Representación y manipulación de árboles: búsqueda y recorrido

Árboles
Representación y
manipulación de árboles:
búsqueda y recorrido
= listas ramificadas
El grado del árbol refiere a la cantidad
(máxima) de ramos que sale de cada nodo.
El primer nodo se llama la raíz del árbol.
Los últimos nodos se llaman las hojas.
Los nodos que no son hojas se dicen
nodos de ruteo.
Si nodo a apunta a nodo b, a es padre de b
y b es hijo de a.
Dos nodos que comparten padre son
hermanos.
Orden de árbol
!
Cada nodo contiene un dato.
!
Para ordenamiento, se requiere una
función de precedencia y una regla de
orden del árbol.
!
La regla establece el orden relativo de los
datos del padre y sus hijos.
!
El grado de un nodo es la cantidad de
hijos que tiene.
!
En árboles ordenados, también el orden
de los hijos de un nodo se tiene que
fijar (de izquierda a derecha).
!
Depende de la aplicación si habrá datos
duplicados o si serán únicos todos.
Estructura típica de un nodo
Puntero a su padre
nulo si es raíz
x
Dato
<x
>x
Grado
cero si es hoja
Punteros a los hijos
en lista o arreglo
2k ≤ n < 2k+1.
} else {
ubicar(clave,
actual.izquierdo);
(6.4)
La altura
de un ramo
de un vértice v, es decir, un subárbol la raı́z de cual es v e
}
de v. La altura del árbol entero es la altura de su raı́z. Un árbol balanceado
binarios son una clase de árbol en uso muy común. En un árbol binario, cada
} árbol esta
caracterizar
como
un árbol con raı́z vr con A(vr ) = O (log n). La condición d
La condicióndos
que utilizamos
decidirsu
si ohijo
no unizquierdo
dado
se llama
ue no es una hoja tiene al máximo
vérticespara
hijos:
ybalanceado
su hijo
}
AVL
es
que
∀v
∈
V
la condición de balance AVL [2]; también existen otras condiciones. Para formular la
Para un ejemplo, ve la figura
6.3. hay
Si que
ningún
tiene
solamente un hijo, se
|A(izq(v)) − A(der(v))| ≤ 1.
condición,
definir lavértice
altura de un
vértice:
Árbol
binario
Altura y profundidad
!
el árbol está lleno.
1, si v es una hoja
Para
unas
cotas sobre
la
forma
del
árbol,esdefinimos además la profundid
igual a! kLa
− profundidad
1.
En derivar
este caso,
hojas
delde
árbol
(6.5) es de
de el
unnúmero
nodo
la cantidad
pasosnque
uno tiene que bajar
máx{A(izq(t)), A(der(t))} + 1, si vdesde
es vértice
delaruteo.
del
árbol:
!
raíz para bajar a ello: k
0, si
la raı́z
2D(v)
≤ n=< 2k+1
. v es la raı́z,
(6.4)
La altura de un ramo de un vértice v, es decir, un subárbol la raı́z de cual es v es la altura
D(v.P) + 1, en otro caso.
de v. La altura del árbol entero es la altura de su raı́z. Un
balanceado
se que
puede
! árbol
El conjunto
de nodos
tienen
la misma
profundidad
entre
ellos
se llama
unque
Laque
profundidad
del
árbol
entero
simplemente
máx
Aplica
D=A
La condición
utilizamos
para
decidir
si oesno
un dado árbol
esta
balanceado
se llama
v D(v).
caracterizar como un árbol con raı́z vr con A(vr ) = O (log n).
La condición de balance
nivel.
la condiciónDenotamos
de balancepor
AVL
también
existenen
otras
Para formular
la a
n el[2];
numero
de vértices
totalcondiciones.
y por H el numero
de hojas del
! La altura de un nodo es la cantidad máxima de pasos necesarios para subir a
hijo derecho
izquierdoAVL es que ∀v ∈ V
condición,
hay
que
definir
la
altura
de
un
vértice:
= 2k,
|A(izq(v)) − A(der(v))| ≤ 1. ello todo
desdenuna
hoja,tenemos
más(6.6)
uno:H = 2n − 1 y D = log2 n. Para ubicar a una clave a prof
!
toma exactamente
d pasos en el árbol, es decir, tiempo O (d). Entonces, para
1, si v es una hoja
A(v)
=
(6.5)
Para derivar unas cotas sobre la forma del árbol, definimos ademásperfectamente
la
profundidad
de cada de H hojas, se puede localizar una clave en tiempo
balanceado
máx{A(izq(t)), A(der(t))} + 1, si v es de ruteo.
vértice del árbol:
!
! La profundidad de un árbol es la O
profundidad
máxima
de sus
nodos.
0, si v es la raı́z,
(D) = O (log
O (log
. v es la altura
2 H)
2 n)es
La altura de un ramo de un vértice
la=raı́z
de cual
D(v)
(6.7)v, es decir, un subárbol
ramo derecho
de =la raı́z
D(v.P) + 1, en otro caso.
alturadel
de un
árbol
es la altura
su raíz.
de v. !LaLa
altura
árbol
entero
es la de
altura
de su raı́z. Un árbol balanceado se puede
CAP
ÍTULO
6.
ESTRUCTURAS
DE
DATOS
!
Aplica
como
un
árbol
con
raı́z
v
con
A(v
La profundidad del árbol entero es simplemente máxcaracterizar
D(v).
Aplica
que
D
=
A
−
1.
r
r ) = O (log n). La condición de balance
v
AVL
es
que
∀v
∈
V
! El balanceo
árbol Para
es la tarea de minimizar su altura.
Denotamos por n el numero de vértices en total y por H el numero
de hojasde
delunárbol.
|A(izq(v))
− A(der(v))| ≤ 1.
(6.6)
todo n = 2k, tenemos H = 2n − 1 y D = log n. Para ubicar a una clave a profundidad d
A(v) =
hijo
Figura 6.3: Un ejemplo de un árbol binario.2
toma exactamente d pasos en el árbol, es decir, tiempo O (d). Entonces, para cada árbol
Para derivar unas cotas sobre la forma del árbol, definimos además la profundidad de cada
perfectamente balanceado de H hojas, se puede localizar una clave en tiempo
vértice del árbol:
!
relativamente fácil también para bases de datos muy grandes,D(v) = 0, si v es la raı́z,
(6.7)
O (D) = O (log2 H) = O (log2 n) .
(6.8) D(v.P) + 1, en otro caso.
como ı́ndices es
ferentes ramos y partes del árbol se puede guardar en diferentes páginas
de la
Búsqueda
en árboles binarios
La profundidad del árbol entero es simplemente máxv D(v). Aplica que D = A − 1.
Balance:
peor
caso
y
mejor
caso
a fı́sica de la computadora. La figura 6.4 contiene un ejemplo, adaptado de Knuth
6.4: Un ejemplo de cómo dividir un árbol de ı́ndice en varias páginas de memoria:
n = número de nodos en el árbol
as agrupan juntos subárboles del mismo tamaño.
Denotamos por n el numero de vértices en total y por H el numero de hojas del árbol. Para
boolean busca(int valor, arbol* nodo) {
todo n = 2k, tenemos H = 2n − 1 y D = log2 n. Para ubicar a una clave a profundidad d
if (nodo.dato == valor) {
toma exactamente d pasos en el árbol, es decir, tiempo O (d). Entonces, para cada árbol
return
deperfectamente
inserción
de true;
losde H hojas, se puede localizar una clave en tiempo
balanceado
} else if (nodo.grado == 0) {
ema con árboles binarios es que su forma depende del orden
os y en el peor caso puede reducir a casi una lista (ver la figura 6.5).
Asintóticamente
logarítmico.
Un árbol balanceado con n = 8 y profundidad tres.
El peor caso de falta de balance para n = 8 tiene profundidad seis.
Asintóticamente lineal.
6.5: Un árbol binario de peor caso versus un árbol binario de forma óptima, ambos
o vértices hojas.
return false;
O (D) = O (log2 H) = O (log2 n) .
} else if (nodo.dato > valor)
{
return busca(valor, nodo.izquierdo);
} else {
return busca(valor, nodo.derecho);
}
int main() {
}
...
busca(valor, raiz);
...
}
(6.8)
A(v) =
Complejidad asintótica
!
1, si v es una hoja
Figura 6.6: La inserción de un elemento nu
máx{A(izq(t)), A(der(t))}
v es
creación +
de un 1,
vérticesi
de ruteo
nuevode
c, hijo
Sin embargo, los valores 1 y 2 también apar
La altura de un ramo de un Condiciones
vértice v, es decir,
un subárbol
de55
0, 1,
1, 2,la
3, 5, raı́z
8, 13, 21, 34,
de balance:
AVL
—
F (2) y F (3)!
Entonces,
podemos es
de v. La altura del árbol entero es la altura de Esto
su¡sonnosraı́z.
Un
árbol
b
da
! Esto requiere en el peor caso una cantidad de pasos
R(a) = F (a
La diferencia
de
alturas
de los
dos hijos
de
unO
nodo
nunca n).
como un árbol !con
raı́z
v
con
A(v
)
=
(log
La c
igual a la profundidad caracterizar
del árbol.
r
r
R(a)
−2 =
debe exceder a uno:
! En un árbol no balanceado, la profundidad del peor
log (R(a) + 2) = log
AVL es que ∀v ∈ V
caso es lineal.
log (R(a) + 2) = a +
a ≈ 1,44
|A(izq(v))
−
A(der(v))|
≤
1.
! En un árbol balanceado, la profundidad del peor caso
!
En el peor caso el resultado es falso y buscamos hasta
llegar a una hoja.
a+
φ√
5
φ
φ
φ
Ya sabemos que n > R(A) porque H > 0
pletamente vacı́o. Entonces aplica que sigui
es logarítmica.
!
Conviene mantener los árboles en balance si el
esfuerzo requerido para ello es menor a lineal.
Por la
un análisis
matemático
involucra ladefinimos
serie
de Fibonacci,
se cada
llega árbol
a
Teorema
6.31. Para
que cump
Para derivar unas cotas sobre
forma
delqueárbol,
la
96
CAPÍTULO 6. ESTRUCTURAS además
DE DATOS
demostrar que la altura resultante es menor a 1,440 log(n + 2) − 0,328.
vértice del árbol:
!
Para insertar un elemento nuevo al árbol de
de la clave del elemento. Llegando a la hoja
0, si v es la raı́z,
un vértice de ruteo v nuevo. La hoja v va
D(v) =
otro hijo será un vértice nuevo v creado par
D(v.P) + 1, menor
endeotro
caso.
v y v será
el hijo izquierdo y e
a
c
r
b
h
c
n
h
n
Tipos de rotaciones
Rotaciones
La profundidad del árbol entero es simplemente máx D(v). Aplica
de ruteo vr ası́ creado será igual al valor d
Figura 6.7: Al eliminar una hoja con clave b, también suejemplo.
padre, el vértice de ruteo con el
valor a está eliminado.
v un elemento del árbol, hay qu
Para eliminar
v
t inar además de lau hoja su vértice de ruteo
t
ruteo
t
u
v vh a la posición tque ocupó vr . La figu
v
u
Denotamos por n el numero de vértices en total y por
H el numero de
Las operaciones de insertar y eliminar clav
tiempo de acceso O (log n) está solame
todo n = 2k, tenemos H = 2n − 1 y D = log2 n. deestá
Para
ubicar
a siuna
c
perfectamente
balanceado
su estruct
de la raı́z a cada hoja: todas las hojas están e
exactamente
! Las rotaciones procedentoma
recursivamente
hacia la raíz hasta d pasos en el árbol, es decir, tiempo O (d). Enton
que ya no haya imbalance.
perfectamente balanceado de H hojas, se puede localizar una clave e
!
Cuando un nodo llega a detectar un imbalance (por haber
añadido o eliminado un nodo del árbol), se atiende el
problema a través de la realización de rotaciones.
u
B
B
B
Rotación simple derecha
t
w
u
Van a ser por máximo una cantidad logarítmica de
rotaciones si cada imbalance está atendida
inmediatamente después de haberse presentado.
t
u
v
t
w
u
v
v
w
A
B
A
Rotación simple izquierda
!
v
A
A
A
v
t
w
u
A
B
B1
B2
B
O (D) = O (log2 H) = O (log2 n) .
B1
B2
Rotación doble izquiera-derecha
A1
A1
A2
A2
Rotación doble derecha-izquierda
Figura 6.8: Cuatro rotaciones básicas de árboles binarios para restablecer balance de las
alturas de los ramos.
6.3. ÁRBOLES
Condiciones de rotación
propiedades de los ramos determinan cuál rotación será implementada en v


A(A) ≥ A(B)
⇒







rotación simple a la derecha,


A(u) ≥ A(v) + 2 :


A(A) < A(w)
⇒






 rotación doble izquierda-derecha,
A(A) ≥ A(B)
⇒







rotación simple a la izquierda,


A(u) ≤ A(v) − 2 :


A(B) < A(w)
⇒






rotación doble derecha-izquierda.
Árboles externos
97
!
Los datos se guardan únicamente en las hojas.
!
Los nodos de ruteo contienen claves de rastreo que no necesariamente
están presentes actualmente como datos en el árbol.
!
Inserción y eliminación de datos resulta mucho más simple en este tipo
de árboles.
CAPÍTULO 6. ESTRUCTURAS DE DATOS
92
(6.15)
Con esas rotaciones, ninguna operación va a aumentar la altura de un ramo, pero la puede
reducir por una unidad. La manera tı́pica de encontrar el punto de rotación t es regresar
hacı́a la raı́z después de haber operado con una hoja para verificar si todos los vértices
Figura 6.4: Un ejemplo de cómo dividir un árbol de ı́ndice en varias páginas de memoria:
en camino todavı́a cumplan con la condición de balance. La complejidad asintótica
de agrupan juntos subárboles del mismo tamaño.
las lı́neas
buscar una hoja toma O (log n) tiempo, la operación en la hoja tiempo constante O (1),
la “vuelta” hacı́a la raı́z otros O (log n) pasos, y cada rotación un tiempo constante O (1).
Si al ejecutar una rotación, la altura de t cambia, habrá que continuar hacı́a la raı́z porque
otras faltas de balance pueden técnicamente haber resultado. Si no hay cambio en la altura
de t, no hay necesidad de continuar más arriba en el árbol.
. ÁRBOLES
96
Inserción
95
6.3.3. Árboles rojo-negro
CAPÍTULO 6. ESTRUC
Eliminación
Un árbol balanceado con n = 8 y profundidad tres.
El peor caso de falta de balance para n = 8 tiene profundidad seis.
Otro tipo de árboles binarias son los árboles rojo-negro (inglés: red-black tree) . Las
reglas para mantener orden de las claves es las mismas. También ofrecen tiempo de acceso
6.5: Un árbol binario de peor caso versus un árbol binario de forma óptima, ambos
c En vez de la condición Figura
a
y actualización
O (log n) y se balancea por rotaciones.
AVL,
se vértices
a hojas.
c
con
ocho
identifica vértices fuera de balance por asignar colores a los vértices. Un árbol rojo-negro
cumple las siguientes propiedades:
6.3.2. Árboles AVL
(I) Cada vértice tiene exactamente uno deblos dosacolores: rojo y negro.
(II ) La raı́z es negro. Agregamos a un nodo con dato b < a
b (de Adel’son-Vel’skii
c
Árboles AVL
y Landis [2]) son árboles binarios que aseguran complejidad asintótica O (log n) para las operaciones básicas de ı́ndices.
La variación de árboles AVL que estudiamos acá guarda toda la información en sus hojas
ura 6.6:
La inserción de un elemento nuevo con la clave b tal que b < a resulta
en los
la vértices “internos” para información utilizado al realizar las operaciones del
y utiliza
(III ) Cada hoja es negro.
ación de un vértice de ruteo nuevo c, hijos del cual serán los vértices hojas deı́ndice.
a y b.Los vértices que no son hojas ahora se llaman vértices de ruteo . El orden del árbol
es
tal quehoja
todas las hojas
ramo del hijo
contienensu
clavespadre,
menores que el
el v
Figura 6.7: Al eliminar valor
una
conen elclave
b, izquierdo
también
del vértice de ruteo y todas las hojas en el ramo del hijo derecho contienen claves
(IV ) Si un vértice es rojo, sus ambos hijos son negros.
Con esas rotaciones, ninguna operación va a au
reducir por una unidad. La manera tı́pica de e
hacı́a la raı́z después de haber operado con u
en camino todavı́a cumplan con la condición
buscar una hoja toma O (log n) tiempo, la op
la “vuelta” hacı́a la raı́z otros O (log n) pasos,
Sioalnegro.
ejecutar una rotación, la altura de t cambi
1. Cada nodo es o rojo
otras faltas de balance pueden técnicamente ha
2. La raíz es negra. de t, no hay necesidad de continuar más arriba
Condiciones de balance:
rojo-negro
Practicamos
!
Escriban, en pares, en pseudocódigo para
!
Búsqueda de un dato en un árbol externo que no contiene
claves duplicados
!
Inserción de un dato a un árbol externo que no permite
insertar una clave que ya está incluida
!
3. Las hojas son negras.
4. Se un nodo es rojo,6.3.3.
ambos susÁrboles
hijos son negros.
rojo-negro
Eliminación de un dato de un árbol externo que no
contiene claves duplicados
5. Para cada nodo, todos los caminos de ello a alguna hoja
Otro
tipo dedenodos
árboles
binarias son
contienen la misma
cantidad
negros.
los árboles
reglas para mantener orden de las claves es las
y actualización
Altura
resultante es O (log n) .y se balancea por ro
identifica vértices fuera de balance por asignar
cumple las siguientes propiedades:
(I) Cada vértice tiene exactamente uno de l
Árboles
(II ) La raı́z esB
negro.
Rotaciones en árboles rojo-negro
CAPÍTULO 6. ESTRUCTURAS DE DATOS
98
(III ) Cada hoja es negro.
Árboles balanceados.
! Ni binarios ni externos.
(IV ) Si un vértice es rojo, sus ambos hijos so
! Cada nodo de ruteo debe contener un máximo
(V) Para
todos K
losescaminos de
de 2K - 1 y un mínimo
decada
K - 1vértice
datosv,donde
número de nodos negros.
una constante.
! La raíz puede tener menos de K - 1 datos.
Entonces, la estructura de un vértice contiene
! Si un nodo de ruteo
contiene
k datos,
va a tener
y los dos
hijos, un
color. Aplica
para los árbo
necesariamenteque
k +la1expresión
hijos. exacta tiene cota superior 2 lo
! Las hojas son especiales
que no tienen
hijos. con rotac
Los árbolesyarojo-negro
se balancea
hojas nuevas, además de las rotaciones para res
!
Rotación a la izq.
v
Rotación a la der.
w
w
v
A
C
B
C
A
B
Figura 6.9: Las dos rotaciones de los árboles rojo-negro son operaciones inversas una para
la otra.
algunos vértices en el camino desde la hoja nueva hasta la raı́z. Las posibles violaciones
Estructura típica en árboles B
100
Ejemplo
CAPÍTULO 6. ESTRUCTURAS DE D
CAPÍTULO 6. ESTRUCTURAS DE D
100
Puntero a su padre
nulo si es raíz: opcional
Grado
cantidad de claves
Datos
en un arreglo
Punteros a los hijos
en otro arreglo
Si es hoja
variable binaria
+
6 15 32
+
1
3 4
5
+
8 9 12
+ 14
18 21 25 29
36 42 56 73
splay(+∞,
A) A)
splay(+∞,
¿Cómo es la regla del orden del árbol?
Figura
6.10:6.10:
La unión
de dos
árboles
biselados.
Figura
La unión
de dos
árboles
biselados.
son menores
o iguales
una clave
como
parámetro
y lasmayores
mayoresestán
estánen
en
son menores
o iguales
a unaa clave
dadadada
como
parámetro
y las
árbol. árbol.
Árboles biselados
Operación splay(A,� )
La operación básica utilizada para implementar todas estas operaciones es splay
La operación básica utilizada para implementar todas estas operaciones es splay
quesplay
hace splay
es convertir
el árbol
a tal
forma
que
el
vérticecon
conclave
clave!!es
es
hacer que
claveforma
enque
la raíz
árbol biselado
A.
� esté
lo quelohace
es convertir
el =árbol
A alaAtal
eldel
vértice
si presente, y en la ausencia de ! en A, la raı́z será
si presente,
y en la ausencia de ! enSi AA,nola
raı́z aserá
contiene
�, la nueva raíz será
!
Binarios.
!
No externos.
!
Claves deben ser únicas.
!
Menores a la izquierda, mayores a la derecha.
!
!
máx {k ∈ A | ! > k}
si A contiene claves mayores a � y
No hay una condición de balance.
si
A
contiene
claves
menores
a ! y mı́n {k ∈ A} en otro caso. El orden de las
Tiempo logarítmico para búsqueda, inserción, eliminación
Aárbol
contiene
claves
menores
a ! yelmı́n
{k ∈
A} en de
otro
caso.
El claves.
orden de las
de datos y para la unión si
de un
menor a un
árbol
mayor
después
de
la operación
cumple
mismo
requisito
orden
de las
máx {k ∈ A | ! > k}
otro caso.requisito de orden de las claves.
después de la operación cumple elenmismo
en términos de las claves o división de un árbol a parte
menor y mayor
Las operaciones
están implementadas de la manera siguiente utilizando splay:
Las operaciones están implementadas de la manera siguiente utilizando splay:
búsqueda de ! en A: ejecuta splay(!, A). Si la raı́z en el resultado es !, la
es “sı́”,
caso
“no”.splay(!, A). Si la raı́z en el resultado es !, la
búsqueda
deen! otro
en A:
ejecuta
!
!
!
!
!
Búsqueda de valor v: Haz splay(A, v).
Unión: Haz un splay con infinito en el árbol menor. Junta el
árbol mayor como el ramo derecho del resultado.
División con valor v: Haz splay(A, v). El ramo derecho será la
parte mayor y el resto será la parte menor.
Insertar valor v:
! Divide A usando v.
! Si c ya está en la raíz, junta los ramos.
! Si no es, crea una raíz nueva para v y pon los ramos como sus
hijos.
Eliminar valor v:
! Divide A usando v.
! Si v no es la raíz, no hagas nada.
! Si lo es, quítalo y une los dos ramos.
Operaciones
Montículos
= estructuras formadas por grupos de árboles
6.4. MONTÍCULOS
103
Ejemplo: montículo binómico
Figura 6.13: Un ejemplo de un montı́culo binómico, compuesto por cinco árboles binómicos.
Recorridos de árboles
!
Iniciando de la raíz, se visita a cada nodo del árbol
!
Llegando a un nodo, se visita primero de manera recursiva el
ramo izquierdo y luego el ramo derecho
!
El momento en que se imprime el nodo determina el orden
de salida
!
Antes del ramo izquierdo: en preorden
!
Después del ramo derecho: en postorden
!
Entre los ramos: en órden interno
Cada vértice del montı́culo tiene guardado además de su propia clave, su grado (en este
contexto: el número de hijos que tiene) y tres punteros: a su padre, a su hermano y a su
hijo directo. La operación de encadenación forma de dos árboles Bn un árbol Bn+1 tal
que el árbol Bn con clave mayor a su raı́z será un ramo del otro árbol Bn . Esta operación
se realiza
en preorden(nodo)
tiempo O (1).
void
{
Pseudocódigos
imprime
nodo.valor;
Para unir
dos montı́culos
binómicos, hay que recorrer las listas de raı́ces de los dos
si simultaneamente.
(nodo.izq ≠ Al
nulo)
{ preorden(nodo.izq);
montı́culos
encontrar
dos árboles del mismo tamaño}Bi , se los junta
siBi+1
(nodo.der
≠ nulo)
{ preorden(nodo.der);
a un árbol
. Si uno de los
montı́culos
ya cuenta con un Bi+1 se los}junta recursiva} Si hay dos, uno queda en el montı́culo final como un árbol independiente mientras
mente.
void
{ operación necesita O (log n) tiempo.
en otro
se unepostorden(nodo)
con el recien creado. Esta
if (nodo.izq ≠ nulo) { postorden(nodo.izq); }
Entonces, para insertar un elemento, creamos un B0 en tiempo O (1) y lo juntamos en el
if (nodo.der ≠ nulo) { postorden(nodo.der); }
montı́culo en tiempo O (log n), dando una complejidad total de O (log n) para la inserimprime nodo.valor;
ción.
}
Para void
eliminarordenint(nodo)
el elemento mı́nimo,{ lo buscamos en tiempo O (log n), le quitamos y
creamossi
otro(nodo.izq
montı́culo de sus
hijos en {tiempo
O (log n). Unimos los dos
≠ nulo)
ordenint(nodo.izq);
} montı́culos
en tiempo
O
(log
n).
Entonces
el
tiempo
total
para
esta
operación
es
también
O (log n).
imprime nodo.valor;
si (nodo.der
≠ nulo)
{ ordenint(nodo.der);
} más cerca de
Para disminuir
el valor de una
clave, levantamos
el vértice correspondiente
}
la raı́z para no violar el orden del montı́culo en tiempo O (log n).
Para eliminar un elemento cualquiera, primero disminuimos su valor a −∞ en tiempo
O (log n) y después quitamos el mı́nimo en tiempo O (log n).