cadena de Markov

CADENAS DE MARKOV
Una cadena de Markov, que recibe su nombre del matemático ruso Andrei
Markov, es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un
evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo
tienen memoria. “Recuerdan” el último evento y esto condiciona las posibilidades
de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las
cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una
moneda al aire o un dado.
En los negocios, las cadenas de Markov se han utilizado para analizar los
patrones de compra de los deudores morosos, para planear las necesidades de
personal y para analizar el reemplazo de equipo.
En matemáticas, se define como un proceso estocástico discreto que cumple con
la Propiedad de Markov, es decir, si se conoce la historia del sistema hasta su
instante actual, su estado presente resume toda la información relevante para
describir en probabilidad su estado futuro.
Una cadena de Markov es una secuencia X1, X2, X3,… de variables aleatorias. El
rango de estas variables, es llamado espacio estado, el valor de Xn es el estado
del proceso en el tiempo n. Si la distribución de probabilidad condicional de Xn+1
en estados pasados es una función de Xn por sí sola, entonces:
Donde xi es el estado del proceso en el instante i. La identidad mostrada es la
Propiedad de Markov.
Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que
ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas
de este tipo tienen memoria. “Recuerdan” el último evento y esto condiciona las
posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior
distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como
tirar una moneda al aire o un dado.
El análisis de Markov, llamado así en honor de un matemático ruso que desarrollo
el método en 1907, permite encontrar la probabilidad de que un sistema se
encuentre en un estado en particular en un momento dado. Algo más importante
aún, es que permite encontrar el promedio a la larga o las probabilidades de
estado estable para cada estado. Con esta información se puede predecir el
comportamiento del sistema a través del tiempo.
La tarea más difícil es reconocer cuándo puede aplicarse. La característica más
importante que hay que buscar en la memoria de un evento a otro.
Formulación de las cadenas de Markov.
Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que
ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas
de este tipo tienen memoria. “Recuerdan” el último evento y esto condiciona las
posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior
distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como
tirar una moneda al aire o un dado.
Probabilidades de transición.
Una forma de describir una cadena de Markov es con un diagrama de estados. En
ésta se ilustra un sistema de Markov con cuatro estados posibles: M1, M2, M3 y
M4. La probabilidad condicional o de transición de moverse de un estado a otro se
indica en el diagrama
Otro método para exhibir las probabilidades de transición es usar una matriz de
transición.
Otro método para exhibir las probabilidades de transición es usar una matriz de
transición. .
Para n = 0, 1, 2,….
El superíndice n no se escribe cuando n = 1.
Procesos estocásticos.
Un proceso estocástico se define sencillamente como una colección indexada de
variables aleatorias {X1}, donde el subíndice t toma valores de un conjunto T dado.
Con frecuencia T se toma como el conjunto de enteros no negativos y X,
representa una característica de interés medible en el tiempo t. Por ejemplo, el
proceso estocástico, X1, X2, X3,.., Puede representar la colección de niveles de
inventario semanales (o mensuales) de un producto dado, o puede representar la
colección de demandas semanales (o mensuales) de este producto.
Un estudio del comportamiento de un sistema de operación durante algún periodo
suele llevar al análisis de un proceso estocástico con la siguiente estructura. En
puntos específicos del tiempo t , el sistema se encuentra exactamente en una de
un número finito de estados mutuamente excluyentes y exhaustivos, etiquetados
0, 1 . . , S. Los periodos en el tiempo pueden encontrarse a intervalos iguales o su
esparcimiento puede depender del comportamiento general del sistema en el que
se encuentra sumergido el proceso estocástico. Aunque los estados pueden
constituir una caracterización tanto cualitativa como cuantitativa del sistema, no
hay pérdida de generalidad con las etiquetas numéricas 0, 1. . , M, que se usarán
en adelante para denotar los estados posibles del sistema. Así la representación
matemática del sistema físico es la de un proceso estocástico {Xi}, en donde las
variables aleatorias se observan en t = 0, 1, 2,. . ., y en donde cada variable
aleatoria puede tomar el valor de cualquiera de los M + 1 enteros 0, 1,.. , M. Estos
enteros son una caracterización de los M + 1 estados del proceso.
Propiedad Markoviana de 1o. orden.
Se dice que un proceso estocástico tiene la propiedad Markoviana si
P Xt+1 = j = P X t+1 , para toda t = 0, 1 . Y toda
Sucesión i, j , K0 , K1 . . , Ki-1.
Se puede demostrar que esta propiedad Markoviana es equivalente a establecer
una probabilidad condicional de cualquier “evento” futuro dados cualquier “evento
“pasado y el estado actual Xi = i, es independiente del evento pasado y sólo
depende del estado actual del proceso. Las probabilidades condicionales PXt+1 =
j se llaman probabilidades de transición. Si para cada i y j,
P Xt+1 = j = pX1 = j, para toda t = 0, 1,….
Entonces se dice que las probabilidades de transición (de un paso) son
estacionarias y por lo general se denotan por pij. Así, tener probabilidades de
transición estacionarias implica que las probabilidades de transición no cambian
con el tiempo. La existencia de probabilidades de transición (de un paso)
estacionarias también implica que, para cada i, j y n (n = 0, 1, 2,…),
P Xt+n = j = pXn = j,
Para toda t = 0, 1,. . . Estas probabilidades condicionales casi siempre se denotan
por y se llaman probabilidades de transición de n pasos. Así, es simplemente la
probabilidad condicional de que la variable aleatoria X, comenzando en el estado i,
se encuentre en el estado j después de n pasos (unidades de tiempo).
Como las son probabilidades condicionales, deben satisfacer las propiedades:
Probabilidad de transición de un solo paso.
Ejemplo:
Una tienda de cámaras tiene en almacén un modelo especial de cámara que se
puede ordenar cada semana. Sean D1, D2,… las demandas de esta cámara
durante la primera, segunda,…, semana, respectivamente. Se supone que las Di
son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que tienen
una distribución de probabilidad conocida. Sea X0 el número de cámaras que se
tiene en el momento de iniciar el proceso, X1 el número de cámaras que se tienen
al final de la semana uno, X2 el número de cámaras al final de la semana dos, etc.
Suponga que X0 = 3 . El sábado en la noche la tienda hace un pedido que le
entregan el lunes en el momento de abrir la tienda. La tienda hace un pedido que
le entregan el lunes en el momento de abrir la tienda. La tienda usa la siguiente
política ( s, S)1 para ordenar : si el número de cámaras en inventario al final de la
semana es menor que s =1 (no hay cámaras en la tienda), ordenar (hasta) S=3.
De otra manera, no coloca la orden (si se cuenta con una o más cámaras en el
almacén, no se hace el pedido). Se supone que las ventas se pierden cuando la
demanda excede el inventario. Entonces, {X1} para t = 0, 1,.. Es un proceso
estocástico de la forma que se acaba de describir. Los estados posibles del
proceso son los enteros 0, 1, 2, 3 que representan el número posible de cámaras
en inventario al final de la semana.
Observe que {Xi}, en donde Xi es el número de cámaras en el almacén al final de
la semana t ( antes de recibir el pedido}), es una cadena de Markov. Se verá ahora
cómo obtener las probabilidades de transición (de un paso), es decir, los
elementos de la matriz de transición (de un paso).
Suponiendo que cada Dt tiene una distribución Poisson con parámetro.
Para obtener es necesario evaluar. Si, Entonces. Por lo tanto, significa que la
demanda durante la semana fue de tres o más cámaras. Así, la probabilidad de
que una variable aleatoria Poisson con parámetro tome el valor de 3 o más; y se
puede obtener de una manera parecida. Si, entonces. Para obtener, la demanda
durante la semana debe ser 1 o más. Por esto, Para encontrar, observe que si .
En consecuencia, si, entonces la demanda durante la semana tiene que ser
exactamente 1. Por ende, Los elementos restantes se obtienen en forma similar, lo
que lleva a la siguiente a la siguiente matriz de transición (de un paso):
Probabilidad de transición estacionaria de n pasos.
Las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov proporcionan un método para calcular
estas probabilidades de transición de n pasos:
Estas ecuaciones simplemente señalan que al ir de un estado i al estado j en n
pasos, el proceso estará en algún estado k después de exactamente m (menor
que n) pasos. Así,
Es solo las probabilidad condicional de que, si se comienza en el estado i, el
proceso vaya al estado k después de m pasos y después al estado j en n- m
pasos.
Los casos especiales de m=1 y m=n-1 conducen a las expresiones
Para toda i, j, y n de lo cual resulta que las probabilidades de transición de n pasos
se pueden obtener a partir de las probabilidades de transición de un paso de
manera recursiva. Para n=2, estas expresiones se vuelven:
Note que las son los elementos de la matriz P (2), pero también debe de
observarse que estos elementos, se obtienen multiplicando la matriz de transición
de un paso por sí misma; esto es, P (2) = P * P = P2.
En términos más generales, se concluye que la matriz de probabilidades de
transición de n pasos se puede obtener de la expresión: P(n) = P * P…. P = Pn =
PPn−1 = Pn-1 P.
Entonces, la matriz de probabilidades de transición de n pasos se puede obtener
calculando la n-ésima potencia de la matriz de transición de un paso. Para valores
no muy grandes de n, la matriz de transición de n pasos se puede calcular en la
forma que se acaba de describir, pero cuando n es grande, tales cálculos resultan
tediosos y, más aún, los errores de redondeo pueden causar inexactitudes.
Ejemplo:
Una tienda de cámaras tiene en almacén un modelo especial de cámara que se
puede ordenar cada semana. Sean D1, D2,… las demandas de esta cámara
durante la primera, segunda,…, semana, respectivamente. Se supone que las Di
son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que tienen
una distribución de probabilidad conocida. Sea X0 el número de cámaras que se
tiene en el momento de iniciar el proceso, X1 el número de cámaras que se tienen
al final de la semana uno, X2 el número de cámaras al final de la semana dos, etc.
Suponga que X0 = 3. El sábado en la noche la tienda hace un pedido que le
entregan el lunes en el momento de abrir la tienda. La tienda hace un pedido que
le entregan el lunes en el momento de abrir la tienda. La tienda usa la siguiente
política (s, S)1 para ordenar: si el número de cámaras en inventario al final de la
semana es menor que s =1 (no hay cámaras en la tienda), ordenar (hasta) S=3.
De otra manera, no coloca la orden (si se cuenta con una o más cámaras en el
almacén, no se hace el pedido). Se supone que las ventas se pierden cuando la
demanda excede el inventario. Entonces, {X1} para t = 0, 1,.. Es un proceso
estocástico de la forma que se acaba de describir. Los estados posibles del
proceso son los enteros 0, 1, 2, 3 que representan el número posible de cámaras
en inventario al final de la semana.
Así, dado que tiene una cámara al final de una semana, la probabilidad de que no
haya cámaras en inventario dos semanas después es 0.283; es decir, De igual
manera, dado que se tienen dos cámaras al final de una semana, la probabilidad
de que haya tres cámaras en el almacén dos semanas después es 0.097; esto es,
La matriz de transición de cuatro pasos también se puede obtener de la siguiente
manera:
P (4) = P4 = P (2) * P (2)
Así, dado que queda una cámara al final de una semana, 0.282 es la probabilidad
de que no haya cámaras en inventario 4 semanas más tarde; es decir, De igual
manera, dado que quedan dos cámaras en el almacén final de una semana, se
tiene una probabilidad de 0.171 de que haya tres cámaras en el almacén 4
semanas después; esto es,
Probabilidades de transición estacionaria de estados estables.
Teorema
Sea P la matriz de transición de una cadena de M estados. Existe entonces un
vector tal que
Se establece que para cualquier estado inicial i.
El vector a menudo se llama distribución de estado estable, o también distribución
de equilibrio para la cadena de Markov. Para encontrar la distribución de
probabilidades de estacionario para una cadena dada cuya matriz de transición es
P, según el teorema, para n grande y para toda i, (1)
Como Pij (n + 1) = (renglón i de Pn) (columna j de P), podemos escribir
(2)
Ejemplo:
Suponga que toda la industria de refrescos produce dos colas. Cuando una
persona ha comprado la cola 1, hay una probabilidad de 90 % de que su siguiente
compra se de cola 1. Si una persona compró cola 2, hay un 80 % de
probabilidades que su próxima compra sea de cola 2.
Entonces:
Al reemplazar la segunda ecuación por la condición,
Obtenemos el sistema
Al despejar resulta que Por lo tanto, después de largo tiempo, hay probabilidad 2/3
de que una persona dada compre cola 1 y 1/3 de probabilidad de que una persona
compre cola 2.
Tiempos de primer paso.
Con frecuencia es conveniente poder hacer afirmaciones en términos de
probabilidades sobre el número de transiciones que hace el proceso al ir de un
estado i a un estado j por primera vez. Este lapso se llama tiempos de primer paso
al ir del estado i al estado j. cuando J=i, esta tiempo de primer paso es justo el
número de transiciones hasta que el proceso regresa al estado inicial i. En este
caso, el tiempo de primer paso se llama tiempo de recurrencia para el estado i.
Para ilustrar estas definiciones, reconsidérese el ejemplo siguiente:
Una tienda de cámaras tiene en almacén un modelo especial de cámara que se
puede ordenar cada semana. Sean D1, D2, … las demandas de esta cámara
durante la primera, segunda, … , semana, respectivamente. Se supone que las Di
son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que tienen
una distribución de probabilidad conocida. Sea X0 el número de cámaras que se
tiene en el momento de iniciar el proceso, X1 el número de cámaras que se tienen
al final de la semana uno, X2 el número de cámaras al final de la semana dos, etc.
Suponga que X0 = 3. El sábado en la noche la tienda hace un pedido que le
entregan el lunes en el momento de abrir la tienda. La tienda hace un pedido que
le entregan el lunes en el momento de abrir la tienda. La tienda usa la siguiente
política ( s, S)1 para ordenar : si el número de cámaras en inventario al final de la
semana es menor que s =1 (no hay cámaras en la tienda), ordenar (hasta) S=3.
De otra manera, no coloca la orden (si se cuenta con una o más cámaras en el
almacén, no se hace el pedido). Se supone que las ventas se pierden cuando la
demanda excede el inventario. Entonces, {X1} para t = 0, 1,.. Es un proceso
estocástico de la forma que se acaba de describir. Los estados posibles del
proceso son los enteros 0, 1, 2, 3 que representan el número posible de cámaras
en inventario al final de la semana.
Donde Xt es el número de cámaras en inventario al final de la semana t y se
comienza con, Suponga que ocurrió lo siguiente:
En este caso, el tiempo de primer paso para ir al estado 3 al estado 1 es de 2
semanas, el tiempo de primer paso para ir del estado 3 al estado 0 es de 3
semanas y el tiempo de recurrencia del estado 3 es de 4 semanas.
En general, los tiempos de primer paso son variables aleatorias y, por lo tanto,
tienen una distribución de probabilidad asociada a ellos. Estas distribuciones de
probabilidad dependen de las probabilidades de transición del proceso. En
particular, denota la probabilidad de que el tiempo de primer paso del estado i al j
sea igual a n. Se puede demostrar que estas probabilidades satisfacen las
siguientes relaciones recursivas:
Entonces se puede calcular la probabilidad de un tiempo de primer paso del
estado i al j en n pasos, de manera recursiva, a partir de las probabilidades de
transición de un paso. En el ejemplo, la distribución de probabilidad de los tiempos
de primer paso del estado 3 al estado 0 se obtiene como sigue:
Para i y j fijos, las son números no negativos tales que
Esta suma puede ser menor que 1, lo que significa que un proceso que el iniciar
se encuentra en el estado i puede no llegar nunca al estado j. Cuando la suma es
igual a 1, las pueden considerarse como una distribución de probabilidad para la
variable aleatoria, el tiempo de primer paso.
Para obtener el tiempo esperado de primer paso del estado i al estado j. Sea, que
se define como:
Entonces satisface, de manera única, la ecuación:
Cuando i=j, se llama tiempo esperado de recurrencia.
Al aplicarlo al ejemplo del inventario, estas ecuaciones se pueden usar para
calcular el tiempo esperado hasta que ya no se tengan cámaras en el almacén,
suponiendo que el proceso inicia cuando se tienen tres cámaras; es decir, se
puede obtener el tiempo esperado de primer paso . Como todos los estados son
recurrentes, el sistema de ecuaciones conduce a las expresiones
La solución simultánea de este sistema es
De manera que el tiempo esperado hasta que la tienda se queda sin cámaras es
de 3.50 semanas.
Caso de Aplicación.
Aplicación a la administración: Planeación de Personal.
El análisis de transición puede ser útil al planear satisfacer las necesidades de
personal. Muchas firmas emplean trabajadores de diferentes niveles de
clasificación dentro de la misma categoría de trabajo. Esto es común para
personal de confianza, oficinistas, obreros calificados, no calificados y personal
profesional. La firma debe tener el número de empleados en cada nivel de
clasificación para proporcionar la oportunidad de promoción adecuada, cumplir
con las habilidades necesarias para el trabajo y controlar la nómina. Una
planeación de personal a largo plazo apropiada requiere que se considere el
movimiento de personas tanto hacia arriba en el escalafón de clasificación como
hacia afuera de la organización. El análisis de Markov puede ayudar en este
esfuerzo de planeación.
El movimiento de personal a otras clasificaciones puede considerarse como una
cadena de Markov. Se supone que hay tres clasificaciones; el grado 1 es la más
baja. Además, los descensos se consideran raros y se omiten. El estado “salen”
es absorbente, el cual incluye renuncias, ceses, despidos y muertes. Por
supuesto, todos los empleados finalmente alcanzan este estado.
Las transiciones del grado 1 al grado 2 y del grado 2 al grado 3 representan
promociones. Como transiciones de probabilidad, están controladas por la firma,
puede establecerse el nivel que la firma determine que es necesario para cumplir
sus objetivos. Como ejemplo, supóngase que la firma tiene en este momento 30
empleados del 3, 90 empleados del grado 2 y 300 empleados del grado 1 y que
desea mantener este nivel de empleados durante el próximo año. Por experiencia,
se espera que salgan el 30 % de los empleados de grado 1 al año, el 20 % de los
empleados de grado 2 y el 10 % de aquellos que están en el grado 3. Si la política
es contratar sólo en los niveles de clasificación más bajos, cuántos se deben
contratar y cuántos se deben promover el siguiente año para mantener estables
los niveles ?.
Este problema puede resolverse sin el análisis de Markov, pero el modelo es útil
para ayudar a conceptualizar el problema. Como se trata sólo de un ciclo, se usa
el análisis de transición. El análisis comienza con el grado más alto. No se hacen
promociones pero el 10 %, o sea, 3, sale. Todos ellos deben de reemplazarse por
promociones del grado 2. En el nivel de clasificación, el 20 % sale y se deben
promover 3, con una pérdida de 21. Esto se debe compensar por promoción del
grado 1. Al pasar al grado 1, el 30 % sale y 21 deben promoverse, lo cual una
pérdida total de 111. Por tanto, el siguiente año se deben contratar 111 empleados
del nivel 1.
En este ejemplo se derivan algunas tasas de transición a partir de consideraciones
externas.
EJERCICIOS TIPO EXAMEN
2012 - 1
Un estudio reciente realizado en nuestra la ciudad muestra que el 2% de los habitantes que viven
en el área metropolitana se mudan a los suburbios en un período de un año, en tanto que el 1% de
los que viven en los suburbios se mudan al área metropolitana en el mismo período. Suponga que
esta situación queda modelada como un proceso de Markov con dos estados: Ciudad (los que
viven en el área metropolitana) y Suburbios.
a.
b.
c.
Siguiendo los pasos requeridos escriba la matriz de probabilidades de transición
Calcule las probabilidades de estado estable
En un área metropolitana específica, 40% de la población vive en la ciudad y 60% vive
en los suburbios. ¿Qué cambios en la población resultan de las probabilidades de
estado estable para esta área metropolitana?
………………………………………………………………………………………………………………
Un cazador le dispara a un pato independientemente de cuantos patos vuelen juntos; la
probabilidad de acertar (es decir disparar y cazar un pato) es de 0.2. La cacería termina cuando el
cazador haya cazado 2 patos. Suponga que esta situación queda modelada como un proceso de
Markov.
a. Siguiendo los pasos requeridos escriba la matriz de probabilidades de transición
b. Cuántos disparos debe hacer el cazador antes de lograr el límite, si tiene cero patos y
cuándo tenga un pato.
………………………………………………………………………………………………………………
Un estudio demuestra que el número de clientes que están en el momento ocupando la estación
afecta la probabilidad de una nueva llegada, ver tabla anexa. Si se supone que la probabilidad de
servicio es 0.5 formular esta situación como una cadena de Markov, describiendo una a una las
probabilidades de la matriz de transición, de lo contrario la cadena no tiene valor.
Número de clientes en
la estación
0
1
2
3
Probabilidad de una
nueva llegada
0.4
0.4
0.1
0.1
…………………………………………………………………………………………………………
…….
En una oficina de representaciones hay tres agentes viajeros para visitar a los clientes.
Las correrías empiezan los lunes pero antes deben sostener una reunión conjunta. Sólo
pueden salir de viaje dos de los agentes pues siempre debe permanecer uno en la oficina.
Cuando un agente sale de correría puede demorarse en ella exactamente una o dos
semanas con probabilidad 2/3 y 1/3 respectivamente. Al iniciar una correría siempre salen
los dos agentes disponibles. Escriba la matriz de transición correspondiente a la situación
planteada.
…………………………………………………………………………………………………………
……
Un taxi puede estar en buen estado (1) o en reparación (0). En el 95% de los casos el taxi
permanece en buen estado de un día a otro y cuando está en reparación en el 30% de las veces
no se logra reparar en un día. Cuando el taxi está funcionado los gastos de operación diario son de
$1500 y cuando está en reparación los costos son de $2000 por día.
a.
b.
c.
Siguiendo todos los pasos requeridos, elabore la matriz correspondiente.
Halle los costos directos esperados por día.
Cuánto debería ganar el taxista durante un día para que su sueldo sea al menos el
doble del salario mínimo. [Ayuda: considere el salario mínimo como $450000]
…………………………………………………………………………………………………………
…….
Hace mucho tiempo en una galaxia lejana existió un planeta en el que el clima de
cualquier día dependía sólo del clima del día anterior. Por ejemplo, la probabilidad de que
lloviera hoy dependería sólo de lo sucedido ayer. Existen sólo tres tipos de clima en ese
planeta: despejado, lluvia y nieve. Enseguida se presenta la matriz de transición diaria
para estos tipos de clima:
Despejado
Lluvia
nieve
Despejado
0.5
0.4
0.3
Lluvia
0.
0.4
0.3
Nieve
0.2
0.2
0.4
a.
Calcule las probabilidades de estado para pasado mañana siendo que hoy
llovió.
b.
Cuál es la probabilidad de que siga lloviendo un mes después
c.
Cuáles son las probabilidades de equilibrio para cada tipo de clima
…………………………………………………………………………………………………………
……
Suponga que el estado del tiempo un día cualquiera depende de las condiciones del
tiempo de los dos días anteriores. Esto es, si ayer llovió y hoy también, la probabilidad de
que mañana llueva es 0.7. Si hoy llovió, pero no ayer, mañana lloverá con probabilidad
0.5. Si hoy no llovió, pero ayer si, mañana lloverá con probabilidad 0.4. Si en los últimos
días no ha llovido, lloverá mañana con probabilidad 0.2.
a.
Siguiendo todos los pasos requeridos a la elaboración de la cadena
correspondiente, elabore la matriz de transición correspondiente.
b.
Si el lunes y el martes de esta semana llovió, cuál es la probabilidad de que
llueva el jueves
c.
Cuál es la probabilidad de que llueva en los próximos cuatro días, si hoy está
lloviendo
…………………………………………………………………………………………………………
……
Se tiene un proceso de producción donde cada artículo debe pasar por dos etapas. Al final de cada
etapa los artículos se desechan con probabilidad 0.05 o regresan para rehacerlos con probabilidad
0.1 o pasan a la etapa siguiente. El tiempo de operación en cada etapa es de 1 hora-hombre y 2
horas-hombre respectivamente con un costo promedio de $144/hora; los artículos desechados
cuestan $1 cada uno.
a. Siguiendo todos los pasos requeridos a la elaboración de la cadena, elabore la
matriz de transición correspondiente
b. Halle el número esperado de pasos para que el producto sea terminado; y para
que el producto sea desechado.
c. Halle el porcentaje de piezas buenas que terminan
d. Luego de pasar la etapa 1,¿cuál es el porcentaje de piezas terminadas?
e. Halle el costo esperado de producción de cada artículo
f. Halle el costo esperado de producción de cada artículo bueno
…………………………………………………………………………………………………………
…..
Un consorcio ha ganado una licitación para construir una carretera en cierta zona
volcánica del país. El constructor sabe que el polvo volcánico obstruirá los filtros de las
máquinas de las máquinas con mucha rapidez y provocará que los camiones dejen de
funcionar. Los filtros se revisan todos los días y se clasifican como recién limpiados,
parcialmente obstruidos o totalmente obstruidos. Experiencias anteriores han mostrado
que un filtro que se acaba de limpiar tiene una probabilidad de 0.1 de permanecer limpio y
una probabilidad de 0.8 de quedar parcialmente obstruido. Un filtro que ya está
parcialmente obstruido tiene igual probabilidad de quedar parcialmente o totalmente
obstruido. Para poder utilizar un camión que tiene un filtro totalmente obstruido éste se
debe limpiar primero.
a. Siguiendo todos los pasos requeridos a la elaboración de la cadena
correspondiente, elabore la matriz de transición correspondiente.
b. Si un camión deja de operar, esto le cuesta a la compañía $100 por el tiempo
perdido de trabajo y $20 para poder limpiar el filtro. ¿Cuánto le costará a la
compañía seguir una política de no limpiar los filtros sino hasta que se detengan
los camiones?
…………………………………………………………………………………………………………
…….
Suponga las elecciones que se efectúan en cierto país cada dos años. Se ha observado en el
estado de Cumarca que un electorado que es liberal (vota liberal) puede votar por los
conservadores en una elección si y sólo si en la elección anterior se abstuvo de votar (mayoría
silenciosa); igual cosa sucede con los conservadores. Suponga S 1 si el elector vota liberal, S2 si
vota conservador y S3 si se abstiene. La experiencia en Cumarca muestra que un liberal se
abstendrá la mitad del tiempo en las próximas elecciones, un conservador se abstendrá la cuarta
parte del tiempo y un abstencionista de las elecciones pasadas tiene probabilidad de votar igual
por cualquier partido en las próximas elecciones.
a. Siguiendo todos los pasos requeridos a la elaboración de la cadena
correspondiente, elabore la matriz de transición correspondiente.
b. Encuentre la probabilidad de que una persona que vota liberal ahora, se abstenga
dentro de 2 elecciones.
c. En una elección dada, la mitad de la población vota liberal, la cuarta parte
conservador y el resto se abstiene. ¿Qué proporciones se pueden esperar en las
próximas elecciones?
…………………………………………………………………………………………………………
..
Una fábrica tiene dos máquinas y una cuadrilla de reparación. Suponga que la
probabilidad de que una máquina se dañe un día cualquiera es “alfa”. Suponga, además,
que si la cuadrilla de reparación está trabajando en una de las máquinas, la probabilidad
que la repare en un día es “beta”. Sea Xn el número de máquinas en operación al final
del n-ésimo día. Asuma que el comportamiento de {Xn} puede modelarse como una
cadena de Markov. Escriba la matriz de transición correspondiente a la situación
planteada.
Este problema es un reto:
“Aplicando la teoría de Cadenas de Markov encuentre la probabilidad de que D esté
diciendo la verdad en el siguiente problema: A, B, C y D dicen la verdad cada uno de ellos
con una probabilidad de 1/3 (independientemente), y A afirma que B niega que C declara
que D es un embustero” Adaptado de Parzen 1968
…………………………………………………………………………………………………………
…….
En una investigación de mercados se comprobó que el 90% de las personas que compraban la
marca X de cierto producto volvían a comprar la misma marca en la próxima semana, mientras que
el 20% de los que no la habían comprado lo hacían en la próxima oportunidad.
a.
Siguiendo los pasos requeridos describa esta situación como una cadena de
Markov
b. ¿Cuál será el porcentaje de consumidores de la marca X un mes después, si
inicialmente la probabilidad de adquirir la marca Y era de 0.3?
c. ¿Cuál es el vector de estado estable? Interpretarlo
…………………………………………………………………………………………………………
……
En un determinado proceso de producción, cada artículo pasa por dos etapas de fabricación. Al
final de cada etapa los artículos se inspeccionan y se desechan totalmente con probabilidad 0.3; se
desechan parcialmente para regresarlos y rehacerlos con probabilidad 0.2 o pasan a la etapa
siguiente con probabilidad 0.5. Realizando todo el proceso de formulación de una resolver esta
situación C.M,
………………………………………………………………………………………………………………Tres
niños A, B y C juegan con una pelota de la siguiente manera: si A tiene la pelota, siempre se la
pasa a B y B siempre se la pasa a C, pero este se la pasa a A o B con igual probabilidad.
Encontrar:
a. Siguiendo los pasos requeridos defina el proceso de Markov correspondiente.
b. Qué pasara tres lanzamientos después, sabiendo que inicialmente C tiene la
pelota.
c. Las probabilidades límites.
…………………………………………………………………………………………………………
……
Una maquina puede estar en buen estado (1) o en reparación (0). En el 85% de los casos la
máquina permanece en buen estado de un día a otro y cuando está en reparación en el 20% de las
veces no se logra reparar en un día. Cuando la máquina está funcionado los gastos de operación
diario son de $2500 y cuando está en reparación los costos son de $1000 por día.
a. Siguiendo todos los pasos requeridos, elabore la matriz correspondiente.
b. Halle los costos directos esperados por día.
c.
Cuánto utilidad debería proporcionar la máquina durante un día para que la ganancia
mensual sea al menos el triple del salario mínimo. [Ayuda: considere el salario mínimo
como $450.000]