n - Casanchi

EL MÉTODO DE LAS TRANSFORMACIONES POR CONTRACCIÓN
CARLOS S. CHINEA
EL MÉTODO DE LAS
TRANSFORMACIONES POR
CONTRACCIÓN
APLICACIÓN A LA DEMOSTRACIÓN DE EXISTENCIA Y
UNICIDAD DE SOLUCIONES EN LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Son muchas las situaciones en la que se nos plantea la necesidad de probar la existencia y
unicidad de solución en ecuaciones algebraicas, de tipo trascendente, diferenciales, etc.. La
prueba de que la solución existe y que además es única, en cada caso, en cada tipo de
problema, exige actuar de forma diferente en general. Sin embargo, una determinada
manera de actuación, válida para muchos casos de este tipo, permite englobar en una
misma metodología la prueba de existencia y unicidad de la solución en diversos problemas.
El método de las Transformaciones por Contracción es un método de los llamados de punto
fijo o también de aproximación sucesiva, y es la simple aplicación de un teorema básico que
se verifica en cualquier espacio métrico completo. En lo que sigue exponemos el teorema
básico y lo aplicaremos como ejemplo a ecuaciones diferenciales de primer orden.
0.
Los espacios métricos completos:
Un espacio métrico M queda definido por la existencia de una métrica, por una distancia,
es decir, por una aplicación d definida de M en M que cumple las tres condiciones:
a)
∀( x, y ) ∈ M , d ( x, y ) ≥ 0,
si d ( x, y ) = 0 ⇒ x = y
b)
∀( x, y ) ∈ M , d ( x, y ) = d ( y, x)
c)
∀( x, y, z ) ∈ M , d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z , y )
Un espacio métrico será completo si en él toda sucesión de Cauchy es convergente, esto
es, toda sucesión en la que los términos se acercan entre sí es convergente en M.
1.
El Método de las transformaciones por contracción:
Teorema: Si en un espacio métrico y completo, M, existe un operador ∆ tal que verifica las
dos condiciones siguientes
1) Transforma puntos de M en puntos de M:
∆ : M → M . ∀x ∈ M , ∆x ∈ M
[1]
2) Acerca los puntos imágenes:
∀x, y ∈ M , d (∆x, ∆y ) ≤ φ .d ( x, y ), 0 ≤ φ ≤ 1
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[2]
1
EL MÉTODO DE LAS TRANSFORMACIONES POR CONTRACCIÓN
entonces, existirá un único punto fijo
w∈ M
tal que
CARLOS S. CHINEA
∆w = w ,
mediante aproximaciones sucesivas, esto es, si la sucesión de M
obtiene aplicando sucesivamente el operador
y que puede calcularse
(wn ) = {w0 , w1,..., wn ,...}se
∆wn −1 = wn , será lim wn = w .
Demostración:
Puesto que M es un espacio métrico, toda sucesión fundamental o de Cauchy es convergente
en M. Por tanto, bastará probar que la sucesión
(wn ) = {w0 , w1,..., wn ,...}
es sucesión de
Cauchy, es decir, bastará probar que
∀ε > 0, ∃Nε / p, q > Nε ⇒ d ( wp , wq ) < ε
Se tiene, por tanto, para φ<1:
d ( w1 , w2 ) = d (∆w0 , ∆w1 ) ≤ φ .(w0 , w1 )
d ( w2 , w3 ) = d (∆w1 , ∆w2 ) ≤ φ 2 .(w0 , w1 )
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
d ( wp , w p +1 ) = d (∆wp −1 , ∆w p ) ≤ φ p .(w0 , w1 )
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
y para dos términos cualesquiera de la sucesión, wp y wq tendríamos:
d ( w p , wq ) = d ( wp , wp + r ) ≤ d ( wp , w p +1 ) + d ( wp +1 , wp + 2 ) + ... + d ( wp + r −1 , wp + r ) =
(
)
= φ p + φ p +1 + ... + φ p + r −1 .d ( w0 , w1 )
Por tanto:
d ( wp , wq ) = d ( wp , wp + r ) ≤
φ p+r − φ p
φp
.d ( w0 , w1 ) ≤
.d ( w0 , w1 )
φ −1
1−φ
Es decir, la distancia se hace cada vez menor al aumentar el valor de p, por lo cual
∀ε > 0, ∃Nε / p, q > Nε ⇒ d ( wp , wq ) < ε
Y siendo M un espacio métrico completo, la sucesión dada
(wn ) = {w0 , w1,..., wn ,...}
es
convergente en M:
∃w ∈ R / lim wn = w
Este límite, por ser único, es el punto fijo de la transformación que define el operador ∆. Es
decir, existe un único punto w∈M tal que ∆w=w.
Este teorema nos ofrece en definitiva un método para probar la existencia de un punto fijo,
único, que verifica la ecuación ∆w=w, método que podemos aplicar en cada tipo de problema
definiendo adecuadamente el operador ∆ y la métrica del espacio.
MARCHENA, JUNIO, 2006
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EL MÉTODO DE LAS TRANSFORMACIONES POR CONTRACCIÓN
2.
CARLOS S. CHINEA
Una utilización inmediata del método. Probando la existencia y unicidad de
soluciones de la ecuación diferencial de primer orden:
Probemos que si la función f(x,y) es continua y lipschitziana en el dominio
D = {( x, y ) /( x0 − a ≤ x ≤ x0 + a ) ∧ ( y 0 − b ≤ y ≤ y 0 + b) ∧ y 0 = y ( x0 )}
entonces la ecuación diferencial y’=f(x,y) tiene en dicho dominio solución única.
Efectivamente:
Para efectuar la demostración, tengamos en cuenta que:
. Si f(x,y) es continua en D también será acotada en D:
∃M ∈ R / f ( x, y ) ≤ M , ∀( x, y ) ∈ D
. Si f(x,y) es lipschiptziana en D cumple, por definición, que
∃N ∈ R / f ( x, y1 ) − f ( x, y 2 ) ≤ N . y1 − y 2 ,
( x, y1 ), ( x, y 2 ) ∈ D
. Si existe la integral, la solución de la ecuación diferencial habrá de ser de la forma
x
y = y 0 + ∫ f ( x, y ).dx,
y0 − b ≤ y ≤ y0 + b
x0
. La métrica del espacio, es decir, la distancia entre dos valores de y(x), se define en la
forma habitual por
d ( y1 , y 2 ) = max y1 − y 2
. Para que se cumpla la existencia y unicidad de la solución de la ecuación diferencial dada
debemos comprobar que se verifican las dos condiciones [1] y [2] del teorema que define el
método de las transformaciones por contracción, o sea, que para el operador ∆ que
definamos se cumplirá que:
1)
2)
∀y ∈ ( y 0 − b, y 0 + b ), ∆y ∈ ( y 0 − b, y 0 + b )
∀y1 , y 2 ∈ ( y 0 − b, y 0 + b ), d (∆y1 , ∆y 2 ) ≤ φ .d ( y1 , y 2 ), 0 < φ < 1
Veamos que se cumplen las dos condiciones del teorema, definiendo el operador ∆ en la
forma:
x
∆y = y 0 +
∫ f ( x, y ).dx
x0
1)
∀y ∈ ( y 0 − b, y 0 + b ), ∆y ∈ ( y 0 − b, y 0 + b ) :
f ( x, y ) cont en D ⇒ f ( x, y ) a cot en D ⇒ ∃M ∈ R / f ( x, y ) ≤ M en D ⇒
x
⇒ ∃M ∈ R / ∫ f ( x, y ).dx ≤ M . x − x0 = M .s 0 , llamando s 0 = x − x0 < a .
x0
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EL MÉTODO DE LAS TRANSFORMACIONES POR CONTRACCIÓN
x
Por tanto, es
∆y − y 0 =
∫
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x
f ( x, y ).dx ≤
x0
∫ M .dx ≤ M . x − x
0
= M .s0 < b
x0
Y ha de ser:
M .s0 < b ⇒ s0 <
s0 < a
b
 b 
⇒
b ⇒ s0 < min  a,  ∧ x − x0 = s0 ⇒ x0 − s0 ≤ x ≤ x0 + s0
s0 <
M
 M
M
en definitiva:
 b 
∀y ∈ ( y 0 − b, y 0 + b ), ∆y ∈ ( y 0 − b, y 0 + b ) , con x ∈ ( x0 − s 0 , x0 + s 0 ), s 0 < min  a, 
 M
Siendo M una cota de la función f(x,y) en D.
2)
∀y1 , y 2 ∈ ( y 0 − b, y 0 + b ), d (∆y1 , ∆y 2 ) ≤ φ .d ( y1 , y 2 ), 0 < φ < 1 :
x
∀( x, y1 ), ( x, y 2 ) ∈ D, d (∆y1 , ∆y 2 ) = max ∆y1 − ∆y 2 = max ∫ [ f ( x, y1 ) − f ( x, y 2 )].dx
x0
y por ser f(x,y) lipschitziana en D:
x
d (∆y1 , ∆y 2 ) = max ∫ [ f ( x, y1 ) − f ( x, y 2 )].dx
x0
x
≤ N . max ∫ y1 − y 2 .dx = N x − x0 . max y1 − y 2 =
x0
= N .s 0 .d ( y1 , y 2 ) = φ .d ( y1 , y 2 )
Esta segunda condición se verifica eligiendo
φ = N .s 0 < 1 ⇒ s 0 <
1
N
.
Por tanto, la ecuación diferencial
dy
= f ( x, y )
dx
tiene solución única y(x), para
 b 1
x0 − s 0 ≤ x ≤ x0 + s 0 , con s 0 < min  a, ,  ,
 M N
siendo M
una cota de f(x,y) en D, y N constante de Lipschitz en D.
Se concreta, en definitiva, el siguiente enunciado:
Si es f(x,y) continua y lipschitziana en el intervalo
intervalo
( x 0 − a, x 0 + a )
( y 0 − b, y 0 + b ) , entonces, la ecuación diferencial
con valores en el
y ' = f ( x, y ) tiene
solución, y es
 b 1
s0 < min  a, ,  donde es M una
 M N
cota de f(x,y) y N la constante de la condición de Lipschitz en el intervalo ( x 0 − a, x 0 + a ) .
además única, en el intervalo
(x0 − s0 , x0 + s0 ) siendo
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EL MÉTODO DE LAS TRANSFORMACIONES POR CONTRACCIÓN
3.
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Utilización del método para probar la existencia y unicidad de solución en un sistema
de ecuaciones diferenciales de primer orden.
Probemos que si las funciones fi(x,y1,...,yn) son continuas y lipschitzianas en el dominio
D = {( x, y1 ..., y n ) /( x0 − a ≤ x ≤ x0 + a ) ∧ ( y i 0 − bi ≤ y i ≤ y i 0 + bi ) ∧ y i 0 = y i ( x0 ), i = 1,..., n}
entonces el sistema de ecuaciones diferenciales
dy1
= f 1 ( x, y1 ,..., y n )
dx
... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ...
dy n
= f n ( x, y1 ,..., y n )
dx
tiene en dicho dominio solución única.
Demostración:
Por ser continuas y lipschitzianas son en D acotadas y cumplen la condición de Lipschitz:
.
∃M ∈ R / f i ( x, y1 ,..., yn < M , i = 1,..., n
.
∃N ∈ R / f i ( x, u1 ,..., u n ) − f i ( x, v1 ,..., v n ) ≤ N .∑ u j − v j
n
j =1
Consideraremos el espacio E de todas las n-plas
y = ( y1 ,..., y n )
donde las componentes son
y i = y i ( x), x ∈ ( x0 − a, x0 + a ) ∧ y i 0 = y i ( x0 )
definiéndose la distancia en este espacio en la forma habitual:
n
∀u , v ∈ E , u = (u1 ,..., u n ), v = (v1 ,..., v n ), d (u , v ) = ∑ max u j − v j
j =1
Si existe la integral, la solución de cada una de las ecuaciones del sistema viene dada por
x
y i = y i 0 + ∫ f i ( x, y1 ,..., y n ).dx, i = 1,..., n
x0
Hemos de comprobar que se verifican las condiciones [1] y [2] del procedimiento:
1)
∀y ∈ D,
∆y ∈ D
2) ∀u , v ∈ D, d (∆u , ∆v ) ≤ φ .d (u , v )
para lo cual definimos el operador ∆ de la forma:
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∆y = (∆y1 ,..., ∆y n )
siendo:
x
∆y i = y i 0 + ∫ f i ( x, y1 ,..., y n ).dx, i = 1,..., n
x0
1) La comprobación de la primera condición es inmediata:
x
∫
∆y i − y i 0 =
x
f i ( x, y1 ,..., y n ).dx ≤
x0
por tanto ha de ser
En definitiva, es:
∫ M .dx ≤ M . x − x
0
= M .s 0 < bi , i = 1,..., n
x0
s0 = x − x0 < a ∧ s0 = x − x0 <
bi
M
∀y i ∈ ( y 0i − bi , y 0i + bi ), ∆y i ∈ ( y i 0 − bi , y i 0 + bi )
con
 b 
x ∈ ( x0 − s 0 , x0 + s 0 ), s 0 < min  a, i , i = 1,..., n
 M
y para cada n-pla:
x
x
y = ( y1 ,..., y n ) =  y10 + ∫ f1 ( x, y1 ,..., y n ).dx,..., y n 0 + ∫ f n ( x, y1 ,..., y n ).dx 
x
x
0
0


∀y ∈ D, ∆y ∈ D,
con
 b 
x ∈ ( x0 − s 0 , x0 + s 0 ), s 0 < min  a, i , i = 1,..., n
 M
2) La segunda condición:
n
n
d (∆u , ∆v ) = ∑ max u j − v j = ∑ max ∫ f j ( x, u1 ,..., u n ).dx − ∫ f j ( x, v1 ,..., v n ).dx =
j =1
n
= ∑ max ∫
x
x0
j =1
n
[f
j
j =1
x
x
x0
x0
]
( x, u1 ,..., u n ) − f j ( x, v1 ,..., v n ) .dx ≤
n
x
x
≤ ∑ max ∫ f j ( x, u1 ,..., u n ) − f j ( x, v1 ,..., v n ) .dx ≤ N .∑ max ∫ u j − v j .dx =
x0
j =1
j =1
x0
n
= N .∑ max u j − v j x − x0 = N .d (u , v ).s 0 = φ .d (u , v )
j =1
Para que sea
φ = N .s 0 < 1
ha de ser
s0 <
1
N
, por lo cual ha de ser
 1
s 0 < min  a, 
 N
En definitiva, por tanto, puede enunciarse que
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EL MÉTODO DE LAS TRANSFORMACIONES POR CONTRACCIÓN
Si son las funciones
f 1 ( x, y1 ,..., y n ),..., f n ( x, y1 ,..., y n )
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continuas y lipschitzianas en el
dominio D
D = {( x, y1 ..., y n ) /( x0 − a ≤ x ≤ x0 + a ) ∧ ( y i 0 − bi ≤ y i ≤ y i 0 + bi ) ∧ y i 0 = y i ( x0 ), i = 1,..., n}
con constantes de acotación M y de Lipschitz N en D, entonces el sistema dado por
dy i
= f ( x, y1 ,..., y n ),
dx
tiene solución única en el intervalo
uno de los
i = 1,..., n
(x0 − s0 , x + s0 ) siendo
 b 1
s 0 < min  a, i ,  para cada
 M N
i = 1,..., n
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EL MÉTODO DE LAS TRANSFORMACIONES POR CONTRACCIÓN
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4. Bibliografía:
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AYRES, F.; Ecuaciones Diferenciales. Mc Graw-Hill, 1991
BASS, J.; Curso de Matemáticas. Toray-Masson, 1971
BURKILL, J.C.; Teoría de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Dossat, Madrid,
1969
CASTRO, A. de; Complementos de Matemáticas. SAETA, Madrid, 1970
CODDINGTON, E.A.; Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. CECSA, 1968
DIEUDONNE, J.; Fundamentos de Análisis Moderno. Editorial Reverté, Barcelona,
1976
DOU, A.; Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Dossat, Madrid, 1970
ELGOLTZ, L.; Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Variacional. Editorial Mir, Moscu,
1983
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Addison-Wesley Iberoamericana.
PONTRIGUIN, L.S.; Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Editorial Mir, Moscu,
1981
PUIG ADAM, P.; Ecuaciones Diferenciales. Biblioteca Matemática.
RODRÍGUEZ VIDAL,R.; Ecuaciones Diferenciales y temas afines. Vicens-Vives.
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SIMMONS, F.; Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas. Mc
Graw-Hill, 1993.
ZILL, D.G.; CULLEN M.R.; Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores en
la frontera. México, International Thomson Editores, 2001
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