Aberraciones

Aberraciones
1
Definiciones
„
Aberración es el defecto de imagen en comparación con
la aproximación paraxial monocromática
Aberraciones
Cromáticas
índice de
refracción n(λ)
Monocromáticas
De Seidel (tercer orden) De orden 5…
senθ = θ - θ 3 /3!
„ Aberración esférica
„ Coma
„ Astigmatismo
„ Curvatura de campo
„ Distorsión
2
Clasificación de aberraciones de Seidel
„
La diferencia de coordenadas transversales (∆x, ∆y) de la
imagen paraxial (xp, yp) y las coordenadas donde el rayo
real corte el plano paraxial imagen (x, y) [el punto objeto se
encuentra sobre plano y-z]
∆x = σ 1 ρ 3 senθ + σ 2 hρ 2 sen 2θ + σ 3 h 2 ρ senθ + σ 4 h 2 ρ senθ
∆y = σ 1 ρ 3 cos θ + σ 2 hρ 2 (2 + cos 2θ ) + 3σ 3 h 2 ρ cos θ + σ 4 h 2 ρ cos θ + σ 5 h3
„
„
„
„
„
Aberración esférica
Coma
Astigmatismo
Curvatura del campo
Distorsión
σ1 ≠ 0
σ2 ≠ 0
σ3 ≠ 0
σ4 ≠ 0
σ5 ≠ 0
ρ es la distancia del punto
de intersección del rayo con
la PE al eje óptico;
θ es la coordenada angular
polar de este punto en el
plano de PE;
h es la distancia del punto
3
objeto al eje óptico;
Aberración esférica (AE)
La AE corresponde a la dependencia de la distancia focal con la
abertura para los rayos no paraxiales
„ La AE se refiere principalmente a los rayos que proceden de
puntos objeto del eje, pero afecta a todos los puntos objeto
AEL = f p' − f h'
„ La AE longitudinal (AEL)
donde fp´ es la focal imagen paraxial y fh´ es la focal imagen para
el rayo marginal que incide a una altura h
„ La AE transversal (AET)
AET = AEL tan σ '
donde σ´ es el ángulo que forma a la salida del sistema el rayo
marginal
con el eje
óptico
„ AEL>0:
lente convergente
„ AEL<0:
4
lente divergente
„
AE en una lente con objeto en el infinito
Plano de mínima confusión: la intersección entre los rayos marginales y
cáustica
5
Correcciones de la AE
„
„
La AE reduce el contraste y degrada detalles de imagen
Corrección de AE:
‰
‰
‰
PE pequeño
La combinación de dos o mas lentes con focales de signos
opuestos
Elección adecuado de los radios de curvatura de la lente delgada
y del sentido en el que la lente es atravesada (AEL es mayor para
la lente plano-convexa que para convexa-plana)
R +R
S=
2
1
Factor de forma de Coddington
R2 − R1
R1 y R2- radios de curvatura de la lente delgada
s' + s
P= '
„ Factor de posición de Coddington
s −s
s, s´ la posición del objeto y de la imagen
„ Para una lente delgada de índice n sumergida en aire la
2
AE se minimiza cuando S = − 2(n − 1) P
„
n+2
6
Correcciones de AE
„
AE para la combinación de 2 lentes delgadas es
mínima si la separación de entre de ellas = la
diferencia de los focales
7
Coma
„
Se manifiesta en las imágenes de los puntos objeto extraxiales
cuando el sistema posee una gran apertura (aumento lateral
depende de la altura del rayo en la lente)
P es la imagen paraxial de O
„
Los rayos que inciden en la lente a una distancia R (R´) del eje
óptico convergen en un circulo Re (R´) en el plano imagen. 1 (1´)
son puntos tangenciales; 2 (2´) – puntos sagitales
8
Coma II
„
„
„
„
El coma tangencial CT (sagital CS) es la distancia entre
los puntos P y 1 (2) (Re coincide con el radio del círculo
comático extremal)
Si la diferencia de ordenadas de imágenes obtenidos con
el rayo marginal tangencial y paraxial ye-yp >0 el coma es
positiva, si ye-yp <0 el coma es negativa
El coma depende de la forma de la lente
Para una lente delgada CT=0 si cumple
2n 2 − n − 1
S =−
P
n +1
„
„
Las condiciones de minimización de AE y coma para
lentes delgadas son muy próximas
La coma puede eliminarse usando un diafragma en la
posición apropiada
9
Astigmatismo
„
Para un punto objeto situado a una distancia apreciable de eje
óptico, el cono de rayos incidente sobre la lente será asimétrico
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Astigmatismo II
„
„
„
„
„
„
„
El plano tangencial (meridional) que contiene el rayo principal
y la eje óptico
El plano sagital contiene el rayo principal y perpendicular al
plano tangencial
Los rayos tangenciales convergen en puntos diferentes que
los rayos sagitales
La imagen de un punto es una elipse cuyo tamaño aumenta
con la separación del punto objeto del eje.
En el plano tangencial imagen la elipse se convierte en un
segmento T perpendicular al plano tangencial
En el plano sagital imagen la elipse se convierte en un
segmento S perpendicular al plano sagital
Entre ambos planos existe un plano donde la elipse
transforma en un circulo – el circulo de minima confusión
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Astigmatismo: formación de imagen en
plano imagen tangencial y sagital
12
Astigmatismo III
„
„
Las imágenes tangencial (T) y sagital (S) de un plano objeto
se encuentran situadas en superficies no planas
Cuando la superficie de la imagen tangencial se encuentra
más próxima al sistema óptico el astigmatismo es positivo (en
caso contrario es negativo)
Superficies que reúnen las imágenes astigmáticas T y S
(astigmatismo positivo)
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Curvatura del campo
„
Aparece cuando la imagen de un objeto situado en un plano
normal al eje óptico se forma en una superficie curva
„
Un segmento esférico S0 objeto tendrá una imagen a través
de la lente como segmento esférico S0 ´
Al aplanar S0 se obtienen al plano S1. Su imagen es una
superficie parabólica de Petzval Sp´
„
14
Curvatura del campo: demostración
„
La imagen formada en una pantalla plana cerca del
plano imagen paraxial estará enfocada tan sólo en su
centro (a); al acercar la pantalla a la lente, se enfocarán
los extremos (b)
a
b
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Curvatura del campo: corrección
„
„
„
„
„
Para una lente convergente Sp´ se curva adentro (cóncava)
Para una lente divergente Sp´ se curva afuera (convexa)
Corrección de la curvatura del campo: combinación de las
lentes convergentes y divergentes
La geometría de la superficie de Petzval no depende de la
posición relativa objeto-lente ni de la posición de
diafragmas. Su forma depende de los índices de refracción y
focales de las lentes
Para dos lentes delgadas la corrección de curvatura implica
n1 f1 '+ n2 f 2 ' = 0
donde n1,2 y f 1,2´ son índices de refracción y las distancias
focales imagen de las lentes que forman el sistema
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Distorsión
„
La aberración que
rompe la relación de
semejanza entre
objeto e imagen (El
aumento transversal
es una función de la
distancia objeto - eje )
„
A diferencia de coma, una imagen del punto es un punto
Distorsión positiva (de corsé) : el aumento transversal m
aumenta con la distancia del punto objeto al eje
Distorsión negativa (de barril) : m disminuye con la distancia
del punto objeto al eje
Un sistema ortoscópico es aquél que no presenta distorsión
„
„
„
17
Distorsión
18
Distorsión
„
„
En las lentes gruesas
convergentes
(divergentes) la distorsión
es positiva (negativa)
Un sistema de lentes
delgadas tendrá
distorsión cero si su
centro óptico (sistema es
simétrica) coincide con el
centro de DA
Variación de la distorsión con la posición del DA 19
Aberración cromática: n(λ)
„
„
El índice de refracción n (Î condiciones de refracciónÎ focales
de lentes) depende de la longitud de onda λ
La formula de Cauchy, donde A, B, C son constantes del medio
n(λ ) = A + Bλ −2 + C λ −4 + ...
„
Número de Abbe para una cierta región espectral. λa (azul) λr
(rojo) son los extremos del intervalo; λx - la longitud central )
n ( λx ) − 1
υ=
n(λa ) − n(λr )
„
Ejemplo Líneas de emisión del hidrógeno: λa= λF=486,1nm o λr=
λC =656,3nm; Líneas de sodio λx= λD λD =589,3nm (o del helio
λx= λd =587,5nm)
Vidrio
„
Valores típicos del
crown
índice de refracción flint ligero
flint denso
λC
λC
λF
1,5204 1,523 1,5293
1,572
1,576 1,586
1,6665 1,6705 1,680520
Aberración cromática: lente delgada f´(λ)
„
La focal imagen de una lente delgada depende de λ
 1 1 
1
= (n(λ ) − 1)  − 
f´
 R1 R2 
„
La relación entre las distancias focales para λF, λC, λD
 1
1 
1
−

υ =
fD´
 f F ´ fC ´ 
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Aberración cromática de posición y de aumento
„
Aberración cromática de posición (o longitudinal, axial) ACP: La
distancia entre las posiciones de las imágenes obtenidas para
los colores C (rojo) y F (azul)
ACP = s´C − s´F = ∆s´
„
Aberración cromática de aumento (o transversal, lateral) ACA:
La diferencia de tamaño de las imágenes obtenidas para los
colores distancia entre las posiciones de las imágenes obtenidas
para los colores C (rojo) y F (azul)
ACA = y´C − y´F
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Aberración cromática: correcciones
„
„
„
Para corregir la aberración cromática utilizan un sistema de
varios lentes con ACP positivas y negativas.
ACP = s´Cde− sonda
´F = ∆s´
Un sistema acromático: ACP=0 para dos longitudes
Un sistema apocromático: ACP=0 para tres longitudes de onda
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Remarques
„
„
„
„
AE es la única aberración monocromática que sufren los
puntos axiales
Si cumple la condición Seno de Abbe y no hay AE Î
sistema es libre de coma
Si colocamos un orificio muy pequeño centrado en el eje
del sistema todas las
aberraciones desaparecen
excepto la distorsión. Porque
solo un rayo de cada punto
del plano objeto pasará por el orificio
La aberración cromática se presenta en óptica paraxial
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