Programación Funcional

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Historia
2
Cálculo−λ
3
Aritmética −λ
4
Fin
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Historia
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Leibniz llega a plantear la siguiente pregunta: ¿Es
posible resolver todos los problemas formulados
en un lenguaje universal?
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Historia
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En 1928, en el texto “Grundzüge der
theoretischen Logik” (Principles of Mathematical
Logic) D. Hilbert y W. Ackermann plantean el
problema de decisión (Entscheidungsproblem)
Encontrar un “algoritmo” general que sea capaz
de determinar si una formula lógica es un
teorema.
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Historia
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•
Alonzo Church- Alan Turing de manera
independiente resuelven la pregunta de Hilbert en
1936. Demostrando que no es posible tener tal
algoritmo en el caso general.
Alonzo Church fue quien por primera vez uso la
frase “máquina de Turing” en la revisión de un
artı́culo publicado por Turing en The Journal of
Symbolic Logic.
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Historia
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•
Particularmente Church define el término de
función computable. Establce que una función es
computable si puede evaluarse por el cálculo−λ.
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•
•
An Unsolvable Problem of Elementary Number
Theory, Alonzo Church, American Journal of
Mathematics, Vol. 58, No. 2 (Apr., 1936), pp.
345 − 363.
Último teorema de Fermat: Si n es un número
entero mayor a 2, entonces no existen números
enteros positivos x, y, y z tales que xn + y n = z n .
Como encontrar una función eficazmente
calculable f , tal que f (n) = 2 si y sólo si existen
enteros positivos x, y, z tales que xn + y n = z n .
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Historia
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•
•
Cálculo−λ tiene por objeto que una ”máquina”
haga cálculos y evalúe todo tipo de funciones
A veces llamado el lenguaje de programación
más pequeño del mundo.
A inspirados lenguajes como LISP, Haskell, ML,
Racket, y en general a la programación funcional.
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Cálculo−λ
Cálculo−λ
•
Elementos del cálculo −λ:
x
λx.f
f1 f2
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variable
abstracción (funciones)
aplicación
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Cálculo−λ
Cálculo−λ
•
Elementos del cálculo −λ:
x
λx.A
AB
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variable
abstracción (funciones)
aplicación
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Cálculo−λ
Cálculo−λ
•
Expresiónes −λ:
ABCD denota ((AB)C)D)
λx.AB denota (λx.(AB))
λxy.A denota (λx.(λy.A))
λx1 x2 ..xn .A denota (λx1 .(λx2 .(..(λxn .A)..)))
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Cálculo−λ
Cálculo−λ
•
Expresiónes −λ válidas
(λx.(xy))
((λy.y)(λx.(xy)))
(x(λx.(λx.x)))
(λx.(yz))
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Cálculo−λ
Cálculo−λ
•
Ejercicios: (insertar todos los paréntisis faltantes)
xyz(yx)
λx.uxy
λu.u(λx.y)
(λu.vuu)zy
ux(yz)(λv.vy)
(λxyz.xz(yz))uvw
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Cálculo−λ
Cálculo−λ
•
Notación:
En el término λx.M , x se llama variable ligada al
cuerpo M .
En λx.xy, x es variable ligada, y es variable libre.
En (λx.xy)(λy.yz), x es variable ligada, z es
variable libre, y es ambas.
λx.x es lo mismo que λy.y, se llama
α−equivalencia.
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Cálculo−λ
Cálculo−λ
•
Sustitución:
(λx.x2 )(5)
(λx.xy)(z)
(λy.x(yz))(ab)
(λx.y)((λz.zz)(λw.w))
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=
=
=
=
=
=
25.
y.
x(abz).
(λx.y)((λw.w)(λw.w)).
(λx.y)(λw.w).
y.
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Cálculo−λ
Cálculo−λ
•
Sustitución:
(λx. + x1)(5) =
=
(λx. ∗ xx)(3) =
=
(λx.3)(5)
=
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(+51).
6.
(∗33).
9.
3.
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Aritmética −λ
Aritmética −λ
•
Para construir números enteros es simple,
iniciamos del cero, enseguida
1 = suc(cero)
2 = suc(suc(cero))
3 = suc(suc(suc(cero)))
..
.
n = suc(suc(..suc(cero)..))
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Aritmética −λ
Aritmética −λ
•
Entonces, si 0 = λf x.x
1 = λf x.f x
2 = λf x.f (f x)
3 = λf x.f (f (f x))
..
.
n = λf x.f (f (f..(f x)..))
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Aritmética −λ
Aritmética −λ
•
Definimos: S = λwf x.f (wf x) la función sucesor.
Entonces como: 0 = λf z.z y 1 = λf z.f z
S(0) =
=
=
=
=
=
=
(λwf x.f (wf x))(λf z.z)
(λwf x.f (wf x))(λf z.z)
(λf x.f ((λf z.z)f x))
(λf x.f ((λf z.z)f x))
(λf x.f ((λz.z)x))
λf x.f (x)
λf x.f x
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suc se aplica al 0
la variable es w
se substituye
por evaluar
se evalua x en z
es 1
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Aritmética −λ
Aritmética −λ
•
Definimos: S = λwf x.f (wf x) la función sucesor.
Entonces como: 1 = λf z.f z y 2 = λf z.f (f z)
S(1) =
=
=
=
=
=
=
(λwf x.f (wf x))(λf z.f z)
(λwf x.f (wf x))(λf z.f z)
(λf x.f ((λf z.f z)f x))
(λf x.f ((λf z.f z)f x))
(λf x.f ((λz.f z)x))
λf x.f (f x)
λf x.f (f x)
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suc se aplica al 1
la variable es w
se substituye
por evaluar
se evalua f en f
es 2
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