Calibración Estática de un Resorte

Calibración Estática de un Resorte
Laboratorio de Física Mecánica
Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
RESUMEN: Encontraremos experimentalmente el valor de la constante elástica (k) de dos resortes y de un montaje en
paralelo, para ello colocamos cada montaje de resortes en un porta pesas, tal que este quede en equilibrio, adicionando masas
continuamente y midiendo pertinentemente la elongación del resorte con cada masa, tomando como referencia diez
testimonios. Los datos se los organizara y analizaran en tablas, gráficas y los resultados tendrán sus respectivos intervalos de
error.
FUNDAMENTO TEORICO: Un cuerpo se denomina elástico, si al actuar una fuerza sobre el, sufre una deformación,
de tal manera que al cesar la fuerza, recupera su forma original. Si la deformación supera un cierto umbral (limite de
elasticidad), el resorte queda permanentemente deformado. El resorte es un sistema bastante complejo, sin embargo, la
fuerza que dicho cuerpo ejerce a un objeto unido a uno de sus extremos, resulta satisfactoriamente descrita por la ley de
Hooke: la fuerza que ejerce el resorte sobre un cuerpo es proporcional y tiene el sentido opuesto a la deformación del
resorte, tendiendo a que el resorte recupere su longitud natural. La constante de proporcionalidad entre la fuerza y la
deformación, se denomina constante elástica y se denota habitualmente por el símbolo k, sus unidades son N/m en el
sistema MKS y dim/cm en el sistema CGS, esto es:


F  kx
[1]
Ks = K1 + K2
[2]

Donde k es la constante elástica y x es la deformación del resorte.
Figura 1. Sistema en equilibrio
En nuestro experimento, lograremos mediante una gráfica de alineamiento por
mínimos cuadrados de fuerza vs elongación una pendiente la cual representa la
constante elástica de nuestros montajes.
RESORTE # 5
#
X (cm)
1 1.5±0.1
2 8.9±0.1
FZA (g/f)
0
46,6±0.1
3 13.0±0.1 65,5±0.1
4 9.5±0.1
49,8±0.1
5 3.7±0.1
18,9±0.1
6 4.0±01
19,9±0.1
7 7.5±0.1
38,8±0.1
8 2.3±0.1
9,0±0.1
9 10.6±0.1 55,6±0.1
10 17.8±0.1 85,4±0.1
Figura 2. Sistema masa-resorte en equilibrio y medidas tomadas con diferentes masas
100
Fuerza (g/f)
80
60
40
20
0
0
y = 5.1657x - 1.756
R² = 0.9869
5
10
15
20
Elongación (cm)
Figura 3. Tablas de Fuerza vs Elongación, Resorte (5) Excel.
Resorte #13
#
X (cm)
FZA (g/f)
1 1.0±0.1
0
2 6.5±0.1
46,6±0.1
3 10.8±0.1
65,5±0.1
4 7.3±0.1
49,8±0.1
5 2.5±0.1
18,9±0.1
6 3.2±01
19,9±0.1
7 5.3±0.1
38,8±0.1
8 1.7±0.1
9,0±0.1
9 8.4±0.1
55,6±0.1
10 14.6±0.1
85,4±0.1
Fuerza (g/f)
Fig. 4
Sistema masa-resorte en equilibrio y medidas tomadas con diferentes masas
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
y = 6.1655x - 1.9271
Elongación (cm)
R² = 0.9938
Figura 5. Tablas de Fuerza vs Elongación Resorte (13) Excel.
20
Resortes 5 y 13. Paralelo
#
FZA (g/f) X (cm)
1
0 1,4±0.1
2 46,6±0.1 3,7±0.1
3 65,5±0.1 4,6±0.1
4 66,5±0.1 4,7±0.1
5 85,4±0.1 6,1±0.1
6 120,9±0.1 9,4±0.1
7 150,4±0.1 12,8±0.1
8 182,7±0.1 16,5±0.1
9 202,1±0.1 18,8±0.1
10 260,7±0.1 24,5±0.1
Figura 6. Sistema masa-resortes en paralelo en equilibrio y medidas tomadas con diferentes masas
300
Fuerza(g/f)
250
200
150
100
50
0
0
y = 10.44x + 11.068
R² = 0.9811
10
20
30
Elongación(cm)
Figura 7. Tablas de Fuerza vs Elongación. Resortes 5 y 13 en paralelo. Excel
Al observar la fórmula de la figura 4, (y = 5.1657x - 1.756) y relacionarla con la ecuación [1] de la fuerza
elástica, notamos que nuestra y es la representación de la fuerza en la ecuación [1], que x es el vector
desplazamiento y que la pendiente, es decir lo que acompaña a nuestra x es la constante K de deformación de
resorte, por tal razón consideramos que para el resorte 5 la constante K de elasticidad es de 5.1657; lo mismo
sucede en el análisis de la figura 5 que obtenemos a partir de los datos del resorte 13.
Por otra parte notamos que en nuestras fórmulas para los resortes 5 y 13, arroja además de K y X, un número
negativo, este número negativo es el intercepto de la recta en y cuando hacemos a x cero. Es decir que cuando
no hay desplazamiento la fuerza es negativa; esto lo explicamos a partir de que cuando tomamos el marco de
referencia, juntamos las arandelas haciéndose necesario aplicar una fuerza contraria al de la fuerza
gravitacional: peso (g/f).
Además si observamos las tablas en las figuras 4 y 5, inmediatamente el primer dato nos lleva a intuir que
cuando la fuerza es cero hay una elongación, esto sería ilógico teniendo en cuenta que si F es cero tal
elongación no debe darse, pues la ecuación [1] nos dice que la fuerza es proporcional a la elongación, de ahí
que cuando esta es cero la elongación debe de ser cero también, pero esto no significa que las gráficas estén
erradas, el hecho es que nosotros tomamos el marco de referencia cuando unimos las arandelas del resorte
haciendo una fuerza negativa como lo explicamos anteriormente, y cuando lo dejamos libre tubo una
elongación debida al peso del resorte, pero como la despreciamos, decimos simplemente que cuando la fuerza
es cero hay una elongación como dato inicial.
En este caso restringimos el análisis hasta cuando el desplazamiento es cero, pues si iniciamos a dar valores
negativos a nuestra x nos representará la compresión del resorte, mas sin embargo existirá un límite de
compresión, lo que nos lleva a predecir que en el caso de la elongación también habrá un límite máximo para
que las propiedades del resorte no cambien, sobretodo la propiedad del resorte de poder volver a su longitud
natural cuando no tiene fuerzas aplicadas.
Ahora analicemos la figura 7, que es la gráfica que representa a nuestros resortes en paralelo. La fórmula de la
recta es: y = 10.44x + 11.068, (intercepto en y positivo debido a marco de referencia) que de igual forma es la
ecuación [1] y nos informa acerca de la constante de elasticidad de los resortes en paralelo, que es la
pendiente de la recta como anteriormente habíamos deducido. Este valor es: Ks= 10.44.
Ahora de la ecuación [2], plantea que: la constante resultante de un sistema donde un cierto número de
resortes están en paralelo es la suma de las constantes de elasticidad de cada uno de los resortes que forman el
sistema.
Ks = K1 + K2
En nuestro experimento: K5= 5.1657, K13=6.1655, su suma debe dar aproximadamente igual a la pendiente de
la gráfica de la figura 7.
Ks= K13 + K5= 5.1657 + 6.1655 = 11.3312
11.33 ≈ 10.44
Si tomamos a Ks de la grafica como valor teórico y al resultado de la suma de las constantes de los resortes
K13 y K5 como valor experimental tenemos:
Error total =
=
Kexp.−Kteor.
Kteor.
11.3312−10.44
10.44
x100
x 100 = 8.54%
Además si aplicamos la fórmula del cálculo de error de mínimos cuadrados para datos experimentales,
tenemos:
se
2

n 2
y i :Valor
 y
2
n
1
i 1
i
 y iL
Experiment
y i L :Valor

donde
al
en la recta (1)
Calculamos las pendientes en cada intercepto del resorte 5, 13 y en paralelo.
yi
R5+R13
yiL
5 ll 13
yi- yiL
2
n
 y
i
 y iL

R5
R13
11.25
12.857
24.107 20.261
3.846
14.791716
2.2687
2.2466
4.5153 1.4196
3.0957
9.58335849
i 1
1.0461
1.0183
2.0644 1.0148
1.0496
1.10166016
1.9686
2.006
3.9746 1.2832
2.6914
7.24363396
1.2045
1.197
2.4015 1.4061
0.9954
0.99082116
1.069 1.05959 2.12859 1.2341 0.89449
0.80011236
1.1166
1.1106
2.2272 1.2078
1.0194
1.03917636
1.1667
1.589
2.7557 1.1029
1.6528
2.73174784
1.2876
1.2943
2.5819 1.2886
1.2933
1.67262489
39.95485122
se
2

39 . 95
10  2
=5
Se=2.23
Sistema en serie de Resortes:
F=k1 d1 =k2d2=kd.
Como: d = d1 + d2
Entonces:
𝟏
𝒌𝒔
=
𝟏
𝒌𝒔
𝑲𝟐+𝑲𝟏
Ks 
𝒌𝟏𝑲𝟐
=
𝟏
𝒌𝟏
+
𝟏
𝒌𝟐
sumando términos
Aplicando ley del espejo
5 . 1657 * 6 . 1655
5 . 1657  6 . 1655
Ks 
k1k 2
k1  k 2
= 2.8108
FUENTES DE ERROR:
1.
2.
Utilización de instrumentos de poca precisión. Una balanza analítica y una regla milimetrada plana, nos
ayudaría a tomar datos más precisos.
La dificultad de establecer el marco de referencia a partir de la unión precavida de las arandelas de los resortes;
se debía tener cuidado para no comprimirlo mucho ni dejar espacios entre los anillos. Recomendamos medir la
longitud natural del resorte cuando este se encuentre en reposo en una mesa horizontal plana, junto con el
instrumento (soporte) que sostendrá al resorte, en otras palabras acostar el soporte con el resorte incluido para
no tener la dificultad de la gravedad que atrae al resorte por su peso.
3.
4.
La depreciación del peso del resorte que debió tener un valor de masa considerable debido a su tamaño.
Consideramos que al tenerlo en cuenta se abstiene de discusiones como la de los interceptos en las gráficas.
La medida de las elongaciones resultaba ser muy tediosa debido a que el sistema de medición estaba inestable,
pues aunque se intentaba colocar la regla desde el origen del marco de referencia, un movimiento mínimo de la
mano del que media, proporcionaba un margen de error. Para ello tener la regla fija al soporte es una buena
solución.
CONCLUSIONES:
Se modelaron ecuaciones en las gráficas de fuerza versus elongación, que nos permitieron deducir información verídica e
importante como:

la pendiente de la recta es la constante de elasticidad del resorte.

los interceptos tanto en y como en x; nos informan lo que sucede cuando no hay fuerza e independientemente
cuando no existe elongación.

la fórmula obtenida nos conduce a afirmar que x tiene un límite de elongación y de compresión de tal forma
que no afecte sus propiedades físicas.

El análisis minucioso que se hizo acerca de los interceptos, nos permite concluir que el marco de referencia en
este experimento juega un papel importante en el estudio de los datos, pues se observo que aunque se pudo
haber intuido error en el bosquejo de las gráficas debido a los datos iniciales, se justifico de manera razonable
que estos dependían de las condiciones iniciales.

Se comprobó que la suma de las constantes de elasticidad de los resortes en el experimento, es la constante de
elasticidad de los resortes en paralelo.

Se dedujo que la ecuación para la constante de elasticidad de un sistema en serie es proporcional a la
división de la multiplicación de las constantes de los resortes sobre su suma.
Para un próximo experimento seria conveniente que el estudiante se percate de lo que sucede cuando la fuerza que se
ejerce es para comprimir el resorte. También es recomendable que se analice muy bien interceptos y límites cuando x
tiende a infinito y menos infinito y de las consecuencias de una fuerza muy grande.
Finalmente concluimos que fue un experimento que traía consigo muchos detalles no visibles a simple vista, los cuales
tienen información importante y que fue necesaria mucha imaginación para saber con certeza lo que estaba sucediendo y
como se estaban comportando nuestros datos obtenidos inicialmente al colocarlos en una gráfica.
REFERENCIAS:
[1] http://webpages.ull.es/users/fexposit/ife_b1.pdf
[2] introducción a la mecánica. Mario Felipe Londoño.pág171.