Mediatrices

Mediatrices
Actividad 1
1.
Marquen en una hoja en blanco dos puntos A y B a 5cm de distancia uno del otro.
Marquen todos los puntos que están a 3cm de A.
Marquen todos los puntos que están a 3cm de B.
2. ¿Existen puntos que estén simultáneamente a 3cm de A y de B?
En caso de que la respuesta sea afirmativa, señalalos.
3.
a) Marquen ahora puntos que estén simultáneamente a 2cm de A y de B. ¿Cuántos son? ¿Por
qué?
b) Marquen puntos que estén simultáneamente a 4cm de A y de B. ¿Cuántos son? ¿Por qué?
c) Marquen puntos que estén simultáneamente a 7cm de A y de B. ¿Cuántos son? ¿Por qué?
d) Marquen puntos que estén simultáneamente a 2, 5cm de A y de B. ¿Cuántos son? ¿Por qué?
Análisis
Esta primera Actividad está pensada para realizarse sin computadora. Tiene la doble intención de
comenzar a trabajar con los contenidos y objetivos matemáticos, y de realizar una transición suave hacia
el uso de la computadora.
Con respecto a los contenidos y objetivos matemáticos, se intenta recuperar la conceptualización de
circunferencia como lugar geométrico: el conjuntos de todos los puntos que equidistan de uno dado (ítem
1. En este caso los puntos dados son dos, para poder determinar puntos que equidisten tanto de A como
de B. Si bien se pide que la marcación de los puntos se realice en una hoja en blanco, consideramos la
posibilidad que se usen hojas cuadriculadas. En este caso no sería un inconveniente, pues al tener que
marcar todos los puntos que equidistan, el cuadriculado no “facilitará” de una manera contraproducente
la construcción. Sin embargo, se deberá tener más cuidado con este hecho en algunas de las Actividades
próximas.
En el ítem 3a los puntos no existen. Se comienza con un caso de este tipo porque posibilita reflexionar
acerca de la razón de la no existencia, dando lugar, por el contrario, al pensamiento de las condicones de
existencia: ambas circunferencias deben “tocarse” para que existan estos puntos. En los casos del ítem
3b se busca poner en práctica, usar este conocimiento. En el último caso se espera que en la clase haya
distintas posiciones con respecto a la existencia. ¿Se cruzan o no se cruzan? ¿En cuántos puntos? ¿Se
“tocan”? ¿Qué quiere decir que se “tocan”? Es esperable que estas preguntas surjan entre los estudiantes,
pero si esto no ocurre, bien podrían ser utilizadas para guiar la discusión.
Con respecto a realizar una transición suave hacia el uso de la computadora, nos proponemos realizar
esta misma Actividad dentro del entorno de GeoGebra.
Actividad 2
Realizar la misma Actividad anterior, pero ahora en GeoGebra. Para eso, abrir el archivo act2med.ggb.
Análisis
La intención buscada con la realización de las misma Actividad anterior, pero en el entorno de GeoGebra, es que para los estudiantes no sea un problema (en el sentido didáctico de la palabra) la actividad
matemática, de manera que el esfuerzo se centre casi exclusivamente en poder manipular el software. El
hecho de que esté bien definida la tarea y se sepa a priori cómo tiene que quedar visualmente el espacio
puede ser usado para controlar el aprendizaje y uso del software, convirtiéndose este uso y aprendizaje
en el problema de la Actividad.
La utilización de un archivo de GeoGebra previamente armado tiene como único objetivo la utilización
de una «Barra de Herramientas» modificada para focalizar el problema de la Actividad, como se explica
más arriba.
Actividad 3
En esta Actividad vamos a trabajar en GeoGebra con el archivo act3med.ggb.
1. Muevan el deslizador que se encuentra en la parte superior del archivo. ¿Qué pueden observar?
¿Qué es lo que cambia cuando mueven ese punto?
2.
Encuentren puntos que estén a 2, 8cm de A y de B.
Encuentren puntos que estén a 4, 5cm de A y de B.
3.
Marquen ahora 5 puntos que estén a la misma distancia de A que de B, dentro de la intersección
de los círculos (zona sombreada).
Marquen 4 puntos que estén a la misma distancia de A que de B, fuera de la intersección de
los círculos.
4.
¿Podrían describir todos los puntos que están a la misma distancia de A que de B? ¿Qué objeto
geométrico forman?
Ahora activen el rastro de los dos puntos de intersección de las circunferencias.
(Para ello, hagan clic con el botón derecho en cada uno de dichos puntos y busquen la opción
«Activa Rastro»)
Si mueven el deslizador, ¿se comprueba su respuesta?
Análisis
El objetivo final de esta Actividad es que los estudiantes puedan conjeturar, y luego corroborar, acerca
de la “forma” que describen los puntos que estan a la misma distacia de dos puntos dados (en este caso
de A y de B). Con esta finalidad se intentará que puedan marcar una cantidad significativa de puntos
que cumplan con la condición, y así poder conjeturar sobre la regularidad de éstos. Es por eso que en la
Actividad se propone ubicar puntos que cumplan con condiciones “fáciles”, como lo es que estén adentro
o afuera de una zona sombreada, además de la condicion de equidistancia. Esto posibilitairá incrementar
la cantidad de puntos de manera que estén distanciados unos de otros.
En el ítem 1 se buscará que los estudiantes exploren el comportamiento del archivo. Al tratarse de un
escenario armado, es importante dar un tiempo de exploración para entender el funcionamiento de los
elementos que se encuentran en la pantalla. Sobre todo, porque es posible que sea la primera vez que
en la clase se trabaje con un «Deslizador».
En el ítem siguiente (el 2) se intenta vincular el funcionamiento del escenario con la tarea propuesta
en las Actividades anteriores. Se piden medidas específicas de equidistancia porque el deslizador, que
es el radio de las circunferencias, trabaja en base a medidas. Esto nos posibilitará dos cosas: por un
lado, que los estudiantes comiencen a generar puntos equidistantes; y por el otro, que los puntos que se
vayan generando estén más o menos distanciados entre sí. Con esta misma intención de generar puntos
equidistantes espaciados entre sí es que se propone la realización del ítem 3.
En el último ítem se pide explícitamente una conjetura con respecto al objeto geométrico que forman los
puntos equidistantes. Posiblemente, estas conjeturás serán combinaciones de las siguientes afirmaciones:
“es una recta”, “pasan por el medio del segmento AB”, “es perpendicular al segmento AB”. En el enunciado
se habla de objeto geométrico porque creemos que será más familiar al vocabulario de los chicos, vinculado
éste a su recorrido escolar. Sin embargo, creemos que con un trabajo como el que se propone en esta
secuencia también se le podrá asignar otro significado a una recta: no ya como un objeto geométrico
preexistente sino como un lugar geométrico construido por puntos que cumplen una condición.
Para finalizar se pide, de manera bastante guiada, que se active el rastro de los puntos intersección
de las dos circunferencias, para así corroborar las conjeturas. Creemos que uno de los conocimientos
que se generarán a partir de esta secuencia es el uso del software y su dinamismo como herramienta
para explorar, elaborar y validar conjeturas (usando la palabra “validar” en su sentido más amplio). El
conocimiento del dinamismo que provee el software y algunas herramientas ligadas a esta característica,
como lo es la posibilidad de activar el rastro de un punto, no es espontáneo y muchas veces necesitará
de la guía del docente. Postulamos que, seguramente, en Actividades sucesivas el uso del software como
herramienta de validación estará cada vez más disponible para los estudiantes, sin necesidad de que
sean guiados directamente en esa dirección (como sí lo es en esta Actividad).
Actividad 4
Decidí en cada caso si la recta m es la mediatriz del segmento AB. Justificá tus respuestas.
Explicá a continuación cuáles son las propiedades de la mediatriz.
Análisis
En los gráficos se muestran las combinaciones mencionadas anteriormente: “es una recta”, “pasan por
el medio del segmento AB”, “es perpendicular al segmento AB”. Todos los gráficos excepto uno se pueden
descartar porque no cumplen alguna de estas condiciones, mientras que el restante cumple con las tres:
en una recta perpendicular al segmento AB que pasa por su punto medio. En este juego de descartes y
afirmaciones, en contraste con las rectas que no son mediatriz, se podrá arribar a una definición de la
misma, caracterizándola como un objeto geométrico. Desde esta perspectiva, la mediatriz es una recta con
la característica de ser perpendicular al segmento AB y cortarlo por su punto medio. En cambio, desde
una mirada de la mediatriz como lugar geométrico, es la recta formada por los puntos que equidistan de
los puntos A y B, la cual fue la mirada promovida en las Actividades anteriores.
Actividad 5
Explicá los pasos a seguir para trazar la mediatriz de un segmento PQ utilizando solamente regla
y escuadra.
Martín tiene en su cartuchera un compás y una regla muy gastada a la que se le borraron las
marcas. ¿Podrá con esos instrumentos trazar la mediatriz de un segmento AB?
De ser posible explicá cómo y trazala.
¿Podrían hacer lo mismo en GeoGebra? En un archivo en blanco, tracen un segmento y construyan
su mediatriz.
Análisis
Esta Actividad propone construir mediatrices. Con esto queremos que los estudiantes pasen de un rol
más pasivo, si se quiere, en donde la actividad consiste en decidir si rectas que ya están construidas son
o no mediatrices, a un rol más activo en donde, dado un segmento, la actividad consiste en construir su
mediatriz. Para esto se deberán poner en juego los distintos conocimientos y las distintas concepciones
trabajadas en las Actividades anteriores.
Así, en el ítem 5 se pondrá en juego una concepción de la mediatriz como objeto geométrico, usando su
definición de recta perpendicular que pasa por el punto medio. Esto sucede a causa de los instrumentos
que se proponen para ser utilizados: la regla, que posibilita marcar el punto medio, y la escuadra, que
posibilita trazar una recta perpendicular.
Al seleccionar los instrumentos que se proponen usar en el ítem 5 se está buscando poder recuperar,
al nivel de la construcción, la concepción de mediatriz como lugar geométrico. La utilización de circunferencias para marcar puntos que estén a la misma distancia de A y de B, para luego marcar todos los
que cumplen con esta condición, fue por completo lo que se hizo durante las primeras tres Actividades.
En el último ítem se intenta, nuevamente, que los estudiantes puedan realizar una transición desde
el trabajo en la hoja hacia el trabajo en la computadora. Creemos que reconocerán qué acciones pueden
realizarse y qué herramientas pueden utilizarse de una manera análoga a como lo hacen en una hoja,
pero en la computadora con el software.