Campos eléctricos

CAMPO ELÉCTRICO
CAMPO ELECTROSTÁTICO
La interacción electrostática de la materia viene dada por la ley experimental del Coulomb.
Esta ley es válida para cargas puntuales que se encuentren en reposo. (cargas puntuales son partículas
de tamaño menor a la distancia a la que se encuentran; se deben encontrar en reposo porque sino
aparecerían campos magnéticos, que todavía no hemos estudiado)
“La fuerza electrostática con la que se atraen o se repelen dos cargas es directamente
proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las
separa”
Esta es una fuerza de atracción si son cargas de signo opuesto y de repulsión si son cargas del
mismo signo.
Se define por convenio un vector Ur, unitario, radial y hacia fuera. Lo utilizamos para dar el
carácter vectorial a la fuerza electrostática:

q * q' 
Fe  K *
* Ur
2
d
K(vací o o aire) =
1
4  0
 9 * 10
9
N *m
c
2
2
Si el producto de las cargas es positivo, supone que serían cargas del mismo signo, por lo que
la fuerza sería de repulsión, es decir, hacia fuera, en el sentido del vector unitario Ur
Si el producto de las cargas es negativo, supone que serían cargas de distinto signo, por lo que
sería una fuerza de atracción, es decir, hacia dentro, en el sentido opuesto al de Ur
K es la constante de proporcionalidad que depende del medio en el que se encuentren las
cargas, y del sistema de unidades que se esté empleando
Sistemas de unidades:
Hay dos sistemas de unidades principales, el sistema internacional y el sistema cegesimal, o
sistema de unidades eléctricas.
El sistema internacional es aquel en el que la unidad de la distancia es el metro y la unidad de
la fuerza es el newton. Pero en el momento en el que apareció la ley de Coulomb, la unidad de carga no
estaba definida. Este sistema optó por asignar una unidad a la carga, y que las unidades de la constante
quedasen en función de ésta.
De esta forma, se asignó como unidad de carga un culombio (1 C), que se define como la carga
que situada a una distancia de un metro respecto de otra, ejerce una fuerza sobre esta segunda de 9 *
109 newtons (siempre que las cargas se encuentren en el vacío)
Por el contrario, en el sistema cegesimal (cuyas unidades para la distancia y la fuerza son
respectivamente el centímetro y la dina), la solución que se tomó al problema de la falta de unidad para
la carga y para la constante K fue asignar a la K un valor de 1, adimensional. De esta forma, la carga
tenía una unidad que se llama la unidad electrostática de carga (u. e. e. c.), también llamada franklin o
estratoculombio
De la misma forma que el culombio, se define una u. e. e. c. como la carga que situada a una
distancia de un centímetro respecto de otra, ejerce una fuerza sobre esta segunda de una dina (siempre
que las cargas se encuentren en el vacío)
Para evitar los porblemas que surgen en los casos prácticos al arrastrarse el número racional 
se usan las unidades racionalizadas para K, por las que, en el sistema internacional, y en el sistema
cegesimal, respectivamente, el valor de K sería:
S.I. : K 
1
S. CGS.: K 
4 
1
4
Siendo  la permitividad eléctrica del medio, lo cual supone que la fuerza de interacción varía
dependiendo del medio en el que estén situadas las cargas.
En un caso concreto,  0 sería la permitividad eléctrica en el vacío, que toma un valor de:
 0  8 ,85 * 10
 12
N
1
*m
2
*c
2
Por definición, esta fuerza no sufre de la influencia temporal, es una fuerza de acción
instantánea, que por lo tanto tendría una velocidad de propagación infinita, lo cual supone que se llega
a un absurdo.
Como por tanto, con la existencia de esta fuerza no se puede explicar en la realidad los
fenómenos de atracción o repulsión electrostática, se introduce un nuevo concepto, el de campo
eléctrico, cuya existencia queda demostrado al observar que al situar una carga en un punto cualquiera
del espeacio, esa carga altera las propiedades del medio, creando a su alrededor ese campo eléctrico, de
tal forma que al introducir una nueva carga en ese espacio, se percibe su existencia, al sufrir la carga
introducida la acción de ese campo
CAMPOS VECTORIALES, LÍNEAS DE CAMPO. FLUJO Y CIRCULACIÓN
Se dice que en una zona del espacio existe un campo vectorial si en todos los puntos de dicha
región está definida una magnitud vectorial que es función uniforme de las coordenadas de posición y
puede que también del tiempo (será, por ser uniforma, contínua, derivable y univaluada, es decir, que
en cada punto sólo podrá tomar un valor). Este campo quedaría representado así en función de sus
coordenadas:


M  M ( x, y, z, t )
Si el campo no depende del tiempo, se dirá que es estacionario.
Ejemplo de campos vectoriales serían el campo eléctrico, el campo gravitatorio, el campo
magnético, ...
Para representar un campo vectorial utilizaremos las líneas de campo, que son unas líneas
tangentes al vector campo en todos sus puntos y tienen elsentido del campo en cada punto. Como el
campo es univaluado (en cada punto tiene un único valor), no pueden cortarse dos líneas de campo, ya
que si se cortasen , significaría que en el punto de corte, el campo tendría dos valores diferentes, lo cual
sería una contradicción, puesto que el campo no sería univaluado.
En una cierta región infinitesimal del espacio, el número de líneas de campo que se dibujan
atravesando la unidad de superficie perpendicular al campo en esa región es proporcional al valor del
campo en los puntos de esa región infinitesimal, ya que a mayor intensidad, mayor número de líneas
atravesarán la superficie
Las líneas indican por tanto la variación de la intensidad del campo en el espacio
Dado un campo vectorial M, se define el FLUJO elemental de ese campo a través de una
superficie (ds) como el producto escalar del campo por la superficie:


d   M * ds
En el caso de que la superficie sea macroscópica:
 
 d




M * ds 



M * ds * cos
En este caso, como ha quedado dicho antes, la intensidad de campo es proporcional al número
de las líneas de campo. Por ello, al ser el flujo un producto escalar en el que interviene la intensidad de
campo, y ésta es proporcional a las líneas de campo, el flujo va a ser proporcional al número de líneas
de campo que atraviesen la superficie total.
El valor del flujo puede oscilar, pudiendo tomar valor:
- POSITIVO.- En este caso, el número de líneas de campo que salen de la superficie cerrada es
mayor que el número de líneas de campo que entran, de tal forma que se dice
que en la
superficie cerrada existe una fuente de campo
- NEGATIVO.- En este caso, el número de líneas de campo que entran en la superficie cerrada
es
mayor que el número de líneas de campo que salen, de tal forma que se dice
que en la
superficie cerrada existe un sumidero de campo (un punto hacia el
cual convergen las
líneas de campo)
- NULO.- En este caso, el número de líneas de campo que salen de la superficie cerrada es
igual que el número de líneas de campo que entran.
Dado un campo vectorial M, que está definido en una cierta región del espacio, se denomina
CIRCULACIÓN de dicho campo entre dos puntos A y B de dicha región a:
B

M

* dr
A
Ésta es una integral de línea que para la mayoría de los campos depende no sólo de los puntos
A y B, sino también del camino que se elija para ir desde A hasta B.
Pero hay ciertos campos en los que el camino escogido para realizar el desplazamiento no
influye en el valor de la circulación, ya que éste es constante, independientemente del camino tomado.
Éstos son los campos conservativos, donde:
B



M * dr 
A
I
B

A
I
B

A




M * dr    M * dr
A
II


M * dr 
A
B
II

M

* dr  0 

M

* dr  0
B
II
Como consecuencia, si un campo es conservativo, todas las integrales de líneas cerradas son
nulas. Pero una forma más sencilla de averiguar si un campo es o no conservativo consiste en que si un
campo es conservativo, sus componenentes cartesianas tienen que satisfacer las CONDICIONES DE
SCHWARTZ




M  Mx *i  My * j  Mz * k
 Mx
y
 Mx
z
 Mz
y



 My
x
 Mz
x
 My
z
INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO CREADO POR CARGAS PUNTUALES Y POR
DISTRIBUCIONES CONTÍNUAS DE CARGA
Por definición, la fuerza electrostática no sufre de la influencia temporal, es una fuerza de
acción instantánea, que por lo tanto tendría una velocidad de propagación infinita, lo cual supone que se
llega a un absurdo.
Como por tanto, con la existencia de esta fuerza no se puede explicar en la realidad los
fenómenos de atracción o repulsión electrostática, se introduce un nuevo concepto, el de campo
eléctrico, cuya existencia queda demostrado al observar que al situar una carga en un punto cualquiera
del espeacio, esa carga altera las propiedades del medio, creando a su alrededor ese campo eléctrico, de
tal forma que al introducir una nueva carga en ese espacio, se percibe su existencia, al sufrir la carga
introducida la acción de ese campo
Midiendo la fuerza de interacción eléctrica que aparece entre las dos partículas podremos
evaluar cual es el campo creado por la primera partícula:
Para que la magnitud del campo (eléctrico, en este caso) no dependa de la magnitud activa que
se introduzca (en este caso la carga puntual), se define la INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO

 E  como la fuerza creada sobre la unidad de carga positiva


F
q
E 
 K * 2 * Ur
q'
r
Donde: E
F
q’
q
r
medimos
Ur
es la intensidad de campo eléctrico
es la fuerza electrostática entre las dos partículas cargadas
es la carga introducida en el campo
es la carga que crea el campo
es la distancia desde la carga que crea el campo hasta el punto donde
la intensidad del campo eléctrico
es el vector unitario, cuyo sentido coincide con el que se aleja de la carga
El sentido del campo eléctrico depende de la carga que cree el campo, porque en el caso de
que la carga sea positiva, el producto sería positivo, y el vector intensidad de campo tendría el sentido
del vector Ur, es decir, alejándose de la carga. Por el contrario, en el caso de que lacarga que crea el
campo sea negartiva, el producto sería negativo, y por lo tanto, el sentido del vector intensidad de
campo sería opuesto al de Ur, es decir, aproximándose a la carga:
Pero en cualquiera de los casos, al aumentar la distancia (es decir, al alejar la carga), el valor
absoluto de la intensidad de campo eléctricodisminuiría (ya que el flujo sería menor)
La fuerza que ejerce una carga q sobre una carga q’, en función del campo eléctrico, viene
dado por la expresión:


F qq '  E q * q '
En este caso, la intensidad de campo depende sólo de la carga que lo crea, pero la fuerza de
interacción depende tanto de la carga que la crea como de la carga que la recibe.
En el caso de que se tengan varias cargas puntuales, el campo creado por todas ellas se calcula
aplicando el PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN, que supone que el campo total se obtiene como la
suma de los campos creados por cada una de las cargas de la distribución, como si cada una de ellas
estuviera aislada. Supone que a efectos del campo total, las cargas de una distribución son
independientes, y no ejercen interacción mutua entre ellas
Si tuvieramos “n” cargas puntuales: q 1 , q 2 , q 3 , ... , q n , el campo total en un punto cualquiera
del espacio en el que éstos campos ejercen interacción, sería la suma de los campos que crea cada una
de las cargas de la distribución, es decir:








q1
q2
qn
E  E 1  E 2  E 3  ... E n  K * 2 * U r1  K * 2 * U r2  ... K * 2 * U rn
r1
r2
rn
n


qi
E  K *  2 * U ri
i  1 ri
En el caso de existir un contínuo de carga, existirían un gran número de cargas infinitesimales
(dq) cuya suma daría lugar a la carga total (Q). Para hallar el campo total, se hallarían los campos
infinitesimales (dE) y se sumarían, es decir:

E 

 dE

K*
dq
r
2

* Ur

dq 
E  K *  2 * Ur
r
En ésta última ecuación, existirían tres variables diferentes, las cuales habría que relacionar
entre sí para dejarlas en función de una sola, y así poder continuar con la integral, y resolver el
problema.
FLUJO ELÉCTRICO. TEOREMA DE GAUSS Y APLICACIÓN AL CÁLCULO DE CAMPOS
CREADOS POR DISTRIBUCIONES SIMÉTRICAS DE CARGA
Si tenemos un campo vectorial M y una superficie S, se define el flujo de ese campo en la
superficie S como:
 
 d



 M * dS
S
En el campo eléctrico, se define el flujo eléctrico de la misma manera:
 


 E * dS
S
Donde los diferenciales de superficie que aparecen están representados por el vector
perpendicular a la superficie total en cada punto, y que representan un valor infinitesimal de esa
superficie
TEOREMA DE GAUSS
Tomemos una carga puntual positiva, cuyas líneas de campo se alejan radialmente de
ella
Para calcular el flujo en una superficie genérica S
 


 E * dS


 S   S'


q
E  K * 2 *Ur
r


E * dS * cos 
Para facilitar los cálculos, vamos a buscar una superficie cuyos puntos se encuentren a la
misma distancia de la carga (para lograr que la “r” de la fórmula sea un valor constante); y cuyos
diferenciales de superficie (dS) sean radiales (para que sean paralelos al vector unitario Ur). Esa
superficie que buscamos será una ESFERA:
 
=
 
 d
K *q
r
2





 E * dS * U r   K *


K *q
 U r * U r * dS  2
r
q encerrada
0

 E * dS
 dS

q
r
K *q
r
2
2


* U r * dS *U r 
*S 
1
4  0
*
q
r
2
* 4 r
2
TE O R E M A D E G AUS S
“El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga encerrada en la
superficie, dividida por la permitividad del medio en el que está sumergida la carga”
La aplicación más empleada de este teorema será el cálculo de un campo eléctrico cuando
existe una distribución de carga de gran simetría
CAMPOS ESCALARES. SUPERFICIES EQUIESCALARES. VECTOR GRADIENTE
Se dice que en una región del espacio existe un campo escalar si en todos los puntos de dicha
región está definida una función escalar que es una función uniforme (y que por lo tanto será
univaluada, contínua y derivable), y que será función de las coordenadas de posición y del tiempo
U ( x, y, z, t)
Si el campo escalar no depende del tiempo, entonces se denomina estacionario
Ejemplos de campos escalares serían el potencial eléctrico, la temperatura, la presión atmosférica, ...
Para representar los campo escalares se utilizan las superficies EQUIESCALARES, que son el
lugar geométrico de los puntos en los cuales la magnitud toma un mismo valor. Ejemplo de superficies
escalares sería la región de la atmósfera en la que existe una presión constante. Las superficies
equiescalares se representan por:
U ( x, y, z, t ) = C
(siendo C el valor de la magnitud en la superficie)
La intersección de las superficies equiescalares con un plano establece las líneas de nivel
(isobaras, isotermas, curvas de nivel, ...)
Para representar un campo escalar se pueden utilizar las superficies equiescalares (en una
representación en tres dimensiones) o las líneas de nivel (una representación en dos dimensiones). Al
igual que en los campos vectoriales, existen criteior para establecer qué líneas hay que representar.
Teniendo en cuenta que al tratarse de un campo univaluado, sabemos que en cada punto existirá un
único valor de la magnitud. Por ello, por cada punto pasará sólo una línea de nivel.
El criterio establecido para la representación de las líneas de nivel es que la diferencia entre el
valor que toma la magnitud escalar en los puntos correspondientes a dos líneas de nivel consecutivas
sea constante:
De esta forma, cuanto más cercanas estén las líneas de nivel, la variación de la magnitud será
más rápida; mientras que en los casos en los que las líneas están más alejadas, la magnitud cambia más
suavemente.

Se define el GRADIENTE de una magnitud escalar como un vector (  u  gra d u ) que se
calcula realizando las siguientes integrales parciales:

u  u  u 
 u  gra d u =
*i 
* j
*k
x
y
z
Con éste operador (nabla) se pueden realizar otras dos operaciones sobre campos vectoriales,
que son:
* DIVERGENCIA.- Es el producto escalar del vector gradiente por el campo vectorial


M x  M y  M z 
*M 
*i 
* j
*k
x
y
z
* ROTACIONAL.- Es el producto vectorial del vector gradiente por el campo vectorial:


 M 

i

j

k



x
Mx
y
My
z
Mz
Características del vector gradiente:
1) Es un vector que apunta siempre en la dirección perpendicular a las líneas de nivel
2) Su sentido apunta siempre hacia la región donde la magnitud es creciente
3) Su módulo da la mayor variación posible de la magnitud escalar
POTENCIAL ELÉCTRICO. POTENCIAL CREADO POR DISTRIBUCIONES CONTÍNUAS DE
CARGA. ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA
Como ya sabemos, el campo eléctrico es un campo conservativo, por lo que la circulación
entre dos puntos A y B seráindependiente del camino que elijamos:
B


 E * dr
 V ( A)  V ( B )
A
A esa función V es a lo que llamamos POTENCIAL ELÉCTRICO, que es un campo escalar.
Por ello, podemos afirmar que cada campo vectorial conservativo lleva unido un campo escalar, de sus
mismas características físicas (más o menos)
Al valor obtenido en la expresión anterior se le llama DIFERENCIA DE POTENCIAL
ENTRE DOS PUNTOS, y se define como el trabajo que hay que realizar para llevar la unidad de carga
positiva desde el punto A hasta el punto B. Se pone en ese orden para compensar que generalmente será
una pérdida de potencial.
De esta forma, a partir de un campo vectorial conservativo sólo podemos obtener diferencias
de potencial entre punto del campo. El potencial real en un punto cualquiera A sería:
V (A) = V (A) + C
Siendo C un valor que no conocemos
Si la distribución de cargas está limitada a una región del espacio, se supone que la interacción
de dicha distribución de cargas con cualquier otra carga que pusiéramos en el infinito sería nula. Por lo
tanto, en esas condiciones podemos suponer que el origen de potenciales se encuentra en el infinito
Si no se tiene una distribución contínmua de carga, para hallar el origen de potenciales habrá
que recurrir a la expresión del potencial que nos den en función de las componentes cartesianas
Si tenemos una carga puntual, que crea un campo eléctrico de valor:


q
E  K * 2 *Ur
r
Vamos a calcular ahora la expresión con la que obtendremos el valor del potencial. Para ello,
vamos a calcular la diferencia de potenciales entre un punto A y el infinito, en el que supondremos
valor de potencial nulo:





 E * dr
 V ( A )  V ( )
A

 E * dr
A



  K *
A
V  A  K *
q
rA
q
r
2
 

* U r  *  dr * U r  


K*
A
q
r
2

* dr  K * q * 
A
dr
r
2
 K*
q
rA
En el caso de que tengamos una distribución de cargas, aplicaremos el principio de
superposición para calcular el potencial total de todas las cargas sobre un punto:
N
VT 
n
 Vi 

i 1
i 1
K*
qi
ri
n
qi
i 1
ri
 K *
Si lo que tenemos es una distribución contínua de carga:
V  K *
dq
r
En el caso de que tuviéramos el valor del potencial eléctrico, y quisiésemos hallar el valor de
la intensidad de campo eléctrico, lo que tendríamos que hacer sería:
B


 E * dr




 V  A   V  B   E * dr   dV  E    V
A
Por tanto, si tenemos el valor del potencial eléctrico, podemos conocer el valor del campo
eléctrico en cada punto, pero en el caso de que lo que tengamos sea el valor de la intensidad de campo,
sólo podremos conocer el valor de una diferencia de potencial entre dos puntos.
ENERGÍA POTENCIAL
Como hemos dicho anteriormente, la expresión:
B


 E * dr
A
representa el valor del trabajo que habrá que realizar para trasladar la unidad de carga
positiva desde el punto A hasta el punto B. Pero en el caso de que no se trasladase la unidad de carga
positiva, sino que se tratara de una carga cualquiera (Q), para hallar el trabajo deberíamos multiplicar la
fuerza que realiza tal trabajo (en este caso sería la fuerza electrostática) por el desplazamiento
producido:
r( A)
r( A)
r(B)
r(B)


W   F * dr 
r( A)




 Q * E * dr  Q *  E * dr  Q *  V  A   V  B  
r(B)
Además, como la fuerza electrostática es una fuerza conservativa, por el teorema del trabajo y
la energía potencial, sabemos que para toda fuerza conservativa se cumple que:
W    E p  E p ( A )  E p B 
Por ello:
E p A   Q * V  A 
E p B   Q * V  B 
La energía potencial electrostática de una carga Q en un punto r sería:
Ep = Q * V ®
CONDUCTORES Y DIELÉCTRICOS
ESTRUCTURA Y PROPIEDADES DE LOS CONDUCTORES. CONDUCTORES CARGADOS EN
EQUILIBRIO: DISTRIBUCIÓN DE LA CARGA, CAMPO Y POTENCIAL
A partir de ahora vamos a estudiar los sólidos, pero desde un punto de vista físico. Desde este
punto de vista, se considera sólido aquel cuerpo que tenga una estructura cristalina, basada en una celda
fundamental, que se repite a lo largo de todo el sólido. Los átomos que forman el sólido pueden estar
situados en los vértices, en las caras o en el centro de cada celda fundamental, dependiendo de los
enlaces que sean capaces de establecer.
Así, puede haber cristales formados por celdas fundamentales en las que los átomos se
encuentren en las siguientes posiciones:
Cada átomo estará rodeado por un número de átomos que depende del tipo de celda que forme,
y los átomos vecinos interactuarán más fuertemente cuanto más próximos estén entre sí. En el caso de
los metales, los átomos que forman la red cristalina están muy próximos entre sí, lo que da lugar a
interacciones fuertes entre los átomos vecinos.
En el modelo atómico, se establecen fuerzas de interacción entre los electrones de un átomo y
su nucleo, e incluso entre los núcleos de un átomo y los electrones de otro átomo distinto:
Los electrones más externos son los que sufren mayor interacción de los núcleos de átomos
vecinos, y menor interacción de su propio núcleo. Esas interacciones darán lugar a que con pequeñas
aportaciones de energía, esos electrones externos puedan liberarse del átomo al que pertenecen
En el caso de los metales, con muy poca energía se pueden liberar los electrones más externos
de cada átomo, de modo que un cristal metálico queda formado por iones positivos en a red, y
electrones que hemos liberado y que pueden moverse libremente a lo largo de la red. Estos electrones
pueden dar lugar a un transporte de energía eléctrica, de modo que diremos que el material es un
conductor eléctrico.
Todos los materiales para los que se necesita poco aporte de energía para liberar electrones
son considerados conductores. Los materiales que necesitan un gran aporte de energía para poseer
electrones libres se denominan aislantes o dieléctricos
Vamos a estudiar ahora algunas propiedades de los conductores:
1) CAMPO EN EL INTERIOR DE UN CONDUCTOR EN EQUILIBRIO:
Vamos a suponer un conductor con cargs libres, tanto positivas copmo negativas, que
introducimos en un campo eléctrico, que ejercerá sobre el conductor una fuerza, especialmente sobre
las cargas libres.
Esta fuerza va a provocar un desplazamiento de las cargas positivas en un sentido, y
de las cargas negativas en el sentido contrario. Después de un pequeño tiempo, las cargas positivas
tenderán a acumularse en un lado del conductor, y las cargas negativas tenderán a colocarse en el otro
lado del conductor.
Esto va a provocar que esas cargas que se han separado van a crear un campo interno,
en el interior del conductor cuyo sentido será desde las cargas positivas hacia las cargas negativas. Es
por lo tanto de sentido opuesto al campo externo en el que habíamos introducido el conductor



E T O T  E E X T  E IN T
Mientras exista el campo externo, la fuerza que actúa sobre el conductor, y por
consiguiente sobre sus cargas, seguirá existiendo, y por lo tanto, las cargas seguirán tendiendo a
separarse, hasta que llegue un momento en el que el campo creado en el interior del conductor
compense el campo externo, llegándose al equilibrio. En este momento, el campo en el interior del
conductor es nulo, por lo que no habrá líneas de campo en el interior del conductor. Por ello,
desaparecen las fuerzas sobre las cargas del conductor.
Lo mismo ocurre si en un conductor se inyectan cargas. Entonces, las cargas tenderán
a moverse hasta que el campo en el interior sea nulo, por lo que no habrá líneas de campo en el interior
del conductor.
2) POTENCIAL ELÉCTRICO EN UN CONDUCTOR EN EQUILIBRIO
Si un conductor está en equilibrio, eso supone que el campo eléctrico en su interior es
nulo. Supongamos un conductor en equilibrio, en el que consideramos dos puntos genéricos A y B


E eq  E IN T  0


 dV    E * dr 
VA
 dV
VB
VA  VB  0  VA  VB
VA
 


 E * dr
VB
 A, B
 0
Por lo tanto, en un conductor en equilibrio, todos sus puntos poseen el mismo potencial
eléctrico
3) CARGA EN EXCESO
En el caso de que a un conductor le inyectemos carga en exceso, esa carga tenderá a
separarse, ya que el conductor tiende a estar en equilibrio, por lo que el campo eléctrico en su interior
tenderá a ser nulo
Tomando una superficie arbitraria en el interior del conductor, vamos a aplicarla el
teorema de Gauss, por lo que se debe cumplir que:


 E * dr
S

q enc
0
 0 (porque el campo en el interior en nulo , y el flujo tambié n)
Por lo tanto, el total de la carga encerrada en el interior de la superficie tomada debe ser nula,
es decir, que para una superficie arbitraria tomada en el interior del conductor, la carga encerrada es
cero. Esto significa que la carga inyectada debe colocarse en la superficie del conductor, es decir, que
la carga en exceso se distribuye por la superficie del conductor.
Esta conclusión concuerda con la expresión de la energía potencial eléctrica en un contínuo de
carga. Como norma general, los sistemas físicos tienden al menor valor de energía potencial. Por ello,
como se deduce de la expresión siguiente, la menor energía potencial proviene del momento de mayor
distancia entre las cargas. Por ello, y dado que la carga se tiene que encontrar en el conducto, el
momento de mayor distancia, y por lo tanto de menor energía potencial, tiene que ser aquel en el que la
carga se encuentra en el a superficie, como así es:
Ep 
1
q
2
i
* Vi 
1
q
2
i
*
qj
 4 
ji
0
* rij
4) CAMPO EN LA SUPERFICIE
En puntos muy próximos a la superficie del conductor, ese campo es perpendicular a
la superficie del conductor, y su sentido depende del signo de las cargas que haya en cada punto de la
superficie del conductor. Su módulo será el cociente entre la densidad de carga que hay en cada punto
de la superficie del conductor y la permitividad del medio:


E 
0
Si un conductor está en equilibrio, eso supone que no hay movimiento de cargas, por
lo que no debe haber ningún tipo de desplazamiento, y por lo tanto tampoco lo habrá lateral. Por ello,
todas las componentes del campo deben ser perpendiculares al conductor, ya que esas líneas de campo
no provocan movimiento, al ejercer una fuerza que queda compensada por la del lado opuesto del
conductor. Por ello, no deben existir componentes no perpendiculares al conductor del campo.
Además, como ya sabemos, las líneas de campo deben ser perpendiculares a las superficies
equipotenciales. En este caso, como ya hemos demostrado que el propio conductor es en conjunto una
superficie equipotencial, la superficie externa del conductor también lo será, por lo que las líneas de
campo deben ser perpendiculares a la superficie externa del conductor.
constante
Si a esa superficie infinitesimal, donde el campo sea
le aplicamos el teorema de Gauss:


 E * dr
E *S 

q en c
0
 *S
0
 E 

0
En este caso, cuando nos referimos a la carga encerrada, nos referimos al total de la carga
encerrada en el conductor, que sería la densidad de carga por la superficie externa del propio
conductor, que es el lugar donde se encuentra la carga.
5) DENSIDAD DE CARGA EN LA SUPERFICIE DE UN CONDUCTOR
La carga en exceso que posee un conductor y que se distribuye por la superficie del
mismo no se reparte uniformemente por ella, sino que la densidad de carga en un punto de la superficie
es inversamente proporcional al radio de curvatura de la superficie del conductor en dicho punto
En el caso de que tuviéramos un conductor con la siguiente forma:
de tal forma que el radiode curvatura de la zona uno fuera mayor que el radio de
curvatura de la zona dos; y a su vez éste fuera mayor que el radio de curvatura de la zona tres. De esta
forma, el radio de curvatura de la zona uno sería mucho mayor que el radio de la zona tres. Por ello, la
densidad de carga de la región tres debería ser mucho mayor que la densidad de carga de la región uno.
Para verlo más claro, vamos a demostrarlo para el siguiente caso, en el que dos esferas de
radios muy diferentes forman un único conductor, y están unidas entre sí mediante un hilo conductor
muy largo, prácticamente infinito, lo que supone que apenas existe interacción entre las esferas:
1 * S1
 1 * 4 r
q 
V 1  K *  V 1  K *
 K*
r
r
r

2
Q
 * S2
 2 * 4 R
V 2  K *  V 1  K * 2

K
*
R 
R
R
2
V1  V 2  K *
 1 * 4 r
r
2
 K*
 2 * 4 R
R
2
 1 * r   2 * R 
1
2

R
r
En este caso se ve claramente que la densidad de carga es inversamente proporcional al radio
de curvatura. Además, se deduce que la densidad de carga de la esfera menor debe ser mucho mayor
que la densidad de carga de la esfera mayor
INDUCCIÓN ELECTROSTÁTICA
El fenómeno de inducción electrostática va a permitir cargar conductores con unos valores
muy grandes de carga, debido unicamente a la interacción de estos conductores con otros conductores
más grandes. Las altas cargas que pueden adquirir así van a dar como consecuencia que estos
conductores están sometidos a unos potenciales muy elevados.
Vamos a suponer dos esferas concéntricas que en un cierto instante de carga están definidas
por unos valores concretos de carga. La esfera mayor vamos a suponer que posee un valor de carga
cualquiera, que puede ser cero, y que la esfera menor posee un valor infinitesimal de carga. El campo
en el exterior de ambas esferas (que serán conductores) sería:
Aplicando el teorema de Gauss:
 
Qq
 E EXT 
2

4  0 * r '


q
E

IN T
2

4  0 * r
V 

V   

dV







 VR
R

  dV    E * dr    
V 



dV






r
 Vr

R




 dV    E E X T * d r  V r    E IN T * dr 

Vr
R
r
R
Vr   
rr
Vr 
rr
q
4  0 * r
1
4  0
2

* dr 


R
Qq
4  0 * r '
2

E
EXT

* dr  Vr 


E E X T * dr  V R 
Qq
4  0 * R


E E X T * dr

* dr
q
4  0
Q
q
1 1 
*   

r
R  4  0 * R 4  0 * R
q Q 
*  
r
R
Entonces, si hallamos la diferencia de potencial que existiría entre un punto en la región
intermedia entre ambas esferas y un punto exterior a ambas esferas, obtendríamos que:
Vr  V R 
1 1 
*  
4  0  r
R
q
Por lo tanto, si la carga es positiva, el potencial de la esfera interna tiene que ser mayor que el
potencial de la esfera externa (porque la diferencia de potencial es positiva). Sólo podrán tener valores
iguales de potencial cuando la carga de la esfera interna sea cero.
Si conectamos ambas esferas entre sí, formando un único conductor, el potencial debe ser el
mismo para mabas esferas, pero eso sólo ocurre cuando la carga de la esfera interna sea nula, por lo que
se deduce que la esfera interna transmite a la carga total, es decir, a la superficie de la esfera externa.
El fenómeno de la inducción consiste en que si ahora se le transmite una carga a la esfera más
pequeña, ésta lo transmitirá a la esfera mayor, porque el potencial en ambas debe ser igual, y eso sólo
ocurre cuando la esfera interior está descargada. Por ello, la que conseguiriíamos sería inducir grandes
potenciales a la esfera mayor, mediante la transmisión de una carga contínua a la esfera mayor
CAPACIDAD DE UN CONDUCTOR
Si suponemos que tenemos un conductor cargado y aislado, y consideramos el origen de
potenciales eléctricos en el infinito, entonces el potencial que adquiere dicho conductor es proporcional
a la carga aque posee. Dicha constante de proporcionalidad, que relaciona la carga con el potencial,
sólo depende de la forma geométrica y del tamaño del conductor, y es independiente de la carga y del
potencial
En general, cuanto mayor sea el conductor, mayor será la carga que es necesario suministrarle
para que adquiera un potencial dado. Como hameos deducido anteriormente, si tenemos una esfera
aislada de carga “q”, poseera un potencial que vendrá dado por la expresión:
V 
q
4  0 * R

1
4  0 * R
*q
La relación entre la carga que posee un conductor y el potencial que adquiere debido a esa
carga se denomina CAPACIDAD DEL CONDUCTOR, y es una constante que sólo depende de la
forma del conductor y de sus dimensiones.
C 
Q
R
En el caso de un conductor esférico, la constante de proporcionalidad, es decir, la capacidad
del conductor, sería la siguiente expresión:
C 4 *  *  0 * R
En el sistema internacional, la unidad de capacidad es el FARADIO, que se define como la
capacidad de un conductor que adquiere un potencial de un voltio cuando se le suministra un culombio
de carga.
CAMPO, POTENCIAL Y ENERGÍA POTENCIAL DE UN DIPOLO
Un dipolo es un sistema formado por dos cargas de igual valor, pero de signos opuestos, que
están separadas una distancia “d”
Vamos a calcular el campo eléctrico en los puntos del dibujo. Para ello, aplicaremos el
principio de superposición:






E X  EX  EX  E X  EX  EX





E Y  E  Y  E  Y  E X  2 * E  Y * sen 
Ex 
=
q
4   0 * r
2
q
4  0

q
4   0 * r
2

 

4  0

2
 rd2  rd2
*
2 2
 2


r  d2





 1
1 
q
1

* 2  2  
*
r  4   0 
 r
d
 r 2
q

 
2




q
rd  rd
*

2 2
4  0


r 2  d
2 


 

2

1
r  d 2
2









q
2 rd
*

4  0

r 2  d
2


 



2 2
 
 
En esta última expresión, en el caso de que la distancia a la partícula sea mucho mayor que la
distancia entre las cargas, se puede considerar que el cociente de la segunda fracción sería el cuadrado
de la distancia al punto, es decir:
 
2
si r >> d  r  d 2
2
r
2
Aplicandolo ahora en la expresión anterior:


q
2 rd
Ex 
*
4  0
r 2  d
2

 


q * 2 rd
2*q *d



2
4
3
2
4  0 * r
  4  0 * r
 
Vamos a definir ahora una nueva magnitud, el momento dipolar (p), que va a ser una magnitud
vectorial que representa la fuerza de un dipolo, y que está representado por un vector cuya dirección es
la línea que une dos cargas, y cuyo sentido será desde la carga negativa hacia la carga positiva, o de la
carga de menor valor hacia la carga de mayor valor. Su módulo está representado por la expresión:

p  p  q *d
Si introducimos esta magnitud en la expresión del campo eléctrico:
Ex 
2p
4  0 * r
3

 Ex 

2p
4  0 * r
3
Vamos ahora a calcular el campo eléctrico que crean las cargas sobre el punto en el eje Y:
E y  2 * E  y * sen   2 *
4  0 * r
2

*
2

r
q *d
4   0 * r
3

q*d
=
 
 2
4  0 * r  d 2

 
 2
r  r  d 2

4  0 r
3

2

2

 
q*d
3
2
1
2
2
Si r >> d  r  d 2
Ey 
d
q
2
p
4  0 r
3
r :
2

 Ey  

p
4  0 r
3
( xq va en sentido contrario)
En el caso de que tuviéramos un punto cualquiera, con coordenadas polares, en lugar de
cartesianas, la forma de cálculo del campo sería análoga:
Er 
EP 
2p
4  0 r
3
p
4  0 r
3
* cos 
* sen 
Vamos a hallar ahora el potencial eléctrico creado por el dipolo, pero al tratarse de una
magnitud escalar, que carece de carácter vectorial, se puede calcular en un punto cualquiera del
espacio:
Aplicando el principio de superposición, lo que hacemos es hallar el potencial total creado por
las dos cargas que conforman el dipolo:
V  V  V 
q
4   0 * r

q
4   0 * r

1
 r  r 
1
q
* 
*


4   0  r
r  4   0  r * r 
q
Volvemos a suponer que nos encontramos en determinados puntos del espacio, donde la
distancia al punto es mucho mayor que la distancia entre las cargas. Por ello, como el ángulo superior
se va cerrando, llegará un momento en el que la distancia del punto a una de las cargas sea
prácticamente equivalente a la distancia del punto a la otra carga  r  r  r  . Además, los ángulos
inferiores también se irán aproximando, por lo que se podrá decir quela diferencia de distancias será
equivalente a la distancia entre cargas por el coseno del ángulo que se formaría, que sería más o menos
el mismo en los tres casos:
 r  r  r  r * r  r 2

         r  r  d * cos 
Si introducimos estos datos en la fórmula obtenida anteriormente, llegaríamos a las siguientes
conclusiones:
V 
q
4  0
*
d * cos 
r
2

p * cos 
4  0 * r
2
Vamos a suponer que tenemos un campo eléctrico uniforme, en el que introducimos un dipolo,
el cual tendrá definida la magnitud momento dipolar (p):






FT O T  F  F  q * E  q * E  0
forma que se
La fuerza neta sobre el dipolo sería nula, pero
tendería a una rotación, unn giro de tal
pondría horizontal

M 

r
i





 Fi  r  F  r  F


r  r  d 2


F  F  q * E



M  2 *  r  F  

M  2 * d 2 * q * E * sen 



M  p * E * sen   M  p  E
Este producto vectorial sería nulo sólo en el caso de que los vectores fueran paralelos (ya que
los vectores no pueden ser nulos, ya que si lo fueran, no habría dipolo o campo en el que se introduce el
dipolo). El que los vectores sean paralelos ocurre cuando se ha finalizado el giro, por lo que en el
momento en el que el dipolo está horizontal, finaliza la acción de los momentos.
El momento ejercerá un trabajo, ya que al moverse espontáneamente el dipolo, supone que hay
una variación de energía potencial hacia un lugar con menor valor, por lo que esa variación coincide
con el trabajo que realiza el campo para desplazar el dipolo:
Vamos a calcular esa energía potencial:
U 
q
i
* V i  q  * V   q  * V   q * V   V  


 dV    E * dr 
V
 dV
V
x


   E * dr
x

C o mo E es unifo rme:

V - V = -E *  x - x 

U = q * -E *  x - x 
x

- x    d * co s q
 
U   q * d * E * co s    p * E * co s    p * E
Si el campo no fuera uniforme, y en él introdujéramos el dipolo, lo que ocurriría sería que
primero aparecerían unas fuerzas sobre el dipolo, sobre cada una de las cargas, de diferente intensidad:


F  F




FT O T  F  F  0
Se formaría también el par de fuerzas que tendería a orientar el dipolo, y una vez orientado, se
vería atraido hacia las zonas del campo más intensas (como el boli y los papelitos)
ESTRUCTURA Y PROPIEDADES DE LOS DIELÉCTRICOS:
En general, los materiales están compuestos por átomos o por moléculas. Los átomos tienen
una estructura tal que el centro de las cargas positivas y el centro de las cargas negativas coinciden, es
decir, que de forma natural no forman dipolos. Las moléculas, en cambio, pueden ser dipolos naturales,
en los que no coinciden los centro de gravedad de las cargas positivas y de las cargas negativas, en cuyo
caso se llaman MOLÉCULAS POLARES; o pueden no formar dipolos naturales, coincidiendo los
centro de las cargas, siendo denominadas en este caso MOLÉCULAS NO POLARES O APOLARES
Un ejemplo sencillo de molécula polar sería la molécula del agua, y un ejemplo de molécula
apolar serían los anillos del benceno:
Una sustancia formada por moléculas apolares carece de dipolos, y además, el momento
dipolar total será nulo, porque los momentos dipolares de cada una de sus moléculas será cero:

p TO T 

p
i

 0
En el caso de sustancias formadas por moléculas polares, en su interior hay moléculas en las
que los centros de las cargas positivas y de las cargas negativas son distintas, de tal forma que existen
dipolos, y por lo tanto:

p TO T 

p
i

 0
Debido a la agitación térmica, esos dipolos están orientados aleatoriamente, por lo que irán
compensando unos con otros, por tener cada uno una orientación diferente. Por ello, en ausencia de un
campo eléctrico externo, las sustancias formadas tanto por moléculas polares como por moléculas
apolares presentan un momento dipolar total nulo.
Si introducimos las sustancias en un campo eléctrico, en el caso de las moléculas polares, el
campo tenderá a orientar los dipolos de forma paralela a sus líneas de campo, por lo que la nueva
distribución de la sustancia sería:
Pero debido a las interacciones entre los dipolos, así como la agitación térmica, en realidad lo
que ocurre es que la distribución varía un poco:
mayor
menor
Cuanto mayor sea el campo eléctrico,
será el orden, porque a mayor fuerza,
importancia de los factores que provocan
este “desorden”
En este caso, el momento dipolar total será distinto de cero, porque todos los dipolos están
colocados paralelamente, por lo que no se compensarían, ya que los momentos dipolares apuntarán
todos en el mismo sentido. Esto supone que la sustancia presentará un momento dipolar total.
En el caso de las sustancias formadas por moléculas apolares, pese a carecer de dipolos, las
cargas se verán sometidas a una fuerza eléctrica provocada por el campo eléctrico, por lo que las
moléculas se deformarán, distanciándose los centros de las cargas negativas y de las cargas positivas.
Se producirían entonces una polarización de la molécula apolar, y eso provocaría la aparición de un
momento dipolar total.
Esos dipolos, desde un punto de vista macroscópico, van a provocar que en el interior de la
sustancia, las cargas se vayan compensando, por lo que la carga interna será cero, pero en la superficie
no va a ser así:
Entonces, la propia sustancia se va a convertir un dipolo muy grande. A esas cargas se les
llama CARGAS INDUCIDAS, cuya densidad de carga será i. Estas cargas no estarán libres, ya que no
pueden moverse, ya que forman parte de una estructura. Por ello, estas sustancias no serán conductoras,
sino dieléctricas..
VECTOR POLARIZACIÓN Y SUSCEPTIBILIDAD ELÉCTRICA
Se define el vector polarización como el momento dipolar inducido por unidad de volumen, y
se representa por
Siendo “n” el número de átomos por unidad de volumen, y siendo “p” el momento dipolar
inducido sobre átomos o sobre moléculas.
Vamos a suponer que no existe interacciones entre los dipolos de un cuerpo. Entonces, los
dipolos se orientarían de forma paralela al campo eléctrico, por lo que se puede decir que el vector
polarización es proporcional al campo:
Siendo  e la susceptibilidad eléctrica, que da cuenta del comportamiento del dieléctrico
cuando se introduce en un campo eléctrico externo. Los materiales que cumplen la ecuación:
Se llaman DIELÉCTRICOS LINEALES.
Puede ocurrir que la susceptibilidad no sea un número, sino que sea una matriz. En el caso de
que sea un número, se dice que el dieléctrico es ISÓTROPO. Eso significa que el medio dieléctrico
tiene las mismas propiedades en todas las direcciones, o que las propiedades de los dipolos no
dependen de la dirección en la que estén orientados.
En el caso de que la susceptibilidad eléctrica sea una matriz, el medio se denomina anisótropo,
y eso significa que las propiedades de los dipolos del medio dependen de la dirección en la que esté
orientado. Esa susceptibilidad puede tomar el mismo valor en todos los puntos del medio (medio
homogéneo), o puede variar de un punto a otro (medio inhomogéneo).
Todos los dieléctricos que vamos a considerar cen a ser lineales, isótropos y homogéneos.
Además, como los dipolos tienden a orientarse de forma paralela al campo, el campo y el vector
polarización tienen que ser proporcionales, pero con igual signo ambos.Por ello, la susceptibilidad
eléctrica (  e ) debe ser positiva, mayor que cero.
Vamos a calcular ahora la relación entre el vector polarización y la carga
El caso anterior era un caso muy sencillo, ya que el campo, el momento dipolar y el vector
polarización eran perpendiculares a las superficies. Ahora, buscando un caso más general:
Ahora lo que vamos a calcular es la relación entre el campo eléctrico y la carga:



E IN T  E  E i
T . de G auss


 E * ds
E *S 
E *0 

q ENC
0
q libre  q inducida
0
q libre

q inducida
S
S
E *  0   libre   inducida
 libre  E *  0   inducida  E *  0 
En este caso, el campo eléctrico y el vector polarización son paralelos, por lo que la suma de
ambos dará un vector paralelo a los dos, que será el VECTOR DESPLAZAMIENTO ELÉCTRICO
(D), cuyo módulo, en este caso particular es la densidad de cargas libres, pero que en general, la
densidad de cargas libres sería la componente perpendicular a la superficie del vector desplazamiento
eléctrico (Dn), es decir, que sería:

D n   lib re
GENERALIZACIÓN DEL TEOREMA DE GAUSS
Partiendo del teorema de Gauss general, lo vamos a aplicar a un dieléctrico, para su campo
eléctrico, su vector polarización y su vector desplazamiento eléctrico:
En el caso de un dieléctrico, existen, dentro de la carga encerrada en la superficie de
integración, tanto cargas libres, que provocan la polarización, como cargas inducidas, que son las que
provienen de la polarización. Por lo tanto:


 E * ds

q ENC
0



 E * ds

q libres  q inducidas
0

q libres

La segunda forma de escribirlo no es totalmente igual a las anteriores, pero es la forma más
general en la que se conoce el teorema aplicado a un dieléctrico. Ahora lo aplicamos al vector
desplazamiento eléctrico:


D
*
cos

 D * ds   


* ds   libres *  ds   libres * S  q libres 


 D * ds
 q libres
D n   libres
Ahora lo vamos a aplicar al vector polarización:
Calcularemos ahora la reación entre las cargas libres y las cargas inducidas en un dieléctrico:
q libres  q inducidas
0

q libres


q libres
r *0
 q libres  q inducidas 
q libres
r

1 
 q inducidas  q libres *  1 

r 

MATERIALES DIELÉCTRICOS
Hay tres tipos especiales de materiales dieléctricos: los piroeléctricos, los piezoeléctricos y los
ferroeléctricos. Los piroeléctricos son materiales dieléctricos que se polarizan cuando se les aplica
calor. Esto ocurre porque la energía térmica suministrada compensa interacciones entre dipolos del
material, de modo que facilita el movimiento de los mismos y su ordenación para dar lugar a la
polarización del medio.
Los materiales piezoeléctricos son materiales dieléctricos que presentan polarización cuando
se les comprime y dejan de estar polarizados cuando se les expande. esta polarización se debe a que con
la compresión se deforman las moléculas del material y su estructura cristalina, con lo que aparecen
cargas de signo opuesto en las superficies del material. También se da en estos materiales el proceso
inverso. Si se aplica un campo eléctrico externo, el material se conprime, y si se elimina el campo
externo, el material se expande. Este es el funcionamiento de los relojes de cuarzo.
Los ferroeléctricos son materiales que pueden mantener su estado de polarización incluso
cuando se haya retirado el campo externo que lo hubiera provocado. Estos materiales se suelen crear
dejando solidificar materiales dieléctricos que se han polarizado con un campo eléctrico, de manera que
al solidificarse se mantienen las posiciones y orientaciones de los dipolos inducidos.
TEMA 3. CONDENSADORES
CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR
Se denomina condensador a un sistema formado por dos conductores que poseen cargas
iguales pero de signo opuesto. Los conductores que forman el condensador se denominana PLACAS o
ARMADURAS DEL CONDENSADOR. Se define la capacidad de un condensador como el cociente
entre la carga que posee una de las placas, en valor absoluto, dividida por la diferencia de potencial
entre ambas placas. Esta diferencia de potencial debe tomarse como el potencial de la placa con carga
positiva menos el potencial de la carga negativa:
C 
Q
V  V
Q

V
Como el potencial que adquiere un conductor es proporcional a la carga que posee, entonces la
capacidad de los condensadores no dependerá de su carga ni de la diferencia de potencial, sino que
dependerá únicamente de la forma geométrica, y del tamaño de los conductores así como de la
separación entre ellos. Esto se debe a que al ser proporcional a la carga, la diferencia de potencial, al
dividir la carga por algo proporcional a la carga, queda sólo la constante de proporcionalidad, que viene
dada por la geometría del conductor. Para un conductor cualquiera, se cumple que las dimensiones de la
capacidad son las de la permitividad por una magnitud que depende de una longitud:
C   0 * L
Los condensadores más comunes son los plano - paralelos, formados por dos placas planas y
paralelas; y los condensadores cilíndricos, formados por dos placa cilíndricas concéntricas.
CÁLCULO DE LA CAPACIDAD DE LOS CONDENSADORES EN FUNCIÓN DE SU
GEOMETRÍA
Vamos a tomar el ejemplo de un condensador plano, del que conocemos que cuenta en cada
placa con una carga de valor Q; que está conectado a una fuente de tensión, y del cual queremos
conocer la capacidad. Suponemos que la carga está uniformemente repartida por las superficies de las
placas, a las que llamaremos S, de tal forma que las densidades de carga serían  y -
Suponemos asimismo que se encuentran a
una distancia “d” la una de la otra, y que
superficies no existen efectos de borde,
el campo eléctrico es uniforme en el
condensador.
en sus
es decir, que
interior del
PL A C A (  )

V

V
dV  




E * dr  V
PL A C A (  )

 V
PL A C A (  )

 V

 E *


PL A C A (  )
PL A C A (  )
V



E * dr (como E dr )  V

dr  E * d
PL A C A (  )
PL A C A (  )

 V



E * dr
PL A C A (  )
C 
Q

V
q
E *d
Ahora, para poder continuar simplificando la expresión, vamos a calcular el campo que crea el
condensador. Además aprovechamos para calcular el campo en puntos internos del condensador y en
puntos internos. Para ello, empezamos suponiendo que sólo está la placa positiva, es decir, que sólo
crea campo la placa positiva:
Para calcular el campo, aplicamos el teorema de Gauss, teniendo en cuenta que el campo es
uniforme, lo cual supone que es constante, y se puede sacar de la integral


 E * ds
E * S 

q en c
0
 *S
0
 E 

0
Pero tenemos que tener en cuenta que el flujo se encuentra a ambos lados de la placa, pero a
nosotros sólo nos interesa la zona derecha de la placa. Por ello, sólo tomamos la mitad de ese valor.
Consecuentemente, el valor del campo creado por la placa positiva sería:
E 

2 *0
Suponemos ahora que sólo está la placa negativa, es decir, que sólo crea campo la placa
negativa:
Para calcular el campo, aplicamos el teorema de Gauss, teniendo en cuenta que el campo es
uniforme, lo cual supone que es constante, y se puede sacar de la integral


 E * ds
E * S 

q en c
0
 *S
0
 E 

0
Pero tenemos que tener en cuenta que el flujo se encuentra a ambos lados de la placa, pero a
nosotros sólo nos interesa la zona izquierda de la placa. Por ello, sólo tomamos la mitad de ese valor.
Consecuentemente, el valor del campo creado por la placa negativa sería:
E 

2 *0
Si unimos ambos campos, en las tres regiones en las que se crea, al sumarlos vectorialmente,
llegamos a la conclusión de que en las zonas externas al condensador, el campo que éste crea es nulo, y
que en el interior, es la suma de los campos que crean cada una de sus placas por separado:
Si ahora tomamos ese valor y introducimos en la fórmula de la capacidad, para simplificarla,
teniendo en cuenta que escribiremos la carga como el producto de la densidad de carga por la superficie
de la placa, llegamos a que la capacidad sería:
C 
q
E *d

0 *S
 *S


d
*d
0
ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES
Los condensadores independientes pueden conectarse entre sí para conseguir capacidades
distintas de las que poseen los condensadores independientes. Dependiendo del tipo de conexión que
efectuemos podemos conseguir capacidades mayores que las que todos los condensadores de la
asociación o capacidades menores. Hay dos formas básicas de conexión entre condensadores: en
SERIE o en PARALELO.
Decimos que una serie de condensadores C1, C2, ..., Cn están conectados en serie cuando la
placa negativa de cada uno de estos condensadoresse conecta a la placa positiva del siguiente, y así
sucesivamente
Se dice que un conjunto de condensadores están conectados en paralelo cuando las placas
positivas de totos ellos están conectadas a un mismo potencial, y todas las placas negativas están
conectadas a otro potencial común.
Cuando los condensadores están asociados en serie, tienen todos las mismas cargas, y las
caidas de tensión en cada uno de ellos es diferente, por lo que poseerán capacidades diferentes. Por el
contrario, en la asociación en paralelo, cada uno de los condensadores tiene carga distinta, pero lo que
tienen idéntico es la diferencia de potencial entre sus placas. Pero también tienen capacidades diferentes
Si sustituyésemos todos los condensadores por uno equivalente:
- En la asociación en serie, el condensador tendría una carga igual a cada uno de los
condensadores de la asociación, y una caida de tensión que fuera la suma de las caidas de tensión de los
condensadores individuales. Para que se cumplan ambas ecuaciones se obtiene la ecuación:
1
C

1
C1

1
C2

1
C3
 ...
1
Cn
- En la asociación en paralelo, el condensador equivalente tendría como carga la suma de todas
las cargas en cada placa, y una caida de tensión igual a la caida de tensión de cada uno de los
condensadores de la asociación, que es igual para todos. Para que se cumplan ambas condiciones:
C  C 1  C 2  C 3  ... C n
ENERGÍA DE UN CONDENSADOR CARGADO. DENSIDAD DE ENERGÍA DEL CAMPO
ELÉCTRICO
Para cargar un condensador, necesitamos ir añadiendo cargas, y por lo tanto, debemos vencer
un trabajo para vencer las fuerzas de repulsión que surgen entre cargas del mismo signo, es decir, entre
las cargas ya existentes en las placas del condensador, bien sean positivas o negativas; y las cargas que
queremos introducir. Ese trabajo vendría dado por la expresión:
dW  dW   dW   dq * V   dq * V   dq *  V   V  
C om o sabemos q ue: C =
Q
dW 
C 
C
q
V
* dq  W 
Q
V  V
 dW
q


0
 W 
1
*
2
q
2
q

1
Q
C
1
* dq 
*
2
1
* q * V 
2
Q
 V  V 
2
q
C
2
C
* C *  V 
2
V
Partiendo de esa expresión, vamos a calcular la densidad de energía del campo eléctrico. Para
ello, suponemos un condensador plano, de dos placas de superficie S, separadas una distancia “d”, cuyo
interior se encontrará en el vacío. Suponemos que en su interior existe el campo eléctrico creado por las
placas del condensador, sin que existan los efectos de borde:
C  0 *
S
d
E IN TE R IO R UN IF O R M E
Vamos a calcular ahora la energía total que existe en los puntos interiores del condensador
 dV
U 
U 


   E * dr   V  E * d
1
2
1
2
* C *  V 
2
*0 * S * E

2
1
2
*0 *
S
d
*E *d
2

1
2
*0 *
S
d
*E
2
*d
2
*d
Ahora calcularemos la densidad de energía en esos puntos, dividiendo la energía total por el
volumen que ocuparía el condensador, que al tratarse de un paralelepípedo, sería el área de la superficie
por la distancia entre placas:
1
 
U
Vol

2
*0 * S * E *d
2
S *d

1
2
*0 * E
2
Esta expresión nos da la densidad de energía de puntos internos a un condensador en el que
existe un campo eléctrico. Aunque lo hemos hallado para un caso muy sencillo, es una expresión
general que vale para cualquier punto que se encuentre en el interior de un campo eléctrico.
DIELÉCTRICOS EN EL INTERIOR DE UN CONDENSADOR
Supongamos que tenemos un condensador cualquiera, de capacidad C0, en cuyo interior
introducimos un dieléctrico. Vamos a calcular la capacidad de condensador con el dieléctrico dentro
(Cd), sabiendo que está comprobado que al introducir el dieléctrico, la capacidad aumenta, siendo la
relación enre ambos:
Cd   r * C0
Este aumento de capacidad puede ser explicado desde dos puntos de vista diferentes, tomando
dos casos diferentes:
a) Suponemos un condensador cargado, y una vez que terminamos de cargarlo, lo aislamos.
ahora suponemos que en el interior del condensador introducimos un dieléctrico de permitividad r. Al
introducir el dieléctrico en el interior del condensador, el campo eléctrico creado por éste provoca la
polarización del dieléctrico, y por lo tanto, la aparición de cargas inducidas en el dieléctrico. Esta
cargas van a crear un campo que se opondría al campo creado por el condensador, de tal forma que el
campo en el interior del condensador sería la diferencia entre ambos campos:



Ed  E0  Ei


Ed  E0

V   V   0
E0
4  * r *  0 
Ed 
 V   V   
d
r
r
q



2
4 * r * 
q
E0 
Ed
Cd 
2
Q
V

 V 

d
Q
V

 V 

0
Q
V

 V 
*  r  C0 *  r
0
r
b) ahora suponemos que el condensador posee una diferencia de potencial entre sus placas que
es constante. Esto equivale a suponer que el condensador está unido a una fuente de tensión que
mantiene constante la diferencia de potencial.
Si introducimos un dieléctrico en el condensador, lo que ocurrirá, al igual que antes, que el
dieléctrico se polarizará, provocando la creación de un campo interno en el dieléctrico que provocará
una variación en la diferencia de potencial. Pero la fuente de tensión a la que suponemos que está unida
el condensador intentaría mantener esa diferencia de potencial, y la forma sería añadiendo cargas a las
placas, para que el campo creado fuera mayor.
Por ello, si aumentan las cargas en las placas, como la capacidad de un condensador es
directamente proporcional a la carga de las placas, también aumentará:
C 
Q
V
ELECTROCINÉTICA
MECANISMO DE LA CONDUCCIÓN DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA
Al introducir un conductor en un campo eléctrico, se produce un desplazamiento muy rápido
de las cargas internas del conductor, que se polarizan para crear un campo interno que compense el
campo externo. Pero desde el punto de vista de la corriente eléctrica, no sería interesante, ya que
consideramos corriente eléctrica a un flujo continuado de cargas que puede continuar durante largo
tiempo a través de un conductor.
Para evitar que se acumulen las cargas en los extremos, debemos retirarlas a medida que se
acumulan. Para extraerlas, es necesario conectar los extremos del conductor a otros conductores que las
introduzcan de nuevo en el extremo opuesto. Por ello, para conseguir una corriente eléctrica, es
necesario que los conductores formen un circuito cerrado
El movimiento de las cargas se hace en base a una disminución de la energía potencial, ya que
las cargas se mueven hacia los puntos en los que tienen menor energía potencial. Por ello, para
introducirlas en el extremo opuesto (en el que poseerían mayor energía potencial), tendremos que
comunicarles una energía, de valor igual a la diferencia de potencial entre los extremos del conductor.
Por ello, es necesario instalar en el circuito un dispositivo que suministre la energía necesaria, al cual
denominaremos GENERADOR. Ese generador, además de suministrar la energía, cumple la función de
mantener los extremos del conductor a distinto potencial.
Lo lógico sería asignar como el sentido de la corriente el sentido del movimiento de los
portadores de carga, pero éstos, dependiendo del signo, pueden moverse en diferentes direcciones. Por
convenio, se da como sentido de la corriente eléctrica el sentido del movimiento de las cargas positivas,
es decir, que como regla general, la corriente se mueve en el sentido contrario a las cargas negativas.
INTENSIDAD Y DENSIDAD DE CORRIENTE
Se define la intensidad de la corriente eléctrica como la cantidad de carga que atraviesa la
superficie transversal del conductor en la unidad de tiempo:
I 
dq
dt
Su unidad en el sistema internacional es el amperio, que se define como la corriente que
transporta un culombio por segundo.
Vamos a suponer un conductor metálico (hilo cilíndrico) que contiene electrones en su interior.
La sección del conductor (superficie transversal) es S. Si aplicamos un campo eléctrico, los electrones
tenderán a moverse hacia la fuente del campo, con una velocidad uniforme, que además será constante
para todos los electrones, a la cual denominaremos “v”. La densidad de electrones “n” (que sería el
número de electrones por unidad de volumen) depende de los elementos que forman el conductor, en
concreto de la última banda electrónica del conductor.
Vamos a relacionar la intensidad con todos los elementos que hemos nombrado anteriormente:
dq
i
dt

e * n * S * v * dt
dt
 e*n*S *v
dq  e * dn  e * n * S * v * dt
dV  S * v * dt
dn  n * dV  n * S * v * dt
Estando referidos:
i
e
n
S
v
dV
a la intensidad de la corriente
a la carga de los electrones (o de las partículas cargadas correspondientes)
a la densidad de cargas
a la sección
a la velocidad
al volumen
Los últimos electrones en atravesar la superficie tomada serían los que se encontrasen a una
distancia igual al v*dt (velocidad por el tiempo). Los electrones que atravesarían serían los contenidos
en la zona intermedia de las dos superficies dibujadas.
Si hubiera varias especies de portadores de carga, la carga sería la suma de las cargas, y por lo
tanto, la intensidad total sería la suma de las intensidades creadas por cada especie:
iTOT 
i
j
j

n
j
j
*ej *vj *S  S * nj *ej *vj
j
Las diferentes corrientes tendrían siempre el mismo sentido, porque, en la fórmula anterior, la
superficie y la densidad de cargas serían siempre positivas, mientras que el producto de la carga por la
velocidad siempre sería positivo (tomando como positivo el sentido del movimiento de las cargas
positivas, una carga positiva por algo positivo sería positivo, y una carga negativa por algo negativo
sería negativa)
Hemos supuesto que todos los portadores de carga se mueven a una misma velocidad, que
además es constante. Al existir un campo eléctrico, debería existir una fuerza, y por la aplicación de las
leyes de la dinámica, una aceleración, y eso supondría que la velocidad no sería constante:



q

F  q*E  a 
* E  v  cte
m
De esta forma, como la velocidad varía con el tiempo, la intensidad también debería variar con
el tiempo. Pero no es así. Por lo tanto, la velocidad no cambia con el tiempo, pero se sabe a ciencia
cierta que existe una aceleración. ¿Qué ocurre con ella? Lo que ocurre es que se transforma esa energía
cinética, por los aumentos de la velocidad, en energía calorífica (es decir, que el conductor se calienta).
Si suponemos un conductor metálico:
Esos electrones, al chocar con las partículas positivas, perderían parte de su energía, que se
transforma en una vibración (en calor, al fín y al cabo); perdiendo así el electrón parte de la velocidad
que había ganado. Después, volverá a acelerar hasta que choque de nuevo, momento en el que volverá a
perder la velocidad, .... Por lo tanto, sería un movimiento que estaría continuamente expuesto a
aceleraciones y frenados, por lo que consideramos que se mueve con una velocidad constante, que será
la velocidad promedio del movimiento total.
Se define la densidad de corriente como la cantidad de carga que atraviesa la unidad de
superficie transversal al conductor en la unidad de tiempo. :
J 
i
S
 n*e*v
Se le suele dar carácter vectorial con el sentido de la corriente eléctrica:


J  n*e*v
Si la corriente no es homogénea, no se puede expresar esta expresión, sino que se debe
emplear una expresión microscópica (es decir, diferencial):
J 
i 
di
dS
 di  J * dS
 di 


 J * dS
CONDUCTOR
LEY DE OHM. RESISTENCIA ELÉCTRICA DE UN CONDUCTOR. RESISTIVIDAD
La ley de Ohm establece que para determinados conductores, y a temperatura constante, la
relación entre la diferencia de tensión aplicada en los extremos del conductor y la corriente que circula
entre dichos extremos es una constante:
VA  VB
i
 R
Siendo R la denominada resistencia del conductor, cuya unidad en el sistema internacional es
el ohmio (). Los conductores que cumplen la ecuación anterior se denominan conductores ÓHMICOS
(entre los que están todos los metales) y los que no la cumplen, se denominan conductores NO
ÓHMICOS
Vamos a suponer que el campo eléctrico que se crea en el interior del conductor es uniforme
en toda la longitud de éste. De esta forma, la diferencia de potencial entre dos puntos sería igual al
producto del campo eléctrico del conductor por la distancia que separa a ambos puntos. Si tomamos dos
puntos extremos:
VA  VB  E * L
Si además suponemos que la densidad de corriente es constante a lo largo de todo el
conductor, tendremos que la intensidad sería la densidad de corriente del conductor por la sección de
éste:
i  J *S
Si introducimos estas dos ecuaciones en la ecuación de la ley de Ohm, llegaríamos a que:
R 
VA  VB
i

E*L
J *S
 J 
L*E
R*S


 J  *E
Siendo  la conductividad del circuito. El inverso de esta magnitud (la conductividad sería la
resistividad, ):
 
1


R*S
L
Si ahora despejamos la resistencia de la expresión anterior, lograremos tenerla expresada en
función de las características del conductor al que representaría, es decir, que a partir de los datos
geométricos del conductor y de la resistividad del material del que esté fabricado, podremos calcular la
resistencia de tal conductor:
R 
*L
S
De esta forma, llegamos a las siguientes conclusiones:
- Al aumentar la longitud del conductor, la resistencia que ofrece es mayor, ya que al aumentar
la longitud del conductor, aumenta el número de iones que forman la red cristalina del conductor, y por
lo tanto, aumenta la posibilidad de choque entre los electrones y esos iones, y po lo tanto, al haber más
choques, el conductor ofrecerá una mayor resistencia
- Al disminuir la sección del conductor, la resistencia que ofrece aumenta, ya que al
concentrarse los caminos que tienen los electrones para pasar, se hace más probable el choque, y por
tanto, aumenta la resistencia
- Al disminuir la resistividad, disminuye la resistencia, y si aumenta la resistividad, aumenta la
resistencia. Es decir, que cuanto menor es la resistividad, mejores conductores son; y cuanta mayor
resistividad, peor conducen.
Para los conductores óhmicos, la resistividad es una constante a una temperatura constante
dada. Pero en los conductores en general, la resistividad aumenta con la temperatura. Esto se debe a que
al aumentar la temperatura, los iones de la red cristalina que conforma el conductor adquieren una
energía de vibración que provoca que tengan una mayor amplitud de movimiento, es decir, que
abarquen más espacio, por lo que aumentaría la probabilidad de un choque, con lo que también
aumentaría la resistencia, y como consecuencia, aumentaría la resistividad.
ASOCIACIÓN DE RESISTENCIAS. RESISTENCIA EQUIVALENTE
Supongamos un conjunto de resistencias (R1, R2, ... , Rn). Existen dos formas de asociación
de las mismas: en serie y en paralelo.
Montaje en serie
En este caso, la intensidad que recorre todas las resistencias es la misma, por lo que cambia
entre las resistencias es la caída de tensión entre los extremos de cada una. La caída de tensión total
sería la suma de las caídas de tensión de cada una de las resistencias que forman la asociación
Para que se cumplan las condiciones anteriormente mencionadas, se tiene que cumplir que la
resistencia equivalente de todas las que forman la asociación sea la suma de todas las de la asociación:
R E Q  R 1  R 2  ... R n
Montaje en paralelo
En este caso, la caida de potencial entre los extremos de cada una de las resistencias es la
misma, por lo que lo que cambia entre las resistencias es intensidad que recorre cada una de ellas. La
intensidad total se divide en tantas intensidades parciales como resistencias existan. La intensidad total
sería la suma de las intensidades que recorren cada una de las resistencias que forman la asociación
Para que se cumplan las condiciones anteriormente mencionadas, se tiene que cumplir que el
inverso de la resistencia equivalente de todas las que forman la asociación sea la suma de los inversos
de todas las de la asociación:
1
R EQ

1
R1

1
R2
 ...
1
Rn
MEDIDA DE RESISTENCIAS
Como hemos estudiado en la ley de Ohm, la resistencia es el cociente entre la diferencia de
tensión que existe entre los extremos de un conductor y la intensidad de corriente que lo recorre. Para
medir la diferencia de potencial entre dos puntos emplearemos un voltímetro, y para medir la intensidad
de la corriente emplearemos un amperímetro. Partiendo de estos instrumentos, podemos montar el
circuito de dos formas diferentes:
En este caso, mediríamos la diferencia de potencial entre los extremos de la resistencia; pero la
intensidad que mediríamos sería mayor que la intensidad de corriente que atravesaría la resistencia (ya
que parte de la intensidad total pasaría por el voltímetro); y en conclusión, el valor que obtendríamos
sería menor que el valor real de la resistencia.
Para solucionarlo, podríamos colocar el amperímetro anteriormente a la medida de la
diferencia de tensión:
Pero entonces, a pesar de que la intensidad medida sería realmente la que atravesaría la
resistencia, la diferencia de potenciales no sería la diferencia real entre los extremos de la resistencai,
porque influiría el amperímetro (que estaría hecho de conductor, y por lo tanto provocaría una mayor
diferencia de la que realmente existiría). Por lo tanto, la diferencia de potencial que mediríamos sería
mayor que la diferencia de potencial que realmente existe entre los extremos de la resistencia. Por ello,
la resistencia que obtendríamos sería mayor que la resistencia real existente.
Para que el error sea muy pequeño, en el primer caso, lo que hay que hacer es que la intensidad
de corriente que atraviesa el voltímetro sea mínima, es decir, que los voltímetros posean una resistencia
interna tan grande que la corriente que circule sea muy pequeña:
iV 
V
R int
En el segundo caso, lo que habría que hacer es conseguir que la diferencia de potencial entre
los extremos del voltímetro sea mínima. Para ello, lo que se hace es que la resistencia interna del
amperímetro sea mínima, para que de esa manera, la diferencia de potencial creada por el amperímetro
sea mínima:
 V A  R int * i
Para evitar el error, se buscó una forma diferente para medir las resistencias, y ese método es
el PUENTE DE WHEATSTONE.
Lo que se hace mediante este montaje es ir variando las resistencias que se conocen hasta que
se consigue que la intensidad de corriente que atraviesa el amperímetro sea nula. Cuando la corriente
que atraviesa el amperímetro es nula, lo que ocurre es que los extremos del conductor se encuentran a
un mismo potencial.
Entonces es cuando se realizan los cálculos pertinentes. La segunda intensidad, al igual que la
primera, se puede dividir en dos, una vez que atraviesa la primera resistencia. Entonces, la corriente
podría seguir por el mismo conductor o desviarse hacia el amperímetro. Pero lo que hemos conseguido
es que la corriente que atraviese el amperímetro sea nulo. Por ello, los puntos A y B se encontrarían al
mismo potencial. Como los potenciales de los extremos debe ser la misma, y los puntos intermedios se
encuentran al mismo potencial, se tiene que cumplir que:
V A  V C  V B  V C  i1 * R 2  i 2 * R 3
V A  V D  V B  V D  i1 * R 1  i 2 * R x
Si dividimos ambas ecuaciones, llegaríamos a que :
R1
R2

RX
R3
 RX 
R1 * R 3
R2
Existe una variante del Puente de Wheatstone, que es un poco más sencilla, que consiste en
emplear un único conducto y dos resistencias. La diferencia está en que ahora el amperímetro se puede
mover, ya que forma parte de un cursor. Este sería el llamado PUENTE DE HILO:
Como ya sabemos
R1   *
R2   *
L1
S
L2
S
Sustituyendo en la fórmula obtenida mediante el puente de Wheatstone:
RX 
R1 * R 3
R2
*
 R3 *
*
L1
L1
S
 R3 *
L2
L2
S
En la expresión anterior se pueden simplificar la resistividad y la sección debido a que las
resistencias a las que se refieren las expresiones son las ofrecidas por el conductor de arriba, es decir,
que en ambos casos nos referimos al mismo conductor, es decir, que la resistividad y la sección serán
las mismas.
TRABAJO Y POTENCIA DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA
Supongamos una cierta corriente eléctrica que atraviesa los elementos de un circuito que
desconocemos. Pero conocemos que la diferencia de potencial entre los puntos extremos del circuito es
igual a:
V  V A  VB
En este caso, el potencial del punto A debe ser mayor que el potencial del punto B, ya que, si
la corriente toma el sentido desde A hacia B se debe a que de esta forma se pasa a regiones de menor
energía potencial, que va ligada al potencial eléctrico de un punto.
Si en un intervalo de tiempo dt atraviesan dq cargas desde A hasta B, la energía que perderían
esas cargas sería:
dU  dq *  V A  V B 
La potencia disipada sería la energía que se perdería por unidad de tiempo:
Pot 
dU
dt

dq
dt
V
A
 V B   V A  V B  * i
Esa potencia disipada se puede emplear en diversas cosas:
- En realizar un trabajo si entre los puntos A y B existe un motor
- En generar una energía térmica si entre los puntos A y B existe una resistencia
- En generar una energía química, si entre los puntos A y B existe una pila
- En crear un campo magnético
En el caso de que entre los puntos A y B existiese una resistencia, ya sabemos, aplicando la ley
de Ohm, que la diferencia de potencial entre los puntos A y B sería el producto de la intensidad por la
resistencia:
VA  VB  i * R
Si introducimos este valor en el cálculo de la potencia:
Pot   V A  V B  * i  i * R * i  R * i
2
Esta es la denominada LEY DE JOULE; y el calentamiento que sufren los conductores por el
efecto de su resistencia se conoce como el EFECTO JOULE. Pero sólo se trata del caso particular de
que entre A y B haya una resistencia. En el resto de posibilidades anteriormente descritas, no se cumple
ni la ley ni el efecto.
La fórmula de la potencia que hemos calculado es simplemente una aplicación directa del
principio de conservación de la energía, ya que simplemente nos dice que al conducirse la corriente
eléctrica se produce una pérdida de energía, cuyo ritmo vienen dado por la expresión que define la
potencia.
FUERZA ELECTROMOTRIZ DE UN GENERADOR. TENSIÓN EN LOS BORNES
Supongamos un hilo conductor que atraviesa un circuito que desconocemos. Entre los
extremos del circuito (puntos A y B), existirá una diferencia de potencial que será el valor del potencial
en A menos el valor del potencial en B. Suponemos entonces que el potencial de A será mayor que el
potencial de B, por lo que la corriente eléctrica tendrá el sentido desde A hasta B. Como vimos al inicio
del tema, para que se mantenga la corriente eléctrica se tienen que cumplir dos condiciones:
V  V A  VB
U
A
UB
 q *V A 
U
 q *VB 
A
UB
1) Que exista un cable conductor que conecte los extremos del conductor.
que
2) Que exista un generador de energía que ayude a las cargas a vencer la diferencia de energía
existe entre los extremos del conductor (y que viene provocada por la diferencia de
potencial existente)
El dispositivo que va a suministrar la energía necesaria para que los portadores de carga
recorran el circuito se denomina GENERADOR. En un circuito de corriente contínua, se representa
por:
Para que un generador actúe como tal, la corriente debe salir por el borne positivo, y entrar por
el borde negativo. El generador ha de permitir el paso de cargas, por lo que deberá estar compuesto por
conductores; los cuales presentarán una resistencia al paso de la corriente eléctrica. A esta resistencia la
vamos a llamar resistencia interna del generador (r)
La fuerza electromotriz de un generador () es la energía suministrada por éste para que la
unidad de carga recorra el circuito completamente. En el sistema internacional, su unidad es el
VOLTIO (V).
La relación entre la fuerza electromotriz de un generador (f. e. m.) y la potencia generada
viene dada por la siguiente ecuación:
 
dU
dq

Pot * dt
dq
 Pot 
dq
dt
*   Pot  i * 
De la fórmula anterior deduciríamos que la fuerza electromotriz es una magnitud constante
siempre que nos refiramos al mismo generador. Por el contrario, lo que varía, en función de la
intensidad que recorra el circuito será la potencia que suministra el generador. Esa potencia que
suministra el generador se emplea en dos tareas:
1) Se utiliza como potencia disipada en el interior del generador, a causa del efecto JOULE
2) Se consume en el resto del circuito
 * i  r
* i  V A  V B  * i
2
1
  
2
En este caso, hemos de reseñar que se igualan potencias, y no energías. Esto se debe a que al
referirnos a generadores, , es tan importante la energía que se consume como el ritmo al que se
consume. Como las potencias expresan ambas cosas, empleamos la potencia de un generador para que
éste quede caracterizado.
Si la expresión anterior la dividimos por la intensidad de la corriente, y de ella despejamos la
diferencia de potencial entre los extremos del generador, que sería la misma que entre los extremos del
circuito, porque no existe ningún elemento entre los extremos de uno y de otro:
  r * i  V A  V B   V A  V B     r * i
Por lo tanto, la diferencia de potencial entre los extremos de un generador no es una magnitud
constante, sino que depende de la intensidad que recorre el circuito. Además, la diferencia de potencial
en un generador sólo coincide con la fuerza electromotriz si la intensidad que circula por el generador
es nula. Pero si la corriente que circula no es nula, entonces se provoca una diferencia de tensión
diferente entre los extremos del generador.
Se define el rendimiento de un generador como el cociente entre la potencia aprovechada por
el circuito y la potencia suministrada por el generador:
R E N D IM IE N T O   
Pot . aprovechad a
Pot . sum inistrada

V
A
 VB  * i
 *i

V
A
 VB 


  r *i

FUERZA CONTRAELECTROMOTRIZ
Se define receptor como un dispositivo que, colocado en un circuito, transforma la energía
eléctrica en otro tipo de energía (por ejemplo, un motor, que transforma la energía eléctrica en energía
mecánica). Al igual que ocurre con los generadores, los receptores tienen que permitir el paso de la
corriente a través de su superficie. Por ello, deben estar formados por conductores. Debido a estos
conductores, los receptores tendrán asociada una resistencia interna (r‘), que dará lugar a una caida de
tensión en el interior del receptor.
La segunda característica de un receptor será su fuerza contraelectromotriz (’), que también se
expresa en voltios, al igual que la fuerza electromotriz; y que se define como la potencia útil de un
receptor por unidad de corriente que la atraviesa. Es decir, que es la potencia que realmente transforma
el receptor, para obtener otro tipo de energía.
Supongamos que tenemos un receptor, atravesado por una cierta corriente. El receptor estará
caracterizado por su resistencia interna y por su fuerza contraelectromotriz. Entre los extremos del
receptor existirá una diferencia de potencial que será el valor del potencial en el punto A menos el valor
del potencial en el punto B.
La potencia que consumiría el receptor sería:
2
Pot . consum ida   V A  V B  * i   r ' * i    ' * i   V A  V B    r ' * i    '
 
1
2
La potencia que consumiría el receptor la emplearía a dos fines:
1) Se utiliza como potencia disipada en el interior del receptor, a causa del efecto
JOULE
2) Se consume transformándose en energía de otro tipo (potencia útil)
Al igual que en los generadores, se define el rendimiento del receptor como el cociente entre la
potencia útil del receptor y la potencia suministrada a ese receptor:
R 
  ' * i
V
A
 VB  * i

  '
V
A
 VB 

  '
  '   r ' * i
Tanto la fuerza electromotriz del generador como la fuerza contraelectromotriz del receptor se
han definido de la misma manera: como una potencia eléctrica entre una corriente. Esta similitud va a
permitir tratar de una forma análoga a los generadores y a los receptores en los circuitos de corriente
contínua. Por ello, si en un circuito nos encontramos con un generador al cual la corriente entra por el
borne positivo, y sale por el positivo, supondremos que ese generador actúa realmente como un
generador, y por lo tanto estará caracterizado por su fuerza electromortriz y por su resistencia interna.
Pero si en un circuito de corriente contínua nos encontramos con un generador al cual la corriente entra
por el borne positivo y sale por el borne negativo, supondremos que ese generador se está comportando
como si fuese un receptor.
LEY DE OHM GENERALIZADA
Supongamos un circuito cualquiera:
En el primer generador, la corriente entra por el borne negativo, y sale de él por el borne
positivo. Por lo tanto, suponemos que está actuando como generador. Pero en el caso del segundo
generador, la corriente entra por el borne positivo, y sale por el borne negativo, de tal forma que estaría
actuando como receptor, es decir, que no crearía una potencia, sino que la disiparía o consumiría.
En este caso, al tratarse de un circuito cerrado, debe cumplirse que la potencia suministrada
por todos los generadores sea igual a la potencia disipada por todos los receptores (o los dispositivos
que actúen como tales):
2
2
2
2
2
Ps  Pd   1 * i  r1 * i    ' * i   r ' * i  R 2 * i   2 * i  r2 * i  R 1 * i
Si dividimos toda la expresión anterior por la intensidad de corriente:
 1  r1 * i    '   r ' * i  R 2 * i   2  r2 * i  R 1 * i
 1    '   2  i *  r1   r '  r2  R 1  R 2 
i
 1    '   2

 C aso particular
r1   r '  r2  R 1  R 2 
El caso anterior se trata de un caso particular, pero en general, la ley de Ohm se puede
generalizar de la siguiente forma:
“ La corriente que recorre un circuito es igual al cociente entre la suma algebraica de la fuerzas
electromotrices y contraelectromotrices que haya en el circuito y la suma de todas las resistencias del
circuito”
i
        '
R
Al emplear el término de suma algebraica se refiere a que hay que tener en cuenta el signo, es
decir, que si se trata de una fuerza que cree potencia, se le asignará signo positivo, y si se trata de una
fuerza que disipe potencia, se le asignará signo negativo
LEYES DE KIRCHOFF
Estas leyes se aplican a unos circuitos más complejos, que se denominan REDES, que son
circuitos eléctricos en los que existen varios caminos diferentes para el paso de la corriente. Un NUDO
de la red es todo punto de la red en el que coinciden tres o más conductores. Se define una MALLA de
una red como todo circuito cerrado que podemos recorrer completamente dentro de una red sin pasar
dos veces por el mismo nudo
LEY DE LOS NUDOS
Es una aplicación del principio de conservación de la carga
“En un nudo, la suma de las intensidades que llegan al nudo debe ser iguala a la suma de las
intensidades que salen de él”
i1  i 2  i 3  i 4
LEY DE LAS MALLAS
Es una aplicación del principio de conservación de la energía:
“La suma de las potencias suministradas por los generadores que hay en una malla debe ser
igual a la suma de las potencias disipadas en los receptores y en las resistencias que hay en esa malla”

j

 '
j

r
j
*ij
Para aplicarlo a los problemas, se debe asignar primeramente un sentido arbitrario a la
corriente, de modo que los generadores que actúan como tales serán aquellos en los que la corriente les
entra por el borne negativo, y sale por el borne positivo.
Los generadores a los que la corriente les entre por el borne positivo y les salga por el borne
negativo serán tratados como receptores, y su fuerza electromotriz se considerará en el término de las
fuerzas contraelectromotrices.
Si al final de los cálculos se obtiene una intensidad negativa, significa que el sentido asignado
a la corriente es incorrecto, y que el sentido real es el opuesto.
CAMPO MAGNÉTICO
FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA CARGA. VECTOR INDUCCIÓN MAGNÉTICA
Supongamos que se tiene una carga Q en reposo, por lo que su velocidad será cero, en una
región del espacio donde existe un campo magnético, del cual desconocemos su causa. Sobreesa
partícula cargada que se encuentra en reposo, el campo no ejercería ninguna fuerza. Sin embargo, si esa
partícula está en movimiento, en esa misma región del espacio, aparece una fuerza que tiende a alterar
la trayectoria de la partícula.
Para conocer el campo eléctrico, se introducían cargas de diferentes valores en diferentes
puntos del campo. En el caso del campo magnético, vamos a introducir diferentes cargas en diferentes
puntos del campo eléctrico, variando también las velocidades que poseen las cargas.
A partir de estos experimentos, observamos que esta nueva fuerza sólo actúa sobre las
partículas cargadas en movimiento, siendo la dirección de la fuerza perpendicular a la dirección del
movimiento. La expresión matemática que expresa el valor de la fuerza sería:



F  q*v  B
Siendo la B una propiedad que tiene el espacio que rodea a la carga, y que denominamos
vector inducción magnética o también densidad de flujo magnético; y esa inducción magnética es
responsable de las fuerzas que aparecen sobre las cargas en movimiento. Si existen superpuestos un
campo eléctrico y un campo magnético, la fuerza sobre cada partícula que se encuentra en esa región es
la suma de las fuerzas:




F  q*E  q*v  B
FUERZA DE LORENTZ
En el sistema internacional, la unidad del vector inducción magnética es la TESLA (T), que es
la intensidad de la inducción magnética que da lugar a una fuerza de un newton sobre una partícula
cargada con un culombio y que se mueve con una velocidad de un metro por segundo,
perpendicularmente al vector inducción magnética.
Como la fuerza y la velocidad son perpendiculares, eso supone que la acción de la fuerza sólo
cambia la dirección del movimiento, no el módulo de la velocidad. Es decir, que la fuerza no acelera ni
frena el movimiento, únicamente altera la dirección del mismo:
Por lo tanto, el trabajo realizado por la fuerza sería nulo, ya que al ser la fuera y la velocidad
perpendiculares, también lo serán la fuerza y el desplazamiento, por lo que su producto escalar será
nulo. Además, hemos definido el trabajo como el incremento de la energía cinética. Como en este caso,
la fuerza no altera el módulo de la velocidad, el incremento de la energía cinética es nulo, y por lo
tanto, el trabajo también:
W 


 F * dr
W  Ec  0

 F * dr * cos 90 º  0
FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA CORRIENTE
Supongamos que tenemos un conductor simple, rectilíneo y cilíndrico, cuyas partículas
cargadas se mueven con una velocidad constante, situado en una región del espacio donde existe un
campo magnético uniforme:
La fuerza que ejercería el campo magnético sobre todo el conductor sería la suma de las
fuerzas que ejercería sobre cada una de las partículas que circulan por el conductor:

Fcond 

F
Q en movim.


 N *q *v  B
Siendo N el número de cargas. Como estamos tratando con un conductor rectilíneo,
suponemos que todas las cargas son iguales, y que todas las velocidades de las partículas son iguales



Fc arg a  q * v  B
Como estamos calculando la fuerza referida a un conductor, nos interesa más tenerlo en
función de la intensidad que circula por el conductor, antes que por el número de cargas que contiene el
conductor, que es un dato muy difícil de conocer
N  n*l*S
i  n*S *q*v
Siendo n la densidad de cargas, que será el número de cargas por unidad de volumen. Ahora,
sustituimos el valor de N en la fórmula de la fuerza:





FC O N D  N * q * v  B  n * S * L * q * v  B

Tomamos ahora una parte de esta expresión, que será la parte de : L q v . Este será un vector
que tiene la dirección y sentido de la corriente eléctrica. Operando con ella, llegaremos a una expresión
que nos permitirá relacionar la fuerza magnética con la intensidad que circula por el conductor:




L * q * v   L * q * v  * u corriente  q * v *  L * u corriente   q * v * L

Siendo L un vector cuyo módulo coincide con la longitud del conductor, y cuya dirección y
sentido coincide con los de la corriente. Introducimos ahora esta conclusión en la fórmula de la fuerza
magnética:





FC O N D  n * S * q * v * L  B  i * L  B
En el caso de que el conductor no sea rectilíneo, o que el campo magnético no sea uniforme,
debemos ir dividiendo la fuerza a tramos donde se cumplan ambas propiedades:




dF  i * dL  B  F 


dF 


 i * dL  B
CONDUCTOR
MOMENTO SOBRE UNA ESPIRA EN UN CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME. DIPOLO
MAGNÉTICO
Supongamos que tenemos un circuito con una espira cerrada en un campo magnético uniforme.
Siempre que se tiene un conductor cerrado sobre el que circula una intensidad de corriente, la fuerza
neta que ejerce el campo magnético sobre ese conductor cerrado es nula. Sin embargo, aparece un
momento que tiende a aumentar ese conductor cerrado, perpendicularmente al campo magnético.



dF  i * d L  B

F 

 dF



 i * dL  B
Tanto la intensidad de corriente como el campo eléctrico (que hemos supuesto uniforme)
serían constantes, por lo que podrían sacarse de la integral:

F  i*



  dL   B  0
La integral sería cero porque en un conductor cerrado, la suma de los diferenciales delongitud
sería igual a cero (se empieza en un punto y se termina en ese mismo punto, por lo que la suma es cero).
Para demostrarlo, vamos a tomar una espira rectangular, para que sea más sencillo:
Vamos a calcular la fuerza que ejerce el campo magnético sobre cada uno de los conductores
que forman la espira. Para ello, suponemos un sentido de corriente:



F  i*L B
F1  i * a * B * sen   F 3
F 2  i * b * B * sen 90 º  i * b * B  F 4






F T O T  F1  F 2  F 3  F 4  0
Al estar sobre rectas paralelas, cada par de fuerzas da lugar a un momento, ya que tienden a
girar el plano de la espira para colocarlo perpendicular al campo magnético. El momento que se crea
sería:



M  r  F 
 



F  i * b * B  M  F * r * sen   a * i * b * B * sen   i * S * B * sen 


r  a






i*S *n  m  M  m  B
Siendo por lo tanto el vector m un vector cuyo módulo será el producto de la intensidad de
corriente que circula por la espira por la superficie de ésta; y cuya dirección y sentido sería la
perpendicular al plano de la espira, en el sentido de un sacacorchos que gira en el mismo sentido que la
corriente que circula por la espira.
la
un
sentido de la corriente,
perpendicular a la espira. Guarda
el momento dipolar que
campo eléctrico, ya que:
Ese vector m sería el momento dipolar de
espiral. Su dirección y sentido nos lo da
sacacorchos que gira en el
siendo su dirección
una gran semejanza con
estudiabamos con el
Campo eléctrico
Campo magnético


p  q *d


m  i*S *n



M  p E



M  m B
 
U  p*E
 
U  m * B
Además, en ambos casos, se tiende a girar el elemento que crea el momento dipolar, es decir,
que en el campo eléctrico se tendía a girar el dipolo hasta que quedaba paralelo al campo, y aquí se
tiende a girar la espira hasta que queda perpendicular al campo. Esto se debe a que entonces, el
momento es nulo.
La tendencia a orientar la espira cesa cuando el momento es cero. Este momento se alcanza
cuando los vectores que forman el producto vectorial son paralelos, es decir, cuando la espira se
encuentre perpendicular al campo magnético.
Ese momento que ejerce el campo eléctrico es el fundamento de los voltímetros y
amperímetros (fotocopias)
MOVIMIENTO DE UNA CARGA PUNTUAL EN EL INTERIOR DE UN CAMPO MAGNÉTICO
UNIFORME. APLICACIONES.
Supongamos que tenemos una partícula cargada con una carga “q” que se mueve en el interior
de un campo magnético, perpendicularmente al campo. Este campo ejercería una fuerza sobre la
particula que sería:



F  q*v  B
Esta fuerza sería perpendicular a la velocidad, pero también lo sería al campo. En este caso, al
ser la velocidad perpendicular al campo, el módulo de la fuerza sería directamente el producto de
q*v*B. Al cambiar la trayectoria, lo que ocurre es que la partícula seguiría una trayectoria circular, por
la perpendicularidad que mantienen la velocidad y la fuerza. La fuerza magnética tendría que ser
entonces igual a la fuerza centrípeta, que se da lugar a causa de que se trata de un movimiento circular.
Por ello:
2


v
m*v
F M  FC  q * v * B  m *
 R 
R
q*B
Siendo R el radio de la trayectoria que recorrería la partícula. Al ser un movimiento circular, la
partícula se movería con una velocidad angular, cuya expresión sería:

 
v
R

v
m*v

q*B
m
q*B
En el caso de que la partícula estuviese cargada con una carga negativa, la fuerza que se ejerce
sería de sentido opuesto.
Por ello, para conocer el sentido de giro que seguiría la partícula, es neceario conocer el vector
velocidad angular completo: ya conocemos su módulo, pero necesitamos conocer se sentido, porque su
dirección es siempre perpendicular al plano en el que se produce el giro. También sabemos que el
sentido de este vector viene dado por el sentido de giro del sacacorchos que gira en el mismo sentido
que el cuerpo que gira. Para eso, no se escriben únicamente los módulos de las fuerzas (magnética y
centrípeta), sino que ponemos
en su forma vectorial:
 la ecuación

 


q * v  B  m *  v  m * v  
      
D e la fórmula anterior



q





v  q * B  v   m *   q * B  m *      * B
m
Partiendo de las fórmulas anteriores, estudiamos la relación de la velocidad agular con el
campo:
- En el caso de que la carga sea positiva, entonces la velocidad angular será de sentido opuesto
al campo megnético, es decir, que serían antiparalelos
- En el caso de que la carga sea negativa, la velocidad angular sería paralela al campo
magnético.
En el caso anterior, la primera carga que habíamos dibujado describiría un movimiento
circular en el que la velocidad angular sería paralela al campo magnético. Por ello, podemos concluir
que la carga era negativa. Por el contrario, la segunda carga que habíamos representado describe un
movimiento en el que la velocidad angular sería antiparalela al campo, por lo que deducimos que la
carga era positiva.
Si el campo y la velocidad de la partícula no son perpendiculares, es decir, que la carga
describe un movimiento de trayectoria no perpendicular al campo, sino que forman un ángulo:



v  v  v







F  q * v  B  q * v  B  q * v  B

F  q * v  * B * sen 90 º  q * v
* B * sen 0 º  q * v  * B  q * v * B * sen 
En el caso de que sólo existiese velocidad en la dirección perpendicular al campo, estaríamos
en la misma situación que antes, es decir,q ue la carga describiría una trayectoria circular. Pero en este
caso, además hay una velocidad en la dirección paralela al campo, sobre la que no se ejerce fuerza (ya
que no existe una variación del módulo de la velocidad), pero que influye en la trayectoria de la carga.
Es decir, que a causa de la velocidad perpendicular, se sigue una trayectoria circular, pero además, se
sigue una trayectoria rectilínea en la dirección de la velocidad paralela. Esto provoca que en realidad, el
movimiento de la carga tenga una trayectoria helicoidal, es decir, en forma de hélice.
APLICACIONES
a) Tubo Thomson
Es un tubo en cuyo interior se hace el vacío, en el que se colocan dos electrodos, entre
los que se hace saltar una chispa, para que así existan cargas libres. A causa de la diferencia de
potencial que existiría entre los electrodos, habría un campo eléctrico, y además una intensidad de
cargas, que se moverían hacia un lado u otro, dependiendo de su signo. Al moverse, las cargas libres
podrían mantener una trayectoria rectilínea siempre que no choquen contra los electrodos, ya que
después de éstos, no existiría ninguna fuerza que variase su trayectoria.
Pero si introducimos el aparato en un campo magnético, las partículas se desviarán, y cuando
cese la acción del campo magnético, volverán a su trayectoria rectilínea. Dependiendo del módulo, la
dirección y el sentido del campo magnético, podemos desviar las partículas en una u otra dirección, en
sentidos diferentes, y con fuerzas diferentes.
Si a ese campo magnético le añadimos “q” campo eléctrico paralelo con él, mediante el campo
magnético controlaremos el movimiento de las cargas en una dirección, mientras que mediante el
campo eléctrico controlaremos el movimiento en la dirección perpendicular a la del campo magnético.
Por ello, podemos controlar completamente el movimiento de las cargas mediante estos dos campos. Lo
que podemos hacer es dirigir las partículas para que choquen en un punto determinada de la pantalla del
tubo (es decir, que podemos hacer que choquen haciendo un barrido, o en unos puntos concretos, ...).
Ésto es una aplicación que se ve reflejada, por ejemplo, en el modo de funcionamiento de los
monitores:
b) Efecto Hall
Supongamos un conductor de superficie S, por el que circula una intensidad de
corriente, que se encuentra en el interior de un campo magnético. La fuerza magnética desvía el
movimiento de las cargas hacia uno de los laterales del conductor (en este caso que dibujamos, hacia la
derecha), lo que va a provocar una acumulación de cargas en ese lado, de tal forma que se crea un
campo eléctrico que ejercería una fuerza eléctrica sobre las cargas, que se opondría a la fuerza
magnética. Esa acumulación de cargas prosigue hasta que ambas fuerzas se compensan. En el
equilibrio, ambas fuerzas son iguales.
En este caso, como la velocidad de las partículas es perpendicular al campo magnético, el
módulo de la fuerza magnética tiene que ser el producto de la carga por la velocidad y el campo.:


F M  FE
q *v*B  q * E
E  v*B
V H  V1  V 2

V 1  V 2 ( xq hay q )
E =
VH
d
Al existir una acumulación de cargas en el lateral, existe una diferencia de potencial entre
ambos laterales, de tal forma que el mayor potencial corresponde al lateral en el que se concentran las
cargas positivas. Si ahora unimos las dos ecuaciones que hemos obtenido:
v*B 
VH
d
 v 
VH
B *d
Como estamos trabajando con un conductor, contaremos con una intensidad de corriente, que
estará en función de la densidad de portadores de carga que haya en la corriente (n). Por ello,
introducimos la fórmula anterior en la del cálculo de la intensidad:
i
i
B *d *i
i  n*S *v*q  n 


VH
q *S *v
q * S *VH
q*S*
B *d
De esta forma, se puede calcular la concentración de portadores de carga por unidad de
volumen, así como su signo, partiendo de los datos conocidos de un conductor en el interior de un
campo magnético.
Si no conocemos el tip de cargas que existen en el interior del conductor, también podemos
conocerlo:



FM  q * v  B


FE  q * E
En este caso, como los portadores de carga son portadores de carga negativa, lo que ocurre es
que el potencial en el lateral uno, es menor que el potencial en el lateral dos. Por ello, la diferencia de
potencial será negativa, y por lo tanto, la densidad de portadores será también negativa.
FUENTES DEL CAMPO MAGNÉTICO
LEY DE BIOT - SAVART. APLICACIÓN AL CÁLCULO DEL CAMPO CREADO POR
CORRIENTES
Los primeros en estudiar el magnetismo fueron, por un lado Biot y Savart, y por otro lado,
Ampere. Para saber como era el campo creado por corriente, Biot y Savart midieron la fuerza que
ejercían los campos creados por diferentes conductores sobre otros conductores próximos a ellos.
Variando las posiciones relativas entre ello, y las intensidades que circulaban por cada uno de los
conductores, llegaron a una expresión que permite calcular el campo creado por un conductor. Si
tenemos un conductor por el que circula una intensidad de corriente “i”, crea un campo magnético que
viene dado por la expresión:
dB  K M *


i * dl  U r
r
2
Siendo Km una constante que depende del medio en el que se encuentre el conductor y de las
unidades en las que se estén trabajando, “y” la intensidad, dl un diferencial de longitud del conductor,
Ur un vector unitario que apunta desde el diferencial de longitud hasta el punto en el que medimos el
campo magnético y r la distancia del conductor al punto de medida.
Esta expresión recibe el nombre de LEY DE BIOT - SAVART. Partiendo de la expresión
anteror, el campo total creado por el conductor sería:

B 

 dB
conductor
Vamos a estudiar la constante propia del campo magnético: trabajando en las unidades del
sistema internacional, y en el vacío, su valor sería:
Km  10
7
N
A
2
Al igual que la constante eléctrica, podemos racionalizar esta constante (y dejarla en función
de  y de una constante característica del medio en el que se esté trabajando:
Km 
0
4
Siendo  0 la permeabilidad magnética en el vacío.
Vamos a estudiar ahora las semejandzas entre el campo eléctrico y el campo magnético. La
primera semejanza sería que en ambos casos aparece una constante de proporcionalidad que depende
del medio en el que se produzca la interacción. Además, como segunda semejanza se puede observar
que en ambos casos el campo que se crea es proporcional a las fuentes de campo (se refiere a la
proporcionalidad del campo con las líneas que lo representan). Finalmente, como tercera semejanza, en
ambos casos los campos disminuyen proporcional al inverso del cuadrado de la distancia de la fuente
de campo hasta el punto donde se mide el campo.
En cuanto a las diferencias que existen entre ambos campos, el campo eléctrico creado por una
carga tiene la misma dirección que el vector unitario que se aleja de la propia carga. Pero en el caso del
campo magnético creado por una corriente, la dirección del campo es perpendicular al vector unitario
que une el elemento de corriente que crea el campo magnético con el punto desde el que se mide el
campo..
APLICACIONES
1) Vamos a calcular el campo creado por un conductor rectilíneo. Para ello, suponemos un
conductor rectilíneo por el que circula una cierta corriente “i”, y queremos calcular el campo magnético
en un punto situado a una altura “h” de ese conductor. Según la ley, debemos calcular el campo creado
por cada uno de los elementos de corriente que forman el conductor.



i * d L * U r * sen 
dB  Km *
2
r


dL  dy

2
2
2
r  y  h  d  tg 

y

tg  

h
   1  tg 2   d 
  9 0 º    sen   cos  

dy
h
2
 d y  h *  1  tg   d   d y 
* d
2
 
h
cos 
1
cos 
2
h
r
 r
2

h
2
cos 
2
Una vez tomadas estas valoraciones iniciales, comenzamos el cálculo:

B 


 dB   dB * i



i * dl * sen 
dl * sen 
 i *  dB  i *  Km *
 Km * i * i * 

2
2
r
r


dy * cos
= Km * i * i * 

Km
*
i
*
i
*
2
r
=
Km * i
h

*i *
2
 cos 
* d 
 1
Km * i
h
2

h
cos 
 1
2
* d  * cos 
h
2

cos 
2

i 

* i * sen   2  Km * * i *  sen  2  sen  1 
 1
h

0 *i
B 
*  sen  2  sen  1 
4 h
En el caso de que el conductor fuese indefinido, es decir, que se prolongase hasta el infinito, lo
que ocurriría es que los ángulo que se formarían desde el punto tenderían a ser de noventa grados, es
decir, que se formaría una recta paralela a la anterior. De esta forma, el campo magnético sería:
B 
0 *i
4 h
( 1  1) 
0 *i

0 *i 
 B 
*i
2 h
2 h
En cuanto a la representación de este campo, al tratarse de un campo que depende únicamente
de la distancia a la fuente del campo, supone que todos los puntos de que se encuentran a la misma
distancia del conductor tendrán el mismo valor de campo magnético. Por ello, sus líneas de campo
toman la forma de una circunferencia:
2) Ahora vamos a calcular el campo magnético creado por una espira conductora, de radio R,
sobre un punto que se encuentra sobre un punto del eje que se encuentra perpendicular al plano que
contiene a la espira, y que pasa por su centro.
En general, la suma de los diferenciales del campo magnético datá un cono ce revolución, que
en realidad, sólo crea camp total en la dirección del eje Y




dL  U r
dB  Km * i *

B

d
B
  dB * cos  * j 

2
Y
r


Km * i * dl * U r * sen 90 º
i * dl
 
* cos  * j   Km *
* cos  * j 
2
2
r
r


i
i * cos 
 Km * 2 * cos  * j *  dl  Km *
* 2 R * j
2
r
r
r
2
 y  R
2
2
cos   sen  

0
B 
*
4
R
R

r
 y2
 y2
 R
2

2

1
2
2

2
* 2 R * j
Km * i
 y2


2
* 2 R * j  B 
i
3
 R


B 


 R
2

3
2
0 *i * R
2 * y  R
2
2
2

3

* j
2
FUERZAS ENTRE CORRIENTES RECTILÍNEAS Y PARALELAS. DEFINICIÓN DE AMPERIO
Supongamos que tenemos dos conductores indefinidos y rectilíneos, que se encuentran
situados en el espacio paralelos el uno al otro; y queremos conocer el campo que se crea entre ambos.
Por cada uno de ellos circulará una corriente diferente (i1 e y2); de tal forma que cada uno de los
conductores crea un campo eléctrico:
B1 
B2 
0 *i
2  * r1
0 *i
2  * r2
Cada uno de los campos magnéticos creado por los conductores ejercería una fuerza sobre el
otro conductor:






F  i * L  B  F1 2  i 2 * L 2  B 1
En este caso, el conductor sobre el que se ejerce la fuerza sería perpendicular al campo
magnético que la ejerce, de tal manera que el vector longitud y el vector campo magnético también
serían perpendiculares. Por ello, el módulo de la fuerza sería directamente el producto de los términos
del producto vectorial. Es decir:
F12  i 2 * L 2 * B 1 
 0 * i1 * i 2
2 d
* L2 
F12
L 2  f 12 
 0 * i1 * i 2
2 d
A dem á :s


f 12  f 21  f 12   f 21
Si tenemos dos conductores sobre los que circulan corrientes del mismo sentido, entre ambos
conductores se crea una fuerza de atracción.
Ahora vamos a suponer dos conductores que se encuentran paralelos en el espacio, sobre los
que circulan dos corrientes (i1 e i2) de sentidos opuestos. Cada uno de los conductores crearía un campo
magnético:
B1 
B2 
0 *i
2  * r1
0 *i
2  * r2
Además, cada uno de los campos crearía una fuerza sobre el otro conductor. En este caso,
como los conductores son perpendiculares al campo creado por el otro conductor, el módulo de la
fuerza sería simplemente:

F  i*L*B

 0 *i 1
 0 *i 1 * i 2
F
F12  i 2 * L 2 * B 1  i 2 * L 2 *
 12 L  f 12 
2
2 d
2 d

 0 *i 2
 0 *i 2 *i 1
F
F 21  i 1 * L 1 * B 2  i1 * L1 *
 21 L  f 21 
1
2 d
2 d
De esto deducimos que las fuerzas tienen el mismo módulo y la misma dirección (que será la
línea que une perpendicularmente a ambos conductores). Además, mediante el producto vectorial,
descubrimos que se trata de una fuerza de repulsión, ya que se trata de una fuerza que se aleja del
conductor que la crea.
Cuando por dos conductores rectilíneos circulan corrientes de sentido opuesto, los dos
conductores se repelen. De esta forma, partiendo de lo anterior, podemos dar una fuerza de un amperio:
“Si se tienen dos conductores rectilíneos e indefinidos separados una distancia de un metro,
por los que circulan corrientes iguales, decimos que las corrientes que circulan por ellos son de un
amperio cuando la fuerza por unidad de longitud que aparece entre dichos conductores es de 2 * 10 -7
newtons.”
LEY DE AMPÈRE. APLICACIÓN AL CÁLCULO DE CAMPOS CREADOS POR CORRIENTES
Cuando estudiamos la ley de Bito - Savart, establecimos una relación entre el campo eléctrioco
y el campo magnético. Por ello, es de suponer que podamos encontrar una teoría semejante a la de
Gauss aplicada al campo magnético:
La buscamos partiendo de la misma expresión que en el campo eléctrico:


 B * dr

 B * dr  
0 *i
2 h
* dr 
0 *i
2 h
*  dr 
0 *i
2 h
* 2 h 


 B * dr
 0 *i
Esta expresión la hemos hallado partiendo de un caso muy sencillo. Pero se puede generalizar
a cualquier otro caso mediante la siguiente expresión:


 B * dr
  0 *  i ENC
Sabiendo que la suma que se realiza es una suma algebraica, es decir, en la que influye el
sentido de la corriente que se considere. Para comprenderlo mejor, tomaremos el siguiente ejemplo:


 B * dr
  0 *  i1  i 2  i 3 
Vamos a considerar positivas las intensidades de corriente que den lugar a líneas de vampo
con el sentido en el que se recorre la trayectoria, y serán negativas aquellas intensidades que dan lugar a
líneas de campo con sentido opuesto al sentido en el que se recorre la trayectoria.
Como ejemplo, vamos a calcular el campo creado por un solenoide. Un solenoide es un
conductor enrollado en forma de hélice, con espiras muy próximas entre sí, que crea un campo intensio
y aproximadamente uniforme en su interior, y un campo prácticamente nulo en el exterior. Por ello, los
solenoides se utilizan para almacenar energía magnética. Va a ser equivalente a los condensadores
planos del campo eléctrico, aplicado al campo magnético:
Por lo que hemos dicho, el campo interior será uniforme y el campo exterior será nulo. Cuanto
más largo sea el solenoide, o más juntas se encuentren las espiras, más cierto será esto. Ahora,
utilizando la ley de Ampère, vamos a calcular ese campo. Para ello, buscamos una línea de integración
que sea paralela al campo; y en la que el campo magnético sea constante. Esdecir, tomamos la línea de
la figura. Además, sabemos que por cada una de las espiras circula la misma intensidad:
 0 *  i ENC   0 * N * i


 B * dr









 B * dl   B * dl   B * dl   B * dl
1
2
3

4
 B * dl 
B *  dl  B * L
1
Si ahora aplicamos la ley de Ampère:


 B * dr
Siendo
  0 *  i ENC  B * L   0 * N * i  B   0 *
N
L
*i
N
el número de espiras por unidad de longitud, a lo que vamops a denominar a partir
L
de ahora “n”. Por lo tanto, el campo creado por el solenoide sería:
B  0 *n *i
FLUJO MAGNÉTICO. TEOREMA DE GAUSS
El flujo magnético, al igual que el eléctrico se define como :
 


 B * dS   B * dS * cos 
S
S
Su unidad en el sistema internacional es el weber, que es el flujo magnético de un campo de un
tesla que atraviesa una superficie de un metro cuadrado:
Wb  T * m
2
El teorema de Gauss nos dice que el flujo es proporcional al número neto de líneas de campo
que atraviesan una superficie. Imaginemos que tenemos una superficie cerrada en un campo magnético.
Como ya sabemos, las líneas de campo magnético tienen que ser cerradas:
Por lo tanto, el número neto de líneas sería cero, lo que supone que en esa superficie no hay ni
fuentes ni sumideros de campo. Por ello, el teorema de Gauss se resume en que el flujo en una
superficie cerrada tiene que ser nulo:
 0
PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA
TEORÍA DE AMPÈRE
Se observa que los campos magnéticos creados por corrientes varían dependiendo del medio
que rodea al conductor que crea el campo. Por tanto, los medios materiales pueden afectar al campo
magnético creado por un conductor que, recíprocamente, ve modificadas sus propiedades debido al
campo externo. Si se comparan los campos magnéticos creados por sustancias magnéticas y los campos
magnéticos creados por conductores que poseen una forma geométrica similar a la sustancia magnética
anterior, se observa que las líneas de campo en ambos casos son muy similares. De esto, cabe concluir
que las fuentes del magnetismo natural deben ser algún tipo de corriente similar a las duentes del
magnetismo debido a conductores. Si, por ejemplo, tomamos un solenoide y una barra imanada de
forma geométrica muy similar al solenoide, las líneas de campo son casi iguales:
Ampère propuso que el magnetismo natural se debía a corrientes microscópicas ordenadas que
existían en el interior de algunos materiales. Estas corrientes se contrarrestarían en el interior del
material, pero no así en la superficie, sobre la cual circularía una corriente resultado de la suma de
diversas corrientes microscópicas próximas a la superficie
Ampère
Siendo im la corriente superficial de
o corriente de magnetización.
esas
las que
magnéticas de
Según la teoría de Ampère, por tanto,
corrientes microscópicas serían
darían lugar a las propiedades
los materiales
En la realidad, las corrientes microscópicas no son tales, sino que corresponden a los
movimientos de los electrones alrededor del núcleo y a los movimientos de spin de los electrones sobre
si mismos. Esos dos tipos de movimientos dan lugar a momentos magnéticos que pueden contribuir a
crear un campo magnético en la sustancia.
Con los momentos magnéticos creados por los electrones, puede ocurrir que en un mismo
átomo, los momentos magnéticos de sus electrones se compensen, dando lugar a un momento dipolar
magnético total nulo en cada uno de los átomos. Es lo que ocurre en las sustancias
DIAMAGNÉTICAS.
Si los momentos magnéticos de los electrones de cada átomo no se compensan, entonces cada
átomo de la sustancia presentará un momento dipolar total no nulo, pese a lo cual, un bloque compuesto
por átomos de este tipo puede o no tener momento dipolar magnético total nulo.
Los momentos dipolares magnéticos
FERROMAGNÉTICAS y PARAMAGNÉTICAS.
totales
no
son
nulos
en
las
sustancias
INTERACCIÓN DE UN DIPOLO CON UN CAMPO MAGNÉTICO
Al introducir un dipolo en un campo magnético, el dipolo sufre la acción de un momento
dipolar magnético, que provoca que el campo ejerza un momento sobre el dipolo; de tal manera que
cuando se tengan dipolos en un campo magnético externo, ese campo ejercerá un momento sobre todos
los dipolos, tendiendo a orientarlos paralelos a él.
Esto ocurre porque de esa forma poseen menos energía potencial que en otra situación.
Precisamente, la variación de la energía potencial que experimenta un dipolo cuando cambia su
orientación debido a un campo externo coincide con el trabajo realizado por el campo externo al girar
el dipolo desde su posición inicial hasta colocarlo paralelo a él.
Esa energía potencial viene dada por la siguiente expresión:
 
U  m * B
La energía potencial será por lo tanto mínima cuando el dipolo y el campo sean paralelos; y
será máxima cuando son antiparalelos.
DIAMAGNETISMO
Todas las propiedades magnéticas de los materiales dependen de si los momentos magnéticos
de sus átomos son nulos o no en ausencia de campo magnético; y de las interacciones que sufran entre
sí los dipolos magnéticos de la sustancia.
En las sustancias diamagnéticas, el momento dipolar magnético de cada uno de los átomos, en
ausencia de campo externo es nulo, es decir, en cada átomo, se compensan los efectos de los momentos
magnéticos de cada electrón.
Cuando una sustancia diamagnética se introduce en un campo magnético externo, el
movimiento de los electrones se ve afectado por el campo externo. Como consecuencia de esa
interacción, se inducen unos momentos magnéticos en cada electron, que tiene el valor:
2
n 
Siendo:
e
r
B
me
2
e *r * B
4me
la carga del electrón
el radio de la órbita de cada electrón
el módulo del campo externo
la masa del electrón
Los momentos inducidos para cada electrón tienen todos el mismo sentido, que es opuesto al
del campo externo. Como consecuencia, el momento total del átomo será distinto de cero, y será
opuesto al campo externo. Por lo tanto, las sustancias diamagnéticas presentan un momento opuesto al
campo:
De esto anterior se pueden deducir dos consecuencias:
- El campo en el interior es menor que el campo en el exterior, ya que el momento magnético
se opone al campo externo.
- Los materiales diamagnéticos son siempre repelidos por el campo externo.
Este fenómeno de la inducción de los dipolos magnéticos es apreciable sólo en las sustancias
diamagnéticas, pero ocurre en todo tipo de sustancias. Lo que ocurre en las sustancias paramagnéticas y
ferromagnéticas es que los dipolos naturales de los átomos de la sustancia son mucho mayores que los
dipolos inducidos en cada àtomo, debido al campo externo. Como consecuencia, los efectos del
diamagnetismo son mucho menores que los del paramagnetismo y el ferromagnetismo; y quedan
enmascarados por éstos en las sustancias paramagnéticas y ferromagnéticas.
PARAMAGNETISMO Y FERROMAGNETISMO
Las sustancias paramagnéticas presentan un momento dipolar magnético diferente de cero en
cada uno de sus átomos. Pese a ésto, puede ocurrir que en ausencia de campo externo, una sustancia
paramagnética no presente momento dipolar magnético. Esto es debido al desorden existente entre los
dipolos magnéticos, causado por la agitación térmica, o energía térmica que poseen los dipolos.
Si se introduce una sustancia paramagnética en un campo externo, este ejerce un momento
sobre los dipolos, tendiendo a orientarlos paralelos a él. Para ello, tiene que vencer el desorden debido
a la agitación térmica. Por tanto, la ordenación de los dipolos magnéticos depende de dos fenómenos
con efectos opuestos. Por un lado, el campo magnético tiende a ordenar; y por otro lado, la agitación
térmica tiende a mantener el desorden.
Cuanto mayor sea el campo externo, y menor la temperatura del material, mayor será la
ordenación de los dipolos paralelos al campo; y esta será menor cuanto menor sea el campo o mayor
sea la energía térmica. Como los dipolos se orientan paralelos al campo magnético, el campo en el
interior de los paramagnéticos es mayor que el campo exterior.
Para medir el grado de ordenación de los dipolos en una sustancia, se define el vector
magnetización (M) como el momento dipolar magnético por unidad de volumen:
Cuando todos los dipolos se sitúan paralelos al campo magnético, el vector magnetización
alcanza su valor máximo, entonces se dice que el material ha llegado a la SATURACIÓN
MAGNÉTICA. Una ley aproximada para concer el grado de saturación de un material será la ley de
Curie, que dice que aproximadamente, la magnetización varía de la siguiente manera:
Pero en realidad no es así. Al alcanzar el punto de saturación magnética, es imposible que una
sustancia alcance una magnetización mayor. Por ello, es imposible que la magnetización crezca
indefinidamente. Por ello, la función que representa la verdadera variación sería una curva que llegado
el punto de la saturación máxima, se aproximaría a ella. En general, se suele trabajar en intervalos muy
próximos al origen, en los que si se cumple la ley de Curie.
Las sustancias ferromagnéticas poseen momentos magnéticos distintos de cero en cada uno de
sus átomos. Estos momentos atómicos no son independientes, sino que interactúan muy intensamente
con los momentos atómicos vecinos. A esa interacción se le denomina INTERACCIÓN DE
INTERCAMBIO (de tipo cuántico). Esta interacción da lugar a que los momentos magnéticos tiendan a
orientarse paralelamente a los dipolos magnéticos vecinos, originando zonas en el material en las cuales
se tiene esa función magnética. Estas zonas se denominan DOMINIOS MAGNÉTICOS.
Debido a la saturación magnética en cada uno de los dominios, se puede tener en cada dominio
campos muy intensos que pueden llegar a ser, incluso, de varios teslas (entre dos y diez teslas). Pese a
ésto, el campo magnético total y el momento magnético total del material puede ser nulo si los
dominios poseen momentos magnéticos orientados al azar:
Si se introduce una sustancia ferromagnética en un campo extenro, los dipolos magnéticos
tienden a situarse paralelos al campo magnético externo, pero no individualmente, como ocurre en los
paramagnéticos, sino que lo que ocurre es que los dominios magnéticos con un momento magnético
paralelo al campo externo, van creciendo a costa de los dominios vecinos a él.
Este crecimiento de dominios puede efectuarse aplicando campos externos relativamente
débiles con los que se consigue fácilmente la saturación magnética, y por lo tanto, campos magnéticos
muy intensos debidos a la magnetización del material. El crecimiento de los dominios exige un aporte
energético, por lo que puede ocurrir que al retirar el campo externo, los dominios no vuelvan a la
situación original, y la sustancia quede magnetizada. El campo que queda, pese a eliminar el campo
externo, se denomina CAMPO O MAGNETISMO REMANENTE.
Existe una temperatura, llamada temperatura de Curie a partir de la cual los ferromagnéticos
pasan a comportarse como para magnéticos; y entonces cumplen una ley, la llamada ley de Curie Weiss:
VECTORES MAGMETIZACIÓN Y EXCITACIÓN MAGNÉTICA. SUSCEPTIBILIDAD Y
PERMEABILIDAD
Supongamos que tenemos una sustancia con propiedades magnéticas y forma cilíndrica.
Supongamos que posee un momento dipolar magnético total (m), una longitud total y una superficie S.
Como ya sabemos:
Si existiese la corriente magnetizante propuesta por la ley de Ampère, el momento magnético
que crearía sería:

m  im * S
Como el momento que posee el elemento magnético tiene que ser el mismo, podemos igualar
ambas ecuaciones:
Por lo tanto, el vector magnetización tendría unidades de corriente partido por unidad de
longitud. Si a ese material le añadimos exteriormente un solenoide por el que circule una corriente “i”.
Si seguimos suponiendo que el material sigue magnetizado (es decir, que todavía existe la corriente de
magnetización im), el campo total creado por el conjunto sería el campo creado por el solenoide más el
campo creado por el elemento magnétizado, es decir:
Podemos encontrar una semejanza con los campos eléctricos:
Por ello, podemos definir un nuevo vewctor, cuyo módulo dependa únicamente de las
corrientes libres, al que llamaremos VECTOR EXCITACIÓN MAGNÉTICA, cuya expresión sería:

H  n *i
Por lo tanto, si introducimos esta expresión en la ecuación anterior:
En el caso de que nos encontrásemos en el vacío, el vector magnetización sería nulo, y por lo
tanto, no existiría magnetización debido al medio en el que se trabaja. Además, el vector magnetización
y el vector excitación magnética serán proporcionales, ya que tendrán la misma dirección. Por ello, la
ecuación que expresa su proporcionalidad sería:
Ese valor m sería la susceptibilidad magnética del medio, una magnitud adimensional, que es
únicamente una constante de proporcionalidad. Dependiendo del signo que tome, los vectores tendrán
el mismo sentido (si es positiva) o sentidos opuestos (si la constante es negativa).
Además, dependiendo del valor global que tome esta constante, se puede deducir si estamos
trabajando en un medio diamagnético (la constante será negativa, y además muy pequeña); en un medio
paramagnético (la constante será positiva, y tomará un valor relativamente pequeño); o en u medio
ferromagnético (la constante será positiva y tomará valores muy grandes)
Al igual que hicimos en el campo magético con el teorema de Gauss, vamos a generalizar la
ley de Ampère para que englobe a estos dos nuevos vectores que hemos definido. Para ello, vamos a
suponer siempre que nos encontramos en el vacío


 H * dL   H * dL 
H *  dL  H * L ( perim . trayectoria) = n
* L * i = i enc

N
Además, en el desarrollo de la integral hemos supuesto que los vectores eran paralelos, y que
además, el vector excitación magnética era constante. Además, sabemos que N es el número de espiras
total del solenoide. Por ello, el producto sería el número de corrientes encerradas en la superficie que
tomemos (porque por cada una de las espiras circula una de las corrientes).
Si ahora generalizamos la ecuación del campo magnético:
Si ahora generalizamos la ley de Ampère para el camp magnético
En el vacío:
HISTÉRESIS MAGNÉTICA
El fenómeno de la histéresis se da en los materiales ferromagnéticos y se debe a que el
movimiento de las fronteras de los dominios exige un aporte energético, como consecuencia de lo cual
puede ser un proceso irreversible. Que sea un proceso irreversible significa dos cosas:
a) Después de magnetizar un material ferromagnético y tras haber retirado el campo
magnetizante, ese material puede no volver a la situación original, y quedar magnetizado.
b) Las curvas que representan el proceso de magnetización (es decir, las curvas del campo
frente a la excitación o del momento frente a la excitación) dependen de la historia del material, es
decir, dependen de lso procesos de magnetización previos que haya sufrido el material:
Este sería el denominado CICLO DE HISTÉRESIS. El área de este ciclo de histéresis es
propocional a la energía que se gasta en el proceso de magnetización y desmagnetización de los
dominios.
INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
EXPERIENCIAS Y LEY DE FARADAY-LENZ. EJEMPLOS
Hasta ahora, hemos estado estudiando los efectos que ejercían los campos ya creados sobre las
partículas; y también algunas de las causas de que se creasen campos magnéticos. De esta forma, hemos
estudiado que los campos magnéticos ejercen unas fuerzas sobre cargas en movimiento, y sobre
corrientes de cargas. Así mismo, hemos estudiado que los campos electricos pueden crear un campo
magnético, y que los campos magnéticos dan lugar a un campo eléctrico asociado.
En otros casos, hemos estudiado que las corrientes de cargas crean a su alrededor un campo
magnético. A partir de ahora, vamos a estudiar otro fenómeno, y es que un campo magnético puede
llegar a crear una corriente. Esta corriente que se crea será una corriente inducida. Para estudiar este
fenómeno, vamos a explicar las siguientes EXPERIENCIAS:
En primer lugar, tomamos un imán con la orientación que tiene en el dibujo. Asimismo,
tomamos una bobina conectada a un amperímetro, pero sobre la que no circula ninguna corriente. Si el
imán está en reposo, el amperíemtro no medirá ninguna corriente; pero si se mueve el imán respecto de
la bobina, aparece una corriente cuyo sentido y valor depende del movimiento relativo entre el imán y
la bobina.
El módulo de la corriente depende de la menor o mayor velocidad con la que se mueva el
imán, ya que al aumentar la velocidad, aumenta el campo magnético, y por lo tanto, el módulo de la
corriente será mayor, ya que esa corriente crearía un nuevo campo, que trataría de compensar el campo
creado por el imán, y así mantener el estado magnético que tenía antes del movimiento del imán.
De la misma forma, si cambiamos la orientación del imán:
En otra experiencia, se conectan dos conductores independientes sobre una misma barra
conductora, de tal forma que cada uno de los conductores forma un circuito cerrado.
El primer circuito cuenta con una fuente de alimentación y un interruptor, mientras que en el
segundo colocamos un amperímetro. Se observa lo siguiente:
a) Al cerrar el primer circuito (el de la fuente,que llamaremos primario), la corriente no llega a
su valor máximo instantáneamente.
b) Durante ese tiempo que tarda la corriente del primario en llegar al valor estable, aparece una
corriente inducida en el secundario, cuyo sentido depende del crecimiento o decreciemiento de la
corriente que circula por el primario:
En una tercera experiencia, contamos con una campo magnético uniforme, en el cual
introducimos una espira sobre la que no circula ninguna corriente:
Si hacemos girar la espira, en ella se induce una corriente cuyo sentido depende de si la
superficie que presenta la espira al campo aumenta o disminuye.
En estos tres casos, existe una causa común. en el primero de los casos, al variar la distancia, el
número de líneas de campo varían, es decir, que el flujo también varía. En el segundo, al variar la
corriente que circula por el circuito, también varía el flujo. Y en el tercer caso, al variar la superficie
que la espira presenta al campo, también varía el flujo. Partiendo de estas experiencias, llegamos a la
LEY DE FARADAY-LENZ, que dice que que:
  
d
dt
El signo menos de la expresión indica que la fuerza electromotriz inducida tiende a oponerse a
su causa generadora. En la fórmula anterior,  es la fuerza electromotriz inducida. La fracción posterior
representa la variación del flujo magnético con el paso del tiempo.
Ahora, aplicando esta ley, vamos a explicar el primero de los casos:
Hay que saber también que esta fuerza electromotriz inducida (f.e.m.) aparece en circuitos no
cerrados. Esta expresión que hemos obtenido se trata de un caso concreto, ya que los campos utilizados
eran uniformes. La expresión general sería:
 
 


 E * dL 

d

 
 E * dL  


B * d S 


  B * dS 
dt
El campo eléctrico inducido NO ES CONSERVATIVO
Todos los casos anteriores son consecuencias del principio de conservación de energía. El
sentido de las corrientes inducidas es tal que la potencia disipada por la corriente inducida se obtiene
precisamente del trabajo realizado por el agente externo que desplaza el circuito que varía su superficie
en presencia del campo magnético, o bien se obtiene a partir de la propia energía del campo magnético:
En ambos casos, se debería realizar un trabajo. Y ese trabajo es la energía que se pierde por el
efecto Joule en la corriente inducida. De esta forma, llegamos a la conclusión de que el agente externo
(el que mueve el imán) sería el que produciría la energía que se necesita para realizar el trabajo
correspondiente. Es por lo tanto el que pierde la energía.
Para mantener la corriente, se realizaría un trabajo, ya que se tendría que mantener el
movimiento de la barra a lo largo de los soportes. Estudiemos otro caso:
Si la espira atrae el imán, la corriente inducida aumentará, ya que el campo creado por el imán
sobre la espira será mayor, y por lo tanto, el campo que se crearía para compensarlo también lo sería.
De esta forma, tendría que aumentar la corriente inducida. De esta forma, como aumenta la corriente,
aumenta la fuerza de atracción que ejerce la espira sobre el imán. Por ello, la velocidad con la que se
acerca el imán continúa aumentando, y por lo tanto, la velocidad cinética del sistema aumenta.
Además, como no se tiene que ejercer un trabajo de repulsión, la energía total del sistema iría
aumentando paulatinamente, por lo que no se cumpliría el principio de conservación de la energía. Por
ello, se puede concluir que este caso no es real.
Vamos a estudiar ahora un ejemplo que demuestra el cumplimiento de la ley de Faraday:





F  q * v  B  
   Fq  q * v * B

vB

 E IN D U C ID O  v * B




F  q*E  F  q*E

 

E
IN D

* dL 
 v * B * dL  v * B *  dL  v * B * L
 
d
dt
 =
d  B * L * x

dt


 B*L*
 B * dS   B * dS
dx
dt
 B * L*v
 B *  dS  B * S  B * L * x
Por lo tanto, al aumentar el flujo, lo que ocurre es que la corriente inducida, para que se
cumpla el principio de conservación de la energía, se opone a esa variación, y por lo tanto, lo que hace
es “crear” un nuevo campo magnético de sentido contrario al existente, y de un módulo tal que se
compense el aumento del flujo, es decir, que se mantenga la situación magnética anterior:
CAMPOS MAGNÉTICOS VARIABLES CON EL TIEMPO
Hasta ahora, siempre que se producía una variación en el flujo, hemos considerado que el
campo siempre era uniforme, y que esa variación se debía a otras causas, como por ejemplo una
variación de la superficie donde se medía el flujo. Pero puede producirse que una corriente inducida,
manteniendo constante un circuito, provoque que el campo magnético varíe con el tiempo.
Ese campo magnético externo variable daría lugar por lo tanto a un flujo variable con el
tiempo; y por lo tanto, a una fuerza electromotiz inducida y a una corriente inducida. Esa corriente
inducida está formada por partículas en movimiento que se desplazan debido a la existencia de un
campo eléctrico. Este campo eléctrico es un campo eléctrico inducido, que aparece debido a la
variación del campo magnético externo, que cesa cuando el campo magnético es estable; ese campo
eléctrico no va a ser conservativo.
RELACIÓN ENTRE EL CAMPO ELÉCTRICO Y EL CAMPO MAGNÉTICO


 B ( t ) * dS



 
d
d
  
 
 B ( t ) * dS  d
dt
dt

 dt




   E * dL
 
  t






  B ( t ) * dS    E * dL
En este caso, como se trata de una espira circular, la superficie de la misma está relacionada
con la longitud, pero no sólo ocurre en este caso, sino que en la mayoría de los casos ocurre. De esta
forma, al existir esa relación entre la superficie y la longitud, pues se puede aplicar el teorema de
Stokes, que dice que:





 E * d L      E  * dS
Si desarrollamos el producto vectorial del interior de la integral:

i



E 
x
Ex

j

y
Ey

k
 E z E y    E x E z    E y E x  
* j 




*i  
* k
 z
z
z 
x 
y 
 y
 x
Ez

Si ahora aplicamos esta ley al caso concreto que estábamos estudiando, obtenemos que:



    E  * dS
 
d
dt


 B * dS
En el caso de que la superficie de la espira no dependa del tiempo, el orden el que se realicen
las operaciones en el segundo término es indiferente. Por ello, vamos a introducir la derivada en la
integral, teniendo en cuenta que será sólo una derivada parcial, debido a que el campo magnético
depende de otras magnitudes además del tiempo:



    E  * dS 


  B 
t




  B 
* dS    E 
t
Ahora vamos a razonar si ese campo eléctrico que se induce sería conservativo o no lo sería.
Para que un campo sea conservativo tendría que cumplir las condiciones de Schwartz:
M x
z
M x
y
M y
z



M z
x
M y
x
M z
y
En el caso de que se cumpliese esto, si nos fijamos en el desarrollo del producto vectorial que
realizamos antes, lo que ocurriría es que ese producto sería nulo, es decir, que el primero de los
términos de la igualdad a la que hemos llegado sería nulo. Eso provocaría que la derivada del campo
magnético en función del tiempo fuese nula, es decir, que el campo magnético fuese constante con el
campo. Pero estamos estudiando un campo que no es constante con el tiempo, por lo que ese término
no puede ser nulo, y por lo tanto el determinante tampoco. Por ello, no se cumplen las condiciones de
Schwartz, y el campo eléctrico inducido no sería conservativo.
CORRIENTES DE FOUCAULT
Supongamos que en lugar de un circuito tenemos un metal conducto, el cual introducimos en
un campo magnético (B) que varía con el tiempo, lo cual supone que hay una variación del flujo a
través de ese metal, por lo que se crearían unas corriente inducidas que tienden a oponerse a esa
variación del flujo:
Esas corriente no siguen ninguna trayectoria en particular, sino que se forman a lo largo de
cualquier camino cerrado que pueda seguir la corriente dentro del material conductor. Como el material
conductor posee una resistencia eléctrica intrínseca, esas corrientes inducidas darñan lugar a pérdidas
de energía por el efecto Joule en el interior del material conductor.
Esas pérdidas de energía se manifiestan en un colentamiento del bolque conductor. Esas
corrientes inducidas se llaman CORRIENTES DE FOUCAULT, y son inevitables. Lo único que se
puee hacer es disminuir sus efectos, haciendo que recorran caminos muy pequeños en los materiales
conductores.
Por ejemplo, en los transformadores, que están formados por un núcleo de hierro:
Al aumentar la corriente que circula por los arrollamientos, aumenta el campo magnético que
se crea, por lo que aparecen las corrientes de Foucault, y por lo tanto, el transformador se calienta.
Para disminuir las corrientes, se fabrica el núcleo de hierro con pequeñas láminas de hierro
entre las cuales se colocan películas oxidantes, para así conseguir que los caminos que recorran las
corrientes de Foucault sean lo más pequeños posibles:
COEFICIENTE DE AUTOINDUCCIÓN. CÁLCULO PARA SOLENOIDES.
Supongamos que se tiene un circuito con un interruptor y un amperímetro. En el amperíemtro
se observa que al cerrar el circuito mediante el interruptor, la corriente que recorre el circuito no
alcanza su valor máximo instantáneamente, sino que tarda un tiempo en llegar a la máxima intensidad
que puede recorrerlo. Éste fenómeno está causado por la autoinducción de corriente en el propio
circuito.:
La fuerza electromotriz inducida se opone al crecimiento de la corriente, por lo que retrasa el
crecimiento desde cero hasta el máximo. Este fenómeno es el llamado fenómeno de la autoinducción,
que aparece tanto al abrir los circuitos (se opondría al decrecimiento instantáneo de la corriente hasta
cero) como al cerrar los circuitos (se opondría al crecimiento instantáneo hasta el valor máximo de
corriente)
Ya sabemos que la corriente que recorre un circuito crea un campo magnético. Para calcularlo,
vamos a emplear el flujo magnético:
El campo creado por un circuito es proporcional a la intensidad que lo recorre, por lo que se
puede decir que el flujo magnético que se mide en la superficie del circuito también sería proporcional
a la intensidad que recorre el circuito:
 S U P .C IR C . 


 B * dS
 L *i
Donde L es el coeficiente de autoinducción, que depende únicamente de la geometría y del
tamaño del circuito. Si ahora calculamos la fuerza electromotriz inducida, sería:
 
d
dt
 L*
di
dt
 L 

di
dt
El coeficiente de autoinducción sería el cociente entre la fuerza electromotriz inducida y la
variación de la intensidad a lo largo del tiempo. Con otras palabras, seríala fuerza que se induciría
cuando la intensidad de corriente aumenta una unidad por cada unidad de tiempo. Se mide en Henrios
(H). En los circuitos, la autoinducción se representa por:
Y de esa forma se representa toda la autoinducción presente en el circuito. Ahora vamos a
calcular el coeficiente de autoinducción para los solenoides, y demostrar de esa forma que depende sólo
de la geometría:
En los solenoides, ya sabemos las siguientes fórmulas:

B  0 * n * i


N  n*l

 
   B * d S 
En este caso, como el vector que representa el campo magnético es paralelo al vector que
representa la superficie de las espiras, y además el campo magnético es uniforme, el cálculo es más
sencillo:
  B *  dS  B * N * S
Si en ese resultado introducimos las fórmulas que expusimos antes, podemos llegar a conocer
el coeficiente de autoinducción:
  B * N * S  0 *n *i *n *l * S  0 *n *l * S *i  L *i
2
   

L
ENERGÍA MAGNÉTICA ALMACENADA EN UN SOLENOIDE. DENSIDAD DE ENERGÍA DEL
CAMPO MAGNÉTICO
Como dijimos al estudiar los solenoides, son unos dispositivos que también se emplean para
almacenar energía, además de para crear campos magnéticos muy intensos. Suponemos un circuito con
una resistencia (R), y una autoinducción (L). Además tiene un generador con una fuerza electromotriz
():
Si aplicamos la ley de Ohm generalizada:


 R *i
   IN D  R * i    L *
di
dt
 R *i    L *
di
dt
 R *i
Si ahora multiplicamos toda la expresión por la intensidad de corriente:

*i  L *i *
1
di
dt
 

3

R
*
i
2
2
En esa ecuación, el primero de los términos sería la potencia total suministrada por el
generador, el segundo término sería la potencia disipadapor el efecto Joule, y el tercero sería la
potencia almacenada en el campo magnético que se crea.
Podemos mediante esta ecuación volver a explicar el problema anterior, referido a la
autoinducción. No toda la potencia que proporciona el generador se emplea directamente en el efecto
Joule, sino que se emplea para crear un campo magnético por autoinducción, que se opone al campo
que crea por definición el circuito en el que esté contenido esa causa de autoinducción. debido a ese
campo que se crea, la intensidad no se gana ni se pierde instantáneamente, sino que sufre un retardo.
Si ahora tomamos el término referido a la potencia almacenada:
Pm  L * i *
di
dt
 dU
dU  Pot * dt 
U 
U =
 Pot * dt   L * i *
1
2
di * dt
dt
i  m ax
 L * i * di

i0
2
* L *iM
Vamos a suponer ahora que el campo magnético lo ha creado un solenoide. Por ello,
conocemos ya la expresión con la que queda definido el coeficiente de autoinducción,, y esa expresión
la introduciremos en la expresión:
L  0 *n * l * S
2
B   0 * n * i  i m ax

2
2

1
B
B
2
0 *n *l * S * 2

*l*S
B U m 
2
2
20
0 *n


0 *n
Ahora vamos a buscar la expresión que defina la densidad de energía magnética:
B
 m ( densidad _ U m ) 
Um
V

2
20
*l*S
l*S

B
2
20
Esta densidad de energía magnética aparece siempre que se tenga un campo magnético. Hemos
llegado a ella a partir de un caso particular, pero se trata de un resultado general.
ECUACIONES DE MAXWELL
Son unas ecuaciones que resumen todos los contenidos fundamentales de los campos eléctricos
y los campos magnéticos. Se expresan en dos formas, una integral y otra diferencial:
FORMA INTEGRAL
1) Ley de Gauss para el campo eléctrico:



q
E * dS 
0
2) Ley de Gauss para el campo magnético:



B * dS  0
3) Ley de Faraday - Lenz:


 E * dL  

d  
B * dS


dt 
4) Ley de Ampère:


 B * dL 
0 *i  0 * 0 *

d  
E * dS


dt 
FORMA DIFERENCIAL
1) Ley de Gauss para el campo eléctrico:



*E 
0
2) Ley de Gauss para el campo magnético:


*B  0
3) Ley de Faraday - Lenz:


 B
E 
t
4) Ley de Ampère:




E
  B  0 * J  0 * 0 *
t