entre-maestros-29 - Fomento Editorial

R e v i s t a e n t r e m a e s t r @ s • v e r a n o / o t o ñ o 2 0 0 9,
Aprendiendo Geometría
con doblado de papel
Una experiencia en la secundaria
Felipe Ramos Trejo
Enciclomedia en la clase
de Matemáticas
Yolanda Chávez Ruiz
¿Una nueva reforma para
la Enseñanza de las Matemáticas?
upn
Notas para un análisis
Leticia Iturbe Meza
Algunas consideraciones
para la Enseñanza del Álgebra
en secundaria
Jesús Leobardo Rendón García
Publicación trimestral de la Universidad Pedagógica Nacional, vol. 9, núm. 29/30, verano/otoño 2009
ISSN 1405-8774
Guía para autores
entre maestr@s es una publicación trimestral de la Universidad Pedagógica Nacional. Sus autores son fundamentalmente
maestras y maestros de educación básica, los acompañan
especialistas ocupados en temas que in­volucran los ámbitos
de educación preescolar, primaria y secundaria; las producciones de las niñas, los niños y los jóvenes son contribuciones
relevantes para las páginas de la revista.
Los temas
Los temas de los artículos que aquí se presentan tienen la
intención de recuperar la complejidad del aula y de la es­­cuela,
de problematizarla, de descubrir y dar a conocer acontecimientos relevantes y significativos para las maestras y maestros de
educación preescolar, primaria y secundaria, desde su contexto
sociocultural.
Características de los textos publicables:
1. Las colaboraciones deben ser experiencias inéditas de
investigación, innovación o animación pedagógicas desde
y/o sobre la práctica docente, reflexiones, análisis, ensayos,
etcétera, acerca de la educación básica y la formación de
maestros.
2. Los textos han de ser breves, máximo doce cuartillas para
las secciones Desde el aula, Para el Consejo Técnico y Hojas
de papel que vuelan; para las otras secciones se recibirán
máximo cinco cuartillas. En el caso de Para la Biblioteca y
Aprendiendo a través del cine serán máximo dos cuartillas
3. Los trabajos deben acompañarse de:
a) Portada que indique: título del texto (no mayor de
ocho palabras), nombre del autor.
b) Datos generales del autor (notas curriculares, cen­tro
de adscripción o lugar donde labora, dirección del
centro de trabajo y/o particular, teléfono del centro
de trabajo y/o particular, correo electrónico).
4. Los originales habrán de presentarse:
a) Procesados en computadora. El autor deberá entregar un disquete (en procesador de palabras Word
de Microsoft) que indique título, autor y todos
los seña­­la­mientos del caso para su lectura, y una
copia im­presa del mismo trabajo en altas y bajas
(mayúsculas y mi­núsculas).
b) Sin cortes de palabras (eliminar los guiones a fin de
renglón).
c) Cuartilla holandesa: 28 renglones de 60-65 golpes.
Justificación izquierda (sin justificación derecha).
d) Legibles, sin marcas, añadidos o modifica­ciones al
margen.
e) Tabla de abreviaturas o siglas al final del texto.
f ) En caso de citar repetidamente una obra utilizar
las locuciones: idem, ibidem u op. cit., según sea el
caso.
g) Los criterios para anotar la bibliografía: nombre
de los autores (empezando por los apellidos), luego coma, luego el nombre, luego coma (cuando
haya más de un autor, el segundo empieza con el
nombre y luego los apellidos –separados los autores con y–; cuando haya más de tres, se pone el
primero y luego et al.). Si se menciona el capítulo
de un libro o artículo de una revista, aparecerá
entre comillas, luego irá coma y el término “en”.
El título del libro o revista en cursivas (itálicas),
luego coma. Número de edición (excepto si es
la primera), luego coma (se usará ed.). Lugar de
publicación, luego coma. Editorial o institución
que lo (la) produjo, luego coma. Año de publicación, lue­go coma. Páginas (se usará por ejemplo
p. 386.), luego punto final.
h) Las fotografías, gráficas e ilustraciones que acompañen al texto deben ser de alta ca­li­dad y contraste
adecuado, con el pie o referencia pertinente, e indicar dentro del texto el lugar donde deben incluirse.
Es importante que los autores aporten ilustraciones
o fotografías suceptibles de ser utilizadas como
complemento informativo. En cualquier caso, es
indispensable que el autor informe si las imágenes enviadas requieren recibir algún crédito o si
requieren de algún permiso para su publicación.
Todas las imágenes utilizadas deberán manejarse
en formato EPS, TIF o JPG con una resolución
mínima de 300 dpi (deben pesar más de 700 kb).
Favor de no insertar imágenes en archivos Word
porque se pierde calidad.
i) Palabras, frases o señalamientos especiales en cursivas (itálicas).
j) En el caso de reseñas o presentación de libros o
revistas, acompañar el texto con una fotografía o un
archivo digital de calidad de la portada del volumen
que se trate.
5. Los autores pueden dirigirse para la entrega de sus trabajos
a la siguiente dirección electrónica: [email protected]
Indicaciones generales:
Una vez aceptado el texto para su publicación no se admitirá
modificación alguna al original.
Se entregarán al autor tres (3) ejemplares del número de
entre maestr@s en que sea publicado su texto.
El autor es el único responsable de la veracidad y honestidad de los contenidos de su trabajo.
A petición escrita del autor se devuelven por correo los
originales de los trabajos no publicados.
Los textos incluidos en entre maestr@s pueden ser publicados en otro órgano editorial, previo permiso expreso por
escrito y haciendo referencia explícita de la fuente.
Aprendiendo a través del cine
NI UNO MENOS
Un pretexto para descubrir con otra mirada
el mundo de las Matemáticas
Wei Minzhi, de trece años de edad, tiene que hacerse cargo de una pequeña escuela rural, mientras el
maestro titular va a visitar a su madre enferma. La joven Wei tendrá que educar a los alumnos durante un
mes y no permitir que ninguno abandone el grupo, pues el número de niños que desertan es muy alto:
“ni uno menos”, advierte el maestro Gao a Wei; si logra este objetivo percibirá el salario del maestro.
Los problemas de esta adolescente comienzan cuando Zang, un estudiante conflictivo, tiene que dejar la escuela e ir a la ciudad a conseguir dinero para pagar las deudas de su familia. La novel maestra se
lanza a la búsqueda de su pequeño alumno que se ha extraviado en la urbe, lo cual la obliga a ella y a sus
estudiantes a buscar los medios económicos que les permitan financiar tal viaje, cosa nada fácil ante las
condiciones tan precarias en las que se encuentran.
Es en esta parte de la historia en la que sugerimos poner particular atención, pues maestra y alumnos
se ven obligados a hacer cálculos matemáticos para saber cuánto tiempo tendrían que trabajar en una
fábrica de ladrillos para obtener el dinero que necesitan. Los alumnos tienen que utilizar todos sus conocimientos y recursos matemáticos para poder hacer sus cálculos; comparan resultados, discuten la validez
de los mismos, proponen, prueban y, finalmente, con base en la actividad matemática desplegada en el
salón de clases, toman decisiones.
A partir de este extraordinario filme invitamos a los profesores a reflexionar sobre la posibilidad y las
condiciones didácticas necesarias para que incluso los problemas de los libros de texto y otras actividades
que pudieran caracterizarse como “típicamente escolares”, generen retos interesantes, apasionantes, no sólo
para los alumnos, sino para los mismos maestros pues, a final de cuentas, ambos comparten un mismo
espacio, ambos dejan marcas que escriben la historia colectiva de un salón de clases.
Diana Violeta Solares Pineda
Director:
Zhang Yimou
Año:
1999
País:
China
Duración:106 min.
SECCIONES
Ejercer el derecho a la lectura es tan importante como el de tomar un lápiz, un bolígrafo o un teclado para expresar las
ideas y las emociones que nos envuelven. Por eso, entre maestr@s abre sus páginas no sólo para que la explores, sino
para que te lances también a la aventura de escribir.
Las secciones que contiene la revista seguramente te darán pistas para tu participación. Estas secciones están pensadas como espacios para suscitar la reflexión, el análisis, la discusión y el intercambio de experiencias pedagógicas.
DESDE EL AULA
En esta sección encontrarás artículos escritos por maestras y maestros que abordan temas relacionados con sus experiencias
de investigación, innovación y/o animación en la escuela y en sus aulas.
DESDE LOS MESABANCOS
Esta sección echará un vistazo a las producciones escritas de niñas, niños y los y las jóvenes de educación básica, y que
son resultado del trabajo desarrollado en el aula.
PARA Y DESDE EL CONSEJO TÉCNICO
En esta sección hallarás artículos de fondo, escritos por docentes y/o especialistas. Su propósito es el de suscitar discusiones en torno a temas que están presentes en el ámbito escolar y social.
ENCUENTARIO
Las aportaciones escritas y gráficas se ubican aquí, su propósito es recrear la vida cotidiana de la escuela y de otros lugares
desde una óptica que nos haga reflexionar en el tiempo y espacio histórico: cuentos, poesía, relatos, fotografías, etcétera.
HOJAS DE PAPEL QUE VUELAN
Aquí se comparten experiencias y análisis pedagógicos de docentes y/o especialistas de otros países que contribuyen a
la discusión de temas nacionales.
PARA LA BIBLIOTECA Y APRENDIENDO A TRAVÉS DEL CINE
En estas secciones se reseñan libros y películas que aportan nuevas perspectivas al trabajo docente, y también se abren
al mundo de la novela universal y, en particular, la iberoamericana.
REDES
Esta sección tiene la intención de dar a conocer diversos proyectos de grupos académicos magisteriales y los niveles de
coordinación entre sí que se están logrando.
CARTAS DEL LECTOR
entre maestr@s abre un espacio más para el intercambio de las palabras de las y los lectores. Esta sección estará dedicada
a la publicación de todas las cartas de sus lectores ocupados en la conversación escrita.
PARA PRACTICAR
Representa un anexo didáctico sugerente, se trata de diversas actividades que maestras o maestros han llevado a cabo en
sus salones de clase con objetivos muy específicos y cuyo fin es compartir y enriquecer la enseñanza en el aula.
DIRECTORIO UPN
Sylvia Ortega Salazar
Rectora
Aurora Elizondo Huerta
Secretaria Académica
Manuel Montoya Bencomo
Secretario Administrativo
Adrián Castelán Cedillo
Director de Planeación
Mario Villa Mateos
Director de Servicios Jurídicos
Fernando Velázquez Merlo
Director de Biblioteca y Apoyo Académico
Adalberto Rangel Ruiz de la Peña
Director de Unidades upn
Juan Manuel Delgado Reynoso
Director de Difusión y Extensión Universitaria
Coordinadores de Área Académica
María Adelina Castañeda Salgado
1. Política Educativa, Procesos Institucionales y Gestión
Alicia Gabriela Ávila Storer
2. Diversidad e Interculturalidad
Joaquín Hernández González
3. Aprendizaje y Enseñanza en Ciencias, Humanidades y Artes
Verónica Hoyos Aguilar
4. Tecnologías de la Información y Modelos Alternativos
Eva Francisca Rautenberg Petersen
5. Teoría Pedagógica y Formación Docente
María Guadalupe Correa Soto
Marco Esteban Mendoza Rodríguez
Olimpia T. González Basurto
Alicia Ávila Storer
María Luz López Morales (Monclova, Coahuila)
Liliana Ochoa (Argentina)
Rafael Porlán Ariza (España)
José Martín Toscano (España)
María del Pilar Unda (Colombia)
Martha Cárdenas (Colombia)
Ernesto Gómez (España)
Josette Jolibert (Francia)
Colaboradores
Red de Lenguajes por la Transformación de la Escuela y la
Comunidad. México
Red de maestras y maestros animadores de la lectura y escritura
en Iztapalapa, Distrito Federal
Jesús R. Anaya Rosique
Santos Cortés Castro
María de los Ángeles Huerta Alvarado
Juan Manuel Rendón E.
Diseño gráfico original y portada
Margarita Morales Sánchez
Formación
María Eugenia Hernández Arriola
Diseño de encarte y diagramación
Margarita Morales Sánchez
Traducción
Resúmenes: César Makhlouf Akl
Lucila Contreras Rodríguez
Subdirectora de Fomento Editorial
Fotografía
Roberto Pulido Ochoa, Elizabeth Camacho González,
Rigoberto González Nicolás
CONSEJO EDITORIAL
Corrección de estilo
Armando Ruiz Contreras
Director fundador
Roberto Pulido Ochoa
Director
Jorge Alberto Chona Portillo
Asistente de dirección
Patricia Ruiz Nakazone
Diana Violeta Solares Pineda
Consejo Editorial
Rigoberto González Nicolás
Angélica Jiménez Robles
Eloísa Gutiérrez Santiago
Adán Jiménez Aquino
Yolanda de la Garza de Lara
Carlos Anaya Rosique
Carmen Ruiz Nakasone
Tere Garduño Rubio
Valentina Cantón Arjona
Rosa Isela Barrera Salgado
Martha Tlaseca Ponce
entre maestr@s es una publicación trimestral de la Universidad
Pedagógica Nacional, Carretera al Ajusco núm. 24, col. Héroes
de Padierna, CP 14200, Tlalpan, México, DF. Tel. 5630 97 00.
www.upn.mx
entre maestr@s es una revista indexada en Latindex, folio 14091,
desde 2004. Certificado de reserva de derechos al uso exclusivo ante el
Instituto Nacional del Derecho de Autor 04-2006-062110062500-102.
Número de certificado de licitud de título 11483.
Número de certificado de licitud de contenido 8065.
issn 1405-8774. Editor responsable: Juan Manuel Delgado Reynoso.
Las opiniones expresadas en los artículos son responsabilidad del autor.
Preprensa e impresión: esta publicación se imprimió en
El tiraje consta de 3000 ejemplares.
DESDE EL AULA
La Enseñanza de las Matemáticas y el saber didáctico de los profesores en formación
Jesús Manuel Mendoza
Un recuento de lo vivido, mucho que mejorar
Iván Alejandro Ixtlahuaca
Lidia Rodarte de Robles
Ma. Rosa Ana Arechar Ruiz
14
Actividades comunitarias que favorecen el aprendizaje
de las Matemáticas del nivel básico de primaria en el estado de Oaxaca
Alberto Díaz Acevedo
Aprendiendo Geometría con doblado de papel
Felipe Ramos Trejo
32
40
DESDE LOS MESABANCOS
La matemática de las historias
Lourdes Guido
46
PARA Y DESDE EL CONSEJO TÉCNICO
Enciclomedia en la clase de Matemáticas
Yolanda Chávez Ruiz
48
¿Una nueva reforma para la Enseñanza de las Matemáticas?
Leticia Iturbe Meza
De la Geometría al estudio de la forma, el espacio y la medida
Silvia García
La resolución de problemas matemáticos
Víctor Manuel García Montes
Fracciones, ¿comparar o fracturar?
Araceli Fuentes Figueroa
76
82
58
66
6
Algunas consideraciones para la Enseñanza del Álgebra en secundaria
Jesús Leobardo Rendón García
90
ENCUENTARIO
Poemas matemáticos
98
HOJAS DE PAPEL QUE VUELAN
¿Qué Matemática para la escuela primaria?
Horacio Itzcovich
102
PARA LA BIBLIOTECA
¿Por qué algunas personas piensan que son un desastre
para las Matemáticas?, ¿cómo abordar esta asignatura?
Jorge Alberto Chona Portillo
108
REDES
El uso de la nueva tecnología en la Enseñanza de las Matemáticas: “Mi ayudante”
Francisco Javier Moreno Torres
CARTAS DEL LECTOR
Miriam Valderrábano Pérez
116
PARA PRACTICAR
La división en tercer año de educación primaria:
una experiencia con el uso de Enciclomedia
Yolanda Chávez Ruiz
112
EDITORIAL
¿E n qué momento las Matemáticas dejan de ser
interesantes? Quizá sea cuando se vuelven sólo operaciones, cuando se deja el aspecto lúdico de lado o
cuando solamente se dictan términos a razón de la
supuesta abstracción matemática. Entonces, aprender
Matemáticas se vuelve algo aburrido, repetitivo y
totalmente carente de sentido. Esta forma de enseñar
Matemáticas ha dado por resultado que los niños,
jóvenes y adultos nos alejemos de ellas. Ante este
desolador panorama, ¿por qué se tendrían que exigir
resultados favorables en las pruebas que se hacen para
evaluar los aprendizajes en educación básica?
Lo importante es reflexionar sobre cómo acercar
a los niños y a los adolescentes al mundo de las Matemáticas para que descubran sus misterios, sus lenguajes, sus juegos, sus términos y, ¿por qué no?, ayudarlos
a desarrollar un pensamiento matemático.
El presente número de Entre maestr@s está
de­dicado al tema de la enseñanza de las Matemáticas, acerca del cual diversos autores aportan sus
particulares miradas. A lo largo de estas páginas
se proponen algunos juegos como el doblado de pa­
pel y el plano de signos, para el caso del estudio de
la Geometría; se analizan las reformas educativas,
sus enfoques, sus aciertos y retrocesos y se reflexiona
acerca de la importancia de recuperar los materiales y
darles un sentido apropiado para la enseñanza de esta
materia; de igual manera, se plantea el enfoque constructivista a través de situaciones didácticas para la
resolución de problemas, las cuales implican proce­sos
matemáticos que los maestros necesitan apropiarse
y obtener de éstos el mayor beneficio para ellos y
sus alumnos.
Desde esta perspectiva, se sugieren momentos de
reflexión acerca del aprendizaje de las Matemáticas
en los que se ponga mucha atención sobre cómo responden los alumnos, cuáles son los argumentos con
los que validan sus respuestas y conocimientos y, más
aún, la importancia de la mediación del maestro para
regularizar las actividades de acuerdo con las manifestaciones de los estudiantes, momentos que han sido
denominados a-didácticos. Se plantea que los niños
no sólo resuelvan los problemas matemáticos, sino
también que, a partir de ciertos datos, sean capaces
de elaborarlos. Se destaca cómo los niños de comunidades rurales se apropian de algunas concepciones
matemáticas a través de acontecimientos cotidianos
como cortar palma en el monte, actividad en la que
ponen en juego la ubicación geográfica, la clasificación y agrupación en manojos de este material que
más tarde usarán para elaborar artesanías y juguetes
tales como figuras de animales, “tragadedos”, nidos,
bolsas y morrales.
Los maestros y sus alumnos juegan con las Matemáticas, resuelven problemas, crean situaciones
didácticas y reflexionan sobre sus aprendizajes. Aquí
también se presentan poemas matemáticos y se recomiendan libros y películas, así como la página Web Mi
Ayudante, para mirar las Matemáticas desde otra perspectiva. Todos y cada uno de los que participamos en
este número de Entre maestr@s tenemos el propósito
de dar al lector la posibilidad de llenar de sentido y
significación el mundo de las Matemáticas.
Jorge Alberto Chona Portillo
[email protected]
5
Desde el aula
entre maestr@s
La Enseñanza de las Matemáticas
y el saber didáctico de los profesores
en formación
Jesús Manuel Mendoza*
[email protected]
C uando un joven ingresa a una escuela normal para estudiar la Licenciatura en Educación
Primaria, incursiona a su vez en un oficio que tiene ya una larga historia recorrida, con una
carga simbólica y cultural que influye tanto en los significados como en la forma de realizar el
trabajo de enseñanza en este nivel educativo. Siempre hay un antecedente de lo que se conoce
en quien conoce.
Los estudiantes de magisterio aprenden simultáneamente los referentes conceptuales de
la profesión a la vez que actualizan los estereotipos y costumbres, los afanes de cambio y la
pérdida de sentido que caracterizan al trabajo docente (Ávila, 2006); esto es así, entre otras
razones, porque tienen –en tanto alumnos– cuando menos 12 años de convivir con ellos.
Estudiar para maestro significa estudiar un oficio, lo que conlleva ingresar en una cultura impregnada tanto de estereotipos como de posibilidades de transformación. Significa
también aprender modos de hacer y de ser, descubrir el sentido de las tareas específicas que
caracterizan la enseñanza, indagar las técnicas para desarrollar ese hacer, incursionar en las
formas de justificar ese hacer y acercarse a las teorías que fundamentan ese hacer. A esta serie
de tareas que conllevan una técnica para desarrollarlas, que a su vez tienen un discurso que
las justifica y una teoría que les da sentido, es lo que Chevallard (2000) ha definido como
praxeologías.
Al recortar la mirada para centrarla únicamente sobre el hacer de la Enseñanza de las
Matemáticas el problema no se resuelve porque, si bien adquiere especificidad, se añaden ahora
los significados que arropan de principio a fin a la enseñanza de esta disciplina.
————————————
* Profesor de la Normal de San Marcos, Loreto, Zacatecas.
6
La Enseñanza de las Matemáticas y el saber didáctico de los profesores
Las preguntas que derivan del campo de la formación
de profesores para devenir competentes en la enseñanza de
una disciplina específica como las Matemáticas podrían
sintetizarse en las siguientes: ¿cómo se tendría que pre­
parar a los profesores para estudiar las Matemáticas
y para enseñarlas?, ¿qué articulaciones construir entre los
conocimientos matemáticos que se estudian en la normal
y las Matemáticas escolares que habrán de enseñarse en
la primaria?, ¿cuál es el lugar de las herramientas conceptuales que nos aporta la Didáctica de las Matemáticas?
¿qué tipo de formación profesional requieren los nuevos
profesores?, ¿cuál sería la articulación entre el trabajo en
las escuelas, los aportes teóricos y el análisis de registros
de clase considerando el contenido matemático?, ¿cuál
es el vínculo entre la formación inicial y la formación
continua?, ¿cuáles son los límites de la asesoría en el
aula o de la tutoría?, ¿durante cuánto tiempo estudiar
Matemáticas?, ¿son suficientes dos semestres? (Even y
Ball, 2009: 4-9)
La reforma de 1997 para las escuelas normales propone dos cursos sobre la Enseñanza de las Matemáticas
que se desarrollan durante el segundo y el tercer semestre.
Esto implica una serie de competencias profesionales,
intelectuales y didácticas que podrían sintetizarse en el
hecho de que los nuevos profesores tendrán que “saber
diseñar situaciones de enseñanza y aprendizaje”, así como
“saber desarrollar una clase”.
En la Normal de San Marcos (Loreto, Zacatecas),
desde hace cuatro años los estudiantes se han acercado con
mayor sistematicidad al saber didáctico, específicamente
a los conceptos y la perspectiva que deriva de la tradición
francesa.1 En los trabajos de fin de semestre o en las tesis
puede apreciarse que los jóvenes profesores en formación
se han beneficiado en grados variables de los textos de
Guy Brousseau, Yves Chevallard, Alicia Ávila Storer, Julia Centeno, David Block, Ma. del Carmen Chamorro,
Mabel Panizza y algunas traducciones que los profesores
1
Es preciso aclarar que tal perspectiva está presente en los cursos de
Matemáticas y su Enseñanza I y II, pero no permite mayor profundización en tanto los conceptos y textos fundamentales se diluyen entre
las otras actividades que sugiere el programa.
7
En este artículo se analiza el proceso que
se explora en la Normal de San Marcos,
Zacatecas, para acercar a los estudian­tes
normalistas al saber didáctico necesario
para enseñar Matemáticas en el nivel de
educación primaria. Se argumenta a favor
de la Didáctica de las Matemáticas como
la ruta conceptual con mayor solidez y
potencial heurístico para fortalecer la
formación de los nuevos profesores.
El propósito es superar la intuición, las
visiones espontáneas y la magnificación
de la “experiencia” que caracterizan las
representaciones de los profesores en
formación sobre el trabajo docente.
Palabras clave: praxeologías, momentos
a-didácticos, devolución, regulaciones,
tiempo didáctico.
uuuuu
This paper analyzes the process currently explored in the Normal (Teachers’
School) of San Marcos, Zacatecas, in order to bring the teacher-students nearer
to the necessary knowledge for teaching
mathematics in primary school. It argues
in favor of Mathematics Didactics as the
strongest conceptual route, with more
heuristic potential to strengthen the education of new teachers. The purpose is to
overcome intuition, the spontaneous visions and magnification of “experience”
which characterize on-training teachers’
ideas about educational practice.
entre maestr@s
hemos realizado de textos fundamentales de la
Didáctica de las Matemáticas.
En este contexto se creó, en el ciclo escolar
2007-2008, el Cuerpo Académico Situaciones
Didácticas y Praxeologías para la Formación,
conformado por un grupo inicialmente reducido
de profesores que ha ido incorporando, con grados variables de compromiso, a otros maestros
hasta conseguir que el saber didáctico tenga una
presencia fundamental tanto en la forma de analizar la labor docente (cursos de observación y
práctica) como en la elaboración de los trabajos
de titulación (el análisis de experiencias docentes
o el “diseño” de situaciones didácticas). Habría
que precisar que los estudiantes no diseñan
propiamente las situaciones didácticas, sino que
hacen adaptaciones o transposiciones de lo señalado en los ficheros, en materiales como Juega y
aprende matemáticas (sep, 1995) o en los propios
libros de texto. Diseñar una situación didáctica,
en el sentido que Brousseau lo concibe, conlleva
un proceso distante aún de las posibilidades
de la mayoría de los estudiantes en formación
y de los propios formadores.
En algunos casos se retoman ingenierías
ya trabajadas, desde el supuesto que hacer una
réplica de ellas le permite a los profesores en formación aprender a prever una relación didáctica,
es decir, una interacción entre el alumno y el
saber en juego, regulada por las intervenciones
del profesor y el medio ideado para que se desarrollen tales interacciones.
De tal manera que a los ensayos, artículos
o reportes que, como parte de su formación,
elaboran los estudiantes, han llegado –para enriquecer el análisis– conceptos como situación
didáctica, momentos a-didácticos, devolución,
regulaciones, tiempo didáctico, contrato didáctico
y otros más que provienen de la Didáctica de
las Matemáticas y que se complementan con el
resto de conceptos o perspectivas teóricas que
8
estudian los jóvenes cuasiprofesores durante los
cuatro años que permanecen en la normal. Esto
es así porque el potencial heurístico y la solidez
de los conceptos provenientes de los autores antes citados, constituyen la visión más acabada y
pertinente para comprender qué es lo que sucede
en los salones de clase con la comunicación de un
saber. Por eso, no sólo para la Enseñanza de las
Matemáticas, sino que apoyados en las ideas de
Delia Lerner (2001), Alain Mercier (1999) y
otros autores, poco a poco –si bien aún de forma
incipiente– los estudiantes de magisterio ponen
a prueba la Teoría de las Situaciones Didácticas
y la Teoría Antropológica de lo Didáctico para
analizar también lo que acontece con la enseñanza de otras disciplinas como Lengua Escrita,
Historia o Ciencias Naturales. Aunque el trabajo
se centra principalmente en Enseñanza de las
Matemáticas.
El propósito es superar la intuición, las
vi­siones espontáneas y la magnificación de la
“ex­periencia” que (pre)dominan en las representaciones de los profesores en formación sobre el
trabajo docente:
No creemos muy osado afirmar que, hoy día,
muy pocas actividades docentes se apoyan de
forma generalizada y sistemática en alguna
disciplina o ciencia específica. Dicho en otras
palabras, la mayoría de “gestos profesorales” que
realiza un profesor en el desarrollo del proceso
didáctico no son gestos técnicos sustentados por
elementos tecnológicos basados a su vez en un
cuerpo teórico que los controle y justifique. La
actividad docente es, mayoritariamente, una actividad espontánea, que los profesores construyen
a lo largo de los años, a partir de su experiencia
e intuición (Bosch, Gascón, 2003:82).
La trayectoria de los alumnos sufre modificaciones, las cuales podrían caracterizarse sintética-
La Enseñanza de las Matemáticas y el saber didáctico de los profesores
mente como el recorrido que va de las visiones
espontáneas a la profesionalización mediada por
grados diferenciados de rigor y sistematicidad en
la forma de conceptuar la Enseñanza de las Matemáticas. En un inicio los estudiantes no analizan,
sino que evalúan el trabajo de los profesores de
grupo (“no lleva material”, “no motiva a los niños”, “las clases son aburridas”, etc.). Y cuando
se trata de analizar la propia práctica docente, los
significados se diluyen entre la descripción y la
generalidad de las afirmaciones. Es común leer
en los trabajos de los alumnos, antes que análisis
de episodios didácticos, “descripciones” de lo que
acontece en el salón de clases, o bien, referirse
a lo vivido sin profundizar en los significados.
En esto influye el hecho de que los estudiantes
no registran los fragmentos textuales de lo que
acontece en el salón de clases. De ahí que se
es­­pera que los registros en audio o en video
se constituyan en herramientas indispensables
cuando se trata de analizar con minuciosidad la
enseñanza de un contenido matemático.
INTERPRETAR LO QUE ACONTECE
CON EL SABER MATEMÁTICO
EN JUEGO
Las dificultades para interpretar qué es lo que
pasa en los salones de clase con la Enseñanza
de las Matemáticas representa para los jóvenes
profesores en formación un dilema mayúsculo.
Un acierto –y no el menor– de los conceptos que
derivan de la Didáctica de las Matemáticas radica
en que, en tanto provienen del salón de clases,
permiten profundizar con mayor detalle en los
acontecimientos del aula. De ahí que cuando
los jóvenes normalistas elaboran sus “planeaciones” y tienen que realizar ajustes y modifi­
caciones durante el desarrollo de la clase debido
a que la actividad no evoluciona como lo tenían
previsto, encuentran en el concepto de regulación didáctica no sólo una manera de nombrar
9
entre maestr@s
las adaptaciones que sufren
sus propias planeaciones, sino
que han identificado, desde las
lecturas –sobre todo en Alicia
Ávila (2006)– que la principal
regulación recae sobre el tiempo didáctico. Estar atento a la
evolución del tiempo didáctico
ha llevado a los estudiantes de
magisterio a desarrollar su capacidad de observación.
En el salón de clases, aquí
y allá, se dan momentos en
los que los niños pretenden
abandonar la tarea que les de­
manda el saber en juego, lo cual
hace necesaria la intervención
del profesor para cambiar de
acti­vidad, para introducir un
nuevo saber en juego o para
cambiar la interacción entre
los niños y el saber. Pero la
necesidad de estos cambios es
identificada por un profesor
que observa y que, por tanto,
lleva a cabo las regulaciones
didácticas indispensables. Esto
permite hablar de profesores
que no sólo operan o ejecutan
planeaciones “al pie de la letra”,
sino que desarrollan clases o,
mejor dicho, gestionan un sa­
ber en juego.
Las regulaciones son nece­
sarias para mantener el equilibrio didáctico, que se pierde
cuando la tarea resulta demasiado complicada, sencilla en
exce­so, o bien, se les otorga más
tiempo del necesario a los alum­
nos para resolverla.
En innumerables
ocasiones
los jóvenes
profesores en
formación han
podido constatar
que la “indisciplina”
aparece cuando
los niños no han
comprendido
cabalmente
lo que van a
hacer
10
En innumerables ocasio­
nes los jóvenes profesores en
formación han podido constatar que la “indisciplina” aparece cuando los niños no han
comprendido cabalmente lo
que van a hacer, de ahí que la
devolución tanto de la consigna como del problema o de
las reglas del juego (Centeno,
1997) se hayan convertido en
un elemento indispensable de
la Enseñanza de las Matemáticas, que ya algunos profesores
–entre ellos nuestro Cuerpo
Académico– denominan como
una competencia didáctica
ineludible: hacer buenas devoluciones, esto es, realizarlas en
el momento adecuado y con el
detalle requerido.
Acudir a los conceptos ha
permitido superar las visiones
espontáneas (“ahora los niños venían con más ganas de
trabajar”, “este problema lo
com­p rendieron fácilmente
los niños”, “las estrategias de
enseñanza ahora sí me funcionaron”, etc.), de tal forma
que los estudiantes normalistas
comienzan a identificar que
los acontecimientos del salón de
clases tienen una “lógica” que es
necesario descubrir y que muy
pocas cosas suceden por casualidad o debido al azar.
Los momentos a-didácticos constituyen un concepto
fundamental de la teoría de
las situaciones didácticas. La
La Enseñanza de las Matemáticas y el saber didáctico de los profesores
situación a-didáctica consiste en devolverle la
responsabilidad al alumno y no intervenir de
una manera directa en las acciones que él toma.
En palabras de Berthelot y Salin (1992, citados
por Panizza, 2003: 62):
El término de situación a-didáctica designa
toda situación que, por una parte, no puede ser
dominada de manera conveniente sin la puesta
en práctica de los conocimientos o del saber
que se pretende y que, por la otra, sanciona las
decisiones que toma el alumno (buenas o malas)
sin intervención del maestro en lo concerniente
al saber que se pone en juego.
Por otra parte, Block (2001) concibe a la situación a-didáctica como un momento de aprendizaje (y no de enseñanza), en el que los alumnos
deben encontrar por sí mismos el vínculo entre
sus elecciones y los resultados que obtienen, aquí
se advierte la justificación de la “no-intervención”
del maestro. Podemos decir que en los momentos
a-didácticos es cuando el alumno se enfrenta
al saber en juego, cuando recurre a sus conocimientos y cuando puede interactuar con otros
alumnos para resolver la tarea que les demanda
el profesor. Se trata, entonces, de otro momento
en el que funciona la devolución. Para Brousseau
(citado por Block, 2001) la devolución podría
definirse así:
La devolución es el acto por el cual el enseñante
hace aceptar al alumno la responsabilidad de una
situación de aprendizaje (a-didáctica) o de un
problema y acepta él mismo las consecuencias
de esta transferencia.
Es importante mencionar que durante una situación a-didáctica “no es el silencio del maestro lo
que la caracteriza, sino lo que él dice” (Margolinas, 1993: cap. I, citado por Panizza, 2003).
Por tanto, el hecho de que el maestro devuelva
la responsabilidad al alumno no quiere decir de
ninguna manera que él se convierta en un simple espectador, ya que es el maestro quien debe
fungir como regulador del tiempo didáctico para
que el alumno se apropie del saber en juego.
Panizza agrega al respecto: “Las intervenciones
estarán pensadas como para instalar y mantener
a los alumnos en la tarea.”
Una actividad recurrente es solicitarle a
los estudiantes que elaboren un informe de las
jornadas de prácticas en las que “analicen” lo
que vivieron con sus alumnos en el momento
de comunicar un saber matemático. Ese que
tendría que ser un trabajo principalmente de
conceptualización se orienta más a describir y
menos a profundizar en la comprensión de lo que
acontece en el salón de clases con la Enseñanza
de las Matemáticas.
Analizar los acontecimientos escolares es una
tarea compleja porque implica preguntarse entre
otras cosas: ¿cómo dar orden al caos que enfrenta
el sujeto cuando tiene que analizar el cúmulo
de información recopilada?, ¿cómo construir
una mirada analítica que permita dar­le coherencia a los tópicos del aula que nos (pre)ocupan?
Una vez transcritos los registros y diseccionada la
información, ¿qué es lo que sigue?, ¿cómo se llega
al texto analítico?, ¿cómo superar la elaboración
de meros resúmenes, valiosos en algún momento, pero insuficientes para profundizar y ampliar
sus competencias didácticas? La exploración de
los registros es una tarea que significa desbrozar los acontecimientos para descubrir lo que está
escondido: los saberes instituidos, la amalgama
disímbola de tradiciones pedagógicas que los
habitan, las similitudes y las diferencias en las
prácticas escolares entre sus compañeros y entre
los propios maestros titulares. En cuanto a la
dificultad de pensar didácticamente respecto a
los conflictos que tuvieron en el desarrollo de sus
11
entre maestr@s
DOCUMENTAR LAS TRAYECTORIAS
DE FORMACIÓN
Además de tener y propiciar acercamientos variables a las teorías y los autores citados, el Cuerpo
Académico Situaciones Didácticas y Praxeologías
para la Formación desarrolla un proyecto de
in­vestigación en el cual se aplican cuestionarios
y entrevistas a los estudiantes –antes de asistir
a las jornadas de prácticas– durante el segundo
semestre de su formación, luego se filman las
clases de Matemáticas de algunos estudiantes y
cuando regresan elaboran textos analíticos de lo
que vivieron para luego ser nuevamente entre­
vistados.3 Una vez por semestre se repite este proceso. Se trata de documentar el trayecto evolutivo
que sufren los significados del trabajo docente,
cómo se aprende a ser profesor y la forma en que
los estudiantes procesan los conflictos que viven
en las jornadas de prácticas con la Enseñanza de
las Matemáticas.
Hasta el presente ciclo escolar se lleva el re­­
gistro de las trayectorias de 11 alumnos de cuar­to
semestre y de siete de segundo. La idea es incorporar cada semestre cuando menos seis estudiantes
y documentar sus trayectorias durante los cuatro
años de normal y hasta el primer año de servicio.
En este número de la revista se incluyen
varios de los textos que elaboraron los alumnos
de tercer semestre al regreso de las jornadas de
prácticas. Algunos hicieron una réplica de las situaciones didácticas trabajadas por David Block
(1987) para la enseñanza de las fracciones, otros
hicieron adaptaciones de fichas o lecciones del
libro de texto sobre la enseñanza de la división, la
geometría, la proporcionalidad o los pro­blemas
de combinatoria.
El rasgo distintivo es que re­cu­rren al saber didáctico para analizar lo que sucedió en los salones
de clase. Se trata de clases videograbadas, transcritas y lue­go interpretadas con el apoyo de los
autores y conceptos antes aludidos. El propósito
es superar la incompletud de las praxeologías didácticas que se remiten inicialmente sólo a realizar
una tarea y describir una técnica, la praxis; pero
no a la justificación (tecnología) y explicación
(teoría) de lo que acon­teció en los salones de clase,
el logos. Lo que se puede advertir en los textos
de los estudiantes de la Normal de San Marcos,
son las praxeologías en acto, así como lo que falta
por aprender a pro­fesores y estudiantes.
2
3
clases, ¿las relaciones didácticas que propusieron
a los niños fueron las esperadas?, ¿las actividades que plantearon a los alumnos funcionaron
como lo tenían previsto?, ¿son satisfactorios los
resultados que se obtuvieron?, ¿por qué?, ¿qué
modificaciones sustanciales realizarían en su
próxima jornada de prácticas?
El trayecto sugerido podría resumirse así:
ir a los registros con la mirada didáctica y tratar
de construir argumentos a partir de lo que nos
permita “observar” conceptos como contrato
didác­tico, devolución, regulaciones, situación didáctica-adidáctica, conocimientos-saberes,2 etc.
Y aquí el panorama se ensancha hasta incluir la
teoría de las situaciones didácticas.
Acotado el rumbo del análisis, lo que resta
es buscar una forma de estructurar los argu­
men­­tos, redactarlos, subtitularlos, afinarlos,
re-es­cribirlos, leer y releer los registros; tal es la
interesante, tanto como abrumadora, tarea de
configurar las ideas y construir argumentos plausibles sobre lo que acontece en las jornadas de
prácticas con la Enseñanza de las Matemáticas.
No es éste el espacio para ampliar el análisis de estos conceptos. Para un estudio detallado de los mismos remitimos
al lector a los autores citados.
12
Todos los estudiantes graban en audio o en video algunas
de sus clases de Matemáticas, las transcriben y las analizan,
pero sólo de algunos casos se lleva un seguimiento.
La Enseñanza de las Matemáticas y el saber didáctico de los profesores
Lo que aprendemos y hacemos los formadores en el estudio en proceso se inserta en la ruta
de la investigación y el sistema a que se refiere
Chevallard:
Consideremos, hacia 1900, dos médicos, uno
“bien formado”, el otro “mal formado” o, di­
gamos, menos bien formado. Pongámosles
en la cabecera de un paciente con apendicitis.
Nuestros dos médicos no se distinguen. De
he­cho, salvo rarísima excepción, el enfermo
se muere. Hacia 1900, la apendicitis es casi
siempre mortal [...]. Retomemos ahora nuestros dos médicos, pero hacia 1990, y siempre
en la cabecera de un paciente con apendicitis.
Tampoco aquí se distinguen el uno del otro.
Pero esta vez, y casi siempre sin excepción,
el enfermo se curará. ¿Qué ha pasado? Todos
conocemos la respuesta. La clave de esta “revolución” está, no en el hecho que nuestros dos
médicos estarían hoy “mejor formados”, sino
en una evolución de una amplitud muy distinta
que se resume en dos palabras: la investigación
y el sistema (Chevallard, 2000).
Como se puede advertir, el dilema, las paradojas,
los vacíos por cubrir y lo que resta por hacer no
son menores, pero tampoco corresponden al
ámbito de los voluntarismos, las simplificaciones
o las respuestas fáciles. Otros niveles de co determinación intervienen, lo que no resta relevancia
al trabajo del profesor. @
BIBLIOGRAFÍA
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de la escuela primaria. Un estudio didáctico. Tesis
de Doctorado. México: die-Cinvestav.
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como director de procesos de estudio: análisis
de organizaciones didácticas espontáneas. En:
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(vol. 23, núm. 1, pp. 79-136). Genoble: Pensée
Sauvage.
Centeno, Julia (1997). Relación con el saber: las
situaciones didácticas. En: Números Decimales
¿Por qué? ¿Para qué?. Madrid: Síntesis.
Chamorro, Ma. del Carmen (2005). Herramientas
de análisis en Didáctica de las Matemáticas.
En: Didáctica de las Matemáticas para primaria.
España: Pearson Prentice-Hall.
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concepts, problèmes. En: Actes de la Xe École
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Teachers of Mathematics. The 15th ICMI Study.
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real, lo posible y lo necesario. México: sep-Biblioteca para la Actualización del Maestro.
Mercier, Alain, Lemoyne, Gisèle y Rouchier, André
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De Boeck Université.
Panizza, Mabel (2003). Conceptos básicos de la teoría
de situaciones didácticas. En: Enseñar matemática en el nivel inicial y el primer ciclo. Análisis y
propuestas, Buenos Aires: Paidós.
Ávila, Alicia (2006). Transformaciones y costumbres en
la matemática escolar. México: Paidós.
Block, David (1987). Estudio Didáctico sobre la enseñanza y el aprendizaje de la noción de fracción en
la escuela primaria. México: die-Cinvestav.
13
Un recuento de lo vivido,
mucho que mejorar
Reflexiones de estudiantes normalistas
sobre sus prácticas de Enseñanza
de las Matemáticas
¿Quién enseña a los maestros
a hacer regulaciones?
Iván Alejandro Ixtlahuaca*
¡PREPAREN, APUNTEN, LEAN!
E n el campo de la enseñanza, el término regulación adquiere un significado y un papel
profundo y determinante para el buen desarrollo de una clase planeada con anticipación.
Por regulación debemos entender los cambios que el profesor hace sobre el curso de
la sesión para optimizar el tiempo o la actividad que se está llevando a cabo o que está por
iniciarse. Dichas modificaciones o ajustes a las que nosotros llamaremos regulaciones, nos
deben ayudar a lograr los propósitos fijados para esa clase y realizar de la mejor manera las
actividades del día, de lo contrario, únicamente se estarán haciendo regulaciones de forma
abstracta y descontextualizada, y ello sólo trae como consecuencia que las actividades que
plantee el profesor carezcan de efectividad, debido a que las regulaciones que hace no van de
acuerdo con las necesidades del grupo o de la clase en ese momento.
Es aquí precisamente donde me surgen algunas preguntas, ¿quién enseña a los maestros a
hacer regulaciones en su grupo de clases?, ¿hacer regulaciones es una competencia didáctica?,
¿qué se necesita para hacer regulaciones acertadas en el momento acertado?, cuando se hace
una regulación, ¿se está cambiando de contrato didáctico? Son cuestiones que espero poder
responderme en el trayecto de la práctica y con las buenas y malas experiencias dentro del aula.
Pero también son interrogantes que te dejo de tarea a ti, amigo normalista, que probablemente
estés leyendo este artículo.
Las regulaciones se deben llevar a cabo cuando el maestro observa, mediante el desempeño
de los niños, que la actividad no se está desarrollando satisfactoriamente y, por lo tanto, no le
—————————————
* Alumno de la Normal de San Marcos, Loreto, Zacatecas.
14
Un recuento de lo vivido, mucho que mejorar
permitirá cumplir con los propósitos preestablecidos;
también es prudente realizar regulaciones cuando el docente observa mediante el ritmo de trabajo de los alumnos
que no le alcanzará el tiempo para culminar y concluir
de la mejor manera la actividad.
MIS PRIMEROS INTENTOS
DE REGULACIONES
Durante la semana que estuve practicando con el grupo
de sexto grado en la comunidad de Palmillas, Ojocaliente
(Zacatecas), en el transcurso de las clases de Matemáticas,
tuve la necesidad de realizar un gran número de regulaciones didácticas debido a diversos motivos, entre los que
destacan los siguientes.
• Que los alumnos no trabajaban al rimo que tenía
contemplado, sino que lo hacían mucho más
lento.
• Que los alumnos no poseían algunos conocimientos previos sobre determinados temas que
yo había supuesto que sí tenían.
• Que el tiempo de la clase no me alcanzaría para
llevar a cabo todas las actividades que llevaba
pla­neadas para ciertos días.
• Que la actividad no resultaba de interés para los
alumnos y, por consiguiente, se distraían mucho
y entorpecían el buen funcionamiento de la actividad.
• Que la actividad que se estaba desarrollando no
ponía de manifiesto el saber que se quería poner
en juego, debido al poco interés de los niños, la
fatiga o aburrimiento o la escasez de conocimientos que tenían al respecto.
Éstos fueron los principales motivos que me obliga­ron a
realizar regulaciones durante las clases de Matemáticas.
A continuación, citaré algunas situaciones en las
que hice regulaciones, posteriormente, las comentaré y
veremos cuáles fueron las razones que motivaron dicha
re­gulación. Veamos el primer ejemplo:
15
Tres experiencias distintas de profesores
en formación muestran cómo el buen
desarrollo de una clase no se da sólo
porque se planee con anticipación. Los
alumnos son sujetos activos cuyos saberes son conocidos y reconocidos por sus
maestros, quienes realizan regulaciones
didácticas. A su vez, los alum­nos comen­
tan sus respuestas y dan a conocer los
procedimientos que emplearon para lle­
gar a ellas, lo cual les permite acceder a
nuevos conocimientos.
Palabras clave: Regulación, situación didáctica, devolución, fase de validación,
procedimiento, aprendizaje, institucionalizar.
uuuuu
The experiences of three different teacher-students show how the good unfolding of a class is not guaranteed by
anticipated planning. Their students
are active subjects. The would-be teachers recognize and are aware of their
students’ knowledge and so they make
didactic adaptations. The students talk
about their responses to problems and the
procedures they used to arrive at them.
Through the conditions generated in class­
room, they aloud their students to access
new knowledge.
entre maestr@s
P. (Profesor): a ver, niños, ¿saben cuáles son las fracciones
equi­valentes?
Niños: no, no.
P.: ¿nunca han escuchado hablar de ellas?
Lilia: no, nunca.
Carolina: de veras, profe.
P.: bueno, a continuación me van a escribir estas fracciones [escribiendo en el pizarrón] en su cuaderno, y
me van a poner cuál de las dos es mayor o si son iguales
también le ponen.
P.: bien, ¿y de este otro?
Cristina: cuatro.
P.: ahora díganme, ¿cuál pedazo es más grande?
Lilia: son iguales
Daniel: no, no es cierto
Otros niños: sí, sí son iguales.
Cabe señalar que esta regulación que realicé garantizó el buen desarrollo de las demás actividades de la
clase, y no sólo eso, tal vez algunos de los alumnos
adquirieron un nuevo conocimiento, lo cual era el
objetivo primordial.
Ahora veamos otra situación en la que requerí de
hacer otro tipo de regulación didáctica. En este caso,
las causas que originaron dicha regulación fueron
distintas a la anterior y, por consiguiente, también
el resultado. La regulación se llevó a cabo en una
actividad que en la planeación estaba diseñada de la
siguiente forma:
Los niños comenzaron a hacer su trabajo y luego
me lo llevaron para que lo revisara; cabe señalar que
todas las fracciones que les puse eran equivalentes, es
decir, que valían lo mismo, y al ver sus respuestas me
di cuenta de que ninguno de ellos había puesto ni siquiera una sola fracción como equivalente de otra.
Fue precisamente aquí donde me vi en la necesidad
de hacer algunas regulaciones al trabajo que llevaba planeado para ese día, ya que en todas las actividades que
pretendía desarrollar daba por hecho que los niños ya
tenían algunos conocimientos acerca de las fracciones
equivalentes y, por lo que observé, me di cuenta de que
no era así. Entonces, para poder darle un buen rumbo a
la clase y con la intención de que los niños se apropiaran
de un nuevo conocimiento, comencé a comprobar en el
pizarrón de forma grupal las respuestas de la actividad
anterior, lo cual hice de la siguiente manera.
P.: Escribiré una cantidad en el pizarrón y le aventaré
una pelota a un niño, y le pediré que me diga el antecesor o el sucesor de dicha cantidad y, posteriormente, el
niño le aventará la pelota a otro de sus compañeros, y
al que le caiga tendrá que decir el antecesor o el sucesor,
dependiendo de lo que haya dicho el otro niño, y después
pondré otra cantidad y así sucesivamente hasta que todos
hayan participado.
Así estaba planeada la actividad, pero esto fue lo que
sucedió:
P.: ahora comprobaremos sus respuestas, a ver, ¿quién
me dice qué le puso en 2/4 y 4/8?
Lilia: es mayor 4/8.
P.: ¿por qué?
Daniel: porque es más grande el cuatro que el dos y el
ocho que el cuatro.
P.: a ver, vamos a ver si es cierto [dibujando unos rectángulos en el pizarrón], estos rectángulos son iguales, éste
lo vamos a dividir en cuatro, y este otro en…
Niños: en ocho.
P.: bien, ahora, ¿cuántos coloreamos de éste?
Fernando: dos.
P.: a ver, niños, yo le voy a aventar la pelota a uno de
ustedes y voy a decir una cantidad, y también voy a
decir antecesor o sucesor, y al que le aviente la pelota
me tendrá que responder según lo que yo haya dicho.
¿Quedó claro?
Niños: sí, sí.
P.: a ver si es cierto, ¿qué vamos a hacer, Milagros?
Milagros: vamos a decirle el antecesor y el sucesor del
número que nos diga.
16
Un recuento de lo vivido, mucho que mejorar
P.: no, únicamente uno de los dos, ya sea el antecesor
o el sucesor, y luego ustedes le avientan la pelota a otro
compañero para que éste diga el otro.
[Pusimos un ejemplo para tratar de que les quedara
más clara la actividad y después empezamos. Tomé la
pelota y se la aventé a Fernando].
P.: 1,528, sucesor.
Fernando: mmmm, ¿qué número dijo?
P.: 1,528, ¿sucesor?
Fernando: sucesor, mmmm, 1,527.
Algunos niños: sucesor.
Fernando: ah, 1,529.
La dinámica continuó con otras tres participaciones
por parte de los niños, las cuales carecieron de certeza
y claridad, lo que le restó fluidez y eficacia a la actividad. Y al darme cuenta de que ésta no funcionaba
porque se estaba interrumpiendo mucho para hacer
aclaraciones o correcciones, decidí hacer una regulación al suspender la actividad y realizar otra que
abordara el mismo contenido.
La actividad nueva fue la siguiente: yo escribí dos
filas de ocho cantidades cada una, posteriormente,
dividí al grupo en dos equipos, cada equipo tenía
que anotarle el antecesor y el sucesor a las cantidades que estaban escritas. Hice la indicación de que
todos los integrantes del equipo se formaran y que
fueran pasando uno por uno para anotar el antecesor
o el sucesor y después le dieran el gis al compañero
que seguía y así hasta terminar con todas las cantidades. Resultaría ganador el equipo que ter­minara
primero.
Pues bien, así sucedió, la actividad motivó tanto
a los niños que querían que les pusiera más cantidades
para seguir jugando; lo que más me sorprendió fue
que Sarahí, quien se había negado a participar en la
actividad anterior argumentando que no sabía, en
esta ocasión le quitaba el gis a sus compañeros que
P.: Ahora tú aviéntala, Fernando, di una cantidad.
Fernando: [avienta la pelota a Sarahí] 20,800.
P.: ¿sucesor o antecesor?
Fernando: sucesor.
Sarahí: [se queda pensando como dos minutos] ¿cuál
era la cantidad?
Fernando: 20,800.
Sarahí: mmmm.
Carolina: ay, no, está bien fácil, ¿cómo no te la vas a
saber?
Lilia: sí, es cierto, está bien fácil, sólo súmale uno.
P.: dejen que ella sola diga.
Sarahí: es que no sé.
17
entre maestr@s
se habían equivocado para corregirlos y así ayudar a
que su equipo ganara.
Desde mi punto de vista, en esta regulación lo
que me llevó al éxito fue el plantearle a los niños
una actividad a manera de competencia, ya que esto
los motivó a realizar un esfuerzo mental extra para
colaborar con su equipo y obtener el triunfo.
Ahora analizaremos la regulación que hice en el
transcurso de la aplicación de una situación didáctica.
Ésta consistía en plantear a los niños que: cuatro amigos habían ido a comprar tres chocolates a la tienda y
se los habían repartido en partes iguales. También se
hacía saber el tamaño de la parte que le tocó a cada
uno y se mencionaba que en la tienda sólo vendían
chocolates de tres tamaños diferentes. Entonces, los
alumnos, organizados en equipos de tres integrantes,
tenían que descubrir de qué tamaño eran los chocolates que compraron para que le tocara ese pedazo a
cada uno. El material que se le proporcionaría a los
equipos para que se les facilitara la resolución del
problema era el siguiente (Block, 1987:1-70):
Inclusive dicho sobrante de cada tira de cartón
provocaba que la consigna se mal interpretara, ya
que algunos niños estaban cortando tiras del tamaño
del pedazo de chocolate con ese sobrante de cartón,
y otros estaban calculando cuántas veces cabían las
tiras pequeñas en la tira que sobraba.
Lo preocupante del asunto era que le estaban
poniendo mayor interés a las tiras sobrantes de cartón
que a la propia consigna, que era tratar de encontrar
de qué tamaño eran los chocolates que compraron
los niños.
Con todo esto, pude darme cuenta de que los
niños se estaban confundiendo mucho, ya que no sa­
bían cuál de las tiras representaba el tamaño de choco­­
la­te o cuál se refería a los tamaños que se vendían en
la tienda.
Veamos un fragmento de la fase de formulación
en la que sucedió lo anterior.
P.: ¿qué están haciendo en este equipo? A ver, explí­
quenme.
Sarahí: pues estamos midiendo las tiras de cartón para
ver cuántas veces cabe en esta más grande [señala la
tira sobrante].
P.: pero, ¿qué les dije yo que tenían que hacer?
Ricardo: [se queda pensando un rato], pues eso, que
viéramos cuántas veces cabe, ¿no?
P.: ¿tiene razón Ricardo, Milagros?
Milagros: sí, ¿no?
• Cuatro tiras de cartón de 6 cm x 3 cm color
café (que representan el pedazo de chocolate
que le tocó a cada niño).
• Tres tiras de cartón de 8 cm x 3 cm color
rojo.
• Tres tiras de cartón de 5 cm x 3 cm color
azul.
• Tres tiras de cartón de 10 cm x 3 cm color
amarillo.
• Cada tira debe disponer de un sobrante de
cartón por si los niños lo necesitan.
Les volví a plantear de forma rápida la consigna y pasé
a otro equipo para ver lo que estaban haciendo.
P.: a ver, Daniel, ¿qué es lo que están haciendo?
Daniel: estamos cortando tiras del mismo tamaño de
cada color.
P.: ¿y eso para qué? O, ¿por qué?
Daniel: pues para que se ajusten las cuatro de cada color.
P.: ¿y por qué quieren tener cuatro de cada color?
Fernando: pues porque son cuatro niños los que compraron los chocolates, ¿no?
Fue precisamente en el último punto de la lista del
material que surgieron las dificultades, debido a que
en lugar de funcionar como un auxiliar o como una
referencia, la tira sobrante de cartón estaba jugando
el papel de un distractor y provocaba que la actividad
perdiera su sentido y que los niños se confundieran
más al momento de estar buscando un resultado.
18
Un recuento de lo vivido, mucho que mejorar
Les aclaré casi sin ganas la situación y, decepcionado,
pase al otro equipo.
P.: a ver Cristina, ¿qué es lo que están haciendo?
Cristina: pues este es el tamaño del chocolate que les tocó
y estamos midiendo a ver en cuál tira caben los cuatro
pedazos sin que sobre.
P.: ¿y para qué crees que serán los otros tres pedazos que
les entregué de cada color?
Lilia: pues son los tamaños de los chocolates que vendían.
Carolina: entonces, ¿para qué nos dio estas tiras? [señalando a las tiras sobrantes].
clase del día, sino para buscar que el alumno tenga
mayor posibilidad de adquirir un conocimiento.
La regulación se hace para ajustar el tiempo didáctico,
con lo que se busca que el alumno aprenda en todo
momento.
UNA ÚLTIMA REFLEXIÓN
Los anteriores fragmentos de las clases nos sirven
como ejemplo para demostrar que un pequeño ajuste,
una simple orden o una sola modificación que ponga
en práctica el profesor durante el desarrollo de la clase, basta para darle un nuevo giro a la actividad y en
muchos de los casos cambia el resultado o desenlace
de ésta.
La mejor regulación es aquella que se hace en
el momento apropiado y en la situación adecuada,
porque no en cualquier momento de la clase podemos y debemos hacer regulaciones, ni tampoco
bajo cualquier situación; debemos esperar que el
propio desempeño de los niños nos lo indique,
lo que nos lleva a la idea de que la observación es
nuestro mejor instrumento para poner en práctica
las regulaciones.
Nosotros, como futuros maestros, tenemos que
ser cuidadosos en este sentido, porque no todas las
regulaciones que haga un profesor tienen efectos
positivos, sino que también existe la otra cara de la
moneda, y es precisamente esto lo que debemos evitar
a toda costa. Y si llegamos a la conclusión de que hacer
regulaciones es una competencia que mejora progresivamente, entonces, debemos estar preparados para
superar los tropiezos y obstáculos que se nos presenten
en el camino de la práctica. @
En ese momento decidí suspender la actividad para
realizar una regulación: inmediatamente recogí todo
el material que les había dado, y comencé a realizar
nuevamente para todo el grupo el planteamiento del
problema y, posteriormente, la consigna; de hecho
para asegurarme de que sí habían entendido la consigna, puse en práctica la devolución, que es la acción
por la que el maestro traspasa la responsabilidad al
alumno, que es quien debe querer aprender (Centeno, 1997:113-120). Pero, bueno, es preciso señalar
que existen tres tipos de devoluciones, en este caso
la que apliqué fue la devolución de la consigna, que
se refiere a que las consignas deben ser entendidas por
el alumno, lo que significa que los conocimientos que
posee el alumno deben ser suficientes para interpretar
correctamente las condiciones y las informaciones que
definen la situación (Centeno, 1997:117).
La regulación tuvo éxito y los niños pudieron
entender cuál era el objetivo de esta actividad, la
cual desarrollaron satisfactoriamente y así pudieron
adquirir un nuevo saber.
Con esa regulación que considero hice en el
momento apropiado, pude darle un nuevo rumbo
a la actividad y conseguí con ello que se cumplieran
los propósitos planteados para esa sesión, los cuales
eran que los niños tuvieran un acercamiento a las
fracciones como medida. Es importante señalar que
las regulaciones no sólo se deben hacer para salvar la
BIBLIOGRAFÍA
Block, David (1987). Estudio didáctico sobre la enseñanza
y el aprendizaje de la noción de fracción en la escuela
primaria. México: die-Cinvestav.
Centeno, Julia (1997). Relación con el saber: las situaciones
didácticas. En: Números decimales ¿Por qué? ¿Para qué?
Madrid: Síntesis.
19
entre maestr@s
La validación: una confrontación
como medio de aprendizaje
Cinco niños fueron al cine y decidieron comprar
caramelos, sólo les alcanzó para dos –los cuales se repartieron en partes iguales, con lo que a cada quien le tocó
un pedazo de una determinada medida (la medida era
de 4 cm, pero no se las proporcioné a los alumnos sólo
entregué cinco trozos de popote que representaban los
pedazos de caramelo y un popote completo con el cual
tenían que representar la medida de este dulce).
El propósito de la situación era que los alumnos se fueran adentrando en el conocimiento de las
fracciones como medida. El saber en juego consiste
en identificar la fracción como unidad de medida
para construir el entero (medida original de un solo
caramelo), cosa que algunos equipos lograron hacer,
tomaron como medida el pedazo de popote (4 cm)
para conformar los dos enteros al momento de unir
los cinco pedazos y después partirlo a la mitad y así
obtener la medida de un caramelo.
Después de la resolución del problema, se presentaron diferentes estrategias y procedimientos que
emplearon cada uno de los equipos para llegar a su
propio resultado.
En el siguiente fragmento de registro, se presenta el momento en el que invito a cada uno de los
equipos a presentar a sus compañeros la medida que
obtuvieron de un caramelo entero después de haber
trabajado con sus compañeros.
A cada equipo se le dio la oportunidad de escoger
un nombre para ellos, esto me resultó más fácil, tuve
la oportunidad de registrar la medida de cada uno de
los equipos en el pizarrón y así poder identificarlos
más rápidamente. Integré tres equipos que estaban
conformados así: el “Americano”: Eduardo, Esmeralda y Sandra; “Mexicano”: Raúl, José, Sonia y Alicia;
y el “Estrella”: Fátima, Michell y Miguel.
Lidia Rodarte de Robles*
E n este artículo me centraré sólo en una de las fases
de la situación didáctica: es el momento en que se
realiza la confrontación de lo que el alumno ha construido correcta o incorrectamente, ya sea de una forma
explícita o implícita, y en la que el profesor prepara
un medio de interacción en el cual los alumnos dan
a conocer las respuestas y procedimientos utilizados pa­
ra la resolución de un problema, éstos son sometidos a
juicio por sus compañeros. Aquí los alumnos tienen
la oportunidad de reflexionar sobre sus respuestas y
procedimientos y así llegar al resultado correcto, con el
objetivo de que el alumno construya su propio conocimiento. Estoy hablando de la Fase de Validación.
Situaciones de validación: dos alumnos (o grupo
de alumnos) deben enunciar aserciones y ponerse de
acuerdo sobre la verdad o falsedad de ellas. Las afirmaciones propuestas por cada grupo son sometidas
a la consideración del otro grupo, que debe tener la
capacidad de “sancionarlas”, es decir, ser capaz de
rechazarlas, pedir pruebas, oponer otras aserciones
(Panizza, 2003:67).
Considero necesario que para dar sentido a este escrito
debo mencionar la situación didáctica que trabajé con
niños de cuarto grado de primaria, de la que extraje
el momento de la validación. Ésta se llama “construir el entero”:** por equipos los alumnos tenían que
descubrir la medida original de un caramelo mediante
el planteamiento del siguiente problema:
Eduardo: ya acabamos.
M. (Maestra): quiero que pongan su caramelo aquí en
el centro [los alumnos formaron un círculo grande y
pusieron el caramelo en el lugar que dije].
Eduardo: ¿aquí en medio?
—————————————
* Alumna de la Normal de San Marcos, Loreto, Zacatecas.
** Se trata de una réplica de una Situación Didáctica trabajada
por David Block (1987) en su tesis de maestría.
20
Un recuento de lo vivido, mucho que mejorar
M.: sí, tiene que decir cuánto mide su
caramelo. A ver, diles a tus compañeros
cuánto mide tu caramelo, Eduardo.
Eduardo: 11.
M.: dice el equipo Americano que su
caramelo mide 11 cm [le pedí a los
equipos que nombraran un integrante
para que pasará a presentar la medida
de su caramelo].
M.: el Estrella, a ver, pasa Fátima y
pon el caramelo en el centro.
Fátima: 11.
M.: a ver el Mexicano, ¿ya lo midieron
bien?
Alicia: sí, 10 y medio.
M.: ¿quién creen que tenga la razón?
Todos: nosotros.
Raúl: el de Fátima está más chiquito
que el de Eduardo.
Fátima: sí, el de Eduardo es de 12.
Eduardo: no es cierto.
Fátima: ustedes dijeron que era de 12,
mídalos, maestra.
M.: a ver, ¿cuál es el de ustedes,
Eduar­do?
Equipo Americano: éste, el de en
me­dio.
M.: ¿cuánto mide? [aquí los alumnos
toman una regla y nuevamente miden
el popote que cortaron].
Alicia: son 12.
M.: entonces el equipo Americano dice
que 12, ahora tenemos tres medidas
diferentes. ¿Quién creen que tenga
la razón?
En esta parte de la validación, Fátima
y Raúl identificaron que un equipo
proporcionó una cantidad falsa, dijo
que eran 11 cuando en realidad eran
12. El equipo de Fátima (Estrella)
dio el resultado que obtuvo antes de
tiempo, por lo que el equipo Americano escuchó y decidió cambiar su
resultado al suponer que ese era el
correcto. Los alumnos suelen dudar de
su respuesta y deciden cambiarla por
otra que creen que está bien, sin antes
llegar a una reflexión que les permita
verificar cuál es el resultado correcto,
o bien, descubrir si ambos están mal.
Para ello, los alumnos tuvieron la capacidad de contradecir una respuesta
que no era válida en su opinión y era
necesario aclarar para proseguir en
la búsqueda del resultado correcto.
El rechazar o justificar los juicios
propios o de otros equipos es uno de
los tantos papeles que le corresponde al alumno en la validación, porque
es el receptor de determinada situación
y lo que se busca es llegar a la respuesta
correcta. Bueno, sin dejar a un lado el
papel del profesor, ya que él también
puede intervenir en este tipo de situaciones, pero sólo como mediador
de ellas, procurando que cualquier
acción que al alumno no le parezca
se aclare, además de otras funciones
que le competen y que enseguida se
mencionan.
LA ARGUMENTACIÓN
ES LA PARTE ESENCIAL
DE LA VALIDACIÓN
¡Atentos profesores! Es de suma relevancia mencionar que el maestro
debe participar en la validación en
tanto busca el proceso de prueba que
le permita a los alumnos explicar lo
que realizaron y reflexionar sobre tal
procedimiento, y no el de indicarles
21
El rechazar
o justificar los
juicios propios
o de otros
equipos es uno
de los tantos
papeles que le
corresponde
al alumno en
la validación,
porque es el
receptor de
determinada
situación y lo que
se busca es llegar
a la respuesta
correcta
entre maestr@s
en qué se equivocaron, ya que lo podrán saber en la
confrontación de sus resultados. Para alcanzar este
objetivo, el profesor debe provocar la interacción
entre alumnos-maestro-saber mediante el planteamiento de preguntas para crear en los estudiantes la
necesidad de expresar lo que hicieron, así como el
comprobar sus aserciones. Este tipo de interacciones
también surgen aunque el profesor no lo indique,
ya que el alumno forma parte de la situación y, por
tanto, siente la necesidad de expresarse, lo que crea
en ambos casos un momento para la argumentación
de los procedimientos.
decidí que cada equipo siguiera dando a conocer su
procedimiento e identificara si otro había tenido la
misma dificultad.
M.: entonces, el equipo Americano dice que 12, ahora
tenemos tres medidas diferentes, ¿quién creen que tenga
la razón?
Todos: nosotros.
M.: ¿por qué creen?
Raúl: nosotros.
M.: ¿por qué dicen que ustedes, Raúl? ¿Qué es lo que
hicieron? ¿Qué hizo tu equipo para sacar la medida de
un caramelo?
Raúl: lo medimos.
M.: pero ¿cómo lo midieron?
Raúl: con la regla.
M.: muéstranos cómo le hicieron.
Raúl: le medimos con la regla y le cortamos.
M.: explíquenle a sus compañeros cómo.
José: es que hasta aquí le medimos.
M.: pero ¿por qué hasta ahí? ¿Por qué juntaron todos
los pedacitos?
Raúl: para medirle.
Sonia: para medirle y cortarle lo que le sobraba.
M.: y hasta ahí, ¿cuánto sería?
Alicia: dos (se refiere a los dos enteros de caramelo).
M.: y luego de ahí, ¿qué hicieron?
José: lo medimos a la mitad.
M.: ¿y cuánto les dio?
Equipo Mexicano: diez y medio.
Otras situaciones consisten en probar una declaración
acerca del conocimiento, un resultado, una propiedad, una regla […]. La exigencia de hacer explícito
es aún mayor, ahora se ponen de manifiesto vínculos
con otras nociones, el conocimiento tiende a devenir
un objeto explícito de estudio, reconocido, nombrado
y definido (Block, 2001:32).
Al momento de preguntar a los alumnos, “¿qué
es lo que hicieron?”, logré que dieran a conocer a
sus compañeros los pasos que siguieron para sacar
la medida de su caramelo y así captar las distintas
formas de su resolución (los tres equipos utilizaron
la regla para sacar la medida del caramelo, estrategia
que era válida).
Equipo Mexicano: lo que hizo este equipo fue
juntar los cinco pedacitos de popote que les entregué,
después los midieron contra el popote completo y
cortaron lo que sobró; por último cortaron el popote a
la mitad, lo cual dio como resultado 10.5 cm. Lo que
indujo a esta cantidad es que algunos de los popotes
de 4 cm medían 1 mm o 2 mm de más, cuando lo
cortaron les dio más de 20 cm, por lo tanto consideraron que la mitad sería 10.5 cm. Este fue un error mío,
pues corté algunos popotes con algunos milímetros de
más, y fue ahí donde se presentó la confusión, pero a
pesar de ello se logró que el equipo reflexionara sobre
cómo obtener la medida de un caramelo. Para esto
Equipo Estrella: a diferencia del equipo Americano,
ellos rápidamente identificaron la solución y mencionaron que eran dos popotes y medio. Juntaron
los cinco pedacitos de popote, los midieron contra el
popote completo, se fijaron en lo que le sobraba y le
cortaron; juntaron tres popotes para así poder cortar
dos y medio en dirección al popote que habían cor­
tado, sólo que al cortarlo se pasaron un poco más y al
medirlo con la regla les dio 11 cm. Este equipo logró
identificar a la primera que eran dos popotes y medio,
22
Un recuento de lo vivido, mucho que mejorar
Esmeralda: nosotros primero medimos el popote grande
[se refiere al popote completo].
M.: ¿cuánto mide el popote grande, Esmeralda?
Esmeralda: 26 (medida real 26.5).
M.: dicen que 26. ¿Qué más hicieron, Esmeralda?
Esmeralda: juntamos los popotitos, le medimos con éste
(muestra el popote completo) y le cortamos lo que sobraba, y luego medimos tres y lo partimos a la mitad.
M.: a ver, hazlo ahí para que vean tus compañeros.
resultado que era correcto, pero al no cortar bien se
presentó el error. No lograron captar que los dos enteros de caramelo tenían que ser del mismo tamaño,
ya que ellos tenían uno más grande que el otro.
M.: el siguiente equipo, a ver, Fátima, ¿cómo le hicieron?, pongan atención, fíjense en lo que hicieron ellos.
Miguel, deja que alcancen a ver todos, vayan explicándonos lo que están haciendo.
Miguel: primero pusimos todos los popotitos así (juntaron los cinco pedacitos de popote) y los medimos a ver
si daban a la línea.
M.: ¿cuántos popotes eran?
Fátima: dos y medio.
M.: a ver lo que ustedes hicieron fue juntar…
Alicia: juntamos tres popotitos.
M.: ¿tres?
Alicia: sí.
Fátima: y luego ya le medimos hasta dónde era el
medio.
M.: ¿ya se fijaron que ellos hicieron otra cosa diferente?
Todos: sí.
M.: ¿y cuánto les dio el caramelo?
Fátima: dos y medio (popotes).
Miguel: pero en la regla nos dio 11.
M.: en la regla el caramelo mide 11, pero dicen que son
dos popotitos y medio.
Algo primordial que dejé pasar en esos momentos,
es que no realicé la devolución (el acto por el cual el
pro­fesor pasa al alumno la responsabilidad respecto a una
situación de aprendizaje, mediante cuestionamientos que
le permitan al alumno reflexionar sobre un concepto o
explicación dada) cuando Esmeralda me dijo: “y luego
medimos tres y lo partimos a la mitad”, lo que evitó
que reflexionara acerca de por qué había cortado en
dirección a los tres popotes y no en los dos y medio,
y así hacer que ella entrara en una situación de aprendizaje (situación a-didáctica), ya que el saber en juego
era encontrar la medida original de un solo caramelo.
Este tipo de cuestionamientos son algunos de los que
debí haber planteado: ¿por qué cortaste en dirección
a los tres popotitos?, ¿los dos enteros que tienes son del
mismo tamaño?, ¿qué es lo que te pide el problema?
Y como dice Chamorro (2005:76):
VALIDACIÓN, DEVOLUCIONES,
SITUACIÓN A-DIDÁCTICA, APRENDIZAJE
Equipo Americano: ellos primero decidieron medir el
popote completo, después juntar los cinco pedacitos,
midieron tres y hasta ahí le cortaron, lo que dio como
resultado 12. Este equipo logró captar que se tenían
que juntar los cinco pedacitos de caramelo para formar los dos enteros, pero no establecieron cuál era
la mitad de éste, para que los dos enteros quedaran
de una misma medida.
Para que una situación sea percibida como a-didáctica
es necesario que haya una construcción epistemológica cognitiva intencional, el alumno es entonces
el responsable de la resolución del problema que le
plantea la situación, y a él le corresponde encontrar
una solución. Se requiere que el alumno acepte el problema como su problema […]. La acción mediante
la cual el profesor busca esta aceptación por parte del
alumno recibe el nombre de devolución.
De esta cita de Chamorro se desprenden varios con­­
ceptos que van ligados entre sí, primero se crea una
situación didáctica que debe estar diseñada para
M.: a ver, y ustedes, ¿cómo le hicieron?, pongan atención.
23
entre maestr@s
transmitir un saber al alumno (saber en juego), pe­
ro quizás se pregunten, ¿cómo se puede lograr ese
aprendizaje? Es aquí donde vienen juntos el concepto
de devolución y situación a-didáctica, el maestro hace
uso de las devoluciones para que el alumno tome
su responsabilidad y entre en una situación llamada
a-didáctica, que consiste en el momento en el cual el
alumno va construyendo su propio aprendizaje a partir
de la reflexión. La situación a-didáctica debe estar
planteada de acuerdo con los conocimientos del
alumno, debe serle insuficiente lo que ya sabe (de
lo contrario no serán conocimientos que progresen
porque ya los posee), debe permitirle verificar sus
dudas, además de que él debe identificar si la estrategia empleada le permite resolver el problema, ya
que la misma situación se lo estará comunicando y
así él pueda decidir si es la efectiva y llegar al medio
de validación de la estrategia empleada.
en la situación; lograrán esto mediante la emisión de
juicios que les ayuden a aclarar dudas o confusiones
y así llegar a la reflexión que les permita saber cuál
es el resultado correcto, de lo contrario solamente
se estará dando una información que no conduce a
ningún aprendizaje.
M.: ¿quién creen que está bien?
Equipo Estrella: nosotros.
M.: dice Raúl que el de ellos.
Miguel: que la maestra califique.
M.: no, ustedes van a calificar.
Miguel: ninguno.
M.:¿por qué?
Miguel: si estuviéramos todos bien, todos tuviéramos las
mismas medidas y todos estamos mal [esta es una idea
que tiene Miguel porque los resultados presentados fueron
diferentes y considera que están mal].
M.: ¿ustedes creen eso?
Alicia: no.
M.: ¿por qué?
[no responden nada]
LA VALIDACIÓN INTERNA
¿Es cierto que hay validaciones internas? Sí, ésta
se da cuando el alumno reflexiona por sí sólo si el
procedimiento empleado es suficiente para resolver
el problema, pues la situación le informa de su decisión e identifica si tal estrategia lo llevó al resultado
correcto o no, sin necesidad de la intervención del
profesor.
Una vez que todos dieron a conocer su procedimiento,
me apoyé en los alumnos para que indicaran paso a
paso lo que habían realizado (algunos alumnos y yo íbamos representando estas acciones con los popotes).
El alumno sabe, sin necesidad de la sanción del profesor, si el procedimiento usado es correcto o no, ya
que la propia situación le informa sobre ello. Hay una
validación interna de la estrategia usada (Chamorro,
2005:74).
M.: tenemos cinco popotitos ¿verdad?, ¿entonces que
tendríamos que hacer? [los alumnos no responden nada],
¿díganme?, ¿qué representan los cinco popotitos?
Miguel: el caramelo.
M.: ¿qué tendríamos que hacer para saber cuánto es un
entero?
Miguel: juntarlos todos [aquí con ayuda de los alumnos
fui realizando lo que ellos iban diciendo].
M.: ¿y si ya los tenemos juntos todos?
Raúl: le íbamos a medir con el popote y le cortamos.
Alicia: sí.
M.: ¿quién pasa a córtalo hasta ahí?, a ver tú, Eduardo,
córtalo.
Los alumnos pueden estar acostumbrados a que el
maestro les indique en lo que están mal y decirles la
respuesta correcta; ésta no es una buena estrategia,
pues se evita que el alumno reflexione sobre sus actos,
es por ello que el maestro debe provocar un contexto
en el que se verifiquen y cuestionen todo tipo de resultados, se identifique qué es correcto o incorrecto
24
Un recuento de lo vivido, mucho que mejorar
M.: ¿cuánto sería hasta aquí? [expongo al grupo cómo
quedó el popote que cortó Eduardo]
Raúl: dos enteros.
Todos: dos enteros.
La estrategia utilizada por los niños consistió en
juntar primero los cinco pedazos de popote, después
reflexionaron que de ahí podían formar los dos enteros y para poder indicar cuánto era la medida de un
caramelo, utilizaron el popote completo para medir y
cortar lo que sobraba; enseguida, lo midieron con la
regla (establecieron que la medida era de 20 cm con
dos rayitas) y lo cortaron a la mitad lo que dio como
resultado una medida de 11 o 10.5 cm. Sólo que
no justificaron el porqué de sus resultados. Habían
establecido que los dos enteros juntos daban 20 con
dos rayitas y que la mitad de esa cantidad no podía
ser 11 o 10.5, ya que sobrepasaba la primera cantidad
al multiplicarla por dos.
Utilizar la regla implica establecer medidas muy
exactas para poder llegar a un resultado correcto, por
esta ocasión no consideré conveniente tomarlo así,
pues no existía una medida precisa para los pedazos
de popote (que deberían de ser de 4 cm), además
consideraron una cantidad (20 cm con dos rayitas)
en la que 11 o 10.5 no es la mitad.
Si el alumno da una respuesta tiene la responsabilidad de justificar por qué la obtuvo, pues para ello
elabora un procedimiento, el cual es necesario que
verifique para justificar sus acciones.
Pedazos de caramelo: 4 cm c/u
Se juntaron los pedazos de caramelo y se midieron con
un popote completo para cortar lo que sobraba.
M.: después, ¿qué hicieron para saber cuánto mide un
solo caramelo?
José: le medimos.
M.: ¿cómo le mediste?
José: con la regla.
M.: ¿quién pasa a medirle? Pásale, Miguel.
Miguel: mide 20.
M.: 20 con 4 rayitas.
Raúl: 20 con 4 rayitas.
M.: fíjate bien.
Raúl: 20 con 3 rayitas.
Eduardo: 20 y medio.
Fátima: 20 con 2 rayitas, sí, son 20 con 2 rayitas.
M.: quedamos que 20 con 2 rayitas, ¿qué sigue?
Alicia: cortarlo.
M.: ¿hasta dónde? Pongan atención, ¿qué estás haciendo?
Miguel: aquí serían los dos [señala la mitad del popote
que cortó Eduardo].
M.: ¿cuánto mide cada uno?
Miguel: 11.
Raúl: no, son 10 y medio.
Eduardo: ya lo cortó mal.
Alicia: si es cierto.
El alumno debe justificar la pertinencia y validez de
la estrategia puesta en marcha, elaborar la verificación
o prueba semántica que justifica el uso del modelo
para tratar la situación (situación de validación)
(Chamorro 2005:74).
Considero que los niños en un principio identificaron
lo que tenían que hacer para obtener la medida del
caramelo, pero era necesario establecer la medida
original de éste porque estaba dentro de la consigna.
Después de observar que los alumnos tenían la confusión de los milímetros debido a que no corté bien
algunos popotes, decidí orillarlos más a la medida, al
preguntarles cuánto media cada pedacito de popote,
aquí reflexionaron que juntos daban 20, y así dejamos
25
entre maestr@s
a un lado la dificultad de los milímetros y se guiaron
por la mitad de 20.
Como dice Chamorro (2005:74), en una si­tua­
ción de validación el medio está organizado especí­­
fi­ca­­mente de manera que el alumno debe hacer
declaraciones que se someterán a juicio de su interlo­
cutor, éste debe protestar, rechazar una justificación que
él considera falsa y probar a su vez sus afirmaciones.
Esto lo consiguió Miguel: retuvo diversas infor­
maciones, las organizó y empleó en ellas cálculos
mentales (sumó cinco veces el cuatro, y de la cantidad
que obtuvo sacó la mitad) captó así la falsedad de la
respuesta anterior y llegó a la correcta.
M.: a ver, ¿éstos cuánto miden? [se muestra el pedazo de
popote de cuatro cm]
Todos: cuatro.
M.: ¿y cuántos tenemos?
Todos: cinco.
M.: entonces juntos, ¿cuánto sería?
Alicia: [dudan al responder y no terminan de completar
la palabra] cuat..., vei…, diez… .
M.: ¿cuánto sería?, ¿qué dicen ustedes, Raúl y Sonia?
Alicia: 20.
Raúl: 20.
Fátima: maestra, están bien ellos.
Miguel: me acabo de dar cuenta que los que están bien
son ellos.
M.: a ver, pero si dicen que esto mide… [se muestra el
pedazo de popote de cuatro cm].
Todos: cuatro.
M.: ¿y cuántos tenemos?
Todos: cinco.
M.: entonces, ¿cuánto sería?
Todos: 20.
M.: ¿y eso qué nos representa?
Eduardo: los caramelos.
M.: ¿cuántos?
Alicia: 20.
M.: los 20 ¿cuántos caramelos nos están representando?
Alicia: dos.
M.: entonces, ¿cuánto mediría uno?
Raúl: 10.
Miguel: 10 y medio.
M.: a ver ustedes digan, 10 o 10 y medio?
Miguel: 10 y medio.
Alicia: 10.
Raúl: mide 20 y a la mitad son 10.
M.: a ver, vamos a dejar claro esto, dice Raúl que son 10
y Miguel 10 y medio, ¿quién creen que tenga la razón?
Miguel: son 10 y medio porque tenemos que partir la
mitad de uno para que se ajusten los dos caramelos.
M.: pero ¿cuánto miden los dos caramelos?
Miguel: 10 y medio.
M.: ¿los dos caramelos?
Miguel: 20.
M.: ¿y de ahí qué tiene que hacer?
Miguel: partirlo a la mitad.
M.: ¿y cuánto sería?
Miguel: [silencio] no, si son 10, si son 20 y los partimos
a la mitad son 10.
M.: entonces, ¿cuánto mide cada caramelo?
Todos: son 10.
Enfocar la atención de los niños en que juntaran todos los pedacitos de caramelo para que obtuvieran la
medida total, fue conveniente porque ya sabían que
cada pedazo medía 4 cm, y así sacarían la mitad de
esta cantidad; para conseguirlo, tuvieron que hacer un
cálculo mental lo que les permitió llegar al resultado
correcto. Miguel fue el único que no llegó a esa reflexión, pensó que la respuesta correcta era la de Raúl
(10 y medio), no estaba captando el procedimiento
que se había seguido.
Sin duda la validación es un proceso en el que intervienen varios factores: el alumno, el maestro y el
saber que está en juego. Cada uno tiene un papel
relevante en la progresión de los conocimientos hasta
convertirse en un saber. @
26
Un recuento de lo vivido, mucho que mejorar
BIBLIOGRAFÍA
de las Matemáticas para primaria. España: Pearson
Prentice-Hall.
Panizza, Mabel (2003). Conceptos básicos de la teoría de
situaciones didácticas. En: Enseñar matemática en
el nivel inicial y el primer ciclo. Análisis y propuestas.
Buenos Aires: Paidós.
Block, David (1987). Estudio Didáctico sobre la enseñanza
y el aprendizaje de la noción de fracción en la escuela
primaria. Tesis de Maestría. México: die-Cinvestav.
Chamorro, Ma. del Carmen (2005). Herramientas de
análisis en didáctica de las Matemáticas. En: Didáctica
Un recuento de lo vivido,
mucho que mejorar
tré el entero de 10 cm x 3 cm], entonces a cada niño
le tocó un pedazo de éste tamaño [mostré el pedazo de
6 cm x 3 cm]. Se requiere saber, ¿cuántos chocolates se
repartieron y ¿cuántos niños eran?
Alumnos: ¿cómo?
M.: van a encontrar, ¿cuántos chocolates compraron? y,
¿cuántos niños eran?, voy a repartirles estas copias en las
que viene escrito el problema, para que lo hagan.
Alumnos.: ¿una copia nada más?
M.: bueno, una para cada uno, pero todos van a trabajar. Roberto, ¿entendiste lo que vas hacer? ¿me puedes
decir?
Roberto: ah… va a dar una hoja para contestar.
M.: ¿de qué trata el problema?
Roberto: de repartir chocolates.
M.: guarden silencio, ¿de qué chocolates?
Roberto: vamos a repartir chocolates a niños.
Ma. Rosa Ana Arechar Ruiz*
A continuación describiré una situación didáctica
de matemáticas que apliqué con 18 alumnos de sexto
grado. Al elegir esta situación lo hice pensando en
que iba a resultar un reto muy interesante para los
alumnos. Tenía todas mis esperanzas en que después
de esta clase ellos se independizarían más y no esperarían que el profesor les diera las herramientas o
respuestas a todo. Esta situación didáctica consiste en
hacer repartos de chocolates, pero no se sabe cuántos
chocolates se repartieron ni entre cuántos niños. La
solución consiste en descubrir esas dos incógnitas
(Block, 1987).
Organicé al grupo en cuatro equipos de cuatro
personas para dar la consigna, con el propósito de que
los alumnos la comprendieran mejor y que a la hora
de acomodarse en equipos no se les olvidara.
Comencé a repartir el material a cada equipo (tiras de
cartón que representan los enteros de chocolate y
el pedazo que tocó a cada niño) y les indiqué que ya
empezaran a resolver el problema, pues según ellos,
ya tenían todo bien claro.
Me encuentro en un gran dilema, ya que, por
una parte, considero que la situación didáctica hubiera resultado mejor si en lugar de explicar el problema
a los alumnos sólo les hubiera entregado la hoja en
la que venía impreso dicho problema y hubiera de­ja­
do que ellos lo interpretaran y lo solucionaran como
pudieran y, por otra, creo que estuvo bien, pues si no
les hubiera explicado se habrían enfrentado a una gran
Maestra (M): a ver, pongan atención, van a realizar dos
problemas uno primero y enseguida el otro, el primero
trata de que algunos niños fueron a la tienda a comprar
chocolates, compraron varios y eran de este tamaño [mos­
—————————————
* Alumna de la Normal de San Marcos, Loreto, Zacatecas.
27
entre maestr@s
confusión y habrían estado preguntando
continuamente qué es lo que harían.
Muchas veces el alumno con sus constantes intervenciones en las que pregunta:
“maestra, ¿qué vamos hacer?, ¿cómo se le
hace?, ¿vamos hacer una multiplicación
o división para resolver el problema?”,
etc., origina que el profesor se desespere
y se produzca el efecto “topaze”, el cual
consiste en que:
El maestro propone de forma explícita
cuestiones al alumno, pero es él quien
toma a su cargo, bajo su responsabilidad,
lo esencial del trabajo. Si el alumno
fracasa, en un afán de ocultar la incapacidad de éste para encontrar la respuesta,
el enseñante negocia una respuesta a la
baja; para ello, añade sucesivamente
informaciones suplementarias reductoras de sentido, indicios que le ayuden a
encontrar la respuesta, y así hasta que
ésta se produce. El resultado es que la
respuesta del alumno, aunque sea correcta, se encuentra desprovista de todo sentido, y ello porque esa negociación del
contrato didáctico priva al alumno de
las condiciones necesarias e inherentes
a la comprensión y aprendizaje de la noción perseguida (Chamorro, 2003:91).
Mientras
algunos alumnos
trataban de
me hubieran estado preguntando al mismo
tiempo y se hubiera hecho un gran desorden en el salón, por eso es muy importante
que antes de que se dé la consigna el profesor se cerciore de que está acaparando la
atención de los alumnos.
Mientras algunos alumnos trataban
de aportar ideas a sus compañeros de equi­
po, yo pasaba por sus lugares para poder
entender lo que estaban realizando. En
uno de los equipos ponían cuatro tiras
de chocolates y arriba de ellas seis tiras de
pedazos de chocolates y comentaban “Es
que ya no cabe otro pedazo, ¿cómo le ha­
cemos?”, en el equipo de Roberto sólo estaban leyendo el problema y comentaban
entre ellos cómo podrían saber cuántos
chocolates y niños eran.
aportar ideas a
sus compañeros
de equipo, yo
pasaba por sus
lugares para
poder entender
lo que estaban
realizando
En cuanto a la devolución de la consigna
creo que funcionó debido a que cuando la
di algunos alumnos no pusieron atención
y, mediante la devolución de ésta (M.: Roberto, ¿entendiste lo que vas hacer?), me pude
dar cuenta de que Roberto y sus compañeros habían comprendido la tarea a realizar.
Estoy segura de que si no hubiera hecho la
devolución de la consigna los alumnos no
hubieran realizado nada, todos los equipos
28
Equipo de Abel
Abel: mire, maestra, el pedazo que le tocó
a cada niño era de seis cm y los chocolates
de 10 cm, entonces pongo tres tiras de
éstas [tiras de 10 cm] y dos de éstas [tiras
de 6 cm].
M.: no, yo no sé cuántas vayan a utilizar,
ustedes deben de encontrar la solución.
Pueden hacer dibujos, operaciones y cuando crean que ya encontraron la respuesta
del problema vuelvan a revisarla para que
estén completamente seguros.
[Abel intentaba resolver el problema po­
niendo tres tiras de los enteros y arriba los
pedazos de chocolates que le tocaban a cada
niño, Horacio, uno de los integrantes de
este equipo decía “sólo pon dos” y Lorena
objetaba].
Lorena: no, pero ¿por qué sólo dos?
Abel: miren, lo que le va a tocar a cada
niño [indica el pedazo de 6 cm].
Horacio: sí, de 6 cm.
Un recuento de lo vivido, mucho que mejorar
LOS ARGUMENTOS
O PRUEBAS DE LOS ALUMNOS
Como me di cuenta de que tres equipos ya habían
terminado comencé con la validación y para esto
seleccioné a dos alumnos de cada equipo para que
pasaran al pizarrón a exponer sus resultados, obviamente, primero pasé a los alumnos del equipo
que no resolvió el problema. Y digo obviamente,
ya que no iba a pasar primero a los equipos que
sí lo­gra­ron obtener el resultado, pues esto hubiera
provocado que no se validara bien y que los alumnos del equipo que no pudo resolver el problema
no hubieran querido pasar a exponer lo que habían
hecho, porque hubieran pensado de inmediato que
la respuesta que habían dado sus compañeros era la
correcta.
Abel: ¡ah, ya sé!, debemos colocar cinco pedazos de 6 cm.
Horacio: y ¿por qué cinco?
Abel: porque cinco quedan exactas y seis por cinco es
igual a 30.
M.: ¿ya terminaron?
Abel: sí.
M.: ¿ya están bien seguros?
Aumnos: sí.
M.: ¿por qué?
Abel: es que éste mide 6 cm y éste 10 cm, entonces, hago
una multiplicación de éste [señalando un entero de chocolates] por tres y éste [pedazo que le toco a cada niño]
por cinco y dan la misma cantidad, o sea, 30.
10 x 3 = 30 tres chocolates
6 x 5 = 30
cinco niños
Lorena: ya estamos seguros que está bien.
M.: entonces, esperen un momento mientras terminan
los otros equipos.
M.: ¿cómo lo resolvieron?
Roberto: no pudimos resolverlo.
M.:¿qué es lo que hicieron?, represéntelo en el pizarrón.
[Intentaron dibujar los enteros de chocolates, pero no
sabían cuántos dibujar, Carlos decía: se repartieron
cua­tro chocolates a ocho niños].
Equipo de Roberto
En este equipo no logré hacer comprender a los alumnos de que debían encontrar la solución al problema,
pues están muy acostumbrados a que su profesor les dé
el resultado de todo y no los deje trabajar so­los. Desafortunadamente no pudieron resolver el problema, por
más que hicieron tanteos con las tiras no lo lograron y
en varias ocasiones les comenté que reflexionaran bien,
que sí podían. Durante las devoluciones (M.: ¿ya están
completamente seguros?, ¿por qué así? Alumnos: ¿estamos
bien?), los alumnos analizaron más a fondo su resultado
y tres equipos sí lograron el propósito de la situación
didáctica, el cual era que mediante sus errores analizaran mejor el problema y llegaran a la solución.
Una de las formas como podemos atender las
preguntas del alumno es mediante la devolución,
haciéndole sentir a éste la responsabilidad de construir
su propio conocimiento, dando lugar a la situación
a-didáctica, en la que el alumno por sí solo debe bus­
car los medios para lograr obtener un resultado y que
se haga responsable de éste para que no caiga en la
respuesta que el maestro quiere escuchar.
chocolate
chocolate
chocolate
chocolate
M.: eso que están dibujando, ¿qué es?
Carlos: los chocolates.
M.:¿cuántos son? Y entre, ¿cuántos niños se repartieron?
Carlos: son cuatro chocolates para ocho niños.
M.: ¿por qué los repartieron a la mitad?
Roberto y Carlos: ah… no… sabe.
M.: a ver, los demás equipos qué opinan, ¿creen que
ellos están bien?
Alumnos: no.
M.:¿por qué?
Enedelia: porque no son cuatro chocolates, son tres y se
repartieron a cinco niños.
Alumnos: sí, así es.
M.: de este equipo pasen ustedes dos [equipo de Abel].
29
entre maestr@s
Equipo de Abel
Lorena: nosotros decimos que eran tres chocolates para
cinco niños.
M.: ¿por qué?
Horacio: porque en tres tiras de chocolates cupieron cinco
tiras de pedazos que le toca a cada niño.
Ma.: ¿exactamente?
Alumnos: sí.
M.: ¡pasen al pizarrón a escribir lo que hicieron en su
hoja!
[Pusieron tres tiras de 10 cm x 3 cm –enteros de
chocolates– y encima de éstos cinco tiras de 6 cm x 3 cm
Para el segundo problema repartí a cada equipo cinco
tiras de 8 cm x 3 cm (pedazo que le tocó a cada niño) e
indiqué que usaran las ocho tiras de 6 cm x 3 cm, éstas
serían los enteros de chocolates. Como los alumnos
ya tenían la experiencia de cómo resolver el problema ya no tuvieron tanta dificultad esta vez.
En el equipo de Abel comenzaron buscando
equivalencias entre los chocolates y los niños, mientras que los otros equipos intentaban resolverlo como
el primero, por estimación. Como era de suponerse,
este problema lo terminaron más rápido que el anterior, pero el equipo que no pudo resolver el primer
problema tampoco pudo con éste. Todo se debió a
que desde el primer problema no comprendieron bien
la consigna y esto provocó que durante la situación
didáctica no pudieran hacer nada. Esto es un claro
ejemplo de que si los alumnos no comprenden bien
la consigna no podrán resolver con éxito la actividad
que se les ha puesto.
–pedazo que le tocó a cada niño.]
M.: ¿cómo supieron que sólo debían utilizar tres tiras
de chocolates?
Abel: es que primero decidimos multiplicar 10 que era
lo que medía un chocolate por dos, dio como resultado
20 y buscamos un número que multiplicado por seis
diera 20, no lo encontramos, entonces multiplicamos
10 por tres igual a 30 y buscamos un número que multiplicado por seis diera 30 y encontramos el cinco. Así
pensamos que eran tres chocolates para cinco niños y con
las tiras vimos que sí estábamos bien.
SORPRESA Y DESENCANTO
Decidí realizar la validación del segundo problema,
pasando a dos alumnos del tan polémico equipo.
Como dice Chamorro “la validación tiene como
objeto poner de manifiesto las pruebas empíricas o
implícitas que han funcionado en el ámbito de la
acción o con motivo de la formulación” (Chamorro,
2003:79).
Me di cuenta de que sólo el equipo de Abel
usó las tiras de cartón para verificar su resultado, ya
que ellos razonaron bien el problema, hicieron operaciones y luego verificaron con las tiras. Los otros
equipos sólo se limitaron a encontrar la solución por
medio de cuántas tiras chicas caben en las grandes
(procedimientos empíricos).
M.: ¿cuál fue su resultado?
Miriam: que eran cuatro barras de chocolates repartidas
entre tres niños.
[En ese momento yo me quedé sorprendida, porque
sí lo habían podido resolver, no lo podía creer, era demasiado bello para ser verdad.]
M.: ah, ¿sí?, ¿cómo le hicieron?
Carlos: ah… pero sí está bien, ¿verdad?
M.: pues díganme ¿cómo le hicieron para sacar ese
resultado?
Miriam: maestra es que el profe nos dijo que eran cuatro
chocolates para tres niños.
[Sí, así sucedió, yo no podía creer que el profesor titular piense que es mejor decirles el resultado sin que ellos
lo descubran por sí solos, mínimo les hubiera explicado
el porqué de ese resultado, yo no supe cómo reaccionar
hice lo siguiente.]
M.: ahora van a realizar el segundo problema, es parecido al primero, pero con diferentes tamaños de chocolates
y pedazos que le tocó a cada niño.
30
Un recuento de lo vivido, mucho que mejorar
M.: ah, ¿entonces nada más porque el profe les dio esa
respuesta ya está bien?
Miriam: pues él es maestro también, ¿no?
M.: sí, pero ¿qué tal que sólo quería probar si se equivocaban?
Abel: maestra, pero nosotros también tenemos ese mismo
resultado.
M.: y, ¿están bien seguros que está bien su resultado?
Abel: sí, ¿ya paso a explicarlo?
M.: bueno, pásale.
Lo que hizo Abel:
6 x 4 = 24 compraron cuatro chocolates
Miriam: pero ya entendimos cómo era.
M.: si todos hubieran hecho operaciones como el equipo
de Abel, se les habría hecho más fácil el problema.
M.: ¿alguien tiene alguna duda?
Alumnos: no.
Así fue como terminé de aplicar esta situación didáctica. Los alumnos exploraron otra forma de estudiar
las fracciones y resolvieron problemas en momentos
a-didácticos. @
BIBLIOGRAFÍA
Block, David (1987). Estudio didáctico sobre la enseñanza
y el aprendizaje de la noción de fracción en la escuela
primaria. México: die-Cinvestav.
Brousseau, Guy (1993). Fundamentos y métodos de la
didáctica de las Matemáticas. En: Sánchez, E. (edit.).
Lecturas en didáctica de las Matemáticas: Escuela francesa. México: die-Cinvestav.
Centeno, Julia (1997). Relación con el saber: las situaciones
didácticas. En: Números Decimales ¿Por qué? ¿Para
qué? Madrid: Síntesis.
Chamorro, Ma. del Carmen (coord.) (2003). Didáctica de
las Matemáticas. Primaria. Madrid: Pearson,
Jacobo, Javier (2008). Importancia de resolver problemas
matemáticos y el apoyo de los medios de enseñanza.
En: Aprendiendo a enseñar. La construcción del saber
matemático en el aula. Lizarde Flores, Eugenio (coord.).
México: Normal de San Marcos.
8 x 3 = 24 repartidos en tres niños
M.: los demás equipos qué dicen, ¿lo tienen igual?
Alumnos: sí.
Ya no se hizo necesario pasar a los otros dos equipos
debido a que sus respuestas y procedimientos eran
los mismos. Entonces decidí institucionalizar, esta
fase consiste en que el profesor dice al alumno lo
que constituye el saber en juego, es decir, el profesor
sintetiza o concluye y verifica que el alumno haya
comprendido bien.
M.: entonces todos los equipos que tenían como respuesta
del primer problema que tres chocolates se repartieron
entre cinco niños estuvieron bien. Como se pudieron dar
cuenta, el equipo de Abel verificó el resultado repre­
sentándolo en el pizarrón y en el segundo problema,
efectivamente, son cuatro barras de chocolates repartidas
entre tres niños.
Abel: maestra, pregúntele al equipo de Roberto si ya le
entendieron.
M.: Miriam, bueno todos los del equipo, díganme por
qué no pudieron resolver el problema.
Carlos: porque nosotros pensamos que se deberían de
utilizar todas las tiras.
M.: pero desde un principio les expliqué que les repartí
cierta cantidad por si necesitaban más tiras, pues no les
iba a dar exactamente la cantidad con que se resolvía
el problema.
31
Actividades comunitarias
que favorecen el aprendizaje de las
Matemáticas del nivel básico
de primaria en el estado de Oaxaca
Alberto Díaz Acevedo*
[email protected]
CARACTERIZACIÓN DEL ENTORNO
L os profesores de educación primaria que laboran en el estado de Oaxaca, desarrollan sus
actividades escolares en una entidad pluriétnica, “el total de habitantes es de 3 millones 438 mil
765 habitantes y casi 2 millones son indígenas, lo cual indica que de cada 10 oaxaqueños 6
pertenecen a un grupo indígena; de éstos, la población de hablantes de una lengua indígena mayores de 5 años es de 1 millón 64 mil 857 lo que da una proporción de 30.96 por ciento”.1
En este ambiente de trabajo, el profesor tiene que favorecer en sus alumnos el aprendizaje de los contenidos que el plan de estudios propone, en particular, los conocimientos de
Matemáticas, respecto a los cuales tiene que considerar: el contenido matemático a tratar, el
cómo llevarlo a cabo, quiénes van a apropiarse de ese contenido y las condiciones del contexto
en el que se realiza esta actividad.
Los contenidos matemáticos escolares se encuentran distribuidos en los seis grados que conforman la escolaridad del nivel básico de primaria, se agrupan de acuerdo con sus caracte­rísticas
en seis ejes temáticos, con grados crecientes de complejidad que se aplican a todos los niños
del país. El enfoque metodológico del aprendizaje propone que estos contenidos matemáticos se
lleven a cabo a través de situaciones problemáticas propias de las actividades de los niños en su
vida cotidiana, con el objeto de que cada situación les permita relacionar diferentes contenidos,
ejes temáticos o de otras asignaturas y, así, sean de su interés.
Si bien es cierto que interesa que el alumno adquiera los conocimientos de Matemáticas propios de cada grado, importa sobre manera que desarrolle a lo largo de la educación
* Maestro en Educación. Asesor en el área de Matemáticas de la Unidad 201 de la upn Oaxaca, Oaxaca.
1
Datos estadísticos proporcionados por Inegi Oaxaca. Abril de 2004.
32
Actividades comunitarias que favorecen el aprendizaje de las Matemáticas
básica habilidades intelectuales a través de la resolución
de problemas, al llevar a cabo procesos en los que tenga
que poner a prueba sus diferentes conocimientos, saberes,
procedimientos y estrategias, y contrastarlos con los de
sus compañeros, reorganizarlos, y, de esta manera, acceder
al conocimiento matemático formal. Por ello, es necesario conocer al sujeto que aprende. Desde esta perspectiva
de aprendizaje, el docente debe llevar a cabo su actividad
tomando en cuenta las características, intereses y necesidades del niño propias de su edad, la forma en que
socializa con sus compañeros de juegos de su comunidad,
de su escuela –sin descuidar su lengua materna ni la visión
que los padres tienen de esas relaciones entre niños y niñas–, así como éstos se integran a las actividades sociales
y económicas que sus padres realizan para convivir en el
contexto comunitario de este ambiente. El docente tiene
que considerar que las acciones que lleven a cabo los
niños les permitirá ir construyendo sus conocimientos,
relacionando la forma en que conciben el mundo con
la naturaleza, sus creencias, reglas de conducta para la
convivencia, trabajo individual y comunitario (tequio)
y, en particular con sus juegos, en los términos que el
programa escolar propone.
LA INTERRELACIÓN DE ESOS SABERES
EN LA PRÁCTICA DOCENTE
En esta complejidad de haceres y saberes, los docentes
de primaria deben poseer los conocimientos matemáticos
que, sin ser pretenciosos, cubran de manera elemental y
suficiente los contenidos que se contemplan en el plan de
estudios para Matemáticas; los conocimientos de algunas
teorías y corrientes pedagógicas que hagan factible el
enfoque metodológico que subyace en el programa escolar
–en la demanda de la construcción del conocimiento–,
así como un conocimiento del niño para considerar sus
características, intereses y necesidades. Por otra parte, es
importante conocer el contexto en el que labora para que
se consideren los conocimientos, saberes e ideas matemáticas que están implícitos en las diferentes actividades que
los niños realizan en sus quehaceres cotidianos y adecuar
sus actividades escolares a éstos.
33
Los profesores de educación primaria en
el estado de Oaxaca, desarrollan sus actividades escolares en una entidad pluriétnica. En este ámbito, el profesor tiene que
favorecer en sus alumnos el aprendizaje,
en este caso, de Matemáticas.
De uno de estos contextos se recopilan actividades económicas coincidentes
con las actividades universales que,
se­gún Bishop, generan conocimientos
matemáticos. En este artículo, se hacen
las analogías correspondientes proponiendo la correlación y adecuación de
ellas a los contenidos curriculares del
nivel escolar para que el niño realice ac­
ciones que propicien el conocimiento de
esta disciplina.
Palabras clave: educación primaria, contenidos matemáticos, resolución de problemas matemáticos, contexto, actividades
universales, habilidades, valores, entidad
pluriétnica.
uuuuu
Teachers of primary education in Oaxaca unfold their scholar activities in a
pluri-ethnic situation, in which they
have to help their students’ learning, in
particular of mathematics. From one of
these contexts, some economic activities
were compiled that coincide with the
universal activities expounded by Bishop
to generate mathematical knowledge. In
this paper the respective analogies are
made, propounding their correlation and
adaptation with curricular contents for
the level, intended for the child to carry
out actions which propitiate knowledge
in this subject matter.
entre maestr@s
UN PUNTO DE VISTA
PARA ABORDAR
ESTA INTERRELACIÓN
DE SABERES
Al considerar lo que Bishop (1999,
cap. 2) plantea, las ideas matemá­
ticas son productos de diversos procesos que nos permiten comprender
mejor las raíces del pensamiento
matemático, se tiene en cuenta que
estas ideas se desarrollan a través
de seis actividades universales que
son: localizar, medir, contar, jugar,
diseñar y explicar.
En este escrito se presenta un
breve comentario de cada una de
estas actividades en el contexto del
trabajo que realizó Sofía Gómez2
con los niños de la comunidad de
Las Flores, Tilantongo, agencia y
municipio de la región mixteca.
Estos niños participan en las actividades económicas de sus padres,
las cuales se pueden relacionar
con la metodología y los contenidos matemáticos del programa
escolar de primaria.
Localizar
Bishop refiere que todas las sociedades han desarrollado métodos
más o menos sofisticados para
codificar y simbolizar su entorno,
desde un espacio físico o espacio
de objetos, espacio sociogeográ-
Las actividades
que los niños
de Las Flores
realizan al
internarse al cerro
con sus padres
para el corte de
palmas (material
que comercializan
y usan para
el diseño de
sus diferentes
artesanías), les
permite elaborar
un mapa mental
de la forma de
su espacio, para
lo cual buscan
la roca, el árbol,
la vereda, que
les indiquen el
lugar en el que se
encuentran
2
Parte de este relato se encuentra en el
referente contextual de su propuesta pedagógica que con motivo de titulación llevó
a cabo con los niños de la escuela donde
laboró, perteneciente a la comunidad de
Las Flores, Tilantongo.
34
fico y cosmológico; sin embargo,
muchas culturas se refieren al Sol,
la Luna o la Tierra destacando los
aspectos topográficos del entorno
y todas lo hacen mediante los mismos métodos básicos para obtener
conocimiento y comprensión; es
decir, manipulando la materia, observando, caminando hacia delante, atrás, girando o desarrollando
diversas acciones, de acuerdo con
sus maneras específicas de representar el mundo.
Las actividades que los niños
de Las Flores realizan al internarse
en el cerro con sus padres para el
corte de palmas (material que comercializan y usan para el diseño
de sus diferentes artesanías), les
permite elaborar un mapa mental
de la forma de su espacio, para
lo cual buscan la roca, el árbol, la
vereda, que les indiquen el lugar
en el que se encuentran y desde
ahí tomar decisiones respecto a los
diferentes problemas que su actividad les demanda, estimando distancias, calculando la hora por la
sombra que proyectan los ár­boles,
los riscos u otros referentes.
Este conocimiento puede servir como recurso para desarrollar
algunos de los contenidos de ubicación espacial que se encuentran
contemplados en el eje de geometría
del programa escolar y que se lo­ca­
lizan en los seis grados de la educación primaria, entre algunos de
ellos se encuentran: “ubicación
del alumno en relación con su en­
torno”, “recorridos tomando en
Actividades comunitarias que favorecen el aprendizaje de las Matemáticas
cuen­ta puntos de referencia”, de
ahí se deriva la “introducción a la
representación de desplazamientos
sobre el plano”, “observación y
re­presentación de objetos desde
diversas perspectivas”, etcétera.
Dicha actividad es signifi­ca­
tiva para los niños por ser parte
de sus vivencias, además de que se
construye en la acción por ser un
problema real que el niño enfrenta
en sus labores cotidianas, lo cual
genera habilidades mentales como
la imaginación espacial, el cálculo
mental, la estimación de distancias
propias de la medición, así, es un
conocimiento útil para su vida pre­
sente y futura.
De aquí que el profesor, al
conocer la forma en que los niños
estructuran el espacio, puede partir
de esa percepción para diseñar actividades que permitan al alumno
ubicarse con su entorno más inmediato como puede ser el de su casa
a la escuela, la casa de cualquiera de
sus compañeros respecto a la suya
u otros referentes; determinar la
cercanía o lejanía con esos relativos; construir estructuras visuales
geométricas y un razonamiento
abstracto. Para ello, el educador
modificará sus actividades progresivamente de acuerdo con el grado
escolar del educando, apoyándose
en el empirismo para arribar a un
conocimiento geométrico formal.
ideas matemáticas, su objetivo es
comparar, ordenar y cuantificar.
Aunque en todas las culturas se
realiza la medición, no todas uti­
lizan las mismas unidades de me­
dida, por lo que advierte tener
cuidado de no dejarnos influenciar
por nuestros propios sistemas de
medición, pues es posible que en
otras culturas no existan unidades
similares a las nuestras.
Los niños de Tilantongo, separan las palmas en secas y verdes,
en claras y obscuras; las comparan
de acuerdo con su longitud, esto
es, palmas largas, menos largas y
cortas, la clasificación que llevan
a cabo está en función de su uso y
su comercialización.
Estas actividades pueden ser
de gran utilidad para abordar con­
tenidos matemáticos que se encuen­
tran en el eje de medición de los
programas escolares, específica-
Medir
De acuerdo con Bishop, esta acti­
vidad es útil para el desarrollo de
35
entre maestr@s
mente en los dos primeros grados
de escolaridad, tales contenidos son:
“comparación de longitudes, de forma
directa y utilizando un intermediario”,
“medición de longitudes utilizando
unidades de medidas arbitrarias”, pa­
ra que en un momento posterior se
pueda introducir el uso de la regla
graduada como instrumento de medida institucionalizado en un contexto
más amplio.
Estas acciones comunitarias, adecuadas y secuenciadas a los contenidos
programáticos a través de la resolución
de problemas, generan habilidades
del pensamiento como la clasificación
y seriación, con lo que se establece la
comparación de longitudes, relación de
orden entre magnitudes lineales y que
son el antecedente al conocimiento
de los instrumentos de medida institucionalizados.
El profesor, con base en las ac­
ti­vidades de los niños, como es el
caso aquí referido, puede favorecer
el desplazamiento del alumno de un
nivel real al inmediatamente próximo
mediante la organización de las actividades de aprendizaje que diseñe,
comparando magnitudes lineales a
través de una unidad de medida que
en un primer momento puede ser arbitraria para llegar a la cuantificación
del resultado de la medición.
Contar
Según Bishop, existe toda una gama
de técnicas de conteo y diferentes sis­
temas de numeración que muestran
similitudes y diferencias, por ejem­plo,
se cuenta con las partes del cuerpo y
36
con otros recursos, con sím­bolos y
bases diferentes, como las mixtas que
emplean agrupaciones de cinco a 20,
con nombres de números compuestos.
Es esta una actividad que está estimulada por los procesos cognitivos de
clasificar y buscar pautas que varían
en función de la necesidad relacionada
con el entorno físico y social y con
la complejidad creciente de las sociedades, por este hecho, los sistemas
numéricos cada vez se vuelven más
complejos.
Los procesos de conteo que considera Bishop están presentes en las
actividades de estos niños al ordenar
y comparar sus palmas de mayor a
menor; al cuantificarlas si tienen más
o menos de unas u otras de acuerdo
con su longitud, textura o color; en
el con­teo que hacen para hacer agrupamientos en manos, manojos y cargas,
esto es, una mano consta de cinco
palmas, en este caso pareciera que los
agrupamientos se harán de cinco en
cinco; sin embargo, al tener 20 manos éstas forman un manojo de 100
palmas, situación que no considera
como regularidad del primer agrupamiento de cinco; al reunir 10 manojos
forman una carga, la cual contiene
1,000 palmas.
Contar es una actividad relacionada con las necesidades del entorno
y está estimulada por los procesos de:
clasificación, cuantificación, ordenamiento, conteo oral, comparación,
seriación, correspondencia, agrupamiento, desagrupamiento y cardinalidad. Procesos de razonamiento que
están presentes en la secuenciación de
Actividades comunitarias que favorecen el aprendizaje de las Matemáticas
los contenidos en el programa escolar
de primero a sexto grado en el eje te­
mático de los números sus relaciones y
sus operaciones.
En nuestro caso, los niños parten
de la resolución de problemas concretos de las actividades económicas de
su entorno. El diálogo, la interacción
y la confrontación de puntos de vista
se dan con sus padres que ayudan sin
pretenderlo en la construcción del conocimiento. Esas actividades generan
habilidades mentales de clasificación,
seriación, cálculo mental, estimación
y orden, entre otras. Gracias a esto, el
profesor, de acuerdo con los contextos
áulico y co­munitario, puede fomentar
el trabajo consciente e intencional de
los alumnos con la ayuda de materiales
manejables en el aula que posean el
fundamento del desarrollo lógico del
número, así como el trabajo en equi­po
y con todo el grupo que permita estimular el diálogo, sus interac­ciones, sus
diferentes procedimientos y estrategias
para la consecución de los propósitos
propuestos.
Jugar
En esta actividad, Bishop refiere que el
juego se realiza con interés, por gusto,
es libre, no constituye una obligación,
los participantes se someten a los roles
o reglas del juego de manera voluntaria, por lo cual resulta ser un recurso
ideal para hacer que los estudiantes
aprendan jugando porque la acción y
el significado se pueden separar y dar
origen al pensamiento abstracto.
El juego en el contexto de referen­
cia es de gran importancia, pues los
Los niños, en el juego
con sus animales de
juguete, imaginan
que son dueños
de yuntas y que aran
sus tierras; utilizando
determinados espacios
dentro del entorno
de su juego surcan
la tierra y muchas
veces hacen apuestas
para ver quién
será el que haga
los surcos más
derechitos
37
entre maestr@s
Diseñar
Según Bishop, las actividades de diseño se refieren a la
tecnología, los artefactos y los objetos manufacturados
que todas las culturas crean para su vida doméstica,
para el comercio, como adorno, para jugar y con otros
fines. El diseño consiste en gran medida en abstraer
una forma del entorno natural. Lo que es importante
para nosotros en la educación matemática es el plan,
la estructura, la forma imaginada, la relación espacial
percibida entre objeto y propósito, la forma abstracta
y el proceso de abstracción.
El diseño de los objetos que los niños de Las
Flores elaboran, les ofrece la posibilidad de imaginar
formas, cuerpos y figuras del entorno. Cuando las formas se conciben, se realizan y diseñan, se proyectan
conocimientos que están en relación con la realidad;
para el mismo diseño es importante la distribución y
el número de palmas y las figuras con que se muestran
ciertas alegorías en ellas.
Esta actividad es bastante rica y permite enlazar
diferentes ejes temáticos de los programas escolares,
como los de: medición, geometría, los números, sus
relaciones y operaciones; además, abre la posibilidad
de establecer la relación con otras asignaturas, por
ejemplo, Español, Ciencias Naturales y Educación
Artística, lo que contribuye a que los niños vean todas
las cosas de una forma globalizada, una forma propia
de su concepción.
El profesor, aprovechando las experiencias de
los niños, puede guiar el conocimiento informal
que les proporciona los animales que elaboran, al
considerar las características de los mismos, el tamaño
en relación con la realidad y, dependiendo del grado
escolar, los conocimientos formales de proporcionalidad, pues los niños están familiarizados con: rombos,
triángulos y grecas, lo que ofrece elementos para
el descubrimiento de algunas propiedades de estas
figuras, entre las que se encuentran el paralelismo,
la perpendicularidad, la simetría, los ángulos, etc. El
hecho de elaborar sus juguetes no sólo para el juego
sino también para el comercio, permite abordar el
niños no sólo se dedican a la acción y a los roles pro­
pios de las reglas que la actividad les indique, sino
que en ello está presente la recreación del diseño de su
objeto de juego, mismo que reproducen en los seres
y objetos del entorno como los diferentes “animales”,
“panales” y “tragadedos” que los niños de Tilantongo
realizan.
Los niños en el juego con sus animales de juguete,
imaginan que son dueños de yuntas y que aran sus
tierras; utilizando determinados espacios dentro del
entorno de su juego surcan la tierra y muchas veces
hacen apuestas para ver quién será el que haga los
surcos más derechitos; con los animales que elaboran,
platican tal como sus padres muchas veces lo hacen
en sus labores cotidianas; en cuanto a los panales,
simulan que éstos son reales y que tienen que quemar
ciertos arbustos que producen humo para ahuyentar a
las avispas y no puedan comerse la miel que éstos
contengan (algunos niños imaginan ser las avispas y
pellizcan a los que tratan de destruir su panal); los
“tragadedos” los ocupan para hacerse travesuras entre
ellos, pues al meter el dedo en el objeto y jalarlo no
es tan fácil que puedan zafarse de él.
El juego en estos niños contribuye al trabajo colaborativo con sus compañeros, así como al respeto de
las reglas, con lo cual se establece un orden; también
el juego promueve la imaginación, conduce a ideas de
paralelismo, área, conteo, entre las que se promueven
habilidades del pensamiento como: estimar, imaginar,
y se fomentan valores acerca del cuidado de la naturaleza, entre otras.
Por ello, el profesor en los diseños de sus estrategias puede considerar este recurso como el motor
que dinamice su práctica docente, ya que los niños
lo realizan con entusiasmo y asumen las reglas que las
acciones demanden para llevarlo a cabo; sin embargo,
el juego por sí mismo no tendría la trascendencia debida en la acción docente si éste no es acorde en sus
reglas con el contenido matemático que se pretenda
favorecer, el propósito educativo que se persiga y los
materiales propios del entorno.
38
Actividades comunitarias que favorecen el aprendizaje de las Matemáticas
eje de los números y sus relaciones con contenidos
como sumas y restas en actividades de venta. Si se
pide que narren o describan lo que hacen para que les
compren sus objetos, se podrá favorecer la asignatura
de Español cuando tengan la necesidad de explicar en
qué consisten sus productos.
Educación Artística. En esta actividad, se presenta lo
que el programa de Matemáticas en la metodología
del aprendizaje propone con el nombre de situación
problemática.
CONCLUSIÓN
En la pluralidad étnica de nuestro estado, las actividades universales que propone Bishop en su estudio
también son llevadas a cabo por adultos y niños. En
una de las comunidades de nuestro entorno, los niños
adquieren de manera informal dichos conocimientos
matemáticos debido a las actividades cotidianas que
llevan a cabo; no están lejos de los contenidos que el
programa escolar propone como son los números, la
medición y la geometría, entre otros conocimientos
que se adquieren en la acción, a través de errores y
rectificaciones, procedimientos diferentes y contrastación de ellos con el experto, que en este caso puede ser
el padre o la madre. En todas las actividades utilizan
materiales concretos que están íntimamente ligados
para la solución de sus problemas, la manipulación,
recreaciones y acciones de ellos permite desarrollar
actitudes, aptitudes, conocimientos, habilidades y
valores, situación que les permite ser competentes en
las acciones de su entorno. @
Explicar
De acuerdo con Bishop, esta actividad eleva la cognición humana por encima del nivel asociado con la
mera experiencia del entorno; centra la atención en
las abstracciones y formalizaciones al exponer las rela­
ciones existentes entre los fenómenos, de lo diverso
a lo simple, del desorden al orden, en la búsqueda de
una teoría explicativa de los fenómenos. La explicación de los fenómenos dinámicos, de los procesos de
la vida y del discurrir de los acontecimientos, se da a
través del relato, el cual representa la acumulación del
conocimiento y la sabiduría de una cultura. Desde el
punto de vista de las ideas matemáticas, la explicación
nos lleva a la reflexión del porqué de sus conceptos,
leyes, axiomas y teoremas.
La explicación en nuestra referencia se da cuando los niños relatan a la maestra la forma en que se
integran a las actividades que realizan con sus padres;
cuando buscan las similitudes de las palmas, en cuanto
al porqué de las características de ellas para agruparlas
en función de su uso, sea éste para el tejido de sus
objetos o para su comercialización; en cuanto a los ju­
guetes que elaboran, tienen que considerar el grosor
de los dedos para elaborar los “tragadedos”; en la construcción de sus animales modelizan el prototipo con
sus rasgos más distintivos, actividad en la que estará
presente la proporcionalidad para poder representar
de forma adecuada las partes de cada figura.
Esta es la actividad más rica e incluye a las demás,
pues implica la consideración del porqué de cada
acción. En ella están presentes diferentes ejes temáticos de la asignatura de Matemáticas, así como de
otras asignaturas del plan escolar de primaria como:
Español, Ciencias Naturales, Historia, Geografía,
BIBLIOGRAFÍA
Bishop, J. Alan (1999). Enculturación matemática. La educación matemática desde una perspectiva cultural (Tr.
Genis Sánchez Barberán). Barcelona: Paidós.
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los niños de la escuela de la comunidad de Las Flores,
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los alumnos de tercer grado de educación primara. upn
201, Xoxocotlán, Oaxaca.
sep (1993). Plan y Programa de Estudio de Educación
Básica, primaria.
39
Aprendiendo Geometría
con doblado de papel
Una experiencia en la secundaria
Felipe Ramos Trejo*
[email protected]
¡E l coco de las materias! La Enseñanza de las Matemáticas sigue inquietando a docentes, alumnos y padres, pues sus resultados no han sido los mejores, siguen estando entre
los peores. Mientras la autoridad piensa que con reformas impuestas desde las oficinas se
resol­verán los problemas de la educación, quienes cotidianamente trabajamos y convivimos
en las aulas pensamos que las alternativas se construyen de forma colectiva y mediante un
trabajo colaborativo en el que la participación de la comunidad escolar está inmersa ine­
ludiblemente.
CONSTRUYENDO ALTERNATIVAS
La presente experiencia, que en un principio surge de manera colectiva, busca aplicar la estrategia del doblado de papel conocida también como papiroflexia o papirogeometría en el
aprendizaje de la Geometría, aunque puede hacerse extensiva a la Aritmética y al Álgebra.
Las razones para la utilización de esta estrategia son varias. Recordemos que en la actualidad, el conocimiento de conceptos y definiciones es sólo una parte del aprendizaje, por lo
que se pretenden varios objetivos:
a) Desarrollar la imaginación espacial.1
b) Reconstruir los conceptos geométricos.
* Profesor de Matemáticas en el nivel de educación secundaria en el DF.
1
Hemos acuñado este término a partir del desarrollo de la imaginación a través de la Geometría al producir figuras
e imágenes en composiciones artísticas.
40
Aprendiendo Geometría con doblado de papel
c) Ejercitar la habilidad del doblado de papel.
d) Promover el trabajo colaborativo.
e) La elaboración de un instructivo.
Por eso, quienes empleamos esta estrategia, afirmamos
que el doblado de papel es una herramienta útil en el
aprendizaje y el estudio de la Geometría.
NUESTRA EXPERIENCIA
La experiencia da inicio hace 10 años en Iztapalapa,
cuando decidimos reunirnos profesores de la Zona Escolar
No. 11 de Secundarias para intercambiar experiencias y
generar propuestas respecto a la Enseñanza de las Matemáticas. Una de esas propuestas fue el uso del doblado
de papel en el aprendizaje de la Geometría.
Primero consistió en aprender a construir las figuras
y cuerpos geométricos, conocer y manejar los dobleces y
el armado, fue lo básico, la figura en sí misma. Era muy
limitado el aprendizaje. La inquietud ya estaba sembrada
y me propuse profundizar más en este terreno. Realicé
visitas al Museo Universum, específicamente a la sala
de Matemáticas, donde al final del recorrido se ofrecen
actividades como la construcción de figuras con do­blado
de papel y una exposición permanente de cuerpos geométricos; participé en congresos sobre la Enseñanza de las
Matemáticas y búsqué la bibliografía sobre el tema, también cursé un Diplomado de Matemáticas en la Unidad
098 de la upn.
Así, esta experiencia se enriquece hasta llegar a plan­
tearnos los cinco incisos anteriores como parte de un
de­sarrollo más integral.
Finalmente, después de seis años de utilizarla en la
asignatura de Matemáticas, esta experiencia se sistematiza
en una materia co curricular, Habilidad del Pensamiento,
cuyo programa y contenido es realizado por un equipo
de profesores en la Secundaria Diurna No. 317, Octavio
Paz. En dicha asignatura, a lo largo de los tres grados, en
un bloque, se aprenden dobleces, figuras y cuerpos geo­mé­
tricos, al igual que se refuerzan y desarrollan los conceptos
correspondientes.
41
El uso de diferentes estrategias para la
enseñanza de las Matemáticas sigue
siendo una preocupación de los docentes
en el aula. El uso del doblado del papel
ha resultado ser una herramienta útil en
la enseñanza de la Geometría a lo largo
de los tres grados en la escuela secundaria. Ésta ha permitido el desarrollo de
la imaginación espacial, al descubrir,
con el doblado de papel, las diferentes
figuras y cuerpos geométricos, así como
identificar los conceptos geométricos.
También, se complementa con la actitud
de un trabajo colaborativo del grupo.
Palabras clave: papiroflexia, geometría,
imaginación espacial, trabajo colaborativo, figura geométrica.
uuuuu
The use of different strategies for teaching mathematics is still a concern for
teachers in the classroom. The use of
paper folding has proved to be a useful
tool in Geometry teaching throughout
the three grades of secondary school.
With paper folding, the discovery of
various geometric shapes and figures
has enabled the development of spatial
imagination, as well as recognition of
geometrical concepts. Also it complement with the attitude of a collaborative
group work.
entre maestr@s
¡MIRE, YA LA TERMINÉ!
¡SÍ SALIÓ! ME QUEDÓ BIEN
En los primeros años, trabajamos esta estrategia en
Matemáticas y descubrimos que realmente sirve para
nuestro propósito. Es interesante ver cómo los alumnos se sorprenden cuando logran hacer las figuras o
cuerpos geométricos. Parece que su autoestima se
reafirma. Van descubriendo también su habilidad
o falta de desarrollo de ésta para realizar dobleces,
memorizar los pasos, identificar conceptos, colaborar
entre ellos cuando se les olvida un doblez o para el
armado de la figura.
En una ocasión, cuando iniciamos la aplicación
de esta estrategia descubrí cómo un alumno que tenía
dificultades en la asignatura se sintió motivado al ser
el primero en terminar la figura, incluso sorprendió
a sus compañeros, a los cuales ayudó a acabar dicha
figura. Comprobé entonces que los alumnos tienen
diferentes habilidades y que un trabajo variado permite descubrir esas capacidades. Pero también encontré,
en ese mismo grupo, a uno de los mejores alumnos
que no asumió con agrado la actividad, me comentó que prefería resolver problemas o ecuaciones.
Desde el inicio de este trabajo con los estudiantes, hemos integrado los cinco aspectos mencionados
(imaginación espacial, conceptos geométricos, habilidad del doblado de papel, trabajo colaborativo y
elaboración de un instructivo).
Nos vamos familiarizando con esta estrategia
al identificar conceptos, partiendo de un cuadrado
de papel, la mayoría de las veces, de color. Pregunto
a los alumnos: “¿cuántos conceptos son capaces de
identificar en esta figura de papel?”, al principio
sólo contestaron algunos, pero en la medida que
los interrogo descubren más, con lo que logramos
una manera colectiva de reconstruir o recordar sus
conocimientos.
Entonces los alumnos comienzan expresando:
“¡veo un cuadrado! Posteriormente, llueven otros conceptos: los ángulos –en este caso un ángulo recto–; las
diferentes líneas: horizontal, vertical, perpendicular,
paralela, logran identificar un punto y el vértice. Y las
cosas se van haciendo más interesantes: el largo y el
ancho, el perímetro, la superficie y su medida, el área.
Se siguen con qué es un cuadrilátero, un paralelogramo y la lista crece. Han reconstruido los elementos
de una figura geométrica y reconocen a ésta como
una creación humana. Esto nos permite, en primer
año, trabajar temas que se refieren a la construcción
de polígonos, así como el cálculo de sus perímetros
y áreas. Permite también reflexionar sobre el tema de
medición, pues los alumnos reducen esta acción a las
medidas convencionales. En el caso de las superficies,
comprenden que pueden medir u obtener el área con
cualquier figura, para llegar a concluir que el cuadrado
es la forma más adecuada, después de comparar la
superficie con otras figuras.
Ahora se sorprenden al observar que pueden
construir ángulos: de 30, 60, 120, 135 grados, ne­
ce­sarios para construir un polígono regular, esto
42
Aprendiendo Geometría con doblado de papel
embona bien en segundo grado, incluso
para descubrir patrones, como es la suma
de los ángulos interiores de un polígono
y concluir con una fórmula: 180º (n-2).
Identifican, también, más líneas: media­
triz, bisectriz, altura, diagonal, eje de
simetría, la apotema, incluso diferentes
figuras: triángulos, rectángulos, pentágonos, hexágonos, paralelogramos,
trapecios, trapezoide. Y llegamos, más
motivados, a los cuerpos geométricos:
Con la
los poliedros regulares o platónicos y los
imaginación
arquimedeanos:2 las caras, la arista, el
espacial se
volumen. Nuevamente, esta actividad
pretende que los
apoya los contenidos de segundo grado
alumnos, primero,
que nos hablan del cálculo de volúmereconozcan
nes, a través de las fórmulas. Por fin,
líneas, ángulos,
esta lluvia de ideas y recuerdos concluye
figuras para
cuando los chicos elaboran una lista de
que después,
todos los conceptos identificados y los
definen con sus propias palabras. Esto manejando estas
bases, puedan
último nos permite valorar qué tanto
realizar de
nos ha ayudado este esfuerzo en la comprensión de esta parte de la Geometría manera ilimitada
a través de la definición de conceptos a las formas y sus
través de la escritura. De igual forma,
combinaciones
para redondear lo anterior, se le pide
para construir
a los alumnos contrastar sus definiciones nuevos cuerpos
geométricas con la información que localicé en los libros de texto o diccionarios
de Matemáticas.
Con la imaginación espacial se
pre­tende que los alumnos, primero, reco­
noz­can líneas, ángulos, figuras para que
des­pués, manejando estas bases, puedan
realizar de manera ilimitada las formas y
sus combinaciones para construir nuevos
2
Son aquellos cuerpos geométricos semirregulares que creó Arquímedes al cortar los poliedros
regulares.
43
cuerpos. Por eso, se busca desarrollarla
con los primeros dobleces, mientras los
alumnos van sorprendiéndose de lo que
encuentran y construyen: “¡Lo hice, lo
hice!”. Van observando cómo de una hoja
cuadrada obtenemos un octágono; de una
hoja rectangular un ángulo de 60 grados y
un triángulo equilátero. Al doblar este último obtenemos medios, tercios, cuartos,
sextos, doceavos; también un hexágono y
al final una estrella de seis puntas.
De una tira de papel, brotan triángulos equiláteros (10) y con éstos construyen
un hexágono ¡con movimiento!, del cual
hay que encontrar sus tres caras: han construido un hexaflexágono. El tamaño del
cuadrado, del rectángulo o del triángulo
puede variar, lo que permite, en tercer
grado, hablar de semejanza. También, una
de las características que pueden adquirir
las figuras y cuerpos que elaboremos, no
sólo de papel sino también de cartulina y
de material de re uso, es el movimiento o
la transformación. Ésta es una cualidad
que hace más fascinante la construcción
de figuras o cuerpos geométricos.
El trabajo cooperativo es fundamen­
tal en esta actividad. Los grados de ca­pa­­
cidad y destreza en el doblado de pa­pel
crea la necesidad de preguntar o ayudar al
otro y se escucha: “¿cómo va el doblez?”,
¡ya me atoré en el armado!”. Esto mismo
puede reforzar el lenguaje matemático
o geométrico entre iguales. Se va comprendiendo la importancia del trabajo
en equipo, pues aquí no se llevan a cabo
competencias para ver quién es el mejor,
sino que todos, de acuerdo con sus características y destrezas, logran cul­minar satisfactoriamente la actividad, expre­sando
contentos: “¡sí se pudo!”.
entre maestr@s
LA ELABORACIÓN
DE UN INSTRUCTIVO
Parte complementaria de todo lo anterior es lograr que
el alumno pueda elaborar, con sus propias palabras, un
instructivo. Con ello podrá sistematizar su experiencia
y poder transmitirla a otros compañeros haciendo uso
de esta herramienta socializadora. Así, se puede vincular con la materia de Español, pues aquí se tiene que
uno de los temas es, precisamente, la elaboración de
un instructivo. Al hacer éste, los alumnos demuestran
su creatividad al emplear los trazos, el uso de colores
y explicar de forma puntual a través de la redacción
que es reforzada con elementos gráficos e incluso “de
bulto”. Para ello, se ingenian para hacer pequeños
cuadrados y sus dobleces para explicar cada paso en
el instructivo. Éste es otro de los productos finales de
esta estrategia.
ALGUNOS RESULTADOS
A lo largo de los últimos años, he observado que la
estrategia del trabajo con papiroflexia es relevante en
la enseñanza de la Geometría. Además de que nos
permite reconocer el desarrollo de la psicomotricidad
fina en los alumnos. Esta actividad pareciera fácil,
44
Aprendiendo Geometría con doblado de papel
MÁS ALLÁ
DEL CENTRO ESCOLAR
Hemos colectivizado estas experiencias también
con los maestros a través del Museo Didáctico de
las Matemáticas,3 en algunos cursos cortos en los
que brindamos asesorías a los maestros-alumnos y,
sobre todo, cada año, desde 2000, participamos en
los congresos sobre la Enseñanza de las Matemáticas, impulsados por el Museo y su asociación, la
Asociación Nacional de Maestros Misioneros en
la Enseñanza Humanista del Español y la Matemática, Distrito Federal. Igualmente, me ha tocado
participar en algún congreso nacional o, incluso, en
uno internacional.
Este es el camino recorrido hasta ahora –con
satisfacciones y contratiempos–, que nos ha servido
a todos: docentes y estudiantes. Y éste no termina
aquí, sigue enriqueciéndose en las aulas, con las
aportaciones de los compañeros y de los alumnos.
El camino de la enseñanza y el aprendizaje es una
aventura emocionante que no termina. @
pero la experiencia nos ha demostrado lo contrario,
hay alumnos a los que se les dificulta, por lo que
terminan renunciado a este trabajo. De la misma
manera, descubrimos lo contrario, alumnos reacios a
lo conceptual y lo escrito quedan motivados y logran
aprendizajes significativos, con lo que refuerzan su
autoestima.
La papiroflexia puede también despertar y potenciar la creatividad –la imaginación espacial– pues les
abre un nuevo panorama, en ocasiones desconocido,
que los invita a continuar esta actividad, ya que con
algunos cuadrados o triángulos de hojas de colores se
pueden crear un sinnúmero de figuras o cuerpos.
El movimiento y el color son otros dos aspectos
que hacen atractivo el doblado de papel, pues podemos jugar con los colores primarios, secundarios, etc.,
y también podemos dar vida a las figuras: un cubo
de aristas o un prisma hexagonal de bolsillo, pues
se pueden guardar, al hacerlos planos. Ocho cubos
pegados o seis tetraedros (se puede usar material reciclable también para estos cuerpos, como pequeñas
cajas iguales para el cubo o empaques de tetra pack
en lugar de tetraedros) con movimiento ilimitado; un
octágono que se convierte en rehilete, etc. Incluso,
en ocasiones, los alumnos llevan otras figuras, lo cual
enriquece nuestro trabajo.
La definición de los conceptos con sus propias
palabras y su comparación con las definiciones formales, les demuestra que ellos pueden reconstruir
la Geometría, al mismo tiempo que elaboran un
listado de todos los conceptos encontrados a lo largo
de la elaboración de las diferentes figuras y cuerpos
geométricos: 30, 40, quizá 50. Todo depende del
esfuerzo que se quiera hacer. Toda esta experiencia
queda plasmada en la realización del instructivo,
como un ejemplo de que se puede aprender Geometría doblando papel. En ocasiones, se han hecho
muestras pedagógicas con el trabajo de los alumnos
con la finalidad de dar a conocer a la comunidad
escolar los logros con esta estrategia, lo que causa una
buena impresión en los asistentes.
BIBLIOGRAFÍA
Colin, J. (s/f ). Papiroflexia. Origami. (No. 10). Primera
colección.
Palacios, Vicente (1999). Papiroflexia básica. Barcelona:
Editorial Miguel A. Salvatella.
Palacios, Vicente (1999). Papiroflexia fácil. Barcelona:
Editorial Miguel A. Salvatella.
Palacios, Vicente (2002). Papiroflexia colección. Barcelona:
Editorial Miguel A. Salvatella.
Kasahara, Kunihiko y Takahama, Toshie (2000). Papiroflexia “Origami” para expertos. España: EDAF.
3
Este museo se ubica en la Benemérita Escuela Nacional de
Maestros, México, DF.
45
Desde los mesabancos
La matemática de las historias
Lourdes Guido*
C onté a mis alumnos el cuento “El patito feo”, al finalizar anoté en el pizarrón:
Había una vez un
muchos
Más tarde el
el
a quien sus hermanos
no querían, después de pasar
encontró una familia de
se vio convertido en un hermoso
que lo impresionaron.
.
La mayoría gritó: “es el cuento del ‘patito feo’ ”
–“El patito es el triángulo”.
–“Sus hermanos son los círculos”.
–“Los cuadrados son los cisnes”.
–“¡Qué chistoso!”
–“¿Por qué lo escribió así?”
–¿Les gustó? –pregunté.
–Sí, está bonito.
–Es muy divertido.
–Cuéntenos otro y nosotros lo adivinamos.
Era hora de salir a sus casas. Prometí contarles otro cuento después. @
————————————
* Profesora de Segundo Grado de la Escuela Primaria ubicada en la colonia Cerro de la Estrella, Iztapalapa,
Distrito Federal.
46
La Universidad Pedagógica Nacional
invita a la PRESENTACIÓN del
18 2 0 0 9
SEPTIEMBRE
17 horas
Auditorio Lauro Aguirre
Instituciones participantes: • UNESCO/OREALC • UNESCO/IESALC • Red Kipus • Universidad Pedagógica
Nacional (México) • Universidad Pedagógica Nacional (Honduras) • Universidad Pedagógica Libertador
(Venezuela) • Universidad Pedagógica (Colombia) • Universidad Tecnológica San Antonio de Machala
(Ecuador) • Pontificia Universidad Católica del Perú • Universidad Federal de Minas Gerais • Universidad
Metropolitana de Ciencias de la Educación (Chile) • Universidad Católica Cardenal Silva Henríquez (Chile) •
Universidad del Bío Bío (Chile) • Universidad de la Frontera (Chile)
Carretera al Ajusco núm. 24, col. Héroes de Padierna, CP 14200, Tlalpan, México, DF
www.upn.mx
Para y desde el consejo técnico
Enciclomedia en la clase
de Matemáticas
Yolanda Chávez Ruiz*
[email protected]
E ste artículo es parte de una investigación realizada en la Universidad Pedagógica Nacional
en la Maestría en Desarrollo Educativo, que se llevó a cabo con la modesta intención de
constituirse como una aproximación a la práctica docente cotidiana a partir de la incorporación de Enciclomedia en el aula describiendo los procesos de interacción entre el profesor,
el alumno y el contenido matemático mediado por esta herramienta.
La irrupción de las Tecnologías de la Información y la Comunicación (tic) en la vida
cotidiana crea nuevos paradigmas, nuevas formas de ver, interpretar y conocer el mundo,
también nuevas formas de expresarnos y comunicarnos. La escuela, como institución que
asegura que las nuevas generaciones adquieran la experiencia social, cultural e histórica
acumulada, no es ajena al vertiginoso crecimiento y desarrollo de las tic. Actualmente, a la
escuela se le encomienda, por un lado, la capacitación para el uso de las tecnologías y, por
otro, la posibilidad de utilizar éstas como recurso para incidir en la enseñanza y el apren­
dizaje. En la escuela primaria en México se ha avanzado con diversos proyectos en estos dos
sentidos; entre estos proyectos se encuentra Enciclomedia, que nace como un recurso de
apoyo a la labor educativa.
El gobierno foxista expresó que Enciclomedia revolucionaría la educación en nuestro
país; ésta es una apreciación simplista, ya que sería iluso pensar que el problema educativo de
México se puede resolver instalando computadoras en todas las escuelas. Si bien Enciclomedia
—————————————
* Profesora normalista. Asesora en Centros de Maestros. Estudiante de posgrado en el Cinvestav.
48
Enciclomedia en la clase de Matemáticas
puede influir en el proceso de enseñanza y aprendizaje y
contribuir a mejorarlo, es necesario estudiar con cuidado
los fenómenos que se producen con la incorporación
de este recurso en el aula antes de hacer afirmaciones
al respecto. Con tal intención, este artículo aborda los
usos que se han dado a Enciclomedia en las clases de
Matemáticas.
Uno de los propósitos de la investigación fue observar los procesos en la clase de Matemáticas a partir
de la introducción de Enciclomedia, con el objeto de
cap­tar los diferentes fenómenos que de dicho proceso
se desprendían.
Al ser la asignatura de Matemáticas una de las prioritarias, tanto a nivel curricular como para la práctica docente cotidiana, conviene poner atención acerca de si este
recurso cumple con las expectativas tanto de sus usuarios
directos, docentes y alumnos, como de sus creadores y
autoridades educativas.
El caso de Enciclomedia llama la atención por ser un
proyecto que llega de manera directa al aula y se incorpora como “un recurso más” del que el docente dispone
en cualquier momento de la clase. Según afirman sus
creadores,
La integración de las nuevas tecnologías de la información
y la comunicación, y su impacto en todos los campos de
la actividad humana, impone cambios de paradigmas, nue­
vas formas de repensar la educación y de concebir los
pro­ce­sos de enseñanza y aprendizaje, así como recursos y
elementos mediadores de la práctica en el aula.1
La particularidad de Enciclomedia al ser un recurso tecnológico de uso colectivo y que llega a la gran mayoría de
la aulas de 5° y 6° grado de educación primaria de nuestro
país, es que le da posibilidad a los profesores de generar
otro tipo de ambiente en el aula, ya que cuentan con un
recursos novedosos y diversos.
1
Disponible en http://www.sep.gob.mx/work/appsite/Enciclomedia/documentonciclomedia.pdf. Recuperado el 31 de mayo de 2005.
49
Enciclomedia es un recurso versátil que
puede apoyar en diferentes momentos
los procesos de enseñanza y aprendizaje. Los usos que los profesores dan a
Enciclomedia en la clase de Matemáticas
están relacionados con sus concep­cio­
nes de aprendizaje y enseñanza, con
el conocimiento y dominio que tienen
del contenido matemático que se aborda
y con la habilidad para manejar la compu­
tadora. De acuerdo con esto, podemos
decir que Enciclomedia no altera las con­­
cepciones de los maestros, sino que se
adap­ta a ellas y a las formas de enseñanza que implementan habitualmente.
Palabras clave: Enciclomedia, recurso, usos,
Matemáticas, profesor, enseñanza.
uuuuu
Enciclomedia is a versatile resource
which, in different moments, can support
teaching and learning processes. The
uses of Enciclomedia made by teachers
in the classroom are related with their
concepts about learning and teaching,
their knowledge and proficiency of mathe­
matical contents and their ability to run
a computer. In accordance with this, we
can say that Enciclomedia does not
chan­ge teachers’ concepts, but adapts
to these and to the teaching ways they
usually implement.
entre maestr@s
LOS RECURSOS
PARA LA ENSEÑANZA
En Matemáticas, los recursos pa­ra
la enseñanza adquieren impor­tan­
cia cuando se asocian a la posibi­
lidad de facilitar al estudiante el
acceso al conocimiento matemá­
tico ofreciéndole alternativas para
mani­pular, observar, analizar y es­
tablecer relaciones con los objetos
matemáticos, lo que a su vez colabo­
ra en los procesos de abstracción y
generalización.
Los diferentes recursos utiliza­
dos a lo largo del tiempo para la
enseñanza de las Matemáticas han
respondido a las concepciones edu­
cativas de la época y necesidades
específicas de la práctica educativa.
Su elaboración y utilidad es­tán ligadas con lo que se define como enseñanza y aprendizaje, en general, y
de las Matemáticas, en particular.
Ante la llegada de las tic a
las escuelas, es válida la siguiente
pregunta: ¿El uso de la computadora
como recurso para la enseñanza de
las Matemáticas facilita el proceso
de aprendizaje en los estudiantes?
Para dar respuesta habrá que ser
cauteloso, ya que la introducción
de computadoras en el aula está
acompañada de diversas variables
que matizan el proceso de enseñanza y aprendizaje.
Algunas investigaciones (Moreno y Waldegg, 2004; Rojano,
2006; Ursini, 2006) reportan que
el uso de la computadora como
recurso para la Enseñanza de las
Matemáticas puede hacer ligera y
La tecnología
no debería
utilizarse como
sustituto de los
conocimientos
e intuiciones
básicos, sino que
puede y debería
usarse para
potenciarlos
50
sencilla la presentación de los contenidos, permitiendo al estudiante
apropiarse de éstos con apoyos de
tipo audiovisual e interactivo. Lo
anterior porque los recursos que
ofrecen las tic permiten la ma­ni­
pulación de información, tanto
cualitativa como cuantitativamente, ofreciendo la posibilidad de
crear escenarios que representan
nociones matemáticas.
¿El uso de la computadora, específicamente el software, dará este
sentido matemático por sí mismo?
¿Qué necesita el profesor para hacer
de estos recursos computacionales
la herramienta que le permita al
estudiante construir el saber matemático?
Las investigaciones informan
de la utilidad de las herramientas
informáticas en el desarrollo de no­
ciones matemáticas en los alumnos.
En una de estas investigaciones, Mo­
reno y Waldegg (2004) seña­lan que
la importancia de las herramientas computacionales pa­ra la edu­
cación matemática está aso­ciada
con su capacidad para ofrecernos
medios alternativos de expresión
matemá­tica y formas innovadoras
de manipulación de los objetos
ma­temáticos.
Por otro lado, el National
Coun­cil of Teachers of Mathematics (nctm, 2000) señala el uso de
la tecnología como una herramienta fundamental en la enseñanza y el
aprendizaje de las Matemáticas, ya
que proporciona imágenes visuales de ideas matemáticas, facilita
Enciclomedia en la clase de Matemáticas
la organización y el análisis de
datos y hace cálculos con eficacia
y exactitud. Cuando se dispone
de herramientas tecnológicas, los
alumnos pueden centrar su atención en tomar decisiones, reflexionar, razonar y resolver problemas.
La tecnología no debería utilizarse
como sustituto de los conocimientos e intuiciones básicos, sino que
puede y debería usarse para poten­
ciarlos. En los programas de Enseñanza de las Matemáticas, la
tecnología debe utilizarse amplia
y responsablemente con el objetivo
de enriquecer el aprendizaje.
El uso de la computadora co­
mo recurso para la Enseñanza de
las Matemáticas está determinado
por múltiples factores, entre los
que se cuentan la capacitación de
los profesores en cuanto a su uso,
el manejo que le dan los docentes en el aula y la idea que tengan
éstos de enseñanza y aprendizaje
de las Matemáticas.
USOS DE
ENCICLOMEDIA
EN LA CLASE
DE MATEMÁTICAS
Describir las interacciones que se
dan entre profesor-saber-alumno
no es una tarea simple, porque el
aula es un espacio donde convergen actores con cultura e historia
personales y saberes que tienen que
ser enseñados en una estructura
institucional regida por una organización y distribución de tiempo
definidos. A este panorama se agre-
ga un recurso novedoso tanto para
profesores como para alumnos que
en principio podría promover otro
tipo de interacciones en la clase de
Matemáticas.
La Didác­tica de las Matemáticas es una aproximación teórica
que contribuye a explicar lo que
pasa en el aula con la entrada de
Enciclomedia, la cual es definida
explícitamente por Chevallard,
Bosch y Gascon (1997) como
[…] la ciencia del estudio y de la
ayuda al estudio de las matemáticas. Su objetivo es llegar a describir y caracterizar los pro­­ce­sos de
estudio –o procesos  di­dác­ticos–
de cara a proponer explicaciones
y respuestas sólidas a las dificultades con que se encuentran todos
aque­llos (alumnos, profesores,
padres, profesionales, etc.) que se
ven llevados a estudiar matemáti51
cas o a ayudar a otros a estudiar
matemáticas.
Respecto a esto, Brousseau (1988)
señala que para que sea po­sible
enseñarlo, el conocimiento matemático debe estar inmerso en un
contexto. Posteriormente, para
que ese conocimiento pueda ser
utili­zado, el contexto debe ser eliminado y el co­nocimiento debe
hacerse general. Con Enciclomedia,
el do­cente puede presentar el saber
matemático dentro de contextos
que faciliten la relación alumnocontenido, puesto que Enciclomedia le proporciona la posibilidad
de contextualizar los contenidos
matemáticos en ambientes dinámicos, accesibles y atractivos para
los alumnos.
Las respuestas que los alumnos
ofrecen ante los diferentes plan­tea­
mientos del docente, las actitudes
entre maestr@s
e) la disposición al trabajo que tengan tanto el
maestro como sus alumnos;
f ) la información con la que cuente el docente
sobre las posibilidades de Enciclomedia para
abordar el contenido a trabajar;
g) el dominio sobre las herramientas informáticas, entre otras.
que manifiesten al interactuar con el saber matemático, la manipulación que realicen de éste, su manera
de organizarse ante alguna tarea, las anticipaciones o
verificaciones que hagan ante alguna situación, las decisiones que tomen, las estrategias implementadas ante
algún planteamiento y las relaciones que establezcan
entre sus compañeros o con el profesor para negociar,
comunicar o debatir alguna idea matemática, son
elementos que nos van a permitir caracterizar la forma
de incorporación de Enciclomedia.
La escuela es el lugar donde se transmiten los
saberes; el encargado de comunicar dichos saberes
es el profesor en tanto responsable de la actividad de
enseñanza. El docente adapta el saber y lo presenta a
sus alumnos bajo diferentes formas.
El profesor como ser social, con una historia, una
ideología, ciertas creencias y concepciones, mediará
el proceso de enseñanza y aprendizaje. Es decir que el
docente cuando se encuentra en el aula frente a sus
alumnos toma todo tipo de decisiones; las decisiones
por las que opte dependerán tanto de su historia
personal como de las concepciones que tenga sobre
la enseñanza, lo que entienda por aprendizaje y lo
que defina como Matemáticas.
En efecto, en las sesiones videograbadas en el
transcurso de esta investigación se observan diferentes
usos que los docentes hacen de Enciclomedia. Cabe
la aclaración de que los profesores pueden hacer un
cierto uso de Enciclomedia en alguna sesión y mo­
dificarlo en otra. Esto se relaciona no sólo con sus
representaciones, sino también con las diferentes
variables que intervienen en los procesos de enseñanza
y de aprendizaje, tales como:
Desde su implementación, Enciclomedia fue muy
bien aceptada tanto por alumnos como profesores,
quienes vieron en ésta un recurso versátil que podía
apoyar en diferentes momentos los procesos de en­
señanza y aprendizaje. A partir de este estudio, implementando una serie de entrevistas, identificamos
las ventajas que los docentes ven en dicho recurso:
Enciclomedia como medio para la enseñanza. Ya que
como programa pedagógico cuenta con diversos
recursos como interactivos, animaciones, videos, que
los profesores utilizan en diferentes momentos de su
clase.
Enciclomedia como herramienta para construir otros
recursos para la enseñanza. Utilizando el equipo de
cómputo los profesores pueden elaborar diferentes
materiales, de acuerdo con las necesidades de la clase,
por ejemplo, presentaciones en Power Point.
Enciclomedia como medio para el estudio. Los profesores la utilizan para buscar información que desconocen o para detallarla o confrontarla antes de tratar
el contenido frente al grupo.
Al entrevistar también a los alumnos, identificamos que para ellos representa un recurso atractivo e
incluso divertido, lo que motiva y llama su atención
hacia la clase; además, los alumnos perciben que la
fuente de información en el aula ya no es sólo el
pro­fesor; Enciclomedia proporciona información de
diversa índole y en diversos formatos, lo que la hace
atractiva para ellos.
La intención de los creadores de Enciclomedia en
el área de Matemáticas fue, además de proporcionar
recursos al docente para la enseñanza de la asignatura,
a) El tipo de contenido que abordará en dichas
sesiones;
b) el nivel de complejidad de estos contenidos;
c) los conocimientos previos que identifique
en los estudiantes;
d) los elementos, recursos, herramientas para la
enseñanza con que cuente;
52
Enciclomedia en la clase de Matemáticas
Uso “transmisionista” de Enciclomedia
Encontramos un uso “transmisionista” que el profesor da a Enciclomedia cuando el docente utiliza este
recurso para presentar los contenidos matemáticos
de manera expositiva. Es decir, introduce los conceptos a partir de definiciones, sin haber planteado
alguna situación problemática de inicio o alguna
experiencia que contextualice y dé significado a la
información o definición. Desde su creación, en En­
ciclomedia se incorporó la enciclopedia Encarta,
ésta ha sido uno de los recursos que el docente ha
utilizado para la transmisión de contenidos, ya que,
como en toda enciclopedia, se pueden encontrar en
ella definiciones, esquemas, mapas e informaciones
de diversa índole. La presentación de información a
los alumnos resulta favorable para el aprendizaje, en
el sentido que Brousseau da a la institucionalización;
sin embargo, si la información sólo se presenta como
único medio y fin de la enseñanza de los conceptos
o los procedimientos, difícilmente puede favorecerse
el aprendizaje.
En la enseñanza transmisionista se presenta la
información central al inicio de la instrucción y,
posteriormente, se presentan ejercicios de aplicación,
antecedidos por un ejemplo. En este modelo de enseñanza, el contenido matemático es considerado como
un mensaje informativo, el cual hay que transmitir a
los alumnos para que éstos sean capaces de reproducirlo de manera fiel.
La actividad del alumno es muy limitada. Es
en el alumno en quien recae la responsabilidad de
aprender los contenidos que el maestro transmitió,
memorizando la información recibida para estar en
posibilidades de reproducirla verbalmente o aplicarla
en la resolución de ejercicios de estructura similar a
la que introdujo el profesor.
generar a partir del uso de estos recursos una relación
de aprendizaje más rica, una mejor interacción con el
contenido que llevara a los alumnos a la reflexión,
a la confrontación del saber matemático con sus
compañeros y a la argumentación. Sin embargo, lo
que se observa en la práctica guarda distancia con
la forma en que sus creadores la concibieron. En este
sentido, se constata lo mismo que ha ocurrido con la
incorporación de otros recursos como, por ejemplo.
los libros de texto para el alumno o para el maestro;
son los profesores los que median las potencialidades
de dichos materiales.
Pudimos observar que en algunas aulas, la in­
corporación de Enciclomedia sí promovió la reflexión
y la interacción, mientras que en otras eso no se percibió. Observamos que la mediación que el profesor
hace de este recurso conduce a usos que son muy
diferentes.
Algunos de los usos observados promueven relaciones didácticas más rígidas o limitadas, mientras
que otros generan actividades más interesantes y
formativas, en las que la interacción maestro-alumno
permite enriquecer la relación alumno-contenido.
USOS DE ENCICLOMEDIA
En términos más generales podríamos decir que los
profesores ajustan Enciclomedia a las formas de enseñanza a las que están habituados. En estudios previos,
por ejemplo, el de Ávila (2006), se ha mostrado que
los profesores hacen adaptaciones importantes, a veces
radicales sobre las propuestas de los libros de texto
y que las acciones en la clase llegan a distanciarse
por completo de las intenciones planteadas en los
materiales.
También se mostró en ese estudio que muchos
profesores se mantienen “al margen de las reformas”,
ya que prefieren continuar enseñando a sus alumnos
con base en sus ideas y la experiencia que poco a poco
van adquiriendo en la práctica. No es de extrañarnos,
pues, que con las propuestas de Enciclomedia haya
sucedido algo similar
Enciclomedia como “Amplificador”
En el uso de Enciclomedia que denominamos “Amplificador”, el profesor se limita a presentar el libro de
texto amplificado en la pantalla. Esto aun cuando la
53
entre maestr@s
versión de Enciclomedia que utilizaron los docentes participantes en
la investigación ofrece recursos que
pudieron utilizar para profundizar
o completar los saberes matemáticos que comunicaron. Las lecciones
de los libros de texto tienen ligas
con diversos recursos claramente
visibles para el profesor, pero los
docentes utilizan Enciclomedia
pa­ra amplificar (visualmente) el
texto, utilizándolo como un guión
a partir del cual desarrollan la clase
de Matemáticas.
Cuando se utiliza Enciclomedia, el contenido matemático en
general se presenta en el formato
que ofrece el libro de texto, ya que
la mayoría de los usos se basan
en una proyección de éste en la
pan­talla; ésta es una consecuencia
de la estructura de Enciclo­media,
pues se articula a partir de la di­
gitalización de los libros de texto.
En este sentido, podemos decir
que Enciclomedia optimiza el uso
del libro de texto, no sólo por la
rapidez para visualizar las informaciones, sino por la sola posibilidad
de proyectar en colectivo y de
hacer públicas tanto dichas informaciones como las respuestas y
estrategias utilizadas para resolver
los ejercicios y problemas.
Enciclomedia
como “Andamiaje”
En este uso, el apoyo que brinda el
profesor resulta determinante; en
inicio, su actividad estará centrada
en proporcionar a los alumnos puen­
tes que faciliten su acceso al saber
puesto en juego para, de manera
paulatina, alejarse por completo y
que la responsabilidad total recaiga
en los alumnos.
El “andamiaje” está constitui­
do por elementos que van a facilitar al alumno la adquisición de una
noción, en otras palabras, representa un apoyo para que el alumno
pueda acceder al aprendizaje. En
el ejemplo que se seleccionó para
ilustrar esta forma de uso del equipo de Enciclomedia, el docente
elabora una presentación en Power
Point que utiliza como andamio
en varios episodios de la clase. El
contenido que indica la lección
es: operadores fraccionarios en
situaciones sencillas. La noción de
fracción como operador –que es la
que se aborda en la clase que se
des­cribe– es uno de los contenidos
curriculares que presentan un grado de complejidad importante. Por
este grado de complejidad, resulta
lógico que el docente pretenda
facilitar al alumno el acercamiento
a dicha noción.
En esta sesión, el profesor ha­
ce una modificación a la trans­
posición del objeto de enseñanza
que se presenta en el libro de texto
y en Enciclomedia. Es decir, en el
libro –transferido luego a Enciclomedia– se presenta un circuito de
automóviles (imagen 1), a partir
del cual los alumnos tendrán que
calcular la distancia recorrida por
los éstos.
Para apoyar la comprensión
de esta situación, el profesor pre­
senta a los alumnos el circuito –ori­
ginalmente curvo e irregular– en
un esquema lineal, puntualizando
que el esquema será una ayuda
para una mejor comprensión del
ejercicio. En este nuevo circuito
indica las fracciones correspondientes a los recorridos en relación
con la distancia total del circuito.
Maestro: a ver, este esquemita
que está en el pizarrón les va a ser­vir
a los que no le entienden. La carretera ya no está como al principio…
Imagen 1
Imagen 2
Imagen 3
54
Enciclomedia en la clase de Matemáticas
como ésta (imagen 1), sino la puse en línea recta. Y
entonces ahí está (imagen 2).
La modificación que el profesor hace a la propuesta original va en dos sentidos: a) el circuito que
presenta el libro es irregular y curvo, mientras el esquema elaborado por el docente representa el mismo
tramo de forma lineal; b) además, el circuito se divide
en cuartos, y bajo éstos ubica un espacio para escribir
la medida correspondiente en kilómetros.
Esta adecuación del saber que el profesor realiza,
como él lo expresa, la considera necesaria para que
se comprenda con más facilidad la noción puesta en
juego; al respecto Chevallard (et al., 1997) señala
que:
por lo que esto se ha convertido en un tema recurrente entre quienes se dedican a la investigación en
educación matemática.
Brousseau destaca que la resolución de problemas es una actividad fundamental, no sólo para
el alumno –quien se encargará de encontrar una
solución y en ese camino encontrará ganancias en
términos de aprendizaje– sino también para el profesor, quien tendrá la responsabilidad de plantear
buenos problemas.
Gerard Vergnaud (1981) destaca la importancia
de la resolución de problemas en la Enseñanza de las
Matemáticas y al respecto señala:
La resolución de problemas es la fuente y el criterio del saber. Es en la resolución de problemas, o
más generalmente en el tratamiento de situaciones
problema, que son elaboradas las nociones y son
abstraídas las propiedades pertinentes. También es en
la resolución de problemas que son puestos a prueba
los conocimientos operatorios (p. 158).
[…] hay que remarcar que esta reconstrucción escolar
de las matemáticas es absolutamente imprescindible.
De hecho, para que una obra matemática pueda ser
estudiada en el seno de una institución didáctica,
ésta deberá necesariamente sufrir transformaciones
que la volverán apta para ser estudiada por los sujetos de dicha institución. Una de las razones de esta
transformación estriba en que, en general, el tipo de
cuestiones que están históricamente en el origen
de la obra matemática no son siempre las más ade­
cuadas para reconstruirla en el contexto escolar mo­
derno (p. 135).
Resolver problemas no sólo es un método para la Enseñanza de las Matemáticas, sino es parte de la ac­tividad
humana esencial, ya que en nuestra vida cotidiana nos
enfrentamos constantemente a ellos.
Definimos el uso de Enciclomedia a partir de la
resolución de problemas cuando el docente propone
una situación problemática y apoya el planteamiento
o el proceso de resolución con dicho recurso.
En este episodio, el profesor presenta un problema del libro de texto a los alumnos a partir de
Enciclomedia, además el profesor elaboró unas
diapositivas en las que se explicitaba la tarea y se
pre­sentaban los diferentes momentos del problema.
El profesor, de acuerdo con algunas peticiones de
los alumnos muestra en la pantalla los diferentes
recursos.
El profesor incita a los alumnos a resolver el ejercicio que les resultó problemático (cálculo de 75%),
lo que se da a partir de una negociación entre dar
El profesor adapta este contenido, simplifica la transposición de este saber propuesto por los autores del
libro de texto, considerando que el aprendizaje de la
noción de fracción presenta algunas dificultades.
Uso de Enciclomedia
en la resolución de problemas
Enseñar Matemáticas a través de la resolución de
problemas es una idea actualmente aceptada inter­
nacionalmente. Hay un consenso entre vertientes
teóricas de diversas regiones que coinciden en señalar
la conveniencia de que la Enseñanza de las Matemáticas se realice a partir de la resolución de problemas,
55
entre maestr@s
pistas para resolver el ejercicio que presenta dificultad y bajar las participaciones
(puntos). Los alumnos deciden seguir
intentándolo solos y el profesor les sugiere
que le piensen.
Maestro: no, tampoco son adivinanzas,
por eso les digo que si les doy la primera
pista…
Alumnos: ¡no!
Maestro: por eso les digo que ya si les doy
la primera pista…
Alumnos: ¡no!
El maestro continúa revisando de manera
individual el trabajo de los alumnos y
les pide que regresen a su lugar para que
corrijan el trabajo.
Maestro: por eso les digo ya están adivinando, ya no están razonando, nada más están
viendo, si no es Chana es Juana.
Si no se dirige
la mirada
al profesor,
Enciclomedia
puede ser
un artículo
decorativo
para el aula,
En este episodio, el profesor hace hincapié
en que resolver el cuadro no es cuestión
de azar, por lo que solicita a los alumnos
que empleen el razonamiento; dicha petición se realiza a partir de un contrato
que parece habitual.
En este contrato se observa que el
docente intenta no caer en la tentación,
en la que sí caen muchos docentes (Ávila,
2004) de ofrecer ayudas a los alumnos
para facilitar los problemas planteados en
los libros de texto. Siempre bajo la idea
de que los alumnos no podrán resolverlos
si se conserva la dificultad original de
los mismos. En este caso parece que el
profesor está consciente de que disminuir la dificultad es disminuir el nivel
del aprendizaje y hace a los alumnos
corresponsables de esta no simplificación
de las tareas.
atractivo para
los estudiantes,
pero muy
costoso y que no
favorece mejores
interacciones y
aprendizajes
56
A MANERA DE CONCLUSIÓN
A pesar de que las expectativas iniciales,
tanto de los maestros como de los alumnos, fueron muy altas en cuanto a que
per­cibían una mejor relación de enseñan­za
y aprendizaje de las Matemáticas con la
incorporación de Enciclomedia, si tomamos como referencia los estudios realizados
sobre la práctica docente en Matemáticas
en México, podemos decir que no se ven
notablemente alterados los contratos didácticos que se establecen habitualmente;
es decir, en la clase no se modifican de
manera importante ni las interacciones ni
los compromisos recíprocos establecidos
explícita o implícitamente entre maestro
y alumnos.
Si bien al parecer los profesores continúan implementando las mismas formas
de enseñanza que han utilizado habitualmente, la importancia de Enciclomedia en
el aula de Matemáticas consiste en que la
presentación del contenido se vuelve más
atractiva, ya sea con recursos visualmente
llamativos para el alumno o por el simple
hecho de que ver el libro en la pantalla
capturaba de inmediato la atención de los
alumnos, y aunque esta investigación no
se centró en el aprendizaje de los alumnos,
sí podemos decir que esto es un primer
paso para propiciarlo.
Una constante en los profesores fue
su referencia a la falta de preparación para
usar Enciclomedia, no sólo en cuanto a
habilidades para manejar el equipo, sino
principalmente en metodologías adecuadas para abordar los recursos propuestos
para cada una de las asignaturas.
Tal vez el mayor reto que tienen las
autoridades educativas en relación con
Enciclomedia es preparar a los profesores
Enciclomedia en la clase de Matemáticas
para obtener más provecho del recurso, fortaleciendo
la actualización tanto en el aspecto matemático como
en el pedagógico, sin dejar de lado el desarrollo de
habilidades de cómputo. Si no se dirige la mirada al
profesor, Enciclomedia puede ser un artículo decorativo para el aula, atractivo para los estudiantes, pero
muy costoso y que no favorece mejores interacciones
y aprendizajes.
Es lamentable que se insista, en la mayoría de las
reformas, en cambios de contenido en el currículo, sus
métodos y sus propósitos, cuando el históricamente
olvidado es el docente. ¿No debería ser el profesor
el foco de atención para cualquier reforma futura?
Es posible hacer excelentes diseños curriculares, de­
fi­nir métodos excepcionales, mirar hacia propósitos
extraordinarios, poner computadoras en todas las
escuelas, pero ¿quién es el encargado directo de concretar dichos planes?, el profesor.
Lo que sigue para que la inversión en Enciclomedia rinda frutos es voltear la mirada al profesor, verlo
como un profesional de la educación y encaminar
todos los esfuerzos en esa ruta, ya que finalmente el
valor de Enciclomedia, su valor real, depende del uso
que los profesores hagan de ésta.
Este uso ubica a Enciclomedia en dos grandes
vertientes: como recurso para realizar tareas de enseñanza tradicional de manera tecnificada o como
agente de cambio que enriquezca la Enseñanza de
las Matemáticas. @
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México: unam.
57
¿Una nueva reforma
para la Enseñanza
de las Matemáticas?
Notas para un análisis
Leticia Iturbe Meza*
[email protected]
PRESENTACIÓN
E n las pasadas décadas, en nuestro país, tras una etapa de expansión del servicio educativo
se logró una amplia cobertura del mismo, sobre todo, en lo que respecta a la educación básica.
Sin embargo, este crecimiento cuantitativo, bajo un modelo de igual educación para todos
(mismos programas de estudio, mismo calendario escolar, mismos exámenes) que no toma en
cuenta la desigualdad económica, social y cultural de los diferentes sectores de la población,
ha dado origen a una distribución inequitativa de oportunidades reales de recibirla. A pesar
del discurso de equidad, hay grandes diferencias de infraestructura escolar, preparación de
recursos humanos y disponibilidad de materiales entre las escuelas, diferencias que llegan a
ser ofensivas cuando comparamos, sólo por dar un ejemplo, una escuela indígena con una
escuela urbana privada del Distrito Federal.
Paradójicamente, brindar igual educación, cuando no todos tienen las mismas oportunidades económicas y culturales de apropiarse de ella, ha significado mantener e incluso ahondar
las diferencias. El acceso a la educación de los grupos más pobres no garantiza la permanencia
ni la calidad de la misma y sí ha dado por resultado: rezago educativo, deserción, retraso académico y bajo aprovechamiento escolar. Una verdadera equidad necesariamente implicaría
acciones diferenciadas, como lo serían programas de apoyo para los grupos en desventaja.
Necesariamente el proyecto educativo de un país tiene que ir cambiando, transformarse
para responder a las necesidades de una sociedad. Una de las formas en que se ha buscado este
cambio es a través de las llamadas “reformas educativas”. La última de éstas, que ha marcado
mi práctica docente de manera más significativa, principalmente en lo relativo a la enseñanza
————————————
∗
Profesora de educación primaria (benm). Licenciada en Educación (upn).
58
¿Una nueva reforma para la Enseñanza de las Matemáticas?
de las Matemáticas, es la llamada Reforma del 93. De
ella y de la manera en que me ha tocado vivirla, desde mi
perspectiva de maestra de grupo en escuelas primarias, es
de lo que tratan estas líneas.
LA REFORMA EDUCATIVA DE 1993
Y LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
En la década de 1990, el Estado Mexicano implanta el
Proyecto de Modernización Educativa para lograr la transformación del sistema educativo nacional. En educación
básica se lleva a cabo una reforma que busca preparar a
los estudiantes para que enfrenten los desafíos del mundo
moderno y respondan a las demandas del nuevo orden
laboral y de consumo.
La Reforma Educativa de 1993 se propone transformar la educación básica a partir de la elaboración de
una nueva propuesta curricular basada en principios
de corte constructivista, con lo que toca así aspectos no­
dales: contenidos de aprendizaje, procesos pedagógicos y
estrategias didácticas. Se hace preciso entonces modificar
la formación magisterial buscando un nuevo perfil profesional. La Secretaría de Educación Pública (sep) inicia la
transformación en educación primaria para después continuar los cambios en preescolar, secundaria y normales.
Al ser una reforma básicamente curricular, el documento
central de la misma es el Plan y programas de estudio 1993,
que plantea como uno de los propósitos generales de la
educación primaria: “Desarrollar la capacidad de utilizar
las matemáticas como un instrumento para reconocer,
plantear y resolver problemas” (sep, 1993:50) y presenta el
enfoque de la Enseñanza de las Matemáticas que sustenta
los programas de la materia.
El enfoque plantea una visión de la enseñanza que
pretende superar el formalismo y la concepción predominante que supone que los niños deben aprender primero
un algoritmo, después ejercitarlo y, por último, aplicarlo
a la resolución de cierto tipo de problemas, y propone
que los niños construyan conocimiento matemático a
partir de la resolución de tales problemas. Sostiene que
al enfrentarse a una situación problemática que necesita
ser resuelta, los niños ponen en juego conocimientos
59
En este artículo se analizan algunas
características de la Reforma Educativa
de 1993 y el proceso de actualización
docente en relación con su enfoque de
enseñanza de las Matemáticas desde la
mirada de una profesora de educación
primaria.
Se discute la necesidad de una verdadera evaluación de los resultados de
esta reforma curricular, que se pretende
dejar inconclusa al imponer un nuevo
currículo cuando los docentes aún lu­
chan por apropiarse de los principios
pe­dagógicos del primero. Finalmente, se
argumenta la necesidad de contar con
docentes comprometidos con su propia
formación.
Palabras clave: Reforma del 93, maestros,
Matemáticas, actualización.
uuuuu
In this paper some features of 1993
Educational Reform, and the teachers’
education process in regard with their
teaching approach to Mathematics are
analyzed from the point of view of a
primary education teacher. A discussion
is made about the need for a real assessment of the results from this curricular
reform, pretended now to be given up
unfinished by imposing a new curriculum, when teachers still struggle for
appropriating the pedagogical principles
of the first one. Finally, an argument is
posed for the need of teachers engaged
with their own education.
entre maestr@s
previos y utilizan diversos procedimientos informales
e intuitivos a partir de los cuales pueden construir una
solución. Sugiere así una nueva manera de entender
las Matemáticas e intenta cambiar las prácticas de su
en­señanza. La concepción de la resolución de problemas como generadora de aprendizajes matemáticos
es reiterada en el Programa Nacional de Educación
2001-2006, en el que se afirma que
“especialista en Enseñanza de las Matemáticas”. Yo
tenía algunos estudios de Pedagogía; mi inclinación
por la lectura me había llevado a participar en cursos y talleres de fomento y promoción de la lectura;
tenía conocimientos generales de los planteamientos
del constructivismo, pues había sido asesora de la
Propuesta para el Aprendizaje de la Lengua Escrita
(pale); pero mis conocimientos matemáticos eran casi
nulos. Me anoté en el grupo de segundo tomando en
cuenta que con ese grado trabajaría en el próximo
ciclo escolar, pero también por mi desconocimiento
de los contenidos de grados superiores. Además, en
ese ciclo escolar 93-94 se aplicarían sólo los nuevos
programas para primero, tercero y quinto grado. Para
los otros sería una etapa de transición en la que se
seguirían utilizando los libros anteriores, además de
aplicar el enfoque en el desarrollo de algunos juegos y
actividades matemáticas. Ya en el ciclo 94-95 se aplicarían los programas en toda la educación primaria.
Así es que aquel taller, de cuatro o cinco días
de trabajo intensivo con los expertos, fue mi primer
acercamiento a una concepción distinta de Enseñanza
de las Matemáticas que buscaba que los aprendizajes de los niños tuviesen un verdadero sentido. Un
probado conocimiento no sólo de los contenidos
sino del pensamiento matemático de los niños y de
la didáctica misma, además del entusiasmo de su discurso, hizo que estos expertos, entre quienes recuerdo
a Alicia Carvajal, Hugo Balbuena y David Block,
nos convencieran de las bondades del enfoque y
así nos convertimos en sus promotores entusiastas.
Me correspondió reproducir el taller con maestros de Oaxaca y el Estado de México. En cada uno
de estos grupos reflexionamos acerca de la forma en
que tradicionalmente habíamos enseñado las Matemáticas y la nueva manera que ahora se nos proponía,
basada en los resultados de investigaciones acerca de
los procesos de pensamiento del niño y la didáctica
de las Matemáticas. El entusiasmo estaba presente
en muchos de estos profesores, pero también había
inquietud, desconfianza, dudas, miedo.
[…] una educación bá­sica de buena calidad es aquella
que propicia la capacidad de los alumnos de reconocer
plantear y resolver problemas; de predecir y generalizar resultados; de desarrollar el pensamiento crítico,
la imaginación espacial y el pensamiento deductivo
(sep, 2001:123).
EL PROCESO
DE ACTUALIZACIÓN INICIAL
Ahora bien, ¿cómo se cambiarían las prácticas de
enseñanza de los profesores en servicio?, ¿cómo formarlos en este nuevo enfoque?, ¿era suficiente actualizarlos en las nuevas ideas o sería necesario romper
con nociones y concepciones presentes acerca de las
Matemáticas? En ese entonces seguramente se pensó
que el esquema de “capacitación en cascada” era la
mejor solución. Dicho esquema consistía en que un
pequeño grupo de expertos en Enseñanza de las Matemáticas, entre ellos los autores de los nuevos libros
de texto, trabajaría directamente, en la modalidad de
talleres, con grupos de “especialistas” para cada grado de la educación primaria. El propósito de estos
talleres sería el análisis, conocimiento y manejo del
enfoque, el plan, los programas y los nuevos libros
de texto. Cada uno de estos “especialistas” reproduciría el taller con uno o más grupos de profesores
que fungirían como “capacitadores” y éstos a su vez,
lo harían con quienes finalmente replicarían el taller
con los maestros de grupo.
Fue así como en el verano de 1992, en tanto
maestra de primaria sin ninguna formación específica en Matemáticas, fui invitada a participar como
60
¿Una nueva reforma para la Enseñanza de las Matemáticas?
Finalmente, regresé a mi sector escolar en Iztapalapa en donde se habían reunido todos los profesores
de acuerdo con el grado con el que trabajarían en el
ciclo escolar que iniciaba. Ahí me tocó participar
en la última etapa del proceso de capacitación, ahora
en mi papel de maestra de grupo, y pude comprobar
que aquello que tanto inquietaba a los participantes
de los talleres había sucedido: una buena parte de la
información y reflexiones acerca del nuevo enfoque
de Enseñanza de las Matemáticas se había deformado,
perdido o transformado en el camino y lo que ahora se
nos proponía a mis compañeros maestros y a mí distaba mucho de lo que los expertos habían planteado.
De esta manera arrancó esa reforma educativa en
la que, al igual que muchos profesores, me enfrenté
a una nueva concepción de las Matemáticas y de su
enseñanza. Concepción que, los profesores intuíamos,
le daba sentido a los aprendizajes matemáticos de
nuestros alumnos y a nuestra práctica, pero que la
mayoría de nosotros escasamente entendía y que
nos exigía conocimientos y habilidades diferentes.
En nuestras escuelas, los nuevos enfoques, tanto de
enseñanza del Español como de las Matemáticas,
se volvieron temas de análisis, discusión, acuerdos
y desacuerdos en asambleas del Consejo Técnico,
reuniones informales y charlas durante el recreo.
En adelante fuimos familiarizándonos con el
programa, el enfoque y las actividades que se proponían en los ficheros de actividades y en otros libros
de apoyo que se nos habían proporcionado. Cada
uno de nosotros los llevaba a la práctica de acuerdo
con sus posibilidades y a las interpretaciones (¿o
malinterpretaciones?) que hacíamos del mismo.
Algunos dejábamos de lado aquellas actividades que
nos parecían incomprensibles o para las que no nos
sentíamos suficientemente hábiles; adaptábamos a
las características de nuestros alumnos las que considerábamos adecuadas y realizábamos aquellas que
juzgábamos más interesantes o fáciles. Lentamente
las prácticas empezaban a cambiar. Sin embargo, algunos pensaban que era exactamente lo mismo pero
dicho con otras palabras y continuaban su trabajo
sin cambiar nada, ignorando las nuevas propuestas
y materiales.
LA REFORMA CONTINÚA
Cambiar una propuesta curricular y brindar una capacitación inicial a los profesores no implica que las cosas
se transformen drásticamente en las aulas. Los cambios
en educación tienen sus propios tiempos y no se dan
por decreto. Conviene reflexionar acerca de algunas
de las características y acciones de esta reforma.
• Por su modo de implementación es una re­
forma descendente. Impuesta como parte
de la política educativa nacional y, al menos
en un primer momento, no hace partícipes
a maestros, directores de escuela y sociedad
de los cambios propuestos.
• Es una reforma básicamente curricular. Centrada en el cambio de contenidos y metodología. Si bien toma en cuenta los aportes de
la investigación en educación matemática en
cuanto a las características de los contenidos
matemáticos y los procesos cognitivos de
aprendizaje de los estudiantes, deja de lado
las prácticas docentes.
• Implicó la participación de investigadores y
expertos en educación en la elaboración de
libros para los alumnos y materiales bibliográficos para los maestros.
• Incluyó, en su fase inicial, un proceso de
actualización a maestros en servicio.
• A partir de 1996, los Talleres Generales de
Actualización, al inicio de cada ciclo escolar,
abordan diversas temáticas inherentes a la
reforma como: uso de los libros de texto y
demás materiales bibliográficos; el enfoque
basado en la resolución de problemas; construcción de ambientes de aula favorables
para el trabajo matemático; conocimientos
previos de los alumnos, etcétera.
61
entre maestr@s
• Se diseñó un curso específico para el cono­
ci­miento y manejo de este enfoque: La
En­señanza de las Matemáticas en la escuela
primaria (Block, D.,1995). A partir de 1996
se convocó a los maestros a estudiarlo de
acuer­do con sus posibilidades y a acreditarlo
a través de un examen. La participación en
este curso (individual, voluntaria, autodidacta o en pequeños grupos) pasó a formar
parte del sistema de evaluación docente
y promoción horizontal llamado Carrera
Magisterial. En los Centros de Maestros se
organizaron talleres –fuera del horario laboral
de los docentes– en los que se abordaban los
contenidos del Curso Nacional de Actualización (cna).
• En 1997, la formación inicial de los profe­
sores se hizo corresponder con la nueva pro­
puesta al transformarse el currículum de la
Licenciatura en Educación Primaria. Así,
la primera generación de profesores formados
dentro de los principios pedagógicos de la Reforma del 93 egresó en 2001. Las licenciaturas
en Educación Secundaria y Preescolar fueron
reformadas hasta 1999.
• Mientras estos cambios sucedían, la organización del sistema educativo y, específicamente,
de las escuelas permaneció prácticamente
inamovible.
ya formaban parte de la vida cotidiana del aula. Algunas
actividades resultaban bastante bien pero otras eran un
verdadero fracaso. Muchas veces me quedaba paralizada al no saber cómo reaccionar ante las inquietudes,
dudas y respuestas de mis alumnos. Plantear problemas a los niños antes de enseñarles la operación que los
resuelve, idea que en un principio resultaba bastante
interesante, en la práctica parecía imposible.
Mi insuficiente formación en Matemáticas era
más evidente desde esta perspectiva de trabajo, así es
que cuando en 1996 se abrió el Curso Nacional de
Actualización: La Enseñanza de las Matemáticas en la
Escuela Primaria, me inscribí. Como el doble turno no
dejaba tiempo libre para asistir a asesorías, el estudio
individual en casa fue la única opción. Las características del taller me permitieron no solamente empezar a
aprender, sino también a hacer Matemáticas, reflexionar
acerca de su enseñanza y conocer los materiales con los
que contábamos los maestros. Me llevaba mucho tiempo resolver algunas de las situaciones o problemas que
ahí se planteaban, otros incluso se volvían un desafío
para la familia. La resolución de problemas se convirtió
así en el gusto por enfrentar retos y la satisfacción que
entrañaba llegar a la solución.
Aunque aprobé el examen en la primera oportunidad, como podía presentarlo hasta en tres ocasiones
–con lo cual obtenía puntaje para Carrera Magisterial–, lo presenté dos veces más. La preparación del
examen se volvió un excelente pretexto para abordar el
taller con un pequeño grupo de colegas, de esta manera nuestra comprensión del enfoque se vio enriquecida
por el análisis, confrontación y discusión colectivas.
Los profesores luchamos por apropiarnos de nuevos
principios pedagógicos y matemáticos y transformar
nuestras prácticas, pero ¿qué pasa con nuestros alumnos?, ¿qué dicen las evaluaciones externas?
En lo anterior se hacen evidentes fallas u omisiones,
pero también avances y aciertos. Hasta el momento
no se ha realizado una evaluación global de esta reforma y ya tenemos otra en puerta.
LA ACTUALIZACIÓN PERMANENTE
Durante los primeros años de la reforma mi clase de
Matemáticas, siempre con alumnos de primer ciclo,
había cambiado un poco. Los juegos propuestos en el
libro Juega y aprende Matemáticas y algunos materiales
como los tangramas, dominós, dados y fichas de colores
LAS EVALUACIONES EXTERNAS
A 16 años de implementación, esta reforma no pa­rece
haber cumplido con sus ambiciosos propósitos ni haber
logrado los resultados esperados. Las ba­jas puntuaciones
62
¿Una nueva reforma para la Enseñanza de las Matemáticas?
alcanzadas en evaluaciones externas –pisa, Excale, Enlace– por alumnos de diferentes niveles educativos son
sólo la parte más evidente del problema.
El Programa Internacional de Evaluación de
Estudiantes (pisa) pretende evaluar y comparar
los sistemas educativos de naciones participantes a
tra­vés de una evaluación matricial aplicada a una
muestra de alumnos escolarizados de 15 años de
edad. En 2003, hizo énfasis en las competencias
matemáticas definiéndolas como la “capacidad de
los alumnos de aplicar sus conocimientos y habilidades en áreas académicas fundamentales y de analizar,
razonar y comunicarse eficazmente cuando plantean,
resuelven e interpretan problemas relacionados con
distintas situaciones” (ocde, 2006). Casi 66% de
los estudiantes mexicanos se ubicaron en los niveles
más bajos (1 y 0) de competencia, con lo que México
quedó entre los países con menor nivel de desempeño
matemático.
En nuestro país, el Instituto Nacional para la
Evaluación de la Educación (inee) aplica los Exámenes de la Calidad y el Logro Educativos (Excale).
Exámenes estandarizados, criteriales, alineados al
currículum y con diseño matricial que brindan in­
formación del logro educativo de los estudiantes.
En 2005, casi 70% de estudiantes de sexto grado de
primaria en Matemáticas se ubicaron en los niveles
Básico y Por debajo del básico.
Pero la prueba que parece preocupar más a
los profesores es Enlace. Según la sep (http://www.
enlace.sep.gob.mx), está diseñada para informar en
qué medida se logran los propósitos de los planes y
programas de estudio y para reflejar el resultado del
trabajo escolar. Los resultados de la primera aplicación
de Enlace en 2006 no son una sorpresa para nadie.
El nivel alcanzado por ocho de cada 10 estudiantes de primaria y secundaria, en Matemáticas, se ubica
en los niveles más bajos de desempeño académico: insuficiente y elemental. Coincidentemente, las escuelas
con peores resultados se encuentran en zonas de alta
marginación económica, social y educativa.
Dos años después, lo reportado por Enlace 2008
en Matemáticas es similar: 77.7% de alumnos con
niveles insuficiente y elemental en primaria. Los
resultados en secundaria son aún más alarmantes:
94.4% en esos niveles.
El uso que se ha hecho de los resultados de Enlace es cuestionable, la difusión de los datos obtenidos,
sin un análisis serio de las causas, ha provocado fuertes
críticas y ataques de diferentes sectores de la sociedad
a la escuela pública y sus docentes, lo que ha producido cierto pesimismo en estudiantes y maestros. Por
su parte, la Secretaría de Educación ha dedicado más
tiempo a resaltar y premiar los “mejores resultados”
obtenidos por alumnos y escuelas que a explicar cómo
servirá la información arrojada por esa prueba para
mejorar la educación.
La tendencia del discurso oficial, apuntalado en
gran parte por las grandes televisoras, ha sido, por
una parte, culpar a los maestros de la “crisis de la
educación” y, por otra, depositar en ellos la responsabilidad de un cambio. En el inicio del ciclo escolar
2008-2009, el Subsecretario de Educación Básica demanda una “rendición de cuentas” a las instituciones
formadoras de maestros, “ya que ellos [los maestros]
son la clave de la transformación y la solución a la
calidad educativa” (www.sep.gob.mx). De esta manera,
el discurso oficial contribuye a hacer más profunda
la distancia entre el educador ideal y el docente real
que responde a las exigencias y compromisos que
su trabajo le demanda y al mismo tiempo vive el
deterioro constante de sus condiciones económicas,
profesionales y laborales. Ahora la sep asegura que:
“Materiales educativos, formación de maestros y
gestión escolar son los tres grandes componentes de
la Reforma Integral de la Educación Básica” (www.
sep.gob.mx), disponiéndose para nuevos cambios.
UNA VERDADERA EVALUACIÓN
Proponer otra reforma educativa –una más– no parece lo más adecuado. Plantearla supondría que se han
hecho muchas cosas, entre otras, una de primera im63
entre maestr@s
portancia: una evaluación del estado actual que guarda la política educativa vigente. Evaluación que nos
estaría mostrando cuáles son los logros alcanzados y
lo que falta por lograr, que no sólo nos diría lo que
está mal, sino lo que hay que hacer, que nos brindaría
datos, información, indicadores que puedan darnos
elementos suficientes para tomar decisiones.
Una evaluación que pretenda motivar o justificar
una nueva reforma tendría que ser suficientemente
amplia, en el espacio y en el tiempo. Tendría que ser
sistémica y considerar a todos los actores y dimensiones del sistema: alumnos, profesores, directores, padres de familia, infraestructura, materiales, recursos,
metodologías, formación y actualización magisterial,
prácticas y concepciones docentes, condiciones laborales y sindicales, etc. Asimismo, se requiere saber si
lo que falta por lograr es una deficiencia imputable
a los planes y programas de estudio o si tiene una
naturaleza externa a ellos.
Los resultados arrojados por pruebas como pisa y
Excale informan de serios problemas en el aprovechamiento académico de nuestros estudiantes, además
de reflejar la enorme desigualdad entre regiones del
país, modalidades educativas y educación pública y
privada (inee, 2006; ocde, 2006). La aplicación de
estos exámenes, aun considerándolos instrumentos
confiables y válidos que dan cuenta del logro de
ciertas competencias, no significa evaluar, aunque ello
forme parte de la evaluación. La competencia matemática que pretenden medir de manera unidimensional es un atributo multidimensional mucho más
complejo que una lista de habilidades y estrategias.
Por ello, vale la pena preguntarse si la interpretación
que se hace de sus resultados es suficientemente válida
como para justificar otra reforma.
Indudablemente se han hecho investigaciones
acerca de las prácticas docentes; de la aceptación o
rechazo del nuevo enfoque; del uso de los libros de
texto y otros materiales; de la organización escolar;
de la interpretación y puesta en práctica de los enfoques didácticos; del trabajo colaborativo, etc. Pero…
¿una nueva reforma asegura que la situación educativa
cambiaría de forma positiva y radical?
¿OTRA REFORMA?
La experiencia mexicana en materia de reformas
educativas ha mostrado que no basta con hacer
cam­bios curriculares para superar los problemas
educativos. Actualmente muchos de los planteamientos curricu­lares de la educación básica y normal están siendo cuestionados por los avances en la
investigación educa­tiva, lo cual obliga a una revisión
y adecuación constante. Aún así, el análisis de los
contenidos curriculares, de la propuesta metodológica, de los libros de texto y de los materiales de
actualización nos muestra sus bondades, entonces…
¿qué pasa?, ¿hay que cambiarlos?
Una respuesta seria y bien fundamentada no
puede darse con facilidad, conviene mejor plantear
una serie de cuestiones por resolver que bien podrían
ser líneas de investigación: por qué la escuela es como
es; por qué los directores no son líderes académicos;
por qué la gestión escolar suplanta la gestión pedagógica; por qué lo administrativo está por encima de lo
educativo; por qué los maestros trabajan en solitario y
las escuelas no asumen metas comunes; qué impide al
Consejo Técnico convertirse en un verdadero espacio
de trabajo colegiado; por qué las finalidades de la
escuela no son conocidas por los padres de familia;
por qué no se establecen mecanismos y formas de
evaluación más amplios... y otros muchos porqués.
Una reforma educativa no sólo es curricular,
implica procurar que las condiciones educativas sean
cada vez mejores, debe estar precedida de amplios
acuerdos sociales, políticos, sindicales y académicos,
establecer políticas educativas de Estado en las que se
aproveche la experiencia y el potencial de los profesores.
Precisamente, uno de los elementos centrales y a la vez
más descuidados en la reforma del 93 hemos sido los
profesores. Una capacitación de unos cuantos días al
año obviamente no ha cambiado el pensamiento de los
maestros, a pesar de los esfuerzos individuales. Éste se
64
¿Una nueva reforma para la Enseñanza de las Matemáticas?
manifiesta en concepciones, creencias, prácticas y formas de relacionarse con el conocimiento matemático,
con los alumnos, con los colegas y con la propia práctica y es producto de una formación escolar, profesional y
laboral de años. La mencionada reforma ha descansado
en el hacer de los maestros, suponiendo que si hacen
lo que “deben hacer” según la metodología propuesta,
se lograrán los cambios. La expectativa parece ser que
los docentes, a través de algunos cursos y la familiarización con los nuevos materiales, programas y libros
de texto transformarán sus prácticas por el sólo hecho
de utilizarlos y que a un cambio de prácticas docentes
corresponderá un cambio de pensamiento.
Análisis como el realizado por Ávila (2004) suponen una relación entre el cambio de prácticas y el
cambio de pensamiento, abordan la manera en que
los materiales portadores de la reforma y las actividades propuestas pueden llevar al maestro a romper
un contrato didáctico establecido e involucrarse en
otras prácticas que pudieran inducirlo a un cambio
de pensamiento. Sin embargo este parece ser un proceso demasiado largo. Otra investigación (Carpenter,
2004) da cuenta del importante papel que juegan los
docentes en todo intento de reforma y reconoce que
para que éstos se involucren en prácticas innovadoras es necesario un largo y complejo proceso. No es
suficiente que los maestros entiendan un enfoque o
propuesta innovadora para que esto ocurra.
De acuerdo con lo anterior, lo que se necesita no
es otra reforma, sino evaluar y consolidar la actual a
través de un proyecto bien estructurado, sistematizado y sostenido de actualización docente que realmente
nos involucre como maestros.
rarlo. Sin embargo eso no es responsabilidad exclusiva
de los profesores, sino de una política educativa que
contemple la mejora de sus condiciones laborales y
que genere una estructura de formación, profesionalización y actualización que realmente funcione. Política
que al tomar en cuenta sus conocimientos, experiencias
y necesidades los haga partícipes del cambio y genere
en ellos la necesidad de mejorar su quehacer.
Evaluar el trabajo docente seguramente es com­
plejo, pero posible. Crear una necesidad de cambio en
los profesores puede incluir mejoras salariales, so­ciales,
culturales. El magisterio no es un apostolado, ni un
asunto de vocación. Ser maestro es un trabajo, una
profesión. Ser mejor maestro debe ser redituable
económica, social y culturalmente. @
BIBLIOGRAFÍA
Ávila, Alicia (2004). Entre la costumbre y las presiones
de la innovación. La enseñanza de los números en
primer grado. En: Educación Matemática, vol.16,
núm. 2, pp. 21-48.
Block, David (coord.) (1995). La enseñanza de las Matemáticas en la escuela primaria. México: Secretaría de
Educación Pública.
Carpenter, Thomas (director) (2004). Scaling Up Innovative Practices in Mathematics and Science. Wisconsin:
NCISLA/Mathematics & Science.
Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación
(2006). El aprendizaje del Español y las Matemáticas
en la educación básica en México. México: inee.
Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (2006). Informe pisa 2003. Aprender para el
mundo del mañana. México: Santillana.
Secretaría de Educación Pública (1993). Plan y programas
de estudio 1993. Educación Primaria. México: sep.
Secretaría de Educación Pública (2001). Programa Nacional de Educación 2001-2006. México: sep.
UN NUEVO MAESTRO
Lo que hace falta a la educación de nuestro país no son
tanto administradores e investigadores educativos como
maestros involucrados con el cambio, comprometidos con su propia formación. Docentes más preparados
que comprendan lo que realmente acontece en el aula
y tengan los elementos para proponer formas de mejo-
OTRAS FUENTES
www.sep.gob.mx boletín 2330808
http://www.enlace.sep.gob.mx
65
De la Geometría
al estudio de la forma,
el espacio y la medida
Silvia García*
[email protected]
Al comenzar a escribir estas líneas me asaltó un pensamiento
que estuvo a punto de hacerme abandonar la pluma:
¿para qué escribir nada acerca de Geometría,
cuando son tan pocas en nuestra República las escuelas
en las que esta asignatura es enseñada?
Carlos A. Carrillo
R esulta sorprendente que las palabras anteriores, que bien podrían describir la situación
actual, hayan sido escritas a finales del siglo xix por el pedagogo mexicano Carlos A. Carrillo.
En efecto, en comparación con la Aritmética, la Geometría pocas veces es invitada a nuestras
aulas escolares y cuando la invitan no la tratan muy bien.
A principios y mediados del siglo pasado, la Geometría ocupó un lugar secundario con
respecto a la Aritmética. En los años 1970, se presentó de una manera diferente, interesante,
pero ajena a los docentes. Es en las reformas de 1993 y en la actual (2009) que la Geometría,
al menos en los programas y libros de texto, ha logrado colocarse en un mejor lugar.
Se invita al lector a hacer un breve viaje en el tiempo, un recorrido por las reformas
educativas del siglo xx que tuvieron lugar en nuestro país. En esta travesía se espera que el
maestro conozca algunas de las ideas de cada reforma con respecto a la Geometría, vistas a la
luz de los programas y los libros de texto.
Como es de esperarse, el destino del viaje corresponde ya al siglo xxi con la reforma que
inicia este año escolar (2009-2010). Se espera que la lectura de este texto motive al maestro
a voltear su mirada hacia esta rama de las Matemáticas que tanto puede ofrecer a quien la
enseña y a quien la aprende.
—————————————
* Maestra normalista con estudios de maestría en la upn y en el Cinvestav. Autora de libros de Matemáticas para
primaria, secundaria y de materiales de apoyo para maestros.
66
De la Geometría al estudio de la forma, el espacio y la medida
LOS AÑOS 1920. LA
ARITMÉTICA POR UN LADO,
LA GEOMETRÍA POR OTRO
De todos los programas que se presentan en este texto, el
de 1922 es el único en el que la Aritmética y la Geometría
aparecen como dos asignaturas diferentes. Los contenidos
aritméticos se tratan desde primer grado y los de Geometría inician, propiamente, desde tercer grado.
En primero y segundo años se darán las nociones geométricas fundamentales que se deriven de las clases de lengua
nacional y estudio de la naturaleza.
El programa es un listado de contenidos que, de tercero
a sexto, no ocupa más de una página. Con frecuencia
se menciona que el acercamiento debe ser intuitivo y se
sugiere no olvidar las aplicaciones prácticas.
En esa época no existían libros de texto gratuitos,
pero en los boletines de la sep se presentaba una lista de
libros recomendados, entre los que figuraba el libro Las
aritméticas de Thorndike.
Como su nombre lo indica, esta obra trata básicamente de Aritmética, aunque entre sus páginas hay
algunas dedicadas a la Geometría. La figura 1 muestra la
manera en que se presenta a los niños el estudio de los
cuadriláteros (data de 1926).
Figura 1. Lección sobre cuadriláteros, del libro Aritméticas de
Thorndike (1926)
67
Esta es una breve historia que muestra
cómo, por aproximaciones sucesivas,
los materiales de apoyo oficiales han
tratado de poner en claro todas las posi­
bi­lidades de aplicación y formativas que
ofrece la enseñanza y aprendizaje de la
Geometría. Se hace un recorrido en el
tiem­po por algunas de las principales
ideas que, con respecto a esta rama
de las Matemáticas, se han propuesto
en los programas y los libros de texto de
las reformas educativas de primaria de
nuestro país, desde la creación de la sep
hasta nuestros días.
Palabras clave: Matemáticas, Geometría,
reforma, programas, libros.
uuuuu
This is a brief story about how the official
educational resources, through successive approximations, have intended to
clarify all the practical and educational
possibilities offered by teaching and
learning of Geometry. A route is made
throughout time over some of the chief
ideas which, in regard to this branch of
Mathematics, have been propounded
in curricula and text books by primary
education reforms in Mexico, from SEP’s
(Public Education Ministry) creation up to
present day.
entre maestr@s
¿Qué se observa? Se inicia con la definición de cua­drilátero, después se pide hacer un trazo;
enseguida se da la definición de paralelogramo y se ejemplifica con varios dibujos.
En la última parte se da la definición de rectángulo. El autor usa la enseñanza ostensiva,1
considera que presentar la definición y una ilustración basta para compren­der, de un solo golpe y
en media página, lo que son los cuadriláteros, los paralelogramos y el rectángulo.
LOS AÑOS 1940. APLICACIONES PRÁCTICAS Y ÚTILES DE LA GEOMETRÍA
En el programa de 1940, Aritmética y Geometría es una sola asignatura. Hay un aumento considerable de contenidos. Por ejemplo, en segundo grado se estudian los ángulos agudos, obtusos y
rectos; en cuarto grado los complementarios y suplementarios y en quinto, los ángulos diedros.2
Una constante en estos programas es “la aplicación de lo aprendido”, por ejemplo:
•
•
Figura 2. Lección sobre cuadriláteros, del libro Aritmética y nociones de Geometría, de José E. Rozán (1945)
1
Aplicación de los conocimientos anteriores en el
trabajo escolar.
Problemas, prácticos, gráficos y numéricos apli-­
cando los conocimientos adquiridos.
Esto se reafirma en una parte del programa que
recibe el nombre de “Actividades” y que para
Geo­metría propone: dibujo, recorte, modelado,
construcción, decorados, labores de corte y confección o el trazo de parcelas del huerto y jardín
escolar.
No había libro de texto gratuito pero entre
los que circulaban, y que era muy similar a otros
de la época, se encuentra Aritmética y nociones de
Geometría de José E. Rozán. La figura 2 muestra
una página del libro para quinto y sexto que
muestra el inicio de la lección sobre cuadriláteros
(data de 1945).
La lección completa consta de cuatro páginas
similares. El autor presenta diferentes cuadriláteros, sus definiciones y propiedades. Finaliza
su exposición con instrucciones para trazar un
Con la enseñanza ostensiva se alude a una cierta presentación de los objetos de enseñanza en la que todos los elementos
y relaciones constitutivas de la noción prevista son proporcionados de un solo golpe por el profesor o el libro de texto
(H. Ratsimbra-Rajohm, citado por A. Ávila, 2006).
2
Los ángulos complementarios son los que suman 90º, los suplementarios suman 180º. Los ángulos diedros son los que
están formados por dos planos, por ejemplo, el ángulo que forman dos caras de un cuerpo geométrico. En la actualidad
estos tipos de ángulos no forman parte de los contenidos de educación primaria.
68
De la Geometría al estudio de la forma, el espacio y la medida
cuadrado, un rectángulo, un rombo y un cuadrilátero
igual a otro ya dado. Después de toda la explicación
propone 26 problemas para resolver.
¿Qué se observa? La enseñanza sigue siendo ostensiva, parte de definiciones y explicaciones sobre los
objetos geométricos. También está presente la idea de
“aprendo-aplico”: primero expone todo un discurso
acerca de los diferentes cuadriláteros, sus propiedades
y algunas construcciones para después enfrentar al
alumno a una serie de problemas en los que aplicará
lo que ya “aprendió” del texto.
ción”. A manera de ejemplo se presentan los siguientes
contenidos de cuarto grado:
a) Uso de la regla, escuadra, compás y transportador.
b) Conocimiento de ángulos rectos, obtusos, agudos, complementarios y suplementarios.
Se recomienda desarrollar habilidades y promover
hábitos en los alumnos, por ejemplo:
Habilidad: para manejar instrumentos geométricos y
para aplicar el trazo geométrico en la construcción de
juguetes y objetos útiles.
Hábito: de limpieza, orden y cuidado con los instrumentos geométricos y demás útiles.
LOS AÑOS 1960. LA GEOMETRÍA
COMO UNA COLECCIÓN
DE CONCEPTOS Y TRAZOS
En la reforma de los años 1960, la asignatura sigue
llamándose Aritmética y Geometría y está dividida
en varios apartados; el que corresponde a Geometría
recibe el nombre de “Prácticas de trazo y construc-
Al parecer, estas habilidades se referían a cuestiones
motrices. En estos programas la Geometría era con-
Figura 3. Lección sobre cuadriláteros, del libro de texto gratuito Mi libro de cuarto grado. Aritmética y
Geometría (1960)
69
entre maestr@s
cebida como un listado de objetos geométricos que los alumnos tenían que conocer y aprender
a trazar con fines prácticos. En esta época aparece por primera vez el libro de texto gratuito. La
figura 3 corresponde a dos páginas de la lección completa sobre cuadriláteros en el libro de cuarto
de 1960.
Es importante mencionar que en esta lección, a diferencia de las dos presentadas con anterioridad, se percibe un esfuerzo del autor por introducir de una manera “más amable” los cuadriláteros.
Se presenta como una plática entre dos amigos que observan rectángulos y cuadrados en los vidrios
y en los mosaicos de una construcción. La lección termina con definiciones de diferentes cuadriláteros, algunas erróneas, como la del trapezoide, y otras que en la actualidad se conciben de una
manera diferente, como la del rombo.3
Podría pensarse que el tratamiento didáctico es diferente al de las lecciones de Thorndike y
Rozán. Sin embargo, un análisis más cuidadoso nos lleva a observar que en realidad también es
una enseñanza ostensiva disfrazada con una historia “real”. Sigue presentándose la definición y el
dibujo de las figuras pensando, erróneamente, que con esto el alumno aprenderá lo que son los
cuadriláteros y sus diferentes tipos.
LOS AÑOS 1970. UNA IDEA CENTRAL EN LA GEOMETRÍA: LA SIMETRÍA
Ninguna de las reformas educativas ha sido tan radical en cuanto a los contenidos como lo fue la
de 1972. A partir de este año y hasta la fecha, la asignatura se denomina Matemáticas. En estos
programas se introducen nociones sobre lógica matemática, probabilidad y estadística.
La estructura de estos programas es sustancialmente diferente a la de los anteriores. Se enuncian
objetivos generales (por grado), particulares (por unidad), específicos (por clase) y actividades.
Con respecto a la Geometría hay un incipiente tratamiento de la ubicación espacial, se trabaja
con las ideas de izquierda-derecha, arriba-abajo, atrás-adelante y aparece, por primera vez, el plano
cartesiano. Pero el cambio más fuerte fue el tratamiento que se le da a los objetos geométricos. La
idea central que se trabaja es la simetría y, a partir de ella, se construyen otras nociones geométricas.
Por ejemplo:
Definición
tradicional
Definición basada en simetría
(así aparece en los libros de
texto de esa reforma)
Rectas
perpen­diculares
Rectas que forman
ángulos de 90°.
Dos rectas, cada una simétrica
res­­pecto a la otra, se llaman per­
pendiculares.
Polígonos
regulares
Polígonos que tienen lados iguales y
ángulos iguales.
Polígonos que tienen el mismo
número de lados y de ejes de
simetrías.
3
Hay cuadriláteros que no tienen lados paralelos y no son trapezoides, por ejemplo, el que coloquialmente se denomina
“flecha”. Con respecto al rombo, en la actualidad se concibe como un para­lelogramo con lados iguales sin que sus ángulos
sean, necesariamente, agudos y obtusos.
70
De la Geometría al estudio de la forma, el espacio y la medida
LOS AÑOS 1990.
NUEVOS ACERCAMIENTOS: UBICACIÓN
ESPACIAL Y CLASIFICACIÓN DE FIGURAS
En la reforma de 1993, la enseñanza de las Matemáticas gira en torno a la resolución de problemas.
El programa está estructurado por ejes, uno de los
cuales se llama Geometría e incluye tres apartados:
ubicación espacial, figuras geométricas y cuerpos
geométricos.
Aunque en programas anteriores la ubicación
espacial ya aparecía brevemente, es en la reforma de
los años 1990 cuando se le da mayor peso y profundidad. El estudio de la Geometría ya no consiste sólo
en el trabajo con las figuras geométricas de dos y tres
dimensiones, ahora hay un tratamiento específico de
la ubicación y orientación espacial de los alumnos
como contenido a trabajar en el aula escolar.
La figura 4 corresponde al libro de texto de cuarto
grado de 1974. Hay un gran avance en cuanto a que
se abandona la enseñanza ostensiva y la pasividad del
alumno frente a la lección. No se da una explicación
del tema, se trata ahora de interactuar con el libro de
texto. El alumno tiene que trazar los ejes de simetría
y escribir el número de ejes de cada cuadrilátero.
Después viene una serie de preguntas sobre la simetría
de cada cuadrilátero. Para el trapecio isósceles no se
trabaja la definición basada en el paralelismo, en esta
lección la definición implícita es: cuadrilátero que tiene
sólo un eje de simetría que no pasa por ninguno de sus
vértices. Es importante observar que hay un cambio
en cuanto a contenido y presentación del mismo con
respecto a la manera en que se trabajaban los cuadriláteros en programas y libros anteriores.
Figura 4. Lección sobre cuadriláteros, del libro de texto gratuito Matemáticas. Cuarto grado (1974)
71
entre maestr@s
La clasificación de figuras de dos y tres dimensiones tiene un lugar muy importante en este
programa. Esto no significa que antes no se haya trabajado, pero hay una diferencia. En los programas anteriores, al enunciar clasificación de triángulos se hacía mención a una clasificación ya
dada y que el alumno tenía que aprender, por ejemplo, de acuerdo con la medida de sus lados:
equiláteros, isósceles y escalenos. La clasificación de figuras era vista como un contenido de estudio.
En estos programas la clasificación es vista como un proceso que el alumno tiene que realizar y que
implica identificar y abstraer cierta propiedad de un conjunto de figuras. Clasificar es un nivel de
pensamiento geométrico más avanzado que identificar la figura, sus propiedades y características.
Los criterios de clasificación, en estos programas, no son estáticos, pues varían y avanzan conforme
el alumno pasa de un grado a otro: figuras con lados rectos o curvos, número e igualdad de lados,
paralelismo, perpendicularidad, simetría, características de las diagonales, etcétera.
La figura 5 muestra una de las lecciones acerca de la clasificación de cuadriláteros, es del libro
de sexto grado y el criterio de clasificación está dado por las características de las diagonales. Al igual
que en la lección de los años 1970, se ha abandonado la enseñanza ostensiva para dar lugar a una
lección en la que el alumno juega un papel activo. Si se analiza el tipo de preguntas, se advierte que
tienen un mayor nivel cognitivo que la lección de los años 1970. Nótese, por ejemplo, que las tablas de
clasificación presentadas son de doble entrada, lo que involucra relacionar dos características a la vez.
Una constante en los libros de texto gratuito de los años 1990 es la invitación continua que se hace al
alumno a que argumente o explique sus respuestas y las compare y comparta con otros compañeros.
En resumen, son lecciones para pensar y reflexionar, en las que los alumnos construyen el contenido
matemático en juego y la interacción con otros compañeros desempeña un papel muy importante.
Figura 5. Lección sobre cuadriláteros, del libro de texto gratuito Matemáticas. Sexto grado (2001)
72
De la Geometría al estudio de la forma, el espacio y la medida
En la década de los años 1990 hay diferencias
cualitativas en cuanto a lo que se entiende por apren­
der Geometría. Es importante aprender los contenidos
geométricos porque tienen aplicaciones reales, pero
también es importante porque aprender Geometría
desarrolla muchas habilidades en los alumnos: imaginar, comunicar, generalizar, estimar, etcétera. En esta
reforma son importantes no sólo los contenidos sino
también las habilidades que, a diferencia de los programas de los años 1960, van más allá que desarrollar
la motricidad para usar el juego de geometría.
Después se enuncian los Conocimientos y habilidades
que se espera que los alumnos construyan y desarrollen
y, para cada uno, se dan Orientaciones didácticas. La
figura 6 muestra una de las páginas del programa.
La parte de orientaciones didácticas delimita los
alcances de lo que se trabaja y ofrece sugerencias de
tipo didáctico para el trabajo de los conocimientos en
juego. Se espera que los alumnos desarrollen competencias matemáticas: resolver problemas de manera
autónoma, comunicar información matemática, validar procedimientos y resultados y manejar técnicas
eficientemente. Sin lugar a dudas, este nuevo programa ofrece muchos más elementos y herramientas para
los maestros que cualquiera de los anteriores.
SIGLO XXI. EL ESTUDIO DE LA FORMA,
EL ESPACIO Y LA MEDIDA
Este año inicia una reforma que se aplicará de manera escalonada. Para el ciclo escolar 2009-2010 los
maestros de primero y sexto grado trabajarán con un
nuevo programa en el que los contenidos relacionados
con Geometría aparecen, principalmente, en el eje
denominado Forma, espacio y medida.4 Cada eje está
divido en temas y subtemas:
Eje
Temas
Ubicación
espacial
Subtemas
Representación
Sistemas de referencia
Líneas (o rectas) y ángulos
Forma,
espacio
y
medida
Figuras
Figuras planas
Cuerpos
Conceptualización (o nociones)
Medida
Unidades
Figura 6. Página del Plan y Programa de estudio Matemáticas
(2009)
Estimación y cálculo
El enfoque para la Enseñanza de las Matemáticas es
el mismo que se propone en la reforma de 1993: la
resolución de problemas como propósito y medio de
aprender las Matemáticas. La figura 7 muestra una
ac­tividad sobre cuadriláteros, es del cuaderno de tra­
ba­jo de sexto grado.
4
El programa de secundaria de 2006 enuncia que la forma, el
espacio y la medida son los tres aspectos esenciales alrededor
de los cuales gira el estudio de la Geometría y la medición en la
educación básica.
73
entre maestr@s
Figura 7. Actividad sobre cuadriláteros del cuaderno de trabajo
Matemáticas 6 (2009)
Figura 8. Fragmento del material de apoyo para el maestro Secuencias didácticas (2009)
74
De la Geometría al estudio de la forma, el espacio y la medida
BIBLIOGRAFÍA
La figura 8 muestra los 16 cuadriláteros que pue­
den trazarse, esta imagen corresponde al material de
apoyo para el docente. En las sugerencias que se dan al
maestro para trabajar esta actividad, aparece la idea de
que los alumnos compartan y comparen sus hallazgos
con otros compañeros y mencionen lo que saben de
cada una de las figuras encontradas. También se indica
que el maestro (o un compañero) identifique varios
de esos cuadriláteros y que los alumnos mencionen
qué tienen en común, o bien, que se mencione una
característica y que los alumnos encuentren todos los
cuadriláteros que tienen dicha característica.
Se podrá observar que esta actividad invita al
alumno a explorar y construir cuadriláteros para después analizarlos y clasificarlos. Es muy abierta porque
la clasificación de cuadriláteros podrá tomar diferentes
rumbos, dependiendo de la propiedad o característica
que el maestro y los alumnos propongan. Es una actividad que ofrece una gran riqueza y variedad desde
el punto de vista didáctico y de contenido.
Ávila, Alicia (1988). La enseñanza oficial de las matemáticas
elementales en México; su psicopedagogía y transformación. México: Universidad Pedagógica Nacional.
Ávila, Alicia, et al. (2006). Transformaciones y costumbres
en la matemática escolar. México: Paidós.
Ávila, Alicia, y García, Silvia (s/f ). Paradigmas de las matemáticas elementales en México. El siglo xx. Reporte
de investigación no publicado. México: Universidad
Pedagógica Nacional.
Carrillo, Carlos (1964). Artículos Pedagógicos. México:
sep.
Balbuena, Hugo, et al. (2001). Matemáticas. Sexto grado.
México: sep.
Balbuena, Hugo (coord.) (2009). Matemáticas 6. Cuaderno
de trabajo para el alumno. Sexto grado. México: sep.
Balbuena, Hugo (coord.) (2009). Matemáticas 6. Secuencias
didácticas. Sexto grado. México: sep.
Filloy, Eugenio, et al. (1977). Matemáticas. Cuarto grado.
México: sep.
Rozán, José (1945). Aritmética y nociones de geometría.
Tercer libro. México: Editorial Progreso.
Matemáticas. Educación básica. Secundaria. Programas de
estudio 2006 (2006). México: sep.
Programas de estudio (2009). Sexto grado. Educación Básica.
Primaria. Segunda edición. México: sep.
Thorndike, Eduardo (1926). Las aritméticas de Thorndike. Libro segundo. Nueva York: Rand McNally y
Compañía.
Virgen, Hermelinda (1960). Mi libro de cuarto año. Aritmética y Geometría. México: sep.
Y PARA TERMINAR…
Se espera que para el lector haya resultado evidente
la gran diferencia que hay, por un lado, entre la enseñanza ostensiva de la Geometría en la que el alumno
juega un papel pasivo y, por otro, un acercamiento
en el que él es protagonista de su propio aprendizaje
y participa de una manera activa en el mismo.
Se invita al maestro a conocer y analizar los
nuevos programas y, con una actitud crítica, se acerque a los nuevos materiales y trate de comprender
la propuesta sobre la Enseñanza de la Geometría. El
beneficio será para el alumno y también para quien
decida explorar formas más significativas de enseñar
la matemática del espacio. @
75
La resolución
de problemas matemáticos
Víctor Manuel García Montes*
[email protected]
C uando los alumnos ingresan a preescolar, gustan de las Matemáticas como de cualquier
otra área, se les permite manipular objetos y resuelven problemas acordes con su edad y con
estrategias propias, pero conforme avanzan en su educación esto cambia drásticamente y, al final,
llegan a tener una actitud negativa hacia esta materia. El manejo de problemas en el enfoque
de la Enseñanza de las Matemáticas es la columna vertebral, si hay una buena planeación al
respecto seguramente la actitud de los alumnos será positiva.
El siguiente artículo pretende brindar algunas ideas sobre el manejo de problemas, pero
es fundamental que se permita al alumno utilizar procedimientos propios, plantear preguntas,
trabajar en equipo, formular y validar conjeturas, para propiciar un ambiente agradable y de
libertad en la clase y brindar las condiciones para que se desarrolle una actividad autónoma
y flexible.
EL CONSTRUCTIVISMO
Según las tesis constructivistas, el alumno llega a la escuela con una serie de conocimientos
previos que son producto tanto de sus años escolares anteriores como de su experiencia en
el contexto sociocultural en el que se ha desarrollado. El alumno tiende a usar estos conocimientos en situaciones nuevas, semejantes a aquellas que los produjeron; si los conocimientos
previos no son suficientes o adecuados para resolver la nueva situación, el estudiante trata de
modificarlos y adaptarlos poniéndose a sí mismo en una situación de aprendizaje.
—————————————
* Profesor jubilado de escuela primaria y secundaria especialista en Matemáticas. Labora en la Dirección de Materiales de la Secretaría de Educación Pública.
76
La resolución de problemas matemáticos
La investigación educativa actual ha mostrado que
las llamadas situaciones problemáticas o situaciones
problema, constituidas por problemas no rutinarios,
que son capaces de movilizar los conocimientos previos
del estudiante y que resultan tan atractivos que éste
los considera un reto intelectual, son situaciones privilegiadas para el aprendizaje de las Matemáticas.
A partir de ellas, el individuo pone a prueba sus
saberes previos, establece sus límites y alcances y elabora
modificaciones encami­nadas hacia el saber científico
establecido. El aprendizaje de las Matemáticas no debe
reducirse a la memorización de fórmulas o teoremas o
a la práctica rutinaria de procedimientos aritméticos y
algebraicos.
Desde un punto de vista tradicional, los problemas
son empleados para “aplicar” los conocimientos adquiridos en clase con anterioridad, se trata de problemas
rutinarios cuya solución requiere del concepto o de
la operación estudiada inmediatamente antes, de tal forma que el alumno no tiene que tomar decisiones sobre
la pertinencia del concepto o de la operación requerida
para la solución. El principio teórico que subyace a esta
perspectiva es que, en primer lugar, se aprende el con­cep­
to o la ope­ración (escuchando al maestro, memorizando
la de­finición o el algoritmo y viendo como el profesor
resuelve un problema al respecto en el pizarrón) y después se aplica este conocimiento para adquirir cierta
habilidad en su uso.
Desde el punto de vista constructivista, los problemas
son el medio para adquirir los conceptos; a partir de la
resolución de éstos, el alumno modifica sus procedimien­
tos y nociones previas, dándoles más generalidad o encon­
trando sus límites de validez. Por esto, los problemas
que se manejen en el aula deben tener las siguientes
características:
1. Deben presentar un verdadero reto para los alumnos, tienen que provocar una actitud de búsqueda,
no tan fáciles que dejen de ser problema ni tan
difíciles que sean abandonados sin ser solucionados, la respuesta debe estar a su alcance.
77
El presente artículo tiene varios aparta­
dos, en el primero se ofrece una semblanza sobre el constructivismo; en el
segundo, se trata el papel de los errores
en la enseñanza; en el tercero, se dan
algunas ideas para la planeación y, fi­
nal­mente, en el cuarto se habla sobre el
problema de los problemas en el aula.
Permita a sus alumnos investigar, resolver, preguntar, defender, discutir, llegar a
acuerdos y tendrá gratas sorpresas.
Palabras clave: Constructivismo, situaciones problemáticas, errores, enseñanza,
planeación.
uuuuu
This paper has many sections. In the first
one a historical sketch is made on constructivism. The second discusses the role
of errors in teaching. In third some ideas
are given for planning. Finally, the fourth
is about problems posed by problem solving in the classroom. Let your students
research, solve, inquire, argue, discuss,
come to agreement, and you will be gladly
surprised.
entre maestr@s
Una vez que el
equipo ha llegado
a un posible
resultado, el
profesor organiza
una confrontación
colectiva en la
que cada equipo
argumenta su
estrategia de
solución
2. Deben permitir a los alumnos
uti­lizar conocimientos anteriores,
que les ayuden a explorar las relaciones entre nociones conocidas
y posibilite avanzar hacia la comprensión y asimilación de nuevos
conocimientos.
3. Deben contener su propia vali­
da­ción, es decir, el alumno debe
po­der por sí mismo o confron­
tan­do con otros alumnos contro­
lar la so­lución y decidir si su
respuesta es válida y desechar
los procedimientos y soluciones
incorrectos.
4. Deben ser variados en su presentación.
Quizá, para el profesor, la parte más
im­portante de este enfoque consiste en
seleccionar y diseñar cuidadosamente la
situación problema. Una vez elegida ésta,
el profesor no debe dar explicaciones
adicionales que limiten los razonamientos
espontáneos de los alumnos, ya que se
espera que pongan en juego sus conocimientos previos. El trabajo en equipo es
la dinámica privilegiada para estos casos
(entendiendo que un equipo no sólo se conforma por
la cercanía, sino más bien por la colaboración entre los
integrantes, ya que pueden estar juntos, pero tra­bajando
individualmente), los alumnos comentan y discuten entre
sí el enunciado del problema y las posibles soluciones (no
necesariamente convencionales o correctas), hacen hipótesis
y estimaciones sobre el resultado. Una vez que el equipo
ha llegado a una posible respuesta, el profesor organiza una
confrontación colectiva en la que cada equipo argumenta
su estrategia de solución y el resultado obtenido, cada equipo escucha los argumentos de los demás equipos y participa
apoyando o cuestionando el procedimiento, finalmente el
grupo establece las conclusiones del trabajo de los equipos
y las estrategias y soluciones correctas, así como los errores
superados. Claramente, las características de un salón de clases en el que se usa la estrategia de resolución de problemas
no serán las de un aula tradicional en la que los alumnos
permanecen callados y en su lugar todo el tiempo.
EL PAPEL DE LOS ERRORES
Cuando el alumno trata de aplicar sus conocimientos previos a nuevas situaciones, afirmándolos, generalizándolos o
modificándolos cuando sea necesario, puede seguir por caminos incorrectos, con lo que llega fácilmente a equivocarse,
lo que da por resultado el error. Estos errores servirán para
que el alumno verifique sus conocimientos, los rectifique o
modifique y elabore nue­vos conceptos; no deben ser considerados fracasos sino oportunidades de aprendizaje.
78
La resolución de problemas matemáticos
Difícilmente se podrá exagerar el papel del error en
el aprendizaje; si un conocimiento produjera siempre resultados exitosos y si fuera útil para aplicarlo en cualquier
situación, no habría necesidad de modificarlo, pero ese tipo
de conocimientos no existe. En la historia de la ciencia
como en la individual, los conceptos han cambiado, evolucionado, se han relacionado con otros conceptos, lo que
da lugar a nuevas interpretaciones, a nuevas explicaciones
y a nuevas aplicaciones. Es el momento de confrontarse a
situaciones que no se pueden explicar y que, por lo tanto, aparecen como un error, así, un concepto debe sufrir
una reestructuración que lo lleve a un nivel superior de
conocimiento que resuelva dichas situaciones.
No todos los errores de los alumnos son importantes
como fuente de aprendizaje, algunos se deben simplemente
a un descuido al momento de operar o escribir. Estos errores
se corrigen oportunamente, pero no deben ser motivo de
confrontación de los equipos. Quitarle al error la connotación negativa (de fraca­so) es una tarea ardua pero necesaria.
El alumno no de­be decepcionarse al cometer errores, por
el contrario, debe sentirse estimulado para continuar su
búsqueda y alcanzar resultados que le convenzan y sean
consistentes con el conocimiento establecido. El maestro
debe sentirse comprometido con esta tarea.*
—————————————
* Es recomendable leer el libro: El error, un medio para enseñar de Jean
Pierre Astolfi, perteneciente a la Biblioteca para la Actualización del
Maestro.
79
La planeación
Para seleccionar un problema y plantearlo en clase, es necesario que el profesor
tenga claro el propósito que persigue;
que lo resuelva antes de plantearlo a los
estudiantes; que haga las adecuaciones
que considere convenientes; que prevea
el material que se va a utilizar y la forma
en la que va a organizar al grupo.
No es conveniente que el maestro
se enfrente al grupo sin tener un plan
de clase, siempre es necesario contar con
un plan, aun para docentes con mucha
experiencia.
Es importante que el profesor considere si las siguientes preguntas le pudieran
ayudar en su planeación:
• ¿Cuál es el objetivo de la clase?
• ¿Qué puedo hacer para propiciar
una actividad genuinamente cognitiva a partir de una situación?
• ¿Cómo debe estar organizada la
clase para ello?
• ¿Qué tipo de desviaciones pueden preverse?
• ¿Cómo se podrían evitar o aprovechar?
• ¿Cuál es la importancia de la
exploración que se propone al
inicio de la clase?
• ¿Qué posibles errores pueden
inducir?
• ¿Cuál será mi función en esta
ac­tividad?
• ¿Qué otros comentarios puedo
introducir para complementar
la discusión de los alumnos?
• ¿Hasta qué punto debo insistir
en la formalización?
entre maestr@s
3. Si se proporcionan datos de más, o se les dejan de
dar algunos, a los alumnos, tendrán que analizar
si es posible o no resolver el problema y en su caso
discriminaran o completaran lo que necesiten.
En la escuela secundaria Acamapichtli hay nueve
grupos, en los tres de primero hay 50 mujeres más
que hombres y en total son 136 alumnos; en los tres
de segundo hay solamente un hombre más que el
nú­mero de mujeres y en total hay 123 alumnos, y en
tercero el resto del alumnado, para completar el total
en la escuela que son 364 alumnos.
El director trató de repartir el mismo número de
alumnos de cada grado en cada salón, ¿lo logró en
todos los casos? Explica brevemente.
Si comparamos primer grado con segundo grado,
¿en dónde hay más hombres?
¿En toda la escuela hay más alumnas o alumnos?
4. Deje el problema sin pregunta para responder, para
que el alumno la invente y lo resuelva.
Mi hermano y yo fuimos al zoológico, yo llevaba
$20 y mi hermano el doble, compramos un helado
cada uno de $5 y pagamos en transporte ida y vuelta
$12 cada uno.
5. Siga la estrategia de plantear problemas a los niños
y no pedirles la solución, sino que planteen lo
que deba hacerse para encontrarla. Esto favorece
el análisis y la reflexión a la vez que aprenden a
diseñar algoritmos.
6. A partir de eventos relevantes que sucedan en la
escuela o en la comunidad, plantee problemas o
investigaciones.
7. Plantee problemas con varias respuestas correctas.
Pati vive a un kilometro de la escuela y Víctor a
dos kilómetros de la escuela, ¿a cuántos kilómetros
vive Pati de Víctor?
8. Aprovechar las oportunidades que brindan el
aprender algunos juegos, pero hay que estar atentos porque si bien son situaciones divertidas e
interesantes para los alumnos, no todos los juegos
favorecen la construcción de conocimientos.
• ¿Qué otras actividades puedo
sugerir?
• ¿Qué tan importante es presentar
diversos contextos en los que
se usen los conceptos involu­
crados?
• ¿Cómo voy a evaluar el trabajo
de los alumnos?
• ¿Cómo puedo evaluar mi forma
de enseñar?
El problema
de los problemas en el aula
Las siguientes son solamente algunas
recomendaciones generales e ideas que
le pueden ayudar al docente a variar la
presentación de problemas en el grupo, es
necesario tomar en cuenta que al variar el
tipo de problema al que los alumnos están
acostumbrados puede variar también el
grado de dificultad:
1. Mostrar ilustraciones o videos a
partir de los cuales se formulen
pre­­guntas o inclusive se inventen y solucionen problemas.
2. Se puede cambiar el sentido
del problema al permitir que el
alumno lo invente a partir de
una operación, esto le ayudara a
relacionar el tipo de problemas
que se resuelven con ese tipo de
operación u operaciones.
Invente un problema que se re­
suelva con la operación
12 x 5 = 60.
Por supuesto, la operación u
operaciones que se usen dependerán
del nivel del alumno y el grado de
dificultad que se desee.
80
La resolución de problemas matemáticos
9. Use la calculadora para comprobar o agilizar los
cálculos numéricos, también para plantear algunos
juegos o problemas.
En una calculadora no científica haga que los
alumnos resuelvan una adición con sumandos de
nueve o 10 dígitos, la consigna es que usen la calcu­
ladora, no se vale usar papel y lápiz (en estas calcula­
doras, generalmente sólo caben en pantalla ocho
dígitos).
10.Use figuras geométricas para que, por equipos,
los alumnos elaboren mensajes en los que las
describan de tal forma que esos mensajes se intercambien para ser interpretados y reproducidos por
otros equipos.
Nuestra figura es un triangulo escaleno que tiene
un ángulo recto y las medidas de sus lados son: 3 cm,
4 cm y 5 cm.
11.Permita que los alumnos hagan estimaciones de
los resultados y en grupo analicen la lógica de las
posibles respuestas. Algunos alumnos no se dan
cuenta de respuestas que son obviamente ilógicas.
12.Trate de relacionar otras materias con las Matemáticas.
El cuerpo de un hombre adulto que pese 70 kg,
en condiciones normales, está compuesto aproximadamente por 64% de agua, 20% de proteínas, 10%
de grasas, 5% de sales minerales y 1% de hidratos de
carbono.
¿Cuántos kilogramos tiene de agua, proteínas,
grasas, sales minerales e hidratos de carbono?
13.Si tiene aula de medios utilícela, esto motiva
mu­­cho a los alumnos, pero tenga cuidado para
que la sesión sea educativa, además de recreativa,
algunos alumnos aprovechan la oportunidad sólo
para jugar.
Finalmente, conviene recordar que cada niño es diferente
a los demás, de manera que el profesor contará con las
distintas capacidades, motivaciones, ritmos de aprendizaje,
etc., de los alumnos. Por lo tanto, en función de las carac81
terísticas del alumnado en esta etapa y de
lo que la sociedad demanda de él, habrá
que diseñar el proceso de enseñanza y
aprendizaje.
Recuerde que si usted explica un
solo camino para resolver un problema y
algunos alumnos no en­tienden, aunque
lo vuelva explicar, seguirán sin entender,
como decía Bachelard
[…] los profesores, sobre todo los de
ciencias, no comprenden que los alumnos no comprenden. Se imaginan que la
mente sigue los mismos pasos que una
lección; que los alumnos pueden hacerse
con una cierta “cultura” si los profesores
les imparten la misma clase una y otra
vez; o, que pueden llegar a entender una
demostración si se les repite paso a paso
(Bachelard, 1985). @
BIBLIOGRAFÍA
Tahan, Malba (s/f ). El hombre que calculaba.
México: Noriega Editores.
La matemática expulsada de la escuela. En:
Revista Educación Matemática, vol. 5,
núm. 3.
Problemas, maestros y solución de problemas. En: Revista Educación Matemática,
vol. 5, núm. 3.
Astolfi, Jean Pierre (s/f ). El “error”, un medio
para enseñar (Biblioteca para la actualización del maestro).
Clark, David (s/f ). Evaluación constructiva
en Matemáticas. México: Editorial Ibe­
ro­amé­rica.
Fracciones,
¿comparar o fracturar?
Araceli Fuentes Figueroa*
[email protected]
INTRODUCCIÓN
E l mundo de las Matemáticas es realmente tan extenso como el propio desarrollo de la
humanidad. En este mundo de herramientas matemáticas creadas por el hombre para tratar
de explicarse su realidad, se hace uso de diferentes campos de números que van desde los números naturales hasta los números complejos, todos ellos con sus propias características, reglas,
propiedades y usos.
Las fracciones conforman un campo numérico conocido como los números racionales
que incluso se define como el conjunto de números cuya representación es a en donde a
b
es cual­quier número entero y b es un entero diferente de cero.
Ya desde la Antigüedad, los egipcios usaban las fracciones unitarias, como se documenta en
el Papiro de Rhind, descubierto en el año de 1858, que ahora se sabe fue escrito por un maestro
de nombre Ahmes en el año 1650 aC, quien planteaba a sus estudiantes problemas como: una
cantidad y una cuarta parte de ella, juntas son 15, ¿cuánto es?, el cual es una muestra del uso de
las fracciones desde tiempos remotos.
Este artículo proporcionará algunos fundamentos teóricos para la enseñanza de las fracciones en el aula, procurando aportar elementos para que el lector pueda construir o completar
su concepto de fracciones. Al tomar en cuenta la Reforma Curricular que desde este ciclo
escolar 2009-2010 entrará en vigor para primero y sexto grados de primaria, los fundamentos
teóricos constructivistas siguen siendo la base para la enseñanza de las Matemáticas del nivel
básico en nuestro país.
—————————————
* Docente de la upn 17-A Morelos y asesora de Matemáticas en el Centro de Maestros 5 en Jonacatepec,
Morelos.
82
Fracciones, ¿comparar o fracturar?
CONTEXTO ESCOLAR
En la escuela básica primaria, en el área de Matemáticas
se enseñan números naturales, sus propiedades y sus
operaciones, fracciones en contextos y, de acuerdo con
los planes vigentes (sep, 1993), se trabajan también la
suma y resta de fracciones, así como su relación con los
números decimales.
Las fracciones se enseñan a los estudiantes incluidas
en un contexto que presenta una situación problemática
para la cual se necesita encontrar solución a través de estos
números, pero realmente, ¿qué son las fracciones?
De acuerdo con algunos investigadores reconocidos
en el campo de las Matemáticas no existe una definición
acabada del concepto de fracción, sino que ésta, como
otros tantos conceptos matemáticos, se va construyendo
durante nuestra vida escolar.
En nuestro sistema de educación primaria, al niño se
le enseñan estos números contextualizados en problemas,
estrategia que se aplica sin tomar en cuen­ta otros recursos
o herramientas matemáticas que definitivamente serían de
gran ayuda en los procesos mentales de los estudiantes, en
especial herramientas tan sencillas como un acercamiento
a la necesidad de utilizar fracciones en nuestra vida cotidiana y lograr un aprendizaje significativo.
Al respecto, en este artículo se dará al profesor fren­­­te
a grupo una serie de sugerencias a considerar en la en­
señanza de estos números. Entonces corresponde a cada
uno de los profesores diseñar o adecuar actividades didácticas al nivel de sus estudiantes, que tomen en cuenta
los aspectos teóricos aquí mencionados para lograr un
verdadero impacto en la enseñanza de las fracciones.
En primer lugar, es importante considerar que exis­
ten dos modelos para representar a las fracciones: el modelo continuo y el modelo discreto. El primero de estos
modelos es el que comúnmente utiliza el profesor en el
aula y que se refiere al uso de figuras geométricas como
círculos, cuadrados, rectángulos, triángulos, hexágonos,
etc., o de objetos como listones, tela, cartulinas…, cuya
principal característica es que se pueden equidividir en
partes iguales en áreas.
83
Este es un artículo que recopila la experiencia en el ámbito matemático de profesores frente a grupo, a quienes aún les
resulta difícil entender el mundo de las
fracciones, sus mecanismos constructivos, sus interpretaciones, sus algoritmos
y su uso en la vida diaria. En él se cita el
trabajo de especialistas como Kieren,
Freud­enthal y Simón Mochón.
Palabras clave: fracciones, fractura, com­
paración, interpretación, vida diaria, enten­
dimiento, ámbito matemático, mun­do.
u u
u u u
This paper compiles experiences in the
mathematical ambit with classrooms
teachers, whom still have difficulty to
understand the world of fractions, their
constructive mechanisms, their interpretations, algorisms and their uses in daily
life. Some quotes are made from the work
of specialists like Kieren, Freudenthal
and Simon Mochon.
entre maestr@s
MECANISMOS CONSTRUCTIVOS
DE LA FRACCIÓN
De acuerdo con Kieren (1983), son tres los mecanismos constructivos, que no son otra cosa más
que herramientas mentales para la construcción del
concepto de fracción y éstos son la equivalencia, la
partición y las unidades divisibles. A continuación, se
describen cada unos de estos mecanismos.
En primer lugar, hablaremos de la equivalencia,
que es la habilidad de comprender aquellos crite­
rios que una “igualdad” entre fracciones implica. Es
decir, cuando tenemos un todo (ya sea en mode­lo continuo o discreto) y buscamos una fracción equi­valente
a una fracción dada, numéricamente multiplicamos
el numerador por un número y el denominador también lo multiplicamos por el mismo número; en otras
palabras, multiplicamos la fracción original por una
unidad, representada en medios, tercios, cuartos, etc.
Por ejemplo, para encontrar una fracción equivalente
a un cuarto, se multiplica ésta por cuatro cuartos y
entonces
1
⁄4 x 4⁄4 = 4⁄16
Un ejemplo concreto de modelo continuo es un
rectángulo dividido en cuartos. En primer lugar lo
equidividimos en cuatro partes iguales y luego consideramos sólo una de estas partes, la cual representa
un cuarto (1⁄4) del rectángulo.
El segundo modelo está relacionado con conjuntos de
objetos iguales, de los cuales se obtiene una parte del
total. El modelo discreto se refiere al conjunto de ob­
jetos que conforman un todo, del que consideramos
sólo una parte para representar una fracción. Por ejemplo, conjuntos de pelotas, de canicas, de envases, de estudiantes, de salones, de zapatos, de platos, etcétera.
De manera concreta si se tienen nueve canicas y
se pide un tercio del total: tres de ellas representan un
tercio (1⁄3), como se ilustra en la siguiente imagen:
se genera una fracción equivalente a la primera que
es cuatro dieciseisavos.
Pero, geométricamente, ¿qué representa? Representa la misma unidad dividida de otra manera, si la
primera unidad se dividía en cuartos y de éstos se tomaba uno, la misma unidad dividida en dieciseisavos
toma cuatro de las partes divididas para que ambas
fracciones sean equivalentes:
Inclusive hay situaciones que involucran ambos tipos
de modelos. Al respecto no hay que olvidar que cualquiera que sea el modelo utilizado, la unidad deberá
ser la misma para una situación, no podemos cambiarla porque la fracción por sí sola no tiene un valor
intrínseco, sino que depende de una unidad como
referente para adquirir su valor. Si digo que 1⁄4 es más
grande que un ½, tengo que mostrar a qué unidad
me refiero, si estoy hablando de un cuarto de queso
y un medio del mismo queso por supuesto que estoy en
un error; sin embargo, si me refiero a un cuarto de la
pieza de queso canasto (que pesa 2 1⁄2 kg, aproximadamente) y un medio de queso ranchero (que pesa
200 g), mi afirmación inicial es verdadera porque estoy
hablando de las fracciones de unidades diferentes.
1
⁄4
4
⁄16
El segundo mecanismo constructivo es la partición
y se define como la habilidad para dividir en partes iguales a un todo. Por ejemplo, en el modelo
continuo, si queremos dividir la siguiente figura en
cuartos:
84
Fracciones, ¿comparar o fracturar?
DIFERENTES
INTERPRETACIONES
DE LA FRACCIÓN
Las fracciones tienen sus particularidades como los
mecanismos mencionados en el apartado anterior,
pero no es todo lo que un profesor tiene que saber
respecto de estos números. En un inicio se planteaba que la fracción es un fracturador cuando parte y
reparte o es un comparador cuando compara y mide.
Ejemplo de la primera acepción es repartir en forma
equitativa seis panes llamados “conchas” entre cuatro
niños.
Ejemplo de la segunda acepción es que parte de un
triángulo equilátero representa el triángulo pequeño, y
parte del triángulo equilátero representa el trapecio:
Un recurso es cuadricular los espacios para que
queden 12 cuadritos y partir, al hacerlo la partición
genera fracciones iguales en forma y área o simplemente iguales en área, considerando tres cuadrados
para cada cuarto:
Es decir, se obtiene una “equidivisión”.1
El tercer mecanismo llamado de unidades divi­
sibles tiene que ver con la habilidad de equidividir
una unidad en partes y considerar una de estas nuevas
partes como la nueva unidad que se va a fraccionar.
Unidad original
Estas dos grandes acepciones tienen a su vez diferentes interpretaciones relacionadas con la parte-todo,
la medida, el cociente, la razón y el operador. Es
decir, en cada una de estas interpretaciones de la
fracción se fundamenta el uso y la razón de ser de
una fracción.
Autores como Freudenthal y Kieren (1988) nos
muestran este esquema con los referentes e interpretaciones de la fracción.
Nueva unidad
Sin duda alguna, a medida que estos mecanismos,
habilidades intelectuales, se vayan ejercitando el
estudiante mejorará la capacidad para representar
fracciones sin importar el modelo en que se trabaje y,
además, irá construyendo su concepto de fracción.
1
Así se le llama al proceso de dividir un todo en varias partes
cuyas áreas son iguales.
85
entre maestr@s
Observen que el diagrama está cargado a la
derecha, lo que indica que la fracción aparece más
frecuentemente como un comparador. Pero ¿de qué
se trata cada subconstructo o interpretación? A continuación se explican. Cabe aclarar que se usan ambos
modelos: continuo y discreto de las fracciones.
FRACCIÓN
FRACTURADOR
COMPARADOR
Parte-Todo
Parte-todo
Esta es quizá la interpretación más común que aparece en nuestros libros y se refiere a que un todo se
equidivide en partes iguales. Es importante recordar
que al comparar dos fracciones hay que tener como
referencia una unidad fija.
La reversibilidad de pensamiento está presente y
a partir de una de las partes se puede reconstruir el total. Ejemplo: “este sector circular representa una sexta
parte de un todo continuo, ¿puedes dibujar la unidad
completa, de la cual forma parte este sector?”.
Medida
Cociente
Razón-Operador
Número racional
(Recta numérica)
En este esquema observamos que hay diferentes líneas
de unión, al respecto podemos mencionar que las rectas continuas designan la categoría que le corresponde
a cada uno de los subconstructos2 de acuerdo con la
clasificación como fracturador, comparador o ambas; la línea más gruesa sugiere una vinculación más
fuerte, mientras que una sola línea continua sugiere
una vinculación más débil. Las rectas discontinuas
señalan la dependencia de unos subconstuctos con
respecto a otros.
De manera que el subconstructo de medida se
apoya en las ideas de parte-todo. El subconstructo cociente necesita de los conceptos básicos de parte-todo y
medida para su desarrollo. Los subconstructos de operador y razón son más complejos, utilizan las nociones de
las interpretaciones de medida y cociente. Por último, el
nivel más abstracto, la fracción como número racional y
la recta numérica (una de sus representaciones) se basa
en todas las concepciones de la fracción.
2
Medida
Es otra de las interpretaciones de la fracción y se re­fiere
a comparar una unidad de medida con respecto a otra
unidad. Por ejemplo, si comparamos el tamaño de dos
lápices usados y los numeramos, nos preguntamos,
¿qué parte es del lápiz uno, el lápiz dos?, o viceversa.
En esta comparación seleccionamos una medida estándar como el metro o una medida arbitraria como la
longitud de uno de los dedos de la mano o un pequeño
trozo de papel, etc. Por ejemplo, se quiere medir un
listón con otro listón más grande que es la unidad de
medida, ¿cómo le harías para medirlo?, ¿en cuántos
pasos lo realizarías?
Así le llama Kieren a las cinco interpretaciones de la fracción.
86
Fracciones, ¿comparar o fracturar?
O bien, la escala 2:1 aumenta al doble el dibujo
original, cada dos unidades en el dibujo reproducido representa una unidad del dibujo original (en el
caso que la figura A sea el original y B sea la repro­
ducción).
Unidad de medida
Listón que se medirá
Cociente
Esta interpretación se establece cuando representamos
una fracción que tiene un número como numerador y
otro número como denominador, este último señala
en cuántas partes se divide la unidad, mientras que
el primero señala cuántas de estas partes divididas se
toman. Es similar a la parte-todo y también se considera en situaciones cuando el numerador puede ser
mayor o igual al denominador. El contexto para esta
interpretación de la fracción se basa en enfatizar que
hay un reparto. Así, si una caja de gomas de borrar
tiene 24 unidades y se reparten equitativamente entre
seis niños, ¿cuántas gomas le toca a cada uno?
B
A
Operador
Por último, el operador es una fracción que adquiere
un papel de transformador multiplicativo de una unidad a otra. Se puede presentar en diferentes contextos
como, por ejemplo, “de cada 10 habitantes en un país,
siete son mujeres”, cuya representación utilizando
fracciones es:
24
⁄6 = 4
7
Pero analicemos la siguiente situación: “si a cada
invitado de una fiesta le tocó un sexto de gelatina,
¿cuántos invitados eran?, ¿cuántas gelatinas se repartieron?, ¿cuál(es) son la(s) respuestas(s)? Escríbelas”.
⁄10
Esta expresión vincula dos cantidades referidas a una
misma medida, en este caso los habitantes.
Pero si se tiene el caso de que en una panadería,
por cada 100 pesos de insumos en materia prima se
producen tres pasteles, las cantidades dadas se relacionan con medidas diferentes, ¿cuál es el operador?
Razón
La escala es una de las interpretaciones menos razonadas que tiene la fracción. Cuando solicitamos que
el estudiante haga un dibujo al doble o a la mitad de
un original, estamos estableciendo una razón.3 La
escala de 1:2 (que se lee uno a dos) para disminuir
a la mitad el dibujo original y que significa que cada
unidad del dibujo reproducido representa la mitad
del dibujo original (en el caso que la figura B sea el
original y la figura A sea la reproducción).
Costo
Pasteles
100
?
900
3
1
?
En general, un operador tiene dos propiedades: la
primera es que se aplica sobre un conjunto ya operado y la segunda propiedad es que una vez que se
da el operador es posible encontrar otro que sea su
inverso.
Estas interpretaciones de la fracción se relacionan
estrechamente, de modo que en una situación proble-
3
La razón es una relación entre magnitudes, que en Matemáticas
formales tienen un campo de estudio muy amplio en el que se
establecen sus características y propiedades.
87
entre maestr@s
mática puede observarse más de una interpretación,
aquí, por cuestiones de estudio, se presentaron en
forma aislada.
Existen otros aspectos de la fracción que es interesante mencionar, entre ellos están los siguientes.
Hay otras cosas que pueden trabajarse en una recta
numérica (Castillo, 2008:42) como la longitud del
segmento que une a dos fracciones, el punto medio
del mismo o cuál es la fracción que lo representa.
Sistemas sexagesimales
Los sistemas sexagesimales, como la circunferencia y su
medida en grados o el reloj analógico y su medida en
horas, son otros contextos en los cuales podemos enseñar a nuestros estudiantes las fracciones. Por ejemplo,
si pedimos que el estudiante encuentre la sexta parte de
una circunferencia o que trace dos sectores circulares
que sean séptimos de la misma hará la división y el
trazo apoyado en una regla de tres.
Lo mismo sucede con un reloj analógico. Sabemos que tiene marcadas 12 horas y cada hora
se subdivide con la flecha más grande en minutos,
agrupados de cinco en cinco y queremos saber cuánto
es una quinta parte de una hora, ¿qué número es un
quinto de 60 minutos?
Utilizamos una regla de tres:
La recta numérica
Indiscutiblemente el uso de esta herramienta es poco
explotado en la primaria, no así en la secundaria.
La recta numérica es una herramienta matemá­
tica que se presta a la equidivisión4 porque es el modelo continuo más completo que existe. Sobre ella se
puede identificar cualquier fracción.
En primer lugar se marca el origen (cero) y a
partir de las necesidades de partición se consideran las
distancias entre las unidades, las cuales se subdividen
en partes con la misma longitud para representar
la fracción. Se comienza a practicar la participación, la
equivalencia y la aplicación de unidades divisibles
sobre la recta numérica. Por ejemplo, ¿qué fracción
está representada en el punto a y cuál en el punto b
de la siguiente recta numérica?
a
0
1-60
1
⁄5-x
1
⁄5 x 60 = 60⁄5 = 12
b
1
2
3
4
Entonces un quinto de una hora son 12 minutos. ¿Sabes por qué se dice “falta un cuarto para las cuatro”?,
¿qué otras fracciones ejemplificarías en el reloj?
Incluso, si por razones de comodidad y de espacio la
recta numérica no se traza desde el cero, permite la representación de las fracciones sin importar el tamaño
de éstas. Por ejemplo, escribe qué fracción representa
el punto c y qué fracción representa el punto d, de
acuerdo con lo que se observa en la siguiente recta:
c
LOS ALGORITMOS DE LAS FRACCIONES
Sumar, restar, multiplicar y dividir son las operaciones fundamentales que se trabajan en las fracciones
tomando en cuenta todo lo que ya se mencionó:
mecanismos constructivos, interpretaciones de la
fracción, modelos continuos y discretos.
En primer lugar, respecto a la suma y resta de
fracciones, en ambas operaciones se utiliza el mismo
algoritmo. Aquí es necesario que el profesor señale a
los estudiantes que cuando se solicita encontrar un
común denominador, cuando se tienen denomina-
d
7
8
4
En este modelo se comparan distancias y se miden longitudes
entre un punto de referencia y otro.
88
Fracciones, ¿comparar o fracturar?
El algoritmo indica que puedo multiplicar cruzado, o
bien, multiplicar por el inverso del segundo número
o aplicar la “ley del sándwich”. En todos los casos me
queda una fracción más grande, porque la división
de fracciones implica saber cuántas veces cabe la se­
gunda fracción en la primera.
Es indudable que hay muchos más temas relacionados con las fracciones, aquí sólo se hizo un
recorrido sencillo, tratando de enfatizar aspectos que
los propios docentes demandan cuando hemos dado
algún curso al respecto. @
dores diferentes, utilizando cualquiera de los métodos
como: multiplicar los denominadores y observando
si uno de ellos es divisor del otro, o bien, obteniendo
el mcm,5 lo que se pretende en realidad es utilizar la
misma unidad dividida en partes equivalentes. Por
ejemplo:
4
⁄6 + 2⁄3 - 1⁄4 = 8⁄12 + 8⁄12 - 3⁄12
El mcm es 12 y cada fracción tiene una fracción
equivalente con este denominador. Para encontrar el
resultado de la suma, los numeradores se suman y se
simplifica la fracción, si se puede, o bien, se expresa
como una fracción mixta, esto depende de lo que
más conviene:
13
⁄12 = 11⁄12
BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA
Castillo Ana G. et al. (2008). Diplomado: La enseñanza
de las Matemáticas en la escuela primaria. México:
sep-SMM.
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Llinares Ciscar, Salvador y Sánchez García, Ma. Victoria
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un todo. México: Cinvestav-ipn.
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sep-dgep. Olimpiada del conocimiento infantil. Prueba
2007. Fase previa. México.
sep-dgep. Olimpiada del conocimiento infantil. Prueba
2008. Fase previa. México.
sep-Pronap. Exámenes nacionales para la actualización
de los maestros en servicio. Ciclo escolar 2006-2007.
México.
sep-Pronap. Exámenes nacionales para la actualización
de los maestros en servicio. Ciclo escolar 2007-2008.
México.
La multiplicación de fracciones tiene características
diferentes a una multiplicación con números naturales porque este producto es mayor que sus factores.
Pero con las fracciones sucede algo muy diferente: su
producto es menor que los factores. Observa:
3
⁄4 x 2⁄3 = 6⁄12 = 1⁄2
¿A qué crees que se deba? Simplemente a que un producto de fracciones es una fracción de otra fracción.
En el ejemplo se pide encontrar las 3⁄4 de 2⁄3 que es
exactamente 1⁄2. El algoritmo señala que se obtenga
el producto de numeradores entre el producto de
denominadores.
La división de fracciones es un poco más complicada, mientras la división con números naturales
obtiene un cociente más pequeño que el dividendo o
el divisor, en las fracciones el cociente es un número
más grande. Por ejemplo, si se divide:
3
5
⁄8 ÷ 1⁄2 = 6⁄8 = 3⁄4
Mínimo común múltiplo, utilizando factores primos.
89
Algunas consideraciones
para la Enseñanza del Álgebra
en secundaria
Jesús Leobardo Rendón García*
[email protected]
U n insumo importante del Álgebra es el conocimiento de la Aritmética, si este insumo se
maneja de forma inadecuada ya tenemos un ingrediente para el fracaso en el aprendizaje del
Álgebra. Y es que dentro de la Aritmética tenemos temas que de alguna forma son clave y, a la
vez, difíciles de comprender. Algunos de ellos, como la ley de los signos para números enteros y
la división de fracciones son presentados a los alumnos como temas que así se deben aprender
porque así son. Nunca se les da la oportunidad a los estudiantes de descubrir, reconocer sus
propiedades en todo caso. Sólo se da paso a la repetición mecánica y no a la reflexión.
En alguna ocasión pregunté a los maestros en un curso que estábamos desarrollando: –¿alguien me puede explicar por qué en la ley de los signos menos por menos da más? Un maestro
levanta la mano y me dice: –menos por menos da más, porque si tomamos un número positivo,
por ejemplo, el 16, su raíz será √16= ±(4). Por ello, una de las raíces es el (+4) y la otra es (-4),
luego si multiplicamos (-4) (-4), es decir, si hacemos (-4)2 eso nos da 16, que es un número
positivo. Malévolamente, como luego solemos ser los maestros, reviso su respuesta y veo que
me conduce a otra pregunta: –¿por qué las raíces de un número son positivas y negativas? Y
eso me llevará a otra respuesta y a nuevas preguntas, y así sucesivamente hasta pretender agotar
todo el razonamiento posible. Sin embargo, atacar la respuesta desde el uso de la estructura
de la Matemática es necesario, pero se deben buscar las formas adecuadas, de tal manera que
descubramos cada vez más sus propiedades y sus usos, sin que caigamos en el aburrimiento.
—————————————
* Docente con formación en Matemáticas, labora en la Universidad Pedagógica Nacional.
90
Algunas consideraciones para la Enseñanza del Álgebra en secundaria
SOBRE LA ENSEÑANZA DEL ÁLGEBRA,
EL CASO DE LA LEY DE LOS SIGNOS
La pregunta exacta es considerar aquello que nos llevó
a pensar el mundo como un símbolo y reconocer cuál
fue el proceso que nos permitió lograr la simbolización
del lenguaje, del arte y las Matemáticas. Desde nuestro
nacimiento vamos desarrollando mecanismos de representación del mundo, esto es, hacemos uso del lenguaje en
sus diferentes manifestaciones: visual, escrito, icónico.
Cada uno de estos lenguajes se han ramificado y uno
de los más exitosos ha sido el lenguaje matemático, que
es una variante del lenguaje escrito, en el que algunos
símbolos representan expresiones retoricas o verbales. El
lenguaje matemático es altamente “abstractivo”. Lo digo
así en el sentido connotativo de la palabra. Se dice que la
Matemática hace abstracciones que se van acumulando
unas sobre otras, el número ya es una abstracción y el
Álgebra es una abstracción que se hace sobre la notación
de los números.
De esta forma, la evolución del pensamiento abstracto
relativo al Álgebra, apelando a un sentido didáctico, podemos contemplarlo en los siguientes contenidos: aritmética, teoría de números, variación proporcional, álgebra
lineal, funciones y estructuras abstractas. Y, sin embargo,
no podemos pensar esta evolución en forma lineal, cada
vez que aparece una nueva rama de una disciplina, todo
evoluciona, y la estructura tanto de esa disciplina como de
la Matemática misma se va transformando y resignificando
también.
El problema, creo, en la enseñanza del Álgebra, es
aceptar que los paradigmas que imperan en las Matemáticas, son dogmas de fe, imposibles de cuestionar y/o
modificar.
En el caso del ejemplo de la raíz cuadrada, si no se
acepta esa afirmación, muchos de los conceptos de la
Matemática quedarían sin fundamento, ya que casi toda
la estructura podría colapsarse. La raíz cuadrada de un
número tiene los dos signos, positivo y negativo, ya que
al multiplicar un número por sí mismo siempre da positivo, pero esto es justamente el concepto al que queremos
darle explicación; si recurrimos a algo que es una ley
91
Este trabajo propone una idea antigua
de un instrumento construido con material reciclable que permite contar con
un apoyo didáctico para la enseñanza
de las leyes de la multiplicación de los
signos. Este tema es importante para el
aprendizaje del Álgebra y su utilidad en
el aula puede resultar provechosa; la
ley de los signos casi siempre parece
muy abstracta, pero con este material
se tiene un apoyo que puede concretizar
sus conceptos y leyes.
Palabras clave: proceso resultante, el
plano de los signos, inversión del giro,
conservación del giro, Álgebra, ley de
los signos, constructivismo.
u u
u u u
This paper propounds an already old
idea: an instrument build with recyclable
stuff which allows having a didactic support for teaching symbol multiplication
laws. This topic is important for learning
of algebra, and its use in classroom can
be advantageous. Symbols law usually
seems to be very abstract, but in this
material there is a resource for making
its concepts and laws concrete.
entre maestr@s
para explicarlo, estamos incurriendo
en un error, que deja al alumno con
la sensación de que efectivamente, en
las Matemáticas, las explicaciones se
dan por dogmas que deben aceptarse.
Insisto, no se da la oportunidad al
alumno de explorar y descubrir las
pro­piedades, las condiciones, las apli­
caciones, y, sobre todo, sus formas de
abstracción.
Por otro lado, regresando a la
explicación de la ley de los signos en
ese mismo curso, una maestra usó el
siguiente ejemplo:
El enfoque
constructivista
en las
Matemáticas
establece,
por ejemplo,
que sean los
alumnos quienes
se aproximen a
los conceptos
usando sus
propias ideas
Cuando pasa el carro de los helados, les
pregunto a mis alumnos si no quieren
un helado y algunos me responden que
no quieren. Lo cual quiere decir ¡que sí
quieren helado! Desde luego que den­
tro de los argumentos, éste es debatible
de­bido a que cuando repetimos una ne­
gación, por lo general, le media una
coma, lo cual quiere decir que se está
reafirmando, con respecto a aquello que
dijimos. De este modo, el enunciado:
¡no, no quiero! hace referencia a que
efec­tivamente no se quiere helado.
En el segundo caso el argumento cae
dentro del terreno de la retórica y
alguien con conocimientos medianos
de composición de textos, o de ortografía, podría sin mucha dificultad
rebatirlo.
Lo importante acá es ver el paradigma de la Matemática como algo
acabado e inmutable, a dicho credo le
pagamos un alto precio, el de privarnos del placer de pensar por nuestra
propia cuenta y de hallar nuestros
92
propios caminos para explicar aquello
que se nos pide, en el interminable
laberinto de las ideas dentro de las
Matemáticas.
EL CONSTRUCTIVISMO,
UN ENFOQUE PARA
DESCUBRIR EL MUNDO
DE LAS MATEMÁTICAS
El enfoque constructivista en las Ma­
temáticas establece, por ejemplo, que
sean los alumnos quienes se aproximen
a los conceptos usando sus pro­pias
ideas y métodos por inexactos que en
un principio parezcan; para ello sugiere
el trabajo colectivo y la con­trastación
de las ideas, de tal forma que puedan
llegar a través del experimento y error a
establecer argumentos formales en Matemáticas. Esto, desde mi perspectiva,
establece un poderoso nivel de afectividad en el aprendizaje, ya que no es
lo mismo para un individuo saber que
aquello que está usando fue construido
por él mismo. Durante el proceso de
construcción de conocimientos, el
individuo tiene bien fundamentados
muchos de los argumentos que se esgrimen en el proceso de socialización
del conocimiento, y le consta que su
argumento es cierto, pero además en la
socialización observó que esos caminos
no son únicos, sino que hay diferentes,
todos igual de válidos, aunque distintos. Esto le da confianza y seguridad,
le motiva y le invita a pensar y a desarrollar sus propias ideas, lo que se logra
con la actitud de respeto y escucha que
el docente establece con sus alumnos, y
entonces, el maestro descubre también
que puede entender las formas de razo-
Algunas consideraciones para la Enseñanza del Álgebra en secundaria
nar de sus alumnos y aprende también a razonar
de forma diferente. De aquí la importancia de
establecer paradigmas alternativos.
De esta forma, mediante el enfoque del
constructivismo comprendemos que debemos
encontrar formas más creativas de conformar
nuestras ideas. Creo que no se puede enseñar a
pensar si no lo hacemos nosotros también en el
ejercicio de la docencia, por ello, presento a consideración del lector un argumento que creo es más
contundente con respecto a la comprensión de la
ley de los signos de los números negativos.
EL PLANO DE LOS SIGNOS,
UNA FORMA DE COMPRENDER
LA LEY DE LOS SIGNOS
Esta idea surgió después de encontrar que todos
los argumentos matemáticos esgrimidos para
lograr la validez de la ley de los signos resultaban
en antinomias que nos llevaban a ciertas confusiones y nunca quedaba nada en claro, sino en
términos de nuevos misterios o dogmas de fe.
Desde mi perspectiva, debía existir algo
irrefutable, algo que ni el discurso ni la estructura matemática con sus obscuridades pudieran
derribar. Al respecto de mi argumentación,
quiero citar un pasaje del libro Metafísica de
Aristóteles:
Una corriente matemática sostiene que debemos
lograr los fundamentos de las matemáticas en los
pensamientos abstractos, mientras otro grupo,
los pitagóricos, sostienen que los argumentos
matemáticos deben tener referentes concretos,
de lo contrario carecen de sentido, eso debido
a que todo en el universo es matemáticas (Aristóteles, 1998).
Comparto la posición pitagórica, aunque estoy
consciente de que muchos conceptos no son
tan fáciles de expresar mediante objetos con-
cretos; sin embargo, en este caso el constructo
que presento tiene la intención de mostrar que
estos conceptos pueden tener referentes que se
pueden materializar.
Lo mismo ocurre para conceptos como el
número, que entre los mayas se tenía ya materializado, indicando así la relación objeto-concepto. Esto lo digo por que los mayas usaban
piedras, palillos y caracoles para representar sus
números, además usaban un tablero que servía
para ordenar los números, de este modo, en las
operaciones, manipulaban dichos objetos. Para
los mayas, los objetos (que representan números,
una piedra denota el uno, un palillo denota el
cinco y el caracol denota el cero) ya son conceptos en sí mismos.
El instrumento del que voy a hablar lo denomino “plano de los signos”, tiene un parecido
con el geoplano, sólo que en vez de tener clavos
usamos taparroscas.
EL PLANO DE LOS SIGNOS
La construcción puede hacerse de la siguiente
manera: distribuimos algunas taparroscas de ma­
nera uniforme en una tabla de 40 cm x 40 cm,
y las colocamos con tornillos, lo suficientemente holgadas como para que puedan girar.
El plano de los signos puede contener desde
un par de taparroscas hasta cualquier cantidad
que se desee.
Primero voy a describir los movimientos
elementales que se pueden hacer en el plano implicado. Para ello voy a recurrir al uso de ligas para
identificar el movimiento de las taparroscas.
a
Figura 1
93
b
(+)
entre maestr@s
En esta figura, la taparrosca a gira en el sentido contrario a las manecillas del reloj, y la
taparrosca b girará en el mismo sentido, diremos que este giro, al preservarse, tiene signo
positivo.
(-)
c
d
Figura 2
En la figura 2, la taparrosca c gira en el sentido de las manecillas del reloj y la taparrosca
d girará en el sentido contrario a las manecillas del reloj. En este caso, diremos que la
resultante del giro invierte la rotación y lo denotamos con un signo negativo.
(+)
e
(-)
f
(-)
g
(-)
(-)
h
k
Figura 3
Respecto a la figura 3, las fichas e y f giran en el mismo sentido, las fichas f y g giran en
sentido contrario. Por tanto, las fichas e y g giran en sentido contrario. Las fichas g y h
giran en sentido contrario.
De este modo, las fichas h y e van a girar en el mismo sentido. Las fichas h y k giran
en sentido contrario. Por tanto, las fichas e y la k girarán en sentido contrario. Así, como
resultante diremos que el giro establecido entre e y k será negativo. De aquí podemos
concluir que si hay un número impar de inversiones (giros negativos) entonces la resultante
será negativa, es decir los giros entre e y k serán en sentido inverso… Como en el caso 2,
el símbolo que aparece después de la figura es negativo lo que indica que la resultante de
tomar un signo positivo y tres negativos es un número negativo.
Observación: los signos que aparecen debajo de las taparroscas indican el sentido
en el que se realiza el giro entre las dos taparroscas relacionadas con las bandas de esa
sección.
(-)(-)(-)(-)
i jk lm
Figura 4
94
(-)
Algunas consideraciones para la Enseñanza del Álgebra en secundaria
En la figura 4 entre las fichas i y j se da un giro invertido, por tanto, giran en sentido
inverso. Las fichas j y k giran en sentido inverso, lo cual implica que las fichas i y k gi­
ran en el mismo sentido. Las fichas k y l giran en sentido inverso, por tanto, i y l girarán
en sentido inverso, ya que también i y k giran en el mismo sentido. Finalmente, l y m
giran en sentido inverso, por lo tanto las fichas i y m girarán en el mismo sentido. Así, la
resultante es positiva, ya que la primera ficha y la última giran en el mismo sentido… de
aquí se desprende una nueva ley, un número par de números negativos da como resultante
un número positivo.
(+) (-)
ab
(-)
(+)
c
d
Figura 5
En la figura 5, por las leyes anteriores, tenemos que el número de inversiones signos
negativos, la resultante es negativa… el lector puede verificarlo. Puede verse que a y d
giran en sentido contrario.
(-)(+)(-)(+)
ab cde
(+)
Figura 6
En la figura 6 se observa que el número de giros negativos es par, por lo tanto, la resultante
entre las dichas a y e será positivo.
1. En esta imagen, en la primer pareja marcada con el número 1 tenemos un movimiento simple, las líneas representan una liga que une las dos ruedas; a con b, con esa
forma de unir las ruedas tenemos que como gire la rueda a en el mismo sentido girará
la otra. Al considerar las flechas que se marcan, vemos que ambas taparroscas, la a y la b
giran en sentido contrario a las manecillas del reloj.
a
(+)
b
95
entre maestr@s
2. En la pareja 2, formada por las tapa­
rros­cas c y d, tenemos que una de las ta­
parroscas, la c gira, en el sentido de las
manecillas del reloj, mientras que la d gira
en el sentido contrario a las manecillas del
reloj, con ello tenemos que el cruzamiento
en la liga provoca una inversión en el giro
de las dos taparroscas.
c
(-)
d
De manera que cuando las fichas están
unidas mediante una banda simple,
los giros se conservan, y cuando la liga
tiene un cruzamiento, los giros de las
taparroscas se invierten. La imagen de la
pri­mer pareja conserva el giro, es decir,
la pri­mer taparrosca y la última giran en el
mismo sentido. A la imagen de la segunda
pareja le diremos que se invierte el giro
ya que la primera y la última ficha giran
en sentido contrario.
Algo pendiente hasta ahora es hacer
la analogía entre los giros de las taparroscas y la multiplicación de los números
negativos positivos.
Multiplicar un número positivo por
uno negativo da como resultado un número negativo, algo análogo sucede con las
taparroscas, alternando la conservación de
un giro y luego invirtiendo da como resultado una inversión de giro entre la primer
ficha y la última al continuar esta forma
podemos establecer una analogía entre
las multiplicaciones de los números con
signos y los giros de las taparroscas.
De esta manera, apelando a Aristóteles, cuando dice en su libro Metafísica
que los pitagóricos consideraban que los
96
objetos ya son símbolos y los símbolos
son objetos, tenemos una forma de ver la
ley de los signos de una manera concreta,
apoyados en un objeto que es manipulable, el plano de los signos. Así, el plano de
los signos nos permite establecer leyes que
van generalizando las propiedades de los
signos, por ejemplo, dada una multiplicación de varios números, vamos a tener
que el resultado de esa multiplicación
es negativo cuando la cantidad de números negativos incluidos en la multiplicación sea un número impar. En cambio, si
en una multiplicación de números enteros
la cantidad de números negativos es par,
entonces la resultante es positiva, independientemente de la cantidad de los
números implicados y de la posición que
ocupen los números negativos.
Veamos las siguientes afirmaciones y
llevémoslas a cabo en una hoja aparte.
1. Dos giros positivos producen una
resultante positiva.
2. Un giro positivo y uno negativo
producen una resultante nega­
tiva.
3. Un giro negativo seguido de uno
positivo produce una resultante
negativa.
4. Dos giros negativos producen
una resultante positiva.
De modo que con el plano de signos
po­demos representar muchos casos y
comprender las leyes de los signos, de
una forma amplia, hasta llegar a entender
los posibles resultados de una serie de
combinaciones de los signos.
Con esto quería mostrar el sentido
didáctico de un concepto que la enseñan-
Algunas consideraciones para la Enseñanza del Álgebra en secundaria
za y la conceptualización de las Matemáticas ha vuelto nebuloso, pero vemos que
buscando formas atractivas que muestren
cómo y qué es el fenómeno implicado lograremos tener más elementos para lograr
mejores aprendizajes.
Esta propuesta busca que los colegas
profesores puedan contar con mejores
formas de lograr sus enseñanzas, porque
finalmente los conceptos y las estrategias
de enseñanza son tan diversos como cabezas hay en el mundo.
En este sentido, comprendo el constructivismo: hacer de los conceptos algo
que nos permite llevar a cabo aprendizajes novedosos, buscando el fondo de los
conceptos implicados.
ALGUNAS
REFLEXIONES FINALES
La diferencia entre considerar a la Matemática como algo acabado o concebirla
como algo que puede ser modificado y
que puede ser abordado desde diferentes
estrategias y maneras de comprender, nos
da la posibilidad de lograr mejores procesos de enseñanza y aprendizaje.
El enfoque constructivista dice que
cada alumno debe aproximarse a la Matemática desde sus propias estructuras,
éstas en un principio pueden ser muy
personalizadas, hasta que gradualmente
el estudiante logra adquirir los conceptos formalmente establecidos. Además,
el valor que da el aproximarse desde un
esfuerzo propio, logrando comprender
realmente lo que está implicado en una
ley, principio o algoritmo matemático,
es cualitativamente muy distinto que
contemplarlo ya terminado, haciendo tan
sólo un uso mecánico del concepto.
Bajo esta perspectiva, es fundamental
generar las condiciones necesarias para
que el alumno se enamore de las Mate­
máticas y que los logros que adquiere
con sus aprendizajes le puedan ayudar a
resolver retos no sólo matemáticos, sino
los que la vida cotidiana le presenta. Lo­
grar esta nueva forma de enfocar el contenido de la Matemática, tanto por parte
de los profesores como por parte de los
estudiantes, es algo más que necesario, es
urgente. @
BIBLIOGRAFÍA
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Aristóteles (1998). Metafísica. México: unam.
97
Encuentario
Oda a los números
Pablo Neruda
¡Qué sed
de saber cuánto!
!Qué hambre
de saber
cuántas
estrellas tiene el cielo!
Nos pasamos
la infancia
contando piedras, plantas,
dedos, arenas, dientes,
la juventud contando
pétalos, cabelleras.
Contamos
los colores, los años,
las vidas y los besos,
en el campo
los bueyes, en el mar
las olas. Los navíos
se hicieron cifras que se fecundaban.
Los números parían.
Las ciudades
eran miles, millones,
el trigo centenares
de unidades que adentro
tenían otros números pequeños,
más pequeños que un grano.
98
El tiempo se hizo número.
La luz fue numerada
y por más que corrió con el sonido
fue su velocidad un 37.
Nos rodearon los números.
Cerrábamos la puerta,
de noche, fatigados,
llegaba un 800,
por debajo,
hasta entrar con nosotros en la cama,
y en el sueño
los 4000 y los 77
picándonos la frente
con sus martillos o sus alicates.
Los 5
agregándose
hasta entrar en el mar o en el delirio,
hasta que el sol saluda con su cero
y nos vamos corriendo
a la oficina,
al taller,
a la fábrica,
a comenzar de nuevo el infinito
número 1 de cada día.
Tuvimos, hombre, tiempo
para que nuestra sed
fuera saciándose,
el ancestral deseo
de enumerar las cosas
y sumarlas,
de reducirlas hasta
hacerlas polvo,
arenales de números.
Fuimos
empapelando el mundo
con números y nombres,
pero
las cosas existían,
se fugaban
del número,
enloquecían en sus cantidades,
Poemas matemáticos
se evaporaban
dejando
su olor o su recuerdo
y quedaban los números vacíos.
Por eso,
para ti
quiero las cosas.
Los números
que se vayan a la cárcel,
que se muevan
en columnas cerradas
procreando
hasta darnos la suma
de la totalidad de infinito.
Para ti sólo quiero
que aquellos
números del camino
te defiendan
y que tú los defiendas.
La cifra semanal de tu salario
se desarrolle hasta cubrir tu pecho.
Y del número 2 en que se enlazan
tu cuerpo y el de la mujer amada
salgan los ojos pares de tus hijos
a contar otra vez
las antiguas estrellas.
Z
El ángel de los números
El ladrón de naranjas
Rafael Alberti
Escuela del Califa
Un ladrón un cesto de naranjas
Vírgenes con escuadras
del mercado robó
y por entre los huertos escapó;
al saltar una valla,
la mitad más media perdió;
perseguido por un perro,
la mitad menos media abandonó;
tropezó en una cuerda,
la mitad más media desparramó;
en su guarida, dos docenas guardó.
Vosotros, los que buscáis la sabiduría,
decídnos:
¿cuántas naranjas robó el ladrón?
y compases, velando
las celestes pizarras.
Y el ángel de los números,
pensativo, volando
del 1 al 2, del 2
al 3, del 3 al 4.
Tizas frías y esponjas
rayaban y borraban
la luz de los espacios.
Ni sol, luna, ni estrellas,
ni el repentino verde
del rayo y el relámpago,
ni el aire. Sólo nieblas.
Vírgenes sin escuadras,
sin compases, llorando.
Y en las muertas pizarras,
el ángel de los números,
sin vida, amortajado
sobre el 1 y el 2,
sobre el 3 y el 4...
99
entre maestr@s
Escorial II
La cinta de Moebius
En vez de soñar, contar.
Myriam Moscona
La fachada del oeste tiene
seiscientas doce ventanas.
¿Por qué una curva
Por la primavera van
en su cielo, hacia el domingo
una, dos, tres, cuatro, cinco
nubes blancas.
Al ir y regresar
Vuelve al lugar donde empezó?
Toma el lápiz y delinea
Ya verás:
La cinta tiene sólo un lado.
Yo te quiero a ti, y a ti y a ti.
A tres os quiero yo.
Ahora bien: Los geómetras del cielo
Discuten todavía
Si el ojo de Dios
Nos amasó con shejná
¿Tendrá principio de mujer nuestro saber?
A las doce el tiempo da
doce campanadas.
Y ya no podrá escapárseme
en las volandas del sueño
la mañana. Haré la raya
para ir sumando seiscientas
doce, más cinco, más tres,
más doce.
Unos dicen que así no fuimos dibujados
Son rectas las curvas de Moebius.
En torcedumbre y doloridos
Con esas cintas nos crearon
¡Qué felicidad igual
a seiscientas treinta y dos!
En abril, al mediodía
cuenta clara.
100
Pedro Salinas
Poemas matemáticos
El número pi
Wislawa Szymborska
El admirable número Pi
tres coma uno cuatro uno.
Las cifras que siguen son también preliminares
cinco nueve dos porque jamás acaba.
No puede abarcarlo seis cinco tres cinco la mirada,
ocho nueve ni el cálculo
siete nueve ni la imaginación,
ni siquiera tres dos tres ocho un chiste, es decir, una comparación
cuatro seis con cualquier otra cosa
dos seis cuatro tres de este mundo.
La serpiente más larga de la tierra suma equis metros y se acaba.
Y lo mismo las serpientes míticas aunque tardan más.
El séquito de digitos del número Pi
llega al final de la página y no se detiene,
sigue, recorre la mesa, el aire,
una pared, una hoja, un nido de pájaros, las nubes, hasta llegar
directo al cielo,
perderse en la insondable hinchazón del cielo.
¡Qué breve la cola de un cometa, cual la de un ratón!
¡Qué endeble el rayo de un astro si se curva en la insignificancia
del espacio!
Mientras aquí dos tres quince trescientos diecinueve
mi número de teléfono la talla de tu camisa
el año mil novecientos sesenta y tres sexto piso
el número de habitantes sesenta y cinco céntimos
dos pulgadas de cintura una charada y un mensaje cifrado
que dice vuela mi ruiseñor y canta
y también se ruega guardar silencio,
y se extinguirán cielo y tierra,
pero el número Pi no, jamás,
seguirá su camino con su nada despreciable cinco
con su en absoluto vulgar ocho
con su ni por asomo postrero siete,
empujando, ¡ay!, empujando a durar
a la perezosa eternidad.
Y las innumerables
espigas que llenarán la tierra transformada. @
101
Hojas de papel que vuelan
¿Qué Matemática
para la escuela primaria?
Horacio Itzcovich*
[email protected]
¿QUÉ MATEMÁTICA PARA LA ESCUELA PRIMARIA?
L os números naturales, las operaciones básicas, las fracciones, la proporcionalidad, las figuras
planas y sus propiedades, los cuerpos, las mediciones y los sistemas de medida, son objetos
que pueblan la enseñanza elemental desde tiempos remotos y nada hace suponer que en un
futuro próximo estos objetos dejarán de estar ligados a la Matemática que se concibe para la
escuela primaria.
¿Por qué, entonces, en diferentes periodos, se instala un debate en torno a su enseñanza?
¿Se trata verdaderamente de los mismos objetos a lo largo del tiempo? ¿Se trata de los mismos
objetos para los alumnos a lo largo del paso por la escuela? ¿Significarán lo mismo para todas
las instituciones educativas?
Para comenzar a tratar estas preguntas, quisiera compartir una frase de Bkouche que
sostiene lo siguiente: “Los conceptos matemáticos no son un bien cultural transmitido hereditariamente como don, o socialmente como un capital, sino el resultado de un trabajo del
pensamiento: el de los matemáticos a través de la historia, el del niño a través de su aprendizaje.”
Cuando se define que la Matemática es un producto de la cultura, producto del trabajo
de las personas, y se plantea que la democratización de la enseñanza tiene que romper con
la idea de que habría algunos dotados para acceder a la Matemática o algunos privilegiados
simplemente por el medio al que pertenecen, surge con claridad que lograr que los alumnos
—————————————
* Profesor universitario de Matemática. Coordinador del Equipo de Especialistas de Matemática de la Dirección
de Currícula y Enseñanza del Ministerio de Educación de la Ciudad de Buenos Aires, Argentina. Autor de libros de
texto para alumnos, libros para docentes, diseños curriculares y documentos curriculares.
102
¿Qué Matemática para la escuela primaria?
accedan al trabajo matemático –y que esto no quede en
declaraciones de buenas intenciones o una expresión de
deseos– resulta ser un problema de enseñanza.
O sea, se transforma en un problema didáctico
lograr que los alumnos que van a la escuela accedan no
sólo al conocimiento de ciertos títulos, diferentes propiedades, dominen las operaciones, etc., sino al modo
de pensar y producir en Matemática, que me parece, es
el valor esencial que tiene la presencia de esta asignatura
en su escuela.
Y en la medida en que se accede a esta forma de pensar y producir conocimiento, que se accede a esta forma
de trabajar, se enriquece el pensamiento de los chicos y
se brinda una oportunidad de colaborar en su formación
intelectual y ética.
Es así que la Matemática que se decide enseñar
impacta de manera determinante en lo que los alumnos
van considerando como cultura, cultura matemática. Por
ejemplo, si se enseña a los alumnos que los problemas se
resuelven de una única manera, se está colaborando en
que interpreten así no sólo la Matemática, sino muchas
situaciones de su entorno. Si su relación con la Matemática es meramente mecánica, no podemos exigirles que
comprendan los procesos que les proponemos estudiar
o analizar.
Partimos de la premisa de que hay muchas maneras
de conocer un concepto matemático. Las mismas de­
penden de todo lo que una persona haya tenido oportunidad de realizar en relación con ese concepto. Es este un
punto de partida fundamental para pensar la enseñanza.
Es decir, el conjunto de prácticas que despliega un alumno, a propósito de un concepto matemático, constituirá
el sentido de ese concepto para ese alumno.
Como la Matemática es una producción elaborada
y desarrollada por las personas, probablemente la mejor
manera de acceder a este modo de pensar y producir es tra­
bajando al estilo o a la manera de la disciplina y de esas
personas que construyeron esta área de conocimiento. De
allí que las experiencias que hagamos vivir a los alumnos
deberían intentar aproximarse lo más posible al modo de
hacer y de pensar de esta disciplina.
103
Este artículo intenta explicitar algunas
características de la actividad matemática que resultan pertinentes a la hora
de pensar en la enseñanza y que podrían
permitir a los alumnos ingresar a un modo
particular de hacer y de pensar propio de
esta área de conocimiento.
Palabras clave: Matemática, problemas,
exploración, conjeturas, validación, cul­
tura.
uuuuu
This paper intends to make explicit some
characteristics of mathematical activity
which are relevant when thinking about
teaching and which would aloud students
to think and do in a way particular to this
area of knowledge.
entre maestr@s
Acerca del trabajo matemático
y el sentido
Ahora bien, ¿cuáles podrían ser algunos
de los elementos que configuran ese
modo de hacer y de pensar?, ¿cuáles son
algunas de las particularidades del trabajo
matemático que adoptamos y que podrían
constituir una parte de la clase?
Una de las cuestiones primordiales
que sospecho que todos compartimos,
es que para que los alumnos puedan ir
construyendo el sentido de un conocimiento se resuelvan problemas. Y este
es uno de las principales componentes de
la actividad matemática. Con esto es pro­
bable que no se diga nada nuevo. Y tal vez
sea conveniente intentar identificar qué
es un problema, en términos de la enseñanza. El siguiente ejemplo apunta en
esa dirección:
fraccionarias, un enunciado como el del
ejemplo 1 podría ser un problema en el
sentido de un desafío, de un obstáculo
a vencer. Cuenta con algunos recursos
como para apropiarse del problema e
intentar resolverlo.
Si quien recibe esta situación es un
profesor de Matemática, probablemente
no represente un verdadero desafío, pues
cuenta con todo un bagaje de conocimientos que hace que esta misma situación
sea un sencillo ejercicio. En cambio, para
niños de 2º o 3º año que aún no han teni­
do ningún tipo de experiencia con estos
números, esto tampoco será un problema,
pues la distancia entre sus conocimientos
y los que demanda la situación son tan
lejanos que no tiene recursos ni siquiera
como para empezar a abordarlo.
Pero tampoco es suficiente con que se
resuelvan problemas. La actividad matemática que potencialmente un problema
permitiría desplegar, no está contenida en
el enunciado del problema (Sadovsky, P.
2005), sino que depende de todo lo que
se proponga hacer a los alumnos con él
durante su resolución y con posterioridad
a la misma. La mayoría de las veces esta
práctica matemática no se evidencia ante
los ojos de los niños y queda escondida y
opacada por la “desesperación” que pro­
mueve en numerosas oportunidades la
obtención del “resultado correcto”.
¿Qué otras cuestiones configuran entonces la práctica matemática? El siguiente ejemplo apunta en esa dirección.
Ejemplo 1:
Intenten determinar la cantidad de cifras
decimales que son necesarias para escribir
cada una de las siguientes fracciones:
1 1175
2 8 101000
No es sencillo determinar con claridad
qué es un problema, a la hora de pensarlo
en función de alumnos que asisten a la
escuela a aprender. Una primera conside­
ración tiene que ver con el destinatario
de la situación. Según los conocimientos de quien se enfrente al enunciado o
la actividad, se podrá decir que representa
un problema o no. Es decir, para quien
ya domina el concepto de fracción y ha
tenido algunas experiencias en el trabajo
con expresiones decimales y expresiones
Ejemplo 2:
a) Buscar una cuenta de dividir en la
cual el cociente sea 12 y el resto sea 5.
¿Cuántas hay?
104
¿Qué Matemática para la escuela primaria?
b) Buscar una cuenta de dividir que
tenga por cociente 8 y el divisor sea 15.
¿Cuántas hay?
Intentemos ahora analizar qué diferentes “tareas” podrían desplegar los
alumnos en la resolución de este problema.
Una primera cuestión quizá se relaciona
con el trabajo exploratorio. Es decir, se
espera que los niños ensayen con algunos
ejemplos y ciertos números que pueden o
no “funcionar”, los cambien y traten de ver
qué resultados van apareciendo, etc. Pero
también, para avanzar en esta exploración,
seguramente será necesario encontrar algún
modo de representar matemáticamente las
relaciones que el problema “no muestra”.
Representar para explorar y “ver” y mientras se “ve” y se explora podrían elaborarse
nuevos modos de representación que van
configurando un nivel de conocimiento
asociado al problema.
Se trata, entonces, de generar condi­
ciones que permitan a los alumnos avan­zar
en instancias de exploración, haciendo que
éstas resulten cada vez más sistemáticas y
se produzcan modos de representar matemáticamente el problema que colaboren
en dicha exploración, lo que propicia un
espacio de búsqueda, de debates y de elaboración de recorridos de resolución.
El siguiente problema tiene la intención de mencionar otro aspecto asociado
con la actividad matemática.
La resolución
de un problema
demanda
ciertos
ensayos que
abren nuevas
interrogantes
que
probablemente
se puedan
formular los
alumnos,
aunque no
de manera
explícita
Ejemplo 3
Intenten construir un paralelogramo de
manera tal que un lado mida 7 cm, otro
lado mida 4 cm y la diagonal mayor mida
11 cm. ¿Cuántos paralelogramos diferentes
se pueden construir?
105
Una vez más, la resolución de un problema demanda ciertos ensayos que abren
nuevas interrogantes que probablemente
se puedan formular los alumnos, aunque
no de manera explícita: ¿convendrá empezar el dibujo por la diagonal?, ¿será suficiente con la regla?, ¿convendrá empezar
por los lados?, etc. Muy probablemente,
apoyados en ciertos dibujos o bosquejos,
los alumnos sospechen que algo ocurre
entre los lados y la diagonal: “queda muy
largo”, “no se puede dibujar porque no se
juntan”, etcétera.
La identificación de relaciones entre
datos y problema, los aciertos y errores que
se pudieran haber cometido, favorecerán
el arribo a una solución que seguramente
tendrá carácter de “sospecha”. Es decir, la
elaboración de alguna conjetura.
Y lógicamente, y quizá es la cuestión
más compleja en términos didácticos,
el mismo problema propone una nueva
tarea matemática: el pasaje de la conjetura
a la certeza. O sea, la dificultad de estar
seguros de si lo que se hizo es correcto
o no, si es válido o no lo es. Es decir,
estar en condiciones de establecer, por
los pro­pios medios y apoyados en conocimientos matemáticos, si lo que hizo es
o no consistente. Esto es tal vez el desafío
más complejo
Esta conjunción entre resolución y
validación demanda que los alumnos se
vean enfrentados a problemas que les exijan tomar decisiones con respecto a los conocimientos a utilizar para resolverlos, al
encontrarse con que esos conocimientos
no son totalmente ajustados para resolver
la situación planteada y puedan entonces
elaborar nuevas relaciones que serán la
base para identificar nuevos conceptos.
entre maestr@s
En este proceso resulta central que el
alumno vaya construyendo herramientas
para poder saber si su producción es o
no correcta, para poder justificar las decisiones que fue tomando y estar seguro
de su trabajo, independientemente de las
evaluaciones que el docente pueda hacer.
Para que esto sea posible, será necesario a
su vez que el docente pueda hacer intervenciones que ayuden al alumno a sostener su trabajo sin por ello reemplazarlo
en su tarea de producción.
El siguiente ejemplo propone seguir
pensando sobre el tema de la validación.
Ejemplo 4
¿Cuántas botellas de 1 litro se pueden
4
llenar con una botella de 2 litros y 1 ?
En principio,
vale la pena
destacar que
la ventaja de
la Matemática,
entre otras
cosas, reside
en que permite
anticipar un
resultado,
más allá de la
experiencia
empírica
4
Les habrá resultado sencillo determinar que se llenan nueve botellitas.
Ahora bien, ¿cómo es posible dar cuenta
de la validez de la respuesta desde esta
pers­pectiva?
Una posibilidad, que vive en algunas
aulas y en ciertos libros, propone recurrir
a las botellas y hacer el ensayo empírico
que corroboraría que son nueve.
Otra posibilidad es apelar a recursos
que sospecho ha usado el lector: con
un litro se llenan cuatro, con otro litro
106
otras cuatro y una más con el cuarto que
queda.
¿Cuál es la diferencia entre ambos
modos de validación?
Ante quien apele a las botellitas, val­
dría la pena preguntarse qué tipo de
re­laciones matemáticas ha establecido,
¿cómo puede dar cuenta de la validez, más
allá de la experiencia, ya que el resultado
obtenido podría ser casualidad?, sobre
todo, cuando las medidas son aproximadas, ¿será casualidad que se llenan nueve?,
¿y si se vuelca algo?
En tanto, quien apele al otro razonamiento no necesita de la experiencia para
estar seguro que el resultado es correcto.
Es decir, es el conocimiento quien garantiza que ese es el resultado y que no
podría ser otro
La pregunta más general podría ser:
¿qué lugar tendría el uso de material concreto en la resolución de este problema?
En principio, vale la pena destacar
que la ventaja de la Matemática, entre
otras cosas, reside en que permite anticipar un resultado, más allá de la experiencia empírica. Es posible anticipar que
serán nueve botellitas sin recurrir al agua
ni a las botellas. Este mismo tipo de experiencia es la que se pretende hacer vivir
a los alumnos. Lógicamente, salvando las
¿Qué Matemática para la escuela primaria?
distancias. Es decir, que puedan, desde el
inicio, imaginar que es posible conocer
un resultado usando la Matemática. Caso
contrario, si el problema puede ser resuelto por medios no matemáticos, se corre el
riesgo de hacer perder sentido al trabajo
con los números y las operaciones.
Por otro lado, si es el docente quien
favorece el uso de material concreto, se
corre el riesgo de que todos los alumnos
desplieguen los mismos procedimientos,
invalidando de esta manera la producción
de diferentes recursos y una posible interacción entre alumnos que avance en la
búsqueda de similitudes y diferencias, en
la producción de argumentos para defender su resultado, que inicie el recorrido
hacia el establecimiento de estrategias
más económicas, pues todos los alumnos
habrían trabajado de la misma manera.
El siguiente problema tiene por finalidad incluir un nuevo aspecto que forma
parte del trabajo matemático.
Es seguro que hay ciertas características de los trapecios isósceles que permiten
reconocer que con algunos es posible que
el centro esté en la base mayor y otros en
los que esto no ocurre. Se trata en este
problema de establecer condiciones de
va­lidez de una cierta relación. Cuándo
algo se cumple y cuándo no. Este tipo
de tarea, bastante poco frecuente, también
forma aparte de la actividad matemática:
determinar un dominio de validez de las
propiedades. Es decir, poder reconocer
y comprobar el cumplimiento de ciertas
relaciones intentando que las mismas sean
lo más generales posibles.
Si bien estas particularidades forman
parte de la actividad matemática, no son
todas, y no es finalidad de este artículo
desarrollarlas. Simplemente tienen la
intención de colaborar en identificar que
ciertas marcas de la actividad matemática
podrían formar parte de uno de los posibles criterios de selección de secuencias,
de armado de actividades. Es decir, tener
presente que vincular a los alumnos con
este modo de hacer nos exige como docentes ser cada vez más conscientes de las
selecciones que hacemos. @
Ejemplo 5
Dibujen un trapecio isósceles. Tracen una
circunferencia que pase por los cuatro
vértices. ¿Bajo qué condiciones la circunferencia tiene el centro en la base mayor
de dicho trapecio?
BIBLIOGRAFÍA
Sadovsky, P. (2005). Enseñar Matemática hoy.
Miradas, sentido y desafíos. Buenos Aires:
El Zorzal.
Una vez más, parte del trabajo implica la
exploración, pero con cierta sistematicidad.
No se trata de una exploración azarosa.
Más bien, si el lector ha intentado resolver
el ejemplo, seguramente habrá apelado a
buscar en el archivo de la memoria cuáles
propiedades podrían poner en funcionamiento para responder. Y muy probablemente haya llegado a un punto próximo a
la solución o a la solución misma.
107
entre maestr@s
Para la biblioteca
¿Por qué algunas personas
piensan que son un desastre
para las Matemáticas?, ¿cómo
abordar esta asignatura?
Algunos libros para cambiar de opinión
Jorge Alberto Chona Portillo
A menudo, cuando por casualidad nos encontramos con las Matemáticas, volteamos
la mirada y nos hacemos los disimulados como si no nos hubiésemos dado cuenta. Pero,
eso sí, todos y cada uno de nosotros tenemos recuerdos de nuestras experiencias con esta
materia. Muchos de los recuerdos nos sobresaltan y nos llenan de escalofrío, sobre todo,
aquellos de la escuela primaria, cuando la maestra escribía operaciones en el pizarrón,
tomaba la lista de asistencia y, con el dedo índice, recorría los nombres hasta que escogía a uno, en ese lapso de tiempo sentías que tu cuerpo se enfriaba y, si resultabas ser el
elegido, te dirigías tambaleante a resolver las operaciones con un signo de interrogación
en la cabeza, mientras la maestra manipulaba la regla de madera o la vara verde recién
cortada o el borrador, que no precisamente era para borrar.
Después de la secundaria, cuando nos hablaban de Álgebra y de ecuaciones se hacía
un enorme silencio y simplemente no sabíamos qué decir respecto a estos temas. Y cuando
nos preguntaban: “qué carrera vas a estudiar?”, las respuestas casi siempre eran vagas: “no
sé, quizá Historia o Sociología… algo que no tenga mucho que ver con Matemáticas”.
Por qué pensar en esta materia como un conjunto de operaciones, de ejercicios, de
términos y definiciones dictadas, cuando el mundo de las Matemáticas está lleno de historias asombrosas, de aventuras sin igual, de descubrimientos, enigmas, retos, de teoremas
que son una invitación a ejercitar el pensamiento lógico. Ahora bien, lo interesante es,
¿cómo hacemos para que los niños, jóvenes y adultos se acerquen a las Matemáticas no
para aprenderse reglas de memoria, sino para disfrutarlas y vivirlas? Aquí van tres libros que
pueden ayudar a construir una visión diferente sobre las Matemáticas, para adentrarnos
a su mundo, entenderlas y aprender a pensar matemáticamente. @
108
Aventuras de un duende en
el mundo de las matemáticas
Carlos Prieto de Castro (2009). Aventuras de un duende en el mundo de las
matemáticas. Fondo de Cultura Económica (La ciencia para todos).
¿S erá
que las Matemáticas son
un mundo lleno de misterio que
invita a la aventura? Una historia
que atrape nuestra curiosidad en un
lenguaje narrativo que introduzca las
explicaciones matemáticas, es quizá
el mejor anzuelo para quienes no
somos especialistas en la materia. Y
entonces sí, re­conocer que sólo hay
cinco poliedros regulares; estar en
contacto con la teoría de nudos o
la prueba del teorema de Pitágoras;
apasionarnos con el número de Euler;
admirar la belleza de los fractales a partir de concebirlos como un concepto
geométrico y, sobre todo, aprender a
elaborarlos o a reconocerlos en el caleidoscopio; asombrarnos al descubrir
las formas del universo y las distintas
maneras que se tienen de nombrarlo
a partir de los lenguajes de las Matemáticas, etc. La idea es conocer cómo
se vislumbra el modo matemático de
pensar que permite entender temas
propios de otras disciplinas, como
el análisis de los calendarios o de los
sistemas horarios. Esta es la propuesta
que Carlos Prieto de Castro presenta
en su libro Aventuras de un duende en
el mundo de las matemáticas, publicado
por el Fondo de Cultura Económica en
la colección La ciencia para todos. @
109
entre maestr@s
Las matemáticas
explicadas a mi
hija
Dennis Guedj (2008). Las matemáticas explicadas a mi hija. Barcelona, Paidós.
“P ara empezar, en mates, no sé de
qué se habla. Y después, nunca sé cómo
enfocar la resolución de un problema,
y además nunca he comprendido qué
es eso de una de-mos-tra-ción…”. No,
no es lo que se imagina, no es la incertidumbre y desasosiego que los maestros
presentan al principio de la reforma
integral en educación básica, se trata
de uno de los diálogos del libro: Las
matemáticas explicadas a mi hija. Lola
y Ray son los personajes de esta obra,
en la que dialogan en un contexto de
vida cotidiana sobre un amplio conjunto de preguntas matemáticas, lo
que da pie a introducir explicaciones
a interrogantes como: ¿qué es un razonamiento, una demostración o un
teorema?, ¿qué diferencia hay entre
una igualdad, una identidad y una
ecuación?, ¿qué diferencia entre el
Álgebra y la Aritmética? El propósito
de este libro es contribuir a pensar las
Matemáticas, su enseñanza y su aprendizaje desde una perspectiva dentro
de la cual se puede reconocer que sus
lenguajes expresan ideas, resultados
o razonamientos. De igual manera,
se plantea un camino para mostrar
que las Matemáticas son divertidas y
también que tenemos derecho a que
no nos gusten; pero, al conocerlas de
una manera agradable podemos valorar su importancia, comprenderlas
y aplicarlas en nuestra vida cotidiana.
Las matemáticas explicadas a mi hija, de
Dennis Guedj (publicado por Paidós
en 2009), es una propuesta para construir explicaciones acerca de las Matemáticas y algunos temas en particular:
los números, la Geometría, el Álgebra,
puntos y relaciones, los problemas y el
razonamiento matemático. @
110
Para la biblioteca
¿Te acuerdas,
Golondrina…?
Yoon Yeo-Rim (2007). ¿Te acuerdas, Golondrina…?
ilustrado por Kim Ji-Yeon. México: Altea.
¿T e acuerdas, Golondrina…?, es la historia de Cuervo, Cuco, Pinzón, Carpin­tero
y Ruiseñor, quienes hicieron un libro para
regalárselo a Golondrina, quien debido a
la llegada del invierno tendrá que emigrar
al Sur. En este libro, cada uno de estos
personajes describe pasajes que han vivido junto a Golondrina, con la finalidad
de que ella, al regresar en primavera, no
se olvide de ellos ni de sus experiencias.
Así, a lo largo de las páginas describen a
la serpiente de franjas rojas que se comió
a la rana de manchas negras; la clasificación de las flores por el número de sus
pétalos; la preocupación de todas las aves
por la llegada del huracán que soplaba en
forma de espiral y de otros animales que
tienen esta misma forma en su cuerpo:
el camaleón y el caracol, por ejemplo;
de cuando Cuco se perdió debido a que
todos los robles parecen iguales, y en la
última hoja del libro, ¡un bello dibujo de
color plata: seis puntas de flecha!, o lo
que es lo mismo, un copo de nieve. Así
transcurre la historia de Golondrina y sus
amigos, en la que curiosamente, a partir
de las leyes de la naturaleza, los animales
muestran patrones o dibujos simétricos,
o bien, la secuencia que se forma a partir
de contar los pétalos de las flores: 1, 2, 3,
5, 8, 13, 21, 34; incluso a partir del canto
de las aves, la música se ha nutrido de las
Matemáticas; también vemos cómo la
simetría tiene que ver con lo artístico en
la pintura infantil o cómo se da la repetición de las fases de la luna y los periodos
de día en que éstos habrán de realizarse:
luna llena, cuarto creciente, mitad de
la luna; por si fuera poco, además, sabemos
cómo es que las golondrinas, en su peregrinar, se ubican mediante la observación
del movimiento del Sol y las estrellas y se
dan cuenta del tiempo que ha pasado tan
sólo con ver la forma de la luna. Así, algunos términos matemáticos se expresan
en la naturaleza a través de una sencilla
historia. ¿Te acuerdas, Golondrina…?, de
Yoon Yeo-Rim, ilustrado por Kim Ji-Yeon
y publicado por Altea. @
111
El uso de la nueva tecnología
en la Enseñanza de las Matemáticas:
“Mi ayudante”
Auxiliar didáctico de Matemáticas
para el maestro de primaria”
Francisco Javier Moreno Torres*
Redes
[email protected]
E l acelerado desarrollo y expansión de las nuevas tecnologías de la información y la comunicación, así como su impacto en las diversas tareas sociales, representan una oportunidad
para la transformación real de las prácticas educativas.
En este contexto y en el marco del proyecto de investigación y desarrollo Mejorar la
Enseñanza de las Matemáticas en la Escuela Primaria. Propuestas de Modificación al Libro
de Texto Gratuito y un Auxiliar Didáctico para el Maestro surge el paquete de cómputo Mi
ayudante, auxiliar didáctico de Matemáticas para el maestro de primaria (http://miayudante.upn.
mx), con el fin de ofrecer al maestro elementos que le auxilien en la preparación de las clases
de esta materia.
Este paquete fue diseñado y elaborado en la Unidad Ajusco de la Universidad Pedagógica
Nacional en colaboración con la Sociedad Matemática Mexicana.
El desarrollo de este paquete tiene como antecedente la investigación Propósitos y contenidos actuales de la Enseñanza de las Matemáticas en México en el nivel primaria, en el que
se analizaron los materiales de la sep dirigidos tanto a los niños como a los maestros, con la
información obtenida en dicha investigación se construyó la base de datos con la que opera
el paquete.
Mi ayudante es un material educativo que se pone al alcance de profesores de primaria,
estudiantes de escuelas normales, investigadores y padres de familia para contribuir al mejoramiento de la Enseñanza de las Matemáticas y fomentar la cultura del uso de las tecnologías
de la información en el ámbito de la educación.
—————————————
* Profesor-investigador de la upn. Realiza su trabajo en el Cuerpo Académico Concepciones y Saberes Matemáticos.
112
El uso de la nueva tecnología en la Enseñanza de las Matemáticas
Al usar esta nueva herramienta tecnológica, los
profesores de primaria pueden planear de manera más
ágil su clase de Matemáticas, lograr una mejor cobertura
de los temas curriculares, conocer diversos materiales
edu­cativos informáticos y consultar múltiples fuentes
de información, además de propiciar su actualización en
y para el trabajo en el campo de las Matemáticas y en el
de su enseñanza en el marco de la propuesta pedagógica
vigente desde 1993.
El paquete Mi ayudante se ha ido actualizando
desde el ciclo escolar 2002-2003, y en su última versión
contiene casi en su totalidad la parte correspondiente a
Matemáticas de los materiales de distribución gratuita
que la Secretaría de Educación Pública emitió para el
ciclo escolar 2007-2008: el libro de texto gratuito para
los niños, el libro para el maestro, el fichero de actividades didácticas y los programas. Mi ayudante presenta un
análisis de estos materiales y sus relaciones. Además, se
han agregado juegos, herramientas, actividades y sugerencias, no incluidos en dichos materiales, que pueden
ser útiles para el maestro en el desarrollo de su trabajo
cotidiano.
Uno de los grandes logros de este paquete fue conseguir que la parte técnica (plataforma, manejadores de
bases de datos, etc) fuera la más adecuada para satisfacer
de manera eficiente las características definidas en el contenido de las consultas, que tenían que ser congruentes
con el currículo escolar y, además, permitir la capacitación
continua de los maestros a través de un rápido acceso y
fácil manejo.
Este paquete fue elaborado con tecnología de punta.
La versión para Internet de Mi ayudante se desarrolló
sobre el sistema operativo Linux y funciona internamente
con una base de datos en MySQL y programas en html,
php y java script. La base de datos trabaja con 33 tablas
relacionadas entre sí que contienen el análisis realizado
a los materiales ya mencionados de Matemáticas para
la educación primaria, las traducciones de los códigos
que se utilizan en éstas y las referencias a documentos,
herramientas y actividades que se han elaborado para esta
página, para las cuales también se utilizó software libre.
113
En este escrito se presenta la experiencia
del uso de la herramienta tecnológica Mi
ayudante como un material educativo que
busca contribuir en la mejora de la Enseñanza de las Matemáticas en la escuela
primaria. Profesores, investigadores y
padres de familia encuentran en el sitio
Web de esta herramienta contenidos
matemáticos, sugerencias didácticas,
libros de texto de primaria y otros textos
con temas de Matemáticas, juegos y ligas
sobre el tema. Se fomenta la cultura del
uso de las tecnologías de la información
en la educación, además de ser un espacio para la actualización de docentes en
zonas rurales del país.
Palabras clave: Mi ayudante, material
educativo, Matemáticas, enseñanza,
docentes, educación primaria.
u u
u u u
This paper presents the experience offered by the technological tool Mi ayudante
(My assistant) as an educational material
which looks for helping to improve mathematics teaching in primary school.
Teachers, researchers and parents can
find in this web-site: mathematical content, didactic suggestions, primary text
books and other books with mathematical
topics, games and links on the subject.
It promotes the culture of using computer-science technology in education,
as well as being a space for actualizing
knowledge to teachers from rural areas
of our country.
entre maestr@s
Herramientas para maestros
Para actualizar el sitio Web conformado aproximadamente por 15,000 páginas, se cuenta con un
complejo sistema de corrección en línea sobre una copia de la página que permite ver los cambios realizados
antes de publicarlos; esto ha permitido su actualización
permanente con la incorporación de los materiales
que distribuye la sep cada año escolar, la integración
al paquete de nuevos juegos y actividades, nuevos
documentos de interés y sitios de Internet.
Mi ayudante contiene siete consultas por grado
más una consulta de juegos y actividades en lengua
triqui.
En estas consultas por grado se presentan:
Ligas a sitios de Internet
• Los contenidos matemáticos y las habilidades
que se pretenden desarrollan al realizar las
ac­tividades del Libro de texto, Fichero de
Actividades y Programa.
• Sugerencias sobre cómo asociar las lecciones
y las fichas.
• Textos del libro para el maestro sobre el tratamiento didáctico del eje temático que se
aborda.
• Actividades, juegos y textos adicionales que
apoyan la actualización de los maestros y ligas
a sitios de interés en Internet.
Documentos que se han seleccionado o construido
específicamente para apoyar el trabajo de los maestros.
Mi ayudante aporta recursos didácticos para los maestros, por ejemplo:
Juegos interactivos
114
El uso de la nueva tecnología en la Enseñanza de las Matemáticas
Mi ayudante permite, a partir del programa, ubicar los materiales en los que se abordan los
distintos contenidos, lo que facilita la planeación de los cursos.
El uso de esta página por parte de los maestros se ha incrementado a través de los años de
forma impor­tante, por ejemplo, en 2003 se realizaron 20,071 visitas mientras que en 2006 se hicieron 226,306; de 358,700 páginas vistas en 2003 se registraron 1,430,296 en 2006, y para 2008
tuvimos 5,089,037.
Datos anuales
2003
2004
Visitas
20,071
62,589
Visitantes distintos
12,486
Páginas
Promedio de páginas
2005
2006
2007
2008
98,834
226,306
499,083
572,434
44,890
75,789
186,703
401,878
430,474
358,700
506,691
1,140,857
1,430,296
3,532,433
5,089,037
983
1,388
3,125
3,973
9,677
13942
por día
Se han capacitado directamente a más de 2,500 maestros, particularmente, en zonas rurales
de Oaxaca y en zonas marginales de la Ciudad de México. En el contacto con los maestros durante
el desarrollo de los talleres y en los comentarios que se envían al sitio, hemos podido corroborar el
interés que tienen los docentes en el paquete Mi ayudante, por considerarlo un gran apoyo para su
labor en distintos ámbitos, en especial para la atención a los maestros de grupo multigrado, de educación indígena, de niños migrantes y de zonas marginales de las ciudades. En la actualidad, frente
a los cambios curriculares propuestos por la sep para la educación básica, estamos a la espera de la
concreción de la propuesta y la distribución de los nuevos materiales de Matemáticas para incorporarlos a Mi ayudante y de este modo actualizar los comentarios y materiales pertinentes. @
115
entre maestr@s
Cartas del lector
Y
o soy una lectora de la revista entre maestr@s. Para mí, esta publicación ha sido un espacio
en el que he conocido experiencias de docentes de educación básica, sus temores, sus preocupaciones, sus logros.
Me ha gustado la manera sencilla en que dan a conocer sus experiencias didácticas, las cuales
han favorecido el desarrollo de estrategias de lectura y escritura en los niños, desde sus diferentes
contextos socioculturales.
Es interesante leer en cada uno de los artículos cómo los maestros narran la manera de llevar
a cabo su práctica docente, de forma que el niño sea el actor principal del proceso educativo.
Esta es una revista elaborada para quienes estamos interesados en la educación porque nos
proporciona en cada una de estas experiencias elementos para ayudar a los niños a formarse
como lectores y productores de textos auténticos en situaciones reales de uso, permitiendo que
construyan significados propios.
Felicito a los que están a cargo de elaborar esta revista por darnos a conocer los acontecimientos que son significativos y relevantes para cada uno de los maestros, quienes aportan diversas
visiones de lo que es la escuela, lo cual es muy rico para quienes en un futuro cercano seremos
pedagogas. @
Miriam Valderrábano Pérez
Pasante de la Licenciatura de Pedagogía en la upn-Ajusco
116
PROPÓSITOS
Intercambiar experiencias docentes de innovación
e investigación en el campo de la enseñanza de la
lengua escrita en los distintos niveles de formación,
a fin de contribuir a la construcción de saberes
pedagógicos.
Socializar el conocimiento y fortalecer los
saberes y las prácticas pedagógicas derivadas de
los proyectos y/o experiencias pedagógicas de las redes
de profesores y formadores de docentes.
Dialogar y avanzar sobre los principios
orientadores de las redes participantes de América
Latina para la transformación de las prácticas de
enseñanza de la lectura y la escritura y la formación
docente en lenguaje.
PARTICIPANTES
Los protagonistas serán los profesores y los formadores
de docentes integrantes de las distintas redes, así como
otros profesionales vinculados al campo de la
enseñanza, la investigación y la promoción de la cultura
oral y escrita, cuyos trabajos contribuyan a los procesos
de transformación de las prácticas pedagógicas.
Para la presentación documental de las
experiencias, se puede elegir alguna de las siguientes
opciones:
• Ponencia y
• Relatos escritos en un lenguaje narrativo.
RECEPCIÓN Y ENVÍO DE TRABAJOS
Y PROPUESTAS DE TALLERES
Fecha límite de recepción de trabajos:
15 de octubre de 2009.
Enviar los trabajos a las siguientes direcciones
electrónicas:
Roberto Pulido Ochoa:
[email protected] / [email protected]
Carmen Ruiz Nakasone:
[email protected] / [email protected]
TELÉFONO Y FAX
(01 55) 5630 9700, ext. 1343 (Lada Nacional)
(00 52) (55) 5630 9700, ext. 1343 (Lada Internacional)
LUGAR
Universidad Pedagógica Nacional
Unidad 201, Xoxocotlán, Oaxaca, México.
117
REVISTA ARBITRADA POR SISTEMA DOBLE CIEGO
E INDIZADA NACIONAL E INTERNACIONALMENTE
NORMAS DE ARBITRAJE
• Los artículos para la publicación de la revista entre
maestr@s serán sometidos al dictamen de un cuerpo de árbitros.
• El Consejo Editor efectuará una preselección de
los artículos recibidos, tomando como base los
siguientes criterios: vinculación con el eje temático
del número de la revista considerada, relevancia del
tema, planteamiento claramente expresado de la
tesis o del objetivo central, respaldo teórico o de
in­vestigación, ajuste a las normas para autores.
• Si el Consejo Editor lo considera pertinente hará
uso del “juicio de experto”, a fin de estimar el
aporte al tema y la novedad del mismo con miras
al arbitraje correspondiente.
• Después de la preselección, someterá los trabajos
enviados para su publicación a la revisión crítica
de tres árbitros, para lo cual se utilizará el sistema
doble ciego.
• El dictamen del arbitraje se basará en la calidad
del contenido, su impecable expresión escrita, lo
novedo­so del aporte al tema tratado, el cumplimiento de las normas para los autores y la presentación del material.
• Los árbitros considerarán para su evaluación: cla­­­­
ridad en el planteamiento de la tesis y objetivo
central, ubicación explícita del enfoque en el de­bate
correspondiente, relevancia del tema, contribución
al área de estudio, fundamentación de los supuestos, nivel de elaboración teórica y/o metodológica, apoyo empírico, bibliográfico y/o de fuentes
primarias, consistencia del discurso, manejo del
lenguaje, precisión, claridad, concisión de los términos utilizados, adecuación del título al contenido
del trabajo, capacidad de síntesis manifiesta en el
resumen, aplicabilidad, bibliografía actualizada,
entre otros.
• Los árbitros deben contar con las calificaciones
ade­cuadas en el área temática en cuestión y formar
parte del banco de árbitros de la revista según sus
respectivas especialidades, el cual ha sido levantado
en distintas universidades del país y del exterior.
• El informe del arbitraje concluirá con recomendaciones pertinentes a la publicación o no publicación del artículo en cuestión, para ello se valdrá
de las siguientes categorías:
I)ACEPTADO, cuando según el criterio del
ár­bi­tro, el contenido, estilo, redacción, citas,
referencias, evidencian relevancia del trabajo
y un adecuado manejo por parte del autor,
como corresponde a los criterios de excelencia
editorial de la revista entre maestr@s.
II)DEVUELTO PARA REVISIÓN, cuando
a pe­sar de abordar un tema de actualidad e
in­terés para la revista y evidenciar adecuado
manejo de contenidos por parte del autor(es),
se encuentren en el texto deficiencias superables en la redacción y estilo.
III)RECHAZADO, cuando según el juicio de los
árbitros el texto no se refiera a un tema de interés de la revista entre maestr@s o evidencie
serias carencias en el manejo de contenidos
por parte del autor, y en la redacción y/o estilo
necesarios para optar a la publicación en una
revista arbitrada.
• En el caso del Consejo Editor, una vez recopilado
el dictamen de los árbitros, se comunicará con el
autor a fin de que éste haga los ajustes correspondientes. Para ello dispondrá de una semana para
el reenvío final.
• Una vez que los textos hayan sido aprobados para
su publicación, la revista se reserva el derecho de
hacer las correcciones de estilo que considere convenientes. Siempre que sea posible, esas correcciones
serán consultadas con los autores.
118
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República Mexicana: 140 pesos (incluye gastos de envío).
En el extranjero: 40 usa dlls. (incluye gastos de envío).
Depósito bancario a la cuenta 4029395407, sucursal 3016
del Banco hsbc, a nombre de la Universidad Pedagógica Nacional.
Informes en: Fomento Editorial. Dirección de Difusión
y Extensión Universitaria. Universidad Pedagógica Nacional.
Carretera al Ajusco núm. 24, col. Héroes de Padierna, CP 14200, México, DF.
Tels. (01 55) 56 30 97 37 directo y fax 56 30 97 00, exts. 1311 y 1780.
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de educación primaria:
una experiencia con el uso de Enciclomedia*
Yolanda Chávez Ruiz**
[email protected]
Enciclomedia surgió como un programa cuyo propósito es proporcionar a maestros y alumnos
diferentes recursos para apoyar los procesos de enseñanza y aprendizaje. Los usos que los profesores dan a Enciclomedia en la clase de Matemáticas es muy variado (Chávez, 2006) y se relacionan con tres cosas: a) sus concepciones de aprendizaje y enseñanza, b) el conocimiento y dominio
que tienen del contenido matemático que se aborda y c) la familiaridad y habilidad para manejar
la computadora. De acuerdo con esto, podemos decir que Enciclomedia no altera las concepciones de los maestros, sino que se adapta a ellas y a las formas de enseñanza que implementan
habitualmente los docentes.
A partir de la entrada de Enciclomedia a las aulas de 5° y 6°, en varias escuelas primarias se
acordó que los equipos instalados podrían ser utilizados por alumnos y profesores de otros grados
como una forma de que todos tuvieran acceso a éstos. Los diversos recursos que tiene Enciclomedia se pueden utilizar para cualquiera de los grados escolares, siempre y cuando el profesor
logre una interacción y mediación de este recurso que permita enriquecer las experiencias de
aprendizaje de los alumnos.
En esta ocasión, se presenta una secuencia sobre el tema de la división para alumnos que están
finalizando el tercer año. La secuencia didáctica consta de tres fases:
• En la fase inicial se intenta averiguar lo que saben los alumnos acerca del tema, así como los
usos que le dan a ciertos conocimientos que son necesarios para el desarrollo de procedimientos que implican dividir.
• En la fase de desarrollo de la tarea se les plantea a los niños, organizados por equipos, una
situación problemática que implique división.
* Se agradece a la profesora Noemí Rodríguez Muratalla y a sus alumnos de tercer grado de la escuela “Tlamatini” por el desarrollo de esta actividad; a Diana Violeta Solares por su contribución para el diseño de
esta sección y a Alejandro Maravilla por las aportaciones para la elaboración de la presente secuencia.
** Profesora normalista. Asesora en Centros de Maestros. Estudiante de Posgrado en el Cinvestav.
I
Para practicar
La división en tercer año
entre maestr@s
• En la fase de cierre se exponen los diversos procedimientos que los equipos llevan a cabo para
resolver la problemática planteada y se concluye con el uso de un convencionalismo (el algoritmo
de la división).
Además de presentar las actividades que conforman cada fase, se intercalan también breves comentarios sobre lo que hicieron algunos alumnos de un grupo de tercer grado en el que se implementó la
secuencia; esos comentarios tienen la finalidad de que el maestro pueda anticipar posibles respuestas
y errores de sus alumnos en caso de que se anime a llevar a cabo estas actividades.
La división en el tercer grado de primaria
Cuando somos profesores de educación primaria y terminamos un ciclo escolar con tercer año, muchas veces comentamos con un aire de satisfacción entre nuestros compañeros de grado: “mis niños
ya saben dividir”. Esta frase tan contundente puede ser parte de una preocupación legítima, pues si al
inicio del ciclo escolar le preguntáramos a un maestro, qué esperaría que sus alumnos aprendieran de
Matemáticas durante el tercer grado de primaria, muy probablemente, entre la gama de respuestas
que tal maestro podría dar a dicha pregunta, se incluiría el que aprendan a dividir.
Lo anterior se justifica en buena parte porque el Plan y Programas de Estudio de 1993 señalan lo
siguiente para tercer grado respecto a este tema:
• Planteamiento y resolución de diversos problemas de división, con números hasta de tres cifras
mediante procedimientos no convencionales.
• Algoritmo de la división con números de dos cifras entre una cifra.
Fase inicial
Indagar sobre lo que los niños saben antes de iniciar una tarea, nos permite adaptar las actividades y
dirigir las preguntas que se formulen para ayudarles a consolidar los conceptos matemáticos que se
están trabajando.
Para el momento en que los alumnos se enfrentan a la división, muy probablemente ya saben
resolver problemas de suma, de resta y de multiplicación, así es que si lo que intentamos es acercar a los alumnos al conocimiento de la división y les planteamos un problema que implique dividir,
seguramente lo resolverán utilizando algunas de las herramientas que ya poseen (sumas, restas o
multiplicaciones) o que han utilizado en algún otro contexto.
Se aplicó esta secuencia en un grupo de tercer grado durante los últimos días del mes de junio
del ciclo escolar 2008-2009, por lo que los alumnos ya habían resuelto algunos problemas de división
y, sobre todo, ya se habían enfrentado al algoritmo de la división resolviendo de manera cotidiana lo
que comúnmente llamamos mecanizaciones, como la siguiente:
1 2
8 98
1 8
2
II
La división en tercer año de educación primaria: una experiencia con el uso de Enciclomedia
El propósito de esta primera fase es averiguar qué conocimientos utilizan los alumnos al participar en el juego interactivo denominado “La pulga y las trampas” que se encuentra en Enciclomedia,1
ya que, cómo se mencionó anteriormente, en el tercer grado los alumnos tienen conocimiento de la
suma, resta y multiplicación, por lo que este interactivo nos permitirá indagar sobre el uso que le dan
a estos conocimientos.
Algunos maestros han aplicado con sus alumnos el juego de “La pulga y las trampas” 2 tiempo atrás
utilizando únicamente lápiz y papel; ahora con el uso de las Nuevas Tecnologías de la Comunicación
(tic), Enciclomedia ha incorporado este juego en una presentación que incluye sonidos, movimiento
y un diseño atractivo para los niños, además de que les ofrece una retroalimentación inmediata.
La pulga y las trampas
El propósito de este juego es evitar que la pulga caiga en una de las trampas que se colocan de manera automática en este interactivo de Enciclomedia y también tiene la posibilidad de que las trampas
sean colocadas por los participantes en algún lugar estratégico. Para evitar que la pulga caiga en las
trampas, se tiene que decidir de qué tamaño serán los saltos, estos saltos tendrán que ser del mismo
tamaño, por ejemplo, si los niños escogen saltos de 4 la pulga saltará del 0 al 4, 8, 12, 16, 20 y así
sucesivamente. Si se elige ser el trampero (el que pone las trampas) entonces se tendrá que ser muy
hábil para colocar las trampas en algún lugar donde pueda caer la pulga del equipo contrincante. Se
puede jugar en equipos o contra la computadora.
Organización del grupo
Al iniciar con este juego, el grupo se divide en dos equipos, con la finalidad de que se pongan de
acuerdo entre los integrantes de cada uno sobre el tamaño de los saltos de la pulga, a cada niño
le corresponde indicar el tamaño de los saltos (introduciendo el tamaño de los saltos con el teclado
o directamente en el pizarrón, sí éste es interactivo) y hacer clic en el pizarrón interactivo para que
la pulga salte, de esta manera todos los integrantes de los equipos participan de manera activa.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
En este caso, las trampas están en los números 11 y 16, los niños que saben multiplicar podrán
identificar que con la serie del 3 la pulga evade sin problemas las trampas, así que en Enciclomedia se
Para acceder al recurso en la página principal de Enciclomedia (sitio del alumno) se hace clic donde está la liga para la ventana de Búsqueda avanzada, una vez en esta sección se escribe en el recuadro Concepto la frase “La pulga y las trampas”
y se anota una √ en el cuadro que se encuentra al lado izquierdo del tipo de recurso Actividades y se hace clic en el icono
Realizar búsqueda, después de unos momentos aparecerá el nombre del recurso que es también una liga a éste; al hacer
doble clic a dicha liga el recurso se abre después de unos segundos. Ya en este interactivo podemos leer las instrucciones
e iniciar el juego.
2
Este juego forma parte de las propuestas para divertirse y trabajar en el aula editados por los Libros del Rincón de la se p en
1991: Fuenlabrada, I., D. Block, H. Balbuena, A. Carvajal (1991) Juega y aprende matemáticas, México, se p .
1
III
entre maestr@s
indica que la pulga dé saltos de 3, aunque también pueden poner otras series para evadir las trampas. Cuando el equipo se encarga de poner las trampas, es decir, cuando les corresponde ser los
tramperos los niños eligen números que estén en dos o más series, por lo que con esta estrategia se
favorece el desarrollo de las nociones de múltiplo y divisor.
Fase de desarrollo de la tarea
Propósito
Que los alumnos resuelvan una situación problemática en la que pongan en juego la noción de división.
Materiales
54 palillos para cada equipo.
Organización del grupo
Cada grupo está formado por cuatro niños. A cada equipo se le entregan 54 palillos y se da la siguiente consigna:
Con los 54 palillos vamos a formar figuras de seis lados,
considerando que cada uno de los lados es un palillo,
¿cuántas figuras de 6 lados podemos formar con los 54 palillos?
En el grupo en el que se realizó esta secuencia, los niños se dieron a la tarea de construir sus figuras. Algunos equipos, antes de concluir esta tarea, expresaron la siguiente respuesta: con 54 palillos
podemos formar 9 figuras de 6 lados cada una.
A los equipos se les solicitó que mencionaran el procedimiento que utilizaron:
• “Nosotros multiplicamos 9 x 6, nos dio 54. Entonces hicimos 9 figuras”.
• “Nosotros hicimos figuras y nos alcanzó para 9”.
• “Multiplicamos 6 x 9”.
Hasta este momento, a pesar de que los niños ya se habían enfrentado al algoritmo de la división
y habían resuelto problemas de reparto, no tuvieron la necesidad de utilizar estos conocimientos,
por lo que usaron otras herramientas como el conteo, suma y multiplicación para resolver la tarea
planteada.
Para “obligarlos” a utilizar otras herramientas, se les planteó la siguiente consigna:
Si queremos hacer figuras de 12 palillos cada una,
con esos 54 palillos que tenemos en la mesa,
¿cuántas figuras podríamos hacer?
IV
La división en tercer año de educación primaria: una experiencia con el uso de Enciclomedia
En este caso, se les pidió que anotaran en su cuaderno los procedimientos que consideraran que los llevaría a la respuesta correcta, siempre y cuando trabajaran todos los miembros del equipo y
estuvieran de acuerdo en la respuesta.
En este momento, los equipos utilizaron diferentes procedimientos, ya que aumentó el grado de dificultad de la tarea propuesta:
• “Multiplicamos 12 x 54”.
• “Agrupando 4 conjuntos de 12 palillos y comprobando con una
multiplicación, agregando los faltantes: formamos 4 figuras con
48 palillos y nos sobraron 6”.
• “Multiplicamos 4 x 12 y nos dio 48 y nos sobraron 2 palillos”.
• “Hicimos figuras, nos salieron 4 y nos sobraron 6 palillos”.
Al realizar la operación en su cuaderno anotaron:
3
4 1 2
Este último equipo sí percibe que lo que anotaron como división y las 4 figuras que resultaron con sus 6 sobrantes no corresponde con la operación que realmente realizaron; sin embargo, no
pueden expresar la división en los términos correctos.
En esta fase se observa que los equipos realizan diferentes procedimientos. Los equipos tratan de resolver la tarea propuesta y se les
pide que anoten en el cuaderno el procedimiento utilizado sin cuestionar hasta este momento si son o no correctos los resultados.
Fase final o de cierre
En la fase final se hicieron públicos los procedimientos y resultados
(es decir se anotaron en el notebook del pizarrón interactivo del
equipo Enciclomedia) de la tarea realizada por cada uno de los
equipos.
Cada uno de los equipos explicó el procedimiento utilizado y
argumentó su resultado.
Al tener todos los procedimientos se lanzó la siguiente pregunta
a todo el grupo:
Los procedimientos son diferentes y también los resultados,
¿cuál de todos es el resultado correcto?
V
entre maestr@s
Después de varias intervenciones de muchos alumnos, en grupo se concluyó que el
equipo que realizó agrupamientos de 12 y obtuvo 6 sobrantes fue el que obtuvo el resultado correcto.
Al llegar a esta conclusión se les planteó la
siguiente pregunta:
Con los argumentos de varios alumnos se
llegó a la siguiente conclusión:
Cuando de manera grupal expresan una
forma de escritura de la división ya familiar para ellos, pueden identificar con mucha claridad
lo que cada número representa, ¡la división adquiere significado!
Los alumnos expresaron lo siguiente:
Al llegar a este tipo de convención como
actividad final, los equipos que tuvieron errores
en sus procedimientos o resultados los identificaron y corrigieron. Esta conclusión permite
que los niños aprueben o descarten sus hipótesis iniciales, identifiquen y corrijan errores,
analicen procedimientos correctos; todo esto
los conducirá a un aprendizaje con algún significado. En este caso, el significado que los niños
dieron a esta operación está totalmente ligado
con el problema que se indicó en la tarea. Las
diferentes experiencias acumuladas cuando
los niños resuelven este tipo de problemas les
permite construir o acercarse al conocimiento
de la división.
Como actividad que permite poner en
juego algunos conocimientos utilizados en esta situación didáctica se llevó a cabo el juego
Carrera a 20.
• “El 54 son todos los palillos que teníamos”.
• “El 12 son los palillos que podíamos utilizar
en cada figura”.
• “El 4 son las figuras que podemos hacer”.
• “El 48 son los palillos que utilizamos para
hacer las 4 figuras”.
• “El 6 son los palillos que nos sobraron”.
Carrera a 20
Para ganar en este juego, tienes que llegar al
número meta antes que tu contrincante (que
puede ser un amigo o la computadora).
Para llegar a ese número, los jugadores
deben elegir sumar 1 o sumar 2 al resultado que
va obteniendo el contrario. En el nivel fácil, la
¿Con qué operación podemos expresar
el procedimiento con su resultado correcto?
VI
La división en tercer año de educación primaria: una experiencia con el uso de Enciclomedia
los niños pueden utilizar la resta, la multiplicación, y cuando logran describir la estrategia ganadora, pueden llegar a utilizar la división.
meta es el 10 y en los niveles intermedio y difícil, puedes elegir entre jugar a 20 o jugar a 21.
Además, en el nivel difícil tienes la opción de
sumar 1, 2 o 3.
Para acceder al juego a partir de Enciclomedia, una de las opciones puede darse a partir de
Búsqueda avanzada, en el espacio de Concepto
se escribe “Carrera a 20” y se pone una √ en el
cuadro actividades y, por último, se hace clic en
Buscar, y después de un momento el recurso
se despliega en la pantalla.
Tarea para casa
Propósito
Que los alumnos identifiquen relaciones entre
los elementos del algoritmo de la división.
Se propusieron 3 divisiones en las que se
ocultó el divisor, con la finalidad de que los niños
identifiquen algunas propiedades de la división y
reflexionen sobre el significado de sus diferentes componentes.
Propósito
Que los alumnos descubran las estrategias que
permiten ganar el juego, al tiempo que sus
ideas, las ponen a prueba y las corrigen.
Organización del grupo
El grupo se organiza en dos equipos y por
turnos pasa un integrante de cada equipo que
jugará de acuerdo con las estrategias que se comentan en su equipo.
Cuando los niños comienzan a jugar, utilizan la suma con los números 1 y 2; cuando
se introducen nuevas dificultades (el interactivo tiene niveles de dificultad desde el sencillo
(“Carrera a 10” hasta el difícil “Carrera a 30”)
1 2
8
2 4
4
1 3
9
2
0
7
Uso de Enciclomedia
Cuando los profesores utilizamos recursos en
clase para facilitar la adquisición de los conocimientos puestos en juego, generalmente
pensamos en su pertinencia para lograr lo que
nos hemos propuesto, es decir, imaginamos “a
futuro” distintos escenarios de lo que podría
ocurrir al utilizar dicho recurso.
VII
entre maestr@s
Los recursos de Enciclomedia pueden tener
diferentes “efectos” si los utilizamos al inicio,
durante el desarrollo o para el cierre de una
clase, lo importante es tener claro lo que pretendemos lograr y tomar decisiones adecuadas
para sacarles el máximo provecho.
En esta secuencia didáctica, uno de los recursos de Enciclomedia (“La pulga y las trampas”) permitió en una primera fase identificar
los saberes previos de los alumnos considerando estos saberes como los conocimientos que
los niños construyen no sólo en la escuela, sino
en casa o en diferentes contextos, pero que
serán un antecedente útil que le permitirá a los
niños construir otros conocimientos.
En la fase final, otro recurso de Enciclomedia (“Carrera a 20”) permitió utilizar los conocimientos adquiridos para elaborar estrategias
exitosas y lograr ganar el juego.
Además se utilizó el Block de notas como un
pizarrón para anotar los diferentes procedimientos de los alumnos y llegar a la convención
que permitió hacer un cierre de la situación
didáctica.
Bibliografía
Chávez, Y. (2006). Enciclomedia en la clase de
matemáticas. Tesis de maestría. México: up n.
Fuenlabrada, I.; Block, D.; Balbuena, H. y Carvajal, A. (1991). Juega y aprende matemáticas.
México: se p .
se p (1993). Plan y programas de Estudio. Educación Primaria. Matemáticas. México: se p .
VIII
Guía para autores
entre maestr@s es una publicación trimestral de la Universidad Pedagógica Nacional. Sus autores son fundamentalmente
maestras y maestros de educación básica, los acompañan
especialistas ocupados en temas que in­volucran los ámbitos
de educación preescolar, primaria y secundaria; las producciones de las niñas, los niños y los jóvenes son contribuciones
relevantes para las páginas de la revista.
Los temas
Los temas de los artículos que aquí se presentan tienen la
intención de recuperar la complejidad del aula y de la es­­cuela,
de problematizarla, de descubrir y dar a conocer acontecimientos relevantes y significativos para las maestras y maestros de
educación preescolar, primaria y secundaria, desde su contexto
sociocultural.
Características de los textos publicables:
1. Las colaboraciones deben ser experiencias inéditas de
investigación, innovación o animación pedagógicas desde
y/o sobre la práctica docente, reflexiones, análisis, ensayos,
etcétera, acerca de la educación básica y la formación de
maestros.
2. Los textos han de ser breves, máximo doce cuartillas para
las secciones Desde el aula, Para el Consejo Técnico y Hojas
de papel que vuelan; para las otras secciones se recibirán
máximo cinco cuartillas. En el caso de Para la Biblioteca y
Aprendiendo a través del cine serán máximo dos cuartillas
3. Los trabajos deben acompañarse de:
a) Portada que indique: título del texto (no mayor de
ocho palabras), nombre del autor.
b) Datos generales del autor (notas curriculares, cen­tro
de adscripción o lugar donde labora, dirección del
centro de trabajo y/o particular, teléfono del centro
de trabajo y/o particular, correo electrónico).
4. Los originales habrán de presentarse:
a) Procesados en computadora. El autor deberá entregar un disquete (en procesador de palabras Word
de Microsoft) que indique título, autor y todos
los seña­­la­mientos del caso para su lectura, y una
copia im­presa del mismo trabajo en altas y bajas
(mayúsculas y mi­núsculas).
b) Sin cortes de palabras (eliminar los guiones a fin de
renglón).
c) Cuartilla holandesa: 28 renglones de 60-65 golpes.
Justificación izquierda (sin justificación derecha).
d) Legibles, sin marcas, añadidos o modifica­ciones al
margen.
e) Tabla de abreviaturas o siglas al final del texto.
f ) En caso de citar repetidamente una obra utilizar
las locuciones: idem, ibidem u op. cit., según sea el
caso.
g) Los criterios para anotar la bibliografía: nombre
de los autores (empezando por los apellidos), luego coma, luego el nombre, luego coma (cuando
haya más de un autor, el segundo empieza con el
nombre y luego los apellidos –separados los autores con y–; cuando haya más de tres, se pone el
primero y luego et al.). Si se menciona el capítulo
de un libro o artículo de una revista, aparecerá
entre comillas, luego irá coma y el término “en”.
El título del libro o revista en cursivas (itálicas),
luego coma. Número de edición (excepto si es
la primera), luego coma (se usará ed.). Lugar de
publicación, luego coma. Editorial o institución
que lo (la) produjo, luego coma. Año de publicación, lue­go coma. Páginas (se usará por ejemplo
p. 386.), luego punto final.
h) Las fotografías, gráficas e ilustraciones que acompañen al texto deben ser de alta ca­li­dad y contraste
adecuado, con el pie o referencia pertinente, e indicar dentro del texto el lugar donde deben incluirse.
Es importante que los autores aporten ilustraciones
o fotografías suceptibles de ser utilizadas como
complemento informativo. En cualquier caso, es
indispensable que el autor informe si las imágenes enviadas requieren recibir algún crédito o si
requieren de algún permiso para su publicación.
Todas las imágenes utilizadas deberán manejarse
en formato EPS, TIF o JPG con una resolución
mínima de 300 dpi (deben pesar más de 700 kb).
Favor de no insertar imágenes en archivos Word
porque se pierde calidad.
i) Palabras, frases o señalamientos especiales en cursivas (itálicas).
j) En el caso de reseñas o presentación de libros o
revistas, acompañar el texto con una fotografía o un
archivo digital de calidad de la portada del volumen
que se trate.
5. Los autores pueden dirigirse para la entrega de sus trabajos
a la siguiente dirección electrónica: [email protected]
Indicaciones generales:
Una vez aceptado el texto para su publicación no se admitirá
modificación alguna al original.
Se entregarán al autor tres (3) ejemplares del número de
entre maestr@s en que sea publicado su texto.
El autor es el único responsable de la veracidad y honestidad de los contenidos de su trabajo.
A petición escrita del autor se devuelven por correo los
originales de los trabajos no publicados.
Los textos incluidos en entre maestr@s pueden ser publicados en otro órgano editorial, previo permiso expreso por
escrito y haciendo referencia explícita de la fuente.
Aprendiendo a través del cine
NI UNO MENOS
Un pretexto para descubrir con otra mirada
el mundo de las Matemáticas
Wei Minzhi, de trece años de edad, tiene que hacerse cargo de una pequeña escuela rural, mientras el
maestro titular va a visitar a su madre enferma. La joven Wei tendrá que educar a los alumnos durante un
mes y no permitir que ninguno abandone el grupo, pues el número de niños que desertan es muy alto:
“ni uno menos”, advierte el maestro Gao a Wei; si logra este objetivo percibirá el salario del maestro.
Los problemas de esta adolescente comienzan cuando Zang, un estudiante conflictivo, tiene que dejar la escuela e ir a la ciudad a conseguir dinero para pagar las deudas de su familia. La novel maestra se
lanza a la búsqueda de su pequeño alumno que se ha extraviado en la urbe, lo cual la obliga a ella y a sus
estudiantes a buscar los medios económicos que les permitan financiar tal viaje, cosa nada fácil ante las
condiciones tan precarias en las que se encuentran.
Es en esta parte de la historia en la que sugerimos poner particular atención, pues maestra y alumnos
se ven obligados a hacer cálculos matemáticos para saber cuánto tiempo tendrían que trabajar en una
fábrica de ladrillos para obtener el dinero que necesitan. Los alumnos tienen que utilizar todos sus conocimientos y recursos matemáticos para poder hacer sus cálculos; comparan resultados, discuten la validez
de los mismos, proponen, prueban y, finalmente, con base en la actividad matemática desplegada en el
salón de clases, toman decisiones.
A partir de este extraordinario filme invitamos a los profesores a reflexionar sobre la posibilidad y las
condiciones didácticas necesarias para que incluso los problemas de los libros de texto y otras actividades
que pudieran caracterizarse como “típicamente escolares”, generen retos interesantes, apasionantes, no sólo
para los alumnos, sino para los mismos maestros pues, a final de cuentas, ambos comparten un mismo
espacio, ambos dejan marcas que escriben la historia colectiva de un salón de clases.
Diana Violeta Solares Pineda
Director:
Zhang Yimou
Año:
1999
País:
China
Duración:106 min.