Campo gravitatorio y eléctrico

Campo gravitatorio y eléctrico 1
INTERACCIONES GRAVITATORIA Y ELÉCTRICA
1.- Interacciones y campos
2.- Campo escalar. Superficies equiescalares
3.- Campo vectorial. Campo de fuerzas
3.1.- Trabajo de una fuerza variable
4.- Campos conservativos. Energía potencial
5.- Potencial. Superficies equipotenciales
6.- Campos de fuerzas no conservativos
7.- Campo gravitatorio y campo eléctrico
7.1.- Ley de Gravitación Universal. Ley de Coulomb
7.2.- Intensidad del campo gravitatorio y del campo eléctrico
7.3.- Energía potencial gravitatoria y eléctrica
7.4.- Potencial gravitatorio y eléctrico
8.- Campo eléctrico en la materia
8.1.- Conductores y aislantes
8.2.- Condensador
9.- El campo gravitatorio terrestre
9.1.- Niveles de referencia para la energía potencial
9.2.- Variación del valor de "g" con la altura
10.- Movimiento de planetas y satélites
10-1.- Leyes de Kepler
10.2.- Velocidad orbital. Período de rotación
10.3.- Energía total. Órbitas cerradas y abiertas
10.4.- Satélites artificiales
10.5.- Datos del Sistema Planetario
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1.- INTERACCIONES Y CAMPOS
Decía Newton en su obra Optiks, con respecto a las interacciones:
“¿No tienen las pequeñas Partículas de los Cuerpos ciertos Poderes o Fuerzas,
por medio de las cuales actúan… entre ellas para producir una gran parte de los Fenómenos de la Naturaleza ?. Porque es bien conocido que los Cuerpos actúan unos sobre
otros por las Atracciones de la Gravedad, el Magnetismo y la Electricidad… y no es improbable que haya más “Poderes atractivos” que éstos…Las Atracciones de la Gravedad, el Magnetismo y la Electricidad alcanzan distancias muy considerables…y puede
haber otras que alcancen sólo distancias tan pequeñas que escapen a la observación…
Analicemos brevemente las características de los cuatro tipos de interacciones.
Interacción gravitatoria: se manifiesta en el movimiento planetario y en el movimiento de la materia en conjunto. Es la más débil de las interacciones conocidas
y la más estudiada, debido al interés del hombre en la astronomía y a que la gravitación es responsable de muchos fenómenos que afectan a nuestras vidas.
Interacción electromagnética: la mejor comprendida y la de mayor importancia
desde el punto de vista de la vida cotidiana. La mayoría de procesos que observamos a nuestro alrededor, incluyendo los químicos y biológicos, son el resultado de
interacciones electromagnéticas entre átomos y moléculas.
Interacción nuclear o fuerte: es la responsable de la unión de protones y neutrones dentro del núcleo atómico, y otros fenómenos conexos. Se conoce aún de modo incompleto.
Interacción débil: responsable de ciertos procesos entre las partículas fundamentales, tales como la desintegración beta. Interacción es muy pobremente conocida.
Las intensidades relativas de estas interacciones son:
Fuerte (1) > Electromagnética (10-2) > Débil (10-5) > Gravitatoria (10-38)
Para describir estas interacciones se introduce el concepto de “Campo”.
Campo Físico es una región del espacio en cada uno de cuyos puntos se ponen de
manifiesto valores distintos o iguales de alguna magnitud física.
El campo se llama Escalar si la propiedad física observada es de tipo escalar,
como la densidad de un sólido o la temperatura, y se llama Vectorial si la propiedad física es vectorial, como el peso de un cuerpo o la velocidad de un fluido.
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2.- CAMPO ESCALAR. SUPERFICIES EQUIESCALARES
En un instante dado t, la magnitud escalar tiene un valor en cada punto del campo,
que es función de las coordenadas del lugar considerado. Por ej., en el campo escalar de la presión atmosférica: p = f (x,y,z).
Superficie equiescalar, o de nivel, es el lugar geométrico de todos los puntos en
que la magnitud considerada tiene un valor constante. Para la presión atmosférica
será la isobara; para la temperatura, la isoterma.
Las superficies equiescalares no se cortan nunca ya que los puntos comunes de
intersección tendrían dos valores distintos de la magnitud escalar.
Consideremos el campo escalar de alturas de una montaña. La forma más sencilla
de ver cómo varían éstas es unir todos los puntos que tienen la misma altura
(fig.a), obteniendo un conjunto de curvas situadas espacialmente, y que proyectadas sobre el plano XY, nos dan las conocidas “curvas de nivel” (fig.b).
Z
Y
Y
X
X
Fig.
Fig.
Las curvas de la izquierda, más espaciadas que las de la derecha, indican que la
montaña está menos inclinada por ese lado que por la derecha. Si las superficies
de nivel están muy próximas, la variación de la magnitud considerada es grande;
si están distanciadas, la variación es pequeña.
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3.- CAMPO VECTORIAL. CAMPO DE FUERZAS
En este tipo de campo, el módulo y la dirección de la magnitud vectorial son funciones de las coordenadas del punto considerado. Por ejemplo, la velocidad del
aire en un punto de la atmósfera, y en un instante dado, vendrá dada por un vector
cuyas componentes serán función de las coordenadas de dicho punto.
Un ejemplo importante de campo vectorial es el campo de fuerzas, en el que una
partícula situada en su interior, está sometida a una fuerza cuya dirección y módulo son funciones de las coordenadas espaciales de la partícula, y de una magnitud
escalar intrínsecamente relacionada con dicha partícula llamada magnitud activa.
r
r
r
Sir F es la fuerza que actúa sobre la partícula y a la magnitud escalar: F = a.E .
E es la intensidad de campo en el punto considerado,r y es
r la fuerza que actúa en
ese punto sobre la unidad de magnitud activa (a = 1; F = E ).
Un campo vectorial se representa mediante las líneas de campo que son líneas
imaginarias, tangentes en todo instante al vector del campo en cada punto.
Si se trata de un campo de fuerzas, las líneas de campo se llaman líneas de fuerza
Estas líneas no se cortan nunca ya que en cada punto del campo existe una sola
línea tangente, es decir sólo pasa una línea de fuerza por cada punto.
Líneas de campo de velocidades en la
superficie de un río.
Líneas de fuerza del campo gravitatorio de una masa puntual.
Ejemplos de campos de fuerzas:
Campo gravitatorio: la magnitud activa es la masa del punto material, y la intenr r
r
sidad de campo es g ( P = m g ) .
Campo eléctrico: la carga eléctrica de la partícula es la magnitud activa, y la inr r
r
tensidad de campo es E ( F = qE ) .
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3.1.- Trabajo de una fuerza variable
Trabajo es una transferencia de energía entre dos sistemas debida a fuerzas que
desplazan su punto de aplicación.
r
F
α
r
∆r
Energía intercambiada = Trabajo = fuerza . desplazamiento
r r
W = F . ∆r = F . ∆r . cos α
r
F
r
dr
A
B
Si la fuerza es variable, el trabajo para
r
un desplazamiento elemental dr será:
r r
dW = F dr , y el trabajo total para el
desplazamiento de A a B será la suma
de todos los trabajos elementales dW :
r r
r r
r r
W = F1 dr1 + F2 dr2 + ...... = Σ Fdr
r
r
W=
r
Al representar gráficamente F en funr
ción de r se obtiene la curva de la
figura, correspondiendo el área rayada
B r r
al valor del trabajo W = ∫ Fdr
∫
B
A
r r
Fdr
r
F
A
W
r
r
A
r
dr
B
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4.- CAMPOS CONSERVATIVOS. ENERGÍA POTENCIAL
Un campo de fuerzas es conservativo si la fuerza que en él actúa es conservativa.
“Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza sobre una partícula a lo largo
r r
de una trayectoria cerrada es cero”. W = ∫ Fdr = 0 (circulación)
Eso implica que el trabajo realizado sobre la partícula al desplazarse
de un punto A a otro B, no depende de la trayectoria seguida
B r
A r
B r
A r
B r
r
r
r
r
r
W = ∫ F dr + ∫ F dr = 0 ⇒ ∫ F dr = − ∫ F dr = ∫ Fdr
A
A( I )
B ( II )
r r
Es decir, ∫ F dr =
B
A( I )
A( I )
B ( II )
I
B
A ( II )
r r
B
B
F
∫ dr , o lo que es igual: W A ( I ) = W A ( II )
B
II
A( II )
“El trabajo realizado por una fuerza conservativa sólo depende de la posición inicial y final, y no del camino seguido”.
Ello permite asignar a la partícula situada en cada uno de los puntos del campo,
una cantidad escalar llamada energía potencial que es función de la posición de
cada punto, de modo que el trabajo realizado sobre la partícula para llevarla desde
B r r
un punto A a otro B puede expresarse en la forma: WAB = ∫ Fdr = E pA − E pB
A
Haciendo E pA − E pB = −( E pB − E pA ) = − ∆E p , podemos escribir W AB = − ∆E p
O en la forma ∆E p = −W AB
“La diferencia de energía potencial entre dos puntos A y B es igual a menos el
trabajo que realiza la fuerza sobre la partícula al desplazarla entre esos puntos”.
La expresión anterior permite calcular la diferencia de energía potencial que tiene
la partícula entre dos puntos, calculando el trabajo. Pero, ¿cómo conocer la energía potencial que tiene la partícula cuando se encuentra en un punto dado?
Para ello asignamos el valor “cero” a la energía potencial de la partícula en un
punto (por ejemplo, el punto A), y así podemos saber su valor en otro punto B
Al sustituir en ∆E p = −W AB ⇒ E pB − E pA = E pB − 0 = −W AB .
B r r
Obtenemos E pB = −W AB . O bien E pB = − ∫ Fdr
A
dE p
r
De la anterior ecuación se obtiene F = − r
dr
“La fuerza representa, con signo menos, la variación de la energía potencial por
unidad de longitud”.
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5.- POTENCIAL. SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES
La dificultad de conocer, en un campo de fuerzas, el módulo, dirección y sentido
de la fuerza que actúa en cada punto sobre una partícula colocada en él, aconseja
representar el campo vectorial de fuerzas mediante un campo escalar asociado.
Según hemos visto, una partícula de magnitud activa a, colocada en un punto de
un campo conservativo posee una “energía potencial” Ep. Se define la magnitud
escalar potencial en un punto de un campo, como la energía potencial por unidad
Ep
de magnitud activa colocada en dicho punto: V =
a
Ese valor es algo intrínseco a cada punto del campo (no depende de la cantidad de
magnitud activa), y depende sólo de la posición del punto.
A partir de V =
Ep
podemos obtener: E pA = aV A ; E pB = aVB , que sustituidas en
a
la ecuación ∆E p = −W AB , darán aVB − aV A = a( V B − V A ) = a∆V = −W AB
Es decir: W AB = − a∆V
“El trabajo realizado para trasladar la partícula desde el punto A al punto B es
igual a menos el producto de la magnitud activa por la diferencia de potencial
entre ambos puntos”.
Elegido un punto de referencia en el que V = 0, se calcula el potencial de los puntos del campo, y al unir puntos
de igual potencial se obtienen las superficies equipotenciales, “lugar geométrico de los puntos del campo con
igual potencial”.
m
Si la partícula se desplaza entre dos puntos A y B situados en la misma superficie
equipotencial, ∆V = 0 , y el trabajo realizado W AB = − a∆V = 0 , por lo que al ser
r
B r r
r
W AB = ∫ Fdr = 0 , se deduce que F y dr serán perpendiculares, es decir, las suA
perficie equipotenciales y las líneas de fuerza son perpendiculares entre sí.
r
r
B r r
Si en la expresión W AB = ∫ Fdr = −a∆V , se tiene en cuenta que F = aE ,
A
r
r r
r
B
Br r
dV
∫A a E dr = −a∆V ⇒ ∫A E dr = −∆V , o bien E = − drr (relación entre E y V).
Campo gravitatorio y eléctrico 8
6.- CAMPOS DE FUERZAS NO CONSERVATIVOS
Se dice que una fuerza es NO conservativa si el trabajo que realiza sobre una partícula (o sistema) que se mueve de un punto a otro, no puede escribirse en función
de la posición de dichos puntos. Por ejemplo, la fuerza de rozamiento.
“El trabajo de una fuerza NO conservativa en una trayectoria cerrada no es nulo”.
Sea una partícula sobre la que actúan fuerzas conservativas y NO conservativas:
r r r
ΣF = F + FNC
r r
r r
r
r
E1 trabajo será: W = ∫ ΣFdr = ∫ Fdr + ∫ FNC .dr = ∆E c
Como por otra parte:
r r
F
∫ dr = −∆Ep , escribiremos:
r
r
F
∫ NC .dr = ∆Ec + ∆Ep
“El trabajo realizado por fuerzas NO conservativas es igual a la variación de la
energía mecánica total de la partícula”
Campo gravitatorio y eléctrico 9
7.- CAMPO GRAVITATORIO Y CAMPO ELÉCTRICO
Los campos gravitatorio y eléctrico son campos vectoriales, y en particular campos de fuerzas conservativos a los que se llaman campos “Newtonianos”, siendo
en ellos la fuerza en cada punto inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
El campo gravitatorio aparece por la presencia de una masa y se manifiesta en un
punto del mismo cuando se coloca otra masa. El campo eléctrico aparece por la
presencia de una partícula con carga eléctrica, y se manifiesta en un punto del
mismo cuando se coloca otra partícula cargada.
7.1.- Ley de Gravitación Universal y Ley de Coulomb.
Ley de Gravitación Universal
Ley de Coulomb
“Dos cuerpos cualesquiera se
atraen con una fuerza directamente
proporcional al producto de sus
masas e inversamente proporcional
al cuadrado de la distancia que los
separa”
“Dos cuerpos cualesquiera se
atraen o se repelen con una
fuerza directamente proporcional al producto de sus cargas e
inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia que los
separa”
r
F
m
m′
r
µr
q
q′
r
µr
r
m. m ′ r
F = −G 2 µ r
r
F(-): atracción
r
q. q ′ r
F = K 2 µr
r
F(-): atracción; (+): repulsión
G = 6,67.10-11 N m2 kg-2
K = 9.109 N m2 C-2 (vacío)
1
K=
ε = cte. dieléctrica
4πε
1
En el vacío: ε = ε0 =
4π .9.10 9
Campo gravitatorio y eléctrico 10
7.2.- Intensidad del campo gravitatorio y del campo eléctrico
Intensidad del campo gravitatorio
Intensidad del campo eléctrico
Si en un punto del campo gravitatorio
creado por un cuerpo de masa m, colocamos otro cuerpo de masa m’, sobre éste actuará una fuerza
Si en un punto del campo eléctrico
creado por un cuerpo de carga q,
colocamos otro cuerpo de carga q’,
sobre éste actuará una fuerza
r
r r
r
F = m′ g , ( a = m; E = g )
r
r F
g=
es la intensidad del campo
m′
gravitatorio, que se define como “la
fuerza que actúa sobre la unidad de
masa colocada en dicho punto”.
Se mide en N/kg ó m/s2
r
r
r r
F = q ′ E , ( a = q;E = E )
r
r F
es la intensidad del campo
E=
q′
eléctrico, que se define como “la
fuerza que actúa sobre la unidad de
carga colocada en dicho punto”.
Se mide en N/C.
¿De qué depende “g”?
m. m ′ r
− G. 2 . µr
m r
r
r
g=
= − G. 2 . µr
m′
r
¿De qué depende “E” ?
q. q ′ r
r k . r 2 . µr
q r
E=
= k . 2 . µr
q′
r
Líneas de fuerza : El número de líneas de fuerza por unidad de superficie es proporcional a la intensidad del campo.
En un campo gravitatorio las líneas
de fuerza indican la trayectoria que
seguiría una partícula de masa
cualquiera abandonada a la sola
acción del campo, y por tanto su
sentido será desde el infinito hasta
la masa creadora.
-
+
En un campo eléctrico las líneas de
fuerza indican la trayectoria que
seguiría una partícula de carga
positiva abandonada a la sola acción del campo, y su sentido dependerá de la carga de la partícula
creadora del campo.
-
+
Campo gravitatorio y eléctrico 11
7.3.- Energía potencial gravitatoria y eléctrica
Según vimos (apartado 4), si asignamos el valor “0” a la energía potencial de la
partícula situada, por ejemplo, en el infinito (punto A), podemos saber su valor en
otro punto (B), colocado a una distancia r de la partícula creadora del campo
r r r
∆E p = Ep r − 0 = −W∞r = − ∫ Fdr
∞
r r r
r
Es decir: Ep r = −W∞ , o bien: Ep r = − ∫ Fdr
∞
Energía potencial gravitatoria
Energía potencial eléctrica
“La energía potencial gravitatoria de
un cuerpo de masa m’ situado en un
punto del campo a una distancia r de
un cuerpo de masa m, coincide con
el trabajo realizado, con signo menos, por la fuerza gravitatoria cuando m’ se mueve desde el infinito
hasta dicho punto“.
“La energía potencial eléctrica de un
cuerpo con carga q’ situada en un
punto del campo a una distancia r de
un cuerpo con carga q, coincide con
el trabajo realizado, con signo menos, por la fuerza eléctrica cuando
q’ se mueve desde el infinito hasta
dicho punto”.
r
r r r
m.m' r r
Ep r = − ∫ F .dr = − ∫ − G 2 µ r .dr =
∞
∞
r
r 1 r
r dr
r
= Gm.m' ∫ 2 µ r .dr (∗) = Gm.m' ∫ 2 =
∞ r
∞ r
r
Gm.m'
⎡ 1⎤
= Gm.m' ⎢− ⎥ = −
r
⎣ r ⎦∞
r r r
r
q.q' r r
Ep r = − ∫ F .dr = − ∫ K 2 µ r .dr
∞
∞
r
Ep r = K
m.m′
Es decir, Ep r = −G
r
Para varias cargas: Ep = K Σ
Para varias masas: Ep = −G Σ
mi m j
rij
r
µr
r
m
q.q ′
r
r
dr
∞
m’
r r
r
(∗) µ r .dr = 1. dr . cos 0º = dr
qi q j
rij
Campo gravitatorio y eléctrico 12
7.4.- Potencial gravitatorio y eléctrico
Potencial gravitatorio
Potencial eléctrico
“Potencial en un punto de un campo
gravitatorio es la energía potencial
por unidad de masa colocada en ese
Ep
punto”. V =
.
m′
“Potencial en un punto de un campo
eléctrico es la energía potencial por
unidad de carga colocada en ese
Ep
punto”. V =
.
q′
Se mide en J/kg ó m2/s2.
Se mide en J/C = Voltio (V).
¿De qué depende?
¿De qué depende?
V=
m m′
m
r
= −G
m′
r
−G
V=
K
q q′
q
r
=K
q′
r
Según vimos (apartado 5), en un campo conservativo el trabajo para trasladar una
partícula entre dos puntos A y B, puede expresarse como: W AB = −a∆V
En un campo gravitatorio escribiremos: W AB = − m′∆V
En un campo eléctrico escribiremos: W AB = − q ′∆V
“El trabajo realizado para trasladar la partícula desde el punto A al punto B es
igual a menos el producto de la magnitud activa por la diferencia de potencial
entre ambos puntos”.
Cuando una partícula se desplaza a lo largo de una superficie equipotencial, el
trabajo realizado es nulo, ya que es nula la diferencia de potencial.
Campo gravitatorio y eléctrico 13
8.- CAMPO ELÉCTRICO EN LA MATERIA
8.1.- Conductores y aislantes
Los materiales que conducen la corriente eléctrica, conductores, permiten el desplazamiento de cargas eléctricas por su interior, mientras que los materiales que
no conducen la corriente eléctrica, dieléctricos o aislantes, oponen gran dificultad
al desplazamiento de cargas eléctricas por su interior.
• Al colocar un conductor en un campo eléctrico, sus cargas libres están sometidas a fuerzas eléctricas que las empujan hacia la superficie del conductor, alcanzándose el equilibrio electrostático cuando las cargas eléctricas estén todas distribuidas en la superficie del conductor, siendo nulo el campo eléctrico en su interior.
Como el campo eléctrico E en el interior del conductor es nulo, el potencial eléctrico V es constante y viene determinado por la carga total Q de cada conductor,
existiendo una relación constante para cada conductor entre la carga Q del mismo
y su potencial V, que recibe el nombre de capacidad del conductor C = Q/V.
Esa capacidad depende de las características geométricas del conductor, y su unidad es el Faradio (1F = 1C/1V), una unidad de capacidad muy grande por lo que
se suelen utilizar submútiplos: µF (10-6 F); nF (10-9 F); pF (10-12 F).
• Al situar un dieléctrico en un campo eléctrico, si el aislante es apolar, las cargas eléctricas positivas se desplazan levemente en la dirección y sentido del campo, y las negativas lo hacen en sentido contrario, originándose pequeños dipolos.
Si el aislante es polar, sus dipolos, en principio desorientados al azar, se orientarán en la dirección del campo. En ambos casos el dieléctrico se ha polarizado.
A causa de esa polarización aparecen cargas superficiales en el dieléctrico. En el
interior, cada una de las cargas del dipolo se anula con la del siguiente, y por eso
sólo quedan cargas superficiales de polarización. En los dieléctricos no se pueden
separar las cargas como ocurre en los conductores
sometidos a la acción de un campo eléctrico; por eso
+
el campo en el interior de un aislante no se anula,
+
+
+
+
pero sí se debilita por efecto de las cargas de polari+
zación, pues sólo es atravesado por las líneas de
+
+
+
+
fuerza no empleadas en polarizar el dieléctrico.
+
+
+
+
+
El campo eléctrico en el interior del dieléctrico se
+
reduce en función de la constante dieléctrica relativa
de éste. Eint= E/εr.
Campo gravitatorio y eléctrico 14
8.2.- Condensador
Es una asociación de dos conductores muy próximos, separados por un material
aislante, el dieléctrico. A cada uno de los conductores se le denomina armadura o
placa del condensador. Según la forma de las armaduras los condensadores pueden ser: planos, si están constituidos por dos placas iguales y paralelas; esféricos,
si los conductores son esferas concéntricas, y cilíndricos, si se trata de dos conductores cilíndricos coaxiales. Se representan mediante el símbolo:
Para cargar un condensador se conecta cada una de
las armaduras a los polos de un generador de corriente continua (pila o dínamo). Al variar la diferencia de potencial entre las armaduras, la carga
que adquieren éstas también variará proporcionalmente.
+
++
+
+
- -
-
Capacidad (C) de un condensador es la relación entre la carga almacenada en sus
armaduras, y la diferencia de potencial entre ellas: C = q/V, siendo q la carga de
una de las armaduras en valor absoluto, pues ambas tienen cargas iguales y de
distinto signo.
Si al cargar un condensador el voltaje es muy grande, también lo será la carga en
las placas, y las fuerzas de repulsión entre las cargas de la misma placa y las de
atracción entre las cargas de una y otra placa pueden ser tan grandes que en el
dieléctrico aparezcan cargas libres haciéndose conductor, pues sus moléculas se
pueden ionizar y debido al movimiento de estos iones las armaduras se descargan
a través del dieléctrico; se dice que éste se ha perforado. En los condensadores se
indica su capacidad y el voltaje máximo para que el dieléctrico no se perfore.
La capacidad de un condensador depende de cómo se haya fabricado, pues varía
con la forma y el tamaño de las placas, la separación entre ellas y el material utilizado como dieléctrico.
En un condensador plano, su capacidad se calcula según la expresión: C = ε ⋅ S
d
ε es la constante dieléctrica y su valor depende del material que sirve de dieléctrico, (su mínimo valor es para el vacío y aumenta a medida que el material es mejor
aislante). S es la superficie de las placas, y d la distancia entre ellas.
La energía almacenada en un condensador viene dada por: E =
1
. C.V 2
2
Campo gravitatorio y eléctrico 15
9.- EL CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE
9.1.- Niveles de referencia para la energía potencial
La energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m situado a una distancia r
Mm
, asignando el valor cero
del centro de la Tierra viene dada por: Ep r = −G
r
de energía potencial en el infinito (apartado 7.3).
Para los movimientos cercanos a la superficie terrestre (r< RT), el valor cero de
energía potencial se asigna a la posición del cuerpo en dicha superficie terrestre,
de modo que la energía potencial de un cuerpo de masa m situado a una altura h
sobre la superficie terrestre, se identifica con el trabajo para llevar dicha masa
desde la superficie a esa altura h:
r
h r r
h
h r
h
h
r r
Ep h = − ∫ Fdr = − ∫ m g dh = − m ∫ g dh cos 180º = m ∫ g dh = m g ∫ dh = m g h
0
0
0
0
0
r
El valor de g es constante en la proximidad de la superficie terrestre, 9,8 m/s2.
9.2.- Variación del valor de “g” con la altura
A1 colocar un cuerpo de masa m a una distancia r
del centro de la Tierra, estará sometido a la fuerza
r
m. m ′ r
gravitatoria F = − G 2 µ r
r
Considerando el módulo de esa fuerza:
Mm
M
mg = G 2 ⇒ g = G 2
r
r
A una distancia
r =R ⇒ g 0 = G
y a una distancia r =R + h ⇒ g h = G
r =R+h
h
R
M
R2
M
( R + h) 2
dividiendo ambas ecuaciones resulta: g h = g 0
R2
( R + h) 2
m
Campo gravitatorio y eléctrico 16
10.- MOVIMIENTO DE PLANETAS Y SATÉLITES
La teoría “geocéntrica” suponía que la Tierra era el centro del Universo, y todos
los astros giraban alrededor de ella. Para explicar esta teoría, Ptolomeo de Alejandría, astrónomo del s. II, elaboró la teoría de los epicicloides, que consideraba a
cada astro girando periódicamente en una órbita circular cuyo centro describe a su
vez un círculo mayor alrededor de la Tierra, originando una trayectoria epicicloide. Esta teoría se desechó par la dificultad de su aplicación.
En el s. XVI, Nicolás Copérnico propuso la teoría “heliocéntrica” colocando el
Sol en el centro del sistema planetario. (Proposición de Aristarco, s.III a.C.). Tycho Brahe anotó gran cantidad de datos sobre los movimientos de los astros, con
extraordinaria precisión, teniendo en cuenta que no disponía de telescopio alguno.
10.1.- Leyes de Kepler
Johannes Kepler, a partir de los datos de Brahe, encontró una serie de regularidades que plasmó en las tres leyes:
1. Los planetas giran alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas, estando el
Sol en uno de los focos.
2. El vector de posición de cualquier planeta respecto al Sol barre áreas iguales en
tiempo iguales.
3. El cuadrado del período de rotación de un planeta en torno al Sol es proporcional al cubo de la distancia media del planeta al sol (semieje mayor de la elipse).
2ª Ley
1ª Ley
Tierra
3ª Ley
A2
T 2 = K . r3
Sol
A1
A 1 = A2
Campo gravitatorio y eléctrico 17
10.2.- Velocidad orbital. Período de rotación
Si aproximamos la órbita elíptica a una órbita circular, y tenemos en cuenta que la
fuerza centrípeta se debe a la fuerza de atracción gravitatoria:
Mm
v2
G 2 =m
⇒ v=
r
r
GM
r
Velocidad orbital
(1ª velocidad cósmica)
El período de rotación lo podemos calcular teniendo en cuenta:
GM
4π 2 3
2π
2π
2
v = ω.r ; ω =
;
; T =
r
.r =
r
GM
T
r
resultado que concuerda con la 3ª ley de Kepler.
;
T 2 = k.r 3
La velocidad orbital es mayor en el perihelio P (cerca del sol), que en el afelio A (lejos del sol), como
P
se deduce de su expresión.
Tierra
A
Sol
10.3.- Energía total. Órbitas cerradas y abiertas
La energía total del planeta o satélite en la órbita será la suma de su energía cinética y potencial:
GMm
1GMm
1
1GMm
E total = −
Ec = m v 2 =
; Ep = −
2 r
2
2 r
r
Vemos que la energía total es negativa debido a la elección que hicimos de energía potencial 0 en el infinito.
Mientras E total ⟨ 0 → órbitas cerradas (elípticas o circulares)
Cuando E total ≥ 0 → órbitas abiertas
a) Si E total = 0 ; E c + E p = 0 → Trayectoria parabólica. El cuerpo escapa
de la atracción gravitatoria. Podemos calcular la “velocidad de escape”
o 2ª velocidad cósmica:
2G M
1 2 GM m
mv =
⇒ v=
r
r
2
b) Si E total ⟩ 0 → Trayectoria hiperbólica.
El cuerpo tendrá una energía cinética positiva a distancia infinita y
será nula su energía potencial, alejándose infinitamente.
Campo gravitatorio y eléctrico 18
10.4.- Satélites artificiales
Si desde una cierta altura se lanza horizontalmente un
proyectil (satélite) con diferentes velocidades, tendremos diferentes trayectorias (Newton). A partir de
cierta velocidad, conseguimos “poner el satélite en
órbita”, lo cual significa que la atracción terrestre
hace curvar la trayectoria inicial del satélite, de modo
que éste cae continuamente sobre la Tierra sin chocar
sobre ella. Igual puede decirse de la Luna que en su
órbita “cae” de modo constante sobre la Tierra.
Los satélites artificiales se lanzan desde un cohete
que los lleva a la altura requerida, recibiendo allí el impulso necesario para su
puesta en órbita. Estas órbitas suelen ser elípticas, pero las suponemos circulares
para facilitar su estudio.
La energía necesaria para poner en órbita un satélite es la que ha de recibir el cohete que lo lleva a cierta altura más la energía comunicada al satélite para que
describa la órbita.
Esa energía será igual a la diferencia entre la energía que tiene el satélite colocado
GMm
1GMm
en órbita, −
, y la que tenía en la superficie de la Tierra, −
.
2 r
R
1GMm GMm
⎛1 1⎞
∆E = −
+
⇒ ∆E = G M m⎜ − ⎟
⎝ R 2r ⎠
2
r
R
10.5.- Datos del sistema planetario
Masa y densidad de la Tierra.Un cuerpo de masa m sobre la superficie terrestre está sometido a una fuerza:
Mm
R2
G 2 = m g0 ⇒ M = g0
≅ 6.1024 kg para la masa de la Tierra.
G
R
M
M
Y la densidad será: ρ =
=
= 5,57.10 3 kg / m 3 = 5,57 g / cm 3
4 π.R3
V
3
La densidad media de las rocas superficiales es 2,7 g/cm3, por lo que en las capas
profundas de la Tierra deben estar acumulados los materiales más pesados (NiFe).
Masa del Sol.A partir de la Ley de Gravitación Universal aplicada a la Tierra y el Sol:
4π 2
4π 2 r 3
MS MT
v2
2
= M T ac = M T
= MT ω r = MT 2 r ⇒ MS =
G
r
T
GT2
r2
lo que da una masa de 1,96.1030 kg.