Centroide y momento de inercia

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL
PERU
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
TEMA:
MOMENTO DE INERCIA Y CENTROIDES
CURSO:
ESTATICA
DOCENTE:
ESTUDIANTE:
HUANCAYO DEL 2012
CENTROIDE Y MOMENTO DE INERCIA
FORMULARIO DE CENTROIDE EN 2D
Forma
̅


Área
triangular
Un cuarto de
área circular
Área
semicircular
Un cuarto de
área elíptica
Área
semieliptica
̅
AREA






 

0


 



0








CENTROIDE Y MOMENTO DE INERCIA
Área
semiparabo
Área
parabólica
Enjuta
parabólica
Enjuta
general
Sector
circular






0










+

 + 

+
+
a
+
  

0
α 
CENTROIDE Y MOMENTO DE INERCIA
Forma
̅
̅
Un cuarto
de arco
circular









Arco
semicircula
r
Arco de
círculo
0
 

0
Longitud
2αr
CENTROIDE Y MOMENTO DE INERCIA
FORMULARIO DE CENTROIDE EN 3D
º1º
Forma
̅
Semiesfera




Semielipsoide
revolución







  

Paraboloide
de revolución
Volumen
CENTROIDE Y MOMENTO DE INERCIA
Pirámide


 





Ubicar su centroide en ̅ .

̅ =
̅ =
∫0 

∫0 


4
4
3

=
a
=
3
0
∫0  2 

∫0  2 
3

4
CENTROIDE Y MOMENTO DE INERCIA
Ubicar el centroide en ̅

̅ =
̅ =
∫0 

∫0 
2 2  4
 −
2
4
3
2
 −
3

=
 ∫0 ( 2 −  3 )

 ∫0 ( 2 −  2 )
a
3
8
=
o
Ubicar el centroide en x
ℎ
̅ =
∫0 
ℎ
∫0 
ℎ
=
 ∫0 ()
ℎ
 ∫0 ( 2 )
(ℎ − )2 2
 ∫ℎ(ℎ2 − 2ℎ 2 +  3 )
2
ℎ
̅ =
= 0ℎ
2
ℎ

∫0 (ℎ2 − 2ℎ +  2 )
∫0 (ℎ − )2 2 
ℎ
ℎ
∫0 
̅ =
2 2
ℎ3 4
ℎ −2
+
2
3
4
2 3
2
ℎ −2ℎ +
2
3
h
ℎ
=4
o
CENTROIDE Y MOMENTO DE INERCIA
FORMULARIO MOMENTO DE INERCIA
FORMA
Eje X
Eje Y
Eje Z
 = 
 = 












  
(  +   )
 
  
(  +  )
 


 
(  +   )
 
CENTROIDE Y MOMENTO DE INERCIA







( + )
 


+




CENTROIDE Y MOMENTO DE INERCIA








Consideramos la esfera como una serie de discos .tomemos un
disco diferencial como se muetra en la figura, su redio es
 = √ 2 −  2 , Su espesor dz.
La masa del disco es dm=
=
4
 3 
3

 2 

M es al masa de la esfera y
 de la esfera.
El momento de inercia del disco con respecto al eje z es:
1
1
 =  2 =
( 2 −  2 )
2
2
Entonces el momento de inercia de la esfera lo encontramos
integrando esta expresión desde z=-R asta z=R

1
( 2 −  2 )
− 2 
 = ∫  = ∫
2
 = 5  2
CENTROIDE Y MOMENTO DE INERCIA
Consideramos un elemento diferencial al anillo de radio r y ancho
dr , su masa es :

dm=2 2 =
2

2
el momento de inercia de este anillo con respecto el eje
perpendicular que pasa por O es :
 =  2  =  2
2
2
 = 2  3 
2


Entonces el momento de inercia del disco es :

0 = ∫ 0 = ∫
0
1
0 = 2  2
2 3
 
2
CENTROIDE Y MOMENTO DE INERCIA
PRODUCTO DE INERCIA
Llamada el producto de inercia, es necesaria a fin de determinar los momentos de
inercia máximo y mínimo para el área. Estos valores máximos y mínimos son propiedades
importantes necesarias para diseñar elementos estructurales y mecánicos como vigas,
columnas y flechas. El producto de inercia del área con respecto a los ejes x e y se define
como :
 = ∫ 
Si el elemento de área elegido tiene un tamaño diferencial en dos direcciones, para
evaluar  debe realizarse una integración doble, sin embargo, con referencias. Es más fácil
elegir un elemento que tenga un tamaño diferéncialo espesor en solo una dirección, en cuyo
caso la evaluación requiere solo una integración simple
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS
Nos dice que producto de inercia es igual al producto de inercia respecto al centroide más el
área de todo el elemento multiplicado por la distancias al centroide respecto a los ejes de
coordenadas:
 = ′′ +  
Es importante que los signos algebraicos para    se mantenga al aplicar esta ecuación
CENTROIDE Y MOMENTO DE INERCIA
EJEMPLO:
Determine el producto de inercia  del triangulo que se muestra en la figura
h
Solución: un elemento diferencial con espesor dx,
Como se muestra en figura tiene un área dA=ydx.
El producto de inercia de este elemento con respecto
b
A los ejes x y y se determina con el teorema de los ejes paralelos
 = ′′ + ̃̃
Donde ̃ y ̃ ubican el centroide del elemento o el origen de
Los ejes x’, y’ .como d′′ =0, debido a la simetría y ̃ =x

2
̃ = , entonces
h

2
=
dx
b
ℎ

ℎ
)
2
d = 0 + () ( ) = ( ) (
ℎ2 3
 
22
Al integrar con respecto a x desde x=0 hasta x=b se
Obtiene
ℎ2

 = 22 ∫0  3  =
 2 ℎ2
8
CENTROIDE Y MOMENTO DE INERCIA
CÍRCULO DE MÖHR
El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para el cálculo de los momentos de
inercia, las deformaciones y los esfuerzos, inercia, deformaciones y esfuerzos, adaptando los
mismos a las características de un círculo (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del
esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta. Este método fue
desarrollado hacia 1882 por el ingeniero civil alemán Christian Otto Mohr (1835-1918 )
Para sólidos planos o casi-planos, puede aplicarse la misma técnica de la circunferencia de
Mohr que se usa para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario
calcular el momento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, la
circunferencia de Mohr puede ser utilizada entonces para obtener este valor. También es
posible obtener los momentos de inercia principales. En este caso las fórmulas de cálculo del
momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia
son análogas a las del cálculo de esfuerzos.Final del formulario
CENTROIDE Y MOMENTO DE INERCIA
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