Programa de la Asignatura

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA
CÁLCULO III – SEMESTRE 1/2009
INFORMACIÓN GENERAL
I. INFORMACIÓN CURRICULAR
Código: 0253
Unidades: 5
Requisitos: 0252 Cálculo II
Horas semanales: 6
II. REQUISITOS ACADÉMICOS
El estudiante deberá tener habilidades en los siguientes aspectos:
• Cálculo de límites de una variable.
• Cálculo diferencial de funciones de una variable.
• Cálculo integral de funciones de una variable.
III. PROPÓSITO, LOGROS Y ADQUISICIONES
Al finalizar el estudio de esta asignatura el estudiante estará en condiciones
de:
• Calcular dominio, límite, derivada e integral de una función vectorial.
• Representar gráficamente una curva plana definida por sus ecuaciones
paramétricas.
• Representar gráficamente una curva plana definida por su ecuación polar.
• Calcular la longitud de una curva dada en forma paramétrica y en
coordenadas polares.
• Hacer el estudio local de una curva en el espacio, (recta tangente,
circunferencia osculatriz, planos: normal, osculador y rectificante,
vectores del triedro de Frenet, curvatura y torsión).
• Calcular velocidad, aceleración, componente tangencial y normal del
vector aceleración de una partícula cuya posición viene dada por una
función vectorial de tiempo.
• Determinar para una función real de variable vectorial: dominio, límite,
continuidad, diferenciabilidad, límite en un punto. Regla de la cadena.
1
• Encontrar el plano tangente a una superficie, hallar derivadas
direccionales y gradiente de una función.
• Resolver problemas de aplicación: valores extremos, optimización con
extremos condicionados.
• Aplicar las técnicas de integración múltiple al Cálculo de: áreas de figuras
planas y volumen de sólidos limitados por superficies, masa, momento de
masa y de inercia, centro de masa, volumen de sólidos.
IV. PROGRAMA SINÓPTICO
Funciones vectoriales de una variable real. Funciones reales de variable
vectorial. Integrales múltiples y aplicaciones.
V. PROGRAMA DETALLADO
1. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL
1.1. Cantidades escalares y cantidades vectoriales.
1.2. Función vectorial de una variable real.
1.2.1. Definición.
1.2.2. Dominio y rango.
1.2.3. Simetrías, asíntotas y tangentes.
1.2.4. Límite, continuidad, derivada e integral.
1.3. Curvas y trayectorias.
1.4. Construcción de una curva dadas sus ecuaciones paramétricas.
1.5. Sistema de coordenadas móvil.
1.5.1. Vector tangente unitario.
1.5.2. Vector normal unitario.
1.5.3. Vector binormal.
1.5.4. Planos osculador, rectificante y normal.
1.6. Curvatura.
1.7. Componente tangencial y normal de la aceleración.
1.8. Circunferencia osculatriz y centro de curvatura.
1.9. Torsión.
1.10. Ecuaciones de Frenet-Serret.
1.11. Sistema de coordenadas polares.
1.12. Representaciones de una curva.
1.13. Rotación de una curva en polares.
1.14. Ecuación polar de curvas conocidas.
2
1.14.1. Recta
1.14.2. Circunferencia
1.14.3. Elipse
1.14.4. Parábola
1.14.5. Hipérbola
1.15. Distancias en coordenadas polares.
1.16. Ecuación polar de rosas, caracoles y lemniscatas.
1.17. Intersecciones de dos curvas dadas en forma polar.
1.18. Ecuaciones paramétricas de una curva en polares.
1.19. Tangentes de una curva dada en forma polar.
1.20. Longitud de arco y área en polares.
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE VECTORIAL
2.1. Superficie.
2.1.1. Definición.
2.1.2. Traza.
2.1.3. Plano.
2.2. Superficies cilíndricas.
2.3. Superficies de revolución.
2.4. Superficies cuádricas.
2.5. Intersección de superficies.
2.5.1. Proyecciones.
2.5.2. Ecuaciones paramétricas de la curva intersección.
2.6. Funciones de dos o más variables.
2.6.1. Dominio
2.6.2. Curvas de nivel.
2.6.3. Superficies de nivel.
2.7. Límite y continuidad de una función de dos variables.
2.8. Derivadas parciales. Notaciones.
2.9. Derivadas de orden superior.
2.10.Derivada direccional.
2.11.Vector gradiente.
2.12.Plano tangente y recta normal a una superficie.
2.13.Diferenciabilidad. Condiciones suficientes. Diferencial total.
2.14.Derivada de una función compuesta.
2.14.1. Regla de la cadena.
2.14.2. Derivada de funciones definidas implícitamente.
2.15.Máximos y mínimos de funciones de dos variables.
2.15.1. Valores extremos.
3
2.15.2. Puntos críticos.
2.15.3. Criterio del Hessiano.
2.16.Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange.
2.17.Aplicaciones.
3. INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES Y SUS APLICACIONES
3.1. Definición de integral doble.
3.2. Cálculo de una integral doble por integrales iteradas.
3.3. Teorema de cambio de variables en una integral doble.
3.3.1. Matriz jacobiana.
3.3.2. Jacobiano.
3.4. Cambios de variables.
3.4.1. Polares.
3.4.2. Otros.
3.5. Aplicaciones de las integrales dobles.
3.5.1. Cálculo del área de una región plana.
3.5.2. Cálculo del volumen de un sólido limitado por superficies.
3.5.3. Cálculos sobre una lámina plana.
3.5.3.1. Masa.
3.5.3.2. Momentos.
3.5.3.3. Centro de masa.
3.5.3.4. Momento de inercia.
3.6. Definición de integral triple.
3.7. Cálculo de una integral triple por integrales iteradas.
3.8. Teorema de cambio de variables en una integral triple.
3.8.1. Matriz jacobiana.
3.8.2. Jacobiano.
3.9. Cambios de variables.
3.9.1. Cilíndricas.
3.9.2. Esféricas.
3.9.3. Otros.
3.10. Aplicaciones de las integrales triples.
3.10.1. Cálculo del volumen de un sólido limitado por superficies.
3.10.2. Cálculos sobre un sólido.
3.10.2.1. Masa.
3.10.2.2. Momentos.
3.10.2.3. Centro de masa.
3.10.2.4. Momento de inercia.
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VI. EVALUACIÓN
• Exámenes parciales. Se realizarán tres (3) exámenes parciales
teórico-prácticos, en las semanas indicadas en el cronograma estimado
de actividades, donde en el primer parcial se evalúa el tema 1, en el
segundo parcial se evalúa el tema 2 y en el tercer parcial se evalúa el
tema 3. Estos exámenes son diseñados en conjunto por todos los
profesores de la Cátedra. La calificación definitiva de cada estudiante es
el promedio de las calificaciones obtenidas en los tres exámenes
parciales. La inasistencia a por lo menos (2) parciales traerá como
consecuencia la pérdida de la asignatura y se obtendrá una
calificación definitiva de N.A. (No Asistió).
• Examen de recuperación. El estudiante podrá presentar un solo
examen de recuperación, correspondiente al parcial con menor
calificación obtenida (en caso de inasistencia a un parcial se debe
presentar la recuperación respectiva). La calificación obtenida en el
examen de recuperación sustituirá a la del parcial correspondiente. Estos
exámenes son diseñados en conjunto por todos los profesores de la
Cátedra. Su fecha de aplicación corresponderá a la semana 17 del
semestre.
• Examen de reparación. Solo tendrán derecho a presentar el examen de
reparación los estudiantes que hayan asistido a por lo menos dos (2)
exámenes parciales. Será elaborado por todos los profesores de la
Cátedra. A la entrada se exigirá el Ticket de Reparación debidamente
identificado con los datos del estudiante. Su fecha de aplicación es
asignada por la oficina de Control de Estudios.
Para cada uno de estos exámenes el profesor de la sección publicará las
notas y fijará fecha, hora y lugar en la cual los estudiantes pueden acudir
para revisar sus pruebas y determinar los errores cometidos.
La asistencia a clases es de carácter obligatorio. El estudiante que tenga
al menos 25% de inasistencias obtendrá una calificación definitiva de N.A.
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VII. INFORMACIÓN ADICIONAL
• Toda información que el estudiante deba conocer y que no se encuentre
en este instructivo, será hecha de su conocimiento:
• A través de su profesor en el aula de clases.
• Publicada en la cartelera de Cálculo III, ubicada en el tercer piso del
edificio de aulas.
• En www.joseluisquintero.com.
• En la cartelera se fijará el horario de consultas para los estudiantes que
ofrecen los profesores y preparadores de Cálculo III y el lugar donde se
dará dicha consulta.
• En los exámenes no se permitirá el uso de calculadoras, ni de tablas.
• Para presentar cualquier examen el estudiante debe identificarse con su
cédula laminada y el carnet universitario.
VIII.BIBLIOGRAFÍA
1. Edwards, J. y Penney, David. Cálculo con Trascendentes Tempranas.
Séptima edición. Prentice Hall. 2008.
2. Guerreiro, Carlos. Cálculo III. Facultad de Ingeniería. UCV. 2004.
3. Leithold, Louis. El Cálculo. 7ma edición. Oxford University Press. 1999.
4. Orellana, Mauricio. Cálculo vectorial. Facultad de Ingeniería. UCV. 1985.
5. Purcell, Edwin; Varberg, Dale y Rigdon, Steven. Cálculo. Novena edición.
Prentice Hall. 2007.
6. Quintero, José Luis. Funciones Vectoriales de una Variable Real. Facultad
de Ingeniería. UCV. 2008.
7. Quintero, José Luis. Funciones Reales de Variable Vectorial. Facultad de
Ingeniería. UCV. 2008.
8. Ríos, Alejandro. Cálculo III. Facultad de Ingeniería. UCV. 2002.
9. Salas, Hille y Etgen. Calculus. Volumen II. Cuarta edición. Editorial
Reverté. 2002.
10. Stewart, James. Cálculo. Conceptos y contextos. 3era edición. Thomson.
2006.
11. Thomas, George y Finney, Ross. Cálculo varias variables. 9na edición.
Addison Wesley Longman. 1998.
IX.COORDINACIÓN. Prof. José Luis Quintero. Ofic. 344 (Edif. Decanato)
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X. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES
Lu
Ma
Mi
Ju
Vi
No.
Contenido Programático y Actividades
NO HAY ACTIVIDADES
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19
20
1
FEBRERO
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Presentación de la asignatura. TEMA 1. (Vector: Definición y elementos).
Cantidades escalares y cantidades vectoriales. Función vectorial.
Ejemplos. Dominio y rango. Curvas y trayectorias. Ejercicios.
Parametrización de algunas curvas: recta, circunferencia, elipse,
parábola, hipérbola, cicloide y hélice. Ejemplos variados en cuanto a la
forma de recorrer la curva.
FERIADO (LUNES DE CARNAVAL)
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2
2
3
4
5
6
3
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12
13
4
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5
MARZO
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Ejemplos de parametrización de funciones a trozos donde cada trozo
involucre algún segmento de recta o alguna cónica estudiada. Expresar la
parametrización final usando un solo parámetro e indicando sentido.
(Producto escalar y producto vectorial. Norma de un vector. Vector
unitario). Límite, continuidad, derivada e integral de una función vectorial.
Interpretación geométrica y física. Longitud de arco como parámetro.
Elementos para graficar funciones paramétricas en R2: Dominio. Cortes.
Signo. Simetrías. Asíntotas. Tangentes y puntos cuspidales. Crecimiento
y decrecimiento. Valores máximos y mínimos. Ejemplos ilustrativos.
(Vectores canónicos. Ecuación del plano. Ortogonalidad). Sistema de
coordenadas móvil. Vector tangente unitario. Vector normal unitario.
Vector binormal. Recta normal. Planos osculador, rectificante y normal.
(Proyección ortogonal). Curvatura. Definición. Curvatura de una recta y de
una circunferencia. Componente tangencial y componente normal de la
aceleración. Ilustración geométrica. Ejercicios combinados.
Circunferencia osculatriz. Definición. Centro de curvatura. Definición.
Ejercicios donde se combinen conceptos de clases anteriores y el
concepto de circunferencia osculatriz y el de centro de curvatura.
Curva plana. Curva alabeada. Torsión. Definición. Torsión de la hélice.
Fórmulas de Frenet-Serret. Ejercicios donde se combinen conceptos de
clases anteriores y estos conceptos nuevos.
Sistema de coordenadas polares. Fundamentos para su construcción.
Relaciones cartesianas-polares. Falta de unicidad en la representación
polar de un punto. Representaciones de una curva. Ejemplos sencillos.
Rotación de una curva en polares. Ecuación polar de una recta. Ecuación
polar de una circunferencia. Casos de interés. Representaciones de cada
curva. Distancias en coordenadas polares. Ejercicios combinados.
Ecuación polar de una cónica. Casos de interés. Distintas
representaciones. Elipse. Parábola. Hipérbola. Ejercicios combinados
donde se grafiquen cónicas rotadas.
Ecuación polar de caracoles, rosas y lemniscatas. Representaciones de
caracoles y rosas. Intersecciones de dos curvas dadas en forma polar.
Ejercicios ilustrativos.
Repaso general.
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TALLER DE EJERCICIOS 1
PRIMER PARCIAL
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1
2
3
6
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10
7
TEMA 2. Superficie. Ejemplos. Plano. Traza. Superficies cilíndricas. Recta
generatriz. Curva directriz. Superficies de revolución. Eje de revolución.
Curva generatriz. Ejercicios de reconocimiento de las superficies.
Superficies cuádricas. Definición. Esfera. Elipsoide. Hiperboloide de una
hoja. Hiperboloide de dos hojas. Paraboloide, Cono. Paraboloide
hiperbólico. Ejemplos y ejercicios de reconocimiento de superficies.
Intersección de superficies. Proyecciones. Ejercicios variados donde se
parametricen curvas que resultan de la intersección de superficies
indicando el sentido de recorrido.
SEMANA SANTA
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24
9
ABRIL
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Introducción a las funciones de varias variables. Ejemplos ilustrativos.
Dominio. Ejemplos ilustrativos. Curvas de nivel. Superficies de nivel.
Ejemplos ilustrativos.
Límite de una función de dos variables. Métodos algebraicos. Límites por
trayectoria. Ejercicios ilustrativos. Límites iterados. Límites usando
coordenadas polares. Continuidad de una función de dos variables.
Derivadas parciales. Significado geométrico. Notaciones. Ejercicios
ilustrativos. Derivadas de orden superior. Derivadas direccionales. Vector
gradiente. Significado geométrico. Ejemplos ilustrativos.
Plano tangente y recta normal a una superficie. Ejercicios ilustrativos.
Diferenciabilidad. Condiciones suficientes. Ejercicios ilustrativos.
Diferencial total. Ejercicios ilustrativos.
Derivada de una función compuesta. Regla de la cadena. Ejercicios
ilustrativos. Derivada de una función definida implícitamente. Ejercicios
ilustrativos.
Ejercicios ilustrativos sobre todo lo visto hasta el momento del tema 2.
Máximos y mínimos de funciones de dos variables. Valores extremos.
Puntos críticos. Criterio del Hessiano. Ejercicios ilustrativos y problemas
resueltos.
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1
10
Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange. Aplicaciones.
FERIADO (DÍA DEL TRABAJADOR)
Repaso general.
4
5
6
7
8 11
TALLER DE EJERCICIOS 2
MAYO
SEGUNDO PARCIAL
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13
14
15
12
TEMA 3. Introducción. Definición de integral doble. Cálculo de una
integral doble por integrales iteradas. Ejercicios ilustrativos sobre el
cambio en el orden de integración.
Teorema de cambio de variables en una integral doble. Matriz jacobiana.
Jacobiano. Cambios de variables: polares, lineales y otros. Ejercicios
variados sobre cambio de variables.
Aplicaciones de las integrales dobles: Cálculo de área de regiones planas.
Cálculo de volumen de sólidos limitados por superficies.
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13
Cálculo de masa, momentos, centro de masa y momentos de inercia de
regiones planas (láminas). Explicación intuitiva y geométrica de la
construcción de las integrales.
Definición de integral triple. Cálculo de una integral triple por integrales
iteradas. Ejercicios ilustrativos sobre el cambio en el orden de integración.
Proyecciones en los planos cartesianos.
Ejercicios variados sobre proyecciones en los planos cartesianos.
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29
14
Teorema de cambio de variables en una integral triple. Matriz jacobiana.
Jacobiano. Cambios de variables. Uso de coordenadas cilíndricas.
Ejercicios variados sobre cambio de variables.
Coordenadas esféricas.
Resolución de integrales triples usando coordenadas esféricas.
1
2
3
4
5
15
Aplicaciones de las integrales triples: Cálculo de volumen de sólidos.
Cálculo de masa, momentos, centro de masa y momentos de inercia de
sólido. Explicación intuitiva y geométrica de la construcción de las
integrales.
TALLER DE EJERCICIOS 3
8
9
10
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12
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TERCER PARCIAL
JUNIO
NO HAY ACTIVIDADES
REVISIÓN DEL TERCER PARCIAL
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17
RECUPERACIÓN
REVISIÓN DEL EXAMEN DE RECUPERACIÓN
REPARACIÓN
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18
FERIADO (BATALLA DE CARABOBO)
REVISIÓN DEL EXAMEN DE REPARACIÓN
ENTREGA DE NOTAS FINALES
CULMINACIÓN DEL CURSO