Cálculo del campo eléctrico

CALCULO DEL
CAMPO
ELÉCTRICO
Julio Martín Pérez
Giorgio Remeri
ÌNDICE

LEY DE GAUSS

INTRODUCCION
CONCEPTO DE FLUJO
ENUNCIADO CUANTITATICO DE LA LEY DE GAUSS

CÁLCULO DEL CAMPO MEDIANTE LA LEY DE GAUSS



CAMPO CREADO POR UN PLANO INFINITO
CAMPO CREADO POR UNA CORTEZACILÍNDRICA

CARGA Y CAMPO EN LA SUPERFICIE DE CONDUCTORES






PRIMERA EXPERIENCIA
SEGUNDA EXPERIENCIA
CÁLCULO EN UNA HOJA INFINITA CARGADA
CÁLCULO EN UN BLOQUE CONDUCTOR
CÁLCULO PARA UN CONDUCTOR DE FORMA ARBITRARIA
LEY DE GAUSS
INTRODUCCIÓN
PARA CALCULAR EL CAMPO EN UN PUNTO DEL ESPACIO SE USA POR
DEFINICIÓN LA SIGUIENTE EXPRESIÓN:
E  K
dq
r
2
r
PERO HAY CASOS QUE EL CAMPO SE PUEDE CALCULAR MEDIANTE LA LEY
DE GAUSS; QUE PERMITE HACERLO FÁCILMENTE PARA DISTRIBUCIONES
SIMÉTRICAS DE CARGA TALES COMO CORTEZAS ESFÉRICAS E HILOS
INFINITOS.
EL CALCULO DEL CAMPO ELÉCTRICO MEDIANTE LA LEY DE GAUSS ESTA
RELACIONADO CON LAS LÍNEAS DE CAMPO ELÉCTRICO. ESTAS SALEN
DE LAS CARGAS POSITIVAS Y ENTRAN EN LAS CARGAS NEGATIVAS.
En la imagen al lado tenemos
representado un dipolo eléctrico
encerrado por una superficie.
como podemos ver el numero de
líneas que abandonan la
superficie es igual al numero de
líneas que entran.
En la imagen al lado tenemos
representado una superficie que incluye
a las cargas
“2q y – q” . El número de lineas de
campo que terminan en – q; o bien salen
de la superficie y vuelven a entrar o no
pasan a través de la superficie.
PODEMOS POR LO TANTO DEFINIR UN ENUNCIADO CUALITATIVO DE LA LEY
DE GAUSS:
“el numero neto de líneas que sale por cualquier superficie
que encierra las cargas es proporcional a la carga encerrada
dentro de dicha superficie.”
CONCEPTO DE FLUJO ELÉCTRICO
EL FLUJO ELÉCTRICO SE DEFINE COMO EL NÚMERO DE LÍNEAS DE
CAMPO QUE ATRAVIESAN UNA SUPERFICIE.
LA EXPRESIÓN MATEMÁTICA QUE LO DEFINE ES LA SIGUIENTE:
  E S
DONDE “E” ES EL MÓDULO DEL CAMPO Y “S” ES EL
VECTOR SUPERFICIE QUE TIENE COMO MÓDULO EL
ÁREA DEL OBJETO EN CONSIDERACIÓN. LAS UNIDADES
DEL FLUJO SON “N m2/C”.
En la imagen al lado, vemos que las líneas de
campo son perpendiculares a la superficie y la
expresión del flujo es la siguiente:
  E S
En esta figura podemos ver que las
líneas de campo forman un Angulo 
con el vector superficie por lo tanto la
expresión del flujo es la siguiente:
s1
s2
  E  S  cos 
PODEMOS CONSIDERAR QUE LAS LÍNEAS DE CAMPO QUE ATRAVISAN LA
SUPERFICIE 1 ES EL MISMO QUE ATRAVIESAN LA SUPERFICE 2; Y SE
CUMPLE LA SIGUIENTE RELACIÓN:
S 1  S 2  cos 
ENUNCIADO CUANTITATIVO DE LA LEY DE
GAUSS
SI CONSIDERAMOS UNA SUPERFICIE ESFERICA DE RARIO R Y CENTRO EN
LA CARGA +q EL CAMPO EN UN PTO. CUALQUIERA ES: E=K Q/ R2.
DE CONSECUENCIA EL FLUJO A TRAVÉS DE ESTA
SUPERFICIE ESFÉRICA ES:
 

S
E  dS  E  dS
S
SI LA SUPERFICIE ES IGUAL A 4 R ;SE
OBTIENE QUE   K  Q  4  R 2  4  KQ
2
R
2
PODEMOS ENUNCIAR QUE :” EL FLUJO NETO A TRAVÉS DE CUALQUIER
SUPERFICIE ES IGUAL A 4 R VECES LA CARGA NETA ENCERRADA
POR LA SUPERFICIE Y ES INDEPENDIENTE DEL RADIO.”
2
ES COSTUMBRE ESCRIBIR LA Cte. DE COULOMB EN FUNCION DE LA Cte. DE
PERMITIVIDAD DEL VACIO:
k 
1
4  0
CON ESTA NOTACIÓN LA LEY DE GAUSS QUEDA:
  4  KQ 
4 Q
4  0
SIMPLIFICANDO:
 
Q
0
PODEMOS POR LO TANTO IGUALAR LAS EXPRESIONES Y NOS QUEDA LA
EXPRESION DE LA LEY DE GAUSS:
E

dS


S
Q
0
CÁLCULO DEL CAMPO ELÉCTRICO
MEDIANTE LA LEY DE GAUSS
PARA CALCULAR EL CAMPO MEDIANTE ESTA LEY, EN PRIMER LUGAR
TENEMOS QUE DETERMINAR UNA SUPERFICIE GAUSSIANA QUE ES
IMAGINARIA Y CERRADA, DE MANERA QUE EL CAMPO SEA CONSTANTE Y
QUE SEA PARALELO O PERPENDICULAR AL VECTOR SUPERFICIE.
HAY QUE CONSIDERAR QUE SI EL CAMPO ES PERPENDICULAR AL VECTOR
SUPERFICE, ES PRODUCTO ESCALAR SERÁ CERO Y SI ES PARALELO, EL
PRODUCTO ESCALAR SERÁ IGUAL AL PRODUCTO DE LOS MÓDULOS YA
QUE EL COSENO DE 90º ES IGUAL A CERO.
CALCULO DEL CAMPO ELÉCTRICO CREADO POR
UN PLANO INFINITO CARGADO
La figura muestra un plano in finito de carga con densidad superficial uniforme(
 ).
Por simetría el campo eléctrico es perpendicular al plano y teniendo el mismo
módulo pero sentido opuesto. Como superficie gaussiana se escoge un cilindro en
cada parte se han dibujado los vectores del campo (E) y de superficie (S).
El flujo en la parte curvada es cero a causa de que los vectores son
perpendiculares; mientras que en las superficies laterales del plano el flujo es:
  E S
El valor del flujo si tomamos en consideración un elemento infinitesimal de
superficie dS según la definición es:
 
 E dS
s1
1

 E  dS
s2
2
 2 ES
AHORA SI APLICAMOS LA LEY DE GAUSS CONSIDERANDO LO SIGUIENTE;
 
Q
0
; Q    S ; 
 S
0
Y LUEGO IGUALAMOS LAS 2 EXPRESIONES Y SIMPLIFICAMOS QUEDA:
 S
0
 2E  S
E 

2  0
CALCULO DEL CAMPO ELÉCTRICO CREADO POR
UNA CORTEZACILÍNDRICA
r
L
R
La figura muestra un cilindro de longitud L cargado con densidad superficial
uniforme  . Como se trata de un cilindro el campo eléctrico E tiene direccion
radial. La superficie gaussiana que se escoge es otro cilindro más grande y en cada
parte se han dibujado los vectores del campo (E) y de superficie (S).
El flujo es nulo en las superficies laterales del cilindro a causa de que el vectror
superficie y el campo son perpendiculares.
Si consideramos un elemento infinitesimal de superficie el flujo sería igual a:
 
 E dS
s
SIENDO 2  RL
 E  dS  E  2  RL
s
LA SUPERFICIE
DEL CILINDRO.

AHORA SI APLICAMOS LA LEY DE GAUSS CONSIDERANDO LO SIGUIENTE;
 
Q
0
; Q    S ; 
 S
0
SIENDO
S  2  RL
SI SUSTITUIMOS, IGUALAMOS Y LUEGO SIMPLIFICAMOS QUEDA
LA EXPRESIÓN DEL CAMPO:
2  RL
0
 E  2 r  L
E 
R
r  0
A partir de la ley de Gauss podemos
demostrar que en el equilibrio
electroestático:
Cualquier carga eléctrica neta sobre un conductor
reside en la superficie del mismo.
 El campo eléctrico en el exterior y junto a la
superficie de un conductor es perpendicular a la
misma y tiene por valor:
σ es la densidad de carga

superficial local en dicho punto
E 
del conductor.
0

o vectorialmente hablando:
(Teorema de Coulomb). “n” es

el vector unitario en la dirección
E 
n
de la normal al conductor en el
0
punto considerado.
Primera experiencia:


Consideremos primeramente una superficie gaussiana que esté justo
en el interior de la superficie real de un conductor en equilibro
electroestático.
El campo eléctrico es igual a cero en todos los puntos dentro del
conductor, por tanto, será también cero en todos los puntos de la
superficie gaussiana que hemos seleccionado como ejemplo.
Primera experiencia:

Puesto que E n  0 en todos los puntos de la superficie gaussiana, el
flujo neto integral  E n dA a través de la superficie debe ser nulo.
Según la ley de Gauss este flujo es igual a 1  veces la carga neta en
el interior de la superficie.
0

Debido a ello no puede existir ninguna carga neta dentro de ninguna
superficie que esté completamente en el interior del conductor,
solamente, si existiera, solo sería posible en la superficie del mismo.
Segunda experiencia:

Ahora calcularemos el campo eléctrico justo en la parte exterior de la
superficie de un conductor, considerando una porción de superficie del
mismo, tan pequeña que se pueda considerar plana. De la misma manera
llamaremos a su densidad σ, con una variación despreciable en la parte
seleccionada. La forma que le daremos será la de cilindro con una cara
situada justamente en el exterior, paralela a su superficie, y la otra justo en
el interior del conductor.
Segunda experiencia:



En la superficie del conductor en
equilibrio, el campo eléctrico debe
ser perpendicular a la superficie:
si existiese una componente
tangencial de E, la carga libre
sobre el conductor debe moverse
hasta que la componente se
considere nula.
En la superficie del conductor en equilibrio, el campo eléctrico
debe ser perpendicular a la superficie: si existiese una
componente tangencial de E, la carga libre sobre el conductor
debe moverse hasta que la componente se considere nula.
Dado que una de las caras de la caja esta justamente en el
exterior del conductor, podemos tomar E de modo que sea
perpendicular a dicha cara. La otra cara de la caja está en el
interior del conductor en donde E = 0.
Segunda experiencia:


A través de la superficie cilíndrica de la caja no existe ningún flujo
dado que E es tangente a esta superficie.
Debido a lo anterior obtenemos que el flujo que sale de la caja
es:
E n es el campo justo en el
n
exterior del conductor.
A es el área de la cara de la caja.
La carga neta en el interior de la superficie gaussiana es σA. La
E A

ley de Gauss nos da:
o lo que es lo mismo:
 . neto . 

E n dA  E n 
En 

0
A
0
Cálculo en una hoja infinita
cargada:


En este caso podemos ver que las líneas de flujo son
perpendiculares a la hoja y su sentido es alejarse de
ella por ambos lados. Creamos una superficie
gaussiana en forma de caja con una cara situada a la
derecha de la hoja y otra a la izquierda de la misma,
el flujo neto a través de esta superficie es E n 2 A ,
Siendo A el área de cada cara.
1
Haciendo que este flujo neto sea igual a  0 veces la
carga neta del interior de la caja σA, obtenemos la
siguiente ecuación para el campo eléctrico en una
hoja infinita:
1 
En  (
)
0
2
Cálculo en un bloque conductor:

La siguiente figura muestra una lámina o bloque conductor
grande:

Si situamos una carga neta sobre el
conductor, esta se distribuirá por igual en
ambas caras. Una lámina conductora es
equivalente a dos hojas conductoras, o
sea, el campo eléctrico debido a cada
una de estas hojas es:
1
2
(
0
)
Cálculo en un bloque conductor:
Entre las hojas el campo neto vale cero, puesto que los
campos tienen sentidos opuestos y se contrarrestan. A
cualquier lado de ambas hojas los dos campos se suman,
dando un valor de 
para el campo eléctrico neto.
0

Las
líneas de flujo que salen del bloque conductor son el
doble de densas que las correspondientes a una simple hoja
cargada si las densidades de carga son iguales.
* Nota: Para producir densidades
de carga iguales en un bloque
conductor grande y en una hoja
plana grande, se necesita el doble
de carga en el bloque.
Cálculo para un conductor de
forma arbitraria:


Consideremos el punto P justo en el exterior
de la superficie de un conductor. Podemos
considerar la carga situada en la superficie de
un conductor como compuestas por dos
partes, una seria la carga en la vecindad
inmediata del punto P y la otra todo el resto
de la carga.
Puesto que el punto P está muy cercano a la superficie, la carga de la
vecindad inmediata se asemeja a la de un plano infinito. Produce un
campo de magnitud 1 2 (  ) en P, y un campo de igual valor justo en el
interior de la superficie conductora y señalando en el sentido que le
aleja de la superficie. El resto de la carga sobre el conductor (o en los
puntos donde se encuentre la carga) debe producir un campo 1 2 (  )
dentro del conductor señalando hacia la superficie de modo que el
campo neto en el interior del conductor sea cero.
0
0
Cálculo para un conductor de
forma arbitraria:

Mientras que el campo debido a esta segunda parte de la carga se
equilibra con el campo en el interior del conductor, se suma al
producido en el exterior del conductor por la carga vecina, dando lugar
al siguiente campo neto en el exterior del conductor:
 1 
 
1  


2   0 
2   0 
0
*Nota: La parte de campo debida a las cargas lejanas
tiene el mismo valor y dirección en los puntos que están
muy juntos al interior o al exterior de la superficie.