Facultad de Ciencias

Unidad I
Fundamentos de Algebra Matricial
Parte II
Dra. Ruth M. Aguilar Ponce
Facultad de Ciencias
Departamento de Electrónica
Propedeutico 2008
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1
Nociones de Calculo Matricial
• Vector Tangente a una curva
⎛ ∂x1 ⎞
⎜
⎟
⎜ ∂t ⎟
v
∂x (t ) ⎜ ∂x2 ⎟
= ⎜ ∂t ⎟
∂t
⎜ M ⎟
⎜ ∂xn ⎟
⎜
⎟
⎝ ∂t ⎠
r
x (t ) = ( x1 (t ) L xn (t ));
• Gradiente de una función escalar
∂f ⎛ ∂f
∇f ( x ) = v = ⎜⎜
∂x ⎝ ∂x1
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∂f
∂x2
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∂f ⎞
⎟⎟
L
∂xn ⎠
2
Nociones de Calculo Matricial
v r
f (x )
• Jacobiano
de
una
función
vectorial
r
v
donde x es de dimensión m y f es de
dimensión n
r
∂f
r
∂x
Propedeutico 2008
⎛ ∂f1
⎜
⎜ ∂x1
⎜ ∂f 2
= ⎜ ∂x1
⎜
⎜ M
⎜ ∂f n
⎜ ∂x
⎝ 1
∂f1
∂x2
∂f 2
∂x2
M
∂f n
∂x2
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L
L
O
K
∂f1 ⎞
⎟
∂xm ⎟
∂f 2 ⎟
∂xm ⎟
⎟
M ⎟
∂f n ⎟
∂xm ⎟⎠
3
Hessiano
• El Hessiano es el gradiente de segundo
orden de una función escalar
r
r
∇ f ( x ) = ∇(∇f ( x ))
2
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∂f ⎞
⎟⎟
K
∂xn ⎠
∂ ⎛ ∂f
= r ⎜⎜
∂x ⎝ ∂x1
∂f
∂x2
⎛ ∂f
⎜
2
x
∂
1
⎜
⎜ ∂f
= ⎜ ∂x2 ∂x1
⎜
⎜ M
⎜ ∂f
⎜ ∂x ∂x
⎝ n 1
∂f
∂x1∂x2
∂f
∂x22
M
∂f
∂xn ∂x2
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L
L
O
L
∂f ⎞
⎟
∂x1∂xn ⎟
∂f ⎟
∂x2 ∂xn ⎟
⎟
M ⎟
∂f ⎟
∂xn2 ⎟⎠
4
Nociones de Calculo Matricial
• Derivada de una matriz
⎛ ∂f11
⎜
⎜ ∂t
∂F (t ) ⎜ ∂f 21
= ⎜ ∂t
∂t
⎜ M
⎜ ∂f m1
⎜
⎝ ∂t
∂f12
∂t
∂f 22
∂t
M
∂f m 2
∂t
∂f1n ⎞
⎟
∂t ⎟
∂f 2 n ⎟
L
∂t ⎟
O
M ⎟
∂f mn ⎟
L
⎟
∂t ⎠
L
• Gradiente de una función escalar donde X es una
matriz de m × n.
∂f
∂f ⎞
⎛ ∂f
⎜
⎜ ∂X 11
⎜ ∂f
∂f ( X ) ⎜
= ∂X 12
⎜
∂X
⎜ M
⎜ ∂f
⎜ ∂X
⎝ 1n
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∂X 21
∂f
∂X 22
M
∂f
∂X 2 n
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⎟
∂X m1 ⎟
∂f ⎟
L
∂X m 2 ⎟
⎟
O
M ⎟
∂f ⎟
L
∂X nm ⎟⎠
L
5
MATLAB
• Matlab (Matrix laboratory) es un sistema interactivo de
software para computo numérico y graficación.
• Como su nombre lo sugiere, Matlab es especialmente
diseñado para computo matricial.
• Además, Matlab cuenta con una gran variedad de
capacidades graficas y puede ser extendido a través de
programas escritos en su propio lenguaje de programación.
• Matlab cuenta con una librería de funciones para resolver
problemas tales como factorización de matrices, computo
de eigenvalores y eigenvectores, etc.
• Matlab esta diseñado para resolver problemas numéricos,
es decir aritmética de precisión finita.
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Matlab
• En Matlab se pueden definir matrices escribiendo
sus elementos entre corchetes.
• La coma separa los elementos en columnas, y el
punto y coma los separa en renglones.
• Ejemplo: >> A = [1,2,3;4,5,6]; asigna estos
valores a la matriz A.
⎛ 1 2 3⎞
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝ 4 5 6⎠
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Referencia a los elementos de una matriz
• A(i,j) hace referencia al elemento ij de la matriz A
>> A(2,2)
⎛ 1 2 3⎞
⎟⎟
A = ⎜⎜
ans = 5
⎝ 4 5 6⎠
• A(i,:) hace referencia a la renglón i de A
>> A(1,:)
ans = 1 2 3
• A(:,j) hace referencia a la columna j de A
>> A(:,2)
ans =
2
5
• A(r:s,k:l) hace referencia a la submatriz
>> A(1:2,1:2)
ans =
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2
5
8
Definición de Matrices
• Una matriz identidad de n × n se genera con
>> I = eye(n);
• Una matriz nula de m × n se genera con
>> A = zeros(m,n);
>>A = zeros(m)
• Una matriz de m × n cuyos elementos son igual a
uno se genera con
>> A = ones(m,n);
• Una matriz diagonal de n × n
>> A = diag([x1,x2,..,xn]);
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Definición de Matrices
• Una matriz triangular superior en base a una matriz A
>> B = triu(A);
• Una matriz triangular inferior en base a una matriz A
>> B = tril(A);
• Una matriz de m × n cuyos elementos son números
aleatorios entre cero y uno se genera con
>> A = rand(m,n);
• Una matriz de m × n cuyos elementos son números
aleatorios normalmente distribuidos se genera con
>> A = randn(m,n);
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Operaciones Matriciales
• Suma y resta de Matrices
>> C = A+B;
>> C = A-B;
• Multiplicación por un escalar
>> B = c*A;
• Multiplicación de matrices
>> C = A*B;
• Multiplicación elemento por elemento
>> C = A.*B;
• Transpuesta de una matriz
>> A = A’;
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Funciones
• Inversa
>> inv(A)
• Determinante
>> det(A)
• Traza
>> trace(A)
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• Rango
>> rank(A)
• Tamaño
>> size(A)
• Suma
>> sum(A,dim)
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Creando archivos .m
• Archivos file.m son archivos de texto que Matlab
usa para definir funciones o scripts.
• Un script es una secuencia de comandos que se
usan frecuentemente y pueden ser guardados en
un archivo para no ser reescritos.
• Las funciones realizan operaciones sobre los
valores de entrada y regresan estos valores ya
procesados
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Funciones
• En Matlab una función se define en un
archivo .m que lleva el nombre de la función.
• Al inicio del archivo se debe incluir la
definición de la función:
– function [out1, out2] = myfunction(in1,in2)
• La función debe ser guardada en un archivo
con el mismo nombre de la función
myfunction.m
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Funciones
Nombre de la función
Palabra reservada
Parámetros de salida
Parámetros de entrada
function [out1, out2] = Name(in1,in2)
% Descripción de la función
% parámetros de entrada
Documentación
% parámetros de salida
Standard
% Nombre del autor
% Fecha de elaboración
if nargin < 2
display(‘Error: faltan parametros’)
else
out1 = in1 * in2;
out2 = my_subfunction(in2+in1);
% -----------------------function out = my_subfunction(in)
Cuerpo de la
función
Subfunción
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Ejemplos de funciones
function C = mult(A)
r = rank(A);
C = A * A’;
• La función mult regresa
la multiplicación de A por
su transpuesta
function [V,D,r]=properties(A)
% Esta función encuentra los
% eigenvalores, eigenvectores
% y rango de A, dode A es una
% matriz cuadrada
[m,n]=size(A);
if m!=n
display(‘Error: La matriz
debe ser cuadrada’);
else
r = rank(A);
[V,D] = eig(A);
end
•
• La variable r no es
visible fuera de la
función
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•
% es usado para introducir
comentarios.
Para obtener todos los parámetros de
salida se debe escribir
[V,D,r]=properties(A)
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Diario
• El comando >>diary(‘file.txt’) registra todo
lo echo en la ventana de comando de Matlab, y
guardo los comandos y resultados en un archivo de
texto con el nombre file.txt
• Para terminar debes escribir >> diary off
• >> diary on comienza a registrar los comandos
nuevamente. Sin embargo no se guardaran al
archivo hasta escribir el comando
>>diary(‘file.txt’)
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Guardando tus variables
• El comando >>whos despliega todas las
variables activas en en la ventana de
comando de Matlab
• Para guardar todas las variable reportadas
por whos, usa el comando >>save ‘file’
• Si requieres recobrar los valores de esas
variables posteriormente usa el comando
>>load ‘file’
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Estructuras de Control
if condition
statement1
else
statement2
end
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SWITCH switch_expr
CASE case_expr,
statement,...,statement
CASE {exp1, expr2, ...}
statement,...,statement
...
OTHERWISE,
statement,...,statement
END
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Ciclos
while condition
statement_1;
...
statement_n;
end
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for i=lim1:step:lim2
statement_1;
...
statement_n;
end
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