LEOVARDO MATA MATA

DINÁMICA NO LINEAL EN EL TIPO DE CAMBIO REAL
Leovardo Mata y Juan D. Salcedo
Maestría En Economía
Profesores De El Colegio De México
[email protected]
[email protected]
DINÁMICA NO LINEAL EN EL TIPO DE CAMBIO REAL
Resumen. Este estudio analiza el comportamiento del tipo de cambio real en México a la luz de
dinámica no lineal, se usan las series anual y trimestral del Tipo de Cambio Real bilateral
México-Estados Unidos entre 1980 y 2004. En particular, existe evidencia de dinámica caótica no
lineal mediante el cálculo del exponente dominante de Lyapunov, lo que sugiere que los
movimientos en el tipo de cambio real no son aleatorios.
Palabras clave. Exponente de Lyapunov, tipo de cambio real, no linealidad, caos, bootstrap,
algoritmo de Wolf.
1. INTRODUCCIÓN
La experiencia nos enseña que existen fenómenos naturales que son impredecibles, para ello
basta considerar el pronóstico del clima. Es indudable que el desorden y la irregularidad son los
actores principales de muchos fenómenos naturales y sociales. Por ello en años recientes se ha
comenzado a hablar incesantemente de la aperiodicidad de ciertos sistemas físicos y económicos.
Los científicos de antaño sabían que la naturaleza está gobernada por leyes cuyas estructuras no
son lineales. Sin embargo, la solución de los correspondientes sistemas de ecuaciones no lineales
requería cálculos numéricos imposibles y eso condujo a un “mundo linealizado''. Es aquí donde la
computadora se vuelve una herramienta fundamental, recordemos simplemente que las nociones
de sensibilidad a las condiciones iniciales y dinámica no lineal son fruto empírico directo del uso
de este instrumento.
En el campo de la Economía, particularmente en Econometría se ha suscitado un renovado interés
por modelos y análisis no lineales, ya que ofrecen una rica estructura para interpretar y explicar
diversas situaciones económicas. En este sentido, la Economía no ha sido ajena a la llamada
Teoría de la Complejidad, que se traduce básicamente en no linealidad y “caos” en diversos
modelos económicos.
En este trabajo nos centramos en el comportamiento del tipo de cambio real (TCR) bajo este
nuevo enfoque. Si bien es cierto que existe una amplia gama de estudios y literatura sobre el TCR
en México, poco se ha dicho de la “dinámica caótica” que pudiese presentar, consideramos que
realizar este tipo de estudio es relevante porque el tipo de cambio real influye de manera decisiva
en el desempeño económico.
El tipo de cambio es una variable que refleja el funcionamiento global de la economía. En la
experiencia mexicana ha sido un instrumento central de política económica, tanto en los casos en
los que se le ha empleado como ancla nominal para estabilizar el crecimiento de los precios,
como cuando se le ha utilizado como instrumento promotor de las exportaciones, por ello
mantener competitivo el tipo de cambio ha sido un aspecto central de política económica.
Un aspecto relevante es si los movimientos en los precios se reflejan en el tipo de cambio, y
viceversa, y en qué medida. Esta idea puede capturarse mediante la hipótesis de la Paridad del
Poder de Compra (Purchasing Power Parity). Si bien es cierto que esta hipótesis no ofrece una
descripción adecuada de la relación tipo de cambio-precios en el corto plazo, queda la posibilidad
de que si lo haga en un periodo mayor.
Aunque la Paridad del Poder de Compra (PPC) se ha estudiado extensivamente, los estudios
empíricos no sugieren evidencia para la PPC a largo plazo [1]. Algunos estudios han aplicado
pruebas de cointegración a tipos de cambio y niveles de precios relativos [13]. La metodología
aplicada por Edison (1987) [3] acepta la hipótesis de proporcionalidad entre tipo de cambio
nominal y relación de precios, pero no puede excluir las desviaciones permanentes de la PPC.
Una forma muy popular es la evaluación de la existencia de raíces unitarias en la serie tipo de
cambio real. Por ejemplo, Kim (1990) [8] utiliza los estadísticos de Phillips y Perron y en la
mayoría de los casos que analiza puede rechazar la hipótesis de raíz unitaria.
En este estudio, se analiza el comportamiento del TCR desde el punto de vista de dinámica no
lineal, esto tiene su motivación intuitiva en que el TCR sigue un proceso dinámico caótico no
lineal, el cual “imita” conductas estocásticas. Cuando decimos “caótico” hablamos de
sensibilidad a condiciones iniciales [12], de esta forma la presencia de “caos” se prueba
calculando el estimador del exponente dominante de Lyapunov [10,14].
La idea de “caos” representa un cambio radical para explicar las fluctuaciones observadas en las
series de tiempo económicas, ya que las irregularidades observadas que surgen de la interacción
entre diversas variables, reciben una explicación endógena y determínistica.
2. TIPO DE CAMBIO REAL
2.1 Tipo de cambio real
El tipo de cambio nominal y el tipo de cambio real [9] son dos precios relativos asociados a la
existencia de economías abiertas con diferentes monedas. El tipo de cambio nominal es el precio
relativo de una moneda con respecto a otra. Se define como el número de unidades de moneda
doméstica por unidad de moneda extranjera o, alternativamente, como el precio de una unidad de
moneda extranjera en términos de moneda doméstica.
El tipo de cambio real es el precio de los bienes extranjeros en términos de los bienes domésticos.
Si el índice de precios del país extranjero en el tiempo t es Pt* y el de los bienes domésticos es
P t , el tipo de cambio real es igual a
TCRt =
Et Pt
Pt*
donde E t son las unidades de moneda nacional que hay que pagar para obtener una unidad de
moneda extranjera (tipo de cambio nominal)1 .
Un concepto relacionado al TCR es la Paridad del Poder de Compra, el cual fue desarrollado en
1914 por Gustav Cassel. Básicamente, la PPC no es otra cosa que una reformulación de la “ley de
un solo precio”, según la cual un producto homogéneo debe tener un mismo precio a nivel
internacional. Si Pt es el precio doméstico cotizado en moneda nacional y Pt* es el precio
externo para el mismo bien, pero cotizado en moneda extranjera, entonces la PPC, establece que
Pt = E t Pt * .
La teoría de la PPC es un enfoque de determinación del tipo de cambio de equilibrio cuyas
proposiciones son básicamente dos: (1) el TCR de equilibrio de largo plazo es constante y es
aquél que deja la cuentas externas balanceadas, y (2) el TCR observado en el corto plazo es
función del de largo plazo, en el sentido en que el primero presenta una tendencia a aproximarse
al segundo. La forma particular que asumirá la PPC depende del régimen cambiario en que se le
ubique. Cuando el tipo de cambio es flexible, el teorema de la PPC en su versión absoluta se
presenta como una teoría que permite determinar la tasa cambiaria spot, en tanto que cuando es
fijo, se convierte en una teoría que intenta explicar la transmisión internacional de la inflación.
En este contexto, el tipo de cambio es entendido como un fenómeno puramente monetario. En
otras palabras, la PPC busca determinar en que medida el TCR observado está en desequilibrio
debido a que el tipo de cambio nominal no se ha ajustado a las variaciones en el nivel de precios
doméstico respecto al externo (con tipo de cambio flexible), o bien los precios internos no se han
1
Ambos índices deben encontrarse en la misma base.
ajustado para igualarse con los externos, valuados en la misma moneda, de modo que se
mantenga el TCR de equilibrio (con tipo de cambio fijo).
2.1. Tipo de cambio flexible
El tipo de cambio nominal spot ( E t ), medido como el número de unidades de moneda doméstica
por unidad de moneda extranjera, es proporcional a la relación entre el nivel interno de precios
( Pt ) y el nivel de los precios externos ( Pt* ); es decir
E t = S ( Pt / Pt * ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)
donde S es el tipo de cambio real de equilibrio de largo plazo, el cual se mantiene constante, de
hecho, si se cumple la PPC en su versión absoluta, S será igual a uno. En este esquema, la tasa
spot es considerada como la variable endógena y los precios como exógenos. De acuerdo con la
PPC, la tasa spot debe moverse de tal modo que cualquier diferencia en los precios sea
compensada. Más aun, si el cambio es instantáneo, no existe posibilidad para una modificación
del tipo de cambio real. Sin embargo, en general, se acepta que cuando la reacción no es lo
suficientemente rápida, las variaciones fluctuarán en torno a una media constante definida por S.
2.2. Tipo de cambio fijo
En este caso, los precios internos son la variable endógena. La expresión (1) podría escribirse
como:
Pt =
1
E t Pt* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)
S
Esto quiere decir que los precios internos se mueven en respuesta a los cambios en los precios
externos con el fin de que se mantenga constante la tasa de equilibrio de largo plazo implícita en
el régimen de tipo de cambio fijo. Así, con un régimen cambiario de esta naturaleza, la tasa de
crecimiento de los precios internos de una economía pequeña y abierta está determinada e iguala
el aumento en los precios externos. Si el movimiento no fuera instantáneo, se modificarían los
términos de intercambio, pero en todo caso, la PPC implica que tales modificaciones fluctuarán
en torno a la media constante definida por la inversa del TCR de equilibrio.
2.3. La PPC como condición de equilibrio de largo plazo
El que las relaciones (1) y (2) sean válidas en todo momento o sólo en el largo plazo es una
cuestión que depende del contexto donde se les ponga. Cuando el arbitraje es perfecto, se
eliminan todas las diferencias de precios (excepto las relativas a costos de transporte y
restricciones comerciales) de modo que la PPC es válida en todo momento y para todos los
bienes. Sin embargo, en el marco de mercados no altamente organizados donde el arbitraje no es
perfecto, puede haber diferencias temporales entre los precios internos y los precios externos del
mismo tipo de bienes.
La versión más estricta de la PPC, según la cual el precio en diferentes lugares del mismo tipo de
bienes se iguala cuando se les mide en la misma moneda, no se cumple por la existencia de
obstáculos permanentes y constantes al comercio, tales como aranceles, costos de transporte y/o
de transacción. Por ese motivo, el tipo de cambio real no es permanentemente igual a uno. Por
otro lado, el no cumplimiento en todo momento de la PPC puede relacionarse con desviaciones
transitorias o con cambios estructurales. Las primeras son resultado de perturbaciones a las que la
economía se ajusta a diferentes velocidades en los mercados de bienes, de factores y de activos, y
están vinculadas a rezagos en las decisiones de los agentes, movilidad de capitales, retraso en la
disponibilidad de información, efecto amortiguador de inventarios o pérdidas, existencia de
volúmenes importantes de bienes no comerciables y flexibilidad no perfecta de precios y salarios.
Por su parte, los cambios estructurales involucran variaciones permanentes en los precios
relativos de equilibrio, y pueden ser consecuencia de cambios en los gustos y/o en los patrones de
comercio, choques tecnológicos, variaciones en la productividad y en el crecimiento económico,
etc.
En resumen, las razones para que la PPC no explique los movimientos de corto plazo del tipo de
cambio son múltiples y reflejan simplemente el hecho de que, en general, la economía no está
permanentemente en equilibrio. Sin embargo, se espera todavía que sí sea válida en el largo plazo
como condición de equilibrio.
En cualquier caso, si tomamos logaritmo natural en E t = S (Pt / Pt* ) tenemos:
ln( E t ) = ln( S ) + ln( Pt ) − ln( Pt* )
et = s + p t − p t*
Una prueba natural para la PPC es estimar la ecuación
et = s + β p t − β * p t* + u t .. . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . (3)
donde sabemos que, si el enfoque PPC se cumple, entonces debe cumplirse que β = β * = 1 , de
modo que cualquier cambio en los niveles de precios de los países se compensa con movimientos
en el tipo de cambio nominal, a excepción de choques estocásticos u t , errores que pueden evitar
que se cumpla PPC en el corto plazo (incluso con β = β * = 1 ), pero si sus efectos sobre el tipo de
cambio nominal (et) tienden a desaparecer con el tiempo, el enfoque se cumpliría en el largo
plazo.
Si rescribimos (3) bajo el supuesto de que PPC es válida, entonces tenemos
......................................................... ln (E t Pt * / Pt ) = ln(TCR t ) = s + u t ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. (4)
Es decir, PPC se puede considerar válida para México en el corto plazo si el logaritmo del tipo de
cambio real se comporta como un ruido blanco (white noise).
Respecto al largo plazo se debe estudiar si existe evidencia o no sobre la permanencia de los
choques. Es decir, si ut en (4) es una perturbación transitoria, las desviaciones de corto plazo
desaparecen con el paso del tiempo. En caso contrario, si el efecto de ut sobre el tipo de cambio
real es permanente, la PPC no se valida tampoco en el largo plazo, dado que las perturbaciones
permanecen en el tiempo, invalidando la hipótesis de una tendencia a un nivel predeterminado.
En este sentido, si existe al menos una raíz unitaria en el proceso de la serie del tipo de cambio
real, entonces las perturbaciones deben entenderse como permanentes; es decir, cualquier choque
que afecte el tipo de cambio real lo alejará para siempre de su valor inicial, hasta que un nuevo
choque lo afecte de nuevo. En este sentido, una condición suficiente para la violación de la PPC
es que la serie de tipo de cambio real este caracterizada por una raíz unitaria.
3. NO LINEALIDAD Y CAOS
Las diversas pruebas empíricas sobre PPC se han basado en modelos lineales, se ha dejado a un
lado la posibilidad de que la dinámica de las fluctuaciones económicas pueda ser no lineal. Si
este es el caso, el comportamiento aleatorio de los choques o de las propias variables económicas
sería “aparente”, ya que en realidad estaríamos hablando de “caos determínistico”.
Formalmente, es decir en términos matemáticos, no existe un consenso ni una definición única de
lo que significa “caos” [7,12]. En este trabajo, decimos que un sistema dinámico o que una
función es “caótica” si presenta sensibilidad a las condiciones iniciales [12].
3.1 Sistemas dinámicos
La iteración de una función es uno de los modelos más sencillos y ricos en estructura para
estudiar un sistema dinámico no lineal [2]. Esto se debe a que es conveniente estudiar el sistema
en incrementos de tiempo de la forma t=0,1,2,...
Definición 1. Sean X un conjunto y f : X → X una función. A la pareja ( X , f ) se le llamará un
sistema dinámico y a la función f una dinámica sobre X. Si la función f es una función no lineal
decimos que ( X , f ) es un sistema dinámico no lineal.
Definición 2. Sean X un conjunto y f : X → X una función. Para cada x ∈ X definimos
f 0 ( x ) := x, f 1 ( x) := f ( x), f 2 ( x) := f ( f ( x)),...
en general
f t ( x) := f ( f t −1 ( x)) para t ∈ {1,2,3,...}. Entonces para t ∈ N, f t : X → X es la
función definida por f t ( x) := f ( f t −1 ( x)) , para toda x ∈ X .
Definición 3. Sean X un conjunto, f : X → X una función y x ∈ X . La sucesión {f t ( x )}t∈N se
llama la órbita de x y al punto x la semilla de la órbita.
Nótese que la semilla de una órbita es el estado inicial del sistema en t=0, en este sentido
definimos xt := f t ( x ) para cada t ∈ N y x ∈ X . De esta forma la sucesión {xt }t∈N es una serie
de tiempo.
3.2 Sensibilidad a condiciones iniciales
La sensibilidad a las condiciones iniciales [12] se entiende fácilmente si observamos que
cualquier sistema dinámico que evoluciona a lo largo del tiempo puede presentar dos situaciones,
a) Condiciones iniciales muy parecidas producen resultados finales semejantes.
b) Condiciones iniciales muy parecidas producen resultados finales completamente diferentes.
En otras palabras, en la mayoría de los fenómenos naturales y sociales solamente podemos
conocer la situación inicial en forma aproximada y puede ocurrir que un pequeño error en las
condiciones iniciales produzca resultados muy diferentes a los esperados, así la predicción se
vuelve imposible y tenemos un hecho fortuito.
Definición 4. Sean (M,d) un espacio métrico, f : M → M una función y x 0 ∈ M . Decimos que f
posee sensibilidad a condiciones iniciales en el punto x 0 , si existe δ > 0 tal que para cada
ε > 0 existen y ∈ B ( x 0 , ε ) y t ∈{0,1,2,...} tal que d ( f t ( x 0 ), f t ( y )) ≥ δ .
En términos coloquiales, la idea es que pequeñas variaciones en las causas pueden llevar a
grandes diferencias en los efectos. En este sentido, nos interesa “medir'' que tan sensible es un
sistema dinámico a las condiciones iniciales, para ello vamos a emplear los llamados exponentes
de Lyapunov.
3.3 Exponentes de Lyapunov
Un exponente de Lyapunov es aproximadamente igual a la diferencia de las series de tiempo
conforme evolucionan desde condiciones iniciales ligeramente distintas.
Supongamos que tenemos una serie de tiempo producida por el sistema dinámico definido por
x t +1 = f ( x t ) , si consideramos que existe una perturbación ε 0 en t=0, entonces el error en el
tiempo t es ε t = f t ( x 0 + ε 0 ) − f t ( x 0 ) .
El crecimiento promedio del error puede medirse mediante una constante λ de forma que
ε t ≈ ε 0 e tλ ,
de donde
1
t
λ ≈ ln
εt
ε0
1 f t ( x0 + ε 0 ) − f t ( x0 )
λ ≈ ln
ε0
t
1
t
λ ≈ ln ( f t )' ( x0 )
pero
t −1
( f t )' ( x0 ) = ∏ f ' ( xi ) , xi = f i ( x 0 ).
i =0
Entonces
1 t −1
ln f ' ( xi ) .
∑
t →∞ t
i =0
λ = lim
Definición 5. Sean A ⊆ R , f : A → A una función diferenciable y x 0 ∈ A . Si existe el límite
1 t −1
ln f ' ( xi ) , xi = f i ( x 0 )
∑
t →∞ t
i =0
λ = lim
entonces λ se llama el exponente de Lyapunov de f para la órbita de x 0 y e λ se denomina el
número de Lyapunov de x 0 .
Si el exponente de Lyapunov es positivo2, entonces f posee sensibilidad a las condiciones
iniciales y decimos que f es caótica [12]. Ahora bien, notemos que el caso mencionado
corresponde a una función de una sola variable, si f es una función de varias variables tendremos
un exponente de Lyapunov por cada variable de la función, y esto se corresponde con la
dimensionalidad del sistema dinámico.
2
Si λ > 0 el error crece y tenemos sensibilidad a las condiciones iniciales, en cambio, si λ ≤ 0 no tenemos este
comportamiento.
Consideremos A ⊆ R m , f : A → A una función diferenciable y x 0 ∈ A , entonces deseamos
estudiar el comportamiento de la t-ésima iteración de f cuando se ha elegido un punto x 0' en una
vecindad de x 0 , es decir debemos analizar que sucede con f t ( x 0 ) − f t ( x 0' ) cuando x 0 − x 0'
tiende a cero.
Recordemos que existe una matriz T de tamaño m × m tal que
lim
f t ( x0 ) − f t ( x0' ) − T ( x0' − x0 )
x0' − x0
x0' → x0
=0
Llamamos a T ( x 0' − x 0 ) la derivada de f t en x 0 , que es la matriz jacobiana de f t evaluada en
x 0 y multiplicada por el vector x 0' − x 0 , a la matriz T la denotamos por J t ( x0 ).
Lo anterior nos dice que debemos estudiar el comportamiento de J t ( x 0 ) cuando t tiende a
infinito, es decir hemos reducido nuestro problema a estudiar la matriz jacobiana de la t-ésima
iteración de f. Si suponemos que J t ( x 0 ) es diagonalizable, entonces existe una matriz invertible
S t de tamaño m × m tal que
J t ( x 0 ) = S t Dt S t−1 ,
donde Dt es una matriz diagonal en la que aparecen los valores propios de J t ( x 0 ) , de esa forma
J t ( x 0 )( x 0' − x 0 ) = S t Dt S t−1 ( x 0' − x 0 ) = w1t u1t + ... + wmt u mt
donde wit son los valores propios de J t ( x 0 ) , i = 1,2,..., m. La naturaleza de la matriz jacobiana de
la t-ésima iteración de f depende de los valores propios que aparecen en Dt , luego podemos
suponer que existen constantes λi ' s tales que
wi ≈ e tλi .
1
t
λi ≈ ln wi
1
t
λi = lim ln wi
t →∞
Una forma de facilitar estos cálculos es aplicar la regla de la cadena a J t ( x0 ) , así
J t ( x0 ) = j ( xt ) j ( xt −1 ) ⋅ ... ⋅ j ( x0 ),
donde x p = f p ( x0 ) para p = 1,2,.., t y j es la matriz jacobiana de f.
Definición 6. Sean m ∈ R, A ⊂ R m ,  f : A → A una función diferenciable, x0 ∈ A y j la matriz
jacobiana de f. Para cada t ∈ N definimos la matriz J t ( x 0 ) de la siguiente forma:
J t ( x 0 ) = j ( x t ) j ( x t −1 ) ⋅ ... ⋅ j ( x 0 ),
donde x p = f p ( x0 ) para p = 1,..., t. Sea k ∈{1,2,..., m}, si J t ( x 0 ) es una matriz diagonalizable con
valores propios w1 , w2 ,..., wm , y existe el límite
1
t
λ k = lim ln wk ,
t →∞
entonces
λk
se
llama
el
k-ésimo
exponente
de
Lyapunov
de
f.
Si
existe
λ d = máx{λ1 , λ 2 ,..., λ m } > 0 , entonces f posee sensibilidad a las condiciones iniciales y λ d se
denomina exponente dominante de Lyapunov. Asimismo, el conjunto {λ1 ,..., λ m } se denomina
espectro de Lyapunov.
3.4 Estimación del exponente dominante de Lyapunov
Cuando tenemos datos experimentales o empíricos no conocemos a la función f y no sabemos si
depende de una o más variables o si depende de variables adicionales, las cuales no están
consideradas dentro del marco teórico existente. En este punto se deben estimar los exponentes
de Lyapunov mediante un algoritmo numérico.
Wolf desarrolló un método en 1985 para calcular el exponente de Lyapunov más grande
solamente a partir de una serie de datos [14]. Este método mide la constante de divergencia
entre puntos arbitrariamente cercanos. El primer paso consiste en seleccionar arbitrariamente dos
puntos muy cercanos entre sí. La dificultad consiste en descartar aquellos puntos que se
encuentran dentro del mismo periodo orbital. Una vez que se tienen los dos puntos de inicio
pertenecientes a diferentes órbitas, se deja que la dinámica del sistema los transporte hacia su
estado final, esto requiere de extensos ajustes mediante prueba y error, y se mide la distancia
entre los puntos resultantes, lo cual da la divergencia de las trayectorias en el espacio.
El algoritmo de Wolf fue de los primeros métodos numéricos para calcular los exponentes de
Lyapunov y aunque es muy sensible al ruido que puedan presentar los datos de la serie de tiempo,
ofrece una gran ventaja porque son pocos los supuestos que se deben hacer sobre la función f.
Algunos autores como Nychka hacen supuestos adicionales sobre esta función para
construir algoritmos que remuevan el ruido mediante una red neuronal y estimaciones no
paramétricas [10].
En este trabajo empleamos el algoritmo de Wolf conjuntamente con el método bootstrap para
realizar los menores supuestos sobre la función f y al mismo tiempo calcular el valor esperado del
exponente dominante de Lyapunov.
3. RESULTADOS
Antes de calcular el exponente de Lyapunov para verificar dinámica no lineal caótica en el TCR
debemos probar para el caso mexicano que el TCR no es un random walk, y que la PPC no se
cumple en el largo plazo, esto nos diría que la función que se supone para el sistema dinámico no
converge a un equilibrio y sugeriría fuertemente la idea de perturbaciones endogénas irregulares.
Asimismo, mediante una prueba de hipótesis de no linealidad, presentamos evidencia de
dinámica no lineal [4] en el TCR, lo que aunado a todo lo anterior abriría la posibilidad a la
presencia de “caos”.
La manera de probar si el logaritmo del tipo de cambio real3 es o no un ruido blanco es con la
función de autocorrelación. Esto significa que, si existe autocorrelación significativa en el
proceso de tipo de cambio real, la serie no es un ruido blanco, con lo que PPC no se estaría
cumpliendo en el corto plazo. Para probar esto, se utilizó el estadístico Q introducido por Box y
Pierce [5], que prueba la hipótesis nula de que el ln(TCRt ) es un ruido blanco.
Los resultados para el logaritmo del TCR se presentan en la tabla 1.
Tabla 1.
La hipótesis de que la serie es un ruido blanco estricto se rechaza, y tiende a confirmar la
existencia de autocorrelación, lo anterior invalida la proposición del PPC al menos en el corto
plazo.
3
Se emplea la serie trimestral del Tipo de Cambio Real bilateral México-Estados Unidos entre 1980 y 2004.
Para el largo plazo debemos estudiar si hay o no evidencia sobre la permanencia de los choques.
Es decir, si ut en la expresión 4 es una perturbación transitoria, el método a seguir aquí es probar
la presencia de raíces unitarias en la expresión 4. Si existe al menos una raíz unitaria en el
proceso de la serie TCR, entonces las perturbaciones deben entenderse como permanentes; es
decir, cualquier choque que afecte el tipo de cambio real lo alejará para siempre de su valor
inicial hasta que un nuevo choque lo afecte de nuevo. Si por el contrario se prueba la ausencia de
raíces unitarias las desviaciones del TCR, se consideraran transitorias y cualquier perturbación
provocará un efecto que se anula con el paso del tiempo.
Los resultados de aplicar la prueba bajo la siguiente especificación [4]
∆TCRt = a 0 + a1TCRt −1 + β 1 ∆TCRt − 2 + ... + ε t ,
es que no se puede rechazar la hipótesis nula de que existe una raíz unitaria en el proceso TCR, es
decir las perturbaciones son permanentes.
Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test
ADF Test Statistic
-2.187598
1% Critical Value*
5% Critical Value
10% Critical Value
-3.5000
-2.8918
-2.5827
Tabla 1.
Hasta aquí, el punto relevante fue probar si existía o no, en el tipo de cambio real, la tendencia a
volver a algún nivel predeterminado, es decir, si las desviaciones que presenta son transitorias o
permanentes.
Ahora bien, si nos enfocamos en la “variabilidad” del TCR, consideramos un modelo AR(p) en
conjunto de un ARCH(q), los cuales se encuentran dentro de la literatura estándar sobre el tipo de
cambio real.
La especificación de un modelo consiste en determinar la mejor especificación para la serie TCR,
es decir que modelo AR(p) vamos a usar para aplicarle la prueba de efectos ARCH.
Para probar si un modelo ha sido bien especificado comparamos la función de autocorrelación de
la simulación de la serie y la función de autocorrelación. En este caso, se optó por un AR(1),
luego se aplicó la prueba LM a un proceso ARCH(q). La hipótesis nula es que el modelo no
sigue un comportamiento ARCH y la hipótesis alternativa es que se trata de un proceso
ARCH(q).
Dependent Variable: TCR
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 1980:2 2004:2
Included observations: 97 after adjusting endpoints
Variable
TCR(-1)
R-squared
Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
0.996973
0.008739
114.0893
0.0000
0.788912
Tabla 2.
Tomamos entonces los residuales del modelo AR(1) y aplicamos entonces la prueba LM para los
procesos ARCH(1), ARCH(2), ARCH(3) y ARCH(4) para verificar si se trata verdaderamente
de procesos ARCH o no.
Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 1980:3 2004:2
Included observations: 96 after adjusting endpoints
Variable
C
RESID^2(-1)
Coefficient Std. Error t-Statistic
0.101576
0.173462
0.049015
0.101571
Tabla 3.
2.072344
1.707779
Prob.
0.041
0.091
La tabla 3 nos permite realizar la prueba de hipótesis de no linealidad de McLeod-Li [4] para
determinar si existen autocorrelaciones significativas en los residuales al cuadrado εˆt2 . Dado que
el coeficiente estimado asociado a εˆt2−1 es significativamente diferente de cero a un nivel de 10%,
entonces existe evidencia para afirmar la presencia de no linealidades en el TCR.
Es decir, con base en las tablas 2 y 3 tenemos que el “mejor” modelo lineal a considerar es
TCRt = β TCRt −1 + ε t
ε t ~. N (0, ht )
ht = V [ε t ] = β 0 + β 1ε 2 t −1
............................................... (5)
E[ε 2 t ε t −1 , ε t − 2 ,...] = β 0 + β 1ε 2 t −1
ε t = ν t β 0 + β 1ε 2 t −1
Es razonable suponer que los datos observados TCRt traen consigo errores intrínsecos, tales
como errores de medición, en este sentido es factible considerar que el tipo de cambio real
verdadero X t (no observado) es
X t = f ( Z t −1 ) ................................................................(6)
donde f es una función no lineal determínistica y Z t −1 es un vector4 de dimensión p que reúne
todas aquellas variables en t-1 que afectan y determinan el tipo de cambio real en el tiempo t , es
decir
TCRt = X t + ν t
TCRt = f ( Z t −1 ) + ν t ......................................................(7)
4
Nótese que Z
t −1
incorpora a los rezagos de X y otras variables adicionales que pueden o no ser observadas.
t
donde ν t es una variable aleatoria i.i.d. tal que
E[ν t ] = 0
V [ν t ] = σ 2 < ∞.
Tomando el valor esperado en (5) y (7) tenemos que
E [TCRt Z t −1 ] = f ( Z t −1 ) + E [ν t Z t −1 ] = βTCRt −1 + E [ε t Z t −1 ],
así una estimación de f ( Z t −1 ) es
fˆ ( Z t −1 ) = βˆTCRt −1 ........................................................... (8)
Empleando el algoritmo de Wolf para nuestra serie de datos del tipo de cambio real podemos
calcular λ̂ d , un estimador del exponente dominante de Lyapunov λ d y utilizando el método de
bootstrap en conjunto con el algoritmo de Wolf podemos generar una muestra empírica de
tamaño T de valores estimados λˆ1d ,..., λˆTd . Finalmente, usando este conjunto de valores podemos
estimar no paramétricamente [11] la distribución de λ̂ d y calcular el valor esperado de λ̂ d 5 para
concluir si la función f es o no caótica [6].
Notemos que aún cuando no conocemos por completo las variables que afectan al tipo de cambio
real ni tampoco a la función f, podemos estimar mediante el algoritmo de Wolf el exponente
dominante de Lyapunov. No obstante, para realizar ese cálculo tenemos que suponer una
dimensionalidad del sistema, en este caso se realizó el cálculo con el valor de 2, ya que conforme
la dimensionalidad del sistema aumenta es más factible concluir comportamiento caótico 6 .
5
6
La estimación no paramétrica de E[λˆd ] elimina los errores que pudiesen acarrearse de la expresión (8).
El cálculo del Exponente Dominante de Lyapunov se realizó con base en una aplicación (free software) ubicada en
http://www.mpipksdresden.mpg.de/~tisean/TISEAN_2.1/index.html y la estimación no para-métrica mediante un
programa elaborado en la versión demo de Gauss Light 6.0.
El exponente dominante de Lyapunov estimado después de realizar la estimación no paramétrica
es E [λˆd ] = 0.6280 , el cual es mayor que cero. Esto nos indica que aun cuando no conocemos a la
función f, existe evidencia para afirmar que esta función presenta sensibilidad a las condiciones
iniciales y por tanto se puede afirmar que es una función no lineal caótica quien gobierna la
dinámica del tipo de cambio real.
4. CONCLUSIONES
La idea de caos representa un cambio radical para explicar las fluctuaciones observadas en las
series de tiempo económicas. Bajo el enfoque caótico, las fluctuaciones e irregularidades
observadas reciben una explicación endógena y determínistica, la cual surge de la dinámica no
lineal de diversas variables. En particular, se ha encontrado evidencia de caos en el tipo de
cambio real mexicano, esto nos indica que los movimientos en el TCR no son aleatorios.
Esta conclusión se basa en que existe evidencia para afirmar que la PPC no se cumple ni en el
corto ni el largo plazo, es decir no existe un equilibrio, ni se tiende a un valor en el futuro.
Existen fluctuaciones endogénas contemporáneas y no contemporáneas que alejan al TCR de un
posible equilibrio en cada instante del tiempo. Más aún, se encontró evidencia de que las
variables que influyen sobre el TCR en el tiempo t siguen una dinámica no lineal y que dicha
función determínistica no lineal es una función caótica, en el sentido de que presenta sensibilidad
a las condiciones iniciales.
La predicción en el corto plazo es posible y se presenta una propuesta de un modelo para el TCR,
pero en el largo plazo no tiene sentido, pues la sensibilidad a las condiciones iniciales produciría
pronósticos no acertados. Esto nos dice que pequeños cambios en los niveles de precios tanto de
México como de Estados Unidos tienen efectos muy grandes a la largo plazo tanto en el
intercambio comercial entre estos países como en el tipo de cambio nominal.
5. REFERENCIAS
[1] Adler M. and Lehman B., Deviations from purchasing power parity in the long run, Journal
of Finance, 38, 1471-1487.
[2] Arrowsmith D.K. et al, Dynamical Systems, 1a. edición, Chapman & Hall, U.S.A., 1998.
[3] Edison Hali F., Purchasing power parity in the long-run: a test of the dolar/pound exchange
rate (1890-1978), Journal of Money, Credit and Banking, 1987, 377-387.
[4] Enders Walter, Applied Econometric Time Series, 2ª. edición, Wiley Series in Probability and
Statistics, New York, U.S.A., 2003.
[5] Hamilton James D., Time Series Analysis, 1a. edición, Princeton University Press, New York,
U.S.A., 1994.
[6] Holden Arun V., Chaos, 1a. edición, Princeton University Press, New Jersey, U. S. A., 1986.
[7] J. Banks et al, On Devaney´s definition chaos, American Mathematical Montlhy 99.4, (1992)
332-334.
[8] Kim Yoom Bai, Purchasing power parity in the long-run: a cointegration approach, Journal of
Money, Credit and Banking, Vol. 22 Núm. 4, 491-503.
[9] Mankiw N. Gregory, Macroeconomía, 4a. Edición, Antoni Bosch Editor, Barcelona, España,
2000.
[10] Nychka D., et al , Finding Chaos in Noisy Systems, J. R. Statist. Soc. (1992) 399-426.
[11] Pagan Adrian and Ullah Aman, Nonparametric Econometrics, 1ª. edición, Cambridge
University Press
[12] Peitgen Heinz-Otto et al, Chaos and Fractals, 1a. edición, Springer –Verlag, New York,
U.S.A.,1992.
[13] Pippenger M. K., Cointegration tests of purchasing power parity: the case of Swiss exchange
rates, Journal of International Money and Finance, 12, 46-61.
[14] Wolf A., et al, Determining Lyapunov exponents from a time series, Physica 16D (1985)
285-317