6. Intervalos de confianza Curso 2011-2012 Estadística Concepto de intervalo de confianza Se ha realizado una encuesta a 400 personas elegidas al azar para estimar la proporción p de votantes de un partido político. ¿p? Resultado Encuesta Sí No/Otros Intervalos de confianza 220 180 2 Introducción aprox . X → B (n, p ) pˆ = X → N ( np , np (1 − p ) ) p (1 − p ) ) n X → N ( p, n pˆ − p → N ( 0 ,1) p (1 − p ) n N(0,1) 3 Intervalos de confianza N(0,1) α/2 α/2 1-α -zα/2 zα/2 Nivel de CONFIANZA pˆ − p ≤ zα / 2 ) = 1 − α p(1 − p) n pˆ − p ≤ zα / 2 Despejando p de : − zα / 2 ≤ p(1 − p) n P (− zα / 2 ≤ Intervalos de confianza 4 pˆ − p ≤ zα / 2 p (1 − p) n ⇓ − zα / 2 ≤ − zα / 2 ≤ pˆ − zα / 2 pˆ − p ≤ zα / 2 pˆ (1 − pˆ ) n ⇓ pˆ (1 − pˆ ) ≤ n p ≤ pˆ + zα / 2 pˆ (1 − pˆ ) n Tamaño Muestral n Nivel de confianza: (1-α) 5 Intervalos de confianza Ejemplo pˆ = 220 = 0, 400 p ∈ 0, 0,47 ± 1,96 0, × 0,4 400 0,63 n = 100 n = 400 0,51 0,55 0,59 0,67 0,43 n = 100 n = 400 0,49 Intervalos de confianza 95 % 0,55 99 % 0,61 6 1. Normal: Intervalo para µ con σ conocido X 1 , X 2 ,..., X n → N ( µ ,σ ) X → N (µ , σ n ) X −µ → N (0,1) σ/ n X −µ − zα / 2 ≤ ≤z σ / n α /2 x − zα / 2 σ n ≤ µ ≤ x + zα / 2 N(0,1) α/2 α/2 -zα/2 σ n zα/2 µ ∈ x ± zα / 2 σ n 7 Intervalos de confianza 2. Normal:Intervalo para µ con σ desconocido X 1 , X 2 ,..., X n → N ( µ ,σ ) X → N (µ , σ n ) X −µ → N (0,1) σ/ n α/2 X −µ → tn −1 ˆ S/ n - tα/2 X −µ − t n −1,α / 2 ≤ ≤ tn −1,α / 2 Sˆ / n sˆ sˆ x − t n −1,α / 2 ≤ µ ≤ x + tn −1,α / 2 n n Intervalos de confianza tn-1 α/2 tα/2 µ ∈ x ± tn−1,α / 2 sˆ n 8 Distribución t de Student Z → N (0,1) V → χ 2p Z ,V son independientes Z → tp V/p -4,00 -3,00 N(0,1) t4 t2 t1 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 9 Intervalos de confianza 3. Normal: Intervalo para σ2 X 1, X 2 ,..., X n → N ( µ ,σ ) 2 n − X X ( ) ∑ i S = i =1 ˆ2 (n − 1) Sˆ 2 σ2 n −1 2 P( χα / 2 ≤ (n − 1) sˆ 2 χ12−α / 2 (n − 1) Sˆ 2 σ2 2 ≤σ ≤ ≤ χ12−α / 2 ) = 1 − α (n − 1) sˆ 2 χ n2−1 α/2 α/2 2 χα / 2 χα2 / 2 Intervalos de confianza → χ n2−1 χ12−α / 2 10 EJEMPLO 1. La resistencia a la compresión de 1 probetas de acero elegidas al azar es: 40,1 6 ,10 49, 0 22,40 38,20 60,40 43,40 26,3 31,20 ,60 47,2 73,20 3 ,90 4 ,2 2,40 X −µ → t14 Sˆ / 1 X −µ − 2,98 ≤ ≤ 2,98 Sˆ / 1 t14 0,00 0,00 - 2,98 x = 4 ,7 2,98 sˆ = 14,2 4 ,7 − 2,98 14,2 14,2 ≤ µ ≤ 4 ,7 + 2,98 1 1 99 % confianza: 34,8 ≤ µ ≤ 6,7 11 Intervalos de confianza 2 χ 14 0,00 0,00 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 31,3 4,07 ( n − 1) Sˆ 2 σ2 P(4,07 ≤ 14 Sˆ 2 σ sˆ 2 = 201,6 35,00 2 → χ n2−1 14 Sˆ 2 σ2 2 → χ14 ≤ 31,3) = 0,99 14 × 201,6 14 × 201,6 ≤σ2 ≤ 31,3 4,07 99% confianza: 90,2 ≤ σ2 ≤ 693,6 Intervalos de confianza 12 4. Poisson: Intervalo para λ X 1 , X 2 ,… …, X n → Poisson (λ ) aprox λˆ = X → N(λ , λ n λˆ − λ → N(0,1) λ ) N(0,1) α/2 n α/2 -zα/2 zα/2 λˆ − λ P(− zα / 2 ≤ ≤ z ) = 1−α λ /n α /2 λˆ λˆ ≤ λ ≤ λˆ + zα / 2 n n λˆ − zα / 2 13 Intervalos de confianza α Tabla t-Student α tν,α ν: grados de libertad (g.l.) EJEMPLO P(t9 ≥ 2,262) = 0,02 Intervalos de confianza g.l 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 infinito 0,20 1,376 1,061 0,978 0,941 0,920 0,906 0,896 0,889 0,883 0,879 0,876 0,873 0,870 0,868 0,866 0,865 0,863 0,862 0,861 0,860 0,859 0,858 0,858 0,857 0,856 0,856 0,855 0,855 0,854 0,854 0,851 0,849 0,848 0,847 0,846 0,846 0,845 0,842 0,20 0,15 1,963 1,386 1,250 1,190 1,156 1,134 1,119 1,108 1,100 1,093 1,088 1,083 1,079 1,076 1,074 1,071 1,069 1,067 1,066 1,064 1,063 1,061 1,060 1,059 1,058 1,058 1,057 1,056 1,055 1,055 1,050 1,047 1,045 1,044 1,043 1,042 1,042 1,036 0,15 0,10 3,078 1,886 1,638 1,533 1,476 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,337 1,333 1,330 1,328 1,325 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,315 1,314 1,313 1,311 1,310 1,303 1,299 1,296 1,294 1,292 1,291 1,290 1,282 0,10 0,05 6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 1,706 1,703 1,701 1,699 1,697 1,684 1,676 1,671 1,667 1,664 1,662 1,660 1,645 0,05 0,025 12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042 2,021 2,009 2,000 1,994 1,990 1,987 1,984 1,960 0,025 0,01 31,821 6,965 4,541 3,747 3,365 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479 2,473 2,467 2,462 2,457 2,423 2,403 2,390 2,381 2,374 2,368 2,364 2,327 0,01 0,005 63,656 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750 2,704 2,678 2,660 2,648 2,639 2,632 2,626 2,576 0,005 0,0025 127,321 14,089 7,453 5,598 4,773 4,317 4,029 3,833 3,690 3,581 3,497 3,428 3,372 3,326 3,286 3,252 3,222 3,197 3,174 3,153 3,135 3,119 3,104 3,091 3,078 3,067 3,057 3,047 3,038 3,030 2,971 2,937 2,915 2,899 2,887 2,878 2,871 2,808 0,0025 0,001 318,289 22,328 10,214 7,173 5,894 5,208 4,785 4,501 4,297 4,144 4,025 3,930 3,852 3,787 3,733 3,686 3,646 3,610 3,579 3,552 3,527 3,505 3,485 3,467 3,450 3,435 3,421 3,408 3,396 3,385 3,307 3,261 3,232 3,211 3,195 3,183 3,174 3,091 0,001 14 0,0005 636,578 31,600 12,924 8,610 6,869 5,959 5,408 5,041 4,781 4,587 4,437 4,318 4,221 4,140 4,073 4,015 3,965 3,922 3,883 3,850 3,819 3,792 3,768 3,745 3,725 3,707 3,689 3,674 3,660 3,646 3,551 3,496 3,460 3,435 3,416 3,402 3,390 3,291 0,0005 α Tabla χ2 α χν,1-α ν: grados de libertad (g.l.) EJEMPLO P(χ9 ≥ 19,02) = 0,02 Intervalos de confianza g.l. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 120 0,995 ,00004 ,01002 ,0717 0,207 0,412 0,676 0,989 1,344 1,735 2,156 2,603 3,074 3,565 4,075 4,601 5,142 5,697 6,265 6,844 7,434 8,034 8,643 9,260 9,886 10,520 11,160 11,808 12,461 13,121 13,787 20,707 27,991 35,534 43,275 51,172 59,196 67,328 83,852 0,990 ,00016 ,0201 0,115 0,297 0,554 0,872 1,239 1,647 2,088 2,558 3,053 3,571 4,107 4,660 5,229 5,812 6,408 7,015 7,633 8,260 8,897 9,542 10,196 10,856 11,524 12,198 12,878 13,565 14,256 14,953 22,164 29,707 37,485 45,442 53,540 61,754 70,065 86,923 0,975 ,00098 0,051 0,216 0,484 0,831 1,237 1,690 2,180 2,700 3,247 3,816 4,404 5,009 5,629 6,262 6,908 7,564 8,231 8,907 9,591 10,283 10,982 11,689 12,401 13,120 13,844 14,573 15,308 16,047 16,791 24,433 32,357 40,482 48,758 57,153 65,647 74,222 91,573 0,950 ,00393 0,103 0,352 0,711 1,145 1,635 2,167 2,733 3,325 3,940 4,575 5,226 5,892 6,571 7,261 7,962 8,672 9,390 10,117 10,851 11,591 12,338 13,091 13,848 14,611 15,379 16,151 16,928 17,708 18,493 26,509 34,764 43,188 51,739 60,391 69,126 77,929 95,705 0,500 0,455 1,386 2,366 3,357 4,351 5,348 6,346 7,344 8,343 9,342 10,341 11,340 12,340 13,339 14,339 15,338 16,338 17,338 18,338 19,337 20,337 21,337 22,337 23,337 24,337 25,336 26,336 27,336 28,336 29,336 39,335 49,335 59,335 69,334 79,334 89,334 99,334 119,334 0,050 3,841 5,991 7,815 9,488 11,07 12,59 14,07 15,51 16,92 18,31 19,68 21,03 22,36 23,68 25,00 26,30 27,59 28,87 30,14 31,41 32,67 33,92 35,17 36,42 37,65 38,89 40,11 41,34 42,56 43,77 55,76 67,50 79,08 90,53 101,88 113,15 124,34 146,57 0,025 5,024 7,378 9,348 11,14 12,83 14,45 16,01 17,53 19,02 20,48 21,92 23,34 24,74 26,12 27,49 28,85 30,19 31,53 32,85 34,17 35,48 36,78 38,08 39,36 40,65 41,92 43,19 44,46 45,72 46,98 59,34 71,42 83,30 95,02 106,63 118,14 129,56 152,21 0,010 6,635 9,210 11,34 13,28 15,09 16,81 18,48 20,09 21,67 23,21 24,73 26,22 27,69 29,14 30,58 32,00 33,41 34,81 36,19 37,57 38,93 40,29 41,64 42,98 44,31 45,64 46,96 48,28 49,59 50,89 63,69 76,15 88,38 100,43 112,33 124,12 135,81 158,95 0,005 7,879 10,60 12,84 14,86 16,75 18,55 20,28 21,95 23,59 25,19 26,76 28,30 29,82 31,32 32,80 34,27 35,72 37,16 38,58 40,00 41,40 42,80 44,18 45,56 46,93 48,29 49,65 50,99 52,34 53,67 66,77 79,49 91,95 104,21 116,32 128,30 140,17 163,65 15