Ingeniero Técnico de Telecomunicación. Esp. Sonido e Imagen. 1 Curso.

Capítulo 7: El campo eléctrico
Ingeniero Técnico de Telecomunicación. Esp. Sonido e Imagen. 1er Curso.
Fundamentos Físicos de la Ingeniería.
Profesores responsables: Begoña Hernández Salueña, Carlos Sáenz Gamasa
(Dpto de Física)
Descarga eléctrica producida por un
rayo
Capítulo 7: El campo eléctrico
1.- Carga eléctrica. Cuantización de la carga. Principio de conservación
2.- Conductores y aislantes. Carga por inducción.
3.- Ley de Coulomb
4.- Campo eléctrico. Líneas de campo eléctrico
5.- Movimiento de cargas puntuales en campos eléctricos
6. - Potencial eléctrico y diferencia de potencial
Objetivos del capítulo:
•
Conocer la naturaleza eléctrica de la materia
•
Aprender a calcular fuerzas eléctricas
•
Conocer el movimiento de cargas eléctricas en campos eléctricos
•
Entender los conceptos de campo eléctrico y potencial
•
Conocer el fenómeno de la ruptura dieléctrica y algunos fenómenos relacionados con
la electrostática
1
Capítulo 7: El campo eléctrico
Las primeras observaciones de los fenómenos eléctricos fueron hechas por los griegos 600
aC vieron que el ámbar frotado con lana tenía la propiedad de atraer cuerpos ligeros.
De hecho la propia palabra electricidad viene del griego “elektron” que significa ámbar. La
interacción eléctrica se da porque la materia tiene una propiedad que llamamos carga
eléctrica y la ley que rige esta interacción es la ley de Coulomb. Esta ley es tan fundamental
como la ley de la gravitación, veremos que incluso tienen la misma dependencia. La
diferencia fundamental está en que la interacción eléctrica puede ser atractiva o repulsiva, y
no siempre atractiva con el caso de la gravitatoria, y además es muy superior en magnitud a
la interacción gravitatoria.
1.- Carga eléctrica. Cuantización de la carga. Principio de conservación
Consideremos una barra de plástico que se frota con un trozo de piel y se suspende una
cuerda que puede girar libremente. Si aproximamos esta barra a una segunda barra de
plástico frotada también con una piel, observaremos que las barras se repelen entre sí. El
mismo resultado se obtiene si repetimos el mismo experimento con dos barras de vidrio
que ha sido frotadas con seda. Sin embargo si utilizamos
una barra de plástico frotada con piel y una varilla de vidrio
frotada con seda, observaremos que las barras se atraen
entre sí.
Al frotar una barra esta se carga eléctricamente. Repitiendo
el experimento con diversos tipos de materiales
encontramos que todos los objetos cargados pueden
clasificarse en dos grupos: aquellos que se cargan como la
barra de plástico frotada con un trozo de piel y los que se
cargan como la varilla de vidrio frotada con un paño de
seda. Franklin, propuso un modelo de electricidad para explicar este fenómeno. Sugirió que
todo objeto posee una cantidad normal de electricidad y cuando dos objetos se frotan entre
sí, parte de la electricidad se transfiere de un cuerpo: así pues, uno tiene un exceso de carga
y el otro una deficiencia de carga de valor igual. Franklin describió las cargas resultantes
con los signos más y menos. Al tipo de carga adquirida por una barra de vidrio frotada con
un paño de seda le llamó positiva, lo cual significaba que el paño de seda adquiría una carga
negativa de igual magnitud. Según esta elección de Franklin, el plástico frotado con una piel
adquiere una carga negativa y la piel adquiere una carga positiva de igual magnitud. Como
vimos en este experimento, los objetos que portan el mismo tipo de cargas se repelen entre
sí, mientras que si portan cargas opuestas se atraen mutuamente.
Sabemos que cuando el vidrio se frota con un paño de seda, se transfieren electrones del
vidrio a la seda y, por tanto, éste adquiere un número en exceso de electrones y el vidrio
queda con un déficit de estas partículas.
Existen dos tipos de carga eléctrica: positiva y negativa con la propiedad de que:
- cargas del mismo signo se repelen
- cargas del distinto signo se atraen
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Capítulo 7: El campo eléctrico
Cuantización de la carga.
La materia está formada por átomos eléctricamente neutros. Cada tomo posee un pequeño,
pero masivo, núcleo que contiene protones y neutrones. Los protones están cargados
positivamente, mientras que los neutrones no poseen carga. El número de protones en el
núcleo es el número atómico Z del elemento. Rodeando al núcleo existe un número igual
de electrones negativamente cargados, de modo que el átomo posee una carga neta cero. La
masa electrón es aproximadamente 2000 veces menor que la del protón. Sin embargo, sus
cargas son exactamente iguales pero opuestas en signo. La carga del protón es e y la del
electrón - e, siendo e la unidad fundamental de carga. La carga de un electrón o protón es
una propiedad intrínseca de la partícula; del mismo modo, la masa y el espín de estas
partículas son también propiedades intrínsecas de las mismas.
Toda las cargas se presentan en cantidades enteras de la unidad fundamental de
carga e. Es decir, la carga está cuantizada. Toda carga Q presente la naturaleza puede
escribirse en la forma Q=+Ne, siendo N un número entero. Sin embargo, en sistemas
macroscópicos, N es usualmente un número muy grande y la carga parece ser continua; del
mismo modo que el aire parece ser un medio continuo y realmente consta de muchas
moléculas discretas. Por ejemplo, al cargar una barra de plástico frotándola con un trozo de
piel se transfieren del orden de 1010 electrones a la barra.
Cuando dos objetos se frotan entre sí, uno de ellos queda con un número en exceso de
electrones y se carga, por tanto, negativamente y el otro queda con un déficit de electrones
y su carga es positiva. La carga neta de los objetos considerados globalmente no
cambia. Es decir, la carga se conserva. La ley de conservación de la carga es una ley
fundamental de la naturaleza. La unidad de carga en el sistema internacional es el
Culombio, el cual se define en función de la unidad de corriente o intensidad eléctrica, el
amperio que veremos más adelante. El culombio (C) es la cantidad de carga que fluye a
través de un cable conductor en 1 segundo cuando la intensidad de corriente en el mismo
es de un amperio. La unidad fundamental de carga eléctrica e está relacionada con el
culombio por
e=1,6 x 10-19 C.
2.- Conductores y aislantes. Carga por inducción.
En muchos materiales, tales como el cobre y otros metales, parte de los electrones pueden
moverse libremente en el seno del material. Estos materiales se denominan conductores.
En otros materiales, tales como la madera o vidrio, todos los electrones están ligados a los
átomos próximos y ninguno puede moverse libremente estos materiales se denominan
aislantes.
En un simple átomo de cobre existen 29 electrones ligados al núcleo por atracción
electrostática entre los electrones cargados negativamente y los núcleos cargados
positivamente. Los electrones más externos están ligados más débilmente que los más
internos. Cuando un gran número de átomos de cobre se combinan en una pieza de cobre
metálico, el enlace de los electrones de cada átomo individual se modifica por interacciones
con los átomos próximos. Uno o más de los electrones externos de cada átomo queda en
libertad para moverse por todo el metal del mismo modo que una molécula de gas se
mueve por el interior de una caja. El número de electrones libres depende del metal
particular, pero típicamente oscila alrededor de un electrón por átomo. Cuando uno átomo
se le quita o se le añade un electrón, con la aparición de una carga neta, se convierte en un
ion. En el cobre metálico, los iones de cobre se distribuyen regularmente formando una
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Capítulo 7: El campo eléctrico
red. Normalmente un conductor es eléctricamente neutro porque existe un ion reticular
que transporta una carga positiva +e por cada electrón libre portador de una carga igual
negativa –e. Un conductor puede tomar una carga neta por adición o extracción de
electrones libres.
Carga por inducción
La conservación de la carga puede ilustrarse mediante un método simple de cargar un
conductor llamado carga por inducción.
++
+ -
-
+
+
+
-
+
+ ++
-
+
-
-
-
+
+
+ +
Dos esferas metálicas sin carga están en contacto. Al
acercar a una de las esferas una barra cargada, los
electrones fluyen de una esfera la otra, acercándose a la
barra si ésta se encuentra positivamente cargada o
alejándose si su carga es negativa. Si la barra está cargada
positivamente atrae a los electrones cargados
negativamente y la esfera más próxima a la barra a que
electrones de la otra. La esfera más próxima adquiere
carga negativa y la más alejada queda con una carga neta
igual, pero positiva. Cuando en un conductor se separan
cargas iguales y opuestas se dice que está polarizado. Si
las esferas se separan antes de retirar la barra, quedaran
con cantidades iguales de cargas opuestas.
Ruptura dieléctrica.
Muchos materiales no conductores se ionizan en campos eléctricos muy altos y se
convierten en conductores. Esto limita la cantidad de carga que puede almacenarse en un
conductor. La intensidad campo eléctrico para el cual se produce la ruptura dieléctrica en
un material se denomina resistencia dieléctrica del material. Para el aire, el campo eléctrico
máximo que puede aplicarse antes de que se ionice es Emax=3 106 V/m. La descarga
resultante a través del aire debida la ruptura dialéctica se denominan descarga en arco.
En el caso de un conductor de forma arbitraria el potencial para el cual se produce la
ruptura dieléctrica depende del radio del más pequeño, si el conductor tiene puntas la
ruptura se produce para potenciales muy bajos. Los pararrayos situados en lo alto de un
edificio, aprovechan este fenómeno, extrayendo la carga que una nube próxima antes de
que el potencial de la nube alcance un valor elevado.
3.- Ley de Coulomb
La fuerza ejercida por una carga sobre otra fue estudiada por Coulomb (1736-1806)
mediante una balanza de torsión de su propia invención. En el experimento de Coulomb
las esferas cargadas eran mucho menores que la distancia entre ellas, de modo que las
cargas podían considerarse como puntuales. Coulomb utilizó el fenómeno de la carga por
inducción para producir esferas igualmente cargadas y poder variar la carga depositada
sobre las esferas. Los resultados de los experimentos de Coulomb y otros científicos sobre
las fuerzas ejercidas por una carga puntual sobre otras se resumen en la ley de Coulomb:
“La fuerza ejercida por una carga puntual sobre otra está dirigida a lo largo de la línea que las une.
La fuerza varía inversamente con el cuadrado de la distancia que separa las cargas y es proporcional al
producto de las mismas. Es repulsiva si las cargas tienen el mismo signo y atractiva si las cargas tienen
signos opuestos”.
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Capítulo 7: El campo eléctrico
La magnitud de la fuerza eléctrica ejercida por una carga q1 sobre otra carga q2 a la
distancia r viene dada por
G
q ⋅q
F = k 1 2 2 r̂12
r12
en donde k es una constante determinada experimentalmente llamada constante de
Coulomb, que tiene el valor
k = 8.99 ⋅109 Nm 2 C 2 ≈ 9 ⋅109 Nm 2 C 2
Esta constante se puede expresar también en función de ε0, permitividad del vacío como:
k=
1
4πε 0
Donde ε0=8.85 10-12 C2/N m2
Principio de superposición: Si tenemos n cargas que ejercen una fuerza eléctrica sobre una
carga q, la fuerza resultante será la suma vectorial de las fuerzas individuales, es decir
n
G
G
Ftotal = ∑ Fi
i =1
Si comparamos esta fuerza con la fuerza gravitatoria entre dos partículas, vemos ambas
dependen de la inversa de cuadrado de la distancia, sin embargo la fuerza gravitatoria entre
dos partículas es proporcional a las masas de las partículas y siempre atractiva, mientras que
la fuerza eléctrica es proporcional a las cargas de las partículas, y repulsiva si ambas cargas
tienen el mismo signo y atractiva si tienen signos contrarios.
Para ver la diferencia de magnitud que entre estas fuerzas podemos comparar las
intensidades relativas de estas fuerzas para partículas elementales tales como electrón y el
protón.
La fuerza eléctrica de atracción entre un protón y un electrón es
G
e2
Fe = k 2
r
Por otra parte la fuerza gravitatoria
G
m p ⋅ me
Fg = G
r2
Si sustituimos los valores y dividimos la fuerza eléctrica entre la fuerza gravitatoria
(
)
2
Fe
ke2
9 ⋅109 Nm 2 C 2 1.6 ⋅10−19 C
=
=
= 2.27 ⋅10−39
−11
2
2
−31
− 27
Fg Gm p me 6.67 ⋅10 Nm Kg ⋅ 9.11 ⋅10 Kg ⋅1.67 ⋅10 Kg
Luego la fuerza eléctrica entre un protón y un electrón es 1039 veces más grande que la
fuerza gravitatoria entre ambos.
Sin embargo, aunque la fuerza gravitatoria es increíblemente pequeña comparada con la
fuerza eléctrica y esencialmente no desempeña papel ninguno a nivel atómico, la gravedad
es la fuerza dominante entre sistemas grandes como planetas y estrellas que poseen
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Capítulo 7: El campo eléctrico
números casi iguales de cargas positivas y negativas y por tanto se neutralizan las fuerzas
eléctricas atractivas y repulsivas. La fuerza neta entre objetos de este tipo es esencialmente
la fuerza de atracción gravitatoria.
4.- El campo eléctrico
La interacción eléctrica entre partículas cargadas puede describirse utilizando el concepto
de campo eléctrico.
Una carga crea un campo en todo el espacio, y este campo ejerce una fuerza sobre las
cargas (de esta manera evitamos el empleo del concepto de fuerzas de acción a distancia).
El campo eléctrico E en un punto se define como la fuerza dividida por la carga testigo
(tomada positiva). La unidad en el sistema internacional del campo eléctrico es (N/C)
G
G F
E=
q
De igual manera la fuerza ejercida sobre una carga testigo positiva en cualquier punto está
relacionada con el campo eléctrico en dicho punto por:
G
G
F = qE
El campo eléctrico obedece también al principio de superposición y al igual que antes
podemos generalizar esta expresión:
n
G
H
Etotal = ∑ Ei
i =1
Distribuciones continuas de carga.
A escala microscópica, la carga eléctrica esta cuantizada. Sin embargo, con frecuencia se
presentan situaciones en las que un gran número de cargas están tan próximas que la carga
total puede considerarse distribuida continuamente en el espacio. El uso de una densidad
de carga continua para describir una distribución de un gran número de cargas discretas, es
semejante al uso de una densidad de masa continua para describir el aire, el cual realmente
consta de un gran número de moléculas discretas. En cualquier caso es sumamente fácil
encontrar un elemento de volumen ∆V que sea suficientemente grande para contener una
multitud de cargas o moléculas individuales y al mismo tiempo suficientemente pequeño
para sustituir ∆V por dV en el cálculo con un error despreciable.
La carga existente por unidad de volumen puede describirse por la densidad de carga
volúmica ρ:
ρ=dq/dV
Frecuentemente la carga se distribuye en una capa delgada sobre la superficie de un cuerpo.
En tales casos se define la densidad de carga superficial σ , como la carga por unidad de
área:
σ=dq/dA
Análogamente, si la carga se encuentra distribuida a lo largo de una línea en el espacio,
definimos la densidad de carga lineal λ, como la carga por unidad de longitud.
λ=dq/dL
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Capítulo 7: El campo eléctrico
Podemos generalizar entonces la expresión del campo para cualquier tipo de distribución
G
q
ρ (r )dV
σ (r )dS
λ (r )dL
E = k ∑ 2i rˆ + k ∫
rˆ + k ∫
rˆ + k ∫
rˆ
2
2
r
r
r
r2
V
s
L
de cargas:
Líneas de campo eléctrico.
Una línea de campo (eléctrico, en este caso) es una línea imaginaria trazada de forma que su
dirección es tangente a la dirección del campo en cada punto del espacio.
En el caso del campo eléctrico las líneas de campo coinciden con las líneas de fuerza para
una carga positiva. Este tipo de representación fue introducida por Faraday.
Propiedades:
- Las líneas de campo eléctrico son abiertas, es decir, con principio y fin.
- Las líneas de campo eléctrico salen de las cargas positivas o del infinito y van a las
negativas o al infinito (pero nunca nacen y mueren en el infinito).
- No se cruzan, ya que el campo toma un único valor en cada punto
- El número de líneas que abandonan una carga positiva o entran en una carga negativa es
proporcional al valor de la carga.
- La densidad de líneas (número de líneas por unidad de área transversal) es proporcional al
valor del campo en esa zona.
-
+
Esquema de la distribución de líneas de campo para una carga positiva y para una carga
negativa
Flujo eléctrico
La magnitud relacionada con el número de líneas de fuerza que atraviesa una superficie
recibe el nombre de flujo eléctrico.
El flujo eléctrico que atraviesa una superficie de área A perpendicular a un campo eléctrico
E, puede expresarse como el producto de A por E.
Φ=EA
(Nm2/C)
Si el área no es perpendicular al campo eléctrico entonces.
Φ=EAcosθ
Si la superficie tiene una forma cualquiera que no es plana, podemos dividirla en pequeños
elementos de área dA, el flujo en cada uno de estos elementos puede expresarse como:
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Capítulo 7: El campo eléctrico
dΦ=EcosθdA
Con lo que el flujo total puede calcularse como
Φ = ∫ E cos θ dA
A
Ley del Gauss
La ley de Gauss relaciona el flujo del campo eléctrico sobre una superficie cerrada con la
carga neta encerrada en su interior. Está relacionada con la descripción del campo mediante
líneas de campo y facilita el cálculo del campo en distribuciones de carga que presentan una
simetría especial.
“La ley de Gauss dice que el flujo por el neto través de cualquier superficie cerrada es
igual a la carga encerrada en su interior dividida por εo”
(Es equivalente a la ley de Coulomb).
Carga y campo en la superficie de conductores en equilibrio electrostático.
Todo conductor posee cargas con libertad de movimiento en el volumen que limita su
superficie. En un conductor en equilibrio electrostático estas cargas se sitúan en la
superficie del conductor de tal manera que el campo en su interior es nulo.
Además el campo eléctrico es siempre perpendicular a la superficie (porque si no las cargas
se moverían por ella y ya no estaríamos en equilibrio electrostático), y toma el valor:
E=σ/ε0
Donde σ es la densidad superficial de carga
5.- Movimiento de cargas puntuales en campos eléctricos.
Hemos visto cómo las cargas crean campos eléctricos, ahora vamos a ver cómo se mueve
una carga dentro de un campo eléctrico creado por otras distribuciones.
Dentro de un campo eléctrico E, una partícula de carga q, experimenta una fuerza.
G
G
F = qE
Según la segunda ley de Newton:
G
F = m ⋅ aG
Luego
G
q G
qE = maG ⇒ aG = E
m
Ejemplo:
Un electrón se mueve dentro de un campo eléctrico uniforme de -2000N/C j a una
velocidad de 106m/s i ¿Cuál será su desplazamiento vertical y, cuando haya recorrido una
distancia x=1cm?
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Capítulo 7: El campo eléctrico
1.6 ⋅ 10 −19 C
2000 N = 3.52 ⋅ 1014 m 2
− 31
C
s
9.1 ⋅ 10 Kg
0.01m
x
x = v0 t ⇒ t =
= 6
= 10 −8 s
m
v 0 10
s
2
1 2 1
y = at = 3.52 ⋅ 1014 10 −8 ⇒ y = 1.76cm
2
2
a=
(
)
6. - Potencial eléctrico y diferencia de potencial
Al estudiar la mecánica se destaca la utilidad del
concepto de energía potencial. Si se levanta un
objeto de masa de m una altura h sobre la
superficie de la tierra, el trabajo se convierte en
energía potencial, si posteriormente se deja caer,
ésta se convierte en energía cinética. La energía
potencial tiene un papel igualmente importante en
electromagnetismo.
Ep
+
mg
Ec
qE
Tierra
-
-
Energía potencial electrostática.
Cuando una partícula cargada se mueve en un campo eléctrico éste realiza trabajo sobre la
partícula. Siempre que el trabajo realizado sobre un cuerpo sometido a un desplazamiento
pueda expresarse en términos de una función energía potencial, se dice que la fuerza
correspondiente es conservativa.
Si la función energía potencial U tiene un valor Ua en el punto a y Ub en el punto b,
entonces el trabajo realizado por la fuerza en cualquier desplazamiento desde a hasta b en
una trayectoria cualquiera está dado por la expresión.
W=Ua-Ub=-∆U
Es decir el trabajo realizado por el cuerpo es igual a la pérdida de energía potencial.
"la energía potencial de una carga de prueba q en cualquier punto de un campo
eléctrico es igual al trabajo realizado por la fuerza eléctrica cuando se lleva a la carga de
prueba desde ese punto hasta el nivel de referencia nulo"
Potencial
De la misma manera que definimos el campo eléctrico como fuerza por unidad de carga,
podemos definir una magnitud que sea energía potencial por unidad de carga. El potencial
en cualquier punto del campo electrostático se define como la energía potencial por unidad
de carga en dicho punto.
V=U/q
Las unidades de potencial en el sistema internacional son julio /culombio. Esta unidad
recibe el nombre de voltio 1V=1J/1C
Al igual que la energía potencial sólo tiene sentido el valor de la variación de potencial (si se
habla de potencial en un punto estamos suponiendo que hemos tomado nivel de referencia
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Capítulo 7: El campo eléctrico
cero en algún punto del espacio). A la diferencia de potencial se le denomina menudo
voltaje.
Las líneas de campo señalan en la dirección en la que disminuye el potencial eléctrico.
Superficie equipotenciales.
La distribución de potencial en un campo eléctrico puede representarse gráficamente por
superficies equipotenciales.
Una superficie equipotencial es aquella en la que el potencial tiene el mismo valor en todos
sus puntos (como lo serían las curvas de nivel en un mapa).
No se realiza trabajo al mover una carga por una superficie equipotencial, ya que el
potencial, y por lo tanto la energía potencial no cambia.
Las líneas de campo son perpendiculares a las superficies equipotenciales.
La superficie de un conductor en equilibrio electrostático es una superficie equipotencial.
Campo eléctrico y potencial. Gradiente de potencial.
El campo y el eléctrico y el potencial están relacionados por la expresión.
G
G
E = −∇V
Donde
Ex = −
∂V
∂V
∂V
; Ey = −
; Ez = −
∂y
∂z
∂x
Esto nos puede servir para calcular campos eléctricos a partir del potencial.
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