GEOMETRÍA I Práctico 6 - 2010 1. Justificar porqué el

GEOMETRÍA I
Práctico 6 - 2010
1. Justificar porqué el cuarto criterio de congruencia no se puede enunciar tomando la congruencia de los ángulos opuestos a los lados menores.
2.
a) Determinar todas las transformaciones rı́gidas que dejan estable un paralelogramo no
rectángulo. Analizar por separado el caso en que el paralelogramo es un rombo.
b) ¿Cual serı́a el resultado si el paralelogramo fuera un rectángulo no cuadrado?
3. Probar que en todo paralelogramo la base media con respecto a un lado pasa por el centro
de simetrı́a del paralelogramo.
4. Demostrar elTeorema de Varignon: dado un cuadrilátero arbitrario, los cuatro puntos medios
de sus lados forman un paralelogramo.
5. Probar que un cuadrilátero convexo tal que una de sus bases medias es congruente a la
semisuma de las respectivas bases es un trapecio.
Ayuda: Sea abcd un cuadrilátero convexo, sean m y n los puntos medios de ab y cd respectivamente, y sea mn la base media que satisface la hipótesis del problema. Hacer una
construcción similar a la hecha en el teórico, usando la simetrı́a central Sn , para probar el
resultado recı́proco al dado. Luego usar un corolario de la desigualdad triangular.
6. Demostrar que un paralelogramo cuyas diagonales son congruentes es un rectángulo.
7. Demostrar que un cuadrilátero cuyos cuatro ángulos interiores son congruentes es un rectángulo.
8. Demostrar que todo segmento pq contenido en la región triangular correspondiente al triángulo
△abc es menor o igual que el lado mayor del triángulo. Para probar este resultado se sugiere
considerar los siguientes casos:
a) Suponer que el segmento pq esta contenido en un lado del triángulo.
b) Suponer que el segmento pq tiene uno de sus extremos en un vértice del triángulo y el
otro extremo sobre el lado opuesto a ese vértice.
c) Suponer que el segmento pq tiene sus extremos sobre los lados del triángulo pero no en
los vértices.
d ) Ahora suponer que pq es un segmento arbitrario contenido en la región triangular y
reducir este caso a los anteriores .
9. Sea abcd un cuadrilátero convexo, sean m y n los puntos medios de los lados opuestos ab
y cd, sean r y s los puntos medios de los lados opuestos bc y ad, y sean p y q los puntos
medios de las diagonales ac y bd. Demostrar que los segmentos mn, rs y pq se intersecan en
sus puntos medios.
Ayuda: Considerar primero el cuadrilátero rmsn . Sabemos, por el ejercicio 5, que este
cuadrilátero es un paralelogramo. Luego probar que el cuadrilátero mpnq es un paralelogramo
y usarlo para completar la prueba.
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10. Sea abcd un paralelogramo, e y f los puntos medios de los lados opuestos ab y cd. Demostrar
que de y f b dividen en tres partes iguales la diagonal ac.
Ayuda: Usar congruencia de triángulos.
11. Demostrar que las medianas de un triángulo se intersecan en un mismo punto, y que éste
divide a cada una de ellas en dos segmentos tales que el que va al vértice es el doble del que
va al punto medio.
Definición: Las medianas de un triángulo son los segmentos que unen el punto medio de un
lado con el vértice opuesto.
Ayuda: Considere el triángulo △abc y sean m, n y r los puntos medios de los lados ab, bc
y ac. Considere, por ejemplo, las medianas an y br y proceda como sigue:
a) Probar que las medianas an y br se intersecan en un punto o, que es interior al sector
triangular.
b) Si p es el punto medio de ao y q es el punto medio de bo, probar que pqnr es un
paralelogramo. Usar este resultado para probar que las medianas an y br satisfacen lo
que se pide demostrar.
c) Lo demostrado en los dos puntos anteriores es válido para cualquier par de medianas.
Use esta observación para completar el ejercicio.
12. Sobre los lados de un triángulo cualquiera △abc se construyen tres triángulos equiláteros
△abc′ , △ab′ c y △a′ bc hacia el exterior de △abc. Probar que aa′ ≡ bb′ ≡ cc′ .
Ayuda: Considerar los triángulos △cac′ , △bab′ , △aba′ y △cbc′ , y usar los criterios de congruencia.
13. Probar la equivalencia de los siguientes enunciados:
a) Axioma de las paralelas: Dada una recta y un punto exterior a ella, existe un única
paralela a dicha recta que pasa por el punto dado.
b) Quinto postulado de Euclides: Sean A, B y C tres rectas tales que C es secante a
A y a B en puntos distintos.
Si la suma de un par de ángulos conjugados internos es menor que dos rectos, entonces
A y B se intersecan en el semiplano determinado por C al que pertenecen los ángulos
conjugados considerados.
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