41 2.9 Ejercicios propuestos y por tanto, la solución de la ecuación original es y =x+ 2.9 1 . c−x Ejercicios propuestos 1. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales separables: (a) (b) (c) 1 2 ′ 2 xy y = 1 + x . 3y ′ = 4x . y2 y ′ + y = y(sen(x) (d) y ′ = y x2 −2x+1 y+3 + 1). . (e) ex+y y ′ = 2x. 2. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas: (a) y ′ = x y + xy . (b) (x + y)y ′ = y. (c) x3 y ′ = x2 y − y 3 . (d) x2 y ′ = x2 + y 2 . (e) y ′ = x2 +xy+y 2 . x2 3. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales casi–homogéneas: (a) y ′ = (b) y ′ = (c) y ′ = (d) y ′ = (e) y ′ = y−3 x+y−1 . x−y+2 x−y+3 . 3x+y−1 6x+2y−3 . 3x−y−9 x+y+1 . 2 ( x−y+1 2x−2y ) . 4. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales exactas: (a) (2y 2 + yexy )dx + (4xy + xexy + 2y)dy = 0. 42 Métodos elementales de integración (b) y + ex + xy ′ = 0. (c) (d) x x2 +y 2 1 x +y + + y y ′ = 0. x2 +y 2 (3y 2 + x)y ′ = 0. (e) cos(4y 2 )dx − 8xysen(4y 2 )dy = 0. 5. En cada uno de los siguientes problemas comprueba que la ecuación no es exacta, calcula un factor de integración y encuentra una expresión para la solución de la ecuación diferencial original. (a) x + y + y ′ = 0. (b) (2y 2 − 9xy)dx + (3xy − 6x2 )dy = 0. (c) 1 + (3x − e−2y )y ′ = 0. (d) (2xy 2 + 2xy)dx + (x2 y + x2 )dy = 0. (e) (6xy + 2y + 8)dx + xdy = 0. 6. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales lineales: (a) 2y ′ + 3y = e2x . (b) y ′ + 2y = x. 2 (c) y ′ + x1 y = 3e−x . (d) (x2 − x − 2)y ′ + 3xy = x2 − 4x + 4. (e) y ′ − xy = 3x. 7. Resuelve las siguientes ecuaciones de Bernoulli: (a) x3 y ′ + x2 y = 2y −4/3 . (b) 2x2 y ′ − xy = y 3/2 . (c) x2 y ′ − xy = y 3 . (d) x4 y ′ + x3 y = y −3/4 . (e) 2x3 y ′ + 4x2 y = −5y 4 . 8. Resuelve las siguientes ecuaciones de Riccati: (a) y ′ = (b) y′ = (c) y ′ = 1 2 y − x1 y + 1; x2 − x1 y 2 + x2 y. 1 2 1 2 xy + xy − x; Sugerencia: Una solución es y(x) = x. Sugerencia: Una solución es y(x) = 1. 43 2.9 Ejercicios propuestos (d) y ′ = 1 + x2 − 2xy + y 2 ; (e) y ′ = 2cos2 x sen2 x + 2cosx + Sugerencia: Una solución es y(x) = x. y2 ; Sugerencia: Una solución es y(x) = sen(x). 9. Coeficientes discontinuos. En ocasiones el coeficiente p(x) de una ecuación lineal, y ′ +p(x)y = q(x), no es continuo, sino que posee una discontinuidad de salto. Afortunadamente, es posible obtener una solución razonable. Por ejemplo, se considera el problema de valor inicial: y ′ + p(x)y = x, donde p(x) = ½ y(0) = 1, 1, 0 ≤ x ≤ 2, 3, x > 2. (a) Encuentra la solución general para 0 ≤ x ≤ 2. (b) Escoge la constante de la solución de (a) de tal manera que se satisfaga la condición inicial. (c) Halla la solución general para x > 2. (d) Escoge ahora la constante de la solución general de (c), de tal manera que la solución de (b) y la de (c) coincidan en x = 2. Uniendo las dos soluciones se puede obtener una función continua que satisfaga la ecuación diferencial excepto en x = 2, donde su derivada no está definida. (e) Traza la gráfica de la solución desde x = 0 hasta x = 5. 10. Teniendo en cuenta los distintos tipos de ecuaciones diferenciales vistos la clasificación las siguientes ecuaciones: (a) (x4 − 6xey )y ′ = 6ey − 4x3 y. (b) y ′ = 8x3 − 3y. (c) yy ′ = x2 − y 2 . (d) (4y − 2x + 3)y ′ = 2y − x − 4. (e) y 2 + 2xy − x2 y ′ = 0. (f) 5x − y + 4 + (x − 5y − 4)y ′ = 0. (g) x2 y ′ + x2 y + 2xy − 1 = 0. 44 Métodos elementales de integración (h) 12x2 ey − sen(x − y) + (4x3 ey + sen(x − y))y ′ = 0. (i) 6x − 2yy ′ = 0. (j) (3y 5 + 2x)y ′ = y. (k) (x + 2)y ′ = y + 2(x + 2)2 (x + 3). (l) y ′ = xy 2 − 2x2 y + x3 + 1. (m) 2x − 2y + 4 = (4x − 4y + 6)y ′ . (n) (x2 y − 2y + 3x + xy + 3x2 − 6)y ′ = 1. 2 (o) (2xy + ey )y ′ = 1. (p) 3y − x + xy ′ = 0. (q) x2 y ′ = y 2 + xy. (r) y ′ = xy 2 + (1 − 2x)y + x − 1. (s) x2 y ′ = xy + ex y 3 . 11. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: (a) xy ′ − y − xcos( xy ) = 0. (b) y ′ = −8x−9x2 y 2 . 6x3 y (c) xy ′ + 4y = cos(x) . x2 (d) 24x2 y + ex sen(y) + (8x3 + ex cos(y))y ′ = 0. (e) y ′ = 8y − e−x . (f) (8x − x2 )y + 4x2 y ′ = 0. ey xy . xyy ′ + x2 (g) xy ′ = (h) + y 2 = 0. (i) 2 + ycos(xy) + xcos(xy)y ′ = 0. (j) xy ′ + y = x3 y 4/3 . (k) y ′ = y − 3x2 . (l) y ′ = y + 2x2 . (m) y ′ − 5y = e5x sen(x). (n) y ′ = (o) y ′ = (x+y)2 . x2 2 2 + xy 2 . 2.9 Ejercicios propuestos (p) xy ′ + 3y = x2 sen(x). (q) (y 2 − x)y ′ = y. (r) y ′ = (s) y ′ = x−2y+8 x+y+1 . (x + y)2 . 45