través de varias separadores para obtener los parámetros que permiten ajustar los datos PVT de
laboratorio para cotejar las condiciones del separador de campo
Tema 1
slide 90
Conversión condiciones laboratorio-campo
Figura 13: Celda PVT
Tema 1
slide 91
37
Conversión condiciones laboratorio-campo
Figura 14: (a) Expansión instantánea (b) Expansión diferencial
Tema 1
slide 92
Experimentos
■ Datos PVT de laboratorio:
-
Volumen relativo (vo )
-
Relación gas-petróleo (Rsdif )
-
Factor volumétrico de formación del petróleo (Bodif )
■ Datos PVT del separador a diferentes presiones (psep ) y temperatura constante (Tsep )
-
Relación gas-petróleo (Rssep )
-
Factor volumétrico de formación del petróleo (Bosep )
Tema 1
slide 93
Ajuste de Bo y Rs a condiciones de campo
■ Para p > pb :
Bo = vo Bosep
■ Para p < pb :
Bosep
Bob
dif
Rs
Rsdif R sep
sbdif
Bo = Bodif
Rs =
Tabla 1: Prueba del separador
psep (psi)
Tsep (F)
Rssep
API
Bosep
0
50
100
200
74
75
76
77
620
539
505
459
29.9
31.5
31.9
31.8
1.382
1.340
1.335
1.341
Tema 1
slide 94
38
Influjo de Agua
slide 95
Influjo de Agua
Introducción
Reconocimiento del empuje por agua
Clasificación
Grado de mantenimiento de presión
Condición de borde externo
Regı́menes de flujo
Geometrı́as de flujo
Modelos de acuı́fero
Pot
Schilthuis
Hurst
van Everdingen-Hurst
Tema 1
slide 96
Introducción
■ Una gran catidad de yacimientos de petróleo y gas tienen un acuı́fero asociado que representa una fuente importante de energı́a de yacimiento
■ Esta energı́a provee un mecanismo de empuje para la producción de fluidos cuando los yacimientos son sometidos a producción
■ Se cree que el gran número de yacimientos con empuje de agua esta relacionado con el origen marino de muchos yacimientos
■ En los casos que el volumen del acuı́fero es menos de 10 veces el volumen del yacimiento, el mecanismo de empuje por agua es considerado
pequeño. Si el tamaño del acuı́fero es significativamente mayor (> 10x), el mecanismo de empuje por agua puede ser la principal fuente de
energı́a de yacimiento
■ Cuando la presión del yacimiento disminuye, se crean un diferencial de presión a través del contacto agua-petróleo (agua-gas) y en consecuencia,
el acuı́fero reacciona porporcionando los siguientes mecanismos de empuje:
◆
Expansión del agua en el acuı́fero
◆
Reducción del volumen poroso del acuı́fero causado por examnsión de la roca
◆
Expansión de otros yacimientos a través de acuı́feros comunes
◆
Flujo artesiano
■ En yacimientos de petróleo con empuje por agua, el factor de recobro puede variar entre 35%-65% del POES, mientras que en el caso de empuje
por gas en solución, se obtiene entre 10%-25%. Por el contrario, en yacimientos de gas, el mecanismo de empuje por agua puede obtener factores
de recoboro entre 35%-65% del GOES, mientras con expansión del gas libre, el recobro puede variar entre 70%-90%.
Tema 1
slide 97
39
Reconocimiento del empuje por agua
■
Disminución de la tasa de declinación de presión con incremento del vaciamiento acumulado
■
Incremento gradual de la RGP en yacimientos inicialmente saturados
■
Balance de materiales
Figura 15: Método de Campbell
Tema 1
slide 98
Clasificación
Los acuı́feros se puede clasificar de acuerdo a:
■
Grado de mantenimiento de presión
■
Condición de borde externo
■
Regı́menes de flujo
■
Geometrı́as de flujo
Tema 1
slide 99
Grado de mantenimiento de presión
Los tipos de empuje por agua son:
■
Activo
El influjo de agua es igual al vacimiento total
La presión permanace constante
qe = qo Bo + qg Bg + qw Bw
(21)
qe = qo Bo + (RGP − Rs ) qo Bg + qw Bw
(22)
■
Parcial
■
Limitado
Tema 1
slide 100
40
Condición de borde externo
■
Infinito
El efecto de la declinación de presión no se siente en el borde externo
La presión en el borde externo es igual a pi
■
Finito
El efecto de la declinación de presión se siente en el borde externo
La presión en el borde externo cambia en función del tiempo
Tema 1
slide 101
Regı́menes de flujo
Existen tres regimenes de flujo que influencian la tasa de influjo de agua hacia el yacimiento:
■
Estado estable
La caı́da de presión se transmite en todo el yacimiento y el acuı́fero reacciona en forma instantánea
■
Estado inestable
La caı́da de presión se transmite en todo el yacimiento y el acuı́fero reacciona en forma gradual
Tema 1
slide 102
Geometrı́as de flujo
Los sistemas yacimiento-acuı́fero se pueden clasificar con base a las geometrı́as de flujo como:
■
Empuje lateral
■
Empuje lineal
■
Empuje de fondo
Tema 1
slide 103
41
Geometrı́as de flujo
Figura 16: Geometrı́as de flujo
Tema 1
slide 104
Modelos de acuı́fero
Los modelos matemáticos de influjo de agua comunmente utilizados en la industria petrolera son:
1.
2.
Estado estable
(a)
Pot
(b)
Schithuis (1936)
(c)
Hurst (1943)
Estado inestable
(a)
van Everdingen-Hurst (1949)
(b)
Carter-Tracy (1960)
(c)
Fetkovich (1971)
(d)
Allard-Chen (1984)
Tema 1
slide 105
42
Pot
■
El modelo Pot es el modelo más simple que puede ser utilizado para estimar el influjo de agua a un yacimiento
■
Esta basado en la definición básica de compresibilidad
■
Una caı́da de presión en el yacimiento debido a la producciónde fluidos causa que el agua del acuı́fero se expanda y
fluya hacia el yacimiento
■
Usualmente se utiliza para acuı́feros pequeños, del mismo tamaño del yacimiento
Aplicando al definición de compresibilidad al acuı́fero se tiene:
We = (cw + cf ) Wi (pi − p)
(23)
donde:
We : influjo de agua acumulado [MMbbl]
cw : compresibilidad del agua [psi−1 ]
cf : compresibilidad de la roca [psi−1 ]
Wi : volumen de agua iniccial en el acuı́fero [MMbbl]
pi : presión inicial del yacimiento [psi]
p: presión actual del yacimiento (en el OWC) [psi]
Tema 1
slide 106
Pot
El vomuen de agua inicial en un acuı́fero radial es:
Wi =
π ra2 − ro2 hφ
5.615
donde:
ra : radio del acuı́fero [ft]
ro : radio del yacimiento [ft]
h: espesor del acuı́fero [ft]
φ: porosidad en el acuı́fero
En el caso que la influencia del acuı́fero no sea completamente radial, se define un factor de forma:
We = (cw + cf ) Wi f (pi − p)
(24)
donde:
θ
f = 360
Tema 1
slide 107
43
Pot
Figura 17: Modelo de acuı́fero radial
Tema 1
slide 108
Pot
Balance de materiales
Al combinar la Ec. 24 con la Ec. 20 obtenemos
F
∆p
= N + (cw + cf ) Wi f
Eo
Eo
(25)
Debido a que las propiedades del acuı́fero (cw , cf , h, ra , θ) pueden variar de forma poco significativa, es conveniente
agrupar estas propiedades en una variable desconocia K:
∆p
F
=N +K
Eo
Eo
(26)
Tema 1
slide 109
44
Pot
Balance de materiales
Figura 18: Método F/Eo vs. ∆p/Eo
Tema 1
slide 110
Schilthuis
■
El comportamiento de flujo esta descrito por la Ley de Darcy
■
Regimen de flujo en estado estable
La tasa de influjo de agua se puede describir aplicando la Ley de Darcy:
dWe
=
dt
"
#
0.00708kh
(pi − p)
µw ln rrao
(27)
dWe
= C (pi − p)
dt
(28)
donde:
k: permeabilidad del acuı́fero [md]
h: espesor del acuı́fero [ft]
ra : radio del acuı́fero [ft]
ro : radio del yacimiento [ft]
t: tiempo [d]
C: constante de influjo de agua [bbl/d/psi]
Tema 1
slide 111
45
Schilthuis
Integrando obtenemos:
Z
We
dWe =
0
Z
t
C (pi − p) dt ⇒ We = C
0
Z
t
(pi − p) dt
0
Utilizando un método de integración numérico obtenemos:
Wek = C
k
X
∆pj ∆tj
j=1
También se puede expresar como:
Wek = C
k h
X
pi −
j=1
1
(p̄j−1 + p̄j ) ∆tj
2
i
(29)
donde:
j: paso de tiempo
k: número de intervalos de tiempo
Tema 1
slide 112
Hurst
■
El radio “aparente” del acuı́fero ra se incrementa con el tiempo
■
La relación adimensional ra /ro se reemplaza por una función que depende del tiempo ra /ro = at
Sustituyendo en la Ec. 27 obtenemos:
dWe
=
dt
0.00708kh
(pi − p)
µw ln (at)
(30)
C (pi − p)
dWe
=
dt
ln (at)
(31)
Integrando obtenemos:
We = C
Z t
0
(pi − p)
dt
ln (at)
(32)
Tema 1
slide 113
Hurst
Utilizando un método de integración numérico obtenemos:
Wek
=C
k X
∆pj
j=1
ln (at)
∆tj
(33)
El modelo de acuı́fero de estado estable de Hurst continen dos parámetros desconocidos: a y C. Estos parámetros se
pueden determinar a partir del comportamiento de presión e historia de influjo de agua. Utilizando la Ec. 31 se tiene:
pi − p
dWe
dt
pi − p
dWe
dt
=
1
ln at
C
=
1
1
ln a + ln t
C
C
La Ec. 34 indica que un gráfico de
obtiene
1
C
(34)
pi −p
dWe
dt
en función de ln t debe ser una lı́nea recta con pendiente
1
C
y cuando t = 1 se
ln a
Tema 1
slide 114
46
Hurst
Figura 19: Método
Tema 1
pi −p
dWe
dt
vs. ln t
slide 115
van Everdingen-Hurst
van Everdingen y Hurst resolvieron la ecuación de influjo para un sistema yacimiento-acuı́fero aplicando la transformada
de Laplace a la ecuación de difusividada que describe el flujo bajo condiciones transientes.
∂ 2 pD
1 ∂pD
∂pD
+
=
∂ 2 rD
rD ∂rD
∂tD
(35)
Esto conduce a la determinación del influjo de agua como función de una caı́da de presión dada en el borde interno del
sistema yacimiento-acuı́fero.
Tema 1
slide 116
a La ecuación de difusividad será desarrollada en el Tema 3 (Análisis de Presiones)
47
van Everdingen-Hurst
Figura 20: Influjo de agua a un yacimiento cilı́ndrico
Tema 1
slide 117
van Everdingen-Hurst
van Everdingen-Hurst propusieron una solución a la ecuación adimensional de difusividad que utiliza la condición de
presión constante y las siguientes condiciones condiciones iniciales y de borde:
■
Condición inicial: p = pi , ∀t
■
Condición de borde interno: p = pi − ∆p, r = ro , ∀t
■
Condición de borde exterior:
◆
Acuı́fero infinito: p = pi , r → ∞
◆
Acuı́fero finito:
∂p
∂r
= 0, r = ra
Adicinalmente, van Everdingen-Hurst asumieron que el acuı́fero estaba caracterizado por:
■
Espersor uniforme
■
Permeabilidad constante
■
Posoridad constante
■
Compresibilidad de roca y agua constante
Tema 1
slide 118
48
van Everdingen-Hurst
La solución a la Ec. 35 para un sistema yacimiento-acuı́fero, considerando las condiciones de borde descritas, permite
calcular el influjo de agua en forma de un parámetro adimensional denominado influjo de agua adimensional WeD , el
cual es función del tiempo adimensional tD y el radio adimensional rD :
WeD = f (tD , rD )
(36)
WeD se encuentra en forma tabular para diversas geometrı́as de sistema yacimiento-acuı́fero
El influjo acumulado de agua se calcula de la siguiente expresión:
We = B∆pWeD
(37)
donde:
We : influjo de agua acumulado [bbl]
B: constante de influjo de agua (depende del modelo geométrico) [bbl/psi]
∆p = pi − p
WeD : influjo de agua adimensional
Tema 1
slide 119
van Everdingen-Hurst
El valor de tD y B se muestran a continuación:
Modelo geométrico
Tiempo adimensional
Constante del acuı́fero
Radial
tD = 2.309 φµ ktc
B = 1.119φct ro2 hf
Lineal
Fondo
tD = 2.309 φµwktct L2
tD = 2.309 φµ ktc L2
B = 0.178W Lhct
B = 0.178Va ct
2
w t ro
w t
a
donde:
k: permeabilidad del acuı́fero [md]
t: tiempo [años]
h: espesor del yacimiento [ft] φ: porosidad del acuı́fero
µw : viscosidad del agua en el acuı́fero [cp]
ra : radio del acuı́fero [ft], ro : radio del yacimiento [ft]
cw : compresibilidad del agua [psi−1 ], cr : compresibilidad de la roca [psi−1 ]
ct = cw + cr : compresibilidad total [psi−1 ]
L: longitud del acuı́fero [ft]
W : ancho del yacimiento [ft]
Va : volumen del acuı́fero [ft3 ], La = πrV2aφ
o
Tema 1
slide 120
49
van Everdingen-Hurst
Tema 1
slide 121
50
van Everdingen-Hurst
Tema 1
slide 122
van Everdingen-Hurst
Principio de superposición
■
Existe una caı́da de presión en el contacto agua-petróleo debido a la producción de fluidos en un yacimiento asociado
a un acuı́fero
■
El agua se expande y la caı́da de presión se propaga dentro del acuı́fero hacia el borde exterior
■
Debido a que las caı́das de presión ocurren en forma independiente, el agua se expande a consecuencia de sucesivas
caı́das de presión
Tema 1
slide 123
51
van Everdingen-Hurst
Principio de superposición
Figura 21: Presión en el contacto agua-petróleo
Tema 1
slide 124
van Everdingen-Hurst
Principio de superposición
La presión promedio es:
p̄j =
pj−1 + pj
2
La caı́da de presión es:
∆pj =
pj−1 − pj+1
2
Para calcular el influjo acumulado de agua a un tiempo arbitrario t, el cual corresponde al paso de tiempo n, se requiere
la superposición de las soluciones de la Ec. 37:
We (tn )
=
B∆p0 WD (tDn ) + B∆p1 WD tDn−1 + . . . +
+
B∆pj WD tDn−j + . . . + B∆pn−1 WD (tD1 )
Sumando obtenemos:
We (tn ) = B
n−1
X
j=0
∆pj WD tDn−j
(38)
(39)
Tema 1
slide 125
52
van Everdingen-Hurst
Principio de superposición
Figura 22: Ilustración del principio de superposición
Tema 1
slide 126
van Everdingen-Hurst
Balance de materiales
La constante del acuı́fero B puede ser determinado mediante la solución del método gráfico de balance de materiales.
Para ello se tiene:
F = N Et + We
F = N Et + B
n−1
X
∆pj WD tDn−j
j=0
Por lo que:
F
=N +B
Et
Pn−1
j=0
∆pj WD tDn−j
Et
(40)
La solución de la ecuación lineal de balance de materiales mediante el método gráfico puede ser utilizada para determinar
el valor de un parámetro desconocido del acuı́fero cuando el resto de los parámetros son conocidos.
Tema 1
slide 127
53
van Everdingen-Hurst
Análisis de sensibilidad
F/Et vs. We/Et
800
h=50 pies
700
600
500
F/Et
h=150 pies
400
h=100 pies
300
200
100
0
0
100
200
300
400
500
600
We/Et
Figura 23: Espesor del acuı́fero
Tema 1
slide 128
van Everdingen-Hurst
Análisis de sensibilidad
F/Et vs. We/Et
800
r o=4600’
700
600
F/Et
500
r o=13800’
400
r o=9200’
300
200
100
0
0
100
200
300
400
500
600
We/Et
Figura 24: Radio del yacimiento
Tema 1
slide 129
54
van Everdingen-Hurst
Análisis de sensibilidad
F/Et vs. We/Et
800
Ae=100°
700
600
F/Et
500
Ae=200°
400
Ae=150°
300
200
100
0
0
100
200
300
400
500
600
We/Et
Figura 25: Angulo θ
Tema 1
slide 130
van Everdingen-Hurst
Análisis de sensibilidad
F/Et vs. We/Et
800
K=82 mD
700
600
F/Et
500
K=246 mD
400
300
K=164 mD
200
100
0
0
100
200
300
400
500
600
We/Et
Figura 26: Permeabilidad del acuı́fero
Tema 1
slide 131
55
Predicción
slide 132
Predicción
Introducción
Parámetros
Mécanismos de Recobro
Método de Tracy
Método de Tarner
Método de Muskat
Ejemplo
Esta sección fue desarrollada por el Br. Bernardo Bohorquez y la Br. Johanna Fernández, Escuela de Ingenierı́a de
Petróleo, UCVa .
Tema 1
slide 133
a Fernández, J., Bohorquez, B., Métodos de predicción del comportamiento de producción de yacimientos mediante balance de materiales, Trabajo de Pasantı́a, Escuela de Ingenierı́a de Petróleo, UCV, Nov
2006
Introducción
■
La predicción del comportamiento de un yacimiento en función del tiempo puede dividirse en 3 fases principales:
◆
Comportamiento del yacimiento: Esta fase requiere del uso de la EBM de una manera predictiva, cuyo fin serı́a
estimar la producción acumulada de hidrocarburos y la relación gas–petróleo instantánea (RGP ) en función del
agotamiento de presión del yacimiento.
◆
Comportamiento del pozo: Esta fase genera el comportamiento individual de cada pozo en la medida en la cual
avanza el agotamiento de la presión.
◆
Relación del comportamiento del yacimiento con el tiempo: Esta fase, los datos del yacimiento y de los pozos
son vinculados con el tiempo, considerando cantidades y tasa de producción de cada uno de los mismos.
Tema 1
slide 134
Parámetros
Para realizar una predicción de la producción de hidrocarburos relacionada con la presión promedio del yacimiento, se
necesitan conocer el comportamiento de los siguientes parámetros:
RGP instantánea: La relación gas–petróleo instantánea representa la razón entre los pies cúbicos estándar de gas
producidos y los barriles estándar de petróleo producidos al mismo instante. Se encuentra definida por:
RGP =
Rs qo + qg
= Rs +
qo
krg
kro
µ o βo
µ g βg
Esta ecuación permite describir el comportamiento de la relación gas–petróleo instantánea en cualquier momento
durante el agotamiento de presión del yacimiento.
Tema 1
slide 135
56
Parámetros
Relación entre Rs y RGP vs Np a
Tema 1
slide 136
a Tarek Ahmed y Paul D. McKinney. Advanced Reservoir Engineering. Elsevier, Burlington, MA, USA, 2005.
Parámetros
El gas acumulado producido puede vincularse a la RGP de la siguiente manera:
Relación RGP vs Np a
Tema 1
slide 137
a Tarek Ahmed y Paul D. McKinney. Advanced Reservoir Engineering. Elsevier, Burlington, MA, USA, 2005.
57
Parámetros
Saturación de petróleo remanente para cada paso de presión: Se tiene un yacimiento volumétrico (We = 0), sin capa
inicial de gas, con N barriles estándar iniciales y una presión inicial pi , en donde Soi = 1 − Swi. El cálculo de N
volumétrico viene representado por la siguiente ecuación:
N=
Aφh(1 − Swi )
βoi
Si expresamos el término Aφh como Vp o volumen poroso se puede despejar de la siguiente manera:
Volumen poroso =
N βoi
1 − Swi
Si el yacimiento ha producido un volumen Np , la cantidad remanente de petróleo viene dada por:
Volumen remanente de petróleo = (N − Np )βo
Tema 1
slide 138
Parámetros
Si se tiene que So se encuentra definido por:
So =
Volumen de petróleo
Volumen poroso
Utilizando esta definición, y combinándola con las anteriores ecuaciones se tiene que:
So = (1 − Swi ) 1 −
Np
N
βo
βoi
Es importante destacar que se supone la distribución uniforme de las saturaciones de los fluidos a lo largo de todo el
yacimiento. Por otra parte, de existir otros mecanismos de empuje, es necesario el desarrollo de ecuaciones distintas cuyo
fin sea contabilizar migración de fluidos, volúmenes de petróleo atrapados en zonas de agua o gas, entre otros aspectos.
Tema 1
slide 139
Mécanismos de Recobro
Yacimientos de petróleo subsaturado
Cuando la presión del yacimiento se encuentra por encima de la presión de burbujeo, es decir p > pb , el yacimiento es
considerado como subsaturado. Asumiendo que no se tiene capa inicial de gas (m = 0) y que el yacimiento es
volumétrico (We = 0), la EBM se puede expresar de la siguiente manera:
Np βo = N βoi
S C + S C + C oi o
wi w
f
1 − Swi
∆p
Despejando Np se tiene la ecuación:
Np = N Ce
βo
βoi
S
∆p
C +S
C +C
wi w
f
Donde el término Ce = oi o 1−S
representa la compresibilidad efectiva. El cálculo de la producción futura de
wi
hidrocarburos no requiere de un proceso de ensayo cuando el yacimiento es subsaturado, con las suposiciones
anteriormente mencionadas.
Tema 1
slide 140
58
Mécanismos de Recobro
Yacimientos de petróleo saturado
Para un yacimiento saturado donde el único mecanismo de producción presente es el empuje por gas en solución,
volumétrico y que no presenta inyeccion de fluidos, la EBM se puede expresar mediante la siguiente ecuación:
N=
Np βo + (Gp − Np Rs ) βg
(βo − βoi ) + (Rsi − Rs ) βg
Si N y los datos PVT son variables conocidas, Np y Gp son variables desconocidas. Para su cálculo, es necesario utilizar
unos métodos los cuales combinan la EBM con la Relación Gas–Petróleo, utilizando información sobre la saturación
inicial de los fluidos presente, y datos de permeabilidades relativas.
Tema 1
slide 141
Método de Tracy
Tracy (1955) sugirió que la EBM puede ser reescrita y expresada en función de tres (3) parámetros PVT. Despejando N
de la siguiente manera:
N=
Np (βo − Rs βg ) + Gp βg + (Wp βw − We )
(βo − βoi ) + (Rsi − Rs ) βg + mβoi
h
βg
βgi
i
−1
Se pueden definir los parámetros φo , φg y φw según las siguientes ecuaciones:
β
βo −Rs βg
φg = g
φw = 1
den
den
hden
i
βg
den = (βo − βoi ) + (Rsi − Rs ) βg + mβoi βgi
−1
φo =
La EBM queda reescrita de la siguiente manera:
N = Np φo + Gp φg + (Wp βw − We ) φw
Considerando un yacimiento con empuje por gas en solución se tiene que:
N = Np φo + Gp φg
Tema 1
slide 142
Método de Tracy
Por cada paso de presión se debe considerar el aumento de la producción de gas y de petróleo (∆Gp y ∆Np
respectivamente):
Np = Np∗ + ∆Np
Gp = G∗p + ∆Gp
Donde el valor con un * representa el correspondiente a la presión superior de cada paso. Sustituyendo se tiene que:
N = Np∗ + ∆Np φo + G∗p + ∆Gp φg
Combinando esta ecuación con el concepto de la Relación Gas–Petróleo, se obtiene:
N = Np∗ + ∆Np φo + G∗p + ∆Np (RGP )prom φg
Tema 1
slide 143
59
Método de Tracy
Despejando ∆Np :
∆Np =
1 − Np∗ φo + G∗p φg
φo + (RGP )prom φg
Esta ecuación presenta dos variables desconocidas, el incremento de producción de petróleo ∆Np y la Relación
Gas–Petróleo (RGP )prom . La metodologı́a utilizada para la resolución de esta ecuación consiste en una técnica iterativa
teniendo como objetivo la convergencia a los valores futuros de RGP . A continuación los pasos para su resolución:
1.- Seleccionar una presión p por debajo de la presión en donde se tienen los demás valores conocidos p∗ .
2.- Calcular los valores de las funciones PVT, φo y φg , para la presión p .
3.- Estimar un valor de RGP , el cual se denotará por (RGP )est , para la presión estimada en el paso 1
Tema 1
slide 144
Método de Tracy
4.- Calcular la RGP instantánea promedio:
(RGP )prom =
5.-
Calcular el incremento de producción de petróleo acumulado ∆Np :
∆Np =
6.-
RGP ∗ + (RGP )est
2
1 − Np∗ φo + G∗p φg
φo + (RGP )prom φg
Calcular la producción de petróleo Np .
Np = Np∗ + ∆Np
7.-
Calcular la saturación de petróleo a la presión seleccionada:
So = (1 − Swi ) 1 −
Np
N
βo
βoi
Tema 1
slide 145
Método de Tracy
8.- Obtener la razón de permeabilidades relativas Krg /Kro utilizando la información disponible, tal como pruebas de
laboratorio, pozos cercanos o correlaciones empı́ricas.
9.- Utilizando el valor obtenido en el paso anterior, calcular RGP :
(RGP )cal = Rs +
10.-
Krg
Kro
µ o βo
µ g βg
Comparar el valor estimado de RGP en el paso 3, con el valor calculado en el paso anterior:
0.999 ≤
(RGP )cal
≤ 1.001
(RGP )est
Si estos valores se encuentran dentro de una tolerancia permitida se procede con el siguiente paso. De no cumplirse esto,
se hace (RGP )est del paso 3 igual a (RGP )cal , se repiten desde el paso 4 hasta 10 logrando que se cumpla la tolerancia.
Tema 1
slide 146
60
Método de Tracy
11.-
Calcular la producción acumulada de gas:
Gp = G∗p + (RGP )prom ∆Np
12.-
Repetir desde el paso 1 seleccionando un nuevo paso de presión, haciendo:
p∗
(RGP )∗
G∗p
Np∗
=
=
=
=
p
(RGP )
Gp
Np
Tema 1
slide 147
Método de Tarner
En 1944, Tarner sugirió un método iterativo para predecir la producción acumulada de hidrocarburos (Np y Gp ) como
función de la presión. Este método se basa en resolver la EBM y la ecuación de RGP instantánea simultáneamente para
obtener dos valores de la producción acumulada de gas Gp , realizando posteriormente un proceso comparativo de los
mismos y determinar si las suposiciones realizadas son correctas. La pasos para esta metodologı́a son los siguiente:
1.- Asumir una presión futura p por debajo de la presión inicial y conocida, p∗ .
2.- Estimar la producción acumulada de petróleo Np correspondiente a la presión p.
3.- Resolver la EBM para calcular Gp
Gp1 = N (Rsi − Rs ) −
4.-
βoi − βo
βg
− Np
βo
− Rs
βg
Calcular la saturación de petróleo correspondiente a la presión p.
So = (1 − Swi ) 1 −
Np
N
βo
βoi
Tema 1
slide 148
Método de Tarner
k
correspondiente a la saturación de petróleo del paso anterior. Con
5.- Obtener el coeficiente de permeabilidades krg
ro
estos datos, obtener la RGP instantánea. Los datos PVT empleados corresponden a la presión asumida p.
6.- Calcular nuevamente la producción acumulada de gas Gp a la presión p aplicando la siguiente ecuación:
Gp2 = G∗p + (RGP )prom ∆Np
Donde RGP ∗ corresponde a la presión p∗
7.- Estableciendo un margen de error determinado, comparar los valores de Gp1 y Gp2 . Si el error se encuentra dentro
del margen permitido, se ha conseguido el valor de Np correspondiente a la presión p. Lo cual permite seleccionar una
nueva presión. De lo contrario, si el error no se encuentra dentro del margen permitido, se debe seleccionar un nuevo
valor de Np y repetir los pasos desde el 2 hasta el 6.
Tema 1
slide 149
61
Método de Muskat
Muskat presentó este método en 1945 y expuso que el valor de un número de variables que afectan la producción de gas
y de petróleo y los valores de las tasas de cambio de estas con la presión, se pueden evaluar en cada paso de
agotamiento. Para este método se utiliza la siguiente ecuación:
dSo
=
dp
So βg dRs
βo
dp
+
dβ
So kg µo dβo
− (1−Sβog−Sw ) dpg
βo ko µg dp
k
1 + kgo µµgo
Los diferenciales de So y p se pueden aproximar utilizando ∆So = So∗ − So y ∆p = p∗ − p respectivamente. Craft (1990)
sugirió que los cálculos pueden ser facilitados si se identifican tres grupos dependientes de la presión, y posteriormente se
grafican.
Tema 1
slide 150
Método de Muskat
Estos grupos son los siguientes:
dβ
β
o
s
Y (p) = β1g µµgo dβ
Z(p) = β1g dpg
X(p) = βgo dR
dp
dp
Combinando estos grupos con la ecuación propuesta por Muskat se obtiene:
∆So
∆p
=
rg
Y (p) − (1 − So − Swi )Z(p)
So X(p) + So kkro
1+
kg µo
ko µg
Esta ecuación puede ser utilizada para predecir el comportamiento de la producción y la saturación de fluidos del
yacimiento dando como dato un ∆p utilizando los siguientes pasos:
1.- Graficar los valores de Rs , βo y βg vs p y calcular la derivada de las propiedades PVT a varios valores de presión.
2.- Calcular los grupos dependientes X(p), Y (p) y Z(p) para cada presión seleccionada para el paso 1.
3.- Graficar los valores de los grupos dependiente en función de la presión como se ilustra en la figura:
Tema 1
slide 151
Método de Muskat
Grupos dependientes vs presión.a
Tema 1
slide 152
a Tarek Ahmed y Paul D. McKinney. Advanced Reservoir Engineering. Elsevier, Burlington, MA, USA, 2005.
62
Método de Muskat
4.- Asumir una caı́da de presión desde la presión actual p∗ a una presión seleccionada p. Determinar los valores de
X(p), Y (p) y Z(p).
5.- Resolver la ecuación de Muskat usando la saturación actual de petróleo al principio de la presion p∗ .
6.-
∆So
∆p
=
rg
Y (p∗ ) − (1 − So∗ − Swi )Z(p∗ )
So∗ X(p∗ ) + So∗ kkro
1+
kg µo
ko µg
Determinar la saturación de petroleo So a la presión promedio del yacimiento selecionada p:
So =
So∗
∗
− (p − p)
∆So
∆p
7.- Utilizando la saturación de petróleo calculada en el paso anterior, calcular el valor del cociente de permeabilidades
relativas.
Tema 1
slide 153
Método de Muskat
Obtener (∆So /∆p) utilizando los nuevos valores para la presión p.
8.-
=
rg
Y (p) − (1 − So − Swi )Z(p)
So X(p) + So kkro
1+
kg µo
ko µg
Calcular un valor promedio entre los valores obtenidos del paso anterior y el paso número 5.
9.-
∆So
∆p
∆So
∆p
=
prom
1
2
∆So
∆p
+
5
∆So
∆p
7
Utilizando este promedio, calcular la saturación de petróleo correspondiente a la presión p:
So = So∗ − (p∗ − p)
∆So
∆p
prom
Tema 1
slide 154
Método de Muskat
10.-
Utilizando la saturación calculada en el paso anterior, calcular RGP
RGP = Rs +
11.-
krg
ro
µ o βo
µ g βg
Calcular la producción de petróleo acumulada, utilizando la informción de So calculada en el paso número 9
βoi
So
Np = N 1 −
βo (1 − Swi )
12.-
Utilizando la definición de RGP , calcular el incremento de la producción acumulada de gas:
(RGP )prom =
RGP ∗ + RGP
2
Gp = G∗p + (RGP )prom ∆Np
Tema 1
slide 155
63
Método de Muskat
Repetir desde el paso 4 hasta el 12 con todos los pasos de presión en estudio haciendo:
p∗
(RGP )∗
G∗p
Np∗
So∗
=
=
=
=
=
p
(RGP )
Gp
Np
So
Como se observa, este método no realiza cálculos iterativos para lograr una convergencia de los valores obtenidos; el
método de Muskat se puede presentar como una herramienta confiable al momento de realizar predicciones del
comportamiento del yacimiento, solo cuando no se disponga de herramientas computacionales que faciliten cualquiera de
los otros dos métodos.
Tema 1
slide 156
Ejemplo
Se dispone de la siguiente información:
Prueba Liberacin Diferencial
p
[lpc]
4350
4061
3772
3483
3194
2905
2616
2327
2038
1749
1460
1171
882
593
304
14.7
βo
[BY/BN]
1.3935
1.3628
1.3331
1.3041
1.2761
1.2490
1.2229
1.1995
1.1765
1.1560
1.1366
1.1176
1.0997
1.0837
1.0686
1.0446
βg
[BY/PCN]
0.000678
0.000713
0.000753
0.000803
0.000864
0.000941
0.001040
0.001168
0.001338
0.001573
0.001909
0.002421
0.003280
0.004992
0.009986
0.211740
Rs
[PCN/BN]
840.00
773.56
708.13
643.72
580.38
518.19
457.26
401.68
346.30
295.93
247.24
198.79
152.10
109.32
67.95
0.00
µo
[cP]
1.6182
1.7311
1.8598
2.0081
2.1802
2.3822
2.6220
2.8888
3.2165
3.5880
4.0399
4.6182
5.3541
6.2606
7.4668
10.7660
µg
[cP]
0.0248
0.0237
0.0226
0.0215
0.0204
0.0193
0.0181
0.0171
0.0161
0.0152
0.0145
0.0138
0.0133
0.0130
0.0127
0.0125
Información del Yacimiento
N [MMBN]
pi [lpc]
pf [lpc]
RGPi [PCN/BN]
Swi
pb [lpc]
Tema 1
100
4350
1000
840
0.3
4350
slide 157
64
Ejemplo
Se desea estimar Np , Gp y RGP para la presin de abandono pf = 1000lpc.
Para resolver este problema, se utilizan los métodos de predicción estudiados anteriormente.
p
[lpc]
4350
4111
3871
3632
3393
3154
2914
2675
2436
2196
1957
1718
1479
1239
1000
Tracy
Np
[MMBN]
0
0.9763
2.1851
3.6098
5.1448
6.6254
7.9319
9.0446
9.9478
10.6980
11.3260
11.8540
12.3220
12.7620
13.1780
Tarner
Np
[MMBN]
0
0.9763
2.2005
3.6410
5.1365
6.4783
7.5716
8.4443
9.1171
9.6582
10.1000
10.4630
10.7800
11.0730
11.3450
Muskat
Np
[MMBN]
0
0.9742
2.2007
3.6404
5.1350
6.4801
7.5898
8.4518
9.1453
9.6863
10.1210
10.4930
10.8130
11.1010
11.3670
Tema 1
slide 158
Ejemplo
Producción de Petróleo
14
Tracy
Tarner
Muskat
12
Np (MMBN)
10
8
6
4
2
0
4500
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
Presión [lpc]
Relación Np vs pa .
Tema 1
slide 159
a Fernández, J., Bohorquez, B., Métodos de predicción del comportamiento de producción de yacimientos mediante balance de materiales, Trabajo de Pasantı́a, Escuela de Ingenierı́a de Petróleo, UCV, Nov
2006
65
Ejemplo
p
[lpc]
4350
4111
3871
3632
3393
3154
2914
2675
2436
2196
1957
1718
1479
1239
1000
Tracy
Gp
[MMPCN]
0
796
1785
3061
4789
7153
10261
14179
18667
23725
29234
34989
41074
47632
54378
Tarner
Gp
[MMPCN]
0
796
1769
3029
4797
7283
10553
14621
19213
24327
29850
35582
41618
48101
54757
Muskat
Gp
[MMPCN]
0
795
1769
3029
4795
7287
10613
14638
19386
24519
29969
35862
41980
48378
54904
Tema 1
slide 160
Ejemplo
Producción de Gas
60
50
Tracy
Tarner
Muskat
30
p
G (MMMPCN)
40
20
10
0
4500
4000
3500
3000
2500
Presión [lpc]
2000
1500
1000
Relación Gp vs pa .
Tema 1
slide 161
a Fernández, J., Bohorquez, B., Métodos de predicción del comportamiento de producción de yacimientos mediante balance de materiales, Trabajo de Pasantı́a, Escuela de Ingenierı́a de Petróleo, UCV, Nov
2006
66
Ejemplo
p
[lpc]
4350
4111
3871
3632
3393
3154
2914
2675
2436
2196
1957
1718
1479
1239
1000
Tracy
RGP
[PCN/BN]
840
792
796
951
1412
2353
3918
6203
9097
12643
16714
20948
25169
28960
31584
Tarner
RGP
[PCN/BN]
840
792
796
954
1409
2295
3699
5641
8052
10923
14157
17500
20771
23616
25467
Muskat
RGP
[PCN/BN]
840
792
796
954
1410
2295
3688
5634
8017
10878
14116
17430
20684
23535
25400
Tema 1
slide 162
Ejemplo
Gas−−Oil Ratio
35
30
Tracy
Tarner
Muskat
RPG (MPCN/BY)
25
20
15
10
5
0
4500
4000
3500
3000
2500
Presión [lpc]
2000
1500
1000
Relación RGP vs pa .
Tema 1
slide 163
a Fernández, J., Bohorquez, B., Métodos de predicción del comportamiento de producción de yacimientos mediante balance de materiales, Trabajo de Pasantı́a, Escuela de Ingenierı́a de Petróleo, UCV, Nov
2006
67
Referencias
slide 164
Referencias
[1] L.P. Dake. Fundamentals of Reservoir Engineering. Elsevier Science B.V., Amsterdam, The Netherlands, fiftheenth
edition, 1977.
[2] B.C Craft and M.F. Hawkins. Applied Petroleum Reservoir Engineering. PTR Prentice Hall, Englewood Cliffs, New
Jersey 07632, second edition, 1991.
[3] Tarek Ahmed and Paul D. McKinney. Reservoir Engineering Handbook. Gulf Professional Publishing, Houston,
Texas, USA, 2001.
[4] Tarek Ahmed and Paul D. McKinney. Advanced Reservoir Engineering. Elsevier, Burlington, MA, USA, 2005.
[5] Charles Smith, G.W. Tracy, and R. Lance. Applied Reservoir Engineering, volume 2, chapter 12. OGCI Publications.
[6] R.J. Schithuis. Active Oil ans Reservoir Energy. In Trans., AIME, 188, 33ff.
[7] W. Hurst. Water Influx Into a Reservoir and Its Applications to the Equation of Volumetric Balance. In Trans.,
AIME, 151, 57ff, 1943.
[8] M.J. Fetkovich. A Simplified Approach to Water Influx Calculations - Finite Aquifer Systems. Journal of Petroleum
Technology, 1971.
R 1995.
[9] Ed Turek and Randy Morris. Black-oil properties correlations - AMOCO Corporation,
Tema 1
slide 164
68
Antecedentes de EBM
slide 165
Antecedentes de EBM
Antecedentes
Coleman, Wilde y Moore
Schilthuis
Odd
Woods y Muskat
van Everdingen, Timmerman y Mcmahon
Hawkins
Tracy
Havlena y Odeh
Dake
Tema 1
slide 166
Antecedentes
Existen diversos trabajos publicados acerca de los métodos de estimación de reservas de hidrocarburos. La mayorı́a de los
trabajos se enfocan en varios aspectos del tema, que incluyen las leyes y principios fundamentales que gobiernan la
extracción de fluidos, la derivación de las ecuaciones con base en la relación entre la cantidad de fluidos producidos y las
propiedades del yacimiento, entre otros.
Esta sección esta basada en el trabajo realizado por Carlos Garcı́aa .
Tema 1
slide 167
a C. Garcı́a, Análisis de errores de presión y PVT sobre las estimaciones de balance de materiales, Tesis de Pregrado, Universidad Central de Venezuela, 2005
Coleman, Wilde y Moore
Dentro de los primeros trabajos realizados acerca del tema se encuentra el de Coleman, Wilde y Moorea . Su estudio se
basó en la declinación de la presión del yacimiento posterior a la producción de petróleo y gas. Presentaron una ecuación
que relaciona la presión del yacimiento, la cantidad de petróleo y gas producido, la cantidad de gas en el yacimiento y las
propiedades de los fluidos del yacimiento.
Tema 1
slide 168
a S.P. Coleman, H.D. Wilde and T.V. Moore, Quantitative effects of GOR on decline of average rock pressure. Trans. AIME (1930). 86. 174. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp. 6.)
Schilthuis
Schilthuisa , presentó una forma modificada de la ecuación de Coleman, Wilde y Moore. La ecuación de Schilthuis se puede describir como un balance
volumétrico entre las cantidades de petróleo, gas y agua producida, con la declinación de presión del yacimiento, la cantidad total de agua que pudo
haber entrado al yacimiento y la cantidad total de petróleo y gas del yacimiento. La ecuación de Coleman, Wilde y Moore está basada en las leyes de
gases perfectos y soluciones perfectas, a diferencia de ésta, la ecuación de Schilthuis usa la relación entre la presión y el volumen obtenido en el
laboratorio a partir de muestras de petróleo y gas del yacimiento, resultando que la ecuación sea aplicable al estudio de yacimientos de alta presión.
Otra mejora de la ecuación de Schilthuis sobre la de Coleman, Wilde y Moore es una simplificación del procedimiento de cálculo involucrado, la
mayorı́a de los términos usados en la ecuación de Schilthuis pueden ser leı́dos directamente de curvas provenientes del laboratorio.
Schilthuis, en la derivación de la ecuación, supuso que existe un estado de equilibrio instantáneo en el yacimiento. Esta suposición de equilibrio es tal
que el yacimiento se comporta como si tuviese cantidades más pequeñas de petróleo y gas de las que realmente contiene. Tal estado de equilibrio
nunca se alcanza. Una consecuencia de esto es que el contenido de hidrocarburos calculado mediante la ecuación de Schilthuis es siempre menor que
el contenido real.
Se cree que la cantidad calculada de petróleo es esa porción del petróleo contenida en la parte permeable e interconectada que contribuye activamente
al mantenimiento de la presión del yacimiento. Schilthuis llamó a este fenómeno “petróleo activo”.
La ecuación de Schilthuis no toma en cuenta la disminución en el volumen poroso debido al efecto combinado de la expansión del agua connata y la
reducción del volumen poroso del yacimiento. Schilthuis también propuso un modelo de influjo de agua el cual expresa la tasa de influjo de agua
dentro del yacimiento a un tiempo cualquiera, proporcional a la diferencia de presión entre la presión original del yacimiento y la presión en el
yacimiento en un instante dado.
Tema 1
slide 169
a R.J. Schilthuis, Active Oil Reservoir Energy. TRANS AIME(1936). 118. 32. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp. 6.)
69
Odd
Olda expuso el uso simultáneo de la EBM y la ecuación de Hurst, aplicado al cálculo de las reservas de hidrocarburos.
Estudió el comportamiento de un yacimiento de petróleo y evaluó las fuerzas naturales que actuaban en el yacimiento.
Old afirmó que un uso importante de éste método de análisis consiste en determinar el comportamiento de presión.
Tema 1
slide 170
a R. F. Jr. Old, Analyzing of reservoir performance. Trans. AIME( 1943). 151. 86. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp. 8.)
Woods y Muskat
Woods y Muskata presentaron un procedimiento de análisis de mı́nimos cuadrados para resolver la ecuación de balance
de materiales y su aplicación para estimar el petróleo en sitio a partir de observaciones de campo. El estudio concluyó
que el balance de materiales por si mismo no puede, con seguridad, proporcionar una determinación única de las
caracterı́sticas fı́sicas básicas del petróleo que se produce de un yacimiento. Sin embargo, el método proporciona una
herramienta útil para estimar la intrusión de agua o para predecir el comportamiento futuro de un yacimiento, cuando
existen datos de control determinados independientemente, tales como valores de petróleo y gas inicial en sitio.
Tema 1
slide 171
a R. E. Woods y M. Muskat, An Analysis of material balance calculations. Trans AIME (1943). 151. 73. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp. 9.)
van Everdingen, Timmerman y Mcmahon
Everdingen, Timmerman y Mcmahona presentaron una forma modificada de la ecuación de balance de materiales
aplicable a yacimientos con empuje parcial de agua. El método combinó la ecuación de balance de materiales con la
ecuación de influjo de agua de Hurst-Van Everdingen, para obtener valores confiables del petróleo activo original en sitio
y una evaluación cuantitativa del influjo de agua acumulado. El método de solución usa el método de mı́nimos
cuadrados para obtener dos ecuaciones normales a partir de un cierto número de ecuaciones de balance de materiales. El
método de desviación normales fue utilizado para determinar el valor de petróleo en sitio asociado con el valor más
confiable de los intervalos de tiempo reducidos.
Tema 1
slide 172
a A.F. Van Everdingen,E.H. Timmerman y J.J. Mcmahon, Application of the material balance equation to a partial water drive reservoirs. Trans. AIME (1953). 198. 51. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp.
9.)
Hawkins
Hawkinsa presentó una extensión de la ecuación de balance de materiales aplicable a yacimientos volumétricos
subsaturados por encima del punto de burbujeo mediante la inclusión de un término que toma en cuenta la presencia de
agua intersticial y su compresibilidad.
Tema 1
slide 173
a M. F. Jr. Hawkins, Material balance in expansion type reservoir above bubblepoint. Trans. AIME (1953). 204. 267. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp. 10.)
Tracy
Tracya presentó una forma simplificada de la ecuación de balance de materiales de Schilthuis. En la ecuación, los
términos de petróleo producido acumulado, gas producido acumulado e influjo neto de agua se multiplican por diferentes
factores de presión. El método estima tasas gas-petróleo instantáneas junto con producción incremental de petróleo.
Tema 1
slide 174
a G. W. Tracy, Simplified form of the material balance equation. SPE Reprint Series No 3. 1970. pp 62. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp 11.)
70
Havlena y Odeh
Havlena y Odeha presentaron un método en el cual la ecuación de balance de materiales se expresa como la ecuación de
una lı́nea recta. El método consiste en graficar un conjunto de variables versus otro, dependiendo de los mecanismos de
empuje del yacimiento del yacimiento. Este método proporciona un tercer y necesario criterio que sólo una solución
exitosa de la ecuación de balance de materieales deberı́a satisfacer. El método fue aplicado a varios casos de campo. El
método ha demostrado ser el mejor en términos de la interpretación de los cálculos de balance de materiales.
Tema 1
slide 175
a D. Havlena y A.S. Odeh. The material balance as an equation of a straight line, SPE Production Research Symposium, Norman, Okla. SPE 559., 1963.
Dake
Dakea consideró la disminución en el volumen poroso de hidrocarburos debido al efecto combinado de la expansión del
agua connata y la reducción en el volumen poroso, la cual no fue tomada en cuenta por Schilthuis al derivar la forma
general de la ecuación de balance de materiales.
Tema 1
slide 176
a L. Dake, Fundamentals of Reservoir Engineering, Elsevier, The Netherlands, 1978
71
Mı́nimos Cuadrados
slide 177
Mı́nimos Cuadrados
Introducción
Derivación
Tema 1
slide 178
Introducción
El ajuste de mı́nimos cuadradosa,b es un procedimiento matemático para obtener la curva que mejor ajuste un conjunto
dado de puntos mediante la minimización de la suma de los cuadrados de los residuales de los puntos de la curva.
Figura B.1: Ajuste de mı́nimos cuadrados
Tema 1
slide 179
a http://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFitting.html
b http://www.keypress.com
Derivación
La suma de los cuadrados de las desviaciones verticales R2 de un conjuntos de n puntos a la función f es:
R2 =
X
[yi − f (xi , a1 , a2 , . . . , an )]2
(B.1)
La condición para que R2 sea mı́nimo es:
∂ R2
∂ai
=0
(B.2)
Para i = 1, . . . n
Tema 1
slide 180
72
Derivación
Para el ajuste lineal f (a, b) = a + bx, se tiene:
R2 (a, b) =
n
X
[yi − (a + bxi )]2
(B.3)
i=1
∂ R2
∂a
∂ R2
∂b
= −2
= −2
n
X
[yi − (a + bxi )] = 0
(B.4)
[yi − (a + bxi )] xi = 0
(B.5)
i=1
n
X
i=1
Tema 1
slide 181
Derivación
Finalmente:
a
b
=
1
n
Pn
x2i −
Pn
yi
Pn
x2i −
Pn
xi yi −
Pn
i=1
Es decir:
a=
b=
Pn
i=1
n
n
Pn
i=1
n
Tema 1
i=1
n
i=1
P
Pn
i=1
x2i
x2i −
−
i=1
2
n
x
i=1 i
i=1
2
n
x
i
i=1
P
x
i=1 i
n
i=1
P
xi
Pn
P
Pn
xi
i=1
2
Pn
Pn
Pn
yi i=1 x2i −P i=1 xP
xi yi
i
i=1
P
n
n
n
i=1
n
i=1
xi yi −
xi yi
i=1
xi
i=1
yi
(B.6)
yi
(B.7)
slide 182
Derivación
En el caso del ajuste lineal f (b) = bx, se obtiene:
Pn
yi
b = Pni=1
i=1
(B.8)
xi
Tema 1
slide 183
73
Parámetros Estadı́sticos
slide 184
Parámetros Estadı́sticos
Introducción
Coeficiente de correlación
Error del ajuste (RSME)
Intervalo de confianza
Tema 1
slide 185
Introducción
Entre los principales parámetros estadı́sticos se encuentran:
1.
Coeficiente de correlación
2.
Error del ajuste (RSME)
3.
Intervalo de confianza
Tema 1
slide 186
Coeficiente de correlación
El coeficiente de correlación es una medida de la calidad de un ajuste de mı́nimos cuadrados de un conjuntos de datos.
Tema 1
slide 187
Coeficiente de correlación
El coeficiente de correlación r (también denotado como R) esta definido por:
r = rh
n
n
Pn
Pn
x2 −
i=1 i
i=1
xi yi −
Pn
x
i=1 i
Pn
i=1
xi
Pn
i=1
2 i h Pn
n
yi
y2 −
i=1 i
(C.1)
Pn
y
i=1 i
Tema 1
2 i
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Error del ajuste (RSME)
El RSME es la raiz cuadrada del promedio del cuadrado de los valores de las diferencias entre los puntos y la curva
(offset) de un ajuste lineal.
El RSME esta definido por la siguiente expresión:
v
u n
u1 X
RSME = t
(∆y)2
n
(C.2)
i=1
Tema 1
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Intervalo de confianza
El intervalo de confianza es un intervalo en el cual la medida cae de acuerdo a una probabilidad dada. Usualmente, el
intervalo de confianza de interés está simétricamente centrado alrededor de la media, ası́ que un 50% del intervalo de
confianza para una función de probabilidad simétrica es el intervalo tal que:
1
=
2
Z
a
P (x) dx
(C.3)
−a
Tema 1
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MBO
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MBO
Introducción
Archivos
Ejecución
Tema 1
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Introducción
MBO es un toolbox de MATLAB que implementa los métodos más importantes de resolución de la ecuación de balance
de materiales para los cálculos de petróleo original en sitio (POES) para yacimientos de petróleo con gas en solucióna .
MBO utiliza los datos de producción, datos PVT y parámetros de yacimiento y acuı́fero para resolver la ecuación de
balance de materiales y calcular el POES, GOES e ı́ndice de mecanismos de empuje utilizando diversos métodos de
resolución.
La documentación de MBO, ası́ como algunos ejemplos tutoriales, se puede obtener a través del web site:
http://www.atgig.com/eam/mbo/mbo-es.html
Tema 1
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a C. Garcı́a, Análisis de errores de presión y PVT sobre las estimaciones de balance de materiales, Tesis de Pregrado, Universidad Central de Venezuela, 2005
Archivos
MBO requiere cinco archivos de entrada:
<file>.rsv: Datos del yacimiento
<file>.prd: Datos producción
<file>.pvt: Datos PVT
<file>.aqu: Modelo de acuı́fero
<file>.rmd: Especificación de los métodos de balance de materiales
Los archivos de salida son:
<file>.oip: POES y GOES calculado por cada método de resolución
<file>.hoe: Términos de expansión de fluidos y roca
Tema 1
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Ejecución
MBO se puede ejecutar desde la lı́nea de comando de DOS de la siguiente forma:
mbo <file>
Figura D.1: Ventana de ejecución de MBO
Tema 1
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77
Unidades
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Unidades
Unidades
Tema 1
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Unidades
Las siguientes abreviaciones de unidades han sido adoptadas por la Society of Petroleum Engineers (SPE) y son
apropiadas para las mayorı́a de las publicacionesa .
■
darcy [d]
■
grados (American Petroleum Institute) [ ◦ API]
■
libras por pulgada cuadrada [psi]
■
barriles a condiciones normales [STB]
■
barriles por dı́a a condiciones normales [STB/d]
■
barriles a condiciones de yacimiento [bbl]
■
pies cúbicos de gas a condiciones normales [SCF]
■
pies cúbicos por dı́a de gas a condiciones normales [SCF/d]
■
pies cúbicos de gas a condiciones de yacimiento [ft3 ]
Tema 1
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a SPE Letter and Computer Symbols Standard, 1986
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