EL MODELO LINEAL Clase 2

El Modelo Lineal
Clase 2
El Modelo Lineal
Clase 2
Asuntos de la clase 2
EL MODELO
LINEAL
Clase 2
Propiedades estadísticas del modelo lineal
El modelo linear centrado
Inferencia del modelo lineal
La falta de ajuste del modelo lineal
La predicción
Ejemplo
Sergio Camiz
LIMA - Abril-Mayo 2015
Lima, 16/05/2015
"Clase 2".tex
Clase 2
II-1
Propiedades estadísticas
Propiedades estadísticas
Lima, 16/05/2015
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Clase 2
Propiedades estadísticas
asimismo indicaremos la sumas de manera compactada:
En seguida se utilizaran las relaciones siguientes. Para su prueba,
verse por ejemplo Mood et al. (1974):
Sx =
�
i
Sxx =
E(ax + b) = aE(x) + b
V (ax + b) = a2V (x)
E(x ± y) = E(x) ± E(y) V (x ± y) = V (x) + V (y) ± 2cov(x, y)
E(xy) = E(x)E(y) + cov(x, y) V (xy) = V (x)V (y) + E(x)E(y)
E(x)2) = (E(x))2 + V (x)
V (x2) = (V (x))2 + (E(x))2
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II-3
Sẋ =
xi
�
i
x2i
Sẋẋ =
�
i
�
i
(xi − x̄)
(xi − x̄)2
y analogamente para y, luego
Sxy =
�
i
xi yi
Sẋẏ =
�
i
(xi − x̄)(yi − ȳ)
se observa también que
Sẋẏ =
=
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II-2
i(xi − x̄)(yi − ȳ) = i xiyi − nx̄ȳ =
�
�
�
i xiyi − i xiȳ = i xi(yi − ȳ) = Sxẏ = Sẋy
�
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�
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II-4
Clase 2
Clase 2
Propiedades estadísticas
Propiedades de los estimadores de los mínimos
cuadrados
El β̂ puede expresarse como combinación lineal de los yi, mas
precisamente
Dada la estimación de mínimos cuadrados de los parámetros















β̂ =
α̂ = ȳ − β̂ x̄
�
i − ȳ)(xi − x̄)
β̂ = i (y
�
2
i (xi − x̄)
(1)
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Sẋẏ
Sẋẋ
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Clase 2
II-5
x̄
Desde que ci = xiS−
resulta
ẋẋ
�
�
i ci = 0
1
2
i ci = Sẋẋ
(2)
i ci xi = 1
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�
�
�
�
yi
1
n� − i� ciyi = i n − x̄ci yi
�
�
1
i� n − x̄ci yi + �i ciyix =
�
1
i n + (x − x̄)ci yi
�
i
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Sẋẋ
=
i ciyi , con ci =
�
i
(xi − x̄)
�
yi = ci yi
i
Sẋẋ
xi − x̄
Sẋẋ
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II-6
Propiedades estadísticas
Este resultado nos permite calcular las esperanzas de α̂, β̂ y η̂x y
su varianzas. Para β̂ la esperanza vale
α̂ y η̂x también se pueden expresar como combinación lineal de
los yi :
α̂ = ȳ − β̂ x̄ =
η̂x = α̂ + β̂x =
=
�
i(xi − x̄)yi
Clase 2
Propiedades estadísticas
�
o sea β̂ =
�
Los ci son constantes porque los xi son valores preseleccionados.
Entonces, la regresión solo depende de las yi.
se puede entonces escribir β̂ compactamente como
β̂ =
Propiedades estadísticas
II-7
E(β̂|x1, ..., xn) = �i ciE(yi|x1, ..., xn)
= �i ciE(yi|xi)
= �i ciηi = �i ci(α + βxi)
= α �i ci + β �i cixi = 0 + β1 = β
y, por la condición de homoscedasticidad, su varianza vale
V (β̂|x1, ..., xn) =
=
=
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2
i ci V (yi|x1, ..., xn)
�
2
i ci V (yi|xi)
�
σ2
2 2
2�
2
i ci σ = σ i ci = Sẋẋ
�
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II-8
Clase 2
Clase 2
Propiedades estadísticas
Para α̂, su esperanza y su varianza valen respectivamente
�
Pues la esperanza y la varianza de η̂x valen
�
1
i � n − x̄ci � E(yi |x1 , ..., xn )
�
1
i � n − x̄ci � E(yi |xi )
�
1
+ βxi) �
i n �− x̄ci (α
�
�
�
α � i n1 − x̄ci +
β �i �n1 − x̄ci xi
�
�
�
� 1
� xi
α i n − x̄ i ci + β i n − x̄ �i cixi
E(α̂|x1, ..., xn) =
=
=
=
=
= α(1 − 0) + β(x̄ − x̄) = α
�
V (α̂|x1, ..., xn) = �i
= σ2
= σ2
= σ2
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�
1
n
�
E(η̂x) = E(α̂ + β̂x) = E(α̂) + E(β̂)x
= α + βx = ηx
V (η̂x) = V (�α̂ �+ β̂x)
�
�
= V �i n1 + (x − x̄)ci yi
�
�
2
= �i n1 + (x − x̄)ci V (yi) 
= σ 2 �i n12 + (x − x̄)2 �i c2i 
2
− x̄ci V (yi|xi)
�
�
2
�
1
i
n − x̄ci
�
� 1
2x̄ �
2
i n2 − �n
i ci + x̄
�
2
1
x̄
n + Sẋẋ
�
"Clase 2".tex
Clase 2
i ci
2
2
= σ 2  n1 + (x S−ẋẋx̄) 
�
II-9
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Nótese que en el caso x = 0, se encuentra que
�
i
ci(yi − ηi)
1
− x̄cj  (yj − ηj )
j n

(α̂ − α) =

� 


y por tanto
E((α̂ − α)(β̂ − β)) = cov(α̂, β̂).
"Clase 2".tex
(β̂ − β) =
y
por lo que será útil calcular también
II-10
Propiedades estadísticas
Resultan
E(η̂x=0) = α 

2
V (η̂x=0) = σ 2  n1 + Sx̄ẋẋ  = V (α̂)
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Clase 2
Propiedades estadísticas
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Propiedades estadísticas
(α̂ − α)(β̂ − β)= �j � n1 − x̄cj� (yj − ηj ) �i ci(yi − ηi)
2
= �i n1 −� x̄ci ci(y
i − ηi )
�
� �
+ i ji�=j n1 − x̄ci cj (yi − ηi)(yj − ηj )
�
II-11
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�
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II-12
Clase 2
Clase 2
Propiedades estadísticas
Tomando las esperanzas, el primer cuadrado vale (E(ei))2 +
V (ei) = σ 2, mientras el último término vale cero, considerando la
independencia de los yi. Por tanto
cov(α̂, β̂) = E((
α̂ �− α)(β̂ −
β)) =
�
�
�
= E �i n1 − x̄ci ci(yi − ηi)2
�
�
2
= σ 2 �i cni − x̄ci2 + 0 = − σSẋx̄ẋ
(3)
La covarianza existe pues β̂ se usa para la estimación de α̂(1).
¿Tiene sentido hacer una estimación considerando que existe esta
covarianza?
Efectivamente, como σ 2 es parte del problema, esta covarianza se
puede reducir elijendo los x oportunamente.
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Clase 2
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II-13
Propiedades estadísticas
Propiedades estadísticas
Teorema de Gauss - Markov
Dados n pares de observaciones (xi, yi), i = 1, 2, ..., n, cuyos
xi son valores elegidos previamente y los yi son medidas correspondientes e independientes para los cuales E(yi | xi) =
α + βyi, V (yi | xi) = σ 2 por cada i; sea (α̂, β̂) la estimación de mínimos cuadrados de (α, β) ya definida. Entre todas las
estimaciones lineales en los yi de una estadística τ = a1α + a2β,
la estimación de los mínimos cuadrados
τ̂ = a1α̂ + a2β̂
es la de varianza mínima.
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Clase 2
Estimación de σ 2
Entonces tiene sentido hacer la estimación de mínimos cuadrados, además porque α̂ y β̂ son también estimadores de máxima
verosimilitud y por esto son esos de varianza mínima.
i
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II-15
II-14
Propiedades estadísticas
Corolario 1. (a1 = 0, a2 = 1). El estimador de los mínimos cuadrados de β es, entre todos los estimadores lineales en yi, el de
varianza mínima.
Corolario 2. (a1 = 1, a2 = 0). El estimador de los mínimos cuadrados de α es, entre todos los estimadores lineales en yi, el de
varianza mínima.
Corolario 3. (a1 = 1, a2 = x). El estimador de los mínimos
cuadrados de ηx es, entre todos los estimadores lineales en yi, el
de varianza mínima.
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Si el modelo es correcto, o sea si E(y | x) = ηx es lineal en x,
entonces se espera que los residuos ei = yi − η̂xi nos informen
solo sobre los errores,o sea sobre σ 2. Resulta
SSe =
=
=
�
i
�
i
(yi − η̂xi )2 =
�
i
(yi − α̂ − β̂xi)(yi − α̂ − β̂xi)
(yi − α̂ − β̂xi)yi − α̂ (yi − α̂ − β̂xi)
− β̂ (yi − α̂ − β̂xi)xi
�
(4)
i
�
i
�
(yi − α̂ − β̂xi)yi = Syy − (α̂Sy + β̂Sxy ) = SSt − SSr
pues α̂ y β̂ resuelven las ecuaciones normales.
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II-16
Clase 2
Propiedades estadísticas
Bajo el resultado de (4)
Clase 2
De las ecuaciones normales resulta
SSe = Syy − (α̂Sy + β̂Sxy ) = SSt − SSr
a la suma Syy de los cuadrados de los yi se la llama SSt, suma de
cuadrados total, mientras que a la suma SSr de las estimaciones
se la llama suma de cuadrados de la regresión.
SSr = α̂Sy + β̂Sxy = nα̂2 + 2Sxα̂β̂ + Sxxβ̂ 2 =
= �i(α̂ + β̂xi)2 = �i η̂x2 i = Sη̂ η̂
lo que justifica el nombre de suma de cuadrados de la regresión.
Su esperanza vale
E(SSr ) = n σ 2  n1 + Sx̄ẋ2ẋ  + α̂2 +

La descomposición dice que se puede calcular la suma de los cuadrados de los residuos empezando con las observaciones, de las
estimaciones de los parámetros y de los términos de derecha de
las ecuaciones normales. Esto permite calcular la esperanza y la
varianza de SSe : E(SSe) y V (SSe).
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Clase 2
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II-17
Propiedades estadísticas
Por tanto la esperanza de SSe:



2
2
+2nx̄ − σSẋx̄ẋ + α̂β̂  + Sxx  Sσẋẋ + β̂ 2
= 2σ 2 + (nα2 + 2Sxαβ + Sxxβ 2)




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

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Clase 2
II-18
Propiedades estadísticas
Introducimos el error cuadrado promedio
E(SSe) = �i E(yi2) − SSr
= �i(σ 2 + (α + βxi)2) − E(SSr )
= nσ 2 + (nα2 + 2Sxαβ + Sxxβ 2)
−(2σ 2 + (nα2 + 2Sxαβ + Sxxβ 2))
= (n − 2)σ 2.
M Se =
su esperanza vale
Al factor n − 2 se lo conoce como los grados de libertad del error.
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Propiedades estadísticas
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II-19
SSe
=
n−2
�
i(yi − η̂i)
n−2
2
,
E(M Se) = σ 2
así que M Se es un estimador insesgado de σ 2, bajo la hipótesis
que el modelo es correcto, o sea que la regresión se lo es.
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II-20
Clase 2
Propiedades estadísticas
Análisis de varianza del modelo
Resulta que la suma de cuadrados total se comparte en dos,
SSt = SSr + SSe
una de las cuales informa sobre los parámetros de la funcion de
regresión y la otra sobre los errores.
Los elementos de esta partición se suelen representar en una tabla
de análisis de varianza como
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Clase 2
2
x
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xx
2
II-21
El modelo lineal centrado
El modelo lineal centrado sobre x
yi
E(εi)





V
(εi)









 ε y ε
i
j
= α + β x̄ + (βxi − β x̄) + εi = ϕ + βwi + εi
= 0
= σ2
independientes por cada i �= j
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Se puede comprender los grados de libertad como sigue: antes de
ver los datos, n yi son libres en el espacio Rn. La solución de los
mínimos cuadrados a las ecuaciones normales son dos restricciones
para calcular α̂ y β̂, que se encuentran en un sub-espacio de Rn
de dimensión 2. Por esto, las cantidades ei = yi − ηi se encuentran
en el sub-espacio complemento de dimensión n − 2, solución de las
ecuaciones normales.
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Clase 2
II-22
El modelo lineal centrado
La solución des los mínimos cuadrados
A menudo, el interés solo se centra en el parámetro β, y en este caso
se vuelve a una versión centrada del modelo lineal que consiste
en centrar los xi alrededor de su promedio. Una vez introducida
la variable centrada wi = xi − x̄, con �i wi = 0, se puede
rescribir el modelo como sigue:
















Propiedades estadísticas
La tabla de análisis de varianza nos muestra que las esperanzas de
los cuadrados medios de la regresión y de los errores coinciden si
α = β = 0. Por tanto se pueden utilizar para saber como contestar
la pregunta � ¿ serían α = β = 0? � .
Grados de Sumas de Cuadrados Esperanza de los
cuadrados medios
libertad cuadrados
medios
F uente
E(M S)
(DF )
(SS)
(M S)
Regresión
2
SSr
SSr / 2
σ + (nα + 2S αβ + S β )/2
Error
n−2
SSe
SSe/(n − 2)
σ2
T otal
n
SSt
2
Clase 2
II-23
Se obtiene minimizando SSE (ϕ, β).











∂SSe (ϕ, β)
∂ϕ
∂SSe (ϕ, β)
∂β
= − 2 �i(yi − ϕ − βwi) = 0
= − 2 �i(yi − ϕ − βwi)wi = 0
que, teniendo en cuenta el centrado de los wi deja las ecuaciones




nϕ̂ = Sy

normales en ϕ, β, esta vez simplificadas, deja 
cu S
ww β̂ = Swy






S








ϕ̂ = ny = ȳ

 α̂ = ȳ − β̂ x̄
ya solución 
es
igual
a
la solución

Sẋẏ

S

wy





β̂ = Sww

 β̂ =
Sẋẋ
no centrada.
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II-24
Clase 2
El modelo lineal centrado
Las estadísticas de los estimadores
y por tanto
�
η̂w = ϕ̂ �+ β̂w =� �i yni + �i ciyiw
= �i � n1 + wci yi
�
= �i n1 + (x − x̄)ci yi = η̂x
E(β̂) = β y V (β̂) =
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Clase 2
E(ϕ̂) = E(ȳ|xi) =
�
i(ϕ + β̂wi)
n
=
�
iϕ
n
+
β̂ �
w = ϕ
ni i
y que su varianza vale
V (ϕ̂) = V (ȳ) =
σ2
.
n
σ2
σ2
=
.
Sww
Sẋẋ
"Clase 2".tex
II-25
El modelo lineal centrado
Finalmente,
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Clase 2
II-26
El modelo lineal centrado
Si ahora se calcula la covarianza entre ϕ̂ y β̂, de
E(η̂w ) = E(ϕ̂ + β̂x) = E(ϕ̂) + E(β̂)w = ϕ + βw = ηw
y su varianza es
(β̂ − β) =
�
i
ci(yi − ηi) y (ϕ̂ − ϕ) =
�
j (yj − ηj )
n
resulta
V (η̂w ) = V (ϕ̂ + β̂w) = V i n1 +wci
�
�
2
= �i n1 + wci V (yi) = σ 2  n1 +


2
= σ 2  n1 + (x S−ẋẋx̄) 
�
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El modelo lineal centrado
Luego, resulta que la esperanza de ϕ̂ vale:
Para definir las esperanzas y las varianzas de los estimadores ϕ̂, β̂
y η̂x , se expresa β̂ como combinación lineal de los yi, β̂ = �i ciyi,
i = xi−x̄ , así que resulta
donde ci = Swww
Sẋẋ
�
Clase 2
�
�
"Clase 2".tex
�
yi
�
(ϕ̂ − ϕ)(β̂ − β) = n1 �(yj − ηj ) �i ci(yi − ηi)
= n1 �i ci(yi − ηi)2 +
+ n1 �i �ji�=j cj (yi − ηi)(yj − ηj )
w2 
Sww

Tomando las esperanzas, el primero cuadrado vale (E(ei))2 +
V (ei) = σ 2 y el último término vale cero, por el tema de la
independencia de los yi;
II-27
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"Clase 2".tex
II-28
Clase 2
El modelo lineal centrado
E((ϕ̂
− ϕ)(β̂ − β))�
�
�
�
1 E � c (y − η )2 = 1 � c E (y − η )2
i i i
i
i
i
n
n i i
σ2 � c = 0
n i i
Entonces, al contrario de α̂ y β̂, los estimadores ϕ̂ y β̂ son no
correlacionados. Claro que hay una la relación entre α̂ y ϕ̂ yá que
solo se hice una traslación de la origen al promedio de los x.
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Clase 2
II-29
El modelo lineal centrado
2

2
i(yi − η̂xi ) y se
SSe = SSt − SSr = Syy − (ϕ̂Sy + β̂Swy )
donde la suma de los cuadrados de la regresión resulta compartida
en dos, una parte dependiendo solo de ϕ̂ y la otra solo de β̂.
Acordamos aquí que estas dos partes pueden escribirse de manera
diferente, o sea ϕ̂Sy = nϕ̄2 = nȳ 2 y β̂Swy = β̂Sẋẏ = β̂ 2Sẋẋ.
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Clase 2
"Clase 2".tex
II-30
El modelo lineal centrado
Si la afirmación � β = 0 � es verdadera, resulta
2
= 2σ 2 + nα2 + 2Sxαβ + Snx β 2 + β 2Sẋẋ
= 2σ 2 + nα2 + 2Sxαβ + Sxxβ 2
"Clase 2".tex
�
Grados de Sumas de Cuadrados Esperanza de los
cuadrados medios
libertad cuadrados
medios
F uente
E(M S)
(DF )
(SS)
(M S)
ϕ̂
ϕ̂Sy
ϕ̂Sy
1
ϕSy + σ 2
1
βSwy + σ 2
β̂
β̂Swy
β̂Swy
Error
n−2
SSe
SSe/(n − 2)
σ2
T otal
n
SSt
= 2σ 2 + n α + β Snx  + β 2Sẋẋ

Para calcular E(SSe), se desarrolla SSe =
encuentra
Análisis de varianza del modelo centrado
Se pueden calcular también las esperanzas, que resultan
E(ϕ̂Sy ) = E(nȳ 2) = n(E ȳ)2 + V (ȳ)) =
2
= nȳ 2 + n σn = ϕ̂Sy + σ 2
E(β̂Swy ) = E(β̂ 2Sww ) = Sww (E(β̂)2 + V (β̂))
2
= Sww β 2 + Sσww  = β 2Sww + σ 2 =
= βSwy + σ 2
y por tanto
E(SSr ) = E(ϕ̂Sy + β̂Swy ) = 2σ 2 + ϕSy + βSwy
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El modelo lineal centrado
La análisis de los residuos
por tanto resulta
cov(ϕ̂, β̂) =
=
=
Clase 2
E(β̂Swy ) = E(M Se) = σ 2.
II-31
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II-32
Clase 2
El modelo lineal centrado
A menudo, cuando no interesa ϕ, centrando los yi resulta que
SSe = SSt − SSr = Syy − ϕ̂Sy − β̂Swy =
= Syy − nSy 2 − β̂Swy = Sẏẏ − β̂Swy
y empleando la suma de los cuadrados centrados
Clase 2
El modelo lineal centrado
Sumas de
Cuadrados Esperanza de los
cuadrados medios
Grados de
cuadrados
medios
E(M S)
F uente libertad(DF )
(SS)
(M S)
β̂
β̂Swy
1
SSr (β) = β̂Swy
βSwy + σ 2
Error
n−2
SSe
SSe/(n − 2)
σ2
T otal
n−1
SSṫ
SSṫ = Sẏẏ y SSr (β) = β̂Swy
se consigue finalmente
SSṫ = SSr (β) + SSe
En la tabla siguiente, se sintetizan estos resultados.
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Clase 2
II-33
El modelo lineal centrado
Lima, 16/05/2015
Clase 2
Como
Se puede definir SSr (β) = β̂Swy como la suma de los cuadrados de la regresión adjunta debido a β, porque, escribiendo
SSe = SSe(α, β) se encuentra
se puede escribir
Aquí suponemos que los yi son independientes, tales que E(yi) =
ηi = α, y que V (yi) = σ 2. Buscando α con la estimación de los
mínimos cuadrados, su solución α̂ = ȳ se encuentra minimizando
SSe(α) = SSṫ = (yi − ȳ)2 = mı́n
(y − α)2
α i i
i
�
"Clase 2".tex
SSr (β) = SSe(α) − SSe(α, β),
E(α̂) = E(ȳ) = α y V (α̂) = E( (yi − ȳ)2) = (n − 1)σ 2
�
i
SSr (β) = SSṫ − SSe(α, β)
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II-34
El modelo lineal centrado
Comparación de modelos
�
"Clase 2".tex
que muestra que la suma de los cuadrados debido a β es en efecto
la parte de la suma de cuadrados de la regresión que resulta incluyendo β en el modelo solo con α. Es evidente que, si β �= 0, con
su inclusión en el modelo, la suma de los cuadrados del modelo se
reduce, pues resulta que
SSe(α, β) = SSe(α) − SSr (β)
II-35
Lima, 16/05/2015
"Clase 2".tex
II-36
Clase 2
El modelo lineal centrado
Clase 2
El modelo lineal centrado
La calidad del modelo
Notese que
Como claramente SSṫ > SSe, resulta
SSr (β̂)
β̂Swy
Sẋẏ 2
=
=
SSṫ
Sẏẏ
SẋẋSẏẏ
donde su raíz cuadrada
r2 =
SSe
SSr (β̂)
= 1 −
= 1 − r2
SSṫ
SSṫ
A r2 se lo llama coeficiente de determinación, con : 0 ≤ r 2 ≤ 1.
1. r2 = 0 : como SSe = (1 − r 2)SSṫ , resulta SSe = SSṫ y no
2.
3.
interesa β, porque el error no disminuye de ηx = ϕ = ȳ.
r2 → 1 : SSe se reduce y el modelo sigue siendo más eficaz.
r2 = 1 : SSe = 0 : todas las observaciones están sobre la
recta de regresión: así la relación entre x y y es funcional.
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Clase 2
II-37
El modelo lineal centrado







α̂ = ȳ�− β̂ x̄
�
�
�
�
S
β̂ = r Sẋẏẏẋ
pues















α̂� = x̄�− β̂ �ȳ
�
�
β̂ � = r�� SSẋẏẏẋ
Desde el punto de vista del cálculo, α̂ y β̂ solo dependen de los
promedios de las variables y de su coeficiente de correlación. Por
tanto se calcula igualmente la regresión de x sobre y.
Lamentablemente, ningún modelo de regresión es suficiente para
afirmar la existencia de relaciones causales entre las variables, ni
tampoco el sentido de dichas relaciones.
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Sẋẋ
=
Sẏẏ
Sẋẏ
SẋẋSẏẏ
�
A r se lo llama coeficiente de correlación y varia entre -1 y 1.
r es negativo cuando los xi y los yi tienen una variación opuesta.
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Clase 2
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II-38
Inferencia del modelo lineal
Inferencia del modelo lineal
Conociendo previamente r, resulta que








r = β̂
�
�
�
�
�
�
�
�
�
II-39
¿Como se pueden utilizar las estadísticas que resultan de la estimación de mínimos cuadrados del modelo?
Se necesita una hipótesis adicional, más precisamente la distribución D.
Se impondrá que la distribución de y dado x sea normal y independiente, solo así pudiendose efectuar los test admitidos bajo
esta hipótesis. También tiene que imponerse que los y sean no
correlacionados.
Dado x, y = DN I(α + βx, σ 2)
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II-40
Clase 2
Inferencia del modelo lineal
Teorema. Dado un conjunto de variables aleatorias yi, i =
1, . . . , n con distribución normal e independientes para x i dato, la
distribución conjunta del estimador de mínimos cuadrados (α̂, β̂)
de (α, β) es la distribución normal bivariada, cuya función de densidad vale
√
nSẋẋ −T (α,β)
F (α, β) =
e 2σ2
2πσ 2
donde
T (α, β) = n(α̂ − α)2 + 2Sx(α̂ − α)(β̂ − β) + Sxx(β̂ − β)2
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Clase 2
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II-41
Inferencia del modelo lineal
Corolario. La variable aleatoria T (α, β) tiene una distribución
T = σ 2 χ2 2
E(α̂) = α,
E(β̂) = β,
2
V (α̂) = σ 2  n1 + Sx̄ẋẋ 
2
V (β̂) = Sσẋẋ


y que (α̂, β̂) tenga una distribución independiente de SSe, cuya
distribución es
SSe = σ 2χ2n−2
y por tanto también
M Se = SSe/(n − 2).
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Clase 2
II-42
Inferencia del modelo lineal
Definimos ahora τ̂ = a1α̂ + a2β̂.
Corolario. La variable aleatoria τ̂ tiene una distribución normal
(a − a1x̄)2 
a 2

τ̂ = N τ, σ 2 1 + 2


n
Sẋẋ
T (α, β)/2
= F2,n−2
SSe/(n − 2)
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Esto implica que














independiente de SSe y M Se. Por tanto, introduciendo el desvío
standard de τ̂ (en inglés standard deviation, SD),
tiene una distribución de Fisher-Snedecor con 2 y n − 2 grados de
libertad.
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Inferencia del modelo lineal

y es independiente de SSe y M Se. Por tanto
F =
Clase 2
II-43
�
SD(τ̂ ) = V (τ̂ ) =
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√
M Se
�
�
�
�
�
�
�
�
�
(a − a1x̄)2
a1 2
+ 2
n
Sẋẋ
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II-44
Clase 2
Inferencia del modelo lineal
y considerando que M Se es un estimador de σ 2, se encuentra que
τ̂ − τ
= tn−2
SD(τ̂ )
sigue una ley t de student con n − 2 grados de libertad. Fijado un
nivel de probabilidad π se puede rechazar la hipótesis
Clase 2
Esto teorema y su dos corolarios nos permiten utilizar las estadísticas que se construyeron en el capítulo precedente para testar la
calidad de los resultados.
En primero lugar, se define el intervalo de confianza para σ 2:







H0 : τ = τ 0
si resulta que






τ̂ − τ0
> tn−2;π/2
SD(τ̂ )
y definir el intervalo de confianza de τ a nivel de 1 - π como


Inferencia del modelo lineal
�
�
�
�
�
σ 2 ��
�
�
�
�
SSe
χ2n−2;π/2







SSe
≤ σ2 ≤
χ2n−2;1−π/2 



≤ τ ≤ τ̂ + SD(τ̂ )tn−2;π/2
τ |τ̂ − SD(τ̂ )tn−2;π/2
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Clase 2
II-45
Inferencia del modelo lineal
Testar la hipótesis falta de regresión
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Clase 2
La región de confianza para (α, β) es
�
o sea que el promedio de la distribución en el punto x = xi es
ηi = α 0 + β 0 x i .
Si H0 es verdadera, se puede emplear el test
T (α0, β0)/2
≥ F2,n−2,π
(5)
M Se
ya que en este caso resulta F = F2,n−2. Por tanto se rechaza H0
a nivel de significatividad π si F ≥ F2,n−2,π .
F =
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II-46
Inferencia del modelo lineal
H0 : α = α 0 y β = β 0
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"Clase 2".tex
II-47
(α, β)|T (α, β) ≤ 2M SeF2,n−2;π
�
es una elipse centrada en (α̂, β̂). En particular, para testar la hipótesis
H0 : α = 0 y β = 0
se usa el test
F =
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M Sr
T (0, 0)/2
=
≥ F2,n−2,π
M Se
M Se
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II-48
Clase 2
Inferencia del modelo lineal
Se usa anchar la tabla de análisis de varianza incluyendo a las columnas del valor F encuentrado y su probabilidad asociata:
F uente
DF SS
MS
Regresión
2
SSr
M Sr
Error
n − 2 SSe SSe/(n − 2)
T otal
n SSt
E(M S)
σ 2 + (nα2 + 2Sx αβ + Sxx β 2 )/2
σ2
pvalue
F
M Sr /M Se
p
Clase 2
Inferencia del modelo lineal
Para testar la hipótesis
H0 : β = β 0 ,
como resulta
SD(β̂) =
se consigue el teste
�
�
�
�
�
�
�
�
M Se
Sẋẋ
β̂ − β0
> tn−2;π/2
SD(β̂)
y el interval de confianza




≤ β ≤ β̂ + SD(β̂)tn−2;π/2
β|β̂ − SD(β̂)tn−2;π/2
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"Clase 2".tex
Clase 2
II-49
Inferencia del modelo lineal
Para testar la hipótesis
se consigue el teste
�
�
�
�
�
�
�
�
�


M Se 
SD(η̂) =
x̄2 
1

+
n
Sẋẋ 

se consigue el teste
�
�
�
�
�
�
�
�
�
como resulta
1
(x − x̄)2 

M Se
+ 0
n
Sẋẋ 







y el intervalo de confianza es


y su interval de confianza


α|α̂ − SD(α̂)tn−2;π/2 ≤ α ≤ α̂ + SD(α̂)tn−2;π/2 .
"Clase 2".tex
η̂ = η0
η̂ − η0
> tn−2;π/2
SD(η̂)
α̂ − α0
SD(α̂) > tn−2;π/2
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II-50
Inferencia del modelo lineal
Para testar la hipótesis
SD(α̂) =

"Clase 2".tex
Clase 2
H0 : α = α 0
como resulta


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II-51



η|η̂ − SD(η̂)tn−2;π/2 ≤ η ≤ η̂ + SD(η̂)tn−2;π/2
Se puede observar que el ancho del intervalo de confianza crece si
x se aleja del promedio y aumenta con V (x).
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II-52
Clase 2
Inferencia del modelo lineal
Necesitamos observar que puede ser que ambos α y β se encuentran cada uno en su intervalo de confianza pero que el par no se
encuentra en el elipse de la región de confianza.
En esto caso tiene que pedirse cual es el objetivo del estudio:
si se va a buscar β, entonces solo interesa esto y por tanto
su intervalo de confianza;
si al contrario nos interesa α y β, será necesario limitarse
dentro de la región de confianza.
Clase 2
La falta de ajuste
La falta de ajuste del modelo lineal
En todo lo que precede, se hizo la hipótesis que la relación
entre x y y era conocida como lineal o esta era una buena
aproximación lineal.
En realidad es importante de comprobar que la relación entre
entre x y y sea lineal y se necesita por tanto averiguar lo que
se llama la falta de ajuste del modelo lineal.
Por cada xi, la recta de regresión pasa por el punto
ηxi = E(yi|xi)
que corresponde al promedio de los yi que se encuentran en
correspondencia del valor xi.
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Clase 2
II-53
La falta de ajuste
Si la relación que se trata como lineal no es tal, ninguna recta
va pasar para todos los promedios.
En consecuencia M Se, el estimador de la varianza disponible
para σ 2, que depende del modelo empleado mediando los
desvíos por respecto de puntos diferentes del promedio, va
sobreestimar la varianza.
Entonces se trata de estimar la varianza de los yi de una
otra manera y comparar las dos.
Para una medida de la varianza de los yi se necesitan po a
lo menos uno de los xi correspondientes por lo menos a dos
medidas yi1 y yi2, aunque para una buena estimación claro
que seria preferible conocer diversos valores yij por cada xi.
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II-55
Lima, 16/05/2015
"Clase 2".tex
Clase 2
II-54
La falta de ajuste
Supongamos por tanto haber elegido m > 3 valores xi, i =
1, 2, ..., m y por cada uno haber medido ni valores yij , j =
1, 2, ..., ni con la menos uno ni > 1. Los estimadores de mínimos cuadrados se pueden calcular como siempre, mientras
las fórmulas se pueden escribir de manera diferente.
De hecho, si �m
i=1 ni = n se tiene



































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x̄ =
�
ȳ =
�
m nx
i=1 i i
n
m �n i y
i=1 j=1 ij
n �m =
= i=1nniȳi.
�
�n i
m n j1 yij
i=1 i ni
"Clase 2".tex
n
II-56
Clase 2
La falta de ajuste
y la solución de mínimos cuadrados resulta
















α̂ = ȳ − β̂ x̄
S
β̂ = sẋẋẋẏ =







=








�
ni
�n i
j=1 (yij −ȳi.)+ j=1 (ȳi.−ȳ)
sẋẋ
�m
i=1 ni(xi−x̄)(ȳi.−ȳ)
sẋẋ
�
m (x −x̄)
i=1 i
�
�
=
Igualmente, la suma de los cuadrados de los residuos vale
SSe =
n�i
m
�
i=1 j=1
(yij − η̂i)2
Si la regresión no es lineal, entonces los yij informan sobre
los valores verdaderos y η̂ solo informa sobre la linealidad.
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Clase 2
II-57
La falta de ajuste
En dicho análisis de varianza el término de error es la
suma de los cuadrados intra SSW .
Grados de
Sumas de cuadrados
Cuadrados
Fuente
libertad (DF)
(SS)
medios (MS) E(MS)
2
Inter
m−1
SSB = �m
SSB /(m − 1)
i=1 ni (ȳi . − ȳ)
�
�m �ni
Intra n − m = (nj − 1) SSW = i=1 j=1(yij − ȳi.)2 SSW /(n − m)
σ2
�
�m �ni
2
Total
n − 1 = nj − 1 SST = i=1 j=1(yij − ȳ)
Se observa que la relación SST = SSB + SSW resulta pues
ni
m �
�
i=1 j=1
(yij − ȳ)2 =
=
=
ni
m �
�
i=1 j=1
ni
m �
�
i=1 j=1
ni
m �
�
i=1 j=1
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((yij − ȳi.) + (ȳi. − ȳ))2 =
(yij − ȳi.)2 +
2
ni
m �
�
i=1 j=1
m
�
(yij − ȳi.) +
i=1
(ȳi. − ȳ)2 + 2
ni(ȳi. − ȳ)
m
�
i=1
(ȳi. − ȳ)
ni
�
j=1
(yij − ȳi.) =
2
"Clase 2".tex
II-59
Clase 2
La falta de ajuste
por esto SSe además que informar sobre σ 2 tiene que informar también sobre el desvío a la linealidad de la función
verdadera y sera mas grande que σ 2.
Como se repitieron algunas medidas para los mismos xi se
está en condición de medir σ 2 y por tanto de comprobar su
diferencia con SSe.
Para esto se hace una análisis de varianza sobre los datos,
compuestos de m grupos de ni observaciones bajo la asunción que las esperanzas de los y en cada grupo resultan de
la recta de regresión
E(yij |xi) = α̂ + β̂xi , i = 1, 2, ..., m
si bien que se duda que esas sean diferentes.
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Clase 2
II-58
La falta de ajuste
SSW , suma de cuadrados intra solo informa sobre σ 2, pues
es formada de sumas de desvíos al promedio en cada grupo.
Como en cada grupo los y tienen una distribución independiente e idéntica, con promedio
ηxi = E(yi|xi)
y varianza V (yij ) = σ 2, resulta

m n�i

m

�
E(SSW ) = E
(yij − ȳi.)2 = σ 2 (ni−1) = σ 2(n−m)
i=1 j=1
i=1
 �



Por tanto M SW = SSW /(n−m) es un estimador insesgado
de σ 2, que no depende del modelo de regresión.
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"Clase 2".tex
II-60
Clase 2
La falta de ajuste
Ahora, como ya se hizo una regresión lineal, se puede compartir
SSB , con m − 1 grados de libertad, en dos partes:
una SSR(β) que resulta de la regresión,
y una otra, que se va indicar con SSM con m − 2 grados de
libertad, así que
SSM = SSB − SSr (β)
con
E(SSM ) = (m − 2)σ 2 + Λ2
la esperanza de SSM vale Λ2 = 0 si la hipótesis de linealidad
es correcta.
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Clase 2
II-61
La falta de ajuste
Por tanto se puede no aceptar la hipótesis de linealidad a nivel de
significatividad π si
FM =
M SM
> Fm−2,n−m;π
M SW
y aceptarla en caso contrario. Integrando el test a la tabla:
pFuente
DF
SS
MS
E(M S)
F
value
Inter
1
SSr (β) SSr (β) σ + β S + g(Λ)
Regresión
Λ2
Inter falta (m − 2) SSM M SM σ 2 + (m−2)
M SM /M SW
p
2
Intra
n − m SSW M SW
σ
Total
n−1
SST
2
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2
ẋẋ
α
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II-63
Clase 2
La falta de ajuste
Por tanto se reconstruye la tabla de análisis de varianza como:
Gr. lib.
Sumas de
Cuadr. med. Esperanza c.m.
(DF)
cuadrados (SS)
(MS)
Fuente
E(MS)
Inter
1
SSr (β)
SSr (β)
σ 2 + β 2Sẋẋ + g(Λ)α
Regresión
Λ2
Inter falta (m − 2) SSM = SSB − SSr (β)
M SM
σ 2 + (m−2)
�
Intra
n − m SSW = ij (yij − ȳi.)2
M SW
σ2
Total
n−1
SST = �ij (yij − ȳ)2
Para testar el ajuste del modelo, bajo la hipótesis de normalidad
de la distribución de los yij , si el modelo es lineal, la proporción
entre M SM y M SW tiene una distribución F con m − 2 y n − m
grados de libertad.
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Clase 2
II-62
La falta de ajuste
Se puede dejar la tabla de análisis de varianza de la regresión considerando compartido SSe en lugar de SSB , porque
resulta
SST = SSr (β) + SSe
SSe = SSM + SSW
Si la hipótesis de linealidad no es aceptada, cualquier relación no lineal puede ser comprobada.
Sin observaciones repetidas, es necesario observar la distribución de los residuos sobre gráficos de dispersión en respecto a
x y η̂: si se distribuyen regularmente en una cinta alrededor
de la recta horizontal e = 0, se pueden aceptar las hipótesis
hechas, en particular homocedasticidad y linealidad.
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"Clase 2".tex
II-64
Clase 2
La predicción
La predicción
Un modelo de regresión se puede emplear para estimar datos y
correspondientes a valores x que pero no se midieron.
Claro que se supone que los parámetros del modelo ya fueron
estimados y las hipótesis necesarias ya fueron testadas, inclusivo
del ajuste.
Por tanto se piensa a un modelo lineal
E(y | x) = ηx = α + βx
η̂x = α̂ + β̂x.
"Clase 2".tex
Clase 2
Ahora se quiere pronosticar y, o sea se quiere estimar un nuevo valor de y cuando x = x0, donde y será medido independientemente
de los datos utilizados en la regresión.
Por esto se va buscando un predictor adecuado ỹx0 de una respuesta Y observada en correspondencia del valorx = x0, sobre la base
de la información contenida en la muestra {(xi, yi)}, i = 1, ..., n.
Parece razonable utilizar como predictor
ỹx0 = α̂ + β̂x0
E(ỹx0 | (xi, yi), i = 1, 2, ...n) = E(y | x0) = ηx0 = α + βx0.
II-65
La predicción
La elección de ỹx0 se basa en el hecho que su desvío entre el valor
pronosticado y observado es mínimo, en fórmulas
E((ỹx0 − y)2 | (xi, yi), i = 1, 2, ...n) =
2
2
= E((ỹ
x0 − ηx0 ) |(xi, yi), i = 1, 2, ...n) + E((y − ηx0 ) |x0) =

2

= σ 2 1 + n1 + (x0S−x̄)

ẋẋ
dado que el producto cruzado es cero por la independencia de y
de ỹx0 .
Por el teorema de Gauss el primer término es mínimo entre todos
los predictores de V (ηx0 ), lineal en los yi, y el segundo claramente
que vale σ 2.
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"Clase 2".tex
II-67
"Clase 2".tex
Clase 2
II-66
La predicción
El desvío estandar del predictor es
SD(ỹx0 ) =
�
�
�
�
�
�
�
�
�
(x − x̄)2 
1
,
M Se 1 + + 0
n
Sẋẋ 







y se puede testar la hipótesis nula
H0 : ỹx0 = y0
a través de
ỹx0 − y0
> tn−2;π/2
SD(ỹx0 )
y el intervalo de confianza es



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La predicción
en tanto que su esperanza, como y es independiente de la muestra,
es
cuyos parámetros ya fueron estimados, así que resulta
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Clase 2


y|ỹx0 − SD(ỹx0 )tn−2;π/2 ≤ y ≤ ỹx0 + SD(ỹx0 )tn−2;π/2
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"Clase 2".tex
II-68
Clase 2
Ejemplo
Clase 2
Ejemplo
Paí s
Tajo urbano x IDH y
Argentina
86
0.833
Bolivia
51
0.394
Brasil
75
0.739
Chile
86
0.863
Colombia
70
0.758
Ecuador
56
0.641
Guyana
35
0.539
Panamá
54
0.731
Paraguay
48
0.637
Perú
70
0,600
Suriname
48
0,749
Uruguay
86
0.880
Venezuela
84
0,824
Suma
849
9.188
Promedio
65.308
0.707
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II-69
Clase 2
Ejemplo
Para las variables estan las estadísticas siguientes:
Estadística
Mínimo
Máximo
Moyenne
Total
Suma de cuadrados
Cuadrados centrados
Varianza
Desvío estándar
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Ejemplo
x
35
86
65.308
849
59155
3708.767
285.2898
16.89052
y
0.394
0.88
0.70615
9.188
6.730488
0.2366924
0.0182071
0.1349337
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Lima, 16/05/2015
"Clase 2".tex
Clase 2
II-70
Ejemplo
donde se construye la tabla de análisis de varianza del modelo siguiente:
xy
Gr. lib.
Fuente
(DF)
Regresión
2
Error
11
Total
13
622.094
22.0469
1.6959
0.74412
Sumas de
cuadrados Cuadrados
F
Probabilidad
medios (MS)
(SS)
6.6248540
3.3124270 344.9337049 0.0000000
0.1056339
0.0096031
6.7304880
El valor de F obtenido tiene que compararse con el valor de
referéncia F2,11;,05 = 3, 9822: en este caso por tanto, la regresión
tiene sentido.
II-71
Lima, 16/05/2015
"Clase 2".tex
II-72
Clase 2
Ejemplo
La estimación de α y β es la siguiente:
Los valores t encontrados deben ser comparados a los valores de
la función t de student con 11 grados de libertad, correspondiendo
a la probabilidad de 0,025, que vale 2,201. Entonces, ambas estimaciones son significativas a nivel de 5 %. La covarianza entre α
y β vale −.0001691.
"Clase 2".tex
Clase 2
II-73
Ejemplo
Como hay repeticiones de valores de y con respecto al mismo valor
de x, se puede comprobar si ay falta de ajuste lineal.
Precisamente, hay
- tres observaciones para x = 86, con SS = 0,00113267,
- dos para x = 70, con SS = 0,012482 y
- dos para x = 48, con SS = 0,006272.
Entonces, resulta SSw = 0, 01988667, donde la tabla de análisis
de varianza por la falta de ajuste es:
Lima, 16/05/2015
"Clase 2".tex
Ejemplo
La tabla de análisis de varianza con interés sobre β es la siguente:
Estimación Desvío estándar t
p-value
beta 0.005945
0.00160912
3.69426936 0.001768371
alpha 0.31854511 0.10854596
2.934656
0.006788444
Lima, 16/05/2015
Clase 2
II-75
Grados de
libertad
Fuente
(DF)
β
1
Error
11
Total
13
Sumas de
cuadrados Cuadrados
F
Probabilidad
medios (MS)
(SS)
0.1310587
0.1310587 13.6475641 0.0035366
0.1056339
0.0096031
0.2366924
Se observa que F1,11;,05 = 4, 8442.
El coeficiente de determinación R2 vale .5537090, así que la correlación entre x y y es .7441162.
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"Clase 2".tex
Clase 2
Grados de
libertad
Fuente
(DF)
SSb
8
SSr(β)
1
SSm
7
SSw
4
SSt
12
II-74
Ejemplo
Sumas de
cuadrados Cuadrados
F
Probabilidad
(SS)
medios (MS)
0.21681
0.02710071 5.4510302
0.0595
0.13105879 0.13105879
0.08574685 0.01224955 2.4638719
0.2006
0.01989
0.00497167
0.23669
El segundo valor de F es lo que nos interesa (el primero no tiene
interés en este caso) y tiene que ser comparado conF7,4;0,5 = 6, 09.
Se puede concluir aceptando la hipótesis nula que hay ajuste lineal.
Lima, 16/05/2015
"Clase 2".tex
II-76
Clase 2
Ejemplo
Nótese que programar la falta de linearidad no es fácil en R. Por
tanto se sugiere de emplear la misma función del modelo lineal lm
una vez normalmente y una otra tratando x como factor. En este
caso el resíduo es efectivamente la estimación de la varianza σ 2
que se va buscando. Para el teste se usa la función anova
fm <- lm(y~x)
#
lfm<-lm(y~factor(x))
#
anova(fm,lfm)
Analysis of Variance Table
#
Model 1: y ~ x
Model 2: y ~ factor(x)
Res.Df
RSS Df Sum of Sq
F
1
11 0.107634
2
4 0.020117 7 0.087517 2.486
modelo lineal
modelo factorial
Ejemplo SudAmerica (solo 2 decimales)
Pr(>F)
0.1982
En este caso, se acepta la linearidad, pues F no es significativo:
F = (M Sq/df )/(RSS/df ) = (0,087517/7)/(0,020117/4) = 2,486.
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"Clase 2".tex
Clase 2
II-77
Ejemplo
Gráfico de los datos con los valores estimados
Lima, 16/05/2015
"Clase 2".tex
Clase 2
Paí s
Argentina
Bolivia
Brasil
Chile
Colombia
Ecuador
Guyana
Panamá
Paraguay
Perú
Suriname
Uruguay
Venezuela
Sumas
xx
7396
2601
5625
7396
4900
3136
1225
2916
2304
4900
2304
7396
7056
59155
Ejemplo
xy
71.638
20.094
55.425
74.218
53.060
35.896
18.865
39.474
30.576
42.000
35.952
75.680
69.216
622.094
yy
0.69389
0.15524
0.54612
0.74477
0.57456
0.41088
0.29052
0.53436
0.40577
0.36000
0.56100
0.77440
0.67898
6.73049
η
0.830
0.622
0.764
0.830
0.735
0.651
0.527
0.640
0.604
0.735
0.604
0.830
0.818
9.188
η2
0.68853
0.38653
0.58429
0.68853
0.53973
0.42437
0.27731
0.40902
0.36467
0.53973
0.36467
0.68853
0.66894
6.62485
SDη
0.04298
0.03562
0.03134
0.04298
0.02821
0.03103
0.05583
0.03271
0.03891
0.02821
0.03891
0.04298
0.04054
SD prev
0.10701
0.10427
0.10288
0.10701
0.10197
0.10279
0.11278
0.10331
0.10544
0.10197
0.10544
0.10701
0.10605
e
0.00322
−0.22772
−0.02539
0.03322
0.02334
-0.01044
0.0124
0.09145
0.03312
−0.13466
0.14512
0.05022
0.00611
0.00000
e2
0
0.05185
0.0006
0.0011
0.0005
0.0001
0.0002
0.00836
0.0011
0.01813
0.02106
0.00252
0
0.10563
DCook
0.000058
0.48193
0.00350
0.01540
0.00346
0.00081
00556
0.05898
0.01455
0.09010
0.24141
0.04069
0.00018
Para estimar los outliers
se utiliza la distancia de Cook
�
)
j (η̂j −η̂
Di = kM SEj(i)
con η̂j(i) la estimación hecha sin la observación i y k el número de
parametros. Como en este caso es más grande de 4/n = 0,30769,
la Bolívia si resulta ser un outlier pero no Suriname.
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"Clase 2".tex
Clase 2
II-78
Ejemplo
Gráfico de valores predictos y estimados
II-79
Lima, 16/05/2015
"Clase 2".tex
II-80
Clase 2
Ejemplo
Gráfico de resíduos contra Tajo de urbanización
Lima, 16/05/2015
"Clase 2".tex
Clase 2
Ejemplo
Gráfico de resíduos contra IDH
II-81
Lima, 16/05/2015
"Clase 2".tex
II-82