FTM Clase 04_Transporte de Momentum (1) [Modo de - U

FENÓMENOS DE TRASPORTE
EN METALURGIA EXTRACTIVA
Clase 01/06
Transporte de Momentum
Prof. Leandro Voisin A, MSc., Dr.
Academico – Universidad de Chile.
Jefe del Laboratorio de Pirometalurgia.
Investigador Senior - Tohoku University, Japan.
1
Flujo laminar y ecuación de momentum
Balance de momentum
El balance se aplica a un volumen de control de fluido con el
objetivo de desarrollar u obtener una ecuación diferencial que
represente y describa el comportamiento del mismo.
Para la resolución de la ecuación diferencial será necesario
imponer restricciones físicas del sistema (condiciones de
borde) y de tiempo (condiciones iniciales).
La resolución de la ecuación diferencial nos proporciona la
distribución de velocidad en el sistema de donde se obtiene
además el esfuerzo de corte en la interface fluído-sólida.
El planteamiento del comportamiento de fluidos mediante
balances de momentum es un tema básico e introductorio del
transporte de momentum.
2
Flujo laminar y ecuación de momentum
Balance de momentum
Para flujo estacionario el balance de momentum queda definido por
la ecuación general:
r
 Flujo de momentum   Flujo de momentum  






−
+
F
del sistema 
∑




=0
entrante
saliente

 
 

Generalidades
Los balances se aplican a una delgada “envoltura” de fluido.
Se considera flujo rectilíneo en estado estacionario.
Las fuerzas que nos interesan son las de presión actuando sobre
las superficies y las de gravedad actuando sobre todo el volumen.
3
Flujo laminar y ecuación de momentum
Generalidades
El momentum que entra o sale del sistema por transferencia de
momentum lo hará ya sea por transporte molecular o por
transporte convectivo.
El balance de momentum, resulta en un balance de fuerzas
porque tiene relación con los flujo de momentum que entran y
salen del volumen de control.
Si el flujo es Newtoniano, podremos relacionarlo con la ec. de
viscosidad de Newton para determinar el perfil de distribución
de velocidad del sistema.
Si el flujo es no-Newtoniano la ec. de viscosidad de Newton no es
valida y otros modelos empíricos deberán ser utilizados para
determinar el perfil de distribución de velocidad del sistema.
4
Condiciones de borde en
el balance de momentum
Determinaciones de hecho físicos para valores concretos de la
variable independiente utilizadas en la resolución de integración de
problemas de fenómenos de transporte.
Interfase fluido-sólido: velocidad del fluido = velocidad con que
se mueve la superficie de contacto, principio de adherencia.
Interfase fluido-gas: densidad de flujo de cantidad de
movimiento o esfuerzo de corte, y por consiguiente el gradiente
de velocidad en la fase liquida se supone igual a cero.
Interfase fluido-fluido: la densidad de flujo de cantidad de
movimiento como la velocidad son continuas a través de la
interfase.
5
Flujo laminar de un film en descenso
Considere el flujo de un líquido en estado estacionario descendiendo
por un plano inclinado, el líquido presenta To cte. y por ende ρ y µ
permanecen ctes. Considere además un volumen de control de largo
L, espesor variable ∆x y ancho perpendicular al plano de la imagen
W, el cual se encuentra alejado de las entradas y salidas del sistema
de forma tal que no existe influencia sobre vz.
6
Flujo laminar de un film en descenso
φij = π ij + ρv i v j
= p + τ ij + ρv i v j
r
 Flujo de momentum   Flujo de momentum  


 − 
 +  ∑ F del sistema  = 0
entrante
saliente

 
 

Flujo de momentum = FM
7
Flujo laminar de un film en descenso
FM entrante en la
sección transv. a x
(por viscosidad)
( LW )(τ xz ) x
FM saliente en la
sección transv. a x+∆x
(por viscosidad)
( LW )(τ xz ) x + ∆x
FM entrante en la
sección transv. a z = 0
(mov. del fluido)
(W∆xv z )( ρv z ) z =0
FM saliente en la
sección transv. a z = L
(mov. del fluido)
(W∆xv z )( ρv z ) z = L
F. de grav. actuando
sobre el fluido
(LW∆x )( ρg cos β )
8
Flujo laminar de un film en descenso
r
 Flujo de momentum   Flujo de momentum  






−
+
F
=
0
del sistema 
∑





entrante
saliente

 
 

LW τ xz x − LW τ xz
x + ∆x
+ W∆x ρv
2
z z =0
− W∆x ρv
2
z z=L
+ ...
... + LW∆xρg cos β = 0
Los terminos tercero y cuarto se cancelan, y se divide por el volumen
de control, permitiendonos hacer el ∆x infinitamente pequeño,
obteniendo por definición la primera derivada implicita de τxz
respecto a x:
lim
∆x →0
τ xz x + ∆x − τ xz x
∆x
= ρg cos β
9
Flujo laminar de un film en descenso
dτ xz
= ρg cos β
dx
Integrando implícitamente, se obtiene la ec. que describe el flujo de
momentum por unidad de área (distribución del esfuerzo de corte):
τ xz = ρgx cos β + C1
Aplicando la C.B.1, (interfase fluido-gas) en x = 0, τxz = 0
tendremos que C1 = 0:
τ xz = ρgx cos β
Como el fluido es Newtoniano aplicamos la ec. de viscosidad de
Newton para obtener la distribución de velocidad:
dv z
τ xz = − µ
dx
dv z
ρg cos β
=−
x
dx
µ
10
Flujo laminar de un film en descenso
Integrando implícitamente:
 ρg cos β  2
v z = −
 x + C2
 2µ 
Aplicando la C.B.2, (interfase fluido-sólido) en x = δ, vz = 0
tendremos que C2 = (ρg cosβ / 2µ) δ2:
2

ρgδ cos β
x 
vz =
1 −   
2µ
  δ  
2
Resultando en una distribución de velocidad parabólica.
11
Flujo laminar de un film en descenso
Otras cantidades importantes pueden ser calculadas:
i) Velocidad máxima,
v
max
z ,
v max
z
en x = 0:
ρgδ 2 cos β
=
2µ
Wδ
∫ ∫ v dxdy
z
ii) Velocidad promedio,
vz : vz =
0 0
Wδ
∫ ∫ dxdy
=
1
δ
v dx
∫
δ
z
0
0 0
δ
δ
2
2


ρgδ cos β
ρgδ cos β
1
x
v z = ∫ v z dx =
1 −   dx =
∫
δ 0
2µ
3µ
0 
  δ  
12
Flujo laminar de un film en descenso
iii) Velocidad volumétrica o Caudal, Q:
Wδ
ρgWδ 3 cos β
Q = ∫ v z dS = ∫ ∫ v z dxdy = v z (Wδ ) =
3µ
0 0
iv) Espesor de la capa límite, ya sea como función de v z , de Q ó la
velocidad de flujo de masa por unidad de anchura de pared
(Γ = ρδ v z )
δ=
3µ v z
3 µQ
3 µΓ
=3
=3 2
ρgcos β
ρgWcos β
ρ gcos β
13
Flujo laminar de un film en descenso
v) Componente-z de la fuerza F del fluido sobre la superficie, se
obtiene integrando el esfuerzo de corte sobre la interfase fluidosólido:
LW
Fs = ∫ ∫ τ xz
x =δ
dydz
0 0
LW
dv z
= ∫ ∫−µ
dx
0 0
dydz
x =δ
 ρgδ cos β 

= (− LWµ ) −
µ


= LWρgδ cos β
14
Flujo laminar de un film inmiscible en descenso
Ejemplo 5:
Describir el comportamiento del flujo laminar de 2 fases inmiscibles
fundidas de escoria y metal que descienden en estado estacionario por
un plano inclinado. Las fases de escoria y metal presentan espesores
δs y δm y viscosidades cinemáticas νs y νm, respectivamente.
Ejemplo 5, Solución:
Para la escoria, se cumple la CB fluido-gas:
τ xz = ρ s gx cos β
dv z
g cos β
=−
x
dx
νs
Integrando:
 g cos β  2
 x + C1 ,
v z = −
 2ν s 
δs ≤ x ≤ 0
15
Flujo laminar de un film inmiscible en descenso
De igual forma para el metal, tendremos:
d 2 vz
g cos β
=−
2
dx
νm
Integrando intrínsicamente 2 veces:
 g cos β  2
 x + C2 x + C3 ,
v z = −
 2ν m 
δ s ≤ x ≤ (δ s + δ m )
Para determinar los valores de C1, C2 y C3, imponemos las 3 CB:
C.B. 1: vz = 0 en x = (δs+δm)
C.B. 2: vz (metal) = vz (escoria) en x = δs
C.B. 3: τxz (metal) = τxz (escoria) en x = δs
16
Flujo laminar de un film inmiscible en descenso
Resolviendo el sistema algebraico de 3 condiciones y 3 incógnitas:
C2
(
ρ s + ρ m )δ s cos β
=
µm
(
δs + δm )
=
2
C3
g cos β
2ν m
+ C2 (δ s + δ m )
2

g cos β δ m (2δ s + δ m ) δ s 
C1 =
+

 + C2δ m
2 
νm
νs 
17
Flujo laminar estacionario entre placas paralelas
Considere el flujo laminar de un líquido en estado estacionario entre
2 placas paralelas, el líquido presenta To cte. y por ende ρ y µ
permanecen ctes. Considere además un volumen de control de largo
L, espesor variable ∆y y ancho perpendicular al plano de la imagen
W, el cual se encuentra alejado de las entradas y salidas del sistema
de forma tal que no existe influencia sobre vx.
18
Flujo laminar estacionario entre placas paralelas
φij = π ij + ρv i v j = p + τ ij + ρv i v j
r
 Flujo de momentum   Flujo de momentum  






−
+
F
=
0
del sistema 
∑





entrante
saliente

 
 

Flujo de momentum = FM
19
Flujo laminar estacionario entre placas paralelas
FM entrante en la sección transv. a y
(por viscosidad)
( LW )(τ yx )
FM saliente en la sección transv. a y+∆y
(por viscosidad)
( LW )(τ yx )
FM entrante en la sección transv. a x = 0
(mov. del fluido)
(W∆yv x )( ρv x ) x =0
FM saliente en la sección transv. a x = L
(mov. del fluido)
(W∆yv x )( ρv x ) x = L
F. de presión actuando en la sección transv.
ax=0
y
y + ∆y
∆yW [P( x = 0 )] = PO ∆yW
F. de presión actuando en la sección transv.
− ∆yW
ax=L
[P(x = L )] = −PL ∆yW
20
Flujo laminar estacionario entre placas paralelas
r
 Flujo de momentum   Flujo de momentum  


 − 
 +  ∑ F del sistema  = 0
entrante
saliente

 
 

LW τ yx − LW τ yx
y
y + ∆y
+ (PO − PL )∆yW = 0
Dividiendo por el volumen de control, permitiéndonos hacer el ∆y
infinitamente pequeño, obtenemos por definición la primera derivada
implícita de τyx respecto a y:
lim
∆
τ yx
y + ∆y
− τ yx
y
∆y
y →0
dτ yx
dy
(
PO − PL )
=
L
(
PO − PL )
=
L
21
Flujo laminar estacionario entre placas paralelas
Imponiendo las condiciones de borde en la línea central (y = 0) y en
las paredes sólidas (y = δ):
C.B. 1: en y = 0, τyx = 0
C.B. 2: en y = δ, vx = 0
τ yx
(
PO − PL )
=
y
L
Como el fluido es Newtoniano aplicamos la ec. de viscosidad de
Newton para obtener la distribución de velocidad:
1 2
2 (PO − PL )
vx =
δ −y
2µ
L
(
)
Resultando en una distribución de velocidad parabólica.
22
Flujo laminar estacionario entre placas paralelas
Otras cantidades importantes pueden ser calculadas:
vx
i) Velocidad máxima, en y = 0:
ii) Velocidad promedio:
vx =
1
max
δ
1 2 (PO − PL )
=
δ
2µ
L
δ
2
v dy =
∫
δ
3µ
x
0
iii) Velocidad volumétrica o Caudal:
2 Wδ
Q=
3 µ
3
(PO − PL )
L
(PO − PL )
L
23
Flujo laminar estacionario
a través de una cañería
Considere el flujo de un líquido
en estado estacionario a través de
una cañería de largo L y radio R.
El líquido presenta To cte. y por
ende ρ y µ permanecen ctes.
Considere un volumen de control
cilíndrico de largo L y espesor
variable ∆r, el cual se encuentra
alejado de las entradas y salidas
del sistema de forma tal que no
existe influencia sobre vz.
24
Flujo laminar estacionario
a través de una cañería
φij = π ij + ρv i v j
= p + τ ij + ρv i v j
r
 Flujo de momentum   Flujo de momentum  


 − 
 +  ∑ F del sistema  = 0
entrante
saliente

 
 

Flujo de momentum = FM
25
Flujo laminar estacionario
a través de una cañería
r
 Flujo de momentum   Flujo de momentum  






−
+
F
=
0
del sistema 
∑





entrante
saliente

 
 

(2πrLτ rz ) r − (2πrLτ rz ) r +∆r + ...
... + 2πr∆rLρg + 2πr∆r (PO − PL ) = 0
Es importante notar que todos los términos contienen el factor r, por lo
tanto, siendo que r es una variable no deberíamos utilizarlo como
común divisor. Luego dividiendo por 2πL∆r y hacemos tender ∆r a cero
para obtenemos la primera derivada implícita de rτrz respecto a r:
lim
∆
r →0
rτ rz r + ∆r − rτ rz r
∆r
 PO − PL

=
+ ρg  r
 L

27
Flujo laminar estacionario
a través de una cañería
d
 PO − PL

(rτ rz ) = 
+ ρg  r
dr
 L

Integrando los campos, se obtiene la ec. que describe el flujo de
momentum (distribución del esfuerzo de corte):
 PO − PL
 r C1
τ rz = 
+ ρg  +
 L
2 r
Aplicando la C.B.1, (simetría) en r = 0, τrz = 0 tendremos que C1 = 0:
 PO − PL
r
τ rz = 
+ ρg 
 L
2
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Flujo laminar estacionario
a través de una cañería
Como el fluido es Newtoniano aplicamos la ec. de viscosidad de
Newton para obtener la distribución de velocidad:
dv z
τ rz = − µ
dr
Aplicando la C.B.2, (interfase fluido-sólido) en r = R, vz = 0
tendremos que:
2

 PO − PL
 R 
r 
 1 −   
vz = 
+ ρg 
 L
 4 µ    R  
2
Resultando en una distribución de velocidad parabólica.
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Flujo laminar estacionario
a través de una cañería
Otras cantidades importantes pueden ser calculadas:
 PO − PL
R
=
+ ρg 
 L
 4µ
2
i) Velocidad máxima, en r = 0:
vz
max
ii) Velocidad promedio:
1
vz = 2
πR
2π R
 PO − PL
R
∫0 ∫0 v z rdrdθ = L + ρg  8 µ
iii) Velocidad volumétrica o Caudal:
2
4
P
−
P
R
π
 O L

Q=
+ ρg 
 L
 8µ
La ec. iii) es conocida en fluido-dinámica como la ley
Hagen-Poiseuille y es valida para largos iniciales de entrada a
30
cañería de Le = 0.035 DRe asegurando un flujo estacionario.
Flujo adyacente de dos fluidos inmiscibles
r
 Flujo de momentum   Flujo de momentum  






−
+
F
=
0
del sistema 
∑





entrante
saliente

 
 

Flujo de 2 fluidos inmiscibles entre 2 laminas planas paralelas
debido a un gradiente de presión.
31
Flujo adyacente de dos fluidos inmiscibles
32
Flujo adyacente de dos fluidos inmiscibles
33
Flujo adyacente de dos fluidos inmiscibles
34
Flujo adyacente de dos fluidos inmiscibles
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