Planificación y análisis de diseños factoriales fraccionales mediante

ESTADISTICA ESPAÑOLA
Vol. 37, Núm. 138, 1995, págs. 127 a 142
Planificación y análisis de diseños
factoriales fraccionales mediante
hoja de cálculo para ordenador personal
por
ALBERT PRAT y PERE CRIMA
Departamento de Estadística e Investigación Operativa
Universidad Politécnica de Catalunya
RESUMEN
La obtención de la estructura de alias de un diseño factorial fraccional, así como el cálculo de los efectos y la representación de éstos en papel probabilístico normal, puede realizarse de forma rápida
y cómoda mediante la utilización de una hoja de cálculo para ordenador personal.
En el presente artículo se explica cómo hacerlo, poniendo de
rnanifiesto las posibilidades de este procedimiento para buscar diseños óptimos teniendo en cuenta los conocimientos previos del experimentador, así como las ventajas que presenta el algoritmo utilizado
para determinar la estructura de alias, en un entorno distinto al de la
hoja de cálculo.
Pa/abras clave: generadores, estructura de alias, efectos, papel probabilístico normal, hoja de cálculo para PC.
C/asificación AMS: 62 K 15 .
ESTADISTIC'A ESPAÑOL,A
128
1.
INTRODUCCION
Normalmente, 1os generadores óptimos de un diseñ0 fraccional se determinan a partir de tablas (Box, 1978; Bisgaard, 1988) en las que se ofrecen las mejores alternativas para que el diseño resultante sea de la máxima resolución. AIgunas de estas tablas (Bisgaard, 1988) incluyen también la estructura de alias
del diseño propuesto.
Cuando no se dispone de dichas tablas, ní del software necesario para elaborarias, una simple hoja de cálculo puede servirnos para elegir los generadores más adecuados, presentar la estructura de alias y, cómo no, calcular los
efectos y representarlOS en papel probabilístico normal.
Además, el uso de la hoja de cálculo facilita en ciertas ocasiones la selección de unos generadares que, aun no proporcionando el diseño teóricamente
óptimo, se adaptan mejor a las necesidades del experimentador en el caso de
que éste posea un cierto conocimiento prevío sobre el cornportamiento de los
factores estudiados.
EI número de experimentos a realizar en un diseño factorial a das niveies
responde siempre a la expresión 2k, es decir, pueden ser 4, 8, 16, 32... (2 es un
caso elemental que no se considera}. En la práctica, 4 experimentos corresponden a un diseño muy sencillo que normalmente no se utiliza, y tampoco es normal usar 32 o más porque los recursos disponibles no suelen permitir tal volumen de experimentación y, aunque así fuese, sería preferible seguir una estrategia secuencial experimentando en tandas de 8 ó 16 experimentos.
Por tanto, nos centraremos en estos dos casos, planteando con detalle el
caso de 8 y después generalizando a 16.
2.
2.1.
PLANIFICACI4N DE LA EXPERIMENTACION:
oBTENCION DE LA ESTRUCTURA DE ALIAS
Elección de generadores. Estructura de alias
Fijando en 8 el número de exper'rmentos a realizar, el númer0 de generadores necesarios está en función del número de factores, de acuerdo con la siguiente tabla:
Factores
Generadores
7
6
5
4
4 (")
3
2
1
(*) Diseñ© saturado.
PLANIFICACION Y ANALISIS DE DISEÑOS FAC^T'C)RIALES FRAC'C:IONAL.ES
1 29
La estructura de alias que implica la selección de determinados generadores, puede deducirse mediante una hoja de cálculo para PC con la estructura
que se indica en la figura 1 y que se describe a continuación:
Zona A 1: Se introduce la matriz de diseño (colocando valores --1 y 1) correspondiente a los factores que pueden acomodarse en una matriz
completa. En el caso de realizarse 8 experimentos, el número de
factores será 3, los que denominamos A, 6 y C.
Zona A 2: Corresponde a los factores cuyas columnas deben definirse a través
de interacciones (generadores) de los factores situados en la zona
A 1. Para el ejemplo que hemos planteado, en esta zona se colocarán las columnas correspondientes a las factores D, E, F y G. hJÓtese que en la haja de cálculo estas columnas no se rellenarán manualmente con secuencias de valores -1 y 1, sino que se definirán
como productos de las 3 primeras columnas.
Zona A 3: Incluye todas las interacciones de 2 factores. Su número dependerá
del número de factores. AI igual que para la zona A2, no se deberán
introducir valores -1 ó 1 en esta zona, sino los productos de las coIumnas correspondientes.
Zona A 4: Se incluyen todas las interacciones de los factores acomodados en
la zona A 1 y que no han sido colocados en la zona A 3. Se tratará,
por tanto, de interacciones de 3 o más factores. En el caso de 8 experimentos, esta zona sólo incluirá la interacción A BC.
Zona B:
Corresponde a una columna con igual número de filas que la rnatriz
de diseño y que cantiene números aleatorios de una distribución uniforme entre 0 y 1, con todas las cifras significativas pasibies (en LOTUS 1-2-3 versión 3.1 se puede trabajar con hasta 18 cifras significativas).
Zona C:
En esta zona se coloca la misma rnatriz que en la zona A, pero con
cada uno de sus valores multiplicado por el número aleatorio correspondiente a su fila.
Zona D:
Se colocan las sumas de las columnas de la matriz C.
EI fundamento del método es el siguiente: estarán confundidos los
factores o interacciones cuya secuencia de signos en la matriz de diseño (zona A) sea igual o sea justamente la cantraria. Estas colurnnas tendrán la misma suma (en valor absoluto) en la matriz de la
zona C. Por tanto, estarán confundidos los efectos que tengan el
misrno valor en D .
Zona E:
En la primera columna de esta zona se colocan los efectos principales e interacciones de los factores que se han acomodado en la zona
13()
ESTA[)tST1CA ESPAÑ(7LA
A 1. Se tratará, por tanto, de los factores de la zona A 1, las interacciones de 2 correspondientes a dichos factores (que serán algunas
de las situadas en !a zona A 3) y todas las situadas en la zona A 4.
De esta forma, el resto de factores e interacciones estarán confundidos con los situados en la primera columna. La identificación de !as
confusiones se Ileva a cabo mediante un «si» condicional que se
realiza fila a fila y columna a columna excepto para aquellas que
coinciden con el factor o la interacción colocadas en primer lugar.
Cada columna corresponde a un factor o una interacción de 2, y si
su valor correspondiente en la fila D es igual al valor del factor colocado en !a primera columna, dichos factores están confundidas y se
coloca en e ^ a casilla el valor de la interacción correspondiente; en
caso contrario, la casilla se deja en blanco.
Zona F:
En la zona E se obtiene ya la estructura de alias, pero de una forma
dispersa (con muchos espacios en blanco). La campactación se realiza en la zona F, donde se presenta la estructura de alias definitiva.
En el apéndice se cornentan los detalles para la construcción de esta hoja
utilizando LOTUS 1-2-3.
Figure 1
ESC^UEMA DE LA HOJA DE CALCULU PARA DETERMII'^IACION
DE LA ESTRUCTURA DE ALIAS
A1
A2
^
A3
A4
A
08
D
E
F
PLANIFICACION Y ANALISIS DE DISEIVC?S FACTC7RIALES FRACCIC)NALES
1^1
Consideraciones sobre la metodologia empleada en la deducción
de la estructura de alias
2.2.
2.2.1.
Pasibilidad de error
Seguramente, al lector no se le ha escapado la existencia de la posibilidad
de que dos columnas sumen igual teniendo distinta secuencia de signos. Efectivamente, esta posibilidad existe, pero su probabilidad de ocurrencia es extremadamente pequeña.
Esta probabilidad puede calcularse teniendo en cuenta que al comparar dos
columnas con distintos signos siempre ocurre que la mitad de las filas coinciden
y la otra mitad no. Además, de las filas que no coinciden, en la mitad se tienen
los signos +- y, en la otra mitad, -+.
Si comparamos las columnas A y B de la matriz de diseño que hemos visto,
tenemos que:
Fila
A
B
Núm. aleat.
^
2
3
4
+
+
+
+
a,
a2
a3
a4
5
6
7
8
+
+
+
+
as
as
a^
ae
En cuatro filas (las 1, 4, 5 y 8) los signos coinciden. En dos (las 2 y 6) se tienen los signos +-, y en otras dos (3 y 7), -+. Si Ilamamos a 2, a s, a 3, a ^ a los
números aleatorios que corresponden a las filas 2, 6, 3 y 7, la suma de ambas
columnas será igual si se verifica que:
a2-as+a3-a,=-a2+a6-a3+a,
Es decir, si se cumple:
a2 + a3 = as + a^
Podemos considerar que en arnbos miembros de la expresión tenemos sendos números aleatorios y, por tanto, si se trabaja con 18 cifras significativas la
probabilidad de coincidencia es del orden de 10i'$.
HSTAt)ISTIC'A ESPAÑOLA
2.2.2.
8úsqueda de modelos verdaderamente óptimos
Tal como se ha comentado anteriormente, las tablas que facilitan los generadores de un diseño proporcionan el diseño óptimo cuando no se tiene ningún
conocimiento previo sobre el comportamiento de los factores.
Así, para 6 factores con 16 experimentos se aconsejan Ios generadores
E= A B C y F= B C D, que permiten estimar todos los efectos principaies libres
de confusiones con interacciones de dos factores, aunque estas últimas están
todas elias confundidas entre si, de acuerda con la siguiente estructura de alias:
A
B
AB = CE
C
AC = BE
AE=BC=DF
E
©
A© = EF
BD = CF
ABD
CD = BF
ACD
F
AF = DE
Si el experimentador conoce que el factor F no interacciona con ningún otro
y que los factores A y C tampoco interaccionan, los generadores E= A B C D y
F= A C permiten estimar todos los efectos principales e interacciones de 2 sin
confusiones irnportantes (estarán confundidos con interacciones de 2 que se saben na significativas e interaccíones de 3 o más factores), tal como pone de manifiesto la estructura de alias de la figura 5. Si ia interacción de 2 que sabemos
no actúa es la D C, definiremos F= D C, haciendo, en general, que F sea igual
a esa interacción no significativa.
Todas estas posíbilídades pueden ser exploradas rápidamente con ayuda
del método expuesto.
2.2.3.
Ventajas de/ m^todo utiliZado
EI algoritmo propuesto para la determinación de la estructura de alias, independientemente de que se utilice o no en una hoja de cálculo, es mucho más
PLANIFICACION Y ANALISIS DE DISEÑOS FACTORIALES FRA{:"C:'IC.)NA1_ES
133
rápido para determinar estructuras de alias con interacciones de hasta 2 factores en programas de ordenador que el método tradicional consistente en calcular la estructura completa eliminando después las interacciones de 3 o más factores.
3.
3.1.
ANALISIS DE LOS RESULTADOS
Cálculo de los efectos
Los resultados obtenidas pueden colocarse en una columna a continuación
de la zona A.
La forma más cómoda de calcular los efectos es mediante el algoritmo de los
signos (Box et al., 1988). Así, para el cálculo de un determinado efecto se suma
la columna de respuestas colocando a cada valor el signo que corresponde a su
fila en la columna de la matriz de signos de la zona A correspondiente al efecto
en cuestión. Finalmente, el valor obtenido en esta suma se divide por la mitad
del núrnero de condiciones experimentales (en este caso, se divide por 4).
Bastará con calcular los efectos correspondientes a los efectos principales y
las interacciones de las factores de la zona A 1(los demás efectos estarán confundidos con éstos). Los resultados se colocan en una columna a continuación
de la estructura de alias.
3.2.
Representación en papel probabilis#ico normal
Una forma de discernir qué efectos son significativos y cuáles no, es mediante su representación en papel probabilístico normal ( ppn), ya que los no significativos aparecen alineados según una recta que pasa aproximadamente por
el punto (0; 50%}.
Los efectos se sitúan en el eje de abcisas, y las ordenadas que correspanden a cada uno se han calculado a partir de una hoja de ppn, obteniéndose los
valores:
N.4 orden efecto
(de menor a mayor}
Ordenada
^
1
2
3
4
5
6
7
7.7
26.4
39
50
61
73.6
92.3
ESTADISTIC'A ESPAÑOL.A
l34
Estos valores de las ordenadas resultan ser siempre constantes (para 8 experimentos) y pueden colocarse en una columna (a continuación de los valores
de los efectos, dejando algún espacio en blanco}, seguidamente se colocan los
efectos ordenados y se construye un diagrama bivariante con ambas columnas.
A cada punto de dicho diagrama se le puede colocar como rótulo el conjunto de
puntos a que pertenece (ver figura 2).
Figu^a 2
REPRESENTACI4N DE LOS EFECTC^S EN PAPEL PROBABILISTICO NORMAL
100
ABC = AF = AG = BE = CD ■
90
$0
■ BC=F=G=DE
70
■ AC=E=DF=DG
s0
50
■ AB=D=EF=EG
40
■ C = AE = BF = BG
34
i B= AD = CF = CG
20
10
■ A=BD-C
0
-s
_2
2
6
10
14
1$
22
De la misma forma que al cambiar cualquier generador automáticamente se
cambia la estructura de alias, al cambiar una respuesta cambia tarnbién el valor
de los efectos; sin embargo, la columna de e#ectos ordenados no cambia automáticamente. Para lograrlo es necesario poner en marcha una pequeña =^ macro» con el siguiente contenido (para LOTUS 1-2-3):
{ 1 R} E 12 ^ l R V{ END} {ABAJO} ^ H 12 ^ l D4C
En la figura 3 se presenta una hoja completa. Se ha alterado el orden presentado en la figura 1 para que en la pantalla aparezca la matriz de d'+seño y
también la estruc#ura de alias con el valor de los efectos. Pueden acultarse las
columnas correspondientes a todas las interacciones dejando visible solamente
la matriz de diseño, respuestas, estructura de alias y valor de las efectos.
PLANIFICAGON Y ANALISIS DE DISEÑOS FAC?ORIALES FRAC'C:IONALES
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135
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13 ^i
3.3.
EST'ADISTICA ESPAÑOLA
Uso de la hoja de cálculo para otros diseños
La misma hoja de cálculo puede utilizarse para planes con 8 experimentos y
rnenos de 7 factores. Si se desea trabajar con sólo 5 factores (por ejemplo) basta con borrar las columnas correspondientes a los dos últimos (el F y el G). Para
cambiar un generador, basta cambiarlo en la prímera celda del factor correspondiente y copiarlo al resto.
Así, por ejemplo, si en la hoja con 5 factores que nos ha quedado al borrar el
F y el G deseamos colocar como generador E= AB^, nos colocaremos en la
primera fila de la columna correspondiente al factor E y nos encontraremos
+A2* C2. Cambiando esta expresión por +A2* 62* G2 y copiándola a las otras
7 fifas de esta columna obtendremos la nueva estructura de alias inmediatamente. Aplicando esta farma de operar pueden realizarse pruebas con cualquier tipo de generadores y observar cuál es su repercusión en la estructura de
alias obtenida.
4.
Ht^JA PARA 16 EXPERIMENTOS
La construcción de la hoja para 1 fi experimentos presenta muy pocas diferencias respecto a la de 8. Las que consideramos que merecen ser comentadas
son:
Tamaño:
Es considerablemente mayor. Si se realizan 16 experimentos se puede trabajar con un máximo de 15 factores y, en este caso, la matriz de signos requiere
125 columnas (15 efectos principales, 105 interacciones de 2 y 5 interacciones
correspondientes a los factores de la zona A 1 y no incluidos anteriormente).
Como raramente se trabaja con tantos factores, puede montarse una hoja
que inciuya menos, por ejemplo 9, siendo en este caso 50 el número de columnas (9+36+5).
AI igual que cuando se realizan 8 experimentos, creada la hoja para un determinado número de factores, puede utilizarse para un número menor, borrando las columnas correspondientes de la zona A1.
Cálculo de los efectos:
La única diferencia es que la suma calculada para cada efecto debe dividírse
por 8(en vez de por 4 en el caso de 8 experimentos).
137
PLANIFICACION Y ANALISES DE DISEÑOS FACTC)RIALES FRACC'IONALES
Rep^esentacián en ppn:
Las ordenadas son distintas. En este caso se tiene:
Orden Efectos
1
2
Ordenada
15
25.8
4
3
5
7
6
8
9
10
11
12
13
14
15
31.7 32.6 40 43.5 46.8 50 53.2 56.5 60 63.8 68.3 74.2 85
Pantailas:
No cabe toda la información relevante en una sola pantalla. Una solución cámoda es situar en una primera pantalla la matriz de diseño y las respuestas, y
en una segunda la estructura de alias y el cálculo de los efectos. Puede pasarse
de una pantalla a otra mediante ias teclas Av-P^g y Re-Pág, dejarrdo 3 línea^s
en blanco entre una iona y otra {ver ffguras 4, 5 y^).
Figure 4
PRIMERA PANTALLA DE LA HOJA PARA 16 EXPERIMENTOS.
Los generadores son E = ABCD y F= AC.
Sólo se han colocado 6 factores, pero la hoja está preparada hasta para 9
A
B
C
D
E
F
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
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1
-1
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1
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1
-1
-1
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1
-1
1
--1
-- 1
1
1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
G
H
l
Y
71
61
90
82
68
6^ 87
80
61
50
89
83
59
51
85
78
ESTADiS'T'ICA ESPAÑOLA
Figura 5
SECUNDA PANTALLA DE LA HOJA PARA 16 EXPERlMENTOS
A = CF
-8
24
-2.2
-5.5
1
0.75
0
-1.2
4.5
-0.2
-0.7
0.5
-0.2
--0.7
--0.2
B
C = AF
D
AB
AC = F
AD
BC
BD = EF
CD
ABC = BF = DE
ABD = CE
ACD ^ BE = DF
BCD = AE
ABCD = ^E
Figura 6
REPRESENTAClON EN PPN DE LOS EFECTOS OBTENIDOS EN UNA HOJA
PARA 16 EXPERIMENTOS EN LA QUE INTERVIENEN 9 FACTORES
90
1= A F= BG = DE i
80 ^
■ F=A1
■ G = Bl
■ H = CI
■ E = DI
CD = AG = BF = EH
BD = AH = CF = EG
BC = AE = DF = GH
AD=BH=CG= ■F
■ C=BE=DG=FH
■ 6=CE=DH=FG
■
= EI
■ C- /
70 -'^
60 ^
50 -^
40 -I
30 ^
■ B = GI
20
^A=FI
10
--8
0
4
8
12
16
20
24
PLANIFICACION Y ANALISIS DE DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONALES
j3^
APENDICE
A continuación se detallan los pormenores de la construcción de la hoja de
cálculo usando ^OTUS 1-2-3 (las direcciones de las celdas corresponden a la
hoja de la figura 3 y pueden variar según la disposición que se establezca),
Zona A:
A 1: Simplemente se debe introducir 1 ó-1 de acuerdo con el orden estándar de la matriz de disePío. A 2: Se indica con qué interacciones se identifican
cada uno de estos factores. Dicha identi#icación se debe copiar para toda la columna (no olvidar esta copia si se cambia el generador). A3 y A4: Igua! que
A 2, pero una vez creadas estas zonas ya nos podemos olvidar y lo más cómodo es ocultarlas.
Zona B :
Simplemente hay que escribir en cada celda: ^ aleat (naturalmente, bastará
con escribirlo en una y copiar}.
Zona C:
EI primer valor de la primera columna es:
+A 2' $A©23
A 2 es el primer valor de la primera columna de la zona A, AD23 es el prímer
valor de la columna de números aleatorios. E! resto de la zona se completa copiando esta celda.
Zona D:
EI primer valor es:
a^ ABS (^ SUMA (A 23..A 30))
El resto de las celdas se ocupa mediante copia de ésta.
Zona E:
En la primera columna se introducen los efectos principales e interacciones
correspondientes a los factores acomodados en la zona A 1.
ESTADLSI7CA FSPAÑOLA
] 4Q
EI primer valor de la segunda columna es:
^a SI ( B $32 = $A $32 ;"_"& B 1; "")
EI resto de celdas de esta zona pueden rellenarse por copia de ésta, realizando a continuación los 5iguientes cambios:
1.
Cambiar el valor del efecto de referencia según la columna en que esté
situada la interacción que figura ®n el origen de la fila. Ejemplo: en la
cuarta fila el efe^cto de referencia es la interacción AB, dicha interacción
se halla situada en la columna H y, por tanto, se d®ber^ sustituir $A $32
por $H$32. Una vez realizado el cambio en una celda, éste se debe copiar en el resto de celdas de su fila.
2.
Colocar en blanco las celdas en las que se compara un efecto consigo
mismo (por estar éste en la primera colurnna). La mejor forma de haceren esta celda.
lo es sobreescribir una comilla '
Zona F:
Primer valor:
+A 34& B 34& C 34& ...&AB 34
EI resto de celdas se rellenan por copia.
C^ilculo de los efectos:
Primer valor:
{AD $2*A $2 + AD $3*A $3 + AD $4*A $4 + . .. + AD $9*A $9) l 4
Los demás valores se generan por copia, cambiando a continuación la identificación de la columna donde se encuentra el efecto caiculado. Asi, el segundo
valor ser^:
(AD $2* B $2 + AD $3# B $3 + AD $4* B $4 + . . . + AD $9* B $9) l 4
y el séptimo:
(AD$2*AC$2 + AD$;3*AC$3 + AD$4*AC$4 +... + AD$9*AC$9) l 4
PLANIFICACION Y ANALISIS DE DISEÑOS FACTORIALF.S FRACCIONALES
141
Ordenación de los efectos:
Primero se copian como valor y después se ordenan. Si se realiza la pequeña ^macro» que se ha indicado anteriormente, toda la operación se puede realizar pulsando sóio dos teclas. Antes de poner en marcha la ^ macro» eS neCeSario haber realizado una vez el proceso manuatmente.
t^rdenadas del ppn:
Basta con entrar una sola vez los valores que se han indicado.
G r^fico en ppn :
Se define un gr^fico tipo XY, siendo X los efectos ordenados e Y las ardenadas. Pulsando Fy0 aparece e1 gráfico, volviendo a pulsar esta tecla se retorna
a la hoja.
Nota final:
A pesar del detalle con que se comenta el contenido de algunas celdas, es
necesario disponer de información adicional (libro o manual al respecto) para
estudiar las peculiaridades de la elaboracián y funcionamiento de una hoja de
cálculo.
BIBLi4GRAFIA
BISGAARD, S. (1988): A Practica/ Aid for Experimenters, Madison: Starlight Press.
6ox, G. E. P.; HUNTER, W. S., y HUNTER, J. S. {1978): Statistics for Experimenters, New York: John Wiley.
LOTUS DEYELOPMENT CORPORATION ( 1989) : LC?TUS 1-2-3 Versión 3. ^, Manual de
Referencia, Cambridge: Lotus Development Corporation.
AGRADECIMIENTOS
Los autores agradecen la colaboración de los profesores Javier Tort-Martorell
y Lourdes Pozueta.
142
ESTAI)1STECA ESPAÑOLA
PLANNING AND ANALYSIS OF FACTORiAL DEStGNS USING
A SPREADSNEET FOR PERSONAL COMPUTERS
SUMMARY
The alias structure of a factorial design and the calculation of the
effects and their representation on normal probability plot may be obtained quickly and easily with the use of a spreadsheet program for
Personal Computers.
This paper explains how this way be done and includes some
practical advise on the use of the L^OTUS 1-2-3 spreadsheet.
Key wvrds: fractional design, generators, alias structure, effects, normal probability piot, spreadsheets por PC.
AMS Classifiaatian: 62K 15.