MODULADOR DE M´ULTIPLES PORTADORAS PARA CANALES

MODULADOR DE MÚLTIPLES PORTADORAS
PARA CANALES DISPERSIVOS
Jajamovich, Guido H. ∗ Galarza, Cecilia G. ∗∗
∗
Facultad de Ingenierı́a. U.B.A.
[email protected]
∗∗
Facultad de Ingenierı́a. U.B.A. y CONICET
[email protected]
La modulación con múltiples portadoras por excelencia es la Modulación Multitonal Discreta (DMT), basada en la Transformada Discreta de Fourier (DFT).
Sin embargo, la baja discriminación en frecuencia de la DFT deteriora la performance del sistema. Para aliviar este problema, en este trabajo, se evalúan
transformaciones basadas en bancos de filtros para ser usadas en lugar de la DFT.
Se consideran transformaciones de reconstrucción perfecta y de reconstrucción
aproximada ası́ como la técnica de ecualización. Para estos casos se muestra que
utilizando un banco de reconstrucción aproximada es posible disminuir la tasa de
error sin aumentar la potencia transmitida.
Palabras Claves:
Modulación con Múltiples Portadoras, Banco de Filtros, Ecualización
1. INTRODUCCIÓN
La interferencia entre sı́mbolos (ISI) es uno de los
principales inconvenientes a la hora de aumentar
la tasa de transmisión a través de canales dispersivos, en los cuales su ganancia y su fase dependen
de la frecuencia. Esta dependencia con la frecuencia deforma los sı́mbolos que se envı́an, haciendo
que interfieran unos con otros en el receptor.
Una posible opción para combatir el ISI consiste
en ecualizar al canal en todas las frecuencias.
Por ejemplo, para ecualizar el canal se ubica un
filtro a la entrada del receptor. La cascada del
ecualizador y el canal tiene una respuesta en frecuencia deseada. Para eliminar el ISI completamente, el ecualizador diseñado deberı́a invertir al
canal. Esta solución tiene el conocido problema
de amplificación del ruido en altas frecuencias. Un
paliativo para este problema es diseñar un ecualizador que minimice el error cuadrático medio
entre la señal transmitida y la señal ecualizada.
Este tipo de ecualizador es conocido como MMSE,
que no adolece de los problemas de amplificación
del ruido pero su performance es pobre. Para
evitar estos problemas se recurre a ecualizadores
no lineales, como en el caso del ecualizador DFE
(Cioffi).
Otra opción para combatir el ISI consiste en
el uso de modulaciones con múltiples portadoras (MCM). Aplicaciones tecnológicas donde se
utiliza esta modulación son los servicios xDLS,
su versión inalámbrica llamada OFDM y Wi-Fi
(norma 802.11a). Bajo este esquema de modulación, el canal es divido en varios canales de
menor ancho de banda, llamados subcanales. Si
se logra que el canal tenga en cada subcanal
respuesta en frecuencia constante, luego se evita
el ISI entre los sı́mbolos transmitidos en cada
subcanal. Se compensa el efecto del canal dividiendo por el valor de la respuesta en frecuencia
del canal. Ésta es una forma de usar el ancho de
banda disponible de forma eficiente, controlando
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la potencia y el número de bits a transmitir en
cada subcanal.
El sistema MCM más utilizado en la actualidad es
la modulación multitonal discreta (DMT). Este
esquema de modulación utiliza la transformada
discreta de Fourier (DFT) para definir los subcanales independientes.
Otra modalidad para utilizar el ancho de banda
con múltiples portadoras es definir subcanales con
una mayor resolución en las frecuencias como es
el caso de la modulación multitonal de onditas
discretas (DWMT), la modulación multitonal con
bancos de filtros discretos, etc (Bingham (2000)).
En este trabajo se evalúa el rendimiento de un
sistema de comunicación MCM en el cual se ecualiza linealmente el canal dispersivo. En particular,
se consideran tres esquemas diferentes de modulación multitonal. Para el canal ecualizado se
muestra que un modulador basado en un banco
de filtros de reconstrucción aproximada produce
una probabilidad de error menor que DMT y que
los sistemas de reconstrucción perfecta.
La organización del trabajo es la siguiente: En
la Sección (2) se presenta la modulación con
múltiples portadoras; en la Sección (3) se muestra el uso de Bancos de Filtros como moduladores/demoduladores; en la Sección (4) se propone un diseño posible para el ecualizador; en la
Sección (5) se presentan resultados numéricos y
un posterior análisis.
2. MODULACIÓN CON MÚLTIPLES
PORTADORAS
En la modulación con múltiples portadoras cada
sı́mbolo transmitido es la superposición de señales
linealmente independientes que forman una base.
Cada elemento de la base es portadora de información. La demodulación (recuperación de la
información) se realiza hallando la proyección de
la señal recibida sobre dicha base. En este caso se
asocia a cada elemento de la base con un subcanal.
Por ejemplo, el sistema multitonal define N subcanales en el dominio de las frecuencias. En este
caso, el flujo de datos es dividido en N bloques
y cada bloque es mapeado en una constelación y
enviado a través de un subcanal o tono. Además
se busca que cada tono tenga un ancho de banda
angosto para que la interferencia entre sı́mbolos
(ISI) dentro del subcanal sea despreciable. Una
modalidad para implementar este esquema es mediante la modulación multitonal discreta (DMT),
basada en la transformada discreta de Fourier
(DFT). Es este caso, las funciones base son
2π
φk (n) = ej N kn
n = 1, .., N
k = 0, .., N − 1
2
(1)
Es decir, no se utilizan como portadoras tonos
puros, sino el tono puro multiplicado por una
ventana rectangular de largo N .
Se ha comprobado que DMT es susceptible al
ruido de banda angosta (Jajamovich and Galarza
(2005a)). Para obtener una mayor inmunidad
a este tipo de ruido se utilizan bases ortonormales con una mayor duración temporal, logrando
ası́ una mejor resolución en frecuencia. Para no
perder tasa de transmisión se requiere que las
bases admitan solapamiento temporal, es decir,
se busca ortonormalidad a desplazamientos en el
tiempo. Por otro lado, relajando las condiciones de
ortogonalidad es posible mejorar la probabilidad
de error sin modificar la tasa de transmisión.
3. BANCOS DE FILTROS EN SISTEMAS
CON MÚLTIPLES PORTADORAS
Para lograr subcanales con alta resolución en las
frecuencias se diseña el sistema de comunicación
utilizando bancos de filtros como moduladores de
la señal a enviar al canal.
Se puede demostrar que el diseño de moduladores/demoduladores con bancos de filtros es
equivalente al problema del diseño de bancos
de análisis/sı́ntesis (Vaidyanathan (1992), Vetterli
and Kovacevic (1995)).
Para utilizar estos bancos de filtros como moduladores/demoduladores, se los utiliza en un esquema sı́ntesis/análisis como el que se muestra
en la Fig.(1). El banco de sı́ntesis recibe la información a transmitir descompuesta en M subcanales y forma la señal a enviar. Asimismo, el
banco de análisis descompone a la señal recibida
buscando obtener la información enviada. Se espera que cada subcanal sea independiente, es decir, que la información que se ubica en un subcanal pueda ser recuperada sin interferencia de
otros subcanales. También se requiere que no haya
interferencia entre sı́mbolos sucesivos.
Como todos los subcanales viajan a través del
medio fı́sico al mismo tiempo, se necesita que
éstos sean linealmente independientes, de forma
de poder recuperar la información de cada subcanal.
En la Fig.(1) se representa el esquema de modulación y demodulación para un sistema de comunicación con M portadoras. C(z) representa la
respuesta del canal y R(n) ruido aditivo. Buscar
que x
bk (n) = xk (n) es equivalente a pedir que
el banco sea de reconstrucción perfecta. Para el
diseño del banco se considera que el canal es ideal
y que no hay ruido presente.
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x0 (n)
↓M
F0 (z)
+
C(z)
3
H0 (z)
↑M
x
b0 (n)
HM−1 (z)
↑M
x
bM−1 (n)
+
R(n)
xM−1 (n)
↓M
FM−1 (z)
Fig. 1. Banco de Filtros Utilizado como Modulador
b
Se puede demostrar que la salida X(z)
de un
banco de análisis (Hk (z)) seguido de un banco de
sı́ntesis (Fk (z)) está relacionada con la entrada
X(z) mediante (Vaidyanathan (1992))
M−1
1 X
b
Al (z)X(zW l )
X(z)
=
M
(2)
fk (n) = hk (N − 1 − n)
(6)
Por ejemplo, los bancos modulados de un filtro
prototipo satisfacen esta condición. En particular,
los bancos de filtros DFT forman los diferentes
filtros hk (n) mediante modulación exponencial de
un filtro p(n).
l=0
Donde los Al (z) para l = 1, .., M − 1 son las
ganancias de los términos de aliasing y A0 la
ganancia de la señal de entrada y están dados por
la Ec.(3).
Al (z) =
M−1
X
Hk (zW l )Fk (z)
k=0
0≤l ≤M −1
(3)
b
Es decir que la salida X(w)
es una combinación
lineal de X(w) y sus desplazamientos (términos
de aliasing). Además de este fenómeno, X(w) se
ve modificado en fase y en amplitud.
Para evitar el aliasing debe pedirse que las ganancias de los términos de aliasing sean nulas.
Al (z) = 0 para 1 ≤ l ≤ M − 1
(4)
Por lo que la Ec.(5), que representa la transferencia T (z) del sistema, resulta ser la ganancia
restante.
hk (n) = p(n)ej2πkn/M
(7)
Esto implica que, aunque el filtro prototipo sea
real, los diferentes hk (n) van a ser complejos.
Para evitar esto, se puede modular mediante
coseno y no con la función exponencial compleja.
La idea es modular con la exponencial creando 2M
canales y luego asociar pares de canales de forma
tal de obtener una salida real cuando la entrada
es real.
Los bancos de filtros modulados por coseno
son ampliamente utilizados debido a su implementación optimizada via la descomposición polifásica (Vetterli and Kovacevic (1995)).
Para el caso general de un banco de filtros
obtenido a partir de un filtro prototipo P (z), la
propiedad de reconstrucción perfecta determina
condiciones sobre sus componentes polifásicas
(Koilpillai and Vaidyanathan (1992)). Sin embargo, cuando N = 4M se puede llegar a una
fórmula cerrada y consiste en
(5)
1
1
1 π
h(n) = − √ + √
cos (n + )
(8)
2 2M
4 M 2 2M
De donde se puede extraer el siguiente teorema
que caracteriza a los bancos de reconstrucción
perfecta.
A este banco se lo conoce como ELT (transformación con superposición extendida) (Vetterli
and Kovacevic (1995)).
M−1
1 X
T (z) = A0 (z) =
Hk (z)Fk (z)
M
k=0
Teorema (Vaidyanathan (1992)). Si Hk (z) y
Fk (z) satisfacen la Ec.(4) y la función de transferencia es T (z) = cz −n0 , luego x
b(n) = cx(n − n0 ),
y el sistema se llama de reconstrucción perfecta.
Una condición posible para obtener T (z) con fase
lineal es la siguiente:
Hasta ahora se pidió que el banco sea de reconstrucción perfecta. Es interesante relajar las
condiciones halladas en busca de caracterı́sticas
espectrales favorables al esquema de modulación.
En particular, si se cumple que el filtro P (z)
es aproximadamente limitado en banda se minimizan los términos de aliasing.
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π
|P (w)|2 ≃ 0 para |w| >
2M
(9)
En este caso, y si se cumple la Ec.(6), la transferencia T (z) se convierte en
T (z) =
M−1
X
k=0
|Hk (z)|2 =
2M−1
X
k=0
|Pk (zW k )|2
(10)
En la última igualdad se utilizó el hecho de que
los filtros Hk (z) son obtenidos a partir de la
Ec.(7). Luego, para que no haya distorsión se
busca satisfacer aproximadamente que
T (w) =
2M−1
X
k=0
|P (w − kπ/M )|2 ≃ 1
(11)
Ésta es la condición de reconstrucción casi perfecta (o NPR) para filtros limitados en banda
(Ec.(9)).
Si se define G(w) = |P (w)|2 , la condición (11)
requiere que G(w) sea, aproximadamente, un filtro
de Nyquist.
T (w) =
2M−1
X
k=0
|P (w − kπ/M )|2 =
2M−1
X
k=0
(12)
G(w − kπ/M ) ≃ 1
1
Esto equivale a g(2M n) ≃ 2M
δ(n), donde δ(n) es
la delta de Dirac (Lin and Vaidyanathan (1998)).
Para diseñar P (w) se supone que este filtro está
parametrizado por un parámetro real wc que
se obtiene a partir del siguiente problema de
optimización
min max |g(2M n)|
wc n,n6=0
En DMT se evita la interferencia entre sı́mbolos
consecutivos al agregar un intervalo de guarda
que consiste en una extensión cı́clica de la forma
de onda del sı́mbolo enviado (Cioffi). Si dicho
intervalo es mayor que la respuesta impulsiva
del canal, se conserva la ortogonalidad entre los
subcanales a expensas de una disminución en la
tasa de transmisión. Por esta razón aparecen los
ecualizadores en el tiempo (TEQ), cuyo objetivo
es acortar la duración de la respuesta impulsiva.
Al utilizar sistemas con múltiples portadoras con
superposición temporal, no tiene sentido hablar
de un intervalo de guarda. Sin embargo, es de
notar que la superposición en el tiempo de las
bases busca que los soportes de los subcanales en
el dominio de las frecuencias no coincidan. Por
lo tanto, un factor de amplitud no modifica su
ortogonalidad. Sin embargo, la diferencia de fase
que introduce el canal resulta en la pérdida de
la ortogonalidad entre un sı́mbolo y el mismo desplazado en el tiempo. Por lo tanto la ecualización
queda reducida a un tratamiento de la fase.
Entonces el objetivo es diseñar un ecualizador
w(n) tal que la cascada g(n) entre el canal h(n) y
el ecualizador tenga fase lineal. El requerimiento
de fase se obtiene imponiendo que la respuesta
impulsiva del canal sea simétrica alrededor de un
punto.
En este trabajo se utiliza la solución w(n) que
produce una respuesta impulsiva de la cascada
g(n) con una simetrı́a par dentro de una ventana
de largo 2δ − 1 y se minimiza la energı́a fuera de
esa ventana. La minimización se realiza sobre los
posibles w(n), y se itera sobre los distintos centros
de simetrı́a δ (Jajamovich and Galarza (2005b)).
Sean Nc y Nw el largo del canal y el largo del
ecualizador, se puede plantear el problema de
forma matricial resultando el siguiente problema
de optimización
(13)
En el caso particular en que P (z) sea obtenido
a partir de un filtro de respuesta en frecuencia
ideal multiplicado por una ventana de Kaiser
se comprueba que dicho criterio es una función
convexa de wc (Lin and Vaidyanathan (1998)).
4. ECUALIZACIÓN EN SISTEMAS CON
MÚLTIPLES PORTADORAS
En un canal dispersivo la ganancia y la fase
dependen de la frecuencia. Las señales enviadas a
través de cada subcanal son deformadas según el
espectro del canal, lo cual resulta en interferencia
entre canales (ICI) y en ISI. Ambos son inherentes
a los sistemas con múltiples portadoras (MCM).
4
min kAwk22
w
dado
Cw = 0
dt w = 1
(14)
La matriz A de (Nc + Nw − 2δ) × (Nw ) consiste en
las últimas filas de la matriz H que caracteriza al
canal. La matriz C de (δ − 1) × (Nw ) caracteriza
a la condición de simetrı́a. d es un vector a
determinar que se utiliza para evitar la solución
w = 0.
Para evitar un espacio solución vacı́o se requiere
una matriz C con un número mayor de columnas
que la dimensión del espacio generado por esas
mismas columnas. Esto implica δ < Nw + 1.
Por otro lado, para que exista la solución hallada
mediante el método de los multiplicadores de
Lagrange, se obtiene que una condición necesaria
y suficiente consiste en que δ ≤ Nc /2. La solución
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kAwk22
−1
t
del problema resulta en
= (d M d) con
d definido en la Ec. (14) y M es una matriz
definida positiva. Por lo tanto, el vector d es el
autovector asociado al mayor autovalor de M .
5. SIMULACIONES
5
sumando ruido de banda angosta con potencia
igual a la potencia de señal.
En las Fig. (3) y (4) se muestra la estimación de la
probabilidad de error en función de la frecuencia
del ruido de banda angosta.
0.4
DMT
El canal dispersivo a considerar se trata de un par
telefónico, es decir, un sistema que se puede modelizar como invariante en el tiempo, tı́picamente
pasabajos, y de larga respuesta impulsiva. En
particular, se utiliza un modelo que aproxima a la
respuesta impulsiva descrita en DMT/TM-060032 (draft) y está dada por la Ec.(15).
Probabilidad de Error
0.2
0
0
0.04
ELT
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.02
0
0
0.02
NPR
0.01
H(z) =
−0.080 − 0.054z −1 + 0.594z −2
(15)
1 − 1.212z −1 + 0.259z −2
En la Fig.(2a) se muestra la respuesta impulsiva
resultante del canal, teniendo en cuenta un largo
de 100 puntos. En la misma figura (b y c) se
muestran la respuesta impulsiva equivalente del
Canal/Ecualizador y un acercamiento sobre las
primeras doce etapas de dicha respuesta. El ecualizador utilizado tiene un largo Nw = 7.
a)
0
0
Frecuencia de Ruido de Banda Angosta (×2π rad
seg )
Fig. 3. Estimación de la Probabilidad de Error Vs.
La Frecuencia de Ruido de Banda Angosta
Es de importancia notar la diferencia de órdenes
de magnitud en los ejes de la probabilidad de
error estimada para cada una de las diferentes
modulaciones en la Fig.(3).
0.2
0.18
0.6
amplitud
0.14
0.2
0.12
0
0.1
0
10
20
30
b)
40
50
t
70
80
amplitud
0.04
0.02
0.5
0
20
40
t
60
80
0.08
0.06
1
0.5
0
60
c)
1
amplitud
Probabilidad de Error
0.16
0.4
DMT
ELT
NPR
0
0.375
0.38
0.385
0.39
Frecuencia de Ruido de Banda Angosta (×2π rad
seg )
0
2
4
6
t
8
10 12
Fig. 2. a) Respuesta Impulsiva del Canal;
b) Respuesta Impulsiva de la Cascada
Canal/Ecualizador; c) Acercamiento sobre la
Respuesta Impulsiva del Sistema Equivalente
Para todos las simulaciones se utilizó dicho ecualizador, produciendo un canal equivalente de largo
Nc = 5, por lo que se utiliza DMT con un prefijo
cı́clico de cuatro muestras. Esto hace que la tasa
de transmisión sea menor para este sistema que
para los demás.
Las otras dos modulaciones utilizadas en las simulaciones se basan, la primera, en la transformación ELT, y la segunda en un banco de reconstrucción aproximada basado en la ventana de
Kaiser (NPR). En ambos casos la longitud de las
bases es de 4M .
Se procedió a estimar la probabilidad de error enviando 105 bits en 128 canales, a través del canal,
Fig. 4. Comparación de las Estimaciones de la
Probabilidad de Error Vs. La Frecuencia de
Ruido de Banda Angosta
Se puede ver la gran dependencia de la probabilidad de error con la frecuencia de ruido de banda
angosta en DMT. Esto se debe a que, cuando el
ruido coincide exactamente con la frecuencia de
portadora, sólo se perjudican dos canal (el canal
en fase y el canal en cuadratura de una portadora), mientras que si no coincide, se degradan
una gran cantidad de canales, aumentando la
probabilidad de error (Fig.(5)).
Por otro lado se experimenta con ruido blanco
presente antes de la etapa de ecualización en lugar
del ruido de banda angosta. Se notó que para
potencias de ruido elevadas, DMT posee una tasa
mayor de errores. Esto se debe a que a la salida del
ecualizador hay ruido correlacionado. Esto hace
que el ruido deje de ser blanco, y posea mayor
energı́a, en general, en frecuencias altas. De esta
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probabilidad de error se mantiene aproximadamente constante pues, al tenerse una mayor
resolución en frecuencia, siempre son pocos los
canales que se ven afectados, logrando además
una probabilidad de error menor. Para el caso de
la modulación de reconstrucción aproximada se
lograron canales mejor definidos en frecuencia por
lo que el citado efecto es más notorio.
0.5
0.45
DMT
ELT
NPR
0.4
0.35
Probabilidad de Error
6
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
20
REFERENCIAS
25
30
35
40
45
50
55
Índice Canal
Fig. 5. Comparación de las Estimaciones de la
Probabilidad de Error Por Canal
forma, el ruido tienda a parecerse a ruido de banda
angosta y ocurra el mismo efecto que el explicado
anteriormente.
6. CONCLUSIONES
En este trabajo se presentaron dos alternativas
de múltiples portadoras a la modulación DMT.
Ambas utilizan portadoras de mayor duración
temporal, logrando ası́ una mayor resolución en
frecuencia. De esta forma se alcanza una mayor
inmunidad al ruido de banda angosta.
En particular, para lograr una mayor resolución
en frecuencia, se propuso el uso de un banco de
filtros de reconstrucción casi perfecta.
Asimismo, se diseñó un ecualizador lineal para
las modulaciones con reconstrucción perfecta y
aproximada. Es de notar que este esquema de
ecualización no implica una degradación en la tasa
de transmisión como ocurre con la adición del
prefijo cı́clico en DMT.
La performance de los tres sistemas resulta similar
frente a perturbaciones de ruido blanco. El error
asociado al banco de reconstrucción aproximada
puede ser considerado como un ruido adicional
a la salida del canal. Se verificó experimentalmente que la varianza de dicho ruido cumple con
las siguientes observaciones: Cuando la SNR es
favorable, la etapa de decisión hace que dicho
ruido no provoque errores. Y cuando la SNR es
desfavorable, el ruido sumado en el canal es tal
que hace despreciable el ruido del sistema.
Por otro lado, el ecualizador, además de lograr
un canal equivalente de fase aproximadamente
lineal, acorta la respuesta impulsiva, haciendo que
la interferencia sea con una menor cantidad de
sı́mbolos, por lo que mejora la performance de los
tres sistemas de comunicación. Asimismo permite
su uso como el clásico ecualizador en el dominio
del tiempo (TEQ) de DMT.
Finalmente, Ante perturbaciones de ruido de
banda angosta en los sistemas ELT y NPR, la
J.A.C Bingham. ADSL, VDSL, and Multicarrier
Modulation. John Wiley and Sons, 2000.
J. Cioffi. Apuntes de clases, capı́tulo iv.
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metallic acces cables; very high speed digital
subscriber line (vdsl), part 2: Tranceiver specifications.
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múltiples portadoras. 2005a.
G.H. Jajamovich and C.G. Galarza. Ecualización
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