Capítulo 6

Capı́tulo 6: Aplicaciones de las integrales
1.
1.1.
Lección 22. La integral definida
Sumas de Riemann y la integral definida
Sea y = f (x) una función continua en un intervalo dado [a, b]. Supongamos
que dividimos el intervalo [a, b] en n + 1 partes iguales (con n ≥ 0), de forma
que los puntos de división son
a = c0 < c1 < c2 < . . . < cn < cn+1 = b
Puesto que todos los subintervalos [ci , ci+1 ] tienen la misma anchura, será ci+1 −
b−a
ci = n+1
.
Por el teorema de Weierstrass, la función alcanza un máximo y un mı́nimo
en cada intervalo [ci , ci+1 ]. Llamemos Mi (respectivamente, mi ) al máximo valor
(respectivamente, al mı́nimo valor) de la función en el intervalo [ci , ci+1 ].
Escribiremos, para cada n,
Sn = (c1 − c0 )M0 + (c2 − c1 )M1 + · · · + (cn+1 − cn )Mn =
n
X
(ci+1 − ci )Mi
i=0
y
sn = (c1 − c0 )m0 + (c2 − c1 )m1 + · · · + (cn+1 − cn )mn =
n
X
(ci+1 − ci )mi
i=0
Las sumas anteriores son las sumas de Riemann de la función y = f (x) en
el intervalo [a, b]. Nótese que, si la curva y = f (x) está por encima del eje de
abscisas en el intervalo [a, b] y A es el área del recinto limitado por dicha curva
y = f (x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b, entonces
cada Sn es una aproximación por exceso al área A, mientras que sn es una
aproximación por defecto a esa misma área A.
Se tiene que lı́mn→∞ Sn = lı́mn→∞ sn . Ese lı́mite se llama la integral definida
Rb
de la función f (x) en el intervalo [a, b] y se escribe como a f (x)dx. En la
situación de la curva y = f (x) que acabamos de describir, dicha integral es igual
al valor del área A (en la unidad de medida que se haya tomado). Tenemos ası́
Z
b
f (x)dx = lı́m Sn = lı́m sn
a
n→∞
n→∞
Esta notación, introducida por Leibniz, uno de los constructores del cálculo,
evoca la idea de que el valor de la integral es el de sumas de productos de la
1
forma f (x) · ∆x; pero como no son las sumas finitas lo que se toma, sino su valor
lı́mite, la inicial S de suma se estiliza y se escribe en la forma conocida.
Observación. En realidad, el concepto de suma de Riemann (para la función
continua y = f (x) en el intervalo cerrado [a, b] es más general que el que hemos
visto. En primer lugar, se puede tomar la suma con subintervalos [ci , ci+1 ] que
no sean necesariamente iguales. Ası́, una suma de Riemann puede obtenerse con
cualquier división del intervalo [a, b]:
a = c0 < c1 < c2 < . . . < cn < cn+1 = b
b−a
. El valor de una de estas sumas está siempre
aunque no sea ci+1 − ci = n+1
comprendido entre Sk y sk para algún k.
Por otro lado, se puede también definir la suma poniendo
S = (c1 − c0 )f (x0 ) + (c2 − c1 )f (x1 ) + · · · + (cn+1 − cn )f (xn )
siendo ci ≤ xi ≤ ci+1 para todo i = 0, . . . , n, pero los valores f (xi ) no son
necesariamente los máximos o mı́nimos de cada subintervalo. También estas
sumas están comprendidas entre Sn y sn , por lo que no es necesario considerarlos
en nuestra situación.
1.2.
Propiedades de la integral definida
Indicamos algunas propiedades de la integral definida.
Aditividad del intervalo. Sea f una función continua en un intervalo [a, b]
y sea a < c < b. Entonces
Z
c
b
Z
f (x)dx +
a
Z
f (x)dx =
c
b
f (x)dx
a
Sea f una función continua en un intervalo [a, b] y sea k una constante.
Entonces
Z b
Z b
kf (x)dx = k
f (x)dx
a
a
Aditividad de la función. Si f, g son dos funciones continuas en un intervalo
[a, b], entonces
Z
b
Z
f (x)dx +
a
b
Z
g(x)dx =
a
b
(f (x) + g(x))dx
a
Teorema del valor medio integral. Si f es una función continua en un
intervalo [a, b], entonces existe algún valor intermedio c (es decir, a ≤ c ≤
b) tal que
Z b
f (x)dx = f (c)(b − a)
a
2
1.3.
La función integral definida
En una función y = f (x), el nombre que le demos a la variable independiente
no cambia los valores de la función. Ası́, f (x) = f (t) para cada valor de la
variable independiente x = t. Por ello, los valores de las sumas de Riemann
Sn , sn , que son números, no dependen tampoco del nombre de la variable; y lo
mismo pasa con su lı́mite, que es la integral definida. Se tiene por tanto que
Rb
Rb
f (x)dx = a f (t)dt.
a
Sea de nuevo y = f (t) una función continua en el intervalo [a, b]. Para
cualquier punto x del intervalo (esto es, a ≤ x ≤ b), existe la integral
Z x
f (t)dt
a
Por tanto, está definida una función F (x) en todos los puntos de [a, b], que
es la que a cada valor x de la variable independiente, le atribuye el valor
Z x
F (x) =
f (t)dt
a
Por ejemplo, F (a) = 0. Esta función F es la que llamamos función integral
definida (de la función f en el intervalo [a, b]).
Vamos a hallar la derivada de esta función y = F (x) en cualquier punto x
del intervalo. Este estudio será de importancia fundamental para el problema
del cálculo de las integrales definidas.
Elegimos x ∈ [a, b]. Para cualquier valor ∆x del incremento, tendremos:
Z
x+∆x
∆y = F (x + ∆x) − F (x) =
x
Z
f (t)dt −
a
f (t)dt
a
Aplicando la aditividad de los intervalos,
Z
x+∆x
x
Z
f (t)dt −
∆y =
a
Z
x+∆x
f (t)dt =
a
f (t)dt
x
Usando ahora el teorema del valor medio (ver Lección 12, capı́tulo 3), sabemos que existirá un punto c ∈ [x, x + ∆x], con la propiedad
Z
x+∆x
f (t)dt = f (c)((x + ∆x) − x) = f (c)∆x
∆y =
x
Calculando ahora el cociente de incrementos
∆y
= f (c)
∆x
La derivada de F en el punto x será, como es sabido, el lı́mite de este cociente
de incrementos cuando ∆x → 0. Por tanto,
F 0 (x) = lı́m f (c)
∆x→0
3
Pero c ha de ser un punto en [x, x + ∆x]. Cuando ∆x tiende a 0, el valor
x + ∆x tiende a x. Luego el lı́mite del punto intermedio c es precisamente x.
Ası́, dado que f es continua,
F 0 (x) = f (x)
La propiedad clave que hemos visto es, por tanto:
R x La función derivada en el intervalo [a, b], de la función integral F (x) =
f (t)dt es igual a la función f (x).
a
Una consecuencia inmediata nos da el resultado que permite calcular las
integrales definidas.
1.4.
Regla de Barrow
Si f es una función continua en un intervalo [a, b] y g es una primitiva de f
(es decir, g 0 (x) = f (x) en ese intervalo), entonces
b
Z
f (x)dx = g(b) − g(a)
a
La razón es sencilla: sabemos que la función integral F (x) es una primitiva
de f (x); luego la diferencia entre g y F es una constante, g(x) = F (x) + C.
Puesto que F (a) = 0, tenemos g(a) = F (a) + C = C. Luego g(x) = F (x) +
g(a). O sea, F (x) = g(x) − g(a). Ası́,
Z
b
f (x)dx = F (b) = g(b) − g(a)
a
Usando la regla de Barrow, el cálculo de integrales definidas se reduce al
de integrales indefinidas o primitivas. Una manera usual de aplicar la regla de
Barrow es:
Rb
Para calcular la integral
R a f (x)dx, calculamos una primitiva cualquiera (en
el intervalo [a, b]) g(x) = f (x)dx. El valor que buscamos, g(b) − g(a), se representa como
[g(x)]ba
En definitiva:
Z
b
Z
f (x)dx = [ f (x)dx]ba
a
Una observación final: si y = f (x) no es necesariamente continua, pero es
acotada en el intervalo [a, b], entonces es posible definir también las sumas
de Riemann de la función f para cualquier división del intervalo por puntos
c1 , c2 , . . . , cn .
En este caso, como la función podrı́a no tener máximos o mı́nimos en cada
subintervalo, tomamos puntos xi cualesquiera en cada intervalo (ci−1 , ci ) para
formar las sumas de Riemann correspondientes.
Si existe un valor lı́mite de todas las sumas de Riemann, entonces ese lı́mite
se dice que es la integral de la función f en el intervalo [a, b]. En tal caso, se
dice que la función f es integrable (en ese intervalo) en el sentido de Riemann.
Todas las funciones continuas son integrables en ese sentido.
4
Ejemplo. Calcular
R1
0
xe2x dx.
Calculamos primero la integral indefinida. Esto se puede hacer por partes,
tomando u = 12 x, dv = 2e2x dx. Entonces v = e2x , y du = 21 dx. Ası́,
Z
Z
xe2x
e2x
1 2x 1
2x
e2x dx =
−
xe dx = xe −
2
2
2
4
Por tanto,
Z 1
0
2.
2.1.
xe2x dx = [
xe2x
e2x 1
e2
e2
1
e2 + 1
−
]0 = ( − ) − (− ) =
2
4
2
4
4
4
Lección 23. Aplicaciones de la integral definida
Cálculo de áreas
Si y = f (x) es una función continua en un intervalo [a, b], y f (x) ≥ 0 para
todo punto del intervalo, entonces el área S del recinto limitado por el eje de
abscisas, las paralelas al eje vertical que pasan por los puntos (a, 0), (b, 0), y la
gráfica de la función f , está dada por
Z b
S=
f (x)dx
a
Observemos que, sin embargo, si f (x) ≤ 0 en dicho intervalo, el área del
Rb
recinto correspondiente estarı́a dada por − a f (x)dx. Dicho de otro modo, las
áreas coinciden con las integrales solamente si atribuı́mos a los recintos que
están por debajo del eje de abscisas un área negativa.
Ejercicio 1. Calcular el área de los recintos limitados por la gráfica de la
función y = f (x) = sen(x) y el eje de abscisas, entre los puntos de abscisas 0 y
3π
2 .
Con el fin de aclarar cuáles son esos recintos y si están por encima o por
debajo del eje, debemos hallar los puntos del intervalo [0, 3π
2 ] que son puntos
de corte de la gráfica con el eje de abscisas. Esto es, los valores x para los que
f (x) = 0.
Sabemos que sen(x) = 0 para x = kπ, con k entero. Luego en ese intervalo,
la gráfica corta a los ejes en x = 0, π.
En el intervalo [0, π] la función toma valores positivos, y la gráfica está por
encima del eje. Luego
Z π
sen(x)dx
0
dará el área positiva del primer recinto.
En el intervalo [π, 3π
2 ], la función toma valores negativos, y ası́ determina un
recinto que está por debajo del eje. Luego el valor de la integral
Z 3π/2
sen(x)dx
π
5
será negativo, y su opuesto será el área del recinto correspondiente.
Como la integral de sen(x) es −cos(x), el área del primer recinto será
[−cos(x)]π0 = −cos(π) + cos(0) = 1 − (−1) = 2
3π/2
Por su lado, la integral del segundo recinto será [−cos(x)]π
cos(π) = −1. Luego la suma de las dos áreas es igual a 3.
2.2.
= −cos(3π/2)+
Area limitada por curvas
Supongamos que las gráficas de dos funciones continuas y = f (x), y = g(x)
se cortan en dos puntos cuyas abscisas son a < b; y que no se cortan en ningún
punto c con a < c < b. Entonces se cumple una de dos posibilidades: o f (x) ≥
g(x) en todo punto del intervalo [a, b]; o g(x) ≥ f (x) en todo punto de dicho
intervalo.
No es difı́cil ver que, estén las gráficas por encima o por debajo del eje de
abscisas, el área del recinto limitado por las dos gráficas entre sus puntos de
intersección en a y en b, es igual, respectivamente, a
Z
b
Z
(f (x) − g(x))dx, o
b
(g(x) − f (x))dx
a
a
Por lo tanto, el área limitada por las dos curvas entre esos puntos se obtiene
como
Z b
|
(f (x) − g(x))dx|
a
Ejercicio 2. Hallar la superficie limitada por las curvas y = x4 e y = x2 + 2.
En primer lugar, debemos saber en qué puntos se cortan las dos curvas. Esto
es, hallar los puntos (x, y) para los que se cumple
x4 = x2 + 2
Debemos, pues, resolver la ecuación
x4 − x2 − 2 = 0
Esta es una ecuación bicuadrada. Llamando z = x2 , buscamos las soluciones
de z 2 − z − 2 = 0. Será
√
1 3
1± 1+8
= ±
z=
2
2 2
2
obtenemos solamente dos
lo que da dos soluciones,√z = −1, 2. Como x
√ = z, √
soluciones para x, x = ± 2. Ası́, será a = − 2, b = 2.
El área buscada será, pues,
√
Z
|
2
4
√ (x
− 2
− (x2 + 2))dx|
6
Dado que esta es una función par, podemos poner el resultado anterior como
√
Z
2
2
(x4 − x2 − 2)dx = 2[
0
lo que dará
2(
y el área es
2.3.
√
x5
x3
−
− 2x]0 2
5
3
√
√
√
√
√
4 2 2 2
28 2
56 2
−
− 2 2) = −2
=−
5
3
15
15
√
56 2
15 .
Curvas en forma paramétrica
Consideramos ahora curvas dadas por ecuaciones paramétricas:
x = f1 (t),
y = f2 (t)
(t ∈ [t0 , t1 ])
y admitamos que y es una función de x, y = h(x). Además, sea f1 (t0 ) = x0 y
f1 (t1 ) = x1 . Entonces el área encerrada por la curva, el eje de abscisas y las
paralelas a las rectas x = x0 , x = x1 ha de ser
Z x1
h(x)dx
A=
x0
Consideremos ahora la integral
Z t1
f2 (t)f10 (t)dt
t0
Si hacemos en esta integral el cambio de variable introducido por x =
f1 (t), dx = f10 (t)dt, la función f2 (t) se transformará en h(x); y de ese modo,
la integral que hemos considerado se convierte en (nótese que cuando hacemos un cambio de variable en una integral definida, hay que aplicar el cambio
también en los extremos de integración):
Z x1
h(x)dx = A
x0
luego podemos obtener el área usando la integral en función del parámetro t.
Ejercicio 3. La circunferencia centrada en el origen de radio r está dada por
las ecuaciones paramétricas x = rcos(t), y = rsen(t), para t ∈ [0, 2π). Calcular
su área.
Si consideramos solamente la semicircunferencia que queda por encima del
eje de abscisas, el valor de y es función de x. El área buscada es la que se
encuentra entre x = −r y x = r. El parámetro t varı́a entonces desde π hasta 0
en la semicircunferencia. De este modo, el área estará dada por
Z 0
Z 0
rsen(t)(−rsen(t))dt = −r2
sen2 t dt
π
π
La integral indefinida I = sen2 x dx puede calcularse por partes: ponemos
u = −sen(x), dv = −sen(x)dx = d(cos(x)). Ası́,
R
7
Z
I = −sen(x)cos(x) +
Pero
R
cos2 x dx
R
cos2 x dx = (1 − sen2 x)dx = x − I. Luego
I = −sen(x)cos(x) + x − I,
2I = x − sen(x)cos(x)
Volviendo a la integral definida anterior, obtendremos
1
r2
πr2
−r2 [ (t − sen(t)cos(t))]0π = − (0 − π) =
2
2
2
2.4.
Curvas en forma polar
Consideramos ahora curvas continuas cuya ecuación está dada en forma polar, mediante una función r = f (α) que para cada valor α del argumento da
un valor r del módulo. Por ejemplo, la espiral de Arquı́medes está dada (en su
primera espira, entre los ángulos 0 y 2π) por la ecuación r = aα, donde a es
una constante.
Se trata de calcular el área de la superficie limitada por la curva y dos rectas
que pasan por el origen y forman ángulos θ1 , θ2 con el eje horizontal.
Rb
Como se hace para relacionar la integral definida a f (x)dx con el área del
recinto limitado por la curva, el eje de abscisas, y las correspondientes verticales,
podemos acotar nuestra área dividiendo el intervalo de ángulos [θ1 , θ2 ], mediante
varios ángulos intermedios θ1 = ϕ0 < ϕ1 < . . . < ϕn = θ2 ; y encerrando cada
una de las superficies entre dos sectores circulares de radios respectivos R1 , R0 ,
de forma que en dicho sector el valor r del módulo se mantenga siempre como
R0 ≤ r ≤ R1 .
Usando la misma idea que al introducir la integral definida, tendremos que
el área del sector comprendido entre la curva y las rectas de ángulos ϕi−1 < ϕi
será igual al área de un sector circular limitado por dichas rectas y el cı́rculo de
radio ρi , donde ρi es un valor medio de los valores del módulo r entre ϕi−1 y
ϕi .
Como un sector circular de ángulo β y radio s tiene área S proporcional al
ángulo, será
S
βs2
πs2
= ⇒S=
2π
β
2
Entonces, el área del sector entre los puntos i − 1, i será 12 ρ2i (ϕi − ϕi−1 ).
Obtenemos entonces la aproximación del área buscada como una suma
n
X
1
i=1
2
ρ2i ∆α
y el lı́mite cuando ∆α → 0 de esta suma es la integral definida
1
2
Z
θ2
(f (α))2 dα
θ1
8
siendo f (α) la función original, que da el módulo r para cada argumento α.
Ejercicio 4. Hallar el área encerrada por la primera espira de la espiral de
Arquı́medes entre los ángulos 00 y 900 .
La ecuación es r = aα. Luego, aplicando la fórmula anterior, tenemos el área
1
2
2.5.
π/2
Z
1 a2 α3 π/2
a2 π 3
[
]0 =
2 3
48
a2 α2 dα =
0
Longitud de curvas
Consideramos ahora una función y = f (x), cuya gráfica dará una curva
continua en el intervalo [a, b]. Vamos a tratar de encontrar una fórmula para
calcular la longitud de la curva entre los puntos A(a, f (a)) y B(b, f (b)).
Podemos obtener fácilmente aproximaciones por defecto a esa longitud L:
basta dividir el intervalo [a, b] por puntos c0 = a, c1 , c2 , . . . , cn = b, y sumar las
longitudes si de todos los segmentos de recta que unen cada punto (ci−1 , f (ci−1 ))
con el siguiente (ci , f (ci )). Calculemos dicha suma.
Cada dos puntos consecutivos como los indicados determinan un triángulo
rectángulo con un lado horizontal. La longitud si será la hipotenusa, de modo
que se tiene
p
si = (ci − ci−1 )2 + (f (ci ) − f (ci−1 ))2
Utilizamos ahora el teorema del valor medio del capı́tulo 3, para deducir que,
para cada i = 1, . . . , n, existe di ∈ [ci−1 , ci ] con la propiedad
f 0 (di ) =
f (ci ) − f (ci−1 )
ci − ci−1
Se deduce entonces que, para tales puntos di , se tiene
p
si = 1 + f 0 (di )2 (ci − ci−1 )
Ası́, la suma de las longitudes si que es una aproximación de la longitud L
de la curva, dará
n p
X
1 + f 0 (di )2 (ci − ci−1 )
i=1
p
Si consideramos la función g(x) = 1 + (f 0 (x))2 , tendremos que cada una
de las sumas anteriores es una suma de Riemann para la función g en el intervalo
[a, b]. Ası́, el lı́mite de esas sumas de Riemann ha de coincidir con
Z
b
Z
b
p
1 + (f 0 (x))2 dx
g(x)dx =
a
a
Pero, intuitivamente, dicho lı́mite (cuando los incrementos ci − ci−1 tienden
a 0) ha de dar la longitud L de la curva entre a y b. Por tanto,
Z
L=
b
p
1 + f 0 (x)2 dx
a
9
Ejercicio 5. Hallar la longitud de un cuadrante de la circunferencia de radio
r.
La ecuación de una circunferencia centrada en el origen de radio r es: x2 +
y = r2 . En el primer cuadrante, x, y son ≥ 0 y podemos considerar y como una
función de x, y = f (x).
2
Para hallar su derivada, hacemos primero la derivación implı́cita:
2x + 2yy 0 = 0,
yy 0 = −x,
y 2 (y 0 )2 = x2
y de esta forma obtenemos
(f 0 (x))2 =
x2
x2
=
y2
r2 − x2
Se sigue
1 + (f 0 (x))2 = 1 +
x2
r2
=
r2 − x2
r2 − x2
de donde
p
r
1 + (f 0 (x))2 = √
2
r − x2
La longitud del arco buscada será
Z r
rπ
π
dx
√
L=r
= r[arcsen(x/r)]r0 = r(arcsen(1) − arcsen(0)) = r =
2
2
2
2
r −x
0
3.
3.1.
Lección 24. Aplicaciones de la integral II
Cálculo de volúmenes
Supongamos que queremos calcular el volumen V de un cuerpo que está limitado por dos planos paralelos en el espacio tridimensional. Esto es factible bajo
la hipótesis siguiente:
Escojamos uno de los planos paralelos que limitan el volumen dado, como el
plano x = 0, de modo que el otro plano es x = h. Vamos a suponer que, para
cada valor de x en el intervalo [0, h], se tiene que S(x) es la función que da el
área de la sección determinada en el sólido considerado cuando lo cortamos por
el plano paralelo a los anteriores y a distancia x del origen.
Si dividimos el intervalo [0, h] en subintervalos con 0 = c0 < c1 < . . . <
cn = h, entonces podemos tomar aproximaciones del volumen V considerando
los çilindros”de altura ci − ci−1 cuya base sea S(di ) para algún di ∈ [ci−1 , ci ]; y
tomando la suma de los volúmenes de todos esos cilindros.
Como en los casos anteriores, si S(x) es una función continua y escogemos
los puntos di ∈ [ci−1 , ci ], obtenemos las sumas de Riemann
n
X
S(di )(ci − ci−1 )
i=1
que constituyen aproximaciones al volumen V del cuerpo, al ser sumas de
los volúmenes de los pequeños cilindros ası́ construı́dos.
10
El lı́mite de tales sumas de Riemann será igual a la correspondiente integral,
de modo que tendremos
Z h
V =
S(z)dz
0
Ejemplo 1. Hallar el volumen del elipsoide, cuya ecuación es
x2
a2
2
2
+ yb2 + zc2 =
1.
El plano x = 0 corta al elipsoide en una elipse, cuya ecuación en dicho plano
2
2
será yb2 + zc2 = 1. Ası́, es una elipse cuyos semiejes son b, c. Se tiene que su área
es igual a πbc. Si S(k) denota el área de la sección determinada en el elipsoide
por el plano x = k, tenemos ası́ que S(0) = πbc.
Debemos ahora determinar S(k) para cualquier k del intervalo [−a, a], puesto
que los planos x = −a y x = a son los que encierran el elipsoide.
Tomando x = k en la ecuación del elipsoide, tenemos
z2
k2
a2 − k 2
y2
+
=
1
−
=
b2
c2
a2
a2
La ecuación de la elipse que es la sección del plano x = k con el elipsoide
será, por tanto,
(b2 (a2
z2
y2
+ 2 2
=1
2
2
− k ))/(a ) (c (a − k 2 ))/a2
√
2
2
√
2
2
Por tanto, los semiejes de dicha elipse valen b aa−k y c aa−k . Esto muestra
que
πbc(a2 − k 2 )
S(k) =
a2
Tenemos entonces la expresión para S(x) que hemos observado que se requerı́a para calcular el volumen. Será
πbc(a2 − x2 )
a2
luego el volumen se obtiene como la integral
Z
πbc a 2
V = 2
(a − x2 )dx
a
−a
S(x) =
Como se tiene
Z
(a2 − x2 )dx = a2 x −
x3
3a2 x − x3
=
3
3
el valor de la integral definida anterior será
Z a
3a2 x − x3 a
2a3
−2a3
4
(a2 − x2 )dx = [
]−a =
−
= a3
3
3
3
3
−a
y calculando ahora el volumen
V =
4
πabc
3
11
3.2.
Sólidos de revolución
Sea y = f (x) una función continua, tal que f (x) ≥ 0 en el intervalo [a, b].
Si consideramos la figura en el espacio tridimensional, podemos imaginar que la
curva y = f (x) del plano xy gira alrededor del eje x. Al dar una vuelta completa
describe una superficie que encierra un volumen V .
Veamos cómo se puede calcular el volumen V , limitado por los planos x = a
y x = b. Para usar los resultados precedentes, debemos expresar el área S(x)
para cada valor de la coordenada x, que será la sección del sólido con el plano
paralelo al yz por x.
Esa sección será un cı́rculo cuyo radio es igual al valor f (x) de la función en
ese punto. Por tanto, la sección será
S(x) = πr2 = π(f (x))2
Aplicando ahora el resultado precedente sobre volúmenes, tendremos
Z b
Z b
V =
S(x)dx = π
f (x)2 dx
a
a
Ejemplo 2. Hallar el volumen de una esfera de radio r.
Podemos partir de un cuadrante del cı́rculo de radio r centrado en el origen,
y hacerlo girar alrededor del eje x: de ese modo engendrará una semiesfera, y
calculando su volumen tendremos el de la esfera.
La circunferencia tiene ecuación x2 + y 2 = r2 , y ası́ y 2 = r2 − x2 . Si tomamos
valores positivos para
√ x, y, tenemos el primer cuadrante de la circunferencia;
ahı́ se tiene y = r2 − x2 como la curva que girará alrededor del eje x. Los
valores extremos serán x = 0 y x = r.
El volumen V de la semiesfera será, por tanto,
Z r
x3
r3
2πr3
V =π
(r2 − x2 )dx = π[r2 x − ]r0 = π(r3 − ) =
3
3
3
0
Como este es el volumen de la semiesfera, el de la esfera será
4πr3
3
3.3.
Integrales impropias
Supongamos que y = f (x) es una función continua en un intervalo [a, b), pero
que x = b es una ası́ntota vertical de la función; de modo que lı́mx→b− f (x) = ∞.
Si admitimos además que f (x) ≥ 0 en el intervalo [a, b), entonces será lı́mx→b− f (x) =
+∞.
A pesar de que parezca que no tiene sentido hablar del área limitada por la
curva y = f (x), el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b, sı́ es posible hallar
el área si cambiamos la vertical x = b por cualquier recta x = b − , con > 0.
Dicha área será
Z
b−
S() =
f (x)dx
a
12
El resultado dará pues una función de . Si existe lı́m→0 S(), es razonable
decir que dicho lı́mite es el área comprendida entre la curva y el eje de abscisas,
y las verticales por a y b. Ese lı́mite, si existe, se escribe como
b
Z
f (x)dx
a
y se dice que es una integral impropia. Si no existe porque el lı́mite es infinito,
decimos que la integral es divergente.
Se puede seguir una idea semejante cuando la función es continua en (a, b]
y la recta x = a es ası́ntota vertical.
R1
Ejemplo 3. Calcular 0 dx
x .
La función y = f (x) = x1 es discontinua en x = 0, y lı́mx→0+ f (x) = +∞.
Por tanto, x = 0 es una ası́ntota vertical y f (x) > 0 para los puntos del intervalo.
R1
Para hallar la integral impropia pedida, debemos calcular dx
x , y hallar
luego el lı́mite cuando → 0.
Z
1
dx
1
= [ln(x)]1 = ln(1) − ln() = −ln() = ln( )
x
Calculemos ahora el lı́mite: cuando → 0+ , se tiene
1
→ +∞. Luego
lı́m ln(1/) = +∞
→0
y la integral dada es divergente.
Otras integrales impropias se obtienen integrando sobre un intervalo infinito.
Ası́,
Z
Z
+∞
x
f (t)dt = lı́m
f (t)dt
x→+∞
a
o bien
b
Z
a
Z
b
f (t)dt = lı́m
x→−∞
−∞
Z
+∞
Z
0
Z
f (t)dt =
−∞
f (t)dt
x
+∞
f (t)dt +
−∞
f (t)dt
0
En todos los casos, suponemos que f (x) es continua en los intervalos considerados.
R +∞ dx
Ejemplo 4. Calcular 1
x2 .
Se tiene:
Z
1
x
dt
1
x−1
1
= [−t−1 ]x1 = − − (−1) = 1 − =
t2
x
x
x
Por tanto,
Z
1
+∞
dx
x−1
=1
= lı́m
x→+∞
x2
x
13
3.4.
El espacio como integral
Un móvil se desplaza partiendo de un punto A en el instante t = 0, y recorre
una cierta curva en el plano. Si s(t) representa la longitud de curva que ha
recorrido en el instante t, s es función de t, y sabemos que
v(t) =
ds
dt
donde v = v(t) representa la velocidad en el instante t.
Se tiene entonces ds = vdt, y por tanto
Z t1
v(t)dt = [s(t)]t01 = s(t1 ) − s(0) = s(t1 )
0
ası́ que dicha integral definida da el valor de la distancia recorrida en el instante
t1 .
3.5.
Fuerza y trabajo
Un cuerpo de masa m se mueve, por la acción de una fuerza, a lo largo de
una recta (que podemos identificar con el eje x), partiendo de la posición x = a
en el instante t = 0, hasta la posición x = b. La fuerza es una variable que
depende de la posición x, F = F (x).
El trabajo mide la fuerza por el desplazamiento. En la posición x, la fuerza
actuante es F (x); el trabajo realizado para llevar el cuerpo desde la posición x
a la posición x + dx es, aproximadamente, ∆W = F (x)dx (la aproximación es
mejor cuanto más pequeño sea el desplazamiento dx).
El trabajo total para desplazar el cuerpo desde x = a hasta x = b se puede
aproximar por las sumas de los ∆W = F (x)dx, tomando puntos de división en
el intervalo [a, b] y valores pequeños de dx. Más precisamente, el trabajo es la
integral definida de F (x)dx, como el lı́mite de esas sumas (de Riemann).
b
Z
W =
F (x)dx
a
Si W (x) representa el trabajo realizado para llevar el cuerpo a la posición x,
entonces las consideraciones anteriores también justifican que dW = F (x)dx, o
sea dW
dx = F (x). Ası́, la fuerza es la derivada del trabajo.
3.6.
Trabajo y energı́a
En el mismo ejemplo anterior del cuerpo que se desplaza desde la posición
x = a en el instante t = 0 a la posición x = b en el instante t = t1 , podemos
usar las leyes de Newton para expresar la fuerza en función de la aceleración
que le causa al cuerpo. Como F (x) = m · a = m dv
dt , será
Z
W =
b
Z
F (x)dx = m
a
a
b
dv
(vdt) = m
dt
Z
v1
vdv =
v0
1
m[v 2 ]vv10
2
si v0 , v1 denota la velocidad en los instantes inicial t = 0 y final t = t1 .
14
Se sigue que el trabajo realizado es W = 12 m(v12 − v02 ).
Como 12 mv 2 es la energı́a cinética del cuerpo, vemos que el trabajo es igual
al aumento en la energı́a cinética del cuerpo.
3.7.
Fuerzas conservativas y energı́a potencial
Suponemos como antes una fuerza que actúa sobre un cuerpo, produciendo
un trabajo. Si la intensidad de la fuerza depende exclusivamente de la posición
en que está el cuerpo sobre el cual actúa, decimos que se trata de una fuerza
conservativa.
Si la fuerza traslada el cuerpo desde una posición A a otra B, el trabajo
efectuado se puede poner como
Z B
W =
F (x)dx
A
Si g(x) es una primitiva de F (x), tendremos, por la regla de Barrow, que
W = g(B)−g(A). Se puede entonces considerar g como una función que depende
del punto considerado; el incremento en el valor de g(x) al pasar de A a B es el
trabajo. Sin embargo, nótese que g no está determinada de modo único por ser
una primitiva de F : cualquier función de la forma g(x) + C también cumplirá la
misma condición.
La energı́a potencial del sistema es precisamente una tal función g (aunque
cambiada de signo). Por este cambio, se tiene
W = VA − VB
y el trabajo se iguala a la disminución de la energı́a potencial. Por la elección de V , −V (x) es una primitiva de F (x) y ası́ F (x) = − dV
dx y VA − VB =
RB
F (x)dx.
A
Se mencionó ya que la función g no está unı́vocamente determinada por
ser primitiva de F . Ası́, la elección de −V como función g va asociada a una
elección de la constante de integración. Por convenio, se elige que el potencial
vale 0 en el infinito. De este modo, en la situación anterior, el trabajo realizado
para trasladar el objeto desde el punto A hasta el infinito será VA − V∞ = VA ,
y obtenemos ası́ el valor de la energı́a potencial en un punto A.
Por ejemplo, el trabajo realizado para alejar una carga eléctrica q2 desde una
distancia x de otra carga q1 de signo opuesto hasta el infinito es:
Z ∞
q1 q2
=
F (x)dx
W =
4π0 x
x
q1 q2
Usamos aquı́ una integral impropia. Se tiene entonces 4π
= Vx − V ∞ = Vx
0x
que nos da la energı́a potencial del sistema formado por esas dos cargas.
4.
Ejercicios
1. Calcular la integral definida
Z
15
√
4
0
15
dx
x+1
2. Hallar el área de la figura limitada por la hipérbola equilátera xy = a2 , el
eje de abscisas y las rectas x = a y x = 2a.
R x3 −x −t2
3. Encontrar los valores de x para los que la función F (x) = 0
e dt
alcanza sus extremos relativos.
4. Hallar el área de la figura comprendida entre la curva y = 4 − x2 y el eje
horizontal.
5. Hallar el área total de la figura encerrada por las curvas y = x3 , y = 2x,
y = x.
6. Hallar la longitud del arco de la curva y = 1 − ln(cos x) entre los lı́mites
x = 0, x = π4 .
7. La figura limitada por la curva y = xex y las rectas y = 0, x = 1, gira
alrededor del eje x. Hallar el volumen del cuerpo de revolución engendrado.
8. Calcular la integral impropia
∞
Z
e−2t dt
0
9. Un móvil parte del origen de coordenadas y se desplaza 335
27 unidades a lo
largo de la curva y = x3/2 . ¿Cuál es el punto al que llega?
10. Hallar el área de la figura limitada por la curva y = x3 , la recta y = 8 y
el eje vertical.
11. Hallar el área del dominio limitado por un arco de la cicloide x = a(t −
sen t), y = a(1 − cost), y el eje de abscisas.
12. Hallar el área del dominio limitado por la curva (dada en coordenadas
polares) ρ = acos ϕ.
13. La figura limitada por un arco de la sinusoide y = sen x y el eje x gira
alrededor de dicho eje. Hallar el volumen del cuerpo de revolución engendrado.
14. Hallar la longitud del arco de la catenaria y = a2 (ex/a +e−x/a ) comprendido
entre el origen de coordenadas y el punto (x, y).
15. Calcular el volumen del segmento obtenido al cortar el paraboloide elı́ptico
y2
z2
2p + 2q = x por el plano x = a.
16. Calcular la integral definida
Z
1
dx
(x + 2)(2x − 3)
0
17. Calcular la integral impropia
Z
1
√
0
16
dx
x(1 − x)
18. Calcular la integral impropia
Z
∞
e−at cos(bt)dt
0
17