Universidad Carlos III de Madrid Junio de 2012 Microeconomia

Universidad Carlos III de Madrid
Junio de 2012
Microeconomía
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Grupo:
1
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5
Calif.
Dispone de 2 horas y 45 minutos. La puntuación de cada apartado se indica entre paréntesis.
Administre su tiempo teniendo en cuenta esta puntuación.
1. Preguntas Tipo Test. (Marque su respuesta con una “x”. Para cada pregunta hay
únicamente una respuesta correcta; se obtienen 2 puntos si se marca la respuesta correcta,
-0,66 si se marca una respuesta incorrecta y 0 puntos si no se marca respuesta alguna.)
1.1. Se sabe que las preferencias de un consumidor satisfacen los axiomas A:1; A:2 y A:3;
y que A = (0; 2) B = (1; 1): Por consiguiente, se puede inferir la siguiente relación entre
estas cestas y la cesta C = (1; 2):
CvA
C A:
C B
CvB
1.2. Las preferencias de Pareto
P,
de…nidas como (x; y)
no satisfacen el axioma A:1 (completitud)
no satisfacen el axioma A:2 (transitividad)
P
(x0 ; y 0 ) si x
x0 e y
y0,
no satisfacen el axioma A:3 (monotonicidad)
satisfacen los axiomas A:1 A:3.
1.3. Que la cesta óptima (x ; y ) satisface la restricción px x + py y = I es consecuencia
del axioma de completitud (A.1)
del axioma de transitividad (A.2)
del axioma de monotonicidad (A.3)
del axioma de convexidad (A.5).
1.4. Identi…que la cesta óptima para un consumidor cuyas preferencias están representadas
por la función de utilidad u(x; y) = minfx; 2yg si su renta es I = 6 y los precios son
px = py = 1.
(3; 3)
(4; 2)
(2; 4)
(6; 3)
1
1.5. Si se multiplica la renta del consumidor por el índice de precios al consumo de tipo
Laspeyres, entonces
se
se
se
se
mantiene el bienestar del consumidor en el periodo base
mantiene inalterado el conjunto presupuestario del consumidor en el periodo base
incrementa el nivel de bienestar del consumidor respecto al del periodo base
compensa al consumidor exactamente por el importe de la variación compensada.
1.6. Las preferencias de un consumidor están representadas por la función de utilidad de
Bernoulli u(x) = x2 . Identi…que la utilidad esperada y la prima de riesgo de la lotería
l = (x; p) que paga los premios x = (0; 2; 4) con probabilidades p = ( 38 ; 21 ; 18 ):
Eu(l) = 2; P R(l) = 1
Eu(l) = 4; P R(l) = 1=2
Eu(l) = 2; P R(l) = 1=2
Eu(l) = 4; P R(l) = 1:
1.7. Lolita es una vaca competitiva que produce leche utilizando avena (A) y heno (H) de
acuerdo con la función de producción F (A; H) = minfA; H 2 g: Por tanto, como productora
de leche Lolita tiene
deseconomías de escala
economías de escala
rendimientos constantes a escala
una función de costes totales convexa.
1.8. Si existen dos tecnologías para producir un bien cuyas funciones de costes totales son
CA (q) = 3q 2 +12q+3 y CB (q) = 5q 2 +20, respectivamente, el precio de equilibrio competitivo
a largo plazo es
pL = 18
pL = 9
pL = 10
pL = 20.
1.9. El índice de Lerner de un monopolio que produce el bien a coste cero en un mercado en
p
el que la demanda es D(p) = maxf1
; 0g es
4
1
1
L=0
L=
L=
L = 1:
4
2
1.10. Una empresa que produce un bien con costes totales C(q) = q 2 monopoliza un mercado
en el que la demanda es D(p) = maxf12 p; 0g. La introducción de un precio máximo p = 8
euros/unidad supone:
un aumento de la pérdida de e…ciencia del monopolio
un aumento del excedente del consumidor
una disminución del excedente total
una disminución del nivel de producción del monopolio.
2
2. Las preferencias de un consumidor sobre alimentos (x) y vestido (y) están representadas
por la función de utilidad u(x; y) = xy 2 . Los precios de alimentos y vestido son px y py euros
por unidad, respectivamente, y la renta del consumidor es I euros.
(a) (10 puntos) Calcule sus funciones de demanda ordinarias, x(px ; py ; I) e y(px ; py ; I).
Solución: Puesto que u(0; y) = u(x; 0) = 0, para I > 0 la solución al problema del
consumidor es interior. Tenemos
RM S(x; y) =
y
:
2x
Una solución interior resuelve el sistema
y
px
=
2x
py
xpx + ypy = I:
Resolviendo el sistema obtenemos las demandas ordinarias:
I
3px
2I
y(px ; py ; I) =
:
3py
x(px ; py ; I) =
3
(b) (15 puntos) Suponga que la renta del consumidor es I = 12 y los precios son (px ; py ) =
(1; 2). Para …nanciar el gasto público, el gobierno ha decidido gravar el consumo del bien
x con un impuesto de 1 euro por unidad. Calcule los efectos renta y sustitución de este
impuesto sobre la demanda de x. Si el gobierno sustituye este impuesto por un impuesto
sobre la renta del consumidor que genera la misma recaudación, ¿cuál sería el nivel de
bienestar del consumidor, mayor o menor que con el impuesto sobre el consumo de x?
Muestre explícitamente los cálculos que justi…can su respuesta y represente grá…camente sus
resultados.
Solución: Calculamos la cesta óptima a los precios (px ; py ) = (1; 2) y renta I = 12:
xA = x(1; 2; 12) =
12
24
= 4; yA = y(1; 2; 12) =
= 4:
3
6
42 = 64:
La utilidad del consumidor para esta cesta es uA (4; 4) = 4
Con el impuesto, los precios son (p0x ; py ) = (2; 2), la cesta óptima del consumidor es
xC = x(2; 2; 12) =
y su utilidad es uC = u(2; 4) = 2
12
24
= 2; yC (2; 2; 12) =
= 4;
6
6
42 = 32:
Para calcular el ES necesitamos calcular la cesta (xB ; yB ) que resuelve el sistema:
yB
p0x
=
=1
2xB
py
xB (yB )2 = 64:
p p
La solución es (xB ; yB ) = (2 3 2; 4 3 2).
Por tanto, el efecto substitución es
ES = xB
p
3
xA = 2 2
4=
2 2
y el efecto renta es
ER = ET
ES
= (2
=
4) + 2 2
p
3
2
2 1
Por otro lado, la recaudación del impuesto es
R=1
xC = 2
4
p
3
2
p
3
2
Un impuesto sobre la renta de T = 2 euros generaría la misma recaudación sin alterar los
precios. Con este impuesto la renta del consumidor sería I T = 10. La cesta óptima para
estos precios y renta es
xT = x(1; 2; 10) =
10
10
; yT (1; 2; 10) = :
3
3
3
2
10
La utilidad del consumidor para esta cesta es uT ( 10
; 10 ) = 10
= 10
' 37:037 > 32:
3 3
3
32
3
Por tanto, el individuo pre…ere el impuesto directo sobre la renta. Grá…camente,
y
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
5
7
8
9
10
11
x
3. (15 puntos) Las preferencias de un trabajador sobre ocio (h; medido en horas) y consumo
p
(c; medido en euros) están representadas por la función de utilidad u(h; c) = h + 2 c: El
trabajador dispone de H = 16 horas para dedicar al trabajo y al ocio, y no dispone de otra
renta que la que obtiene de su trabajo. Calcule y represente su oferta de trabajo. (Observe
que pc = 1 pues estamos midiendo el consumo en euros.) Suponga ahora que el salario es
w = 4 euros/hora y que existe un subsidio de desempleo que paga S euros a quienes no
trabajan. ¿Cuánto trabajaría y consumiría si S = 5? ¿A partir de qué valor de S dejaría de
trabajar?
Solución: tenemos
RM S(h; c) =
1
2 2p1 c
=
p
c:
Como pc = 1, una solución interior al problema del consumidor resuelve el sistema
p
c = w
c + wh = 16w;
cuya solución es
c = w2 ; h = 16
w:
Para que h 0, necesitamos que w 16. En otro caso, h = 0 y c = 16w. Por tanto, las
funciones de demanda de ocio y consumo son
h(w) =
16
w2 si w 16
16w si w > 16;
w si w 16
; c(w) =
0
si w > 16
y la oferta de trabajo es
l(w) = 16
w si w 16
16 si w > 16:
h(w) =
Grá…camente:
w
30
20
10
0
0
5
10
6
15
20
l
Si w = 4 la combinación ocio-consumo óptima del individuo es (h ; c ) =
p (12; 16); por
tanto, el individuo trabajaría 4 horas y su nivel de utilidad sería u = 12 + 2 16 = 20.
Por el contrario, si no trabaja y recibe un subsidio S = 5, p
su cesta ocio-consumo sería
(hs ; cs ) = (16; 5), lo que le reportaría una utilidad de us = 16 + 2 5 ' 20:47 > 20. Entonces,
para este valor del subsidio el individuo no trabajaría.
Dado el salario w = 4, para calcular el nivel de subsidio que le deja indiferente entre
trabajar o no resolvemos la ecuación
p
20 = 16 + 2 S;
cuya solución es S = 4:
7
4. (20 puntos) La demanda de un bien es D (p) = 240=p: Hay 10 empresas idénticas cuya
1
1
función de producción es F (L; K) = L 3 (K 1) 3 : Las empresas son precio-aceptantes en
los mercados de factores, en los que los precios son w = r = 1: Calcule las funciones de costes
totales, marginales y medios y la función de oferta de cada empresa, y determine el equilibrio
competitivo. Calcule el precio y el número de empresas en el equilibrio competitivo a largo
plazo con libre entrada (y sin patentes).
Solución: Tenemos
RM ST (L; K) =
K
1
:
L
Para q > 0 las demandas condicionales de factores resuelven el sistema
K
1
= 1
L
p
p
3
L 3 K 1 = q;
cuya solución es
p
L(q) =
p
K(q) =
q3;
q 3 + 1:
Para q = 0; la solución al problema de minimización de costes es K = L = 0:
Por tanto, la función de costes es
C(q) = wL(q) + rK(q) =
p
2 2 q 3 + 1 si q > 0
0
si q = 0;
y para q > 0 las funciones de costes medios y marginales son
1
p
CM e(q) = 2 q +
q
p
CM a(q) = 3 q:
Para calcular la función de oferta individual resolvemos la ecuación p = CM a(q) y
comprobamos la condición de segundo orden de maximización de bene…cios de la empresa
competitiva,
CM a(q)
3
= p > 0;
dq
2 q
que claramente se cumple. La condición de cierre requiere
(q) > (0) =
que equivale a la comprobar que p
C(0) = 0;
CM e(q): Como p = CM a(q), esta condición requiere
1
p
p
p = CM a(q) = 3 q > CM e(q) = 2 q + ;
q
8
es decir,
p
q 3 > 1 , q > 1:
Por tanto, la oferta de la empresa competitiva es
p
8
si p < p3
< 0
f0; 1g si p = 3
s(p) =
p
: p2
si p > 3:
9
p
Para calcular el equilibrio competitivo suponemos p > 3. En este caso, la oferta de
mercado se S(p) = 10s(p) = 10p2 =9 y la condición de equilibrio es
D(p) =
240
10p2
=
= S(p);
p
9
p
cuya solución es p = 6 > 3: A este precio la cantidad de equilibrio es Q p= 40; y el
nivel de producción de cadap empresa
3 generan
p es q = 4: Claramente los precios p
una demanda D(p) 240= 3 = 80 3 mayor que la oferta S(p) 10 y, por tanto, no son
precios de equilibrio.
Para calcular el equilibrio competitivo a largo plazo con libre entrada y sin patentes,
sabemos que
p = min CM e(q):
q 0
Resolviendo
CM e(q)
=0
dq
p
p
obtenemos
qL = 3 4 y CM e(qL ) = 3 3 2: Por tanto, el precio de equilibrio a largo plazo es
p
pL = 3 3 2; la cantidad comerciada es
p
240
3
=
40
4
QL = D( pL ) = p
3
3 2
y el número de empresas es
nL qL = QL , nL = 40:
9
5. (20 puntos) Una empresa que produce un bien a coste cero monopoliza dos mercados cuyas
demandas son D1 (p) = maxf10 p; 0g y D2 (p) = maxf4 p; 0g. Calcule los equilibrios de
monopolio con y sin discriminación de precios de tercer grado y determine quienes resultan
bene…ciados o perjudicados con la discriminación de precios (respecto a la situación en la
que no se puede discriminar en precios).
Solución: El problema del monopolio con discriminación de precios de tercer grado es
max p1 (q1 )q1 + p2 (q2 )q2
C(q1 + q2 ) = p1 (q1 )q1 + p2 (q2 )q2 ;
q1 ;q2 0
donde
p1 (q1 ) =
10
0
q1 si q1 10
; p2 (q2 ) =
si q1 > 10
4
q1
0
si q2 4
si q2 > 4:
La solución a este problema resuelve el sistema
10
2q1 = 0
4
2q2 = 0;
cuya solución es q1 = 5 y q2 = 2: Los precios de equilibrio son p1 = 5 y p2 = 2, y los
excedentes de los consumidores en ambos mercados y el bene…cio del monopolista son
EC1M D = 12:5; EC2M D = 2;
MD
= 29
Para resolver el problema del monopolista sin discriminación de precios tenemos que
calcular la demanda agregada. Para ello, observamos que para precios mayores que 10 no hay
demanda del bien, mientras que para precios comprendidos entre 4 y 10 solo hay demanda
del bien en el mercado 1 y para precios menores que 4, hay demanda del bien en ambos
mercados. Por tanto, la demanda agregada es
8
0
si q > 14
<
1
p(q) =
7 2 q si 6 < q 14
:
10 q si q 6:
El ingreso del monopolista es I(q) = p(q)q y su ingreso marginal es
8
0
si q > 14
<
IM a(q) =
7 q si 6 < q 14
:
10 2q si q 6:
El equilibrio de monopolio sin discriminación de precios se obtiene resolviendo la ecuación
IM a(q) = CM a(q). Suponiendo que 6 < q 14; tendríamos la ecuación
7
q=0
10
cuya solución es q M = 7, que efectivamente pertenece al intervalo (6; 14]. El precio de
equilibrio es pM = 3; 5. Los excedentes de consumidores en ambos mercados y los bene…cios
del monopolista sin discriminación son:
EC1M = 21; 125; EC2M = 0; 125;
M
= 24; 5
Vemos que el productor y los consumidores del segundo mercado salen perjudicados, y
que los consumidores del primer mercado se bene…cian.
11