Leibniz y el infinito

Leibniz
y
el infinito
FRANK BURBAGE Y NATHALIE CHOUCHAN
24 de febrero de 2002
PHILOSOPHIES
Colección dirigida por Françoise Balibar, Jean Pierre Lefebvre Pierre Macherey y
Yves Vargas
ISBN 2 13 040223 2 ISSN 076-1398
c Presses Universitaires de France, 1993 108,
Depósito legal - 1a edición: 1993 julio Boulevard Saint Germain, 75006 Paris
Traducción1 : Alejandro Martı́n Maldonado
1
La idea de traducir este libro vino de encontrar en él una visión de la obra de Leibniz en la que el concepto de infinito, al atravezar las diferentes disciplinas, sirve de clave
para buscar una unidad en ella. Esta obra cumple entonces un doble papel de ejemplo
metodológico y fuente de pistas para mi propia aproximación a la obra leibniciana. Pero
este papel lo podı́a muy bien cumplir en francés y no habı́a por qué traducirla. Entonces
esta tarea mı́a, que ahora, en medio de los detalles finales me parece tan innecesaria, tuvo
sobre todo dos motivos. El primero: aprender francés, y mientras tanto ir encontrando en
español la manera de articular sus conceptos. El segundo y tal vez el único que me ha
permitido no dejar la tarea en la mitad, tener un texto para pasarles a mis amigos con
algo de lo que me “adhiere” a Leibniz.
Entonces, están avisados, el texto que viene a continuación se trata de una traducción del
francés de alguien que no sabe francés. Para curarme en salud y de paso pedir una ayuda
a quien me la quiera dar, dejo en francés entre corchetes cuadrados los conceptos más
importantes. Las citas las he traducido directamente del texto (la mayorı́a son originariamente en francés) y cuando ha sido posible las he corroborado con una versión en español
de la misma (ver Bibiliografı́a).
1
Índice
1.
Objeto de este libro
2.
Introducción
Una filosofı̀a del infinito - El infinito entre matemáticas y metafı́sica Una metafı́sica “abusiva”.
3.
Todo va al infinito en la naturaleza
Las exigencias de una “reforma” - Los diferentes “lugares” de la infinitud - El infinito existe “en acto” - Leibniz con Pascal.
4.
Podemos, sin embargo, saber muchas cosas del infinito
Una “ciencia” muy problemática - La crı́tica de la prudencia cartesiana
- Del buen uso de las paradojas del infinito - La idea positiva del infinito
- El infinito verdadero... y los otros - El número y la magnitud.
5.
Todo lo que he añadido a la invención matemática ha nacido sólo del
hecho de haber mejorado el uso de los sı́mbolos que representan las
cantidades
Un problema muy antiguo: la búsqueda de las “cuadraturas” - Leibniz
entre Descartes y Arquı́medes - Un “nuevo método”: diferenciación e
integración - La confianza en la escritura.
6.
Mi metafı́sica es toda matemática, por ası́ decir, o lo podrá llegar a
ser
Los fundamentos para el cálculo - Lo ficticio, lo ideal, lo actual: el
lugar de la continuidad - El infinito en los fenómenos - Las expresiones
del infinito.
7.
Textos
Comentario del fragmento de Pascal Desproporción del hombre - Extracto de la carta a Varignon del 2 de febrero de 1702 - Extracto de la
Carta a Varignon (?) del 16 de octubre de 1706.
Objeto de este libro
No hemos buscado presentar una exposición exhaustiva de la doctrina
leibniciana del infinito: ella comprende todo su sistema, que habrı́a que recorrer por todos sus “repliegues”. En particular, hemos puesto de lado la
2
mayor parte de las dificultades relativas a la génesis y a la evolución de las
posiciones leibnicianas. Ha sido también necesario escoger entre las preocupaciones cientı́ficas de Leibniz, y hemos privilegiado las consideraciones
relativas a las matemáticas.
En las páginas que vienen a continuación se encontrará una introducción
a una de las principales filosofı́as modernas del infinito: nos hemos dedicado
a construir y a seguir algunas cuestiones, mediante las cuales puede emprenderse la lectura, a menudo difı́cil, de los textos de Leibniz con respecto al
infinito:
1.
¿Qué significa exactamente la tesis según la cual el infinito existe “en
acto”?
2.
¿Cómo puede pretender el racionalismo leibniciano comprender el infinito?
3.
¿Qué rol juega el cálculo infinitesimal en esta comprensión?
4.
¿Cómo se articulan el infinito del matemático y el infinito del metafı́sico?
Por comodidad en la exposición hemos distinguido estas cuestiones unas
de otras, consagrándoles capı́tulos sucesivos, pero evidentemente ellas están
destinadas a ser asociadas.
Proponemos en el anexo algunos textos representativos de tomas de posición, pero también de dudas, leibnicianas. Esos textos pueden ser leı́dos independientemente, pero se encontrarán elementos de explicación en el cuerpo
del libro. Al final se encontrarán también algunas indicaciones bibliográficas.
Introducción
“Mis meditaciones fundamentales se mueven en torno a dos cosas, saber sobre la unidad y sobre el infinito2 ”
Una filosofı́a del infinito
Leibniz (1646-1716) aparece en aquella época del pensamiento donde un
mismo hombre podı́a pretender comprender él solo los múltiples capı́tulos
del saber, ser al mismo tiempo matemático, fı́sico, moralista, metafı́sico. La
2
“Mes méditations fondamentales roulen sur deux choses, savoir sur l’unité et sur
l’infini.” Carta a la princesa Sophie, PS, VII p.542.
3
era de los “hônnete hommes” será bien pronto relevada, y cederá lugar a
aquella de las “disciplinas” y los “especialistas”. El proyecto de un sistema
completo del conocimiento entrará entonces en una crisis que los proyectos
enciclopedistas intentaron, quizás vanamente, remediar. Sin duda esa crisis
es ya percibible al final del siglo XVII, a pesar de esto y contra todo, Leibniz
busca ocupar aún el lugar del “hônnete homme”. Él es uno de los filósofos
que han llevado a su punto más alto la exigencia de un “sistema”.
Es desde esta perspectiva que la consideración del infinito resulta decisiva. Desde aproximaciones en apariencia muy diferentes (matemáticas,
fı́sica, metafı́sica) Leibniz no deja nunca de interesarse por esta cuestión.
Tiene anotaciones al respecto -algunas incluso polémicas- en multiplicidad
de opúsculos, según su muy singular estilo de pensamiento. Los historiadores de la ciencia le consideran, con justicia, como uno de los inventores del
“cálculo infinitesimal” moderno, en el que trabaja regularmente a partir de
1670. Paralelamente, elabora una fı́sicia y una metafı́sica que otorgan un
lugar central a la noción de infinito. Esta constancia en la reflexión no garantiza, por supuesto, que hubiese logrado una concepción unificada y sobre
todo estable del infinito. Leibniz presenta regularmente el infinito como un
problema mayor de su filosofı́a. Ası́ explica en las primeras páginas de los
Ensayos de Teodicea que la difı́cil cuestión de la libertad es la patrimonio
[lot] común de todos los hombres, mientras que “la discusión de la continuidad y de los indivisibles que parecen ser sus elementos, (...) donde debe
entrar la consideración del infinito” constituye el “laberinto” propio de la
filosofı́a. Y lo lleva a llegar mucho más lejos aún, a hacer de la reflexión sobre
el infinito una de las piedras angulares [clefs de voute] de su “sistema”: “Mis
meditaciones fundamentales se mueven alrededor de dos cosas, saber sobre
la unidad y sobre el infinito.3 ” Y cuando, al final de su vida, con ocasión de
la polémica que le opone a newtoniano Clarke, él lanza una mirada retrospectiva sobre su recorrido filosófico, la cuestión del infinito viene en primera
lı́nea:
Cuando era un joven muchacho llegué a crer también en el Vacı́o y en los
Átomos; pero la razón me hizo echar atrás. La imaginación se desbordaba.
Uno acota allı́ sus investigaciones; fija la meditación como con un clavo; cree
haber encontrado los primeros Elementos, un “non plus ultra”. Quisieramos
que la Naturaleza no fuese más lejos, que fuese finita como nuestro espı́ritu:
pero eso es no conocer la grandeza y la majestad del Autor de las cosas. El
mı́nimo corpúsculo está actualmente subdividido al infinito, y contiene un
mundo de nuevas criaturas, al que le faltarı́a el universo si ese corpúsculo
3
Ibid.
4
fuese un Átomo, es decir un cuerpo de una sola pieza sin subdivisión4 .
Leibniz es uno de aquellos que, por tomar una fórmula de Kant, se
señalan como tarea principal intentar “introducir en filosofı́a” el concepto
de “magnitud infinita”5 . En eso, él pretenece a una época singular, y quizás
efı́mera, de la filosofı́a: Pascal, Spinoza, y algunos otros menos conocidos
hoy, también colocaron este “objeto” en el centro de sus preocupaciones,
como si hubiese ahı́ una de las cuestiones más vivas y más necesarias para
la filosofı́a, pero sobre todo, como si el conocimiento del infinito permitiese
organizar y fundar una filosofı́a nueva.
El infinito entre matemáticas y metafı́sica
La comprensión de la concepción leibniciana del infinito es bastante delicada. La grandı́sima masa de textos, su carácter a menudo fragmentario
e incompleto no hace fácil poder inteligir su doctrina. A menudo Leibniz
proyectó escribir un tratado sistemático sobre esta cuestión, incluso anunció un tı́tulo bastante ambicioso: De Scientia Infiniti. Pero ese trabajo, que
estaba pensado para exponer los fundamentos y los desarrollos principales
del “cálculo del infinito”, terminó, a fuerza de ser diferido, por nunca ver
la luz del dı́a. Por lo tanto nos vemos arrojados a una multitud de textos
donde la coherencia global no es accesible inmediatamente. El inacabamiento mismo de esta obra puede convertirse, evidentemente, en un motivo de
desconfianza: allı́ donde esperamos un “sistema”, nos encontramos, aparentemente, con un “montón” [amas6 ]. Entonces, ¿es necesario suponer que la
filosofı́a leibniciana del infinito es inconsistente, o en todo caso inacabada e
incompleta?
4
“Quand j’etais jeune garçon, je donnai aussi dans le Vide et dans les Atomes; mais
la raison me ramena. L’imagination etait riante. On borne là ses reserches; on fixe la
meditation comme avec un clou; on croit avoir trouvé les premiers Elements, un “non plus
ultra”. Nous voudrions que la Nature n’allait pas plus loin, qu’elle fut finie, comme notre
esprit: mais ce n’est point connâitre la grandeur et la majesté de l’Auteur des choses. Le
moindre corpuscule est actuellement subdivisé à l’infini, et contient un monde de nouvelles
criatures, dont l’univers manquerait, si ce corpuscule était un Atome, c’est-à-dire un corps
tout d’une pièce sans subdivision.” PS, VII p.377
5
Saber justamente si es legı́timo hablar del infinito como de una “magnitud”, y hacer
de él un objeto de un “cálculo”, esa es una de la investigaciones constantes de Leibniz.
6
Amas: Palabra clave para la que aún no he encontrado una solución satisfactoria. Un
“Amas” es una pluralidad desordenada, el resultado de ir “amontonando”. Se opone a
sistema y también a totalidad continua, pero no se trata de una pura variedad sin unidad
alguna. Podrı́amos incluso sugerir que se encuentra a medio camino, su unidad está sólo
sugerida. Un “amas” es un montón de trigo, una pila de papeles, pero también un ejambre
de abejas, una nube de estrellas...[T]
5
Adicionalmente, la pluralidad de puntos de vista resulta siendo un problema. ¿A que tipo de doctrina nos enfrentamos?
¿Se trata de una concepción, primero que todo matemática, que viene
adosada a la invención de una nueva técnica de cálculo? ¿Es el “cálculo infinitesimal” el que nos brinda los análisis más pertinentes sobre el infinito?
La palabra misma -“cálculo infinitesimal”- resulta muy incierta, pues deja
suponer, sin determinarla, que existe una relación entre el cálculo y el “infinito”; pero ¿qué es el infinito allı́? ¿Es un “objeto” para el cálculo, o una
propiedad del cálculo mismo (hay resoluciones que “van al infinito”)?
¿O se trata más bien de una “filosofı́a de la naturaleza”, a medio camino
entre la fı́sica y la metafı́sica? Leibniz no duda en afirmar, tomando el riesgo
de enunciar proposiciones a primera vista bastante enigmáticas, que “todo
va al infinito en la naturaleza”, o que “(la naturaleza) hace entrar el infinito
en todo lo que ella hace”.
¿Somos finalmente reconducidos (de manera quizás decepcionante, por
ser mucho menos original) a una teologı́a, por la repetición insistente de la
idea de que el infinito es lo propio de Dios y que sólo de él puede decirse “en
rigor” que sea infinito, porque sólo él es “absoluto”?
En realidad, todas estas orientaciones son pertinentes, cada una con su
consistencia propia. La dificultad está en su “composición”, y Leibniz mismo
se ve enfrentado, teniendo en cuenta sus múltiples perspectivas de análisis,
a cuestiones muy delicadas: ¿las invenciones del matemático hablan de, o
confirman ellas mismas, las hipótesis fı́sicas o metafı́sicas? O ¿incitan ellas
por el contrario a pluralismo, incluso al eclecticismo? ¿El infinito debe comprenderse de manera unı́voca en matemáticas, en fı́sica, en metafı́sica, o
precisamente es necesario, a contravı́a con la impresión que da el lenguaje ordinario, renunciar a elaborar una concepción unificada? ¿Es necesario
admitir, por ejemplo, que las aproximaciones cuantitativas, que buscan el
infinito en términos de magnitud medible, no serı́an suficientes, y que otro
tipo de saber (¿pero cuál?) es requisito para constituir un conocimiento verdadero del infinito? Parece que hay, en Leibniz mismo, una indecisión, que
puede servir aquı́ de primer reparo: o bien hacer de las matemáticas infinitesimales el principio de una reforma de la filosofı́a, o bien limitar su uso,
ası́ sea muy fecundo, a su dominio original. ¿Cuál es el contenido exacto de
esta alternativa?
1.
Al igual que Kant algunas decenas de años después, Leibniz juzga con
ojo severo el estado de la filosofı́a, y particularmente el de la metafı́sica
(o “filosofı́a primera”): en un texto de 1694, De la reforma de la filosofı́a primera y de la noción de substancia, la describe como el lugar
6
de todas las incertidumbres y de todas las ambigüedades: allı́ abundan las “visiones”, pero hacen falta las verdaderas demostraciones, las
controversias se multiplican, de manera que “la mayor parte de aquellos que gustan del estudio de las matemáticas tienen aversión por la
metafı́sica, porque en las primeras encuentran la luz y en la última las
tiniebras”. Leibniz se coloca entonces como metafı́sico “reformador” y
sugiere resolver finalmente los problemas “bajo el ejemplo del cálculo”. Si hay un optimismo leibniciano, que se atribuye a menudo a su
filosofı́a moral, consiste también en esa esperanza de aportar una “solución” a los problemas de la metafı́sica. Y si el cálculo viene a ocupar
ese lugar de ejemplo para la filosofı́a, ¿no es antes que nada porque
está en camino de convertirse en cálculo “del infinito”?
Es a partir de “las consideraciones matemáticas sobre la naturaleza
del infinito” que una “luz nueva e inatendida” llegarı́a al filósofo7 . Numerosos desarrollos dan testimonio, hasta en el vocabulario utilizado,
de esa “inspiración infinitista” en la filosofı́a leibniciana: la mayorı́a
de las cuestiones tradicionales, a menudo las más aporéticas, son retomadas y pasadas por la “criba” de esta nueva aproximación a la
realidad. Se puede seleccionar, como un modelo del género, la toma de
posición leibniciana frente a la muerte. Leibniz retoma una tesis muy
habitual de la antigua metafı́sica -aquella de la inmortalidad-, pero
distinguiéndose mediante la argumentación que propone. Se trata de
substituir las imágenes groseras e inadecuadas del comienzo y el fin,
pero también de la permanencia, por el concepto de una transformación continua e infinita: no hay en realidad ni comienzo, ni fin, los
seres vivos se “desarrollan” y se “enrollan” [“développent” et “enveloppent”8 ]. Es sólo bajo esta condición que la tesis de la inmortalidad
viene a ser aceptable. El nacimiento y la muerte no deben ser concebidas como momentos de ruptura (paso del no-ser al ser o del ser
al no-ser), ni como simples continuaciones de lo mismo, sino al contrario, como procesos continuos de crecimiento y de disminución. La
7
De la Libertad, PO. Pp. 379-383.
Developper/ envelopper: Este par de conceptos juegan un papel clave dentro del sistema leibniciano como ha venido a subrayar la obra de Deleuze, “El Pliegue, Leibniz y el
Barroco”. La primera de las palabras sugiere el par desarrollar / enrrollar, sin embargo
la segunda nos inclinarı́a más bien por desenvolver /envolver. En este caso he escogido
el primer par para mantener la implicación de progreso (que corresponderı́a también al
par evolucionar / involucionar que es el utilizado por Velarde en su traducción y por el
mismo Leibniz en la versión latina de la Monadologı́a). Con el segundo se pone el énfasis
en el origen “textil” del par en cuestión (que se verı́a aún más acentuado con desplegar /
replegar) y ya me veré forzado a recurrir a él más adelante (ver p.59). [T]
8
7
disminución puede ir tan lejos que el proceso, propiamente hablando, deje de ser visible. Pero aquello que no es visible se deja concebir
sin contradicción y sobre la base de sólidas razones que bastan para
establecerlo. La muerte será aquella “disminución, que hace volver al
animal a las produndidades de un mundo de pequeñas criaturas, donde
las percepciones son más limitadas9 [bornées10 ]”
Cómo no advertir en esas proposiciones, pero también en el argumento
[demarche] que hace aquı́ de hilo conductor, las analogı́as, incluso las
similitudes con los conceptos fundadores del totalmente nuevo cálculo
infinitesimal: la introducción de las magnitudes “diferenciales” (aquellas que Leibniz propone escribir como “dx”, donde “x” representa
una variable y “d” la operación de diferenciación) en el análisis permite determinar aquellas cantidades “tan pequeñas” que anteriormente
escapaban al cálculo, y orienta a las matemáticas hacia una medida
[mesure] adecuada de la continuidad. ¿Qué son entonces las “disminuciones” y los “crecimientos” de los que habla cuando está en cuestión
el análisis de la muerte, sino la reformulación, en el espacio de una biologı́a, de las formas matemáticas de la diferenciación y la integración?
Aquello que vale para la biologı́a puede también valer para una fı́sica general, al igual que para un pensamiento de la historia: es toda
una filosofı́a nueva la que llama el nuevo cálculo, capaz de escapar
por fin a las aporı́as de los antiguos metafı́sicos, demasiado atrapados por una concepción finitista de la realidad. Leibniz se diferencia
en este punto de aquellos modernos que, como Descartes y sus “seguidores” [sectateurs], han buscado reinventar la filosofı́a, pero han
resultado demasiado tı́midos y demasiado prudentes en la elaboración
de una concepción racional del infinito. Leibniz habrı́a trabajado también - ayudándose constantemente de sus invenciones matemáticas y
aplicando los conceptos de lo infinitesimal a otros objetos y en otros
sectores- hacia la constitución de una filosofı́a de parte en parte “infinitista”. Ası́ tomará distancia de la afirmación religiosa de una infinitud
trascendente y misteriosa.
9
Por lo general tanto cuando usa “limite” como “borne” parece referirse a aquello
que denotamos con la palabra “lı́mite” en español, pero por lo general a dos acepciones
distintas: “limite” para término (se llega hasta allı́), y “borne” a cota (no se va más
allá). Lo preferible habrı́a sido poder utilizar “lı́mite” siempre para “limite” y “cota” para
“borne” y las palabras análogas, pero el resultado es demasiado chocante en muchos de los
casos. Sin embargo para permitir seguir el rastro al lector he puesto “lı́mite” en cursivas
cuando corresponde a “borne”. [T]
10
Cf. Principios de la filosofı́a, Monadologı́a, §73 y 76, PO p.406.
8
2.
Pero no es seguro que el proyecto de una doctrina unificada sea tenible,
y que pueda existir una convergencia entre los análisis matemáticos
y las preocupaciones más generales de la filosofı́a: Leibniz se resistió regularmente a las presiones de sus contemporáneos que querı́an
hacerlo admitir una correspondencia estricta entre los descubrimientos matemáticos y las tesis de fı́sica o de metafı́sica que implicaban el
infinito. Quizás debió defenderse también contra su propia tendencia
a establecer correspondencias, analogı́as entre los distintos dominios,
entre los diversos niveles de análisis. El estallido de los “órdenes” reaparecerı́a entonces, en la oposición entre el “infinito verdadero” (Dios
o la inmensidad del mundo) y las determinaciones limitadas gracias
a las cuales pensamos. Incluso los conceptos matemáticos más sutiles
parecen entonces insignificantes: ¿no son finalmente ficciones, llenas
de astucia y útiles, pero sin valor de verdad fuera de su estricto dominio de utilización? Uno tiende entonces, de nuevo, a desesperarse
con la razón: ¿no hay ningún concepto que pueda “irse al infinito”?
¿Qué viene a ser en estas condiciones el proyecto de una “ciencia del
infinito”?
Existe entonces una dificultad que apunta a esa mezcla de proximidad
y de distancia que Leibniz instala entre su “cálculo del infinito” y el
resto de su filosofı́a. Al hilo de sus textos, pero también al hilo de los
númerosos comentarios que su obra ha sucitado, uno se ve confrontado a la separación [ecart], quizás irreductible, que se ahonda [creuse]
entre las matemáticas y la metafı́sica; pero al mismo tiempo uno se
ve enviado y devuelto sin cesar de un polo al otro, según aquello que
Leibniz mismo llama relaciones de “expresión” recı́proca.
¿Una metafı́sica “abusiva”?
Resulta entonces interesante señalar [remarquer] que justamente Leibniz,
ası́ como aquellos que son inscritos bajo su filiación, se han visto reprochados,
y esto desde del siglo XVIII, por haber “mezclado” [melangé] abusivamente
los análisis matemáticos y las hipótesis metafı́sicas, de haberse “embrollado” [embarrassé] en una metafı́sica del infinito, prefiriendo muy a menudo
las extrapolaciones y las analogı́as al rigor de la matemática. Como si la
positividad de las matemáticas fuese trabada entre ellos por una metafı́sica
estorbosa [encombrante].
La posición tomada por d’Alembert resulta desde esta perspectiva muy
significativa: ella representa un “tipo” de crı́tica radical a la filosofı́a leibniciana. En su Ensayo sobre los elementos de la filosofı́a, d’Alembert opone la
9
buena metafı́sica y la metafı́sica “abusiva”. La primera corresponde al conocimiento claro de los principios de la ciencia: es “la más satisfactoria cuando
no considera sino los objetos que están a su alcance, los analiza con claridad
y precisión, y no se eleva en su análisis más allá de aquello que ella misma
conoce claramente de los mismos”; pero la metafı́sica deviene “la más fútil
cuando, orgullosa y tenebrosa a la vez, se introduce [enfonce] en una región
negada a su mirada, diserta sobre los atributos de Dios, sobre naturaleza del
alma, sobre la libertad (...) donde toda la antigüedad filosófica se ha perdido,
donde toda la filosofı́a moderna no debe esperar ser más afortunada11 ”. Y
la consideración del infinito es la ocasión principal para el desarrollo de esta
metafı́sica excesiva.
A los metafı́sicos “abusivos” - Fontenelle es señalado explı́citamente, pero
sin duda, a través de él, también Leibniz - d’Alembert dirige de hecho tres
reproches principales:
- Haber sobrepasado las reglas de la prudencia cientı́fica, y haberse dedicado
a tratar con preguntas demasiado complejas, y por lo tanto definitivamente oscuras: preguntándose, por ejemplo, si el infinito puede decirse
de Dios, o si la naturaleza es infinita, y en qué sentido.
- No haber fijado “una idea clara, simple y al abrigo de todo enredo [chicane]” del infinito: ahora bien, fijar esta idea, es, según d’Alembert,
comprender a la vez que nosotros no tenemos (y que no podremos tener
nunca) una idea positiva del infinito como tal, porque para nosotros
esta noción se reduce [ramène] principalmente a la idea “abstracta” y
vaga de indefinido; y que la única definición verdadera del infinito es
la del “lı́mite” de lo finito: “El término [terme] contra el cual lo finito
tiende sin nunca arrivar, pero a donde se puede suponer que se acerca
siempre más y más.12 ”
- No haber comprendido que las expresiones (en particular las expresiones
matemáticas) donde entra el término “infinito” no remiten jamás a
“alguna cosa” que serı́a infinita, sino que son “maneras abreviadas de
expresarse, que los matemáticos han inventado para enunciar una verdad, cuyo desarrollo y enunciado exacto habrı́an requerido demasiadas
palabras”. En el fondo, los metafı̀sicos “excesivos” no resisten la tentación, natural y naı̈ve, de “realizar” el infinito, para hacer de él la
“base real de sus cálculos”.
11
12
Essai sur les éléments de philosophie, Fayard, p. 347.
Ibid. p. 340.
10
En la serie de artı́culos de la Enciclopedia que consagra al cálculo13 ,
d’Alembert busca establecer una diferencia muy precisa [nette] entre Leibniz y Newton, oponiendo la “embrollo” del uno a la determinación esclarecedora del otro. Leibniz se habrı́a “embrollado con las objeciones que sentı́a
se podrı́an hacer sobre las cantidades infinitamente pequeñas”, allı́ donde
Newton “no ha tomado jamás el cálculo diferencial como el cálculo de cantidades infinitamente pequeñas, sino como el método de las primeras y últimas proporciones [raisons], es decir, el método de encontrar los lı́mites de las
relaciones [rapports]...” La positividad newtoniana consistirı́a en haber comprendido, antes de que el concepto mismo fuese plenamente elaborado, que
“la teorı́a de los lı́mites es la verdadera base del cálculo diferencial”. La otra
metafı́sica, aquella de las cantidades “infinitamente pequeñas” vendrá a ser
en realidad superflua: de allı́ que notemos que “la suposición que hacemos de
cantidades infinitamente pequeñas no es más que para abreviar y simplificar
el razonamiento...”, todos los “misterios” se explican y se desaparecen como
tantos otros falsos problemas: “Se puede prescindir muy comodamente de
toda esa metafı́sica del infinito en el cálculo diferencial.”
Aunque sea precisa, la crı́tica de d’Alembert no resulta menos problemática. De hecho, ella nos reconduce a las preguntas leibnicianas. Podemos rearreglar las dificultades alrededor de tres puntos:
1.
Una primera serie de dificultades apuntarı́a a la palabra misma: el
término “infinito”, efectivamente, está lleno de equı́vocos que alimentan las fluctuaciones del concepto mismo, o más aún, de aquella “noción” de infinito que tenemos y que está, sin duda, muy lejos de ser
un concepto. El defecto es aquı́, en principio, del lenguaje común, que
deja las significaciones en una gran indeterminación. Pero nuestra relación habitual con el lenguaje es implicada tanto o más: frente a las
palabras, sobre todo cuando se trata de “substantivos”, partimos inmediatamente a la búsqueda de un referente - como si debiese haber
“alguna cosa” que responda al término “infinito” de la que se intentara
adquirir conocimiento. ¿Qué hay aquı́ sino una creencia naı̈ve e irreflexiva acerca de la “realidad” de las palabras? Si la vı́a propuesta por
d’Alembert es interesante, es porque ella exige antes que nada resistir
a ese realismo naı̈ve que nos hace tomar las palabras por las cosas o
por los signos de las cosas.
Pero se irı́a demasiado rápido al negar la existencia de un referente. ¿El
infinito es nada y no hay nada que sea infinito? ¿Estamos seguros que
13
Encyclópedie, artı́culos “Infinito”, “Diferencial”, “Lı́mite”.
11
no hay allı́ más que una palabra, que una manera de hablar? Aquello
que hay de interesante en Leibniz es que se le puede ver resistir al
realismo naı̈ve, pero al mismo tiempo no abandona la perspectiva de
una referencia: el infinito no es “nada”, y los “juegos” del lenguaje no
remiten sólo a ellos mismos. Y si él admite que las diferenciales son
caracteres que abrevian el razonamiento, se trata de caracteres bien
fundados, que tienen su fundamentum in re.
2.
Una segunda serie de dificultades concierne a la exigencia misma de
claridad y de definición que anima la crı́tica que conduce d’Alembert.
Esa exigencia toma evidentemente sentido dentro de una polı́tica de
extensión del saber: es necesario luchar contra el oscurantismo y desarrollar los conocimientos “tous azimuts”, comprendiendo las cuestiones
reputadas como las más inaccesibles, como aquella del infinito. Para
d’Alembert el riesgo apunta a que los hombres, como sucede en general, caigan fascinados por la oscuridad “previendo que de ahı́ resulte
alguna cosa maravillosa14 ”, pero sobre todo a que los hombres quieran cultivar el misterio ellos mismos, mediante lo cual parecerı́an muy
poderosos y muy sabios. Nada más que “charlatanerı́a”: de hecho, “la
verdad es simple, y quizás se deshace del número más grande sabiendo
que no vale la pena15 ”. Más que ninguna otra, la cuestión del infinito ya que ella se comunica con todos los enigmas de la teologı́a - requiere
ser desembarazada de sus resı́duos mı́sticos [“gangue mystique”].
Pero, ¿es verdaderamente pertinente aquı́ la exigencia de claridad?
Exigir la claridad y hacerla el criterio de la verdad, no es, simplemente, instalarse en una concepción intuicionista del conocimiento, como
si el infinito debiera, o bien devenir el objeto de una “visión”, o en su
defecto no ser más que una palabra, una “manera de hablar”. Leibniz,
constantemente, busca construir una vı́a distinta: la claridad intuitiva
no es un buen criterio en materia de conocimiento. Uno puede ser “ciego” o “sordo”, y a pesar de eso reconocer lo verdadero: porque pensar
no es ver, sino calcular, y la consistencia del cálculo debe primar sobre
las evidencias (¿o las oscuridades?) de la intuición. ¿Es necesario desahuciar los enunciados sobre el infinito, bajo el pretexto de que no son
“claros”? La única vı́a positiva serı́a entonces aquella de una reducción
a lo finito: o bien que se mantenga la idea del infinito que se tiene habitualmente, una idea muy vaga y “abstracta” (aquella de una “cantidad
14
15
Encyclopédie, artı́culo “Différentiel”.
Ibid.
12
a la cual no le asignamos lı́mites”), o bien que se la determine dentro
de lo finito, como la tendencia de ciertas cantidades finitas contra sus
lı́mites (“el término contra el cual lo finito tiende sin nunca arribar,
pero al que se puede suponer que se aproxima siempre más y más”).
Es precisamente contra esta reducción que los análisis leibnicianos se
orientan. ¿Es necesario ver ahı́ el signo de una metafı́sica demasiado
ambiciosa, de un realismo mal controlado [maı̂trisé] y condenado al
fracaso, o más bien, de una orientación conceptual distinta, no menos
exigente?
3.
Un tercer grupo de dificultades concierne a la historia de las matemáticas del infinito, y el rol que allı́ juega aquella metafı́sica aparentemente “abusiva”. Tratándose del infinito, las matemáticas son sujeto de
una extraña historia. Las cuestiones que conducen a “reencontrar” el
infinito son muy antiguas, pero la conceptualización propiamente matemática del infinito se adquiere muy lentamente. Ciertos conceptos
que hoy nos parecen elementales, como aquellos de función o de lı́mite, no vienen a ser construidos sino muy tardı́amente. Se encontrarı́an
argumentos consistentes para decir que no es sino hasta el siglo XIX,
con los trabajos de Weierstrass y del mismo Cantor, que el infinito
toma definitivamente su lugar entre los conceptos fundamentales del
pensamiento matemático. Los matemáticos han dudado con frecuencia entre una desconfianza frente del infinito y la invención, quizás
sutil pero mal controlada conceptualmente, de técnicas de cálculo que
dan un lugar (al infinito), como tantas astucias [autant de ruses] que
anticipan una teorı́a ausente.
La época de Newton y de Leibniz parece ası́ llena de incertidumbre: ven
la luz nuevos procedimientos de cálculo, pero los conceptos que permitirán
justificarlos están en curso de elaboración. Leibniz en matemáticas - se le
ha reprochado a menudo - tantea más de lo que demuestra. Su rol efectivo
es a veces controvertido, como sucede a menudo cuando se trata de asignar
los “inventores” a los “descubrimientos”. O bien se insiste en la importancia
del método, y se hace de su marcha [demarche] innovadora (sus exigencias
“algorı́tmicas”, su “arte de la invención”) el principio del desarrollo ulterior
de las matemáticas del infinito: se tiene entonces la figura de un descubridor. O bien nos atenemos únicamente a los problemas y a los conceptos
efectivos, para constatar que en el fondo Leibniz a innovado muy poco, que
el sobre todo se ha dedicado a organizar los cálculos que otros (Fermat,
Pascal, Huygens) habı́an emprendido antes que él, y que sus trabajos están
13
limitados por la indeterminación, perceptible por la ausencia de ciertos conceptos claves. Leibniz pertenecerı́a entonces, sea cual sea su “genio”, a una
época primitiva en la historia del cálculo del infinito. Esta querella es probablemente interminable, ya se alimenta de las ambigüedades mismas de la
obra leibniciana16 . ¿Pero no es entonces en su “metafı́sica” que es necesario buscar las elaboraciones conceptuales que aparentemente hacen falta en
matemáticas? Se puede aquı́ hacer un paralelo entre las argumentaciones
[demarches] de Leibniz y Spinoza: ¿no es cuando hablan de “Dios”, y retrabajan las categorı́as más tradicionales de la filosofı́a (notablemente aquella
de “substancia”) que ellos contribuyen a hacer entrar el infinito en el campo
de la racionalidad, incluso en la matemática?
“Todo va al infinito en la naturaleza17 ”
Las exigencias de una “reforma”
Es necesario “reformar” la metafı́sica: tal es la exigencia que Leibniz se
pone después de haber analizado la crisis en la cual, a sus ojos, la “filosofı́a
primera” se ha hundido. Pero en el debate que opone en el siglo XVII los
“Antiguos” y los “Modernos”, Leibniz escoge la solución de término medio,
privilegiando la continuidad y la integración de las posiciones sobre la ruptura: pues reformar es en principio conservar, incluso si las reinterpretaciones
son inevitables. Esa conservación se sostiene sobre tres puntos fundametales:
una metafı́sica es posible y necesaria, como “ciencia” distinta y fundamentadora de las otras disciplinas; esa metafı́sica se define primero que todo
como una “ontologı́a”, ciencia o teorı́a general del ser18 , y la noción tradicional de substancia continúa siendo su centro. La diferencia aquı́ es muy
precisa entre Leibniz y sus contemporáneos, Pascal o Spinoza por ejemplo,
que buscan deshacerse de tal noción, o en todo caso a reservar su uso para
Dios. Qué sean las “substancias”, cómo vienen a la existencia y cómo se
16
Nosotros remitimos en la bibliografı́a a las obras que tratan precisamente de esas
dificultades.
17
Tout va à l’infini dans la nature. Principios de naturaleza y de la gracia fundadas en
la razón, §6, PO, p.393 En la traducción de Olaso (p.600) se dice “todo tiende al infinito”
que sin duda suena mejor, pero para mı́ tiene el problema de que da la apariencia de
mantener el infinito en la lejanı́a, en la potencialidad, hacia la que se “tiende”, mientras
que lo que se pretende aquı́ es mostrar que el infinito está aquı́, de manera actual, en todo
lo que hace parte de la naturaleza [T].
18
El uso de este término es desarrollado por Christian Wolf (1679-1754) Pero se encuentra también en Leibniz (COF, p.512): “Ciencia de cualquier cosa y de ninguna, del ser y
del no-ser, de la cosa y sus modos, de la substancia y los acidentes.”
14
mantienen, cómo ellas se relacionan unas con otras, tales son las cuestiones
principales que esta “metafı́sica” debe responder.
Pero la conservación no tiene sentido si no se acompaña de una empresa
de renovación. Leibniz terminará por proponer un nuevo término, “mónada”,
para designar aquello que considera la realidad primera, verdadero elemento
fundador de aquello que nosotros llamamos, sin saber muy bien que es, la
realidad.
La reforma emprendida por Leibniz se desarrolla en principio sobre un
plan lógico. La substancia es un “sujeto”, y habrá que comprender que ese
sujeto tiene una relación de inherencia con el conjunto de sus predicados:
los predicados están “en” el sujeto, y la proposición que los relaciona no
es más que una explicitación. Pero las cuestiones de orden dinámico revelan rápidamente ser también muy importantes: ¿cómo y sobre la base de
qué potencia estas “substancias” producen los efectos? Estos interrogantes
conducen a Leibniz a romper con los cartesianos, a operar un retorno a los
“Antiguos” (Aristóteles, pero también Platón) y a construir, bajo el tı́tulo
de “monadologı́a”, una nueva filosofı́a en primera instancia muy enigmática.
El atomismo y el mecanicismo se encuentran ahı́, en efecto, subvertidos: las
substancias son como las “almas”, o “átomos espirituales”, los cuerpos no
deben su realidad a la materia o a la extensión, sino a las fuerzas que allı́ se
expresan. De conjunto, la racionalidad de esta nueva filosofı́a dará problema,
Leibniz se adhiriéndose a la reactivación de una forma de animismo o vitalismo, mientras que los fundadores del pensamiento moderno, comenzando por
Bacon y Descartes, habı́an buscado desembarazarse de éstos. Los elementos
de esta filosofı́a singular son sometidos a muchas revisiones en textos que
ademas de muy complejos suelen ser muy sintéticos19 . ¿Qué lugar ocupa,
en su trabajo constante de renovación de la metafı́sica y de sus categorı́as
fundamentales la consideración del infinito?
Los diferentes “lugares” de la infinitud
El término infinito interviene abundantemente, en uno de los textos donde Leibniz expone aquello que constituye según sus propias palabras los
“principios de (su) filosofı́a”, la Monadologı́a. Este texto es tardı́o (se lo
fecha en 1714) y se apoya en una doctrina ya constituida para entonces
desarrollar las grandes articulaciones.
19
Citamos algunos de los más importantes: Discurso de metafı́sica (1686), Nuevo sistema
de la naturaleza y de la comunicación de las substancias (1695), Principios de la naturaleza
y la gracia y Principios de la filosofı́a, llamados Monadologı́a (estos últimos dos textos son
escritos entre 1711 y 1714).
15
El término infinito aparece explı́citamente en cinco contextos diferentes,
lo que incita al lector a la prudencia. Las dificultades señaladas en la introducción están plenamente presentes aquı́: ¿qué hay que entender por el
término “infinito”? ¿Es suceptible de una definición unificada y precisa, o
no hay más que una idea vaga e “indefinida”? Y sobre todo: ¿cómo se relacionan unos con otros los diferentes aspectos (los diferentes “niveles”) de la
infinitud?
La infinitud de Dios. - La infinitud es en principio aquella de un Dios y
sus “atributos”. Hay, debe haber - es una de las constantes de la filosofı́a
leibnciana que se articula siempre con una teologı́a - un “autor infinito” del
mundo y de la historia:
... Dios es absolutamente perfecto; la perfección no siendo otra
cosa que la magnitud de la realidad positiva tomada de manera precisa, poniendo aparte los lı́mites o cotas en las cosas. Y
allı́ donde no hay nigún tipo de cotas, es decir en Dios, la perfección es absolutamente infinita20 .
Sin la infinitud la perfección no podrı́a, por retomar una fórmula de la
Correspondencia con Arnauld, ni ser, ni ser concebida. Los dos términos
se remiten el uno al otro en una relación de casi-identidad: la perfección,
dice Leibniz, no es “nada más que” la infinitud. Aquello que es perfecto,
nada le podrı́a faltar: la perfección implica, por lo tanto, analı́ticamente (es
decir, por simple despliegue [deploiement] de su noción) la abolición de los
lı́mites. La infinitud pertenece a aquel que es perfecto a mismo tı́tulo que la
existencia.
La originalidad de Leibniz viene menos de la tesis misma (que la inifinitud sea uno de los “atributos” de Dios es una proposición constante de las
teologı́as modernas) que de sus motivaciones. A las tradicionales “pruebas”
de la existencia de Dios no les reconoce valor sino bajo una condición previa:
hay que mostrar que un ser absolutamente perfecto e infinto es posible, es
decir, que se deja concebir sin contradicción. Que tengamos una “idea” de
la perfección infinita no es suficiente: tenemos también una idea del número
más grande o de una velocidad infinı́tamente grande a pesar de que el uno y
la otra son, stricto sensu, imposibles, pues implican una contradicción. Y los
20
... “Dieu est absolutement parfait; la perfection n’etait autre chose que la grandeur de
la réalité prise précisement, en mettant à part les limites ou bornes dans les choses qui en
ont. Et là où il n’y a point de bornes, c’est a dire en Dieu, la perfection est absolutament
infinie.” Monadologı́a, §41, PO, p.401.
16
pensamos, y también los utilizamos en las demostraciones21 . Es necesario
entonces someter el argumento “ontológico” tradicional (“A un ser perfecto la existencia no le podrı́a faltar”) a una prueba previa: aquella de la no
contradicción, y es sólo bajo esta condición que viene a ser aceptable.
Si hay un Dios perfecto, es decir infinito, es sobre todo porque es necesaria, a los ojos de Leibniz, una “razón” superior que culmine [acheve] la
serie de razones particulares y salve ası́ el mundo de la contingencia. El Dios
de la Monadologı́a, en su propia infinitud, es sobre todo una exigencia de
la razón, y Pascal habrı́a visto allı́ muy ciertamente un Dios-de-filósofo: “Es
necesario que la razón suficiente o última esté fuera de la secuencia o serie
del detalle de las contingencias, por infinito que éste podrı́a ser.22 ”
Es la infinitud de Dios, paradójicamente, la que viene a poner un “término” a la infinitud de las contingencias o de los “detalles” del mundo. La
posibilidad de encadenar infinitamente razones particulares a razones particulares es una amenaza a su racionalidad: en esas condiciones, en efecto,
nos harı́a falta siempre una razon “suficiente” que “complete” los encadenamientos (las series), si no, no se escaparı́a jamás verdaderamente a la contingencia. Es de esta “razón última”, que “es incapaz de lı́mites y (contiene)
tanta realidad como es posible23 ”, de la que se puede afirmar sin reservas
que es plena y “positivamente” infinita.
Se puede reparar aquı́ en muchas dificultades. Mientras que el término
orden es frecuente en Pascal, que ahonda la separación entre “órdenes” heterogéneos, es raro en Leibniz. ¿La infinitud de Dios constituye un orden
de infinitud especı́fico? La infinitud es descrita aquı́ como la “ausencia de
lı́mites”: parece entonces (pero ¿cómo podrı́a ser de otra manera?) que serı́a
una operación de abstracción la que nos conducirı́a a concebir el infinito.
¿Pero entonces la idea del infinito no resulta demasiado indirecta, finalmente demasiado indeterminada? Leibniz, para caracterizar la perfección divina,
hace intervenir la noción de “magnitud”24 . ¿Qué es una magnitud “sin lı́mites”? ¿Poner “aparte” los lı́mites, no es abolir la idea misma de magnitud?
Cómo una “magnitud” ası́ puede ser concebida?
Es la cuestión del conocimiento del infinito la que se anuncia aquı́: ¿darse
un Dios y llamarlo infinito, “inmensamente grande”, no es condenarse de
partida a hacer del infinito una realidad misteriosa y, en sentido estricto,
inconcebible? Cómo se puede ser a la vez un filósofo racionalista, quizás uno
21
Carta a Elizabeth (?), fin 1678, PO, p. 129-130.
M, §37, p. 401.
23
M, §40, p. 401.
24
Ibid. “La perfección no siendo otra cosa que la magnitud de la realidad positiva tomada
de manera precisa, poniendo aparte los lı́mites o cotas en las cosas.”
22
17
de los más racionalistas de los filósofos - “nada es sin razón”- y un teólogo
de la trascendencia divina.
La infinitud de los mundos posibles. - Uno encuentra enseguida “entre
las ideas de Dios”, es decir, siguendo con cuidado las distinciones leibnicianas, situándose en el nivel de un análisis de los posibles, una “infinitud de
universos”:
Ahora bien, como hay una infinitud de universos posibles entre
las ideas de Dios y no puede existir sino uno solo, es necesario
que exista una razón suficiente de la elección de Dios que lo
determine hacia uno más que a otro25 .
Antes que ser una dimensión del mundo real, el infinito caracteriza los
“posibles”. Que haya una infinitud de universos posibles, diferentes del nuestro, es en parte lo que permite a Leibniz (contra Spinoza sobre todo) defender
la hipótesis de la elección divina: el universo existente no es el único universo
posible. Pero esto trae a cuenta, por otra parte, un sistema de combinaciones, de composiciones alternativas: otros universos, diferentes del nuestro
pero “coherentes”, son pensables, y ası́ al infinito. El paso de lo posible a lo
real no obedece a una necesidad en el sentido estricto (aquella de una identidad), sino a la determinación de lo mejor. A esta tesis corresponde, en la
Teodicea, la reinterpretación de la creación divina como cálculo, concebido
bajo el modelo de una combinatoria que toma en cuenta la infinitud de los
posibles.
La infinitud de los posibles, tan grande como sea, no es más que
aquella de la sabidurı́a de Dios, que conoce todos los posibles. Se
puede decir incluso que si su sabidurı́a no sobrepasa extensivamente los posibles, pues los objetos del entendimiento no podrı́an
ir más allá de lo posible, que en un sentido es sólo inteligible, ella
les sobrepasa intensivamente, a causa de las combinaciones infinitamente infinitas que ella de ellos realiza, y de tantas reflexiones
que ella hace allá arriba. La sabidurı́a de Dios, no contenta de
abarcar todos los posibles, los penetra, los compara, los pesa los
unos contra los otros, para estimar los grados de perfección o
de imperfección, lo fuerte y lo débil, lo bueno y lo malo: ella va
más allá de las combinaciones finitas, ella realiza allı́ una infinitud de infinitos, es decir una infinitud de continuaciones posibles
25
M, §53.
18
del universo, donde cada una contiene una infinitud de criaturas, y por ese medio, la sabidurı́a distribuye todos los posibles
que ella ha considerado por aparte, en una variedad de sistemas
universales, que ella compara entonces entre ellos: y el resultado
de todas sus comparaciones y reflexiones es la elección del mejor
entre todos esos sistemas posibles26 ...
Notamos de nuevo la presencia de la noción de magnitud, aplicada a la
infinitud. Ella se profundiza mediante la distinción entre dos modos, o dos
maneras de referirse al infinito: extensiva o intensivamente. La “extensión”
corresponde a la infinitud simple, que uno podrı́a llamar objetiva (sin perder
de vista que se trata de posibilidades, no de realidades): hay una infinitud de
posibilidades coherentes, es decir de mundos, posibles. La “intensión” implica la refexión, y el examen meditado [réflechi] de los posibles por la puesta
en obra de la combinatoria hablando propiamente, en una distribución que
tiene por objeto la determinación del mejor. La inflación del vocabulario - lo
infinitamente infinito - marca esta oposición entre una infinitud de primer
grado y una infinitud meditada por intermedio de un sistema combinatorico. Se tiene aquı́, a propósito de Dios, la indicación muy precisa de que
por ese sistema la infinitud pude devenir objeto de conocimiento: la combinatoria permite “abarcar” [embrasser] los posibles y “comprender” esa
infinitud. Lejos de indicar un lı́mite para el conocimiento, la cualificación de
“infinitamente infinito” marca, por el contrario, el momento donde el juego
combinatorio transforma el infinito en objeto de conocimiento.
La infinitud de la substancia. - Una de las singularidades de esta doctrina,
es que la infinitud no está “reservada” a un Dios, ası́ fuese el “autor infinito” del mundo y de las cosas del mundo. Ella se dice también de los “seres”
realmente existentes, en otros términos, de las “substancias” o “mónadas”.
Leibniz distingue variedad de especies de substancias, según el desarrollo
mayor o menor de la conciencia, donde la “percepción” y el “apetito” pertenecen a todas las substancias, y no sólo a aquellas que son dotadas de
conciencia. Todas “perciben” el infinito y son marcadas por él. El “apetito”,
que es “la acción del principio interno que hace el cambio o el paso de una
percepción a otra” : cada substancia es una realidad dinámica, capaz de pasar por sı́ misma, es decir por un “principio interno”, de un estado al otro.
“Percibir”, que es reunir [rassembler] una multitud de estados en la unidad
de un mismo sujeto: “Representar una multitud en la unidad.27 ” Es allı́ donde se sitúa la relación con el infinito: la substancia es representativa, y esa
26
27
T, §225, GF, p. 253.
M, §14, PO 398.
19
capacidad de representación va al infinito: “La naturaleza (de la mónada)
siendo representativa, nada podrı́a limitarla a no representar más que una
parte de las cosas... ellas van todas confusamente al infinito, al todo...28 ”
Leibniz explica, en la Correspondencia con Arnauld, que la unidad (en el
doble sentido de unicidad y de cohesión) es absolutamente necesaria para
los seres, y que no se podrı́a ser un ser sin ser uno: “Yo tengo por un axioma
esa proposición indéntica que no es variada sino por el acento, a saber, que
aquello que no es verdaderamente UN ser no es verdaderamente un SER.” 29
Parece que la relación con el infinito es completamente fundamental, en el
sentido de que ser es “percibir”, “expresar” el infinito. Es toda la definición
habitual de finitud la que Leibniz retrabaja aquı́: en lugar de oponer como
dos realidades separadas lo finito y lo infinito, y de considerar las substancias
individuales como seres finitos, hay que comprender (en todo caso plantear,
pues resulta un problema saber en que medida es comprensible) que la substancia es, también, a su manera, infinita. Por “simple” y “singular” que sea,
ella no expresa menos que el universo entero, y también, cuando se trata
de substancias inteligentes, la divinidad. La imagen que Leibniz utiliza más
frecuentemente para hacerse comprender es la del espejo; la mónada es un
“espejo vivo perpetuo” de todo el universo: “Toda substancia es como un
mundo entero y como un espejo de Dios, o bien de todo el universo, que
cada una expresa a su manera, un poco como una ciudad es diversamente
representada según las diferentes posiciones del que la contempla.30 ”
Se suele imaginar las mónadas leibnicianas como entidades encerradas
[closes], cerradas sobre sı́ mismas, “sin puertas ni ventanas”. Se olvida ası́ que
cada substancia es como un mundo, es decir, que finalmente nada le es
exterior. La interioridad tiene entonces inmediatamente el sentido de una
apertura radical al infinito.
¿Qué es entonces lo que distingue, desde tal perspectiva, la infinitud
de Dios de aquella de la substancia singular? La diferencia entre el “autor
infinito” del mundo y sus “criaturas” corresponde, no a la oposición radical
de lo infinito y lo finito, sino a una separación entre dos modos de ser infinito.
De una parte el infinito es percibido por la mónada entre los lı́mites de un
cierto punto de vista, desde un cierto ángulo, a partir de una situación unica.
Tantas mónadas, tantas perspectivas singulares tomadas de la infinitud del
mundo. Un Dios que, por el contrario, vendrá a integrar todos esos “puntos”
28
M, §60, p. 404.
“Je tiens pour un axiome cette proposition identique qui n’est diversifiée que par
l’accent, à savoir, que ce qui n’est pas véritablement UN être n’est pas non plus véritablement un ÊTRE.” Carta a Arnauld del 30 de abril 1687, PO, p.252
30
DM, §IX, PO, p. 168.
29
20
de vista. Por otra parte el infinito es percibido por las mónadas entre la
confusión y la indistinción:
(...) Dios al regular el todo ha tenido en consideración cada parte,
y particularmente cada mónada; cuya naturaleza al ser representativa, nada podrı́a limitarla a no representar más que una parte
de las cosas, aunque sea verdad que esa representación no sea
sino confusa dentro del detalle de todo el universo, y no pueda ser distinta sino en una pequeña parte de las cosas, es decir,
en aquellas que son, o bien las más próximas, o bien las más
grandes, con relación a cada una de las mónadas; de otra manera cada mónada serı́a una Divinidad. No es en el objeto, sino
en la modificación del conocimiento del objeto, que las mónadas
son limitadas. Ellas van confusamente al infinito, al todo, pero
están limitadas y se distinguen por los grados de percepciones
distintas.
Incluso cuando la percepción deviene una percepción consciente (cuando
se trata de almas razonables o reflexivas), ella no podrı́a ser del todo una
percepción distinta. Hay en el universo, y en la representación que producen
de él las substancias, detalles, pliegues al infinito, que escapan a la “lectura”:
“Un alma que no pueda leer en ella misma más que aquello que es representado distintamente, no podrı́a desenvolver de un golpe todos sus repliegues,
que van al infinito.31 ”
Que la distinción pueda poco a poco reemplazar la confusión, y que haya
lugar a ese nivel para un progreso del conocimiento, Leibniz lo indica muy
claramente. Queda aún el hecho de que la distinción no podrá tener lugar sino en una “pequeña parte de las cosas” y que de esa manera se mantendrá limitada. Es en entonces en gran parte sin saberlo que nos “representamos”
el infinito: percibir no significa apercibir y hay una gran diferencia entre la
conciencia y el conocimiento distinto. El desarrollo de nuestro conocimiento
tiene entonces por correlato una “explicitación” del infinito, a medida que
las relaciones -los repliegues- se pueden distinguir cada vez mejor y mejor.
¿Qué modo de pensamiento estará a la altura de esta exigencia? Leibniz pone a menudo en relación la imaginación y la confusión como llamándose la
una a la otra. Pero, ¿qué es pensar sin imaginar y qué son los conceptos si no
son imágenes? ¿Cuál rol pueden jugar las matemáticas en esta explicitación
del infinito?
31
M, §60, PO, p. 404.
21
La infinitud del universo. - Las substancias singulares, tomadas una a
una, están llenas de repliegues y “van al infinito”: ellas representan ası́ una
infinitud que es la del universo en su totalidad. La totalidad de las cosas
existentes debe ser concebida como “la multitud infinita de “las” substancias
simples”: “El detalle “es” ilimitado a causa de la variedad inmensa de las
cosas de la naturaleza y de la división de los cuerpos al infinito.32 ”
Leibniz insiste regularmente en la omnipresencia del orden en el universo:
el caos, el desorden no son sino aparentes, “nada se puede hacer que no
esté ya en el orden”33 . Pero el orden es aquel del universo infinito, “inmenso”.
La utilización de términos como “mundo” o “naturaleza” no le cambia nada
a esta afirmación fundamental: la multiplicidad de substancias es tal que no
se le pueden asignar lı́mites.
Leibniz considera siempre el spinozismo, no solamente como una herejı́a,
sino también como un error, negando la identificación de Dios y la naturaleza que Spinoza coloca en el centro de su filosofı́a. La infinitud del Dios
leibniciano se conserva trascendente, ella no viene a confundirse jamás con
aquella de la naturaleza, que continúa ocupando el lugar que le reserva tradicionalmente la religión, aquel de una creación. Pero esta subordinación no
le impide a la naturaleza acceder a la infinitud. Se reencuentra aquı́ una dificultad análoga a aquella que concierne a las substancias singulares: ¿qué es
entonces lo que hace la diferencia entre la infinitud de la divinidad y la de la
naturaleza? O, para poner la pregunta de otra manera: ¿cuáles son las vı́as
del anti-spinozismo de Leibniz?
La respuesta apunta a una precisión concerniente a la naturaleza especı́fica de la infinitud “natural”:
(...) El universo (...) debiéndolo entender como toda la eternidad
futura es un infinito. Es más, hay una infinitud de criaturas en la
menor partı́cula de la materia, a causa de la división actual del
continuum al infinito. Y el infinito, es decir el montón de número
infinito de substancias, propiamente hablando, no es un todo; no
más que el número infinito mismo, del cual no se podrı́a decir si
es par o impar. Es lo mismo que sirve para refutar aquellos que
hacen del mundo un Dios, o que conciben a Dios como el alma del
mundo; el mundo o el universo no puede ser considerado como
un animal o como una substancia34 .
32
M, §57, 36, PO, p. 401 y 403.
Discurso de Metafı́sica, §VII, PO, p. 166.
34
“(...) L’univers (...) se devant étendre par toute l’eternité future est un infinit. De
33
22
El asunto es a la vez filosófico y religioso: ¿se llegarı́a hasta hacer del
mundo un Dios? Es notable que la tesis de la infinitud del universo sea
mobilizada aquı́ para resistir a tal identificación. Es porque el universo es
infinito que no puede ser un Dios (o que un Dios no puede ser su alma): a
condición de comprender qué se tiene que ver, con el universo, con un cierto
tipo de infinitud: el “montón de número infinito de substancias”. Un tal
montón, por definición, no puede ser ni un todo ni una realidad simple, y un
tal “número” escapa a nuestros esfuerzos de determinación. Describir ası́ la
infinitud del mundo es entonces inmediatamente (analı́ticamente) mostrar
imposible la confusión entre un Dios, que es necesariamente un ser absolutamete simple, plenamente determinado, y la naturaleza, ciertamente infinita,
pero de una infinitud jamás unificable.
¿Qué es exactamente el “montón de número infinito”? El término “montón”
marca aparentemente la imposibilidad de una determinación exacta. Pero,
¿cómo puede Leibniz hablar de número cuando se refiere a algo ası́? ¿Qué significación podrı́a recibir el término “número infinito” desde un punto de vista
aritmético?
¿Qué sentido dar al término “totalidad”? Las cuestiones de vocabulario
son tanto más importantes cuando se sabe el compromiso de Leibniz con
una caracterı́stica rigurosa, es decir, únicamente articulada por conceptos
precisamente determinados. Es frecuente que Leibniz, entre sus consideraciones, que podrı́amos llamar de cosmologı́a general, haga referencia a la
totalidad del mundo. Hemos visto, por ejemplo, que cuando caracteriza la
situación de substancias singulares en el universo, explica que las mónadas
van “confusamete al todo”. La definición misma de mundo demada - ¿pero
cómo podrı́a ser de otra manera? - que se recurra a esa idea de totalidad35 .
¿Cuál es entonces el status de ese “todo”? ¿No es más que una manera de
hablar, inaceptable “en rigor”, teniendo que toca tratar justamente con una
realidad que no se deja totalizar?
La divisibilidad de la materia. La naturaleza se compone de una multitud
inmensa de substancias, pero ella se nos aparece bajo la forma de un sistema
plus, il y a une infinité de creátures dans la moindre parcelle de la matière, à cause de la
division actuelle du continuum à l’infini. Et l’infini, c’est-à-dire l’amas d’un nombre infini
de substances, à propement parler, n’est pas un tout; non plus que le nombre infini luimême, duquel on ne saurait dire s’il est pair ou impair. C’est cela même qui sert à refuser
ceux qui font du monde un Dieu, ou qui conçoivent Dieu comme l’âme du monde; le monde
ou l’univers ne pouvant être considéré comme un animal ou comme une substance.” Ibid.
35
T, Primera Parte, §8, GF, p.108: “Yo llamo mundo a toda la secuencia y toda la
colección de todas las cosas existente, a fin de que no se pueda decir que muchos mundos
pueden existir en diferenes tiempos y en diferentes lugares. Pues tocarı́a contarlos todos
juntos por un mundo, o si ustedes quieren, por un universo.”
23
de cuerpos extendidos. Es necesario entender el término “aparecer” en dos
sentidos posibles, aparición y apariencia. Leibniz se opone de un lado a los
“filósofos demasiado materiales”, y de otro a los cartesianos, que conciben
la materia extendida como una realidad substancial. Pensar ası́, es dejarse
llevar por el juego de las apariencias, olvidar que los cuerpos, la materia, la
extensión son primero que todo fenómenos (incluso si son fenómenos “bien
fundados”), que “envuelven” siempre “alguna cosa imaginaria”. Eso que nosotros llamamos hoy el “materialismo” - Leibniz es, por lo demás, uno de los
que forjan esa noción - es a sus ojos una doctrina seductora, pero finalmente inconsecuente36 . Lo que importa aquı́, es que el argumento decisivo de
la crı́tica leibniciana compromete directamente la consideración del infinito
en un sentido sensiblemente diferente del que ha aparecido hasta ahora. No
puede haber, si se sigue a Leibniz, realidad sin unidad: pero esa unidad no
podrı́a ser encontrada en la materia, por el hecho de su divisibilidad “al
infinito”. Aquellos que buscan átomos en la materı́a están condenados por
adelantado a fracasar en su búsqueda que es en realidad contradictoria: en
efecto, se le exige la la indivisibilidad (la unidad, incluso la simplicidad) a
una extensión material que, por definición, no es capaz de tal. A ese nivel,
nuestras divisiones no se podrı́an detener; por lo tanto no hay átomos o
individuos materiales:
“Cada porción de la materia no sólo es divisible al infinito, como
los Antiguos lo han reconocido, sino que también está subdividida actualmente sin fin, cada parte en partes, de las cuales
cada una tiene algún movimiento propio, de otra manera serı́a
imposible que cada porción de la materia pudiese expresar todo
el universo... Cada porción de la materia puede ser considerada como un jardı́n lleno de plantas, como un estanque lleno de
peces. Pero cada rama de la planta, cada miembro de un animal, cada gota de sus humores es también un tal jardı́n o un tal
estanque.37 ”
Que la división sea interminable, esto apunta a la naturaleza misma de
la materia. Se llega entonces “muy a menudo” a “una sutileza para nosotros
imperceptible”: allı́ hasta la imaginación nos abandona, y es necesario aceptar concebir eso que no puede ser, a pesar de todos los perfeccionamientos
36
¿Qué es entonces aquello que da realidad y unidad a los cuerpos? En la Correspondencia con Arnauld, Leibniz explica que esta cuestión es una de las más difı́ciles de resolver: la
respuesta requiere de hecho, bajo el nombre de “Dinámica”, toda la teorı́a de las fuerzas,
de sus manifestaciones, y de su composición.
37
M, §65, 67, PO, p. 405.
24
posibles (se piensa naturalmente en el desarrollo y a las observaciones de la
biologı́a naciente), un objeto de visión. Esta materia infinitamente divisible
“contiene” la multitud infinita de substancias que componen el universo, o
más aún, para hablar rigurosamente, ella resulta, como el fenómeno resulta
de aquello que es la manifestación:
Para hablar con precisión, la materia no está compuesta de unidades constitutivas, pero resulta de ellas, pues la materia o masa extendida no es más que un fenómeno fundado en las cosas
como el arco iris o los espejismos, y toda la realidad no pertenece más que a las unidades. Los fenómenos pueden entonces
ser siempre divididos en fenómenos más pequeños que pueden
aparecer a otros animales más pequeños, pero jamás se llegará a
los fenómenos que sean los más pequeños. De hecho, las Unidades substanciales no son las partes, sino los fundamentos de los
fenómenos38 .
Lo importante aquı́ apunta tanto a la “pequeñez” hacia la cual el análisis
se orienta como al status que Leibniz da a esa infinitud. Hablar simplemente
de divisibilidad, o, como se ha acostumbrado decir a partir de los Antiguos,
de “potencialidad”. Es algo completamente diferente lo que Leibniz tiene en
vista aquı́, incluso al no negar esa posible división al infinito. Al reconocérsela
no se ha recorrido más que la mitad del camino: queda lo más difı́cil, concebir
el infinito como una realidad “actual”.
El infinito existe “en acto”
Este recorrido a través de las múltiples dimensiones de la monadologı́a
leibniciana conduce en principio más a preguntas que a respuestas unı́vocas.
¿Cuál es en el fondo la unidad entre estas diferentes apariciones del infinito?
¿Una misma definición puede valer para Dios y para la naturaleza, para los
individuos y para el universo, para las substancias y para sus fenómenos?
¿De qué manera el infinito se encuentra, por lo demás, “definido”? La frecuencia del término contrasta con la rareza - uno puede hablar también de
38
“Pour parler précisement, la matière n’est pas composée d’unités constitutives, mais
elle en résulte, puisque la matière ou masse n’est qu’un phénomène fondé dans les choses comme l’arc-en-ciel ou le parhélie, et toute réalité n’appartient qu’a des unités. Les
phénomènes peuvent donc toujours être divisés en phénomènes plus petits qui pourraient
appaı̂tre à d’autres animaux plus petits, mais jamais on ne pairvendrá à des phénomènes
qui seraient les plus petits. En fait les Unités substatielles ne sont pas les parties, mais les
fondaments des phénomènes.” Carta a Volder del 30 de junio 1704, PS, II, p.268
25
la ausencia - de una verdadera definción, al contrario de lo que sucede con
otros conceptos principales de la doctrina (percepción, apetito, alma). La
única indicación, de hecho, es dada por Leibniz en el análisis de la noción de
la perfección (divina): la infinitud corresponde a la “magnitud de la realidad
positiva tomada con precisión, poniendo aparte los lı́mites o cotas en las cosas que los tienen”39 . Pero no es seguro que esta proposición sea suficiente;
más aún, no es seguro que ella sea generalizable. ¿No vale ella esencialmente
para un Dios, en la medida que las substancias singulares sean todas al igual,
como se ha visto previamente, limitadas?
La afirmación que es más general - quizás ella dirija todas las otras es que el infinito existe “en acto” (o “actualmente”), y no simplemente “en
potencia”. Esta tesis concierne a la vez a la “razón última” (Dios), el universo (la naturaleza) y a las substancias, simples o compuestas. Ésta llega a
ser formulada, según un argumento [demarche] muy inspirado de Pascal40 ,
de manera negativa: “Y después de todo, es muy falso que un infinito actual sea imposible.41 ” Pero Leibniz no duda en formular esta misma tesis
afirmativamente:
Yo estoy a favor del infinito actual de tal manera, que en lugar de admitir
que la naturaleza le aborrece, como se dice vulgarmente, yo sostengo que es
afectada por él por todas partes, para mejor resaltar las perfecciones de su
autor. Ası́ es que yo creo que no hay ninguna parte de la naturaleza que no
sea, yo no digo divisible, sino actualmente dividida, y por consecuecia, la
menor partı́cula debe ser considerada como un mundo lleno de una infinitud
de criaturas diferentes42 .
Se reencuentra esta afirmación en el prefacio de los Nuevos Ensayos sobre
el entendimiento humano, a propósito de la “inmensa sutileza de las cosas
que envuelve un infinito actual siempre y por todo [partout]”.
Leibniz toma ası́ posición en un debate muy antiguo, que se alimenta
de ciertos análisis de Aristóteles y que ve confrontar dos concepciones del
status del infinito:
- O bien se considera que el infinito existe “actualmente”: como alguna cosa,
39
M, §41, PO, p. 401.
Del espı́ritu geométrico, OC, Pléiade, p. 572-592.
41
T, Discurso de la Conformidad de la fe con la razón, §8, GF, p. 55.
42
“Je suis tellement pour l’infini actuell, qu’au lieu d’admettre que la nature l’abhorre,
comme on le dit vulgairement, je tiens qu’elle l’affecte partout, pour mieux marquer les
perfections de son auteur. Ainsi je crois qu’il n’y a aucune partie de la nature qui ne soit,
je ne dis pas divisible, mais actuellment divisée, et par conséquent, la moindre parcelle
doit être considérée comme un monde plein d’une infinité de créatures differéntes.” Carta
a Foucher, PS, I, p.416.
40
26
o como una propiedad de las cosas existentes (se dirá por ejemplo, como
lo hace Leibniz, que “el universo es infinito”). Nuestras operaciones de
pensamiento como la división o la adición, no hacen entonces más que
descubrir una realidad que les preexiste. La ausencia de lı́mites o de
cotas debe entonces ser considerada como un hecho. Si se llegan a
operar divisiones o aumentos al infinito, es porque el infinito existe en
el mundo, o mejor, porque el mundo es él mismo infinito. Incluso si no
tenemos experiencia directa de esta infinitud, ella no constituye sino
la condición de posibilidad de esas operaciones.
- O bien se considera el infinito como una realidad simplemente “potencial”.
Dado por ejemplo un número, se podrá siempre encontrar uno más
grande, y ası́ sin fin. Dada una extensión, podrá ser dividida en dos
porciones iguales, y reiterar esa operación al infinito. ¿Qué es entonces
el infinito? Ni una realidad que existiese en sı́ misma, ni tampoco una
dimensión de la realidad, sino el paso “interminable” de una cantidad
a otra. Jamás la ausencia de lı́mite existe en sı́ misma (siempre hay
números, magnitudes delimitadas): pero eso lı́mites son transpasables,
o desplazables, hacia otros.
Se es remitido ası́ a una distinción de Aristóteles, para quien no es posible contentarse con oponer el ser y el no ser, sino que hay que distinguir
entre dos maneras de ser: “el acto” y “la potencia”. Aplicada al infinito, esta
distinción permite tomar una posición de compromiso: por una parte hay
que admitir la existencia del infinito, si no uno serı́a conducido a un cierto
número de absurdos o de contradicciones (por ejemplo: afirmar que ciertas
magnitudes no son divisibles en magnitudes más pequeñas, o bien que el
tiempo tiene un comienzo o un fin). Pero por otro lado es necesario reconocer que el infinito no posee las caracterı́sticas suficientes para “ser” en el
pleno sentido de la palabra, como “son” las substancias individuales. Principalmente - este es uno de los argumentos más importantes en Aristóteles
- le falta al infinito una identidad propia en sı́ (“puede ser siempre tomado
“como” alguna otra cosa y siempre otra”): no es “en sı́ mismo” y además
no puede ser conocido “en tanto que infinito”, sino que depende siempre de
magnitudes finitas que se añadan o se substraigan las unas a las otras 43 .
Es necesario entonces tener juntas esas dos exigencias: el infinito debe tener
43
Fı́sica, libro III, 206a: “El infinito no es para considerar como alguna cosa especial y
precisa [todè ti], un hombre, por ejemplo, una casa; sino que es necesario comprender la
existencia del infinito como se dice que son los dı́as de la Olimpiada, a los cuales el ser no
les pertenece como siendo tal o cual sustancia, pero que son siempre a devenir y perecer,
sin duda limitados y finitos, pero siendo siempre otros y siempre otros.”
27
una (cierta) realidad, más no puede ser “en acto”: le queda entonces ser “en
potencia”. El análisis es del mismo tipo que aquel que realiza Aristóteles
a propósito de la materia, y señala además en múltiples ocasiones que se
está ante dos realidades análogas: “por otra parte, entre las cuatro especies
de causas admitidas por nosotros, es claro que el infinito no es causa sino
como materia44 . Su ser, es la privación (...) Todos los filósofos han considerado, ası́ como nosotros, el infinito como materia.” Pero es necesario precisar,
tratándose del infinito, la idea de “ser en potencia”: pues ciertas realidades
que son en potencia pueden devenir en acto (se podrı́a hablar de la potencia
como virtualidad, incluso como tendencia), lo que no será nunca el caso del
infinito, condenado en cierta forma a mantenerse siempre sin arribar a la
actualidad:
(...) Cuando se dice en potencia, no se debe tomar esa expresión
en el sentido que se dice, por ejemplo, que, si tal materia puede devenir una estatua, esta materia será una estatua; y no se
debe pensar que hay también un infinito que pueda existir actualmente. Pero la palabra Ser tiene variedad de acepciones, hay
que comprender que el infinito puede ser de la misma manera
que es el dı́a o el periodo de los juegos olı́mpicos, porque sin cese
deviene otro y siempre otro45 .
Los ejemplos que toma aquı́ Aristóteles conciernen de cerca al estatus de
las palabras mismas: la permanencia, la consistencia no son más que apariencias verbales, ellas atrapan un devenir y una indeterminación perpetuas.
El infinito no podrı́a entonces ser “en acto”: al igual que a la materia le
falta la forma, la parte de indeterminación del infinito es demasiado grande
para que pueda devenir una realidad entera aparte - una “cosa alguna”. Del
infinito no se puede ni se podrá jamás decir “eso que él es”.
La distinción de lo actual y lo potencial concierne de tal manera a Leibniz
que la retoma para sı́ en parte, oponiéndose ası́ a toda la corriente cartesiana
que rechaza la idea de potencia como oscura (¿qué es lo que significa en efecto para una cosa ser, sin ser verdaderamente, o sin ser aún?). La “reforma”
leibniciana de la noción tradicional de substancia pasa por la reintroducción
de la “potencialidad” al lado [aux côtés de] de la “actualidad”. El pluralismo defendido por Aristóteles en la determinación del “ser” - “la palabra
Ser tiene variedad de acepciones” - reencuentra entonces un sentido. Pero
el status del infinito aparece, en el seno mismo de esta nuevo desarrollo,
44
45
Ibid. 207b-208a.
Ibid. 206a.
28
completamente transformado. Leibniz no se niega, hemos visto, a la idea
de que el infinito pueda existir “en potencia”: la extensión (la materia) es
“divisible al infinito”. Pero esa infinitud “potencial” corresponde a una infinitud “actual”: la materia está actualmente dividida, en una división que
se abre sobre la infinitud (la multitud infinita) de las criaturas. El infinito
existe entonces “en acto”, no como una realidad separada, sino como una
propiedad fundamental (necesaria) de toda cosa: que se trate de un Dios, del
mundo o de las substancias que lo componen, “ser” para ellos, es ser efectivamente (actualmente) infinitos. El infinito leibniciano se tiene entonces del
lado de las “substancias”, de los “seres verdaderos”. Este nuevo estatus exige
por lo menos dos cambios complementarios en relación a la muy coherente
argumentación que se encuentra en los textos de Aristóteles:
- Que el infinito deje de ser afectado por los defectos que tradicionalmente
le impedı́an la actualidad. La cuestión de la imperfección llega ası́ a
un primer plano, pero ası́ también la de la indeterminación: para que
el infinito, por ejemplo, pueda decirse de Dios, al cual por definición
nada le falta, es necesario que la ausencia de lı́mites deje de equivaler
a la privación y a la negación. Desde una perspectiva aristotélica, se
dice que “nada es perfecto que no tenga un fin; y el fin, ese es el
lı́mite”46 . Aquı́ es necesario entonces estar en capacidad de invertir la
proposición: nada es perfecto a no ser que no tenga lı́mites. Pero es
necesario también que la ausencia de lı́mites corresponda a un máximo
de determinación: resulta entonces una cosa totalmente distinta la que
se vendrı́a a concebir bajo la misma palabra “infinito”.
- Inversamente, es necesario que la realidad no sea identificada a la limitación, que se pueda ser, y también ser perfecto o completo sin por lo
tanto ser finito. Esa cuestión corresponde tanto a la naturaleza misma
de las cosas como al movimiento del conocimiento: ¿qué es conocer,
sino definir, sino delimitar?
Podemos tomar prestada de Cassirer y de Koyré la idea de que la concepción moderna del mundo apunta en gran manera al descubrimiento de un
universo infinito - valdrı́a más sin duda hablar de invención y no de descubrimiento, tanto más si es verdad que nos faltan las experiencias que harı́an
aparecer la infinitud como una evidencia sensible: las tesis leibnicianas se
integran en un movimiento cultural que evidentemente las sobrepasa. Pero
46
Ibid. 207a.
29
lo que le corresponde a Leibniz (y a otros - pensando notablemente en Pascal y Spinoza), es haber intentado determinar el sentido y la verdad de ese
nuevo “paradigma”. Pues la afirmación de que el universo es infinito, por
moderna que sea, puede muy bien mantenerse como una hipótesis bastante
enigmática, suficiente para alimentar la imaginación y para desvalorizar las
antiguas concepciones del mundo, pero finalmente de un débil valor conceptual. Esa tesis, por sı́ misma, no resuelve nada: por el contrario multiplica
las dificultades. Es necesario entonces examinar la verdad: ¿la tesis de una
“actualidad” del infinito puede dar lugar a una concepción coherente? ¿En
qué nos hace ella conocer, mejor que otras, la realidad de las cosas?
Leibniz con Pascal47
Leibniz reconoce a menudo tener una deuda muy significativa con Pascal. Las cuestiones de matemáticas cuentan mucho en ese reconocimiento:
es meditando acerca del trabajo de Pascal que Leibniz llega a poner en su
lugar las orientaciones fundamentales de lo que vendrá a ser, poco a poco,
el cálculo diferencial. Pero Pascal es también uno de aquellos que, en el siglo XVII, han avanzado más en esta “consideración del infinito” que tanto
importa a Leibniz. En el comentario que realiza de los textos de Pascal sobre el infinito, Leibniz insiste en la continuidad de sus análisis, como si la
descripción pascaliana de la doble infinitud, de “magnitud” y “pequeñez”,
viniera a integrarse dentro su propia doctrina del infinito actual. Hay, si se
sigue a Pascal, una naturaleza infinita, “esfera infinita cuyo centro está en
todas partes y la circunferencia en ninguna”, y una “infinitud de universos”
en la menor partı́cula de la materia. La cuestión, evidentemente, es también teológica: no hay contradicción en atribuir la infinitud a un Dios y en
atribuirla a la naturaleza. Al contrario: la infinitud de la naturaleza es la
marca, el “caracter sensible de la omnipotencia de Dios”. Por otra parte,
Pascal recurre, para caracterizar la naturaleza, a fórmulas tradicionalmente
reservadas a Dios. Es comprensible que Leibniz haya encontrado en él puntos
de apoyo muy importantes para elaborar su propia doctrina. La distancia
que les separa no puede ser más significativa: al confrontar los textos, uno
incluso llega a preguntarse a veces por dónde es que Leibniz viene a percebir una continuidad. Pues si bien está de acuerdo con Pascal en admitir
la existencia del infinito, el recorrido para llegar a esa conclusión, ası́ como
las consecuencias que saca, son completamente diferentes. La diferencia más
espectacular concierne a los análisis antropológicos: el descubrimiento de la
47
Ver el texto anexo, éste consiste en un comentario al fragmento de Pascal, Desproporción del hombre.
30
doble infinitud del universo es para Pascal siempre fuente de miedo y angustia: “La unidad añadida al infinito no le aumenta en nada, no más que un
pie a una medida infinita. Lo finito se aniquila en presencia de lo infinito y
deviene una pura nada48 .” Descubrir la existencia del infinito, es de vuelta
reconocerse no sólo como un ser finito, sino como una “nada”, un “punto medio”, dice Pascal, entre esos dos extremos que son lo infinitamente pequeño
y lo infinitamente grande, pero un punto medio donde la inconsistencia impide toda certeza y toda seguridad. El conocimiento, lejos compensar esos
defectos y esos limites, está él mismo, marcado por esa inconsistencia:
Para nosotros nada se detiene. Es el estado que nos es natural, y de
todas maneras el más contrario a nuestra inclinación: ardemos en deseo de
encontrar un asiento firme, y una última base constante para edificar una
torre que se eleve al infinito: pero todo nuestro fundamento se quiebra y la
tierra se abre hacia los abismos49 .
No se puede entonces recurrir a lo finito: tenemos que admitir la existencia del infinito, más sin poder comprenderlo.
No se encontrara nada ası́ en Leibniz: ni inquietud, ni indeterminación.
Jamás el infinito es descrito como un “abismo”, jamás es reconocida allı́ la
inconsistencia de nuestro “ser”. Es más bien lo inverso lo que allı́ tiene lugar. Es por la infinitud que ella conoce como suya, ası́ sea confusamente,
que la mónada se descubre “como un Dios50 ”. Todo el tema de la desproporción desaparece en Leibniz, para ser reemplazado por su contrario: aquel
de la proporción, o de la analogı́a, que está marcado por las fórmulas: “como Dios”, “como el universo”. La diferencia de estatus entre la substancia
“finita” y la infinitud de un Dios o del universo deja de ser una diferencia
radical, para venir a ser del orden de una “disminución”. La proximidad se
incrementa aún si se toma en consideración el tema del Dios “combinador”:
cuando Dios calcula, no hace nada distinto de lo que nosotros hacemos, simplemente lo hace a otra escala. La infinitud deja de ser para las substancias
una realidad exterior: la infinitud está “en” el “casi-nada” y no más allá de
él. De un mismo golpe, ese “primer casi-nada” deviene “último casi-todo”.
La inquietud pierde aquı́ toda razón de ser: ¿qué tiene entonces que temer
aquél que se descubre ser “como Dios”?
Más fundamentalmente aún, es a un cambio completo de perspectiva al
que uno se ve confrontado. En Pascal es siempre al interior de una antropologı́a que el infinito es planteado y descrito: el punto de vista a partir del
48
OC, Pléiade, p. 1212.
OC, Pléiade, p. 1212.
50
Las dudas en las formulaciones leibnicianas y el grado de complicación al que es
conducido para diferenciar Dios y las substancias finitas son relevantes. (ver texto 1)
49
31
cual el infinito es percibido es aquel de un hombre, que descubre que los
lı́mites de lo que creı́a que era su mundo son siempre provisorios, y que no
se puede pasar más allá. La infinitud actual del mundo es el horizonte de
esa experiencia (se podrı́a decir también: su condición), pero nunca deviene
objeto directo de análisis.
Al contrario en Leibniz, las consideraciones antropológicas se difuminan,
y la descripción de aquello que se podrı́a llamar un sistema del infinito
pasa a un primer plano, sin medirse a partir de la experiencia humana. La
realidad infinita deviene ella misma un objeto de análisis. ¿Dónde encuentra
esa divergencia profunda su origen? Se pueden indicar por lo menos dos
motivos.
Por una parte le “falta” a Pascal (quizás su “defecto” es, por lo demás,
uno de los ejes más interesantes de su filosofı́a) la noción de substancia que
Leibniz pone constantemente por delante. Esa “ausencia” [manque] corresponde a orientaciones de pensamiento muy opuestas: es probable que la
consistencia atribuida por Leibniz a las cosas del mundo, y en particular a
los seres humanos, pareciera usurpada a Pascal. Incluso si Pascal ve en el
pensamiento una fuente de grandeza para el hombre, no va a hablar nunca
de aquél como de una substancia. No es incluso abusivo emplear, a propósito
del hombre, las nociones de “ser” o “estado”: ¿Qué es el yo [moi]? Ante esta
posibilidad, Leibniz no duda nunca: su doctrina de la substancia, que en su
simplicidad expresa o representa la infinitud del mundo, le da los medios
de concebir una comunidad de lo finito y lo infinito que no existe nunca en
Pascal. La trascendencia de lo infinito - la de un Dios o de la naturaleza - no
tiene entonces para nada el mismo estatus: en un caso ella es la marca de lo
que somos siempre privados; en el otro caso deviene aquello que ciertamente
nos sobrepasa, pero hacia lo que, incluso confusamente, vamos nosotros. El
infinito ha devenido nuestro elemento.
Por otro lado, Pascal no concibe sino que un tipo de conocimiento del
infinito sea posible. Se puede - es necesario - admitir su existencia, pero su
naturaleza se matiene desconocida para nosotros.
Conocemos que hay un infinito, e ignoramos su naturaleza (...) Conocemos entonces la existencia y la naturaleza de lo finito, porque somos finitos
y extendidos como él. Conocemos la existencia del infinito e ignoramos su
naturaleza, porque él tiene extensión como nosotros, pero no tiene lı́mites
como nosotros. Pero no conocemos ni la existencia ni la naturaleza de Dios,
porque el no tiene ni extensión ni lı́mites51 .
Solamente olvidando el infinito se puede emprender, presuntuosamente
51
Pascal, OC, p. 1212
32
por lo demás, el conocimiento de la naturaleza, como si se tuvera “alguna proporción con ella”. Pero el inacabamiento mismo de las ciencias nos
recuerda nuestra vanidad y nos incita a transformarla en “curiosidad y admiración”. Es más en la “contemplación silenciosa” y en el temor [effroi] que
en la ciencia incierta donde el infinito puede encontrar su verdad.
Se comprende ası́ porqué, finalmente, Leibniz se separa de Pascal: no
puede aceptar la idea de que sea necesario por un lado admitir la existencia
del infinito y por otra parte renunciar definitivamente a comprender su naturaleza. Inversamente, es porque se debe poder comprender la naturaleza
del infinito que el tema de la admiración pasa en los textos de Leibniz a un
segundo plano. El infinito, ciertamente, continúa siendo descrito como una
“maravilla”, pero la dimensión estética se desvanece ante el análisis racional,
y sobre todo, cambia de significación: que el infinito sea admirable, eso no
significa jamás para Leibniz que sea incomprensible.
Si el infinito deja de ser una realidad atemorizadora, es entonces ante
todo porque se transforma totalmente su estatus cientı́fico, y porque viene
a ser pensado como objeto de un conocimiento posible. La demarcación con
Pascal (la muy sosegada atmósfera que se desprende de los textos leibnicianos) pasa por ese cambio. Que haya allı́, en la parte de Leibniz, un tipo
de desafı́o, es probable: ¿qué es lo que motiva una tan grande confianza
en los poderes del conocimiento? ¿Y por cuáles medios puede comenzar a
constituirse una tal “ciencia del infinito”?
“Podemos, sin embargo,
saber muchas cosas del infinito52 ”
Una “ciencia” muy problemática
La filosofı́a leibniciana, cuando intenta establecer los “primeros principios” sobre los cuales nuestros conocimientos se pueden fundar, se apoya
constantemente - lo hemos visto en el capı́tulo anterior - sobre la afirmación
de que el infinito existe, no sólo como una posibilidad, sino como una realidad. Se puede aún ir más lejos por esa vı́a: no hay ninguna realidad que no
sea, de una manera u otra y a pesar de las apariencias, “marcada” por el
infinito. La sistematicidad que pretende Leibniz debe mucho a la hipótesis
de una replicación del infinito, según los diferentes niveles de realidad que
la monadologı́a permite distinguir.
52
“Nous pouvons pourtant savoir beacoup de choses de l’infini”. Reflexiones sobre la
parte general de los principios de Descartes, Libro I, sobre el artı́culo 26, PO, p.293
33
Esta tesis es explı́cita, y es al mismo tiempo muy problemática: ¿cuál
es en efecto el estatus del infinito actual? ¿En dónde hay allı́, propiamente hablando, un conocimiento? Leibniz no duda en hablar a propósito de
su doctrina del infinito como de una “ciencia”: el comparte con Spinoza el
proyecto de constituir una “filosofı́a del infinito” que vaya más allá de simples hipótesis y que pueda pretender la verdad. La proximidad temporal, y
sobre todo, la manera como se intercruzan sus análisis, son, por lo demás,
sorprendentes. ¿De qué tipo de ciencia se trata? En uno y otro, aunque bajo
modalidades muy diferentes, el “principio de razón” ocupa un plano central,
asociado a la idea de que el poder de la razón no tiene lı́mites, o más exactamente, que sus lı́mites no impiden la aparición del infinito. Esta tesis toma
regularmente en Leibniz una tonalidad teológica, pero no se restringe ahı́.
Ası́ es que el Discurso de la conformidad de la fe y la razón (que precede
los Ensayos de Teodicea), en el cual Leibniz polemiza vivamente con Bayle,
pero también a través de él con Descartes, está integramente consagrado a la
demostración de que no hay “misterios” que se opongan a la razón, y Leibniz
defiende en esta ocasión el derecho de la razón a un conocimiento efectivo
del infinito. “Debe” ser posible, en contra de las tradiciones religiosas, pero
también de las filosóficas, que colocan al infinito más allá de la razón para
hacer de él un objeto de admiración y de misterio, elaborar una doctrina
racional del infinito. Pero, ¿cómo escapar aquı́ de la petición de principio? Se
puede reformular la pregunta a partir de la distinción que Leibniz propone
entre los diferentes grados del conocimiento:
Cuando puedo reconocer una cosa entre otras, sin poder decir en que
consisten sus diferencias o sus propiedades, el conocimiento es confuso (...)
Pero cuando puedo explicar las notas que tengo, el conocimiento se denomina distinto (...) El conocimiento distinto tiene grados, pues ordinariamente
las nociones que entran en la definición requerirı́an ellas mismas de definición y sólo son conocidas confusamente. Pero cuando todo lo que entra en
una definición o conocimiento distinto es conocido distintamente, hasta las
nociones primitivas, lo llamo conocimiento adecuado. Y cuando mi espı́ritu
comprende simultanea y distintamente todos los ingredientes primitivos de
una noción, posee un conocimiento intuitivo que es bien raro, pues la mayorı́a
de los conocimientos humanos son, o bien confusos, o bien hipotéticos 53 .
53
“Quand je puis reconnâitre une chose parmi les autres, sans pouvoir dire en quoi
consiste ses differences ou ses propiétés, la connaissance est confuse (...) Mais lorsque je
puis expliquer les marques que j’ai, la connaisance s’appelle distincte (...) La connaisance
distincte a ses degrés, car ordinairement les notions qui entrent dans la definition auraient
besoin elles-mêmes de définition et ne sont conues que confusément. Mais lorsque tout ce
qui entre dans une définition ou connaisance distincte et connu distinctement, jusq’aux
34
Si debe y si puede haber una “ciencia” del infinito, esto implica al menos,
llegar a elaborar sus propias ideas distintas, o mejor, adecuadas. Es necesario
entonces afrontar dos dificultades tradicionales, que conciernen, la una a la
existencia del infinito, y la otra a su naturaleza:
1.
Leibniz, hemos visto, se decide, contra una tradición inspirada en
Aristóteles, a favor de la actualidad del infinito. Habrı́a podido mantenerse en la posición más prudente de los partidarios del infinito potencial, o bien definir al infinito como una “idea”, en un sentido cercano a
aquel que Kant da a ese término. ¿De dónde le viene esa seguridad de
que el infinito “existe”? ¿Cuáles son sus fundamentos? Esta seguridad
podrı́a ser el fruto de una experiencia. Podrı́a ser el lugar de llegada
[terme] de un razonamiento. Pero la experiencia no provee más que el
infinito “potencial”: lı́mites, más allá de los cuales siempre podemos
llevar nuestra mirada - pero nunca tenemos una experiencia del infinito “propiamente hablando”. ¿Y cuál razonamiento será tan potente
como para decidir tal existencia?
2.
Las palabras mismas nos emprobleman. Una de las exigencias básicas
del trabajo del conocimiento es definir: primero el sentido de las palabras que utilizamos, y después, en la medida de lo posible, la naturaleza
o realidad de las cosas de las que hablamos. Pero ¿qué es “definir” si
no asignar lı́mites, para distinguir las cosas o las propiedades unas de
las otras? Podemos recordar, pues aquı́ la etimologı́a está lejos de ser
anecdótica, que definir puede decirse en griego horizein. ¿Cómo puede
entonces el infinito hacerse objeto de una verdadera “definición” y de
un conocimiento adecuado? Recordemos la descripción que da Leibniz
de la finitud: ir hacia el infinito, pero entre la confusión.
La crı́tica de la prudencia cartesiana
Descartes indica en la primera parte de los Principios de la Filosofı́a por
qué el proyecto mismo de una comprensión cientı́fica del infinito le parece
“ridı́culo” y vano. Apunta principalmente a una diferencia de naturaleza:
somos, irremediablemente, seres finitos, y “la naturaleza del infinito es tal
que los pensamientos finitos no la podrı́an comprender”54 . Esta toma de
notions primitives, j’appelle cette conaisance adéquate. El quand mon esprit comprend à
la fois et distinctement tous les ingredients primitifs d’une notion, il en a une connaisance
intuitive qui est bien rare, la plupart des connaisance humaines n’etant que confuses ou
bien suppositives.” Discurso de Metafı́sica, §XXIV, PO, p.184
54
Principios de la filosofı́a, Primera parte, §19, OEuvres, Pléiade, p.579-580
35
posición determina una frontera, casi una prohibición dentro de la cual la
mayorı́a de los pensadores del siglo XVII se irı́an a situar. Es necesario, es
cierto, relativizar esta tesis, y tomar en cuenta la distinción que Descartes
establece entre “concebir” y “comprender”: podemos concebir alguna cosa
del infinito con bastante claridad y distinción, en particular aquello que
pueda ser la perfección de Dios. Pero se mantiene el hecho de que el infinito
sobrepasa nuestro entendimiento: la inteligencia cede entonces el paso a la
contemplación admirativa.
El sabio debe ser prudente: es necesario tenerse con cuidado, cuando se
piensa en “eso en lo que no encontramos lı́mites”, en la noción de indefinido,
sin arriesgarse a “determinar ninguna cosa” sobre el infinito, y sin “enredarse... en las disputas del infinito”. Es eso mismo lo que serı́a “ridı́culo”, y
que supondrı́a de nuestra parte un saber que no podemos poseer. Cuando
se trata de Dios, podemos - dada la idea que tenemos de sus perfecciones
sin lı́mites-, estar seguros de que se trata de un verdadero infinito. Pero
cuando se trata de “otras cosas”, de las que no sabemos que sean “tan absolutamente perfectas”, no tenemos ningún criterio decisivo para saber si
la ausencia de lı́mites que notamos apunta a su naturaleza o “al defecto
de nuestro entendimiento”. Es necesario entonces “reservar sólo a Dios el
nombre de infinito”55 , y considerar las otras cosas, incluyendo las “cosas”
matemáticas, como “indefinidas”. De esta manera Descartes no se arriesga a
afirmar como lo hace Pascal, que la naturaleza o la realidad son infinitas. Las
cuestiones sobre el infinito - “si la mitad de una lı́nea infinita es infinita, o si
el número infinito es par o impar” - aparecen viciadas en su principio mismo
y surgen quizás de un tipo especial de locura, en todo caso de una ambición
excesiva (¿aquella misma que define la metafı́sica?): “No son sino aquellos
que se imaginan que su espı́ritu es infinito los que parecen deber examinar
ese género de dificultad.” Se trata de cuestiones indecidibles, a causa de una
indeterminación imposible de sobrepasar. Y esa indeterminacion, una vez
reconocida y circuscrita, vale más que un pseudo-conocimiento.
Es principalmente de la separación entre los dos dominios (lo finito, objeto de experiencia, y lo infinito, realidad trascendente), pero también entre
dos tipos de inteligibilidad, que se agarra Leibniz: resulta muy significativo
que en sus anotaciones crı́ticas sobre los Principios cartesianos omita comentar la §19 del primer libro, que contiene justamente la distinción entre
“concepción” y “comprehensión” del infinito. En el comentrario que da de la
§26, admite que hay una diferencia entre “saber alguna cosa de un objeto”
y “comprender”, pero lo hace para añadir inmediatamente que “sabemos
55
Ibid., p. 582-583
36
muchas cosas del infinito”:
Aunque seamos seres finitos, podemos saber muchas cosas concernientes al infinito, por ejemplo sobre las lı́neas asintóticas,
es decir, aquellas que prolongadas al infinito, se aproximan más
y más sin nunca concurrir; sobre los espacio cuya lóngitud es
infinita y cuya superficie no sobrepasa la de un espacio finito
dado; sobre las sumas de las series infinitas. De otra manera no
tendrı́amos siquiera ningun conocimiento cierto de Dios.Y una
cosa es conocer cierta propiedad de un objeto, y otra es comprenderlo, es decir, tener en nuestra posesión todo el contenido
escondido56 .
Lo más significativo en esta respuesta es el rechazo, desde un principio,
de la “frontera cartesiana”. No está de un lado Dios, único verdadero infinito, y de otro lado las cosas irremediablemente indefinidas: ciertas figuras o
magnitudes tienen derecho al tı́tulo positivo de infinitud, aquel que supone
que se las puede determinar como tales. La ası́ntota es una lı́nea infinita,
tenemos la certeza y sabemos la razón: en ese nivel no hay nada que sea
indefinido. Pero eso que se ha dicho de las realidades matemáticas concierne también, lo hemos visto en otros textos, a la naturaleza en general. La
apuesta leibniciana sostiene aquı́ muy claramente a la vez la realidad de este
infinito y su determinabilidad.
Leibniz va más lejos aún, efectuando una aproximación en primera instancia bastante enigmática: resulta afortunado que podamos desarrollar en
matemáticas un conocimiento del infinito, sin duda, porque ası́ las matemáticas resultan enriquecidas, pero también porque “de otra manera no
tendrı́amos ningún conocimiento cierto de Dios”. Es allı́ donde se encuentra
una relación entre matemáticas y teologı́a. ¿Cómo determinar esa relación?
¿Es necesario comprender que el conocimiento de Dios comienza por las
matemáticas, Dios de alguna manera haciendo “parte” de las matemáticas?
¿O que se pueden poner en obra dentro de la teologı́a conceptos que se han
comenzado a elaborar dentro de las matemáticas?
56
“Bien que nous soyons des êtres finies, nous pouvons savoir bien de choses concernant
l’infini, par exemple sur les lignes asymptotyques, c’est-a-dire celles qui, prolongées a
l’infini, se raprochent de plus en plus sans jamas coı̈ncider; sur les sommes de séries infinies.
Autrement nous n’aurions non plus aucune connaissance certaine de Dieu. Et autre chose
est de connâitre quelque propieté d’un objet, autre chose est de la comprendre, c’est-a-dire
d’en tenir en notre possession tout le contenu caché.” Reflexiones sobre la parte general
de los Principios de Descartes, sobre el libro I, art.26, PO, 293.
37
Leibniz defiende de nuevo la posiblidad de una ciencia del infinito en
la correspondencia que mantiene, durante los diez últimos años de su vida, con Des Bosses57 . Se enzarza, en respuesta a la demanda de aquél, en
una controversia que opone los cartesianos a las autoridades de la iglesia, a
propósito del contenido de la enseñansa en los colegios [colleges]. Una de las
proposiciones en litigio es la siguiente: “4 - Nuestro espı́ritu, en tanto seres
finitos, no puede saber nada con certeza sobre el infinito, y por lo tanto no
le conviene disputar acerca de él.” He aquı́ la respuesta de Leibniz:
Los Matemáticos, si no me equivoco, han refutado ya la cuarta,
y yo mismo he dado algunos ejemplos de la ciencia del infinito.
Atendiendonos a ésto, pienso que, hablando propiamente, el infinito formado de partes no es ni una unidad, ni un todo, y que
sólo se lo concibe como una cantidad por una pura ficción del
espı́ritu. Sólo el infinito sin partes es uno, pero no es un todo;
ese infinito es Dios58 .
Esta respuesta retoma claramente los principios generales que los comentarios sobre Descartes proponı́an: un saber positivo del infinito es posible,
de lo que los trabajos matemáticos constituyen “ejemplos”.
Del buen uso de las paradojas del infinito
Las reservas de Descartes en cuanto a la posibilidad de una comprensión
del infinito se adosan a una tradición muy antigua y muy fuerte, que se
dedica, mezclando consideraciones de lógica, de matemáticas, pero también
de teologı́a y fı́sica, a poner en evidencia qué tanto el infinito es fuente de
paradojas para el pensamiento. Como si buscar concebir el infinito, y más
aún, admitir su existencia, pusiera nuestro espı́ritu “patas arriba” y nos
librara a una multiplicación de proposiciones contradictorias. La colección
de esas paradojas viene ahora a servir a dos tipos de argumentación: la una,
que opone la infinitud potencial y la actual, y muestra que mientras nos
es posible, e incluso necesario, admitir la potencial, sostener la actual, al
contrario, nos sumergerı́a en paradojas insolubles. La otra, más radical aún,
57
Se encuentra una traducción al francés de las cartas de Leibniz a Des Bosses en un
anexo al estudio de C. Frémont, El ser y la relación, Vrin, 1981.
58
“Les Matematiciens, si je ne m’abuse, ont déjè refuté la quatrième, et j’ai moi-même
donné quelques spécimens de la science de l’infini. En attendant, je pense qu’à proprement
parler l’infini formé de parties n’est ni une unité ni un tout, et qu’on ne le conçoit comme
quantité que par une pure fiction de l’esprit. Seul l’infini sans parties est un, mais il n’est
pas un tout; cet infini est Dieu.” Carta V, 1 Septiembre 1706, PS, II, p.313
38
que nos pone en guardia contra todo pensamiento del infinito: aspiramos a
él, pero ası́ somos conducidos hacia vanas disputas sobre las cuales, en el
fondo, serı́a mas prudente renunciar definitivamente.
Presentamos aquı́ dos ejemplos de las más espectaculares paradojas:
1.
La relación del lado del cuadrado con su diagonal. Se sabe que estas
magnitudes son inconmensurables, en el sentido de que su proporción
no puede corresponder a un número entero (ni tampoco a una fracción
de enteros). Admitamos ahora que los segmentos que constituyen el
lado y la diagonal están compuestos de una infinitud de puntos; se
puede entonces establecer una correspondencia punto por punto (en
lenguaje moderno dirı́amos “biyectiva”) entre el lado y la diagonal.
Los dos segmentos vienen a ser ası́, misteriosamente, iguales (no hay
más puntos en la diagonal que en el lado), y a la vez uno los llama
“inconmensurables”.
El desarrollo de la geometrı́a proyectiva en el siglo XVII, bajo la influencia de los trabajos de Desargues, ofrece la posibilidad de multiplicar estos ejemplos ya que ası́ se pueden relacionar uno con otro dos
cı́rculos en un cono, o un medio-cı́rculo con una media-elipse como lo
hace Pascal.
2.
Galileo en sus Discursos y demostraciones matemáticas propone una
paradoja distinta, de tipo aritmético. Dada la serie de los enteros y la
de los cuadrados de los mismos, la segunda serie tendrı́a, por hipótesis,
un número de términos igual que el de la primera. Pero se nota que
que la primera serie comprende “más” números que la segunda, pues
ella contiene no solamente los cuadrados, sino también los que no lo
son.
¿Qué hacer con estas paradojas, cuándo se busca constituir una “ciencia
del infinito”? Se recuerda entonces que el problema de la consideración del
continuo, “donde debe entrar la consideración del infinito”, es tenido por
Leibniz como la dificultad fundamental de la filosofı̀a. Pero esto no le conduce
sencillamente a aceptar, tal cuales, las aporı́as tradicionales, al contrario:
cuando él utiliza para un problema la imagen del laberinto, es siempre para
indicar que debe existir un “hilo de Ariadna” que permita salir de él. Se
trata entonces de apropiarse de la tradición de las paradojas, y también
desarrollarla, pero para proveerse de los medios de sobrepasarla.
Un argumento de tipo pascaliano puede constituir aquı́ un primer punto
de apoyo. Es por la vı́a indirecta del razonamiento de reducción al absurdo
39
que Pascal busca eludir las paradojas del infinito. Se trata para él de mostrar que la negación del infinito conduce a paradojas mayores aún que su
afirmación59 . Pascal explica, valiéndose de la idea de que para los hombres
no hay acceso directo a la verdad, que se tiene fundamento para no negar lo
que por esa razón nos es incomprensible, más aún cuando un razonamiento
riguroso nos conduce a concebir que lo contrario implicarı́a contradicción:
“Todas las veces que una proposición es inconcebible, es necesario suspender el juicio y nunca negarla en ese paso, sino examinar el contrario; y si
se encuentra manifiestamente falso, se puede afirmar con fuerza la primera,
por incomprensible que sea.60 ” Esta vı́a es audaz, e interesa mucho más a
Leibniz cuanto permite que el infinito sea objeto de razonamiento, ası́ fuese
indirecto, y da testimonio de una gran confianza en la forma de ese razonamiento. Pero esa intrepidez en la forma de conducir la demostración no
permite concluir más que la existencia del infinito, ella no nos enseña nada
de su naturaleza. Ella, entonces, no podrı́a ser suficiente.
Es necesario examinar la consistencia de las paradojas mismas: ¿son ellas
verdaderas paradojas, o solamente pseudo-contradicciones, que provienen de
la conjunción [assemblage] de elementos o de proposiciones heterogéneas?
¿Las suposiciones a partir de las cuales se las construye son ellas mismas acceptables? Hay a menudo, dice Leibniz, “fallas en las consecuencias”, pero
también, “falsas suposiciones que enredean”. Por ejemplo, “uno se enreda
con las series de números que van al infinito. Uno concibe un último término...61 ” ¿Pero por qué serı́a necesario que hubiese un último término, una
última mitad, un último punto? Se percibe entonces que muchas de estas
paradojas no lo son: las dificultades nacen de principios mal fundados (“hay
un punto en el extremo de una lı́nea”), que juegan como presupuestos en
el razonamiento, siendo una mezcla mal controlada de géneros: se razona
sobre la lı́nea como si ella estuviese compuesta de puntos, sobre la superficie
como si ella estuviese compuesta de lı́neas. No mezclar los géneros, tal es la
regla principal si se quiere tener un chance de resolver, incluso disolver, las
paradojas. Esta última exigencia juega un rol determinante en el análisis de
la continuidad. Es importante ante todo poner las paradojas “formalmente”,
para hacer aparecer sobre que principios de partida se las construye. Lejos
de ser una manı́a esteril y redundante, la expresión formal de los argumentos
es el único medio de comprobar el rigor.
Es entonces que comienza el verdadero trabajo: ¿sobre cuáles principios
59
Este era ya un argumento de Aristóteles, a favor de la ‘infinitud en potencia.’
Del espı́ritu de la geometrı́a, OC, Pléiade, p. 586
61
T, Discurso de la conformidad de la fe y la razón, §70, p. 91 y 92.
60
40
debe fundarse la comprensión del infinito y de la “composición del continuo”? Tomemos por ejemplo el axioma fundamental que sirve a Galileo en
la construcción de su paradoja aritmética - “el todo es más grande que la
parte”: ¿cuál es la pertinencia de este axioma? Leibniz, al admitir su validez,
se esforzará por darle una demostración. Pero queda aún el hecho de que
su aplicación resulta aquı́ no menos que problemática: la colección de los
enteros naturales, como la de los cuadrados, no puede ser considerada como
un “todo”. La “paradoja” de Galileo reposa entonces sobre bases inciertas,
que deben devenir objeto de un examen.
Las paradojas cambian ası́ completamente de estatus: en lugar de representar un punto de acabamiento, un final para un pensamiento que se
revela definitivamente vacuo, vienen a ser trampolines para la reflexión. Es
al desarrollarlas, yendo hasta al borde [bout] de las contradicciones que
ellas ocultan, que se es conducido a transformar los principios y los métodos
mismos que sirven de base a nuestros razonamientos. Si las paradojas se
desarrollan, es porque nuestros conceptos son limitados, pero este lı́mite no
tiene nada de definitivo: buscamos las cantidades allı́ donde necesitarı́amos
determinar las relaciones, desnaturalizamos la continuidad al aplicarle los
esquemas de la contigüidad. En breve, se trata, no de renunciar a comprender el infinito, sino de elaborar conceptos adecuados para esta tarea. Y
esto no requiere alguna facultad superior y misteriosa , sino simplemente el
desarrollo la razón.
El diálogo Placidius Philalethi62 resulta ejemplar en este aspecto: las
paradojas adquieren ahı́, en efecto, la función de laboratorio conceptual. Se
ve introducir ahı́ el tema, que vendrá a ser decisivo, de la división al infinito,
pero sin “ruptura” [coupure] de las realidades continuas. Las consideraciones
matemáticas cruzan las preocupaciones de fı́sica: la materia, los cuerpos, el
movimiento, el tiempo, en cuanto realidades que son actual y conjuntamente
divididas en un “mayor” número de partes. Pero el término de “partes” se
presta a confusión: se arriesga caer en una problemática de la adición de
partes, o más generalmente, de la yuxtaposición de elementos contiguos.
Se busca por ejemplo obtener la duración por la adición de los instantes, la
lı́nea por la adición de los puntos; jamás se encontrará, desde tal perspectiva,
la continuidad. Es necesario entonces concebir de una manera totalemente
diferente las “partes”: no como elementos separados (“granos de arena”) sino
como “pliegues” al infinito. Leibniz introduce aquı́ la metáfora del pliegue,
que renovará constantemente, hasta en la Monadologı́a:
La división del continuo no debe ser considerada como aquella
62
COF, p. 594-627
41
de la arena en granos, sino como aquella de una hoja de papel
o de una túnica en pliegues, de tal manera que pueda tener una
infinitud de pliegues, los unos más pequeños que los otros, sin
que el cuerpo se disuelva nunca en puntos o mı́nimos.63
Es entonces a falta de una concepción adecuada de la continuidad que
somos conducidos a paradojas insalvables.
Las discusiones con Foucher, que fue uno de los corresponsales regulares
de Leibniz en los años 1690-1700, son la ocasión de una clarificación del
mismo tipo. La interpretación que Foucher da a las paradojas representa
con bastante precisión la posición que Leibniz busca sobrepasar. Foucher
admite, en efecto, (es más, concede) la existencia del infinito actual, pero
parte del argumento de la proliferación de las paradojas para considerar
el infinito como una realidad incomprensible, volviendo ası́ a una teologı́a
del misterio. Las hipótesis de Leibniz relativas a las divisibilidad infinita
del espacio y del tiempo, a la continuidad y a los cambios “infinitamente
pequeños” le parecen no una solución, sino más bien una recaı́da en las
dificultades antiguas:
Ese infinito es incomprensible al espı́ritu humano, y (...) no tenemos de
él ninguna idea positiva, no más que de la nada. Estas dos extremidades nos
sobrepasan, y no es sin razón que Platón dijera en el Sofista que el filósofo
se pierde en la contemplación del ser, y el Sofista en la de la nada, el uno
siendo deslumbrado por la gran luz de su objeto, el otro quedando ciego en
las tiniebras del suyo...
Yo os confieso que aún dudo [de eso de que la naturaleza “no hace saltos
y se mueve por cambios infinitamente pequeños”] pues temo que eso nos
reenvı́a a los argumentos de los Pitagóricos, que hacen a la tortuga ir tan
rápido como Aquiles, pues todas las magnitudes pueden ser divididas al
infinito, no habiendo unas tan pequeñas, en las que que no se pueda concebir
una infinitud de divisiones que no se agotarán jamás. De donde se sigue que
los movimientos deberı́an hacerse todos de un golpe, en relación a ciertos
indivisibles fı́sicos y no matemáticos64 ...
La respuesta de Leibniz indica muy precisamente la inversión que quiere
efectuar:
Tiene usted razón al decir que “todas las magnitudes pueden
63
“La division du continu ne doit pas être considerée comme celle du sable en grains,
mais comme celle d’une feuille de papier ou d’une tunique en plis, de telle façon qu’il
puisse y avoir une infinité de plis, les uns plus petits que les autres, sans que les corps se
disolve jamais en points ou minima.” M (¿?), p. 615
64
Carta de Foucher, 31 Diciembre 1691, PS, I 40.
42
ser divididas al infinito, no habiendo unas tan pequeñas, en las
que no se pueda concebir una infinitud de divisiones que no se
agotarán jamás”. Pero yo no veo qué haya de malo, ni qué necesidad haya de agotarlas. Un espacio divisible sin fin se recorre en un tiempo también divisible sin fin... El P. Grégoire de
Saint-Vincent, tatándose de la suma de una multitud infinita de
valores que están en progresión decreciente, ha mostrado muy
pertinentemente, tal como lo puedo recordar, mediante la misma suposición de la divisibilidad al infinito, qué tanto más debe
avanzar Aquiles que la tortuga, o en cuánto tiempo la deberı́a
encontrar si ella hubiese partido antes. Yo no concibo los indivisibles fı́sicos (sin milagros) y creo que la naturaleza puede realizar
todas las pequeñeces que la geometrı́a pueda considerar65 .
Lejos de que la suposición del infinito sea el origen de paradojas insalvables, es esa misma hipótesis la que permite escapar de ellas. Resta todavı́a
por establecer la verdad de esta suposición, y mostrar que estamos provistos
de proposiciones bien fundadas. El debate que Leibniz conduce en el segundo libro de los Nuevos Ensayos sobre el entendimiento humano (cap. XVII)
con el empirismo en general, con Locke en particular, constituye desde ese
punto de vista una ocasión privilegiada.
La idea positiva del infinito
Como sucede a menudo en el caso de los Nuevos Ensayos..., la cuestión
de partida es aquella del origen de las ideas: ¿de donde sacamos nosotros
nuestra idea de infinito? ¿Ella es innata, a priori, o a posteriori, derivada de
una experiencia, o de una combinación de experiencias? La respuesta que se
dé a esta cuestión envuelve, de hecho, la definición misma de infinito y de
conocimiento que tengamos:
65
“Vous avez raison de dire que “toutes les grandeurs pouvant être divisées à l’infini, il
n’y a en point de si petites, dans lesquelles on ne puisse concevoir une infinité de divisions
que l’on n’épuiserá jamais”. Mais je ne vois pas quel mal en arrive, mi quel besoin il y ait
de les épuiser. Un espace divisible sans fin se passs dans un temps aussi divisible sans fin...
Le P. Grégoire de Saint-Vincent, traitant de la somme d’une multitude infinie de valeurs
qui sont en progression décroissante, a montré fort pertinemment, autant que je puis m’en
souvenir, par la supposition même de la divisibilité à l’infini, combien Achille doit avancer
plus que la tortue, ou en quel temps il la devrait rejoindre si elle avait pris les devants.
Je ne conçois point d’indivisibles physiques (sans miracle) et je crois que la nature peut
exécuter toute la petitesse que la géometrie peut considerer.” Carta a Foucher, enero 1692,
PS, I, p.403
43
Philalethe: Hemos creı́do que la potencia que tiene el espı́ritu de
extender sin fin su idea del espacio mediante nuevas adiciones
siendo siempre la misma, es de allı́ que éste saca la idea de un
espacio infinito.
Theóphile: Es bueno añadir que ello sucede porque se ve que la
misma razón subsiste siempre. Tomemos una lı́nea recta y prologuémosla, de manera que llegue a ser el doble de la primera.
Ahora bien, es claro que la segunda, siendo perfectamente semejante a la primera, puede ser doblada de la misma manera (...)
y al tener lugar siempre la misma razón, nunca es posible que
seamos detenidos; ası́ la lı́nea puede ser prolongada al infinito,
de manera que la consideración del infinito viene de aquella de
la similitud o de la misma razón, y su origen es el mismo que
el de las verdades universales y necesarias. Lo cual permite ver
como aquello que da cumplimiento a la concepción de esa idea
[de infinito], se encuentra en nosotros mismos, y no podrı́a venir
de experiencias de los sentidos, ası́ como las verdades necesarias
no podrı́an ser probadas por la inducción ni por los sentidos66 ...
Locke no concibe que nosotros podamos tener una idea “positiva” del
infinito. Habrı́a que ser “absurdo” para sostenerla, y no podrı́a ser cuestión
de construir una “doctrina” cualquiera acerca del infinito. ¿Cómo elaborar
una doctrina de aquello que no tenemos una idea precisa? Esta desconfianza
es motivada por un análisis general de la idea de infinito. Ella deriva, si se
sigue a Locke, de una experiencia interna: aquella de la potencia constante
“que tiene el espı́ritu de extender sin fin su idea del espacio mediante nuevas
adiciones”. Que se trate del espacio, del tiempo, pero sobre todo del número,
que juega en esta génesis de la idea de infinito un rol decisivo, no viene
a oponerse a un aumento ası́. Es esta experiencia la que nos “sugiere” la
idea del infinito. Pero esa idea se mantiene fundamentalmente “negativa”,
en el sentido que, propiamente hablando, ella no nos hace conocer nada. La
infinitud no es “nada” aparte de esa posibilidad de un aumento o disminución
interminable. Que ese movimiento tenga su principio en el orden de los
números no basta para la elaboración de un conocimiento efectivo.
La respuesta leibniciana se desarrolla en varios tiempos, alrededor de
dos orientaciones principales. Se trata de mostrar, por un lado, que tenemos
una idea adecuada del infinito “verdadero” o “absoluto” que escapa a la
definición cuantitativa propuesta por Locke; y por otro lado, que cuando
66
Nuevos Ensayos, libro II, cap. XVII, GF, p. 133
44
atrapamos la infinitud en el orden de la cantidad, estamos siempre en la
capacidad [mesure] de conocer las razones.
1.
El orden en el cual Leibniz procede es en sı́ mismo significativo. El
examen de la cuestión del origen no aparece sino en un segundo lugar,
como si ella hubiera devenido una cuestión subordinada, y fuera precedida por un análisis de las diferentes especies de infinitud. Se apoya
sobre la idea del infinito, que es considerada como dada. Toda la construcción de Locke pierde entonces su razón de ser: en lugar de buscar
engendrar la idea del infinito a partir de las combinaciones que opera
el espı́ritu, Leibniz la ha reconocido como una idea original, que exige
ciertamente ser analizada, pero no producida. Es una idea innata, que
encontrarmos en nosotros mismos a priori: “La idea del absoluto “el
verdadero infinito en rigor” nos es interior como aquella misma del
ser67 ”. Nos vemos entonces aquı́ ante un “hecho”: esta idea es en nosotros. Pero se trata de un hecho “de la razón”: ni la inducción - la
generalización a partir de experiencias particulares - ni la experiencia
interna están en la capacidad de darnos tal idea. Ella es del mismo
género que “las verdades universales y necesarias, como las que encontramos en las matemáticas puras y particularmente en la aritmética y
la geometrı́a68 ”, y “los principios que le dan cumplimiento” no dependen de los sentidos, sino de la razón “pura”. Resta entonces conducir
el análisis, para desarrollar las determinaciones principales del infinito.
2.
Se puede mostrar, situándose provisoriamente sobre el mismo terreno
de Locke, que su concepción del infinito resulta engañosa [fautive]:
si tenemos una idea de incremento al infinito de las cantidades, no
es porque nada venga a detener nuestro espı́ritu en su movimiento,
sino al contrario porque alguna cosa nos hace conocer la necesidad de
esta progresión interminable: “La misma razón subsiste siempre (...)
“y” la consideración del infinito viene de la de la similitud o de la
misma razón.” Que esta argumentación sea interminable no produce
ninguna indeterminación: conocemos adecuadamente la ley que rige la
progresión, es por ella que estamos seguros de su infinitud. Nada nos
obliga a no tener más que una idea indefinida del infinito: conocemos
las razones de la infinitud.
3.
Se puede hacer aparecer entonces, bajo el principio del origen propuesto por Locke, un cı́rculo vicioso: ¿no es necesario tener una idea del
67
68
Ibid.
NE, Prefacio, GF, p. 35
45
infinito para concebir un incremento o una disminución al infinito? La
experiencia que Locke pone como origen de la idea de infinito la supone de hecho como su condición. Uno reencuentra aquı́, en oposición
al empirismo, un tipo de argumentación que era ya aquel de Platón
cuando defendı́a la realidad de las “Ideas” y que será el de Kant para
establecer la realidad de las formas o principios a priori.
4.
Se trata entonces de cambiar de terreno, rechazando el presupuesto que
orienta los análisis de Locke: considerar el infinito como una determinación esencialmente cuantitativa, aplicable a realidades compuestas
de partes y suceptibles de ser aumentadas (por adición o multiplicación) o disminuidas (por sustracción o división). Esta caracterización
resulta con nitidez a los ojos de Leibniz como demasiado restrictiva: si
ella es, en el lı́mite, aceptable para la infinitud en potencia de las cantidades matemáticas, ella no puede valer para las magnitudes infinitas
del mundo real ni a fortiori para la infinitud de un ser absoluto. Ella
desconoce, sobre todo, por su propio principio, que existen multitud
de “órdenes” de infinitud, y no se procura medios de concebirlos ni de
distinguirlos.
El infinito “verdadero” se dice de partida de ese que, en sı́ mismo, no
tiene ni puede tener lı́mites:
El verdadero infinito, en rigor, no se da sino en el absoluto, que es
anterior a toda composición, y no está formado por la adición de
partes (...) La idea del absoluto está en nuestro interior ası́ como
aquella del ser: esos absolutos no son otra cosa que los atributos
de Dios, y se puede decir que ellos no son menos la fuente de las
ideas que Dios mismo el prı́ncipe de los seres. La idea del absoluto
por referencia al espacio no es otra que la de la inmensidad de
Dios, y ası́ de los demás [atributos]69 .
Lejos de ser obtenida por abstracción a partir de la consideración de lo
finito, la idea del infinito la precede (y finalmente la condiciona): “El verdadero infinito no es una modificación, es el absoluto; al contrario, cuando
69
“Le vrai infini à la rigeur n’est que dans l’absolu, qui est antérieur à toute composition,
et n’est pas par l’addition des parties (...) L’idée de l’absolu es en nous intériorment comme
celle de l’être: ces absolus ne sont autre chose que les attributs de Dieu, et on peut dire
qu’ils ne sont pas moins la source des idées que Dieu est lui-même le principe des êtres.
L’idée de l’absolu par rapport â l’espace n’est autre que celle de l’immensité de Dieu, et
ainsi des autres.” NE, Leibniz. II, c. XVII, GF, p.132-133
46
uno modifica, se limita o forma un finito.70 ” El error de Locke, finalmente,
consiste en haber buscado comprender lo infinito a partir de lo finito, como
un “modo”, una cierta modificación de la cantidad. La idea fundadora de lo
infinito - aquella a partir de la cual el conjunto [ensemble] de la demostración se organiza - no tiene ya nada que ver con aquella del aumento o de la
disminución interminable, que siempre supone una composición. Es en ese
nivel que se puede arraigar un conocimiento adecuado del infinito. No es que
tengamos un conocimiento de ese Dios que Leibniz coloca en el origen de
las cosas, pero conocemos distintamente ciertos atributos: la eternidad y la
inmensidad, por ejemplo, en donde es posible explicitar las determinaciones.
Es de esos atributos (infinitos) que tenemos una “idea positiva”: no del infinito o del absoluto, sino de los “absolutos”, que lo son en cuanto “atributos”
de Dios (la inmensidad, la eternidad y... los demás). Se anota por un lado
la pluralidad de sus atributos: es ella la que llama a a la construcción de un
discurso sobre el absoluto ası́ como al trabajo de diferenciación y de determinación. Por otra parte, la relativización del absoluto: tomamos de él una
idea “relativamente al espacio”, y “relativamente al tiempo”. Relativamente
al espacio (orden de coexistentes), la idea del absoluto deviene aquella de la
inmensidad, relativamente al tiempo (orden de sucesivos), de la eternidad.
Ası́ mismo, dice Leibniz, para los “otros absolutos”. La cuestión del número
(¿de la infinitud?) de los atributos queda aquı́ abierta. Las ideas que nos formamos suponen esos absolutos como su “fuente”. Sin esta “relativización”
no tendrı́amos ninguna forma de atrapar el absoluto y no podrı́amos lograr
ningún verdadero trabajo de conocimiento. La idea de inmensidad no debe
ser confundida con la del espacio, y aún menos con aquella de la extensión,
pero su elaboración exige la mediación del espacio.
Leibniz busca reunir dos orientaciones aparentemente divergentes:
- Definir la infinitud a partir de la simplicidad radical. Ser infinito para
este absoluto del que tenemos idea, es menos ser “sin lı́mites” que ser
“sin partes”; o más aún, es de la simplicidad que deriva la ausencia de
lı́mites. ¿Cómo aquél que no tiene partes podrı́a ser limitado? Se trata
de una de las orientaciones fundamentales de la filosofı́a leibniciana,
pensar juntos el ser y la simplicidad; se percibe aquı́ que la relación no
es menos estrecha entre la simplicidad y la infinitud. Es esta relación,
dada aquı́ en general, la que es movilizada cuando se trata de describir
la infinitud de substancias “simples”.
70
“L’infini veritable n’est pas une modification, c’est l’absolu; au contraire, dès qu’on
modifie, on se borne ou forme un fini.” Ibid.
47
- Pero importa también, para poder dar asidero al discurso y al conocimiento, que esa simplicidad se deje pluralizar, que se pueda, pidiendo prestado a Leibniz de su propio discurso, “desenvolver” eso que
está ahı́ “envuelto”: los diferentes atributos y sus caracterı́siticas. Que
un circuito ası́ sea posible, es lo único que garantiza la construcción
de una idea adecuada del infinito.
Se está en la capacidad, al término de este recorrido, de distinguir dos
fuentes de “positividad” netamente diferentes para un conocimiento del infinito. Cuando nos encontramos en el orden de la composición de las cantidades, nos es necesario y nos es siempre posible encontrar una razón que
justifique la infinitud. Esta razón nos permite además, algo que juega un rol
muy importante en las matemáticas, distinguir entre muchas maneras de ser
infinito: no tener término (como la serie de los números) o al contrario, tender (sin jamás llegar) hacia un lı́mite. Comprender el infinito aquı́ consiste
en dar razón de él. La situación es diferente cuando nos encontramos en el
orden del absoluto y de sus atributos. Y no es la menor de las paradojas del
racionalismo leibniciano, poner por delante, como fundamento último para
el conocimiento del infinito, una “intuición originaria”.
Pero la teorı́a leibniciana del conocimiento distingue con nitidez gran
variedad de tipos de verdad: las verdades primitivas, las derivadas, las necesarias y las contingentes.
Las verdades primitivas son aquellas de las que no se puede dar
razón, y éstas son, o bien las verdades idénticas, o bien las inmediatas; que se afirman por sı́ mismas, o que niegan la contradicción de sus contradictorias. Por el otro lado las verdades
derivadas son de dos géneros: las unas, en efecto, se resuelven
en primitivas, las otras comprenden en su resolución un progreso
al infinito. Las primeras son necesarias, las segundas contingentes71 .
Las proposiciones idénticas (o las derivadas resolubles en idénticas) son
aquellas cuyo contrario implica contradicción. A esa categorı́a pertenecen
las verdades “que son llamadas metafı́sicas o geométricas”. La idea del infinito verdadero, el enunciado de sus atributos toma lugar en la serie de esas
verdades “que se afirman por sı́ mismas” y “que niegan la contradicción de
sus contradictorias”. Ası́ como la suposición de un número infinito (o más
generalmente, una cantidad infinita) se descubre inmediatamente como una
71
De la libertad, NLO, p.178-185, o PO, p.381
48
proposición contradictoria, los atributos del absoluto se revelan suceptibles
de ser aumentados sin contradicción hasta el infinito, “suceptibles de último
grado”. De las nociones primitivas no sabemos, por definición, dar razón.
Pero la infinitud no escapa por lo tanto de una determinación racional: ella
está bajo el control del principio de no contradicción, ese que basta a los
ojos de Leibniz para inscribirla dentro del horizonte de la definición.
El infinito verdadero... y los otros
El trabajo de definición importa sobre todo por las distinciones que autoriza. A aquellos que niegan la actualidad del infinito, Leibniz les objeta
siempre que confunden, sin razón, las diferentes especies de infinitud. ¿Debe
uno sorprenderse, por ejemplo, del enredo de Locke cuando se sabe que él no
busca la infinitud sino en el orden de la cantidad numérica? Tal restricción
no es legı́tima. Es necesario, por el contrario, si se quiere estar en capacidad
de concebir la actualidad del infinito, distinguir las múltiples especies. La
idea de absoluto juega dentro de esta distinción el rol que describe Leibniz
cuando habla de “fuente” [source]: es a partir de ella que las distinciones
operan, es ella la que sirve, por ası́ decir, de norma fundamental. Sólo en ese
sentido es que uno puede decir que la “idea positiva” del infinito no es una
sino plural. Nuestra primera idea es, como se vió antes, aquella del infinito
actual en cuanto “verdadero infinito en rigor “es decir absoluto””: “Potencia
activa conteniendo casi-partes, eminentemente, pero no formalmente, ni en
acto. Ese infinito es Dios mismo72 .” Hay, en segundo lugar, una infinitud que
no es aquella de Dios, sino la de las cosas: “Propiamente hablando, es verdad
que hay una infinitud de cosas, es decir, que siempre hay más de lo que se
puede asignar73 .” No estamos en este caso ante la infinitud de un absoluto.
Pero por eso no resulta la infinitud menos verdadera, eso es lo que indica
la formula “hablando propiamente”74 : la noción de inmensidad sigue siendo
pertinente, pero está siendo aplicada a una multitud, lo que no es el caso
cuando se trata del absoluto y de su simplicidad. Existe de todas maneras
entre estos dos niveles una relación estrecha, que Leibniz determinará como
una relación de expresión.
72
“Puissance active ayant des quasi-parts, eminemment, mais ni formellement ni en
acte”. Carta a Des Bosses del 1 Septiembre 1706, PS, II, p.315
73
NE, lib. II, cap. XVII, GF, p. 132
74
Leibniz a menudo hace la diferencia entre las formulaciones hablando propiamente y
las formulaciones impropias. Es por ejemplo impropio que digamos que las colecciones de
objetos son “unas”. La unidad no es, en efecto, más que verbal y no corresponde a ninguna
relación substancial.
49
Que hay “siempre más de lo que se puede asignar”, esto quiere decir,
en sentido propio, que la multitud no es numerable. Concebir la infinitud
de cosas, su multitud inmensa, es entonces comprometerse con una vı́a intermedia entre, por un lado, la del absoluto y la simplicidad y, por el otro,
la de la numeración y la totalización numérica. Leibniz se niega, en efecto
muy neta y frecuentemente, a asociar a la infinitud de las substancias una
cantidad determinada. Para hacerlo serı́a necesario que pudiese existir un
número infinito:
Pero no existe un número infinito, ni lı́nea u otra cantidad infinita, si se los toma por verdaderos todos, como es fácil de demostrar. Esto han querido decir las escuelas al admitir un infinito
sincategoremático, como es su manera de hablar, y no uno categoremático75 .
Detrás de ese vocabulario de apariencia esotérica se atrapa una distinción
que es, en una primera aproximación, bastante simple: el infinito “categoremático” designa una multitud compuesta de una infinitud enumerable de
partes. El infinito sincategoremático, por el contrario, designa una multitud
que no es numerable. Las cosas se complican evidentemente cuando se busca enunciar las razones que autorizan, o prohiben, la numerabilidad. Esta
distinción sirve tradicionalmente para definir las caracterı́sticas del infinito
actual, si se acepta o no la hipótesis. Es entonces del infinito numerable que
Leibniz dice que no existe: “No se da el infinito categoremático, es decir,
teniendo en acto partes infinitas formalmente.76 ” Pero si no está “dado”, es
antes que nada porque no es posible: su simple idea implica contradicción.
Para comprender esto será necesario interrogar la concepción leibniciana de
número.
Leibniz en los Nuevos Ensayos hace alusión a esa antigua distinción pero
no se apropia completamente de ella. Por el contrario, en la correspondencia con Des Bosses, afirma explı́citamente que el infinito sincategoremático
está “dado”: “Se da el infinito sincategoremático, o potencia pasiva teniendo
partes, que entiendo como la posibilidad de un desarrollo ulterior por división, multiplicación, sustracción, adición.77 ” ¿Qué sentido hay que otorgar
75
“Mais il n’y a point de nombre infini, ni de ligne ou autre quantité infinie, si on es
prend pur des véritables touts, comme il est aisé de demontrer. Les écoles ont voulu dire
cela en admetant un infini syncatégorématique, comme elles parlent, et non pas l’infini
categorématique”. NE, lib. II, cap.XVII, GF, p.132
76
“Il n’est pas donné d’infini catégorématique, c’est-a-dire ayant en acte des parties
infinies formellment.” Carta a Des Bosses del 1 de septiembre 1706, PS, II, p.314
77
“Est donné l’infinie syncatégorématique, ou puissance passive ayant des parties,
50
a esta proposición? La ambigüedad es en efecto real: en un primer momento
se puede pensar que Leibniz retoma finalmente en cuenta la distinción tradicional entre las dos formas posibles de infinitud actual, y que caracteriza
“la infinitud de las cosas” como una infinitud “sincategoremática”, porque
es imposible de numerar (“siendo dada”, entonces, reenviarı́a a esa multitud
existente en acto). Las caracterı́sticas que Leibniz retiene aquı́: ser una “potencia activa”, “tener partes” y dejarse dividir a voluntad, multiplicar, etc.,
no se pueden atribuir a las realidades substanciales, por definición “unas e
indivisibles”. Pero entonces es necesario tener cuidado con la manera como
se aborde “la inmensidad de las cosas”. Es posible aprehenderla en el plano
de las apariencias, en cuanto conjunto de fenómenos: entonces la materia
(potencia extensa y pasiva según Leibniz) ocupa el primer lugar y autoriza
las aproximaciones cuantitativas, según todas las operaciones de aumento y
disminución. La infinitud es entonces tanto la de aquella “potencia pasiva
teniendo partes...”, divisible y dividida “sin fin”: “Los cuerpos son multitudes, infinitas, tanto que el menor grano de polvo contiene un mundo de
infinitud de criaturas78 .” Pero es posible también (como es el caso en metafı́sica) interesarse en la realidad substancial que constituye el fundamento:
se tiene entonces que tratar con la multitud de las substancias, individuales
y activas. En tanto que tales, ellas son indivisibles, no tienen partes y no
son partes. La infinitud no es entonces aquı́ aquella de la disminción (o del
aumento) al infinito, sino más bien la de la multitud no numerable.
Los análisis que preceden aportan elementos para un conocimiento “bien
fundado” del infinito. Cuando describe el movimieto propio del pensamiento humano, Leibniz insiste en la utilidad, pero también en la necesidad del
simbolismo: no hay razonamiento que no sea en parte çiego”, es decir, que
se haya sustituido por sı́mbolos la concepción explı́cita de su significación.
De un mismo golpe, una duda planea siempre sobre el valor de verdad de
nuestros pensamientos: ¿estarı́amos nosotros verdaderamente en la capacidad de exhibir la definición los términos que utilizamos? La “ciencia del
infinito”, quizás más que cualquier otra, deberá recurrir y tomar confianza
en los sı́mbolos, en particular los sı́mbolos escritos. ¿Se dirá entonces que
tratamos con estos sı́mbolos “creyendo” poser una definición del infinito?
Se percibe, por el contrario, qué tanto Leibniz tiene el cuidado de dar lugar
un sistema de definiciones fundadoras para las construcciones posteriores,
j’entends la possibilité d’un développement ulterior par division, multiplication, sustraction, adition” Ibid.
78
“Les corps sont des multitudes, mais infinies, tellement que le moindre grain de la
poussière contient un monde d’une infinité des créatures.” PS, VII, p.542
51
ası́ ellas sean “ciegas”79 .
El número y la magnitud
Lo que complica singularmente (pero quizás también enriquece) la definición que Leibniz propone de infinito, es la separación que ahonda entre el
infinito, cuya realidad afirma, y el orden de los números y la cantidad. El
análisis descansa sobre una oposición aparentemente definitiva: de un lado,
se afirma el derecho de la razón a una inteligibilidad completa del infinito,
del otro, se afirma regularmente que no existe un número infinito, y que la
infinitud actual, por real que sea, no es numerable. El número parece entonces tener su terreno de aplicación del lado de la infinitud potencial: allı́ se
encuentran las partes y los todos, que se pueden componer por el juego de
operaciones de base aritmética. Los términos, como siempre en Leibniz, son
cuestionados en su más alto nivel de caracterı́stica: cuando él describe la
multitud de substancias que constituyen el universo, afirma que es “inmensa”, es decir que literalmente escapa a la medida. ¿Cómo es posible que lo
que escapa a la medida pueda ser inteligible, y llegue a ser el objeto de
“un análisis”? Medir, cuantificar, ¿no es ésto necesario en primer lugar para
aquél que quiere conocer? ¿Se puede medir sin la asistencia de los números?
¿Cómo comprender las fórmulas de Leibniz, de quién no duda en hablar del
mundo como de la totalidad (infinita) de las cosas existentes?
El análisis de Locke, al cual Leibniz se opone tan vivamente, tiene al menos la ventaja de inscribir de entrada el infinito en el orden de la cantidad.
En Leibniz pareciera que el movimiento se invirtiese, y que el análisis hiciese aparecer progresivamente que el veradero infinito no es “cuantitativo”
sino “cualitativo”. Se encuentran textos en los cuales Leibniz establece una
separación explı́cita entre la cantidad y la cualidad como si se tuviese que
tratar con dos órdenes heterogéneos:
El paso de la cantidad a la cualidad no va bien siempre, no más
que aquél que se da de los iguales a los similares. Pues los iguales
son aquellos donde la cantidad es la misma, y los similares son
aquellos que no difieren sino según las cualidades80 .
79
Para una definición del pensamiento ciego, ver por ejemplo Meditación sobre el conocimiento, la Verdad y las Ideas, PO, p.152-153
80
“La conséquence de la quantité à la qualité ne va pas toujours bien, non plus que
celle qu’on tire des égaux aux semblables. Car les égaux sont ceux dont la quantité est
la même, et les semblables sont ceux qui ne differnt point selon les qualités.” T, Segunda
parte, §213, GF, p.246.
52
Pero si el infinito no es cuantificable, y en cuanto escapa al cálculo, y
por lo tanto a una de las formas más eficaces de la racionalidad, existe
el riesgo de que se reintroduzca una indeterminación e irracionalidad, que
Leibniz, constantemente, busca reducir. ¿Qué es entonces lo que motiva esa
afirmación de que el infinito se sitúa “más allá” del número? Incluso si se
desconfı́a de los jucios retrospectivos, la posición tomada por Leibniz sigue
siendo sorprendente. Él era probablemente uno de los mejor situados, en
ese momento del nacimiento de la ciencia moderna, para emprender la vı́a
de la innovación conceptual que hará admitir, en aritmética, la existencia
de números infinitos asociándolos en un nuevo cálculo. Pero es en Pascal, y
no en Leibniz, que Cantor, al final del siglo XIX, se buscará un predecesor.
¿Leibniz no habrı́a sabido tomar parte en matemáticas de sus intuiciones
metafı̀sicas? ¿Habrı́a construido una teorı́a al borde del estallido, preso entre
el infinitismo de su metafı́sica y el finitismo de su aritmética?
Que la infinitud actual (de Dios o de la naturaleza) no sea numerable,
se revela necesario, cuando se acepta la definición leibniciana de substancia.
La imposibilidad de la numerabilidad apunta entonces tanto a la naturaleza
de las realidades que se busca numerar como a la imposibilidad del número
infinito mismo. Incluso si hubiese un número infinito, la infinitud actual restarı́a “no numerable”, porque el absoluto es “anterior a toda composición”:
se caracteriza por una simplicidad extrema. Es necesario concebir aquı́ una
unidad que escape radicalemente al orden de la cantidad y de la división,
si fuese simplemente posible. La multitud de las substancias podrı́a ser descrita a primera vista como una totalidad compuesta de partes: habiendo
tantas partes como substancias. Pero entonces uno podrı́a dejarse engañar
por las apariencias: ante todo porque esa multitud, siendo infinita, no podrı́a
completarse [s’achever] y componer un todo; y a continuación porque, propiamente hablando, las substancias no son “partes”: “Las unidades substanciales no son partes, sino los fundametos de los fenómenos.81 ” No se está en
la capacidad ni de numerar, ni de unificar. El mundo, o “agregado de cosas
finitas”, no podrı́a ni “constituir un verdadero todo” ni un ser determinado
por una cantidad numérica. Se tiene entonces que tratar con las unidades,
pero la unidad de esas unidades permanece de más problemática. Leibniz
asume la cuestión de la “comunicación” de las substancias - de hecho de la
costitución del mundo - como una de las más difı́ciles de su filosofı́a. Pero
no se la resolverı́a sino en apariencia atribuyendo un número a la multitud
de substancias.
Hacen faltan entonces aquı́ (y eso será el caso tanto si se conserva la
81
Carta a Volder, 30 de Junio 1704, PS, II, p. 268
53
definición euclidiana de número) los elementos necesarios para la constitución de una numeración. El número pertenece, junto con las figuras, a esas
naturalezas que, como dice en el Discurso de Metafı́sica, “no son suceptibles
de último grado”, a diferencia de las perfecciones divinas que “no poseen
lı́mites”. Se puede continuar por siempre por la serie de los números sin
jamás encontrar un número que fuese “el número de todos los números”;
un tal número es imposible, porque “implica contradicción”. Pero hay una
razón más fuerte aún, que apunta a la naturaleza misma del número como
totalidad compuesta: la totalización implica un lı́mite. Si un conjunto de
unidades debe constituir un verdadero todo, esto no puede ser sino sobre la
base de una delimitación:
Y para hablar con precisión, en lugar de un número infinito hay
que decir que hay más que lo que se puede expresar por cualquier número; o, en lugar de una lı́nea recta infinita, decir que se
prolonga más allá de cualquier magnitud asignable, tal que hay
allı́ una recta siempre más y más grande. Pertenece a la esencia
del número, de la lı́nea, y de un todo cualquiera, ser limitado.
Sobre esta base, la negación del número infinito es coherente, incluso
necesaria, y es en la reflexión que Leibniz conduce sobre la continuidad que
toma su significación principal. Es necesario recordar, en efecto, que una de
las dificultades históricas de las matemáticas (y de la filosofı́a) consiste en la
diferencia de naturaleza que separa dos tipos de realidades aparentemente
heterogéneas: los números y las magnitudes. Los números son tradicionalmente definidos como “unidades de multiplicidades”. Son las entidades discretas. Las magnitudes por el contrario aparecen como realidades continuas,
según la intuición que los análisis de Aristótles han contruibuido mucho a
formalizar (“se entiende por contı́nuos los cuerpos donde las extremidades
están reunidas”). Es dificil de concebir entonces como es posible “pasar” de
los números a las magnitudes y viceversa. La separación entre la contiguedad de los unos y la continuidad de los otros parece infranqueable. Es en
parte esa dificultad la que Leibniz bautiza con el nombre de “laberinto del
continuo”: dada una magnitud continua, ¿cómo resolverlo en un conjunto
determinado de elementos constituyentes? Dado un conjunto determinado
de elementos, ¿cómo obtener una magnitud continua al componerlos?
¿Cómo componer o descomponer la continuidad sin desnaturalizarla? Esto requiere, dice Leibniz, “cierta consideración del infinito”. Desde tal perspectiva, la negación de un número infinito aparece menos como un lı́mite o
un arcaismo que como un obstáculo que hay que esquivar para inventar una
54
nueva manera de medir las magnitudes, buscando escapar a la discretización
que caracteriza el orden de los números. En lugar de impedir por siempre
la medida, la imposibilidad del número infinito quizás lo que hace es llamar
a una de un nuevo tipo. Se encuentra una indicación en el discurso que sostiene Leibniz sobre las “cantidades infinitesimales” del cálculo diferencial:
querer dar una expresión numérica - asignarle una cantidad determinada -,
pura y simplemente no tiene sentido. Leibniz dirá entonces de nuevo: “no
hay número infinito”. Se percibe ası́ que la cuestión de una medida del infinito es mucho más compleja de lo que parece en una primera mirada. Claro,
Leibniz afirma que el “verdadero infinito” es un absoluto que no podrı́a ser
determinado numéricamente. Pero es para añadir inmediatamente que no se
puede escapar al laberinto del continuo mediante un análisis “del infinito”,
y que ese análisis contribuye a hacernos tomar un conocimiento cierto... de
Dios. Es el término “magnitud” el que toma entonces una significación muy
particular, pues Leibniz le utiliza a la vez para describir la infinitud actual
no numerable y para caracterizar el objeto del nuevo análisis matemático el mismo que él se esfuerza de erigir a propósito de los problemas “trascendentes”:
Mr de Leibniz habiendo anotado que hay problemas y lı́neas que
no son determinados en ningún grado, es decir, que hay problemas en los que el grado mismo es desconocido y se pregunta por
él, y lı́neas de las cuales una sola pasa continuamente de grado
en grado, esa ruptura lo hizo pensar en un nuevo cálculo, que
parece extraordinario, pero que la naturaleza ha reservado para
este tipo de problemas trascendentes, que sobrepasan al Álgebra
ordinaria. Es eso que el llama Análisis de los Infinitos (...) El
nuevo análisis de los infinitos no trata ni de las figuras, ni de los
números, sino de las magnitudes en general (...). El muestra un
algoritmo nuevo, es decir una nueva manera de sumar, de restar, de multiplicar, de dividir, de extraer, incluso a cantidades
incomparables, es decir a aquellas que son infinitamente grandes,
o infinitamente pequeñas en comparación con las demás82 ...
¿Cuál es entonces este análisis del “magnitud en general” y que contribuye a la “ciencia del infinito”?
82
MS, p. 259. Leibniz habla aquı́ de sı́ mismo.
55
“Todo eso que he añadido a la invención matemática ha nacido sólo de que yo mejorara el uso de los
sı́mbolos que representan las cantidades83 ”
No es raro ver a Leibniz defender la autonomı́a de las ciencias con relación
a la filosofı́a, ası́ fuese la filosofı́a “primera”. Su insistencia en la necesidad
de la metafı́sica y de su reforma no le conduce jamás a reivindicar para ella
el papel de la dirección de las otras ciencias: fundar no significa mandar.
Ası́ explica en su Discurso de Metafı́sica (§X) que los fı́sicos pueden “dar
razón de las experiencias”, o bien mediante experiencias más simples ya
realizadas, o bien mediante demostraciones geométricas y mecánicas, sin
tener necesidad de “consideraciones generales que son de otra esfera”, es
decir de la metafı́sica. Un fı́sico que hiciera intervenir “el concurso de Dios,
o bien algún alma, archée, u otra cosa de tal naturaleza”, no serı́a más que
un “extravagante”. Esta anotación vale también para las matemáticas: “Un
geómetra no tiene ninguna necesidad de embarazar su espı́ritu con el famoso
laberinto de la composición del continuo.”
Ese laberinto que “consiste en la discusión de la continuidad y de los indivisibles que parecen ser sus elementos, y donde debe entrar la consideración
del infinito”, donde “la razón se extravı́a a menudo”, es el objeto especı́fico
de la filosofı́a. ¿Qué relación se establece entonces entre las matemáticas y la
filosofı́a? ¿Qué papel pueden jugar las matemáticas, reteniendo la autonomı́a
de sus razones y de sus operaciones, pero también de sus objetos, dentro de
esta comprensión del infinito que vendrı́a a ser la tarea propia de la filosofı́a?
Nos podemos guiar aquı́ por una indicación que Leibniz da en 1694 en un
texto que aparece en el Journal des Savants bajo el tı́tulo Consideraciones
sobre la diferencia que hay entre el análisis ordinario y el nuevo cálculo de
los trascendentes:
No es de extrañarse si nuestro nuevo cálculo de diferencias y
de sumas, que envuelve la consideración del infinito y se aleja,
por consecuencia, de eso que la imaginación podrı́a tratar, no ha
adquirido su perfección desde un principio84 ...
83
“Tout ce que j’ai ajouté à l’invention mathemàtique est né de cela seul que j’ai
amélioré l’usage des symboles qui represéntent les quantités”. MS, VII, p.17.
84
“Il ne faut point s’étonner si notre nouveau calcul des différences et de sommes, qui
enveloppe la consideration de l’infini et s’eloigne par conséquent de ce que l’imagination
peut atteindre, n’est pas venu d’abord à sa perfection”. Por lo tanto se comprende mejor
estas proposiciones recordando aquellas de Aristóteles: “(...) Desde su punto de vista,
los matemáticos no tienen necesidad del infinito, y no les dan ningún uso; se contentan
56
La “consideración del infinito” no es presentada como el objeto directo
de las matmáticas infinitesimales: ella está “envuelta”. ¿Qué es “envolver”
si no es directamente incluir85 ? La elucidación de la relación entre filosofı́a
y matemáticas del infinito llama a una determinación más precisa de ese
término. Leibniz establece una relación entre los problemas reencontrados
por el “nuevo cálculo” - sus dudas y sin duda también sus errores - y su
“envolvimiento” del infinito: es porque el infinito está en cuestión, incluso
indirectamente, para las matemáticas que la imaginación viene a ser radicalmente insuficiente y que el trabajo se hace más difı́cil. ¿Qué tipo de
pensamiento viene entonces a relevar a la imaginación deficiente?
Aparece nı́tidamente, a través de las cuestiones mismas, que la autonomı́a operatoria y también conceptual de las matemáticas está lejos de implicar insignificancia o neutralidad filosófica: el “envolvimiento” matemático
del infinito llama evidentemente a un “desenvolvimiento”, momento decisivo
de esta “ciencia del infinito” en que Leibniz tanto ha soñado.
Un problema muy antiguo: la búsqueda de las “cuadraturas”
Leibniz se presenta regularmente, hasta en los textos tardı́os que relatan
el origen de sus “descubrimientos”, como el fundador de un nuevo cálculo: el
término de “cálculo diferencial e integral” será seleccionado progresivamente
para nombrarlo. Las polémicas con los newtonianos, que están lejos de reducirse a las querellas de anterioridad, pero también el escepticismo de ciertos
de sus contemporáneos, son ocasiones que aprovecha Leibniz para defender
la fecundidad de este nuevo cálculo. Es bajo el tı́tulo de “nuevo método”
que hace conocer sus primeros elementos, planteando los principios generales y mostrando con ejemplos, cómo cuestiones, hasta entonces aporéticas,
encuentran ahora, gracias a este nuevo método, una respuesta.
Esta innovación no toma su sentido sino en relación a problemas muy
antiguos, a los cuales las generaciones sucesivas de matemáticos se han confrontado. Estos han sido señalados tradicionalmente bajo el término de “cuadraturas” y nacen de las dificultades ligadas a la medida de lı́neas, superficies
y volúmenes. Medir es siempre asociar, poner en relación un número y una
figura. Los problemas aparecen cuando esta asociación se revela imposible, y
ciertas longitudes o ciertas áreas no pueden ser numeradas. Se sabe qué tansiempre con suponer una lı́nea finita tan grande como quieran.” Fı́sica, lib.III, XI, 207b.
85
Aquı́ hay peligro de caer en la tentación de pensar que ‘algo’ distinto del velo está “envuelto”, cuando lo más sugerente es pensar que ese ‘algo’ es el mismo velo plegado. Ese
“algo” no está envuelto como el regalo en el paquete, sino más bien como la planta en la
semilla. [T]
57
to la cuestión de la “irracionalidad” de ciertas magnitudes a sido motor
en el desarrollo de las matemáticas, obligando a los matemáticos a inventar
nuevos números, adecuados a esas magnitudes inaccesibles desde una primera aproximación. Los Griegos, que no disponı́an sino de enteros naturales,
encontraron esta dificultad - por ejemplo, con el problema de la diagonal
del cuadrado - y lo tematizaron distinguiendo, pero también oponiendo, los
números y las magnitudes: los primeros se caracterizan por su discresión,
las segundas por su continuidad (en el sentido común del término). ¿Cómo
poner en relación entidades discretas (los números enteros, por ejemplo),
no divisibles al infinito, y las magnitudes continuas para las que una caracterı́stica fundamental parece ser la divisibilidad al infinito? Esta puesta en
relación es quizás simplemente imposible.
Estas cuestiones recorren la historia de las matemáticas hasta el siglo
XIX. Se pueden notar allı́ dos movimientos:
- Por una parte, un esfuerzo de comprensión de las magnitudes: ¿cuál es
su naturaleza? Esta interrogación corresponde a un problema de “fundamento”, cuya solución no aparecerá sino hasta el siglo XIX con la
redefinición de número y la contrucción de cuerpo R, de los números
reales.
- Por otra parte, las consideraciones relativas al cálculo o a las operaciones
de medida. Ya en los Griegos, con Eudoxo y Arquı́medes, estaba dada
la posibilidad de calcular con las magnitudes comparándolas, pero evitando, de hecho, la cuestión de su naturaleza. Ellos se apoyaban sobre
una teorı́a de las magnitudes que daba, en particular, las definición siguiente: se dice que dos magnitudes tienen una razón [raison] común,
si, siendo convenientemente multiplicadas por enteros, ellas pueden sobrepasarse mutuamente. Esto permitirı́a hacer entrar las magnitudes
en un cuadro de racionalidad [cadre de rationalité]. Es sobre esta base
teórica que Arquı́medes se apoya para proponer, para figuras particulares, cálculos de cuadratura (determinación de un área) y de cubatura
(determinación de un volumen).
Es a este segundo movimiento que Leibniz se adhiere desde un principio,
pues el cálculo diferencial e integral ofrece los medios seguros, y sobre todo
generales, para determinar las áreas y los volúmenes, ası́ como las longitudes
de curva y sus tangentes. Sin embargo la reflexión sobre la naturaleza de las
magnitudes atravieza igualmente toda la filosofı́a leibniciana del infinito. Y
aunque esta interrogación no recibe formalización matemática, constituye
58
un jalón dentro de la larga puesta en lugar de los “fundamentos” de las
matemáticas.
Leibniz entre Descartes y Arquı́medes
¿Cómo toma posición Leibniz en este conjunto de dificultades tradicionales? Publica en 1682 De la expresión en números racionales, de la proporción
verdadera entre un cı́rculo y su cuadrado circunscrito 86 : ese texto inagura
la larga serie de artı́culos que Leibniz consagra al análisis matemático del
infinito. Los elementos del “cálculo infinitesimal” no son expuestos ahı́ por
sı́ mismos, pero son insinuados por las elecciones de método que Leibniz
efectúa. Como el tı́tulo lo indica, Leibniz s confronta en él la cuestión antigua y casi mı́tica de la cuadratura del cı́rculo:
Desde siempre, los Geómetras se han dedicado a establecer las
proporciones entre las lı́neas curvas y las lı́neas rectas, sin embargo, a pesar de que ahora que disponemos del ayuda del álgebra,
no dominamos todavı́a bien la cuestión, al menos aplicando los
métodos en uso hoy. Pues es imposible de reducir esos problemas
a ecuaciones algebraicas87 ...
No es directamente en relación con las matemáticas griegas que Leibniz se sitúa. Lo que sucita su sorprendimiento, es que la “revolución algebraica” (cartesiana en gran parte) en geometrı́a, muy fecunda por demás,
no sea suficiente para dominar esta cuestión: ¿cómo hacer conmensurables unas con otras las lı́neas rectas y las lı́neas curvas? ¿cómo dar a esa
relación una expresión en “números racionales”? El aporte cartesiano revela aquı́ sus lı́mites: hay problemas que no se reducen a ecuaciones algebráicas. Ciertas curvas, que Leibniz nombra por esta misma razón “trascendentes”, no se dejan expresar bajo la forma de un polinomio de tipo
an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = O. Por lo tanto es necesario, o bien constatar una vez más que la imposibilidad de una solución y concluir con una
86
De Vera Proportione Circuli ad Quadratum Circumscriptum in Numeris Rationalibus
Expresa, MS, V, p. 118-122. Se encuentra una traducción al francés de ese artı́culo en
Leibniz, Nacimiento del cálculo diferencial, p.61-81. En todo rigor, ese texto nos el primero
publicado por Leibniz sobre la cuestión de las cuadraturas, pero juega un rol decisivo en
la puesta en lugar de su análisis.
87
“Depuis toujours les Géomètres se sont employes à établir des proportions entre lignes courbes et lignes droites, pourtant même à présent que nous disposons de l’aide de
l’algebre, nous ne maı̂trisons pas encore bien la question du moins en appliquant les méthodes en usage aujurd’hui. Car il est impossible de ramener ces problemes à des équations
algébriques...” Ibid., p.118
59
nueva forma de irracionalidad, o bien inventar un nuevo método [démarche] y
nuevos conceptos para resolver la dificultad. Una de las apuestas del método
leibniciano sera precisamente este: aplicarse a estas curvas “trascendentes”,
hasta ahora cosideradas como irracionales.
El análisis ordinario de Viète y Descartes consistente en la reducción de problemas a ecuaciones y a lı́neas de un cierto grado,
es decir, al plano sólido, sobresólido [sursolid], etc. M. Descartes,
para mantener la eficacidad y la suficiencia de su método, encuentra pertinente excluir de la Geometrı́a todos los problemas
y todas las lı́neas que no se puedan someter a este método, bajo
el pretexto de que todo eso no serı́a sino mecánico. Pero como
esos problemas y esas lı́neas pueden ser construidas , o imaginadas por medio de ciertos movimientos exactos, y ellas tienen
propiedades importantes y de las que la naturaleza se sirve a
menudo, se puede decir que hay ahı́ una falta parecida a aquella que se reprochaba a algunos antiguos, que estaban limitados
a las construcciones, para las que no se hubiese necesidad sino
de regla y compás, como si todo el resto fuese mecánico. A M.
de Leibniz, habiendo señalado que hay problemas y lı́neas que
no son en nigún grado determinadas, es decir, que hay problemas y lı́neas cuyo grado mismo es desconocido o preguntado, y
lı́neas de las que una sola pasa continuamente de grado en grado, esta ruptura le hizo pensar en un nuevo cálculo, que parece
extraordinario, pero que la naturaleza ha reservado para ese tipo
de problemas trascendentes que sobrepasan el Álgebra ordinaria.
Es esto lo que yo llamo el análisis de los infinitos88 ...
Allı́ donde Descartes se limita a ecuaciones de grado determinado - una
ecuación de grado n posee n soluciones y se puede reducir a un producto
de n factores de primer grado (x − a) - Leibniz hace entrar en el campo
del análisis una multitud de problemas de naturaleza diferente: curvas cuyo
grado está indeterminado, o cuyo grado varı́a continuamente (notablemente
las exponenciales), y para las cuales las soluciones algebráicas de Descartes
son insuficientes. En particular, está el caso del cı́rculo que no se puede
expresar bajo la forma de un polinomio de grado determinado. El problema
de la cuadratura del cı́rculo no puede entonces encontrar su lugar en la
geometrı́a cartesiana. Más generalmente, Descartes afirmaba que “encontrar
88
De la cadeneta o solución de un problema famoso propuesto por Galileo, para servir
de ensayo de un nuevo análisis de los infinitos... MS, V, p.258.
60
la proporción entre las lı́neas rectas y las curvas” era “imposible para los
hombres”.
Como sucede a menudo en el siglo XVII, es frente a Arquı́medes, del
cual Leibniz aprecia la audacia y el rigor en matemáticas ası́ como el empeño en una cuantificación de la fı́sica, que Leibniz opta por abrir una vı́a
distinta: si Descartes “hubiese profundizado suficientemente en la geometrı́a
de Arquı́medes, no habrı́a dicho nunca que no se puede igualar una curva a una recta...89 ”. Lo que retiene la atención de Leibniz es justamente
la tentativa arquimediana de poner en relación las lı́neas curvas y las rectas. Arquı́medes propone una cuadratura de la parábola, una cubatura de la
pirámide, y acomete la cuadratura del cı́rculo. Se trata en ese caso de encontrar un número que exprese la relación del cı́rculo al cuadrado circunscrito,
y también de expresar la relación de la circunferencia con el diámetro. Su
método para las cuadraturas consisten en la búsqueda de un “cuadramiento” [encadrement] de una magnitud: o bien por la descomposición de una
lı́nea, de una superficie o de un volumen en elementos más pequeños (que
no serán necesariamente de la misma naturaleza), elementos que serán a su
vez descompuestos (una pirámide será descompuesta en dos prismas y dos
pirámides y ahı́ reiteramos la operación); o bien por la comparación de una
figura con otra (cı́rculo y polı́gono por ejemplo); en el caso del cı́rculo, a
partir de la medida de una figura conocida y rectilı́nea se busca por aproximaciones sucesivas la medida desconocida de una figura curvilı́nea. Lo que
legitima el método, es lo que se llama comunmente el axioma de Arquı́medes
del que se encuentra una formulación en la proposición I del libro X de los
Elementos de Euclides:
Al proponer dos magnitudes desiguales, si se le quita a la parte más grande una más parte grande que que su mitad, y si se
le quita al resto una parte más grande que su mitad, y si se
hace siempre la misma cosa, quedará una cierta magnitud que
será más pequeña que la más pequeña de las magnitudes propuestas.
Se dice entonces que es suficiente un número finito de descomposiciones
para que la diferencia entre la figura inicial a medir y aquella que sive de auxiliar para la medida sea inferior a toda magnitud de referencia previamente
escogida. El tratado de Arquı́medes La medida del cı́rculo está construido
desde esta perspectiva. Se llega a un cuadramiento de S/R2 (donde S es el
área del cı́rculo y R el radio).
89
Carta a Tschirhaus, MS V, p. 446
61
En el siglo XVII, los problemas que los matemáticos se planteaban, ası́ como sus métodos y sus soluciones, no han sido transformados fundamentalmente. Lo que explica que Leibniz se dedicas al problema todavı́a no resuelto
de la cuadratura del cı́rculo: “Ası́ los Geométras se hayan ejercitado, no han
logrado todavı́a ordenarlo bajo leyes semejantes90 ”. No existen más que evaluaciones aproximadas a este respecto; los Geómetras chocan siempre con el
hecho de que “el cuadrado y el cı́rculo no son conmensurables”: “el último
no puede expresarse en un número único.” ¿Cómo hacer corresponder un
número a esa magnitud que es la del cı́rculo?
Para resolver este problema, Leibniz escoge cambiar de terreno, en el sentido de abandonar una solución puramente geométrica. Propone, en efecto,
una “cuadratura aritmética”: ésta consiste, de hecho, “en una serie [series],
donde el valor exacto del cı́rculo aparece a través de una sucesión [suite] de
términos, de preferencia racionales”. En este caso, si se supone un cı́rculo
de radio 1, el área del cı́rculo serı́a igual a 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7... el recurso
a los números permite al cálculo de independizarse de las figuras, y atrapar
ası́ un movimiento que la puesta en escena del cálculo diferencial acentuará.
En diferencia de lo que se obtiene por el método de exhaución, es decir,
una aproximación, Leibniz afirma la exactitud de la solución que propone,
afirmación que podrı́a parecer paradójica ya que se obtiene una serie que
“sigue hasta el infinito”. Y esto no es nada: es justamente porque se tiene
una infinitud de términos que se se puede plantear la igualdad; si no se tuviese en cuenta sino un número finito de términos, tan grande como fuese, se
obtendrı́a sólo un resultado aproximado, ya que se estarı́a obligado a omitir
ciertos elementos. Por el contrario: “tomada en su totalidad la serie expresa
el valor exacto.”
El área del cı́rculo (que es finita) es igual a una serie infinita de términos.
Si se ve ahı́ una paradoja, y si allı́ “uno se figura que una serie constituida
de una infinitud de términos no puede ser igual a un cı́rculo que es una
cantidad finita” esto no puede ser “sino por falta de costumbre”. Lo infinito
aquı́ expresa lo finito, la serie expresa el área del cı́rculo; es la naturaleza
misma del cı́rculo - el hecho de que no sea conmensurable con el cuadrado
- lo que impone un recurso a lo infinito. Tomar en cuenta una infinitud
de términos no constituye para nada un salto fuera de la racionalidad, al
contrario: en la medida en que la serie “no está constituida más que por una
ley de progresión única, el espı́ritu la puede concebir convenientemente toda
entera”. Para retomar la fórmula de los Nuevos Ensayos: “La misma razón
90
“Bien que les Géomètres s’y soient essayés, ils ne sont pas encore parvenus à le ranger
sous de semblables lois.” MS, V, p.119
62
subsiste siempre.” Ası́ no se pueda enumerar la totalidad de los términos de
la serie, de todas maneras se sabe como engendrarlos todos91 .
Un “nuevo método”: diferenciación e integración
Es en el texto titulado Nuevo Método para buscar los Máximos y los
Mı́nimos que Leibniz plantea las bases de un nuevo cálculo, que permitirá a
la vez culminar el trabajo de los matemáticos griegos y extender el campo de
la geometrı́a cartesiana. Es con este fin que forja el concepto de “diferencial”.
En ese texto, la noción está definida muy sumariamente, esencialmente para
precisar la notación que adopta: “Llamemos entonces dx a un segmento de
recta arbitrariamente escogido, y dv, es decir la diferencia de v, un segmento
que sea con dx como v con XB.92 ” Leibniz introduce de hecho una operación,
la diferenciación (y correlativamente, la operación inversa, la integración) .
Las cuales se expresan
mediante nuevos sı́mbolos, dos nuevas notaciones
R
matemáticas: dx y x. Pero lo más importante lo constituyen las reglas de
cálculo que Leibniz introduce justo después de la presentación de la nueva
notación, y que permiten poner en obra esos nuevos objetos que son los “dx”.
Leibniz da ası́ las reglas de diferenciación [différentiation] de una suma o de
una diferencia de términos, y también las de un producto o de un cociente.
Da también las fórmulas de derivación de una variable elevada a una potencia
cualquiera.
¿A qué corresponde la aparición de esta nueva notación y de qué se puede
hablar aquı́ como de un “nuevo método”? Leibniz decribe ası́ la génesis de
su descubrimiento:
Reconociendo entonces esta gran utilidad de las diferencias y
viendo que por el cálculo de M. Descartes puede ser expresada
la ordenada de la curva, vi que encontrar las cuadraturas o las
sumas de las ordenadas no es otra cosa que encontrar la ordenada
(de la cuadratriz) cuya diferencia es proporcional a la ordonada
dada. Reconocı́ pronto también que econtrar las tangentes no es
91
A un lector contemporáneo la fórmula de Leibniz podrı́a parecerle extraña: “Ası́ no
se pudiese escribir la suma en un solo y único número, y que ella continuase [poursuivre]
siempre al infinito...” Si bien Leibniz acepta igualar una serie infinita a una magnitud
finita, sin embargo no dispone de una definición de número irrancional que vendrı́a a ser
dada por Cantor o Weierstrass: un número irracional es el lı́mite de una secuencia infinita,
o la suma de una serie infinita de números racionales. Uno puede preguntarse si Leibniz
no resulta aquı́ trabado por el hecho de conservar una definición antigua de número, la
definición euclidiana en uso, que le impide aceptar la existencia de un número infinito.
92
Nova Methodus pro Maximis et Minimis, MS V, p. 220-226
63
otra cosa que restar, y encontrar las cuadratrices no es otra cosa
que sumar, previendo que se supongan las diferencias incomparablemente pequeñas.
Este nuevo cálculo permite buscar las tangentes en un punto cualquiera
de una curva pues descubir la tangente “no es otra cosa que restar [différentier]”; de manera simétrica, la busca de una cuadratura, se reduce a una
operación de sumación “previendo que se supongan las diferencias [différences] incomparablemente pequeñas”. La búsqueda de una cuadratura o de
una tangente devienen resultados “mecánicos” de un cálculo sobre las diferenciales [différentielles]. No cabe duda de que se sabı́a, antes de Leibniz,
encontrar una tangente a una curva: para Fermat, ésto consistı́a en descubrir
una recta que no tuviese sino un punto en común con la curva. Descartes
hace evolucionar el problema definiendo la tangente a partir de una secante
a la curva girando alrededor de uno de sus puntos donde la tangente es precisamente la recta que no corta la curva. Pero el cálculo diferencial transforma
la definición: “nuestro cálculo encuentra la esencia de la tangente en la multiplicidad de sus puntos coincidentes” mientras que en el “sentido vulgar”,
“la esencia de la tangente era no cortar la curva93 ” En Fermat, ası́ como en
Descartes, se trata de soluciones geométricas que suponen tomar en cuenta la figura particular que dibuja la curva dada. No habiendo una solución
general para la búsqueda de la tangente, ciertas curvas resultaban todavı́a
un obstáculo para la perspicacia de los matemáticos: se puede citar entre
otras las cadeneta - la lı́nea “más simple” dibujada por una pequeña cadena
suspendida por sus dos extermos - cuyas caracterı́sticas encuentra Leibniz
(tangentes, cuadraturas del área, centro de gravedad de la lı́nea y del área,
etc.) El cálculo diferencial introduce en ese nivel la sistematicidad, la generalidad, y por ello mismo, la facilidad:
También se ve que mi método se extiende a las curvas trascendentes, que no se pueden reducir a ningún cálculo algebraico, es
decir, que no son en ningún grado determinadas, y esto de la
manera más universal, sin recurrir a hipótesis particulares que
no pueden verficarse siempre, siempre que uno se atenga sólo a
ellas: en su principio, encontrar la tangente consiste en trazar
una recta uniendo dos puntos infinitamente cercanos de la curva, es decir trazar el lado de un polı́gono infinitangular que a
mis ojos equivale a la curva. Ahora bien, se puede siempre representar esta distancia infinitamente pequeña por una diferencial
93
Carta al marqués de l’Hospital del 17 de Noviembre 1694, MS, II, p. 260
64
conocida dv, o por una relación que la hace intervenir, es decir
por una tangente conocida94 .
Todas las curvas incluyendo las “trascendentes” pueden entonces ser estudiadas siempre que se acepte este principio: “encontrar una tangente consiste en trazar una recta reuniendo dos puntos infinitamente cercanos de la
curva.” La tangente no se define más como una recta absolutamente diferente de la curva que se reconoce por el número de puntos comunes que tiene
con esta última (dando por entendido que el punto de tangencia, no es sino
un solo punto que tiene común con la curva). Por el contrario, está definida a
partir de la curva misma: suponer dos puntos infinitamente próximos, permite, cualquiera que sea la figura dibujada por la curva, definir una recta, pues
los dos puntos no nunca son confundidos absolutamente; de todas maneras,
como esos dos puntos son infinitamente próximos, la recta satisface bien las
caracterı́sticas de una tangente según la nueva definición que Leibniz da para
ella (duplicidad de puntos coincidentes). Leibniz retrabaja aquı́ una esquema geométrico propuesto por Pascal: el “triángulo caracterı́stico”. Ası́ como
se puede igualar el cı́rculo a una serie infinita, este procedimiento permite
igualar cada porción de una curva al lado de un polı́gono infinitangular (es
decir un polı́gono con una infinitud de lados y, por lo tanto, una infinitud
de ángulos).
Desde un punto de vista geométrico, toda curva se puede reducir a una
“composición” de segmentos rectilı́neos (donde cada segmento se forma a
partir de dos puntos infinitamente próximos). Pero es aún más importante que esta caracterı́zación reciba una traducción algebráica: “Ahora bien,
siempre se puede representar esta distancia infinitamente pequeña por una
diferencial conocida dv, o por una relación que la hace intervenir...95 ” Lo que
cuenta a ojos de Leibniz antes que nada es esta representación: dos puntos
infinitamente próximos pueden ser representados por una diferencial dv. El
salto al infinito condiciona la generalidad del método; es, en efecto, lo que
hace posible un tratamiento idéntico para todas las curvas96 . A partir de
la ecuación de la curva que permite expresar y en función de x, se puede
94
Nova Methodus ..., MS V, p. 223
Nova Methodus ..., V, p. 223
96
Esta orientación será muy importante en metafı́sica, como aparece en el Discurso
de Metafı́sica, §VI: “Y si cualquiera trazase de manera continua [tout de suit] una lı́nea
que fuese tanto recta, tanto cı́rculo, como de otra naturaleza, es posible encontrar una
noción o regla, o ecuación común a todos los puntos de esa lı́nea en virtud de la cual sus
mismos cambios deberı́an darse [arriver]. Y no hay, por ejemplo, ninguna figura [visage]
cuyo contorno no fuese parte de una lı́nea geométrica y no pudiese ser trazada de un trazo
[trait] por un cierto movimiento reglado.”
95
65
entonces, utilizando las reglas del cálculo diferencial, inferir una ecuación
“diferencial” que da la ecuación de la tangente (es decir una relación entre
dy y dx) pero también los máximos y mı́nimos de la curva (o si se quiere
sus variaciones), a condición de introducir las diferenciales segundas incluso
los puntos de inflexión (es decir los puntos donde la curvatura se invierte):
Cuando se conoce de qué manera el Algoritmo de ese cálculo,
que yo llamo diferencial, se pueden encontrar mediante el cálculo ordinario todas las demás ecuaciones diferenciales, las de los
máximos y mı́nimos, ası́ como las de las tangentes, sin tener que
eliminar ni fracciones, ni irracionalidades, ni otros signos radicales, que era inevitable en los Métodos en uso hasta el presente97 .
Leibniz insiste mucho en la simplicidad de su método, ya que la eliminación de las fracciones o de los radicales, que antes complicaban considerablemente los cálculos, aquı́ resulta superflua. Las magnitudes diferenciales “se
encuentran más allá de la fracción y del vı́nculo [vinculum]”, y es esto justamente lo que justifica el cálculo. La simplicidad apunta también al carácter
algorı́tmico del cálculo, que permite casi automáticamente encontrar la diferencial de una suma, de una diferencia, pero también de un producto o de
un cociente de términos. Leibniz piensa estar en la capacidad de “liberar”
de los radicales y de las fracciones una ecuación (incluso) muy compleja al
derivarla muchas veces .
Sabemos entonces calcular con las diferenciales y ese cálculo permite dar
una expresión algebráica adecuada del movimiento de curvas en las que se
tenga interés. El cálculo integral viene finalmente a terminar con el problema
de las cuadraturas en cuanto tal: no se procederá más por aproximaciones
como con el método de exhausión, ni por adición de elementos supuestos
como infinitamente pequeños e indivisibles98 . Leibniz plantea el problema de
manera completamente diferente: él hace notar claramente que la integración
es a la vez la operación inversa de la diferenciación y la sumación que se
efectúa a partir de los dx.
Se trata de definir un nuevo tipo de operaciones. Lejos, en efecto, de
venir a añadirse a las operaciones habituales (adición, sustracción...), la diferenciación y la integración plantean al matemático un nuevo objetivo: ya
no se trata de la determinación tan precisa como sea posible de cantidades,
97
Nova Methodus ..., V, p. 222
Como en el método de Cavalieri (1598-1647), llamado de “indivisibles” y que consiste en descomponer un área en un cierto número de “tajadas” [tranches] infinitamente
pequeñas que se adicionan a continuación.
98
66
o de relaciones entre cantidades, sino del estudio de un proceso de variación.
La noción de función, que jugará un rol muy importante en las matemáticas
ulteriores, es conceptualizada por Leibniz gracias a su trabajo en el cálculo
infinitesimal. Si bien el término es utilizado desde bien pronto, es hacia 1698,
en la correspondencia con Jean Bernoulli, que toma su sentido moderno: una
función ? de una cantidad indeterminada x que expresa la ecuación de una
curva, que puede ser derivada (diferenciación) o de la que se puede buscar
una primitiva (integración).
El cálculo infinitesimal toma sentido por su generalidad. Allı́ donde no
habı́a sino “orientaciones particulares”, es decir recetas descubiertas paso a
paso por espı́ritus astutos, resolviendo cierto problema a partir de la exclusión de los demás, Leibniz propuso las reglas generales del análisis. Es esta
búsqueda de un método verdadero lo que lo aleja de Descartes:
Aquellos que nos han brindado los métodos nos han brindado
sin duda buenos preceptos, pero no el medio de observarlos. Se
requiere, dicen ellos, comprender todas las cosas clara y distintamente, es necesario proceder de las cosas simples a las compuestas; es necesario dividir nuestros pensamientos, etc. Pero esto no
sirve de mucho si no se nos dice nada a continuación. Pues cuando la división de nuestros pensamientos no está bien realizada,
ella oscurece más de lo que aclara. Es necesario que el tenedor
que trincha conozca los ligamentos, pues de no hacerlo desharı́a
las carnes en lugar de cortarlas. M. Descartes fue un gran hombre sin duda, pero yo creo que aquello que nos ha donado es
más un efecto de su genio que de su método, porque yo no veo
que sus seguidores hagan descubrimientos. El verdadero método
nos debe proveer de un filum ariadnes, es decir de un cierto medio sensible y ordinario, que conduzca al espı́ritu, como lo son
las lı́neas trazadas en geometrı́a y las formas de las operaciones
que se prescriben a los aprendices en aritmética. Sin esto nuestro
espı́ritu no podrı́a hacer un largo camino sin extraviarse99 .
99
“Ceux qui nous ont donné de methodes donnent sans doute de beux préceptes, mais
non pas le moyen de les observer. Il faut, disent-ils, comprendre toute chose clairment
et distinctement, il faut procéder des choses simples aux composées; il faut diviser nos
pensées, etc. Mais cela ne sert par beacoup si on ne nous dit rien davantage. Car lorsque
la division de nos pensées n’est pas bien faite, elle broille plus qu’elle n’eclaire. Il faut
qu’un écuyer tranchant sache les joitures, sans cela il déchirerait les viandes au lieu de
les couper. M. Descartes a été grand homme sans doute, mais je crois que ce qu’il nous a
donné est plutôt un effet de son génie que de sa methode, parce que je ne vois pas que se
sectateurs fassent des découvertes. La véritable méthode nous doit fournir un filum ariad-
67
La confianza en la escritura
Se ha reprochado a menudo a Leibniz el no justificar suficientemente las
operaciones, la cuales él reivindica por su fecundidad. Es verdad que las
“soluciones” que propone con la ayuda del cálculo diferencial a menudo son
presentadas de manera muy lapidaria, insistiendo en su efectividad práctica
más que en su justificación conceptual. A veces Leibniz parece hacer serias
concesiones al pragmatismo y toma el riesgo de pasar más por un técnico
astuto que por un fundador riguroso. Pero entonces no es sólo a Leibniz,
sino a todos los matemáticos de su tiempo, que se consagraron al nuevo
análisis del infinito, a los que se podrı́a reprochar el haber trabajado “sin
red” y el haber concedido una confianza excesiva a operaciones de las que
no tenı́an total control [maı̂trise] conceptual. La historia de las matemáticas puede parecer extraña, pero los hechos están ahı́: los “fundamentos”,
las construcciones conceptuales que retrospectivamente nos parecen indispensables, han venido después. Es solamente en el siglo XIX que el cálculo
diferencial encontrará sus verdaderos fundamentos.
Esta situación resulta acentuada por las decisiones que Leibniz toma en
materia de método. La primera concierne a la invención y a sus condiciones.
Es imperativo, para el progreso de los conocimientos y su “perfección”, fundar las demostraciones y los análisis, probando la verdad de los principios,
que se sirven de punto de partida. Es el único medio de separar los principios de las hipótesis inciertas, pero también de intuiciones quizás demasiado
evidentes. Es necesario substituir las “imágenes sensibles” por la fuerza de
las “razones”. Leibniz se dedica ası́ a demostrar el axioma “evidente” según
el cual el todo es más grande que la parte. La evidencia intuitiva no es inmediatemente posible, explica Leibniz, sino allı́ donde se tiene que ver con
nociones primitivas - principalmente con el principio de identidad. En todas
las otras partes la demostración es posible y necesaria. Es necesario entonces
rendir homenaje a todos aquellos que se dedicaron dar fundamento a nuestros conocimientos, a probar los principios, incluso a demostrar los axiomas,
pues Leibniz hace una distinción entre los axiomas “idénticos” que son indemostrables y los axiomas “no idénticos” que pueden y deben demostrarse
por medio de los anteriores.
De todas maneras, una investigación sistemática de los fundamentos puede perjudicar al progreso de los conocimientos y sobre todo a la invención.
nes, c’est-à-dire un certain moyen sensible et grossier, qui conduise l’esprit, comme sont les
lignes tracées en géometrie et les formes des opérations qu’on prescrit aux apprentices en
arithmétique. Sans cela notre esprit ne saurait fair un long chemin sans s’égarer.” Carta
a Galloys, MS, I, p.81
68
Si los geómetras hubiesen buscado probar sus axiomas o sus postulados...
“quizás no tendrı́amos hoy ninguna geometrı́a”. Euclides no debe ser acusado por haber admitido ciertas proposiciones sin pruebas: inventar supone
que se toma el riesgo de pensar sin “fundamentos”. Si no se lo hiciese, se
tendrı́an grandes posibilidades de ser siempre reconducido al mismo nivel de
conocimientos y nunca progresar, sobre todo si ciertos de nuestros principios,
lejos de ser universales, se revelan relativos a un cierto dominio y a un cierto
grado de conocimiento. El trabajo de redefinición de la igualdad se inscribe
dentro de esta perspectiva. En su Respuesta a Nieuwentijt Leibniz anota
su negativa “de trabar el arte de inventar por un exceso de excrúpulos” o
de “rechazar bajo ese pretexto los mejores descubrimientos, privándonos a
nosotros mismos de sus ventajas”. Ası́, antes que detenerse ante aquello que
la definición tradicional de igualdad le impedirı́a a hacer, Leibniz propone
una redefinición:
Yo considero que son iguales no sólo cuando su diferencia es absolutamente nula, sino también cuando ella es incomparablemente
pequeña; y ası́ no se pueda decir en ese caso que la diferencia sea
absolutamente nada, no resulta por ello que sea una cantidad
comparable a aquellas de las cuales ella es la diferencia100 .
No se está aquı́ ante un bricolage, ni ante un salto adelante [une fuite en
avant], sino ante una auténtica reelaboración conceptual que Leibniz pone
en paralelo con otras, como aparece en los textos donde trata conjuntamente
de matemáticas y de fı́sica: es necesario repensar en un mismo orden de ideas
la relación del movimiento y del reposo, que no es sino un movimiento infinitamente lento. La “negligencia” con respecto a los principios no es entonces
sino una apariencia tramposa. Se está en realidad ante un vaivén entre las
innovaciones simbólicas y las redefiniciones de los conceptos y principios que
las comandan. Pero si se puede aquı́ economizar el trabajo permanente de
retorno y de elucidación de los fundamentos, es porque se puede apoyar en
la cogencia [consécution] de los razonamientos. La confianza de Leibniz en
las virtudes del nuevo cálculo apuntan por muchos lados a eso que él ha
convenido llamar su formalismo. El “rigor de la consecuencia” se basta a
sı́ mismo, y debe entrenarnos ante proposiciones extrañas y a primera vista incomprensibles. Que las diferenciales sean magnitudes extrañas, que las
relaciones que ellas nos permiten establecer desafı́en el sentido común, es
cierto; se dice, por ejemplo, que una serie infinita de términos puede “igualar” un término finito, que una curva se descompone en una infinitud de
100
MS V, p. 322
69
segmentos de recta. La extrañeza es tanto más grande cuando los elementos
del nuevo análisis escapan regularmente a la representación sensible. Aspiramos constantemente a la puesta en imágenes, a la “construcción” intuitiva
de los conceptos, y esto quizás tanto más cuando la geometrı́a tradicional
nos ha habituado a trabajar con figuras. ¿Cuál será la imagen de “dx”, de la
sumación o de la diferenciación? No “vemos” nada del infinitesimal: es una
ocasión de más para Leibniz de recordar que existe, entre los conceptos y
las imágenes, una separación radical, que concebir no es ver, sino más bien
poner en relación. Serı́a necesario entonces que la verdad se construyese de
otra forma, y que la coherencia del razonamiento viniese a compensar la
imposibilidad definitiva de una visión. ¿Qué es entonces lo que nos guı́a en
el análisis al infinito? Nada distinto del movimiento propio del análisis. Si
bien hay un cı́rculo, no es vicioso, pues se está restringido estrictamente a
las exigencias elementales de la demostración: no subsituir unos por otros
sino los equivalentes. Esto lleva a Leibniz a buscar, por razones pedagógicas,
brindar una imagen sensible de las magnitudes diferenciales. Ellos son, dice
él, del mismo tipo que los incomparables:
Yo he creı́do que para hacer sensible el razonamiento a todo el
mundo, es suficiente con explicar lo infinito como lo incomparable, es decir, concebir cantidades incomparablemente más grandes o más pequeñas que las nuestras... Es ası́ como una partı́cula
de materia magnética que pasa a través de un grano de vidrio no
es comparable con un grano de arena, ni este grano con el globo
terrestre, ni ese globo con el firmamento101 .
Pero esta imaginerı́a persuasiva, inmediatamente destruye el rigor de la
construcción. Porque se fija lo que por definición debe permanecer “inasignable”; y, sobre todo, porque se restablece una relación de heterogeneidad
entre la magnitud y “su” diferencial, eso que precisamente se buscaba evitar102 . ¿Cómo podrı́a, en efecto, componerse una lı́nea de puntos? Ahora
bien, es necesario que el proceso de integración de las diferenciales nos permita reencontrar la magnitud inicialmente diferenciada.
Ası́, el pensamiento del infinitesimal debe aceptar devenir “ciego” si quiere poderse desarrollar, y ganar en distinción. Es una constante de la filosofı́a
101
Cf. texto en el anexo.
Por el contrario yo tengo la sensación que el ejemplo lo que hace es plantear una
relación de homogeneidad que termina extraviando a aquel que busque un fundamento
conceptual. Sin embargo resulta muy útil como guı́a para resolver y hacer intuitivos ciertos
problemas. [T]
102
70
leibniciana , que sobrepasa la pura invención del cálculo diferencial, considerar la “caracterı́stica” como la condición fundamental de la ciencia y sus
progresos. Leibniz vendrá justo a decir que todo lo que él ha inventado en
matemáticas ha nacido de un “mejoramiento en el uso de los sı́mbolos que
representan las cantidades103 ”. El cálculo diferencial constituye un terreno
privilegiado para la puesta en obra de esta orientación fundamental, en la
medida en que la escritura viene a jugar un papel esencial. El análisis de
los Antiguos resulta, como se ha visto anteriormente, “reemplazado” por las
operaciones que “abrevian” el razonamiento y permiten, gracias a una escritura apropiada, cortar con las dificultades insobrepasables de la exhaución
de figuras, ası́ como con la pesadez de los cálculos. Los Antiguos (Arquı́medes en particular), explica Leibniz, poseı́an “el fundamento de la invención”
por un análisis al infinito, pero no pudieron llegar a ponerlo en obra, demasiado embrollados por su método de figuración y por el muy largo circuito
de sus reducciones al absurdo.
La condición del funcionamiento del cálculo consiste en un cambio en el
estatus de los sı́mbolos: se sustituye lo “definido” a la definición; se pueden
entonces de alguna manera “olvidar” las ideas, para trabajar combinando
los caracteres, economizando el “desvı́o” por las definiciones explı́citas, que
siempre resulta largo cuando se tiene que ver con nociones complejas. Esta
caracterı́stica “económica” debe ser tomada aquı́ en su función más fuerte:
no solamente como un auxiliar que vendrá a suplir las deficiencias del pensamiento, sino como la condición misma de un pensamiento a la vez inventivo
y riguroso. Se desarrolla el saber operando sobre los caracteres mismos, que
devienen objetos del conocimiento por aparte.
Todo el mérito de las ciencias abstractas reposa sobre las marcas
abreviadas de las palabra y la escritura, y estas marcas hacen que
podamos calcular el lı́mite y la suma de una progresión cualquiera todo de un golpe, aunque no recorramos todos los términos
uno por uno; y que nosotros podamos mostrar un término finito
iguala al infinito mismo y otras cosas de este género que chocan
de asombro a aquellos que no conocen la razón de las cosas104 .
103
MS VII, p. 17
“Tout le mérite des sciences abstraites repose sur les marques abrégées de la parole et
de l’ecriture, et ces marques font, que nous pouvons calculer le terme et la somme d’une
progression quelconque tout d’un coup, quoique nous ne parcourions pas tous les termes
un à un; que nous pouvons montrer un terme fini égal a l’infini lui-même et d’autres choses
de ce genre qui frappent d’étonnement ceux qui ne comprennent pas la raison des choses.”
COF, p.257.
104
71
La posibilidad misma de una concepción rigurosa, pero finalmente también, de una intuición en el sentido intelectual del término, reposa ası́ sobre
las “marcas abreviadas”. Es a través de ellas que se puede “mostrar” y captar eso que en principio parece impensable: que una serie infinita de términos
iguale un término finito. Lo más remarcable apunta a que, lejos de representar un lı́mite para la inteligencia, la mediación de los caracteres, en realidad,
la condiciona. Es por el desvı́o de las escritura que se llega a comprender
esa igualdad “toda de un golpe”. La dimensión de la intuición (intelectual)
se presenta finalmente aquı́, gracias al desvı́o por lo escrito. La escritura
expresa sintéticamente eso que un largo análisis no permitirı́a jamás poner
en evidencia.
Es posible ası́ invertir las cosas: sólo un pensamiento que se niege a jugar
el juego de la caracterı́stica se condena, de manera definitiva, a mantenerse
ciego. Son numerosos los textos en los cuales Leibniz distingue el pensamiento ciego y la intuición intelectual (“que es bien rara”), pero esta distinción
no toma su verdadero sentido sino en una dinámica de desarrollo de los
conocimientos: el desvı́o por una caracterı́stica bien escogida nos permite
comprender aquello que sin ella se mantendrı́a inaccesible: la igualdad, por
ejemplo, de lo finito y lo infinito. Cierta paradoja parecida tiene, se sabe,
una larga historia en filosofı́a: es necesario ser ciego para ver bien, pero sobre
todo, aquı́, para “entender/escuchar” [entendre] bien.
Entonces la caracterı́stica que el cálculo diferencial moviliza no está escogida al azar. La mejor caracterı́stica es siempre aquella que objetiva más
inmediatamente “a los ojos y al espı́ritu” las relaciones que ella representa.
Es siempre por ese argumento que Leibniz defiende la superioridad de su escritura de los infinitesimales. Los sı́mbolos escogidos son al mismo tiempo la
condición del algoritmo infinitesimal y de la comprensión de las operaciones.
Las cualidades de un caracter son: de partida la concisión, pues está destinado a abreviar el trabajo del pensamiento al condensar los pensamientos;
sigue la forma misma del caracter que debe hacer sensibles las propiedades
que representa: el simbolismo escogido para expresar la diferencial “dx” hace
notar bien que se trata de una afección de una magnitud - Leibniz parece
haber escogido una analogı́a con las potencias de una cantidad x - y además
se presta bien para la expresión de la iteración de la operación (dx, d2 x, ...).
La confianza dada a la escritura en el “análisis del infinito” no tiene entonces sentido sino bajo esta exigencia permanente de legibilidad. La relación
resulta aquı́ circular: el nuevo cálculo no puede triunfar sino sobre la base
de una caracterı́stica adecuada; pero el valor de ella se mide en los efectos
de conocimiento que ella condicione. Los caracteres bien elegidos extienden
el poder del entendimiento. Leibniz compara la caracterı́stica a un telesco72
pio o a un microscopio: ¿quizás serı́a necesario, antes que nada, para que el
infinito deje de ser inconcebible, reaprender a escribir?
Al nuevo método, su fecundidad, y al simbolismo, su calidad, a menudo
les sirvieron como argumento para hacerse admitir entre los matemáticos, y
para defenderse contra los ataques de los más escépticos. ¡Serı́a una lástima
rechazar un método que produce resultados precisos con una gran economı́a
de medios105 !. Queda por saber que tipo de verdad el cálculo infinitesimal
nos provee, y si puede pretender el tı́tulo de “universal”, extendiendo a otros
sectores del conocimento, incluida la metafı́sica, sus principios de inteligibilidad.
“Mi metafı́sica es completamente matemática, por
ası́ decir, o podrá llegar a serlo106 ”
Fundamentos para el cálculo
El éxito del cálculo diferencial, pero quizás sobre todo la confianza otorgada a las operaciones formales que lo regulan, no dejaron de sucitar la
perplejidad de sus contemporáneos, y quizás la de Leibniz mismo, que parece dudar sobre su verdadero alcance: a menudo llega a decir no estar bien
seguro de la naturaleza y del estatus de sus “infinitesimales”. Las interrogaciones se dirigen hacia la validez del cálculo, pero también más allá, hacia
la significación y el papel que deben asignársele dentro del orden general del
conocimiento. ¿No se adelanta Leibniz demasiado cuando habla a propósito
del mismo como de un “análisis del infinito”?¿Qué es lo que garantiza que,
con las diferenciales, se esté ante algo distinto de un juego de escritura?
¿Qué son son esas cantidades “infinitamente pequeñas” (o “infinitamente
más pequeñas”) que las diferenciales pretenden representar, y con qué género de realidad estamos teniendo que ver? Allı́ donde se sitúa finalmente la
verdad de este nuevo cálculo: ¿nos hace conocer alguna cosa de ese infinito
del que, además, se proclama la realidad?
Las respuestas de Leibniz a estas cuestiones parecen a primera vista
bastante variadas, a veces incluso contradictorias. Pero es necesario tener
en cuenta los contextos en los cuales se pronuncia: si las respuestas varı́an
105
Respuesta a Nieuwentijt, MS, V, p.322. “Desde el instante en que produce necesariamente y con tanto rigor los resultados que producirı́a el otro método (aparentemente) más
riguroso, es suficiente con que sea inteligible y útil para la invención.”
106
“Ma métaphysique est toute mathématique pour ainsi dire ou le pourrait devenir”.
Carta a l’Hospital, 27 de noviembre 1694, MS, I/II, p.238.
73
según los interlocutores, es porque se trata justamente de reaccionar a interpretaciones que parecen erróneas, y a veces “ponen la regla al revés” [tordre
le bâton dans le otre sens].
A aquellos que dudan de la fecundidad y de la verdad del cálculo infinitesimal, Leibniz opone por una parte la coherencia y el rigor de los procedimientos (la validez del cálculo se muestra... por el cálculo), pero también
la “realidad” de las diferenciales. Lejos de no ser referidas a nada, ellas representan cantidades “reales” y se asocian según un orden que “entra en las
operaciones de la naturaleza”:
La perfección del Análisis de los Trascendentes en Geometrı́a,
donde entra la consideración de cierto infinito, será sin duda la
más importante a causa que pueda darsele para las operaciones de la naturaleza, que hace entrar el infinito en todo lo que
hace107 ...
Una diferencial tiene entonces un referente y éste posee por lo menos dos
dimensiones: primero que todo una magnitud, la cantidad continua que los
infinitesimales vienen a medir; y en seguida, de manera mucho más general,
la naturaleza y sus fenómenos, o, aún más, la aplicación que se puede hacer del cálculo diferencial en los estudios de fı́sica. A aquellos que terminen
por pensar que las diferenciales no están “referidas” a nada, y que ellas no
designan nada distinto de sı́ mismas108 , es necesario recordar que las verdades fundamentales de la mecánica (movimiento, velocidad) pero también
de la dinámica (fuerza) no puede ser concebidas rigurosamente sino sobre la
base del análisis infinitesimal. Se tienen entonces dos fuertes razones para
considerar que las diferenciales son algo distinto que nada.
Pero este argumento es en realidad muy complejo. La aplicación del
análisis infinitesimal a los fenómenos naturales supone una mediación: la
de la continuidad. En efecto es en principio a la “cantidad contı́nua”, que
compete según Leibniz al orden de los posibles (y no al orden de las realidades actuales), que son adecuadas las operaciones del cálculo diferencial.
107
“La perfection de l’Analyse des Trascendantes en de la Géometrie où il entre la considération de quelque infini serait sans doute la plus importante à cause de l’application
qu’on en peut faire aux opérations de la nature, qui fait entrer l’infini ent tout ce qu’elle
fait...” Carta a l’Hospital, enero 1693, MS, I/II, p.218-223
108
Leer acerca de este punto los análisis de Hide Ishiguro, Leibniz’s philosophy of logic
and language, p.79-101, Hide Ishiguro que se apoye en la distinción propuesta por Frege
entre significación y denotación (sentido y referencia), trabaja en poner en evidencia la
teorı́a de la significación “contextual” que implica la contrucción leibniciana.
74
Y es solamente porque la naturaleza es “regulada” por el principio de continuidad que el paso de las matemáticas a la fı́sica deviene posible (e incluso
necesario): “La ciencia de los continuos, es decir los posibles, comporta las
verdades que no serán jamás violadas por los fenómenos actuales, pues la
diferencia es siempre más pequeña que cualquiera que se puediese señalar.”
Es necesario entonces, si se quiere evaluar el alcance del cálculo, adquirir un
conocimiento preciso de esta articulación.
A aquellos que ven en el cálculo diferencial una llave para resolver (porfin) las complejas cuestiones de la filosofı́a primera o de la teologı́a, Leibniz
opone la dimensión ficticia (o ideal, lo que representa una variación significativa) de las operaciones y las cantidades del cálculo diferencial. Es ası́,
por ejemplo, que toma distancia con Fontenelle, muy tentado hacia la construcción de una “filosofı́a de los infinitamente pequeños”:
Quedo a la espera de vuestras bellas meditaciones acerca de lo
infinito o infinitamente pequeño. Es verdad que para mı́, los infinitos no son totalidades y los infinitamente pequeños no son
magnitudes. Mi metafı́sica los destierra de esas tierras. Ella no
les brinda alhojamiento sino en los espacios imaginarios del cálculo geométrico, donde esas nociones son admitidas como las raı́ces
que llamamos imaginarias. La parte que he tenido que ver con el
cálculo de los infinitesimales no me hace enamorarme tanto como
para ponerlos más allá del buen juicio. Y la veradera metafı́sica
o filosofı́a, si usted quiere, me parece no menos importante que
la geometrı́a, sobre todo si hay un medio introducir en ella las
demostraciones, que han sido puestas de lado sólo hasta ahora, mediante el cálculo, que será necesario para darles toda la
entrada que necesitan109 ...
Entre nosotros, creo que M. de Fontenelle, quien tiene un espı́ritu
galante y bello, no hablaba en serio [en a voulu railler] cuando
ha dicho que querrı́a hacer los elementos metafı́sicos de nuestro cálculo. Para decir la verdad, yo mismo no estoy demasiado
convencido de que sea necesario considerar nuestros infinitos y
nuestros infinitamente pequeños como algo distinto que como
ficciones bien fundamentadas. Yo creo que no hay criatura por
debajo de la cual no haya una infinitud de criaturas, sin embargo no creo que haya, ni siquiera que pudiese haber, infinitamente pequeños, y creo poder demostrarlo. Las substancias simples
109
Al verso de una carta de Fontenelle, fechada 9 septiembre 1704, LO, p. 233-235
75
(es decir, que no son seres por agregación) son verdaderamente
indivisibles, pero son inmateriales, y no son sino principios de
accion110 ...
Serı́a inocente creer que, con el surgimiento del cálculo infinitesimal, el
infinito encontrase finalmente “su” ciencia y que bastase con ser buen calculador para saberlo todo acerca del infinito. Sobre todo porque las cuestiones
continúan abiertas en el seno de la matemática misma: ¿quizás se podrı́a
elaborar un análisis del infinito más pertinente aún que aquel que nos ofrece el cálculo de las diferenciales? Los esfuerzos de Leibniz para reconstruir
la geometrı́a, desde una inspiración bastante cercana a lo que nosotros llamamos topologı́a, indican nı́tidamente que, incluso desde el punto de vista
matemático, serı́a imprudente considerar el cálculo infinitesimal como un
punto final [aboutissement] definitivo. Constituye un sistema de expresión,
pero nada impide trabajar en perfeccionarlo, e incluso sobrepasarlo. No es
seguro que sea suficiente ser buen matemático para triunfar en metafı́sica.
Esta manera de explotar el cálculo resulta entonces apresurada y sin fundamento. Uno se deja atrapar por las palabras y por su equivocidad: se cree
que el infinito ha devenido el objeto del cálculo (o, al revés, que el cálculo es
el cálculo “del infinito”) y se olvida que una diferencia de naturaleza separa
la realidad substancial y las cantidades matemáticas.
De todas maneras no es necesario confundirse con respecto al sentido
de la posición leibniciana. Sin duda, Leibniz defiende regularmente la autonomı́a práctica de su cálculo: “No se tiene que hacer depender los análisis
matemáticos de las controversias metafı́sicas.111 ” El cálculo soporta sin dificultad la pluralidad de interpretaciones que puedan serle dadas. Cualquiera
que sea la concepción que uno se haga de las diferenciales (realidades “en
rigor metafı́sico” que existiesen “en la naturaleza” o “ficciones útiles”), se
conserva el hecho de que ellas permiten abreviar el razonamiento y refinar
la medida. Se puede entonces poner (provisionalmente) entre paréntesis la
cuestión de su naturaleza y de su referente sin que, por lo tanto, la coherencia del cálculo sea afectada. Leibniz refuerza ese argumento mediante la
comparación entre las cantidades infinitesimales y las raices “imaginarias”
del álgebra, que juegan un papel muy útil en la solución de las ecuaciones,
incluso cuando su estatus se mantenga (para un matemático del siglo XVII)
muy problemático.
Pero si la autonomı́a operatoria del cálculo es una realidad, Leibniz no va
nunca a llegar a decir que el cálculo esté privado de significación filosófica,
110
111
Carta a Varignon, 20 de Junio 1702, MS, IV, p. 106-109
Anexo.
76
y que la filosofı́a comenzarı́a “después” o “más allá” de las matemáticas.
No se trata de hacer un corte radical entre las matemáticas y la metafı́sica, bajo nombre por ejemplo de una heterogeneidad radical de la cantidad
(matemática) y las cualidades (reales). La metafı́sica está mas bien “en” las
matemáticas, envuelta en ellas: la metafı́sica es matemática “por ası́ decir,
o lo podrá llegar a ser”, pero esta relación supone una serie compleja de
meditaciones. Lo que Leibniz niega ante todo es una cierta interpretación
del cálculo diferencial: aquella que consiste en “realizar” los infinitesimales
al definirlos como “cosas” o como imágenes de cosas. Esto es falso por lo
menos por dos razones:
Hablando matemáticamente, las diferenciales no son cantidades determinadas; ellas no son cantidades negigibles, que se introduzcan por un lado
para olvidarlas después, pero tampoco son magnitudes fijas. Por lo tanto, se
habla impropiamente al hablar de ellas como de infinitamente pequeñas, y es
esto mismo lo que constituye una ficción, que puede ser útil, pero que carece
completamente de rigor. Las diferenciales son “afecciones” de magnitudes,
que reciben su determinación de las operaciones en las que son empleadas.
Es la diferenciación que se realiza lo que define la diferencial, y no al revés.
Si se traduce al vocabulario de lo infinitamente pequeño, para ser riguroso,
es necesario usar el comparativo: las diferenciales son “infinitamente más pequeñas que” las magnitudes que se diferencian. Es en ese sentido solamente
que se puede hablar de ellas como de “incomparables”. Olvidar que las diferenciales no son nada afuera de la operación que les da origen, y que esto
mismo justamente prohibe que se las trate como cantidades determinadas,
es perder de un mismo golpe la dinámica del análisis y el pensamiento de la
continuidad. Es reinventar el atomismo en el lugar mismo donde se buscaba
escapar de él. Uno se reencuentra entonces con las dificultades de los métodos de los indivisibles: buscar sin poder alcanzar componer el continuo con
unidades discretas.
Buscar definir, determinar a priori, las diferenciales (negarse a dejarse
llevar “ciegamente” por las palabras), es sin duda olvidar que lo más importante, como lo indica la introducción del concepto de función, son las
relaciones que los términos del cálculo tienen los unos con los otros. Son
esas relaciones las que brindan una definición cuantitativa de las diferenciales, y no a la inversa. Querer partir de los “elementos” es olvidar que los
verdaderos elementos aquı́ son las relaciones...
Tratar los “infinitamente pequeños” como cosas, viene a ser, hablando
metafı́sicamente, mezclar los géneros: se confunde lo real y lo imaginario,
lo discontinuo y lo continuo, olvidando todos los logros adquiridos de una
teorı́a rigurosa de la substancia. Es posible poner en relación la “ciencia del
77
continuo” con el conocimiento de las realidades actuales, pero esa relación
no tiene nada que ver con una transposición inmediata y mimética.
La búsqueda de una “realización” inmediata de las cantidades infinitesimales resulta entonces demasiado corta. Por el contrario la buena metafı́sica
requiere de múltiples desvı́os. Leibniz no niega que el cálculo infinitesimal
participe de una “ciencia” general del infinito, pero a partir de relaciones
que es necesario construir, en lugar de presuponer apresuradamente.
Lo ficticio, lo ideal, lo actual
el lugar de la continuidad
La correspondencia con Foucher, Varignon112 , pero también con Volder,
tratan de establecer estas mediaciones. Leibniz se explica allı́ sobre el estatus
de los “infinitamente pequeños”. Él los sitúa entre las relaciones que mantienen los dos tipos de realidades que permanentemente invita a distinguir:
lo ideal y lo actual, lo posible y lo real:
Y es la confusión de lo ideal y lo actual lo que ha embrollado y
dado lugar al laberinto de compositione continuii. Aquellos que
componen la lı́nea de puntos han buscado los primeros elementos
entre las cosas ideales o relaciones completamente de otro tipo
que no eran necesarias; y aquellos que han encontrado que las
relaciones como el número o el espacio (que comprende el orden o relación de las cosas coexistentes posibles) no podrı́an ser
formados por reunión de puntos, en mayorı́a se han equivocado
al negar los elementos primeros de las realidades substanciales,
“como” si ellas no tuviesen unidades simples o como si no hubiese substancias simples. Sin embargo el número y la lı́nea no
son cosas quiméricas, aunque no hubiese tal composición, pues
son las relaciones las que encierran las verdades eternas, sobre
las cuales se rigen los fenómenos de la naturaleza113 .
112
Ver en el anexo el fragmento de la carta del 2 de Febrero de 1702.
“Et c’est la confusion de l’ideal et de l’actuel qui a tout embruillé et fait le labyrinthe
de compositione continuii. Ceux qui possent la ligne de points ont cherché les premiers
éléments dans les choses idéales ou rapports tout autrement qu’il ne fallait; et ceux qui
ont trouvé que les rapports com le nombre ou l’espace (qui comprend l’ordre ou rapport
des choses coexistantes possibles) ne sauraient être formés par l’assemblage des points ont
eu tort pour la plupart de nier les premiers éléments des réalités substantielles, [comme]
si elles n’avaient point de substances simples. Cependant le nombre et la ligne ne sont
point des choses chimeriques, quoiqu’il n’y ait point de telle composition, car ce sont des
rapports qui referment des vérités eternelles, sur lesquelles se règlent les phénomènes de
la nature.” Respuesta a las objeciones de Foucher, PS, IV, p.491-493
113
78
El orden real (o actual) “tomado en rigor” (aquel que componen el conjunto de las substancias) está marcado por la individuación y la discreción:
las substancias son unidades indivisibles y singulares. Los “elementos” son
siempre determinados. La discontinuidad parece ser aquı́ la regla: se puede incluso hablar de atomismo, a condición de añadir que los átomos (o
“elementos constitutivos primeros”) son espirituales y recordar que cada
substancia es representativa de la infinitud del mundo. La infinitud actual
es aquella de una multitud inmensa y discreta:
“No hay” en las cosas actuales más que una cantidad discreta, una multitud de mónadas o substancias simples más grande
que cualquier número, en cualquier agregado sensible, es decir,
correspondiente a un fenómeno114 .
El orden ideal (o posible) corresponde a aquel que es finalmente pensable
a priori, independientemente de nuestras experiencias y sin contradicciones.
El conjunto de “verdades eternas” constituye un orden inteligible en el que
nuestro entendimiento descubre poco a poco que tanto tiene su propia coherencia. La cantidad continua pertenece a ese orden ideal. Pero Leibniz habla
también, situándolos al mismo nivel, de “cuerpos matemáticos” (por ejemplo
la lı́nea):
La cantidad contı́nua es cierta cosa ideal, que pertenece a los
posibles y a los actuales, tomados como posibles. El continuo
envuelve partes indeterminadas, mientras que en las actuales no
hay nada indefinido, pues en aquellas cualquier división que pueda ser realizada se encuentra realizada115 .
Es aquı́ que los infinitesimales encuentran su lugar, sobre una misma base que la continidad, cuyo análisis hacen posible. Si ellos pueden ser tomados
“tan pequeños como se quiera”, es porque son momentos de esa continuidad
que no contiene ninguna “parte” determinada a priori. La cantidad continua lleva entonces consigo la divisibilidad “al infinito”. Una lı́nea puede ser
114
““Il n’y a” dans les choses actuelles qu’une quantité discrete, une multitude de monades ou substances simples plus grande que n’importe quel nombre, dans n’importe quel
agrégat sensible, c’est-à-dire correspondant à un phénomène.” Carta a Volder del 19 de
enero 1706, PS, II, p.282
115
“La quantité continue est quelque chose d’ideal, qui appartient aux possibles et aux
actuelles, prises comme possibles. Le continu enveloppe des parties indeterminées, alors
que dans les actuelles il n’y a rien d’indefini, puisque dans celles-ci n’importe quelle division
qui peut être faite se trouve être faite.” Carta a Volder, PS, II, p.283
79
cortada idealmente de una infinitud de maneras, en una infinitud de partes
que son indeterminadas, a la inversa de lo que tiene lugar para las realidades
actuales.
Mediante esta distinción entre lo ideal (lo posible) y lo actual, se dispone de un “hilo de Ariadna” para escapar a las dificultades inextrincables
que nacen de la confusión de los dos ordenes, sea que se busque componer
el contı́nuo con cantidades discretas, sea que tome el pretexto de la divisibilidad al infinito del continuo para negar la existencia de las substancias
indivisibles. Se puede también, gracias a esta clarificación, aclarar la naturaleza y el alcance del análisis infinitesimal. La demostración leibniciana se
desarrolla según dos argumentos principales: de entrada se insiste en la naturaleza ideal de las operaciones y cantidades infinitesimales, eso que podrı́a
aparecer como una restricción (lo que es ideal no es actual); sin embargo, ella
muestra enseguida que lejos de ser una limitación, esta naturaleza “ideal”
permite al análisis extenderse en dirección a la naturaleza y sus fenómenos.
El análisis infinitesimal no es ni un simple juego de escritura (los sı́mbolos
no son su referente), ni una ficción útil. Es porque desconocemos la naturaleza de las ideas y de las relaciones “abstractas” que las tomamos, o bien por
“nadas”, o bien seres ficticios: de hecho, ellas poseen la realidad propia de un
orden inteligible. Por ideal que sea, la “ciencia de los infinitos” no tiene nada
que ver con una ficción. Incluso si esto parece a primera vista paradójico,
es justo para manifestar la realidad de las operaciones infinitesimales que
Leibniz les compara con las raı́ces “imaginarias” del álgebra.
La ficción, y finalmente el error, vienen de dejarse llevar por los esquemas
propios a la imaginación, y considerar los infinitesimales como “infinitamente pequeños”. Pero cuando se los concibe adecuadamente, a partir de la
operación que los determina, ellos aparecen en su verdad: relaciones ideales,
regidas por un sistema completo de razones. Incluso si las diferenciales no
fuesen sino nociones ideales, sin relación alguna (directa o indirecta) con la
infinitud actual del mundo, ellas de todas maneras serı́an adecuadas para el
análisis de la infinitud “impropia” de las cantidades contı́nuas, y ocultarı́an
por ese sesgo [biais] una verdad efectiva aunque limitada. La ciencia del continuo, incluso si el continuo pertenece al orden de los posibles, es una ciencia
por completo aparte.
Este primer argumento es importante, pero aún insuficiente: el asunto
principal está en otra parte, y se descubre en un hecho bastante sorprendente:
Se puede decir incluso que los infinitos e infinitamente pequeños
están tan arraigados, que todo se hace en la Geometrı́a, incluso
80
en la naturaleza, como si fuesen realidades perfectas, dando testimonio no solo nuestro Análisis geométrico de los Trascendentes,
sino también mi ley de continuidad (...) Las reglas de lo finito
triunfan en el infinito, como si hubiese átomos (es decir, elementos señalables en la naturaleza), aunque no los hay de ninguna
manera, ya que la materia esta actualmente subdividida sin fin;
y (...) viceversa las reglas de lo infinito triunfan en lo finito, como si hubiese infinitamente pequeños metafı́sicos, aunque no se
los necesite de ninguna forma, y que la división de la materia no
llegue nunca a partı́culas infinitamente pequeñas116 .
Es “como si”... : ¿cómo explicar esta correspondencia, tanto más sorprendente cuando reconcilia las realidades aparentemente más contrarias: lo
continuo y lo discontinuo, lo finito y lo infinito? Esta es en primera instancia
descrita como enigmática (por comparación con la reacción de Huyghens que
veı́a en la utilización de raı́ces imaginarias “algo de incomprensible”), pero
Leibniz se provee inmediatamente de un principio de explicación: el estatus
de las continuidad. Por una parte esta es una “cosa ideal”, “abstracta”, pero por otra ella da forma directamente a la realidad: “Lo real no deja de
gobernarse perfectamente por lo ideal y abstracto117 ”. La continuidad rige
las cantidades posibles, pero rige también la realidad actual “tomada como
posible”. Es por ese desvı́o [biais] que el cálculo de las diferencias recibe una
significación fı́sica, pero quizás también metafı́sica.
Comprender la idealidad de las diferenciales, es entonces, incluso si en
primera instancia parece paradójico, comprender su realidad. No sólo porque
las diferenciales son realidades ideales, y adquieren a ese nivel las propiedades que les son propias (por ejemplo ser “integrables”). Sobre todo porque
las operaciones de la naturaleza portan en ellas, por intermedio de la continuidad, el movimiento de la diferenciación infinitesimal. Es en este sentido
que se puede decir que la naturaleza “hace entrar el infinito en todo lo que
hace” y requiere de una fı́sica y de una biologı́a infinitista.
El infinito en los fenómenos
¿De qué naturaleza se puede tratar aquı́? Lo que Leibniz presenta como
una solución engendra una dificultad nueva. Si uno se restringe de hecho
a la distinción entre lo ideal y lo actual, se encontrarı́a de cara ante una
separación irreducible - lo que Leibniz llama en ciertos textos un “hiatus”:
116
117
Cf. p. 121-122.
Cf. p. 122
81
por un lado la multitud discreta de las substancias individuales, por otro la
cantidad continua de las magnitudes posibles. De un lado la infinitud (no
numerable) de la naturaleza, del otro la infinitud de las cantidades continuas, diferenciables e integrables a voluntad. Entre los dos, nada distinto
que una forma de irracionalidad: ¿cómo poner en relación estas realidades
hasta aquı́ heterogéneas? ¿Qué sentido tendrı́a entonces la hipótesis de que
el análisis matemático “envuelve” la consideración del infinito?
La respuesta a esta cuestión pasa por un análisis de los “fenómenos”, y su
manera de ser infinitos. La naturaleza (la multitud infinita de substancias)
incluye siempre una dimensión fenomenal. Las substancias manifiestan (se
nos aparecen) en las series de fenómenos: “Las Unidades substanciales no son
las partes, sino los fundamentos de los fenómenos.118 ” Para describir esta
relación se puede también tomar prestado el lenguaje de la dinámica: las
fuerzas se desarrollan, se “derivan” y, literalmente hablando, “se extienden”
en el seno de los cuerpos y de sus movimientos.
Es justamente de los “fenómenos” que Leibniz dice que son regidos por
las “verdades eternas” y, más particularmente, por el principio de continuidad:
Nada se hace de un golpe, es una de mis más grandes y verificadas
máximas, que la naturaleza nunca da saltos: la denominé como
la Ley de la Continuidad (...), y es muy considerable el uso de
esta ley en fı́sica: ella establece que siempre se pase de lo pequeño a lo grande y viceversa a través de lo intermedio, tanto
en los grados como en las partes, y que jamás un movimiento
nace inmediatamente del reposo, ni se reduce a él, si no es por
medio de un movimiento más pequeño, ası́ como no se acaba de
recorrer ninguna lı́nea o longitud antes de haber acabado una
más pequeña (...). Y todo esto nos hace pensar que incluso las
percepciones notables vienen por grados desde aquellas que son
demasiado pequeñas para ser notadas. Pensar de otra manera es
conocer poco la inmensa sutileza de las cosas que envuelve un
infinito actual siempre y por todas partes119 .
La “naturaleza” debe entonces comprenderse aquı́ como naturaleza fenomenal, aquella que es objeto de estudio para la fı́sica. La continuidad, y
la divisibilidad al infinito que es su correlato, puede ser concebida en estas
condiciones como un “principio” o “ley” de la naturaleza. La relación de las
118
119
Carta a Volder, PS, II, p. 268
NE ..., Prefacio.
82
substancias y sus fenómenos es entonces indispensable si se quiere comprender de qué manera la naturaleza, compuesta y fundamentada por unidades
discretas, puede también analizarse y comprenderse en términos de continuidad. Es la misma naturaleza, según se la tome en el orden discreto de las
substancias, o en el orden continuo de los fenómenos, que requiere de una o
de otra aproximación. La metafı́sica no se entiende nunca en Leibniz sin una
fı́sica. Se puede ası́ concebir la convergencia de dos movimientos: la expresión fenomenal de las substancias (la naturaleza como materia, movimiento,
reposo...), y la puesta en relación de la continuidad ideal y la continuidad
real (natural en el sentido que se hablaba). Los fenómenos son regidos por
las verdades eternas, y requieren de eso que hace el análisis infinitesimal.
Importa entonces distinguir, pero también no oponer, la divisibilidad y
la infinitud del continuo de la infinitud actual de las substancias. La primera
nos conduce a la segunda y nos la hace descubrir (“el estanque está lleno
de peces...”). Y la segunda “funda” la primera, al conferirle una realidad
completamente distinta de una simple posibilidad. La diferenciación pero
también la integración y el conjunto de operaciones que el análisis del infinito permite construir pueden ser consideradas como operaciones “de la
naturaleza”. La fı́sica y la geometrı́a “armonizan” constantemente, en el
sentido de que obedecen a las mismas reglas fundamentales: no sorprenderá entonces que los conceptos del análisis del infinito sean utilizados en
la mecánica (por ejemplo en la noción de velocidad) pero también en la
dinámica, de la que Leibniz dice a menudo que no habrı́a visto la luz sin el
cálculo diferencial, y para terminar, en la biologı́a. Eso que podemos saber a
priori (en la metafı́sica) los progresos de las ciencias no cesan de confirmarlo.
Las expresiones del infinito
Hay una segunda vı́a, de naturaleza completamente distinta, por la cual
Leibniz intenta sobrepasar la separación entre estos órdenes de realidad heterogéneos. No se trata entonces de hacer parecer que existe, entre las substancias actuales (discretas) y las idealidades posibles (continuas), una realidad
intermedia (la naturaleza en su dimensión fenomenal), sino de mostrar que
realidades heterogéneas pueden, contra todo, ser puestas en relación unas
con las otras. Éste es todo el asunto de la teorı́a de la expresión.
El vocabulario de la expresión aparece en momentos de pensamiento
que incluyen siempre la misma dificultad: aquella de un “paso” entre lo
que Pascal llamarı́a los “órdenes”. Pero allı́ donde Pascal concibe órdenes
rigurosamente inconmensurables unos con otros, Leibniz se dedica, por el
83
contrario, a establecer relaciones entre ellos120 :
La expresión tiene lugar por todas partes, porque todas las substancias simpatizan con todas las otras y reciben cierto cambio
proporcional en respuesta al menor cambio que sucede en todo
el universo, aunque ese cambio sea más o menos notable a medida que los otros cuerpos o sus acciones tengan mayor o menor
relación con el nuestro121 .
Se dice que expresa una cosa aquello donde se encuentran las
maneras de ser que responden a las maneras de ser de la cosa a
expresar. Ahora bien, esas expresiones son diversas; por ejemplo,
el modelo de una máquina expresa esa máquina, la escenografı́a
plana de un objeto expresa ese sólido, el discurso expresa pensamientos y verdades, los caracteres expresan los números, la
ecuación algebráica expresa el cı́rculo u otra figura: y -eso que
es común a las expresiones- del sólo examen de la manera de
ser de lo que expresa podemos venir a conocer las propiedades
correspondientes a la cosa a expresar. De donde es claro que no
es necesario que lo que expresa se parezca a lo expresado, basta
que cierta analogı́a se mantenga entre sus maneras de ser122 .
Una cosa expresa otra (en mi lenguaje) cuando hay una relación
constante y reglada [réglé] entre lo que puede decirse de la una
y lo que puede decirse de la otra. Es ası́ que una proyección de
perspectiva expresa su geometral123 .
Las asuntos tratan en uno y otro lado de definiciones del mismo orden:
¿cuál es entonces la relación, cuando no hay entre las cosas que se relacionan
ni contacto, ni nada parecido? La última formulación (más tardı́a) ahonda
aún más la separación entre la relación de expresión y la relación de similitud (de aspecto pero también de naturaleza): la correspondencia, reglada
y constante, no se da más entre “maneras de ser”, sino entre “eso que se
pude decir” de la una y de la otra. Se dan ası́ los medios de redefinir la idea
misma de representación. Esta no tiene ya nada que ver con la imagen, en
el sentido mimético que damos al término:
120
Cf. las páginas 39-44 y el comentario a Desproporción del hombre.
Carta a Arnauld del 9 de octubre de 1687, PO, p.262
122
Quid sit Idea, PS, VII, p.263
123
Carta a Arnauld del 9 de Octubre de 1687, PO, p. 261
121
84
No es necesario que eso que concebimos de las cosas fuera de
nosotros se les asemeje perfectamente, sino que les exprese, como
una Elipse expresa un cı́rculo visto de lado, de manera que a cada
punto del cı́rculo le corresponde uno de la elipse y viceversa,
siguiendo una cierta ley de relación. Pues como he dicho ya,
cada substancia individual expresa el universo a su manera, un
poco como una misma ciudad es expresada diversamente según
los diferentes puntos de vista124 .
La teorı́a de la expresión sostiene de vez en vez la “consideración del
infinito”. Ella interviene sobre todo en las consideraciones que se podrı́an
llamar estrictamente matemáticas: una figura geométrica, por ejemplo una
parábola, “llendo al infinito”, es “expresada” por una ecuación de la forma
y = ax2 . Se trata entonces de pasar de las magnitudes a las cantidades
algebráicas. La expresión es efectiva cuando lo expresado puede ser conocido
por intermedio del que expresa [exprimant]: lo cual sucede aquı́ en medida en
que la ecuación nos brinde la “razón” de la curva, y nos permita finalmente
(por el desvı́o de las cantidades algebráicas) establecer una relación entre el
orden de las magnitudes y el de los números.
La expresión juega también un rol clave en los análisis metafı́sicos: ella
se atribuye entonces no sólo a los términos del lenguaje y a los conceptos
que les son asociados, sino al universo en conjunto ası́ como a las substancias
que lo componen. Ellas expresan el universo (y la divinidad si se trata de
seres razonables y capaces de pensamiento no empı́rico) y se entre-expresan
los unos a los otros. Si no hay ninguna separación irreductible entre la realidad absoluta (sus atributos infinitos que son la inmensidad, la eternidad)
y el universo de las criaturas, es en virtud a esas múltiples relaciones de
“correspondencia reglada”.
Es posible ir aún más lejos, y descubrir un sistema de relaciones expresivas entre los diferentes órdenes de la infinitud: ¿la infinitud actual (aquella
del absoluto y de la naturaleza) se expresa a sı́ misma de alguna manera en
el orden de las razones infinitesimales?
Leibniz dice, hablando de su “análisis de las (curvas) trascendentes”, que
ella “envuelve la consideración del infinito”. Esta proposición puede entenderse en un sentido puramente matemático: sin las operaciones de diferenciación infinitesimal no se puede dar a esas curvas una expresión algebraica.
Pero se puede ir más lejos: el análisis infinitesimal tiene algo que enseñarnos
sobre la infinitud actual, ya no solamente de los fenómenos de la naturaleza,
124
Carta a Foucher, fechada 1686, PS, I, p. 383
85
sino de las cosas, tomadas en su rigor metafı́sico, es decir de las substancias,
incluso de Dios. Se puede aquı́ hacer memoria de las proposiciones de las
Anidmaversiones...:
Aunque seamos seres finitos, podemos saber muchas cosas concernientes al infinito, por ejemplo sobre las lı́neas asintóticas,
es decir, aquellas que prolongadas al infinito, se aproximan más
y más sin nunca concurrir; sobre los espacio cuya lóngitud es
infinita y cuya superficie no sobrepasa la de un espacio finito
dado; sobre las sumas de las series infinitas. De otra manera no
tendrı́amos siquiera ningun conocimiento cierto de Dios.Y una
cosa es conocer cierta propiedad de algo, y otra es comprenderlo, es decir, atrapar todo el contenido escondido125 .
Si debe haber aquı́ una relación de expresión, en el sentido que ha sido
definida más arriba, ella no apunta de ninguna manera a una hipotética semejanza entre los objetos del matemático y aquellos del metafı́sico: ¿qué semejanza puede haber entre Dios y una ası́ntota? La “correspondencia”, si
existe, apunta a los conceptos que nos permiten “nombrar” [dir] uno y otro
objeto, al tiempo que apunta al sistema de relaciones por el cual les determinamos. Por ejemplo, lo que el análisis matemático de los infinitos nos
permite concebir es la articulación sin quiebres entre una ausencia de “término” y una determinación completa: la curva o la lı́nea “va al infinito”, no
en virtud de algún defecto, sino porque allı́ está positivamente determinada.
Se sabe el rol que juega esta argumentación en el orden del conocimiento:
nada se nos escapa de ese movimiento al infinito (“tenemos un conocimiento
cierto”). Pero cuando se reflexiona en términos de expresión, se nota que
allı́ se tiene una “figura” de la perfección: la ausencia de lı́mites no es sino
el ı́ndice, o el efecto, de un dinamismo inagotable.
El análisis de los infinitos nos permite también comprender, por el juego
complejo de sus operaciones, que el sistema completo de variaciones, en
particular los máximos y mı́nimos en las curvas, puede devenir el objeto de
un cálculo, y por lo tanto de una determinación completa a priori. Estas
consideraciones “funcionales” jugaron un rol importante en el análisis que
125
“Bien que nous soyons des êtres finies, nous pouvons savoir bien de choses concernant
l’infini, par exemple sur les lignes asymptotyques, c’est-à-dire celles qui, prolongées a
l’infini, se raprochent de plus en plus sans jamas coı̈ncider; sur les sommes de séries infinies.
Autrement nous n’aurions non plus aucune connaissance certaine de Dieu. Et autre chose
est de connâitre quelque propieté d’un objet, autre chose est de la comprendre, c’est-a-dire
d’en tenir en notre possession tout le contenu caché.” Reflexiones sobre la parte general
de los Principios de Descartes, sobre el libro I, art.26, PO, 293.
86
propone Leibiniz del orden general del mundo126 como “economı́a”, donde
el máximo de efectos se obtiene con el mı́nimo de gasto, y donde la mayor
determinación corresponde a la mayor simplicidad127 .
El análisis infinitesimal evidentemente no se sitúa en el mismo plano: las
consideraciones matemáticas no son del mismo orden que las consideraciones
de metafı́sica “cosmológica”. Serı́a absurdo buscar “deducir” los unos de los
otros. Pero el análisis de los infinitos permite poner en evidencia las “formas”
- sistemas de relaciones que expresan a su manera un orden al cual, por lo
demás, y por razones en primera instancia misteriosas, el mundo obedece.
Uno no deja, evidentemente, de sorprenderse por una tal “correspondencia”:
esta cuestión es la que plantea Leibniz cuando trabaja el tema de la armonı́a
universal.
Pero uno de los mejores ejemplos de la dimensión expresiva del análisis de
los infinitos sigue siendo aquel que Leibniz mismo propone cuando examina
la cuestión de la libertad: “En fin, una luz nueva y desatendida me vino
cuando yo la esperaba menos; a saber, de consideraciones matemáticas sobre
la naturaleza del infinito.128 ” El sorprendimiento nace, en un principio, al no
comprender bien que relación pueda existir entre el cálculo diferencial y la
libertad. Se descubre poco a poco que hay una analogı́a entre, por un lado,
“eso que puede decirse” de los análisis que conducimos en matemáticas a
propósito de las “proporciones inconmensurables” (o las “series infinitas”),
en las cuales no se llega a fijar un “último término”, y por otro lado, “eso
que puede decirse” de la naturaleza de las realidades contingentes:
Al igual que con las proporciones a veces se finaliza el análisis, y
se llega a una medida común que, por su repetición, mide perfectamente uno y otro término de la proporción; a veces el análisis
puede ser continuado al infinito, como en la relación entre un
número racional con uno sordo129 : el lado con la diagonal del
cuadrado por ejemplo; al igual sucede tanto si las verdades demostrables, es decir necesarias, como si son libres y contingentes,
y, por ningún análisis pueden ser reducidas a la identidad como
medida común130 ...
Reencontramos aquı́ la distinción entre dos tipos de verdades: por un lado
126
Cf. Del origen radical de las cosas, PO, p.338-345, y Tentamen Anagogicum, PS, VII,
p.270-279.
127
Del origen radical de las cosas, PO, p. 340
128
De la libertad, PO, p. 380
129
Se llama “sordo” a un número que no es entero ni racional.
130
Ibid. p. 382
87
las verdades primitivas, que corresponden directa o indirectamente (después
del análisis) a una relación necesaria, de identidad; por el otro, las verdades
derivadas que no se dejan, incluso después del análisis, reducir a una relación
de identidad. Estas últimas pueden ser llamadas contingentes, y la contingencia de la proposición remite a una singular manera de ser: aquella de los
seres cuya existencia, ası́ siempre esté determinada por una serie de razones,
no obedece a ninguna necesidad. Nunca se podrá elaborar a propósito suyo
una demostración comparabale a la que obtenemos cuando se trata de las
“idénticas”. Tal diferencia de estatus no apunta a los lı́mites del entendimiento finito: “en Dios mismo”, el análisis no se podrı́a terminar, por la
simple razón de que el “fin no tiene lugar”. Que el análisis sea interminable y que no se pueda reducir la serie de los predicados (que corresponden
a eventos) a una identidad fundadora, es para Leibniz el signo mismo de
la libertad. Eso que se expresa en el orden singular de las cantidades matemáticas, es con seguridad la dualidad de “proporciones” [rapports] o de
“relaciones” [relations], “terminables” o “interminables”, según se logre o
no establecer una medida común. Pero es también la doble naturaleza de la
determinación: o bien se está ante una identidad fundamental, que se desarrolla analı́ticamente en una serie de proposiciones que la desdoblan; o bien
se está ante un sistema de razones que se encadenan unas con otras, sin que
se llegue nunca a “reducirlas”.
Si el ejemplo de De Libertate es significativo, es porque se apoya sobre
lo que podrı́a aparecer como la figura más pobre del infinito: lo interminable. Ahora bien, en su indeterminación misma, esta figura es aún rica en
enseñanzas y en capacidad expresiva. ¿Qué sucede cuando aparecen figuras
mas complejas, y conceptualmente mucho más ricas: cuando por ejemplo
las progresiones al infinito se asocian a los lı́mites y se aprende a calcular
esos lı́mites? Se puede entonces comprender -y ésta es una de las riquezas
de la ası́ntota - cómo lo finito y lo infinito vienen a articularse, y por qué es
necesario dejar de oponer, como dos realidades incompatibles, el infinito y
el lı́mite...
No hay un infinito malo [mauvais]. Leibniz nunca se instala en esa dicotomı́a que otros antes de él practicaron abundantemente. Además no hace
nunca de las matemáticas una etapa provisoria que la ciencia del infinito
finalmente sobrepasarı́a. Pues la distinción entre infinito “verdadero” y los
“demás” se abre inmediatamente sobre la multiplicación de sistemas de expresión y sobre su perfeccionamiento. Es verdad que Leibniz ha mantenido
constantemente la tesis de la trascendencia del absoluto: pero esto también
para impulsar al máximo la investigación de las mediaciones que lo traen a
nuestro alcance. La expresión tal como Leibniz la concibe no se da nunca
88
sin pérdidas: nunca la expresión del infinito llega a ser equivalente al infinito
expresado. Ası́ la mónada expresa las cantidades continuas, pero a precio de
una abstracción suplementaria, y poco “natural”. Pero los “secretos escondidos” no lo están nunca definitivamente. Y al igual que siempre se puede salir
del laberinto, se puede siempre refinar, enriquecer, el análisis del infinito.
El “nuevo cálculo” no escapa a la crı́tica: no constituye, a los ojos de
Leibniz, el punto terminado de la concepción matemática del infinito. El
análisis encuentra ahı́ los medios de un desarrollo sin precedentes, el álgebra
se hace allı́ “extraordinaria”, pero también manifiesta sus lı́mites. Ella nos
obliga a tomar múltiples desvı́os, fructı́feros sin ninguna duda, pero finalmente muy numerosos, donde el pensamiento arriesga perderse. Es en ese
sentido que el álgebra, ası́ sea infinitesimal, no es lo bastante “natural”.
Ası́ es que Leibniz tomó desde muy temprano la precaución (en el momento mismo en que se compromete en la construcción del cálculo infinitesimal) de tomar cierta distancia con el álgebra, para desarrollar una nueva
geometrı́a. Y sin dudas se encuentra allı́ un horizonte suplementario para esa
metafı́sica del infinito “completamente matemática” o “que lo podrá llegar
a ser”:
No busco en Geometrı́a casi nada más que el arte de encontrar
desde el principio las bellas construcciones. Veo cada vez más y
más que el álgebra no es la vı́a natural para llegar allı́; y que
hay un medio de hacer una caracterı́stica distinta propia de las
lı́neas, y natural para las soluciones lineales; en el lugar que el
álgebra es común a todos las magnitudes, y que son necesarios los
desvı́os, y las operaciones forzadas ordinariamente para sortear la
construcción del cálculo, aunque sobre este mismo hay cantidad
de direcciones que aún no son conocidas por todo el mundo131 .
Textos
TEXTO no 1: Comentario del fragmento de Pascal
Desproporción del hombre
Este texto fue publicado por Grua bajo el tı́tulo “Doble infinitud en
Pascal y mónada” (GW Leibniz. Textes inédits, PUF, 1948, t.2, p553-555).
No fue ni fechado ni titulado por Leibniz. Grua propone como fecha probable:
después 1695.
131
Carta a Galloys, MS, I, p. 183
89
[Monsieur] “El infinito actual entre las cosas materiales tanto en aumento
como en disminución, es decir la división actual de cada parte de la materia
al infinito, y al mismo tiempo” la infinitud de la extención de la Materia,
ha sido sostenido por M. Pascal, y “es visible que” aquellos que han mirado
sus Pensamientos, ası́ como los Obispos y doctores que los han aprovado, los
han consagrado [y ont donné les mains]. He aquı́ uno de los pasajes que lo
han hecho famoso: se trata del número 22, titulado “Conocimiento general
del hombre132 ” “La primera cosa que se ofrece al hombre cuando se mira,
es su cuerpo... hasta los abismos133 ” (...)
Lo que Pascal dice de la doble infinitud que nos circunda [environne] en
aumento y disminución, cuando en sus Pensamientos (no 22) habla del conocimiento general del hombre, no es más que una de las entradas a mi sistema.
Qué habrı́a dicho con esa fuerza de elocuencia que poseı́a, si hubiese llegado
más adelante, si hubiese sabido que toda la naturaleza es orgánica por todas
partes, y que cada porción tan pequeña como se tome, contiene representativamente, en virtud de la disminución actual al infinito que ella encierra,
el aumento actual al infinito que está fuera de ella en el universo, es decir,
que cada pequeña porción contiene, de una infinitud de maneras, un espejo
vivo expresando todo el universo infinito que existe con ella; de manera que
un espı́ritu lo bastante grande, armado de una visión muy fina, podrı́a ver
aquı́ todo lo que hay por todas partes. Pero hay bastante más: podrı́a entonces leer todo el pasado, y al igual, todo el futuro infinitamente infinito, pues
cada momento contiene una infinitud de cosas “donde cada una envuelve su
infinitud”, y hay una infinitud de momentos en cada “hora u otra” parte
del tiempo, y una infinitud de horas, de años, de siglos, de eones, en toda
la eternidad futura. Cada infinitud de infinitudes infinitamente replicadas,
cada mundo, cada universo “perceptible” en cada corpúsculo que uno pueda
tomar. Pero todas estas maravillas son imperceptibles por el envolvimiento
de aquello que está “infinitamente” por encima de todos las magnitudes, en
aquello que está “infinitamente” por debajo de todas las pequeñeces; es decir nuestra armonı́a preestablecida, que viene a aparecer entre los hombres
132
Esa referencia corresponde en las ediciones actuales al fragmento 199 (Lafuma) o 72
(Brunschvigc) conocido bajo el tı́tulo “Desproporción del hombre”.
133
El texto tiene aquı́ una variante: “Pero la harmonı́a preestablecida pasa entonces a
todo aquello y da esta misma infinitud universal a cada [casi nada] “casi primera nada
(que es a la vez el último casi todo y por lo tanto merece ser llamado una substancia tras
Dios)”, es decir en cada punto real, que constituye una monada, donde yo mismo soy una,
y ***, y no perecerá al igual que Dios y el universo, que debe siempre representar , siendo
[un Dios] [como Dios] al mismo tiempo menos que un Dios y más que un universo de
materia: un como-Dios diminutivo, y como-universo eminentemente, y como prototivo, los
mundos inteligibles siendo en ectipo las fuentes del mundo sensible en las ideas de Dios].
90
poco después, y que brinda esta misma más-que-infinitud “en todo caso”
universal, concentrada en el más que infinitamente pequeño todo singular,
y poniendo virtualmente toda la secuencia del universo en cada punto real
que constituye una mónada “o unidad substancial”, de las que yo soy una;
es decir, en cada substancia verdaderamente una, única, sujeto primitivo de
la vida y de la acción, siempre dotada de percepción y apetitición, siempre
encerranda con lo que es la tendencia de lo que será [siempre subsitente por
consecuencia] para representar toda otra cosa que será (...)
[El primer casi-Nada subiendo de la nada a las cosas, por lo tanto el más
simple, ası́ como es también el último casi todo, descendiendo de la multitud
de las cosas hacia la nada; y sin embargo el único que merece ser llamado
“un Ser” una substancia detrás de Dios, pues una multitud no es más que
un “amas” de muchas substancias, y no un Ser, entre los Seres. Es entonces éste sujeto simple y primitivo “de tendencias y” de acciones, esa fuente
interior de sus propios cambios, la única manera de ser verdaderamente Ser
imperecedero, pues es indisoluble y sin partes, siempre subsistente y que no
perecerá nunca, no más que Dios y el universo que debe representar siempre y en todo; [siendo al mismo tiempo infinitamente menos que Dios, e
incomparablemente más que un universo de materia; sintiendo todo confusamente, en el lugar que Dios siente todo distintamente, en el lugar que toda
la materia no siente y no sabe nada del todo. Una divinidad diminutiva, un
Universo de materia eminentemente; Dios en ectipo y ese mismo universo
en prototipo; imitando a Dios e imitada del universo en “relación” a sus
pensamientos distintos, semejante a Dios por los pensamientos distintos, semejante a la materia por los confusos; lo inteligible siendo siempre anterior
a lo sensible en las ideas de la inteligencia primitiva fuente de las cosas].
Y, si esta mónada es un espı́ritu, es decir, un alma capaz de la reflexión y
de la ciencia, [ella imitará a Dios] ella será al mismo tiempo infinitamente
menos que un Dios e incomparablemente más que el resto del universo de
las criaturas; sintiéndolo todo confusamente, en el lugar que Dios sabe todo
distintamente, sabiendo alguna cosa distintamente en el lugar que toda la
materia no siente y no sabe nada del todo. Será una divinidad diminutiva,
un Universo de materia eminentemente; Dios en ectipo y este universo en
prototipo; lo inteligible siendo siempre anterior a lo sensible en las ideas de
la inteligencia primitiva, fuente de las cosas; imitando a Dios e imitada por
el universo en relación a sus pensamientos distintos. Sujeta a Dios en todo,
y dominadora de las criaturas en cuanto es una imitadora de Dios.
91
TEXTO no 2: Sobre el estatus del cálculo diferencial
Extracto de la carta a Varignon del 2 de Febrero 1702
[...] Le estoy muy agradecido, Señor, y a ustedes ‘savants’, que me hacen
el honor de hacer algunas reflexiones sobre aquello que habı́a escrito a uno
de mis amigos con ocasión de lo que se habı́a expuesto en el Journal de
Trévoux contra el cálculo de diferencias y de sumas. No recuerdo bien las
expresiones de las que me pude servir, pero mi deseo fue el de remarcar que
no hay necesidad de hacer depender el análisis Matemático de las controversias metafı́sicas, ni de asegurar que haya en la naturaleza lı́neas que sean
en rigor infinitamente pequeñas en comparación con las nuestras, ni que por
consecuencia haya lı́neas infinitamente más grandes que las nuestras [y por
lo tanto acabadas [terminées], de ahı́ que me pareciera que el infinito tomado en rigor debe tener su fuente [source] en lo inacabado [interminé], sin lo
cual no veo medio de encontrar un fundameto propio para discernirlo de lo
finito]. He ahı́ porqué, con el fin de evitar estas sutilezas, he creı́do que para
hacer comprensible a todo el mundo el razonamiento, es suficiente explicar
aquı́ lo infinito por lo incomparable, es decir, concebir cantidades incomparablemente más grandes o más pequeñas que las nuestras; lo que brinda
tantos grados de incomparables como se quiera, pues lo que es incomparablemente más pequeño, viene a contar inutilmente con respecto de aquel
que es icomparablemente más grande que él, es ası́ como una partı́cula de
materia magnética que pasa por un grano de arena no es comparable con él,
ni ese grano con el globo terráqueo, ni ese globo con el firmamento. Y es con
tal efecto que brindé un dı́a los lemas de los incomparables en las Actas de
Leipzig, que se pueden entender como se quiera, sean infinitos en rigor, sean
magnitudes únicamente, que no entran en cuenta los unos con relación los
otros. Pero al tiempo es necesario considerar que estos mismos incomparables comunes, al no estar fijos ni determinados, y pudiendo ser tomados tan
pequeños como se quiera en nuestros razonamientos geométricos, hacen el
efecto de los infinitamente pequeños en rigor, ya que si un adversario quisiera contradecir nuestra afirmación, se seguirı́a de nuestro cálculo que el error
serı́a menor que cualquiera que él pudiese señalar, estando en nuestro poder tomar el incomparablemente pequeño, lo suficicientemente pequeño para
eso, teniendo que se puede tomar siempre una magnitud tan pequeña como
se quiera. Es quizás esto lo que usted entiende, Señor, hablando de lo inagotable, y es sin duda en esto que consiste la demostración rigurosa del cálculo
infinitesimal, del que no servimos, y que tiene de cómodo, que da directa
y visiblemente, con su propia manera de señalar la fuente de su invención,
lo que los Antiguos, como Arquı́medes, dando la vuelta por sus reducciones
92
ad absurdum, no podı́an, a falta de un cálculo ası́, llegar a las verdades o
soluciones intrincadas, aunque poseı́an el fundamento de la invención. De
donde se sigue, que si alguien no admite lı́neas infinitamente pequeñas, en
rigor, metafisicas y como cosas reales, puede servirse de ellas como nociones ideales que abrevian el razonamiento, parecidas a aquellas que√se suelen
llamar raices imaginarias en el análisis común (como por ejemplo −2), las
cuales por muy imaginarias que se las llame, no dejan de ser útiles, e incluso
necesarias para expresar analı́ticamente las magnitudes reales; siendo imposibles de expresar sin intervención de los imaginarios el valor analı́tico de
la recta necesaria para hacer la trisección de un ángulo cualquiera, ası́ como no se podrı́a establecer nuestro cálculo de los Trascendentes sin emplear
las diferencias que están a punto de desvanecerse [evanouir], tomando de
un golpe lo incomparablemente pequeño en lugar de aquello que siempre se
puede señalar más pequeño hasta el infinito. Es incluso de la misma manera
que se conciben las dimensiones por encima de tres, e incluso las potencias
cuyos exponentes no son números ordinarios, todo esto para establecer ideas
propias a abreviar los razonamientos y fundadas en la realidad.
Sin embargo no es necesario imaginarse que la ciencia del infinito sea
degradada por esta explicación y reducida a ficciones: pues el infinito sigue
siendo sincategoremático, como en las Escuelas, y se mantiene verdadero
por ejemplo que 2 es tanto como 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + . . .,
etc., que es una serie infinita, en la cual todas las fracciones tienen como
numerador 1 y los denumenadores tienen progresión geométrica doble, son
comprendidas de una vez, aunque no se emplean allı́ sino números ordinarios, y aunque no hace entrar ninguna fracción infinitamente pequeña, o
donde el denominador sea un número infinito. Es más, como las raı́ces imaginarias tienen su fundamentum
inq
re, de suerte que M. Huygens, cuando yo
q
√
√
√
le comuniqué que (1 + −3) + (1 − −3) es igual a 6, lo encuentra
tan admirable, que me responde que hay allı́ dentro alguna cosa que nos
es incomprensible; se puede decir, incluso, que los infinitos y los infinitamente pequeños están tan arraigados [tellement fondés] que todo se hace
en Geometrı́a, incluso en la naturaleza, como si fuesen perfectas realidades,
dando testimonio no sólo nuestro Análisis geométrico de los Trascendetes,
sino también mi ley de continuidad, en virtud de la cual está permitido considerar el reposo como un movimiento infinitamente pequeño (es decir como
equivalente a su contrario), y la coincidencia como una distancia infinitamente pequeña, y la igualdad como la última de las desigualdades, etc., ley
que he explicado y aplicado otra vez en las Nouvelles de la Republique de
Lettres de M. Bayle, con relación a las reglas del movimiento de Descartes
93
y de R. P. Malenbrance, y donde yo anotarı́a después (para la segunda edición de las reglas que ese Padre hizo después) que toda su fuerza no habı́a
sido considerada lo bastante todavı́a. Sin embargo, se puede decir en general
que toda continuidad es una cosa ideal y que no hay nada en la naturaleza
que tenga partes perfectamente uniformes, pero en recompensa lo real no
deja de gobernarse perfectamente por lo ideal y lo abstracto, y se encuentra
que las reglas de lo finito triunfan en el infinito, como si hubiese átomos
(es decir, elementos señalables en la naturaleza), aunque no los hay, ya que
la materia está actualmente subdividida sin fin; y que viceversa las reglas
de lo infinito triunfan en lo finito, como si hubiese infinitamente pequeños
metafı̀sicos, aunque no se los necesite de ninguna forma, y que la división de
la materia no llegue nunca a partı́culas infinitamente pequeñas: es porque
todo se gobierna con razón, y que de otra manera no habrı́a ciencia ni regla,
lo que no serı́a conforme con la naturaleza del soberano principio...
TEXTO no 3: sobre la continuidad
Extracto de la Carta a Varignon del 16 de octubre de 1707, publicada
en La llamada al juicio del Público de S. Köhnig, Leyde, 1753.
(...) No me contentaré con responder al artı́culo de vuestra carta donde usted me reclama aclaraciones sobre mi principio de Continuidad. Sin
dudas yo pienso que este principio es general y que vale bien, no sólo en
la Geometrı́a, sino también en la Fı́sica. Al ser la geometrı́a solamente la
ciencia de los lı́mites y de la magnitud del continuo no es sorprendente que
esta ley se observe allı́ por todas partes: pues ¿de dónde vendrı́a una súbita interrupción en un sujeto que no la admite en virtud de su naturaleza?
También sabemos que todo está perfectamente ligado en esta ciencia, y que
no se podrı́a alegar ni un solo ejemplo de una propiedad que allı́ cesara
súbitamente o naciese de la misma manera, sin que se pudiese señalar el
paso intermedio de la una a la otra, los puntos de inflexión y de giro [rebroussement] que hacen el cambio explicable; de manera que una ecuación
algebráica que represente extactamente un estado, representa virtualmente
todos los demás que puedan convenir a un mismo sujeto. La universalidad
de este principio en geometrı́a me ha hecho conocer bien pronto que no
podrı́a faltar un lugar ası́ en la fı́sica, pues veo que, como existen la regla
y el orden en la naturaleza, es necesario que lo fı́sico armonice constantemente con lo geometrico y que se dé lo contrario, si, allı́ donde la geometrı́a
demanda la continuación, la fı́sica sufriese de una interrupción súbita. Para
mı́, todo está ligado en el universo en virtud de razones de metafı́sica, de
manera que el presente siempre está grávido de futuro y que ningún estado
94
dado es explicable naturalmente sino por medio de aquel del que le precede
inmediatamente. Si se lo niega, el mundo tendrı́a hiatus que contradirı́an el
gran principio de razón suficiente y que obligarı́an a recurrir a los milagros
o al puro azar en la explicación de los fenómenos. Sostengo entonces, para
explicarme en el estilo del álgebra, que si, imitando a Mr. Huddle - que pretendı́a poder mostrar una curva algebraica cuyos contornos no tendrı́an los
trazos de una figura conocida -, se pudiese expresar, mediante una fórmula
de una caracterı́stica superior, alguna propiedad esencial del universo, allı́ se
podrı́a leer cuales serán los estados sucesivos de todas sus partes en todos
los tiempos dados. También concluye él que no se encuentra un evento natural que desmienta este gran principio; por el contrario, todos los que se
conocen con exactitud le justifican perfectamente. Se ha reconocido que las
leyes del choque de los cuerpos que nos ha legado M. Descartes son falsas;
puedo mostrar que los son porque hacen aparecer hiatus entre los eventos
violando la ley de continuidad; y que desde que se han hecho las correcciones
que la restablecen, se recae en las mismas leyes que MM Huygens y Wren
encontraran y que las experiencias han justificado. Siendo la continuidad un
requisituum necesario, un carácter distintivo de las verdaderas leyes de la comunicación del movimiento, ¿se puede dudar que todos los fenómenos estén
sometidos bajo ella? ¿o qué no lleguen a ser inteligiblemente explicables sino
por medio de las verdaderas leyes de la comunicación del movimiento? Pero
como, según creo, reina una perfecta continuidad en el orden de los sucesivos, y otra igual en el de los simultáneos, que restablece la plenitud real y se
envı́an a regiones imaginarias los espacios vacı́os. Entre las cosas que existen puede haber continuidad, aunque la imaginación no perciba sino saltos:
porque ası́ las cosas parezcan a lo ojos enteramente disı́miles y desunidas,
no obstante se encontrarı́an perfectamente similares y unidas en su interior
si se pudiese llegar a conocerlas distintamente. Al no considerar más que la
configuración externa de parábolas, elipses e hipérbolas, se estarı́a tentado
de creer que hay una interrupción inmensa de un tipo de curvas a otro. Sin
embargo nosotros sabemos que éstas están intimamente ligadas de manera
que es imposible colocar entre dos de ellas una tercera especie intermedia
que nos hiciese pasar de la una a la otra por los matices más imperceptibles.
Por lo tanto pienso tener buenas razones para creer que todas las diferentes
clases de seres cuyo conjunto [assemblage] forma el universo son, en las ideas
de Dios - que conoce distintamente sus gradaciones esenciales -, como las
ordenadas de una misma curva cuya unión no permite que se pongan otras
entre ellas ya que esto serı́a una señal de desorden e imperfección...
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Bibliografı́a
OBRAS DE LEIBNIZ
Sämtliche Schriften und Briefe herausgeben von des Akademie der Wissenschaften der DDR (edición en curso).
Leibniz Philosophische Schriften, ed. Gerhardt, reed. Olms, 1965. [PS]
Leibniz Mathematische Schriften, ed. Gerhardt, reed. Olms, 1962.[MS]
Der Briefwechsel von GW. Leibniz mit Mathematikern, reed. Olms, 1962.
Lettres et Opuscules de Leibniz, ed. Foucher de Careil, Durand 1854. [LO]
Nouvelles Lettres et Opuscules de Leibniz, ed. F. de Careil, Durand 1857.
[NLO]
Opuscules et Fragments inédits, ed. Couturat, reed. Olms, 1988. [COF]
Leibniz, Oeuvres, ed. Prenant, Aubier-Montagne, 1972. [PO]
Essais de Théodicée, Garnier-Flamarion, 1969.
Nouveaux Essais sur l’entendement humain, Garnier-Flamarion, 1966.
Leibniz, Naissance du calcul differentiel, intro ed y tr. Parmentier, Vrin,
1989.
Leibniz, Les deux labyrinthes, ed. Chauve, PUF, 1973.
en español, Leibniz, Escritos Filosóficos, ed. Ezequiel de Olaso, Charcas,
1982.
Meditaciones sobre el conocimiento, la verdad y las ideas (Olaso).
Advertencias a la parte general de los Ppios de Descartes (Zwank).
Principios de la naturaleza y de la gracia fundados en razón (Olaso).
Monadologı́a (Olaso).
Nuevos ensayos sobre el entendimiento humano, tr. Echeverrı́a, Ed. Nacional, 1977.
La polémica Leibniz-Clarke, ed. E. Rada, Taurus, 1980.
Monadologı́a, ed trilingüe G. Bueno, tr. Velarde, Basilisco, 1981.
COMENTARIOS
L. Couturat, La logique de Leibniz, Olms, 1969.
B. Russell, The philosophy of Leibniz, reed Gordon & Breach, 1970.
Y. Belaval, Leibniz, initation à sa philosophie, Vrin, 1962.
Leibniz critique de Descartes, Gallimard, 1960. M. Serres, Le système de
Leibniz et ses modèles mathematiques, PUF, 1968.
G. Deleuze, Difference et répétition, PUF, 1968.
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