Discretización Vertical en la Dinámica del IFS

Discretización Vertical en la Dinámica del IFS
Álvaro Subı́as Dı́az-Blanco
Agencia Estatal de Meteorologı́a
Departamento de Desarrollo y Aplicaciones
Madrid, España
24 Octubre 2014
Álvaro Subı́as (AEMet)
Discretización Vertical . . .
24 Oct. 2014
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Niveles del Modelo
La coordenada vertical hı́brida η ∈ [0, 1]
es una coordenada adaptada al terreno
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Discretización Vertical . . .
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Niveles del Modelo
η se define implı́citamente a través de la presión hidrostática
π(x, y, η, t) = A(η) + B(η) πs (x, y, t)
suvv1.F90
suvert.F90
donde
A(0) = πtop
B(0) = 0
A(1) = 0
B(1) = 1
La monotonicidad necesita [B]
"
min πs (x, y, t) > max
x,y,t
η∈[0,1]
−
dA
dη
dB
dη
#
Esta condición se comprueba en facadi.F90 con πsmin = 450hPa a través del test
del Monte Everest (aunque la presión real es menor que πsmin )
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Discretización Vertical . . .
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Niveles del Modelo: Construcción
relación entre A, B y η
A
η :=
+B
πoo
m: estiramiento, determina en qué niveles de la coordenada vertical se tiene mayor resolución.
h: hibridación, cuando su valor es cero desaparece el efecto de la superficie π(η) = πoo m(η)
A(x)
B(x)
=
=
[m(x) − h(m(x))]πoo
h(m(x))
π(η) = πoo m(η) + (πs − πoo ) h(m(η))
h(x) = 0 :
h(x) = x :
h
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niveles π
niveles σ
π(η) = πoo m(η)
π(η) = πs m(η)
m
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Diferencias Finitas
NFLEVG
niveles definidos en rejilla alternada (stagger grid, suvert.F90).
half levels: YRVETA%VETAH,
flujos en interfaces
ηl̃ =
ηl̃ =
l̃
L
Al̃
πoo
LREGETA=.T.
+ Bl̃
LREGETA=.F.
full levels: YRVETA%VETAF,
variables del modelo
η0
ηl
l̃ ∈ [0, L]
⇒
8
< Al̃
B
: l̃
πoo
l ∈ [0, L + 1]
= η0̃
=
1
[η
2 l̃
+ η] ]
l−1
l ∈ [1, L]
ηL+1 = ηL̃
Álvaro Subı́as (AEMet)
YRVAB%VAH
YRVAB%VBH
YRVAB%VP00
e 0
0,
1
e
1
g
l−1
l
le
]
L−1
L
e L+1
L,
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Elementos Finitos
Los elementos finitos han sido implementados exitosamente en el IFS en el
modelo hidrostático por A. Untch y M. Hortal [UH], a través de B-splines lineales y
cúbicos usando el método de Galerkin.
Todas las variables se definen en full-levels de modo que desaparece el staggering
y son necesarias un menor número de interpolaciones el método semi-lagrangiano
(lavent.F90)
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Elementos Finitos
Sólo en el modelo hidrostático, el switch principal es LVERTFE.
La integral de una función es
η
Z
F (η) =
ds f (s)
0
expandimos sobre funciones base
P
f˜ =
ci ei
Pi∈M
F̃ =
C
j dj
j∈N
{ei (η)}i∈M
{dj (η)}j∈N
y tratamos con operadores de proyección
f˜l
F̃l
P
:= f˜(ηl ) =
Sli ci
Pi∈M
:= F̃ (ηl ) =
P
lj Cj
j∈N
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Sli
:= ei (ηl )
Plj := dj (ηl )
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Elementos Finitos
a partir de la equivalencia
X
Cj dj (η) + R ≡
j∈N
X
η
Z
ci
0
i∈M
ds ei (s)
proyectamos en dk con funciones test Πk
1
Z
Πk (g) =
0
dη dk (η) g(η)
es necesario que Πk (R) ' 0, definimos las matrices
η
„Z
Akj := Πk (dj )
Bki := Πk
0
«
ds ei (s)
el operador vertical se calcula en suvertfe.F90 y se almacena en RINTE
F̃ = PA
−1
BS
−1
f˜
la integración vertical se realiza en verint.F90
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Elementos Finitos
condiciones de consistencia en full-levels (suvert.F90) para
A (YRVAB%VAF)
B (YRVAB%VBF)
π = A(η) + πs B(η)
+ πs dB
m = dA
dη
dη
Z 1
Z 1
Z 1
dπ
dA
dB
= πs
⇒
=0
=1
dη
dη
0
0
0 dη
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Elementos Finitos: Modelo NH
En el modelo no hidrostático aparece una ligadura que no está presente el
hidrostático (constraint C1). En diferencias finitas esta ligadura se mantiene,
¿podremos mantenerla también en elementos finitos?
P. Smolı́ková y J. Vivoda han desarrollado una discretización en FE utilizando
B-splines calculados con el algoritmo de de Boor y el método de Galerkin. La
constraint C1 no se resuelve si no que se relaja mediante un método iterativo
Nik (t) =
t − ti
ti+k−1 − ti
Ni,k−1 (t) +
ti+k − t
ti+k − ti+1
Ni+1,k−1 (t)
Los nodos son una colección no
decreciente de puntos relacionados con
los niveles. B-Splines de orden 0

1 ti ≤ t < ti+1
Ni1 (t) =
0 otherwise
Actualmente estamos trabajando para
resolver la constraint C1 en un modelo
NHVFE
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Elementos Finitos: Modelo NH
Operadores VFE basados en propiedades analı́ticas de los B-splines en lugar
del método de Galerkin. Los B-splines forman una partición de la unidad de modo
que las funciones constantes pueden ser escritas como combinaciones lineales de
funciones base
P
Nik (t) = 1
i
Los B-splines forman un conjunto cerrado bajo las operaciones de derivación e
integración
»
–
Ni,k−1
Ni+1,k−1
∂
Nik = (k − 1) t
− t −t
∂t
−t
i+k−1
Rt
0
Álvaro Subı́as (AEMet)
Nik =
ti+k −ti
k
P
i≤s
i
i+k
i+1
Ns,k+1
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Elementos Finitos: Modelo NH
construimos los operadores a partir del siguiente diagrama commutativo
R
Sk
Pk
o
0
R
,
1
/ Sk+1
∂
Pk+1
Qk
Qk+1
Rc Rc
,
0
1
F(1:L)
F(0:L)
b
∂
aseguramos la invertibilidad entre los operadores integral y derivada (lo que
puede ser considerado como una constraint) en el espacio de funciones de punto de
R R
b c, c (EN DESARROLLO)
rejilla ∂,
0
1
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Elementos Finitos: Modelo NH
construimos los operadores a partir del siguiente diagrama commutativo
R
O o
0
R
,
1
Sk
∂
Pk+1
Qk
Pk
F(1:L)
/ Sk+1
O
o
Rc Rc
,
0
1
Qk+1
/ F(0:L)
b
∂
aseguramos la invertibilidad entre los operadores integral y derivada (lo que
puede ser considerado como una constraint) en el espacio de funciones de punto de
R R
b c, c (EN DESARROLLO)
rejilla ∂,
0
1
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Discretización Vertical . . .
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Ecuaciones Fundamentales
Ecuaciones del modelo no hidrostático [La, Bb]
d~
v + RT ∇p
~ + 1 ∂η p∇φ
~
~
= V
dt
p
m
dw + g[1 − 1 ∂ p] = W
dt
m η
dT − RT dp = Q
dt
pcp dt
cp
cp
dp
Qp
pD3 =
+
dt
cv
cv T
~
v ) + ∂η (mη̇) = 0
∂t m + ∇(m~
dφ
= gw
dt
∂η φ = −m RT
p
p
gp
~v+
~
D3 := ∇~
v) −
(∇φ)(∂
∂ w
η~
mRT
mRT η
Álvaro Subı́as (AEMet)
π
p
T
R
φ
D3
η
~
∇
:
:
:
:
:
:
:
presión hidrostática
presión real
temperatura virtual
constante de los gases aire seco
geopotencial
divergencia 3D
coordenada vertical hı́brida
:
gradiente cuasi-horizontal η cte.
~ , W.Q
V
m
:
:=
w
:=
ω
:=
componentes fı́sicos del forzamiento
∂η π
dz
dt
dp
dt
Discretización Vertical . . .
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Ecuaciones Fundamentales
nuevas variables de pronóstico: desviación de la presión hidrostática P̂ y divergencial pseudovertical d̂
d~
v
dt
d(d̂)
dt
:=
+
gw
=
−m
+
D3
d̂
p−π
π ∗ (η)
ρ∗ (η)
∂ w
−g
m∗ (η) η
=
+
+
dφ
dt
∂η φ
:=
RT ∇p
~ + 1 ∂η p∇φ
~
~
= V
p
m
ρ∗
ρ∗
2
∗
1
~
∂ (
(∂η ~
v )∇w
g
∂ (π P̂)) − g
m∗ η m η
m∗
d̂ 1 ∂η (η̇m) − d̂η̇∂η (ln ρ∗ )
m
gρ∗ (η̇m) 1∗ ∂η ( 1 ∂η w)
m
m
ρ∗
gρ∗ η̇∂η ( 1∗ ∂η w) = −g
∂ W
m
m∗ η
RT D = Q
3
cv
cv
cp p
Qp
D + π̇∗ + P̂∗ η̇m∗ =
cv π ∗ 3
π
π
cv T π ∗
~
∇(m~
v ) + ∂η (mη̇) = 0
+
−
dT
dt
dP̂
dt
∂t m
P̂
+
+
=
NPDVAR
NVDVAR
las definiciones se hacen en referencia
a un estado básico ∗
m∗ (η)
:=
∂η π ∗
ρ∗ (η)
:=
π∗
Rd T ∗
RT
π+π ∗ P̂
p
gp
~v+
~
∇~
(∇φ)(∂
v) −
∂ w
η~
mRT
mRT η
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Discretización Vertical . . .
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Modelo Lineal
modelo explı́cito: ecuaciones fundamentales
∂t X = M(X)
modelo semi-implı́cito: en las ecuaciones fundamentales se añade un término lineal que actúa como
filtro de las ondas elásticas que viajan a gran velocidad en cualquier dirección [BM]. X̄ es un promedio
temporal de X
∂t X = M(X) + βL(X̄ − X)
discretizando en 3 pasos de tiempo (mejorado en SETTLS 2TL)
X
+
= X
−
0
+
0
−
+ 2(∆t)M(X ) + β(∆t)L(X − 2X + X )
dados los estados X 0 , X − , el estado pronóstico X + es aquel que satisface la ecuación implı́tica
[1 − β(∆t)L] X
Álvaro Subı́as (AEMet)
+
0
−
= RHS(X , X )
Discretización Vertical . . .
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Modelo Lineal
establecemos un estado básico X ∗j
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
u∗
v∗
w∗
D∗
d̂∗
q∗
P∗
T∗
φ∗
s
∗
πs
:=
:=
:=
:=
:=
:=
:=
:=
:=
:=
0
0
0
0
0
0
0
cte.
cte.
cte.
9
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
;
(
⇒
c∗
v
c∗
p
=
=
c∗
vd
c∗
pd
)
8
∗
< π (η)
m∗ (η)
:
∗
p (η)
=
=
=
∗
A(η) + B(η)πs
∗
∂η A + ∂η Bπs
∗
π (η)
9
=
;
obtenemos el modelo lineal alrededo del estado básico X j = X ∗j + X 0j . Cuando el valor de
referencia es cero se omite la notación prima
∂t X
Álvaro Subı́as (AEMet)
0j
=
˛
˛
∂Mj ˛
0k
˛
X
˛
∂X k ˛ ∗
X
Discretización Vertical . . .
24 Oct. 2014
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Modelo Lineal
resolvemos el sistema lineal previa eliminación de variables (spnhsi.F90)
8
>
D+
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
T 0+
>
>
>
>
<
0+
πs
>
>
>
>
>
>
>
>
>
P̂ +
>
>
>
>
>
>
:
d̂+
:=
:=
:=
:=
:=
»
–
Rd T ∗
0+
0+
β(∆t) −Rd G ∗ ∆T 0+ + gHG ∗ ∆P̂ + − Rd T ∗ ∆P̂ + −
∗ ∆πs − ∆φs
πs
»
–
R T∗
β(∆t) − d
(D + + d̂+ )
cvd
h
i
∗ N ∗ D+
β(∆t) −πs
»
–
cpd
β(∆t) −
(D + + d̂+ ) + S ∗ D +
cvd
h
i
g ∗ +
β(∆t) −
L P̂
H
Álvaro Subı́as (AEMet)
Discretización Vertical . . .
+
RD
+
RT
+
Rπs
+
R
P̂
+
R
d̂
24 Oct. 2014
9
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
;
17 / 25
Operadores Verticales
derivación:
8
< ∂∗
:=
L∗
:=
:
integración:
8
>
>
G∗ f
>
>
>
>
>
<
S∗ f
>
>
>
>
>
>
>
:
N ∗f
ligaduras:
8
A∗
>
1
<
>
: A∗
2
Álvaro Subı́as (AEMet)
:=
:=
:=
π∗
9
∂
=
∂π ∗
;
∂ ∗ (∂ ∗ + 1)
∗
R πs
∗
f dπ∗
π
π∗
1 R π ∗ f dπ ∗
π∗ 0
∗
1 R πs f dπ ∗
∗ 0
πs
9
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
;
:=
G∗ S∗ − G∗ − S∗ + N ∗
:=
cpd
S∗ G∗ −
[G ∗ + S ∗ ]
cvd
Discretización Vertical . . .
9
>
=
>
;
24 Oct. 2014
18 / 25
Ecuación de Estructura
eliminando variables se llega al modelo lineal simplificado
2
[1 − β 2 (∆t)2 c 2 L∗ ] d̂+
H
>
2
2
2
>
: β (∆t) [c − gHG ∗ ]∆ d̂+
8
>
>
<
»
realizando la combinación R3 :=
2
4−
1
c2
=
=
∗
β 2 (∆t)2 L 2 [c2 − gHS ∗ ] D +
H
c
2
2
2
[1 − β (∆t) c ∆{1 − vd A∗
}] D +
cpd 1
+
R1
9
>
>
=
+
R2
>
>
;
–
»
–
∗
gH
− 12 + β 2 (∆t)2 ∆ R1 + β 2 (∆t)2 L 2 1 − 2 S ∗ R2
c
H
c
3
2
3
2
L∗
cvd ∗
+
2
2
4
4g
∗ ∗
4
4 cvd 4
∗ +
+ β (∆t) {∆ +
} + β (∆t)
1−
L A2 ∆5 d̂ + β (∆t) ∆
S 5 A1 D
= R3
2
2
H
c
cpd
cpd
a nivel analı́tico se satisfacen las constraints
C1
C2
g2
2
L∗ A∗
2 = N
2
c
A∗
1 = 0
ecuación de estructura: el core del modelo es una ecuación de pronóstico para una única variable
"
−
Álvaro Subı́as (AEMet)
1
c2
2
2
+ β (∆t)
(
∆+
)
L∗
H2
#
4
4 2
+
+ β (∆t) N ∆ d̂
= R3
Discretización Vertical . . .
24 Oct. 2014
19 / 25
Ecuación de Estructura: FD
∗ SIDELP)
operadores discretizados (δπ ∗ := π ∗ − π
l
]
l̃
l−1
(G∗ f )
l
:=
PL
δ ∗f + α ∗f
k=l+1 k k
l l
sigam.F90
(S∗ f )
l
:=
1 Pl−1 δπ ∗ f + β ∗ f
k=1
k k
l l
π∗
l
sitnu.F90
(N∗ f )
l
:=
(L∗ f )
l
:=
1 PL
δπ ∗ f
k=1
k k
π ∗
L̃
A ∗f
+ B ∗f + C ∗f
l l−1
l l
l l+1
sitnu.F90
siseve.F90
los coeficientes α ∗ SIALPH, β ∗ , δ ∗ SILNPR se eligen para satisfacer la constraint C1
l
l
k
A∗
1 = 0
si cccor.F90
la constraint C2 analı́tica es T ∗ :=
"
−
Álvaro Subı́as (AEMet)
1
c2
2
2
+ β (∆t)
“
”
g
2 L∗ A∗ ≡ 1, en la versión FD T∗ es tridiagonal
2
Nc
(
∆+
L∗
H2
)
#
4
4 2 ∗
+
+ β (∆t) N T ∆ d̂
= RHS
Discretización Vertical . . .
24 Oct. 2014
20 / 25
Ecuación de Estructura: FE
la factorización (G ∗ − 1)(S ∗ − 1) = (1 − N ∗ ) permite establecer el siguiente diagrama conmutativo
en el espacio de funciones base
∗
Hk
1−N
/H
VVVV
mm6 k
VVVV
m
m
VVVV
mm
VVV*
S ∗ −1
mmm G∗ −1
Kk
Q
Hk
P
Hk
P
Kk
Q
Kk
\∗
1−N
F(1:L)
\
∗ −1
S
F(1:L)
F(1:L)
\
∗ −1
G
y en el espacio de punto de rejilla (EN DESARROLLO)
Álvaro Subı́as (AEMet)
Discretización Vertical . . .
24 Oct. 2014
21 / 25
Ecuación de Estructura: FE
la factorización (G ∗ − 1)(S ∗ − 1) = (1 − N ∗ ) permite establecer el siguiente diagrama conmutativo
en el espacio de funciones base
∗
1−N
/H
O VVVVVVV
mm6 k
m
m
VVVV
VVVV
mmm
S ∗ −1
* Kk mm G∗ −1
O
Hk
Q
Hk
P
Hk
P
Kk
Q
Kk
/
\∗
1−N
F(1:L)
\
∗ −1
S
*
F(1:L)
6
F(1:L)
\
∗ −1
G
y en el espacio de punto de rejilla (EN DESARROLLO)
Álvaro Subı́as (AEMet)
Discretización Vertical . . .
24 Oct. 2014
21 / 25
Ecuación de Estructura
desarrollamos la ecuación de estructura
#
∗
2 2
2
2 4
4 2 ∗
+
2 2
2 L
1 − c β (∆t)
− c β (∆t) ∆ − c β (∆t) N T ∆ d̂
= RHS
H2
"
definimos F (SIFAC) y su inversa (SIFACI)
∗
2 2
2 L
F := 1 − c β (∆t)
H2
y la matriz B (SIB)
i
h
2 −1
2
2 2 ∗
B := c F
1 + β (∆t) N T
sunhsi.F90
sunhbmat.F90
para la estabilidad del modelo es necesaria la diagonalización B = Q−1 A Q con autovalores reales y
positivos A (SIVP). Las matrices de cambio de base son Q (SIMI), Q−1 (SIMO).
finalmente obtenemos la ecuación de Helmholtz dependiente de operadores diagonales A, ∆ y que
por tanto se convierte en una ecuación algebraica
h
i
2
2
+
0
1 − β (∆t) A∆ Qd̂
= RHS
Álvaro Subı́as (AEMet)
Discretización Vertical . . .
sunhheg.F90
24 Oct. 2014
22 / 25
Operadores F90
• VERINT (kproma,kstart,kprof,kflev,pin,POUT,ktype)
Z η
T
f (s) ds
⇒
[POUT] = [PIN] [RINTE]
ktype
γ = Rd G
• SIGAM (klev,klon,PD,pt,psp,knlon,kflevg)
∗
µ = Rd T
∗
[PD] = γ [PT] + µ [PSP]
• SITNU (klev,klon,pd,PT,PSP,knlon)
τ =
Rd T ∗
S
∗
ν = N
∗
cpd
[PT] = τ [PD]
[PSP] = ν [PD]
• SI CCCOR (klev,klon,knlon,pin,POU)
• SISEVE (klev,klon,pv1,PV2,knlon)
[POU] = Rd T ∗ A∗
1 [PIN]
[PV2] = L∗ [PV1]
• SIDD (klev,klon,PDH,PDV,prnh,pt,psp,knlon)
[PDH] = γ [PT] + µ [PSP] + {µ − T
g2
[PDV] =
Álvaro Subı́as (AEMet)
∗
Rd Ta
∗
γ} [PRNH]
∗
L [PRNH]
Discretización Vertical . . .
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