Geometría de las masas

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UNIDAD Nº 2: GEOMETRÍA DE LAS MASAS.
Momentos de primer orden de superficies. Baricentros. Momentos de segundo orden de superficies.
Momento de inercia y centrífugo respecto a ejes paralelos y girados. Ejes conjugados. Ejes principales
de inercia. Circunferencia de Mohr.
SECCIÓN TRANSVERSAL DE UNA BARRA Y SU BARICENTRO.
Considérese una barra (elemento estructural donde una de sus dimensiones es preponderante sobre
las otras dos) representada por una línea denominada eje de la barra. Si en un punto cualquiera de
dicho eje se traza un plano perpendicular al mismo, la forma de la barra contenida en dicho plano se
denomina sección transversal de la barra. El punto intersección entre el plano y el eje de barra es una
característica geométrica importante de la sección transversal denominada centro de área y se define
como el punto donde puede concentrarse el área de la sección transversal.
Si la barra se encuentra constituida por un solo material de densidad y peso específico constante, el
centro de área de la sección transversal coincide con el centro de masa y con el centro de peso. El
centro de peso recibe el nombre de Baricentro o Centro de Gravedad y de allí la extensión del nombre
al centro de área de la sección transversal. Dada la habitualidad, en lo que sigue se designará al
centro de área de la sección transversal con el nombre de Baricentro, pero no se debe olvidar la
diferencia conceptual entre uno y otro elemento.
Toda vez que se analiza una estructura formada por barras, a cada barra se la representa mediante su
eje que, como resumen de lo explicado precedentemente, es la línea que une los infinitos baricentros
de las infinitas secciones transversales que la conforman y resulta además perpendicular a dichas
infinitas secciones transversales. Gráficamente:
2
Determinación del baricentro de la sección transversal.
Es habitual identificar dicho punto con la letra
expresiones:
G
y sus coordenadas surgen de las siguientes
En las expresiones que preceden:
A: es el área de la sección transversal.
x.dA: momento de primer orden del diferencial de área de la sección transversal respecto del eje y.
y.dA: momento de primer orden del diferencial de área de la sección transversal respecto del eje x.
Análisis de las expresiones (1) y (2).
Partiendo de la premisa que el área de la sección transversal es siempre distinta de cero es posible el
análisis de las siguientes dos situaciones:
Primera situación: Si un eje pasa por el baricentro de la sección transversal , el momento de primer
orden del área de la sección transversal respecto de dicho eje es igual a 0. En efecto, si se analiza la
Figura 1 y se supone que eje Y pasa por el baricentro entonces resultará XG=0 y en consecuencia de
la expresión (1), al ser A≠0 surge que
el baricentro.
∫A x.dA =0 . Lo mismo ocurre si se supone al eje X pasante por
Segunda situación: También resulta ser cierto que, si el momento de primer orden del área de la
sección transversal respecto de un eje es igual a 0, entonces el eje contiene al baricentro. En efecto, si
se analiza la expresión (1) y ∫A x.dA =0 como A≠0 entonces resulta XG=0 , implicando que el eje Y
pasa por el baricentro.
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El análisis efectuado lleva a dos conclusiones importantes:
Primera conclusión: Si una sección transversal admite eje de simetría ,el mismo contiene al baricentro.
∫A x.dA resultará al integrar, que para todo producto x.dA
resultando ∫A x.dA =0 ,entonces A . XG =0 y como A≠0 resulta
En efecto, al plantear la expresión A . XG=
existirá también un producto –x.dA
XG =0, implicando que el eje Y ( eje de simetría ) contiene al baricentro.
Segunda conclusión: A partir de la primera conclusión se deduce fácilmente que si una sección
transversal admite dos ejes de simetría, el baricentro se encuentra en la intersección de las
direcciones de ambos ejes. A continuación se grafican secciones transversales que se encuentran en
dicha situación:
En lo que sigue se determinará por definición la posición del baricentro para el triangulo rectángulo y
para el sector circular.
Triángulo rectángulo
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Operando de idéntica forma respecto del eje X es posible obtener :
Sector circular.
El eje X es eje de simetría sector circular por lo tanto es baricéntrico y en consecuencia resulta :
Para finalizar con el tema de baricentro se determina dicho punto para la sección transversal que a
continuación se grafica:
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Cálculos:
A1= -(1.5x1.5/2)cm2
= -1.13 cm2
G1 (0.50 cm ; 0.50 cm)
A2= +(1.5x5.0)cm2
= +7.50 cm2
G2 (0.75 cm ; 2.50 cm)
A3= +(2.0x1.5)cm2
= +3.00 cm2
G3 (2.50 cm ; 4.25 cm)
= +1.77 cm2
AT= +11.14 cm2
G4 (4.14 cm ; 4.14 cm)
A4= +(π x 1.52)cm2 /4
XG =(-1.13x0.50 + 7.50x0.75 + 3.00x2.50 + 1.77x4.14)cm3/11.14cm2=1.79cm
YG =(-1.13x0.50 + 7.50x2.50 + 3.00x4.25 + 1.77x4.14)cm3/11.14cm2=3.43cm
G (1.79 cm ; 3.43 cm)
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La sección transversal presenta una segunda propiedad geométrica de importancia denominada
Momento de Inercia. Esta propiedad se analiza en detalle en lo que sigue:
MOMENTO DE INERCIA.
Para la sección transversal de área A que se grafica a continuación se definen las siguientes
expresiones:
Momento de inercia de la sección transversal de área A respecto del eje X pasante por 0.
Momento de inercia de la sección transversal de área A respecto del eje Y pasante por 0.
Momento centrifugo de la sección transversal de área A respecto de los ejes X e Y pasantes por 0.
Momento de inercia polar de la sección transversal de área A respecto del polo 0.
Al momento de inercia de la sección transversal respecto de un eje, es habitual denominarlo como
momento de segundo orden ,debido a que la distancia se encuentra elevada al cuadrado.
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El momento de inercia respecto de un eje o de un polo, es siempre positivo, pues la distancia se
encuentra elevada al cuadrado. A diferencia, el momento centrifugo puede ser positivo, negativo o
nulo en función de los signos de las distancias x e y.
Radio de giro de la sección transversal respecto de un eje.
Se define como tal a la distancia respecto de un eje a la cuál es necesario concentrar el área de la
sección transversal , para que origine respecto de dicho eje igual momento de Inercia que la sección
transversal en estudio. La expresión de cálculo será:
Teorema de Steiner.
Enunciado: El momento de inercia de una sección transversal de área A respecto de un eje paralelo a
un eje baricéntrico, es igual a la suma del momento de inercia respecto de dicho eje baricéntrico más
el producto del área de la sección transversal por la distancia entre ambos ejes elevada al cuadrado.
O sea:
Demostración
La expresión 1 resulta ser IXG , la expresión 2 es nula pues se trata del momento de primer orden de
2
la sección transversal respecto de un eje baricéntrico y la expresión 3 es A.a quedando demostrado
el presente teorema.
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Determinación de momentos de inercia y momento centrífugo de distintas secciones transversales.
Sección rectangular:
Operando análogamente respecto del eje Y resulta:
El momento de inercia polar es suma de IXo más IYo.
Finalmente el momento centrífugo se obtiene como se muestra a continuación:
Operando mediante el teorema de Steiner se obtienen valores para ejes pasantes por el baricentro de
la sección transversal tal como se muestra a continuación:
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IXo = IXG + A.(h/2)2 → IXG= IXo - A.(h/2)2 → IXG = (b.h3/3) – b.h.(h/2)2=b.h3/12
IXG = b.h3/12
Análogamente:
IYG = h.b3/12
Nuevamente el momento de inercia polar es suma de IXG más IYG.
Finalmente el momento centrífugo baricéntrico se obtiene como sigue:
IXYo= IXYG +A.(b/2).(h/2)→ IXYG= IXYo - A.(b.h/4)→ IXYG = b2.h2/4- b.h.(b.h/4)=0
IXYG = 0
La sección cuadrada es un caso particular de sección rectangular donde resulta b=h .En
consecuencia le resultan de aplicación las expresiones deducidas precedentemente para la sección
rectangular.
Sección conformada por un triángulo rectángulo.
Operando análogamente respecto del eje X resulta:
El momento de inercia polar es suma de IXo más IYo.
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El momento centrífugo resulta en este caso:
Por aplicación del teorema de Steiner se obtienen valores para ejes pasantes por el Baricentro de la
sección transversal tal como sigue:
IXo= IXG + A.(h/3)2→ IXG= IXo - A.(h/3)2→ IXG = (b.h3/12) – (b.h/2).(h/3)2=b.h3/36
IXG = b.h3/36
Análogamente:
IYG = h.b3/36
Nuevamente el momento de inercia polar es suma de IXG más IYG.
Finalmente el momento centrífugo baricéntrico resulta ser:
IXYo= IXYG +A.(b/3).(h/3) → IXYG= IXYo - A.(b.h/9) = b2.h2/24- (b.h/2).(b.h/9) =
=
- b2.h2/72
IXYG = - b2.h2/72
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Sección circular.
En el caso de la sección circular es de uso habitual el momento de inercia polar, en consecuencia se
determinará dicho valor para el baricentro.
Si se tiene en cuenta que IPG= IXG + IYG y que además por razones de simetría IXG=IYG entonces:
A continuación se determina el momento centrífugo:
En función de los resultados obtenidos es fácil deducir las expresiones que a continuación se detallan:
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Determinación conceptual del momento de inercia de una sección transversal respecto de un eje.
Sea una sección transversal cuyo contorno presenta definición matemática compleja. En ese caso es
posible dividir la misma en n fajas de forma rectangular como se muestra en la figura que sigue y
calcular el momento de inercia de dicha sección respecto de un eje tal como a continuación se indica:
La última expresión refleja claramente la aplicación del teorema de Steiner.
Rotación de ejes de un mismo origen.
En este apartado se pretende conocer como varían los momentos de inercia y el momento centrifugo
cuando un par de ejes ortogonales entre sí y pasantes por un punto comienzan a ser rotados. Se deja
aclarado que antes de comenzar la rotación de los ejes, los valores de momento de inercia y momento
centrífugo respecto de los mismos son conocidos. A continuación se desarrolla:
Operando algebraicamente con las expresiones que preceden y recordando las identidades
2
2
trigonométricas sen2α=2.senα.cosα y cos2α=cos α- sen α es posible arribar a las expresiones
que a continuación se indican:
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IX’G = IXG. cos α + IYG. sen α - IXYG. sen2α (1)
2
2
IY’G = IYG. cos2α + IXG. sen2α + IXYG. sen2α (2)
IX’Y’G =IXYG. cos2α + [(IXG – IYG)/2]. sen2α (3)
IP’G = IX’G + IY’G = IXG + IYG (4)
La expresión (4) indica que el momento de inercia polar solo depende del polo considerado.
Ejes principales de Inercia
Cuando respecto de dos ejes ortogonales entre sí y pasantes por un mismo punto, el momento
centrífugo de la sección transversal resulta nulo, ambos reciben el nombre de Ejes principales de
Inercia. En dicha situación se cumple además que el momento de inercia alcanza valor máximo para
uno de ellos y mínimo para el otro.
Cabe aclarar que si los dos ejes NO son perpendiculares entre sí, pero el momento centrífugo de la
sección transversal respecto de ellos resulta nulo, en este caso ambos reciben el nombre de Ejes
conjugados de Inercia.
Como conclusión los Ejes principales de Inercia son conjugados de Inercia y ortogonales.
A continuación se analiza la expresión (1) en búsqueda de máximos y mínimos y se justifica la
definición de Ejes principales de Inercia. Para ello se parte de derivar respecto α e igualar a cero
dicha expresión. Es decir:
dIX’G/dα = -2.IXG.cosα.senα +2.IYG.senα.cosα -2.IXYG. cos2α=0
dIX’G/dα = [(IXG –IYG)/2].sen2α +IXYG. cos2α=0
dIX’G/dα = IX’Y’G =0
La expresión remarcada se cumple siempre que:
se satisface para dos valores del ángulo α (α1 y
tg 2α = 2.IXYG /(IYG – IXG) ,expresión que
α2) que difieren entre sí en 90º.
Finalmente los ejes determinados en el proceso de búsqueda de máximos y mínimos de la función
momento de inercia, resultan ortogonales entre sí y conjugados de inercia respondiendo claramente a
la definición de Ejes principales de inercia.,quedando justificada su definición.
Como ya se sabe, si una sección transversal presenta eje de simetría dicho eje es baricéntrico. En lo
que sigue se justifica que además el eje en cuestión es principal de inercia independientemente de si
el eje que le resulta perpendicular es o no baricéntrico .
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Para el análisis se parte de la figura que a continuación se grafica:
De la observación de la figura surge que a cada diferencial de momento centrífugo positivo le
corresponde uno negativo motivo por el cuál el momento centrifugo de la sección transversal respecto
de los ejes planteados resulta nulo.
Si particularmente la sección transversal admite dos ejes de simetría (como en el caso de la sección
rectangular, cuadrada y circular) ,la intersección de dichos ejes definen el Baricentro resultando
ambos Ejes principales de inercia baricéntricos.,dado que son perpendiculares entre sí y conjugados
de inercia.
Determinación de momentos de inercia y centrífugo respecto de ejes no ortogonales entre sí de igual
origen.
Operando algebraicamente se obtienen las siguientes expresiones:
IUo = IXo. cos2α + IYo. sen2α - IXYo. sen2α
IVo = IXo. cos2β + IYo. sen2β - IXYo. sen2β
IUVo =IXYo. (senα.cosβ + senβ.cosα) - (IXo.cosα.cosβ + IYo.senα.senβ)
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Cabe aclarar que IXo , IYo y IXYo son valores previamente conocidos.
α ,la posición del eje U queda definida. Si ahora se desea conocer el
eje conjugado de inercia del eje U se debe igualar a cero el momento centrífugo (IUVo=0) y de allí
Si particularmente se conoce
surgirá la posición del eje V definida por el ángulo
β cuya expresión de cálculo resulta ser :
tg β = (IXo – tg α.IXYo)/(IXYo – tg α.IYo)
α=90º o α=270º la expresión que precede se indetermina. En este caso operando con la
expresión de IUVo igualada a cero resulta:
Cuando
tg β = IXYo/IYo
Circunferencia de Mohr.
Se trata de un método gráfico para el giro de ejes .A continuación se indica su construcción y
utilización y al final se justifica el procedimiento. Se considera una sección transversal de área A y
baricentro G.
Construcción de la circunferencia de Mohr pasante por el baricentro de la sección transversal
conocidos IXG , IYG y IXYG :
Para la construcción se supone IYG > IXG y IXYG positivo. Además se adopta una escala de
inercia (fijando previamente el diámetro D de la circunferencia de Mohr) definida por la siguiente
expresión
Escala de Inercia = IPG/D =
(IXG + IYG) / D
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A partir de G y sobre el eje X se dibuja un segmento que en escala representa a IYG. A partir del
extremo final de dicho segmento y sobre el eje X se representa en escala IXG al mismo tiempo que
en dirección del eje Y ,y en sentido positivo, se dibuja un segmento representativo de IXYG (si IXYG
se hubiera supuesto negativo entonces se representaría en el sentido negativo del eje Y).En el
extremo final de este último segmento se encuentra ubicado el punto P denominado Punto Principal
de Inercia.
Finalmente se traza la Circunferencia de Mohr cuyo radio es D/2 .Obviamente dicha circunferencia
pasa por el punto G.
Determinación de la posición de los ejes principales de inercia. Obtención del momento de inercia
máximo y mínimo.
Se traza un diámetro de la circunferencia de Mohr pasante por C y por P definiendo el punto A y el B.
El eje pasante por G y por A es principal de inercia y además el momento de inercia de la sección
transversal respecto de dicho eje es máximo e igual al segmento AP medido en la escala de inercia.
El eje pasante por G y por B es principal de inercia y además el momento de inercia de la sección
transversal respecto de dicho eje es mínimo e igual al segmento BP medido en la escala de inercia.
Los ejes principales de inercia se encuentran rotados respecto de la horizontal un ángulo de valor α.
Se puede observar que a los ejes principales de inercia no se les ha asignado sentido. No resulta
necesario dado que respecto de ellos el momento centrifugo ( cuyo signo depende del sentido de los
ejes) vale cero.
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Determinación del eje conjugado de inercia de un eje dado.
Dado un eje U pasante por G cuya posición se conoce a partir del ángulo α y que corta a la
circunferencia de Mohr en el punto A, para definir el eje V (conjugado de inercia del eje U) , se traza la
cuerda AB pasante por P. Finalmente el eje V queda definido en la dirección GB .En este caso
tampoco sería necesario asignar sentido a los ejes U y V puesto que respecto de ellos el momento
centrífugo vale cero.
Determinación de momentos de inercia y centrífugo respecto de un par de ejes dados.
Dados los ejes U y V que cortan a la circunferencia de Mohr en los puntos A y B queda definida la
cuerda AB .La distancia entre dicha cuerda y P, en la escala de inercia, determina el valor del
momento centrífugo IUVG cuyo signo depende de si P y el origen de coordenadas (G en este caso) se
encuentran o no de un mismo lado respecto de la cuerda AB. Si se encuentran de un mismo lado el
signo es negativo siendo positivo en caso contrario.
Si en A se traza una tangente a la circunferencia de Mohr (recta perpendicular al radio CA ), la
distancia entre dicha tangente y P medida en la escala de inercia resulta ser IUG . De igual forma se
determina IVG .
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Justificación de la construcción de la circunferencia de Mohr.
La intersección de los ejes X e Y con la circunferencia de Mohr define la cuerda GB (coincidente con el
diámetro de la circunferencia) cuyo centro es C. ( para mejor comprensión girar levemente el eje Y en
sentido antihorario y luego volverlo a su posición original).
Por definición de momento centrífugo resulta:
De la figura se obtiene:
h= GE . senα
y
dIXYG= ρ2. dA . senα . cosα (1)
GE = GB . cosα
→ h= GB . senα. cosα
Llamando D (diámetro de la circunferencia de Mohr) al segmento GB se obtiene:
senα . cosα = h/D (2)
Reemplazando (2) en (1) y recordando la definición de momento de inercia polar resulta :
dIXYG = (dIPG/D).h (3)
Si al cociente
dIPG/D se lo denomina diferencial de área ficticia ( dAf ) entonces resulta:
dIXYG = dAf .h (4)
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Es decir que a cada diferencial de área de la sección transversal (cuyo área total es A ) le
corresponde un diferencial de área ficticia que se ubica sobre la circunferencia de Mohr a distancia h
de la cuerda GB. Consecuentemente, recordando la definición de baricentro , la distancia a la cuerda
del punto donde puede concentrarse el área ficticia surge de la siguiente expresión:
∫A dAf .h = (∫A dAf).hXYG (5)
Reemplazando (4) en (5) :
∫A dIXYG = (∫A dAf).hXYG (6)
Si se tiene en cuenta que:
dAf = dIPG/D entonces:
∫A dIXYG = (∫A dIPG/D).hXYG (7)
Resulta la siguiente expresión:
IXYG = (IPG/D). hXYG (8)
Si se define la escala de inercia como: Escala de Inercia = IPG/D la expresión (8) se transforma
como sigue:
hXYG
= IXYG / Escala de Inercia
Quedando definida de esta manera la distancia del punto P a la cuerda.
Si el eje Y se gira hasta hacerlo coincidir con el X, entonces la cuerda GB se transforma en la tangente
a la circunferencia en B. En este caso resulta :
hXG
= IXG/ Escala de Inercia
Análogamente si el eje X se gira hasta hacerlo coincidir con el Y, entonces la cuerda GB se transforma
en la tangente a la circunferencia en G. En este caso resulta :
hYG = IYG/ Escala de Inercia
El diámetro de la circunferencia D representa al momento de inercia polar de polo G medido en la
escala de inercia y es además suma de hYG más
queda definido parcialmente el punto P pues
hXG. Con cualquiera de estos dos valores y hXYG
aún falta justificar que si IXYG es positivo entonces
hXYG debe dibujarse según el sentido positivo del eje Y .
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Para dicha justificación se analiza el dA (ver figura de análisis ) cuyo diferencial de momento
centrifugo es positivo (producto del dA por dos coordenadas negativas). Además en función de la
expresión (4) dicho diferencial de momento centrifugo es igual al dAf por h .
Para mantener la igualdad en este caso h debe ser positiva y de la figura de análisis surge que ha
quedado representada en el sentido positivo del eje Y.
En contraposición, si se analiza el dA’ su diferencial de momento centrifugo es negativo debiendo
resultar h’ negativa en función de la expresión (4).De la figura de análisis surge en este caso que h’
queda dibujada en el sentido negativo del eje Y.
Como conclusión de lo expresado si IXYG es positivo entonces hXYG debe dibujarse según el
sentido positivo del eje Y. Obviamente si IXYG es negativo
negativo del eje Y.
hXYG
debe dibujarse según el sentido
Para dotar de mayor generalidad esta última justificación se debe imaginar al eje Y rotado un pequeño
ángulo en sentido antihorario. En dicho caso la cuerda sigue pasando por B pero se desplaza
ligeramente hacia abajo y en dicho caso el punto G queda ubicado por encima de la cuerda al tiempo
que el punto P queda ubicado por debajo de la misma .Dicho de otra forma: cuando el momento
centrifugo es positivo el origen de coordenadas y el punto principal de inercia de la circunferencia de
Mohr quedan ubicados a ambos lados de la cuerda definida por la intersección de los ejes con dicha
circunferencia. En contraposición cuando el momento centrífugo es negativo ambos puntos quedan
ubicados a un lado de la cuerda.
Para determinada sección transversal, la circunferencia de Mohr pasante por un punto determinado (G
en este caso) y construida en base a un diámetro D previamente fijado, presenta un punto principal de
inercia P cuya posición no varía en función de los ejes considerados para su construcción, por tratarse
del punto donde puede concentrarse el área ficticia
IPG/D
, que solo depende del momento de
inercia polar de la sección en estudio (polo G en este caso) y del diámetro D utilizado en su
construcción. El precedente análisis tiene por objeto establecer que: una vez construida la
circunferencia de Mohr pasante por un punto, la misma permite estudiar cualquier eje pasante por el
mismo.
Justificación de la utilización de la Circunferencia de Mohr.
Determinación de ejes principales de Inercia.
En este caso la cuerda debe ser un diámetro para que los ejes sean ortogonales entre sí. Además
como la distancia desde P a la cuerda es IXYG y este debe ser nulo, entonces la cuerda debe pasar
por C y por P. Para definir Imáx y Imín es necesario girar cada eje hasta hacerlo coincidir con el otro
y en dicho proceso (como ya se explicó en la construcción) la cuerda se transforma en la tangente a la
circunferencia, resultando el momento de inercia la distancia entre dicha tangente y el polo medida en
la escala de inercia.
Determinación del conjugado de Inercia de un eje dado.
Conocida la posición del eje U pasante por el punto G mediante el ángulo
α
para determinar el eje
conjugado de Inercia (eje V) debe resultar IUVG=0 motivo por el cuál la cuerda debe necesariamente
contener al punto principal de inercia P .
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Determinación de momentos de Inercia y momento centrífugo respecto de un par de ejes pasantes por
G.
La justificación de la presente utilización queda contenida en la propia metodología de construcción de
la circunferencia de Mohr dado que el par de ejes mencionados en el título ,pudieron haberse utilizado
en dicha construcción.
Comentario importante sobre el Momento de Inercia.
Considérese una estructura consistente en una viga simplemente apoyada, conformada por una barra
de eje recto con determinada sección transversal y solicitada por una carga específica uniforme.
Se sabe que en la situación planteada dicha viga se deforma. En el centro de la longitud de la misma
el corrimiento vertical como consecuencia de la deformación resulta ser:
E : módulo de elasticidad longitudinal del material
La expresión que precede permite concluir que , físicamente, el momento de inercia baricéntrico de la
sección transversal respecto del mismo eje según el cuál actúa el momento flexor, es la oposición que
el elemento estructural desarrolla frente a la acción de la solicitación que tiende a deformarlo.
Consecuentemente, a mayor momento de inercia menor será la deformación del elemento estructural.
A continuación se muestra que, con igual cantidad de material , en función de la forma y la disposición
de la sección transversal frente a estado de cargas de la estructura , es posible optimizar en momento
de inercia.
Queda claro que para la estructura analizada la forma y disposición de la derecha resulta la más
adecuada.
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Ejemplos de aplicación
Ejemplo 1: Para la sección transversal que se muestra a continuación cuyo baricentro es conocido se
efectúan las siguientes determinaciones:
a-Momentos de inercia y momento centrifugo para el baricentro.
b-Ejes principales de inercia baricéntricos .Momento de inercia máximo y momento de inercia mínimo.
c-Eje conjugado de inercia de un eje dado.
Se desarrolla en forma analítica y también en forma gráfica.
Cálculos
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Para cada área definida se obtienen los momentos de Inercia y centrífugo respecto de los ejes
baricéntricos de la sección completa.
Area 1(área que se sustrae)
IXG1=IYG1=(1.5x1.53/36)cm4= 0.14 cm4
IXYG1 =(- 1.52x1.52/72)cm4
=- 0.07 cm
4
IXG=( 0.14 + 1.13x2.932) cm4=9.84 cm4
IYG=( 0.14 + 1.13x1.292) cm4=2.02 cm4
IXYG=(- 0.07 + 1.13 x (-1.29) x (-2.93)) cm4=4.20 cm4
Area 2
IXG2= (1.5x5.03/12)cm4= 15.6 cm4
IYG2= (5.0x1.53/12)cm4= 1.40 cm4
IXYG2 =0
IXG=( 15.6 + 7.50x0.932) cm4=22.08 cm4
IYG=( 1.40 + 7.50x1.042) cm4=9.51 cm4
IXYG=( 0 + 7.50 x (-0.93) x (-1.04)) cm4=7.25 cm4
Area 3
IXG3= (2.0x1.53/12)cm4= 0.56 cm4
IYG3= (1.5x2.03/12)cm4= 1.00 cm4
IXYG3 =0
24
IXG=( 0.56 + 3.00x0.82 ) cm =2.57 cm
2
4
4
IYG=( 1.00 + 3.00x0.712) cm4=2.51 cm4
IXYG=( 0 + 3.00 x (+0.82) x (+0.71)) cm4=1.74 cm4
Area 4
IXG4=IYG4= [(πx1.54/16) - (1.77 x 0.642)]cm4= 0.26 cm4
IXYG4=[(1.54/8) - (1.77 x 0.642)]cm4= - 0.09 cm4
IXG=( 0.26 + 1.77x0.712) cm4=1.15 cm4
IYG=( 0.26 + 1.77x2.352) cm4=10.03 cm4
IXYG=( -0.09 + 1.77x (+0.71) x (+2.35)) cm4=2.86 cm4
Con los valores precedentes resultan los siguientes momentos de inercia y centrifugo baricéntricos:
IXG=(- 9.84 + 22.08 + 2.57 + 1.15) cm4=15.96 cm4
IYG=(- 2.02 + 9.51 + 2.51 + 10.03) cm4=20.03 cm4
IPG=( 15.96 + 20.03 ) cm4=35.99 cm4
IXYG=(- 4.20 + 7.25 + 1.74 + 2.86) cm4=7.65
cm
4
A continuación de determinan los ejes principales de inercia baricéntricos, Imáx y Imín.
tg 2α = 2.IXYG /(IYG – IXG) = 2x7.65 /(20.03 – 15.96) =3.75921
→ α=37.55º
IX’G =IXG. cos2α+IYG. sen2α- IXYG. sen2α=(15.96 x 0.62853 + 20.03 x 0.37146
4
- 7.65 x 0.96639) cm = 10.07 cm
4
IY’G = IPG - IX’G = (35.99 - 10.07) cm4 = 25.92 cm4
25
Imáx = 25.92 cm4 para α=127.55º
Imín = 10.07 cm4 para α=37.55º
La posición del eje V conjugado de inercia de un eje U que forma un ángulo
mediante el ángulo
α=30º
se define
β cuya determinación es la que sigue:
tg β = (IXG – tg α.IXYG)/(IXYG – tg α.IYG)
tg β=(15.96 – 0.57735 x 7.65)/( 7.65 – 0.57735 x 20.03) = - 2.948985 →
β=288.73º
A continuación se traza la circunferencia de Mohr en función de IXG , IYG y IXYG , considerando un
diámetro D=10cm implicando que la escala de inercia es :
4
4
Escala de Inercia = IPG / D=35.99 cm /10cm= 3.599 cm /cm
Por claridad de representación no se dibuja la sección transversal.
26
Ejemplo 2: Para la sección transversal que se muestra, compuesta por perfiles comerciales de acero
laminado, se efectúan a continuación las siguientes determinaciones:
a-Posición del baricentro.
b-Momentos de inercia y momento centrifugo para el baricentro.
c-Ejes principales de inercia baricéntricos .Momento de inercia máximo y momento de inercia mínimo.
d-Eje conjugado de inercia de un eje dado.
El ejemplo se desarrolla completamente en forma analítica.
27
Cálculos
A continuación se determina la posición del Baricentro de la sección compuesta aclarando que los
valores geométricos indicados en la figura que precede se han obtenido del catálogo de perfiles
comerciales.
XG =( 28.0 x 9.00 + 39.5 x 4.90 )cm3 / 67.50cm2=
6.60cm
YG =( 28.0 x 5.08 + 39.5 x 18.0 )cm3 / 67.50cm2=12.64cm
G (6.60 cm ; 12.64 cm)
En lo que sigue se obtienen los momentos de inercia y centrífugo para el baricentro de la sección
transversal compuesta ,teniendo en cuenta los valores obtenidos del catálogo correspondientes al
baricentro de cada uno de los perfiles que la componen. Dichos valores se indican a continuación:
UPN 180 : IXG=1350 cm4
IYG=114 cm4 IXYG=0 (perfil simétrico)
IPN 220 : IXG=3060 cm4
IYG=162 cm4
IXYG=0 (perfil simétrico)
28
IXG=( 114 + 28 x 7.562 + 3060 + 39.5 x 5.362 ) cm4=5909.120cm4
IYG=( 1350 + 28 x 2.402 + 162 + 39.5 x 1.702 ) cm4=1787.435cm4
IPG=( 5909.12 + 1787.43 ) cm4=7696.555 cm4
IXYG=( 0 + 28 x 2.40 x (-7.56) + 0 + 39.5 x 5.36 x (-1.70)) cm4=- 867.956 cm4
Con los valores precedentemente obtenidos se determinan ahora los ejes principales de de inercia
baricéntricos como así también Imáx y Imín.
tg2α=2.IXYG/(IYG–IXG) = 2x(-867.956 /(1787.435 – 5909.120) =0.42166
IX’G =IXG. cos2α+IYG. sen2α- IXYG. sen2α=( 5909.120 x 0.9608
4
- (- 867.956) x 0.38814) cm = 6084.438 cm
→α=11.42º
+ 1787.435 x 0.0392
4
IY’G = IPG - IX’G = (7696.555 – 6084.438) cm4 = 1612.117 cm4
Imáx = 6084.438 cm4 para α=11.42º
Imín = 1612.117 cm4 para α=101.42º
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Para finalizar el ejemplo se determina el eje conjugado de inercia del eje Y pasante por el baricentro
de la sección compuesta:
Se parte de la expresión:
tg β = IXYG
/IYG
tg β = IXYG/IYG = -867.956 / 1787.435 → β=334.1º
Comentario sobre el catálogo de perfiles laminados de acero.
Del análisis del catalogo mencionado surge que:
A - Los valores de inercia contenidos en el mismo corresponden siempre a ejes baricéntricos.
B - No existe información directa en referencia al momento centrífugo. Para solucionar dicha situación
se debe recurrir a los conocimientos teóricos adquiridos teniendo en cuenta que si un perfil presenta
eje de simetría dicho eje es baricéntrico y principal de inercia implicando la inexistencia de momento
centrífugo.
C – En el caso del perfil ángulo de alas iguales el catálogo informa no solamente momentos de inercia
para los ejes X e Y sino también para los ejes principales de inercia, los cuales y por razones de
simetría se encuentran rotados 45º respecto de los ejes X e Y.
Con dichos datos y las fórmulas para giro de ejes de igual origen es sencillo obtener el momento
centrífugo baricéntrico respecto de los ejes X e Y tal como a continuación se desarrolla.
Imáx =IXG x cos245º + IYG x sen2 45º - IXYG x sen (2 x 45º)
Imín =IXG x cos2135º + IYG x sen2 1355º - IXYG x sen (2 x 135º)
Como en este caso IXG=IYG resulta entonces:
IXYG =IXG - Imáx =Imín - IXG
30
Apéndice.
Determinación de la fuerza de empuje y de la posición del centro de empuje cuando la presión
hidrostática actúa sobre una placa plana .
Como se sabe , la presión hidrostática crece linealmente con la profundidad y es proporcional al peso
específico (Pe) del fluido. Dicha presión actúa además en dirección perpendicular a la placa . A
continuación se grafica:
La expresión de la fuerza de empuje se deduce a continuación:
dE= p(y).dA= (pG + Pe.y).dA
→ E=∫A (pG
+ Pe.y).dA=
pG .∫AdA
∫
+ Pe. A y.dA
La segunda integral es nula por tratarse del momento de primer orden de la placa de área A respecto
del eje X baricéntrico . Entonces la expresión final de la fuerza de empuje es:
E= pG . A
Esta expresión indica que el empuje sobre una placa plana es igual a la ordenada de presión a nivel
del baricentro multiplicada por el área de la placa.
Además se puede concluir que placas que presenten igual posición del baricentro e igual área
presentarán idéntico empuje independientemente de sus formas. Por ejemplo:
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El Centro de Empuje ( punto donde se encuentra aplicada la fuerza de empuje) surge del siguiente
análisis:
Planteando momento de las fuerzas respecto del eje X baricéntrico se obtiene:
E .YCE = ∫A (pG . y
2
+ Pe . y ).dA=
pG .∫A y . dA
∫
2
+ Pe. A y .dA
La primera integral es nula por tratarse del momento de primer orden de la placa de área A respecto
del eje X baricéntrico . Finalmente:
YCE =Pe. IXG / E
Planteando momento de las fuerzas respecto del eje Y baricéntrico se obtiene:
E .XCE = ∫A (pG . X
+ Pe . x . y ).dA=
pG .∫A x . dA
∫
+ Pe. A x . y .dA
La primera integral es nula por tratarse del momento de primer orden de la placa de área A respecto
del eje Y baricéntrico . Finalmente:
XCE =Pe. IXYG / E
Del análisis de las expresiones obtenidas se obtienen dos conclusiones:
1-El centro de empuje (CE) se encuentra siempre por debajo del baricentro.
2-Si la placa admite eje de simetría , entonces XCE resulta igual a cero debido a que IXYG=0 .En
dicho caso el centro de empuje (CE) se encuentra verticalmente alineado con el baricentro y por
debajo del mismo.