MATEMATICAS UNDECIMO CUARTO PERIODO

PLAN DE APOYO CUARTO PERIODO
MATEMATICAS UNDECIMO
Sean 𝑓: 𝑅 → 𝑅 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑑𝑎𝑠: 𝑠𝑒 𝑝𝑖𝑑𝑒
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Hallar los interceptos con los ejes.
Hallar el dominio y el rango
Hallar las asíntotas verticales y horizontales si existen
Hallar los valores críticos
Hallar los puntos de máximo y/o mínimo relativo
Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento
Hallar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión
Dibujar la grafica, señalando cada uno de los elementos anteriores( una
hoja por gráfica)
2𝑥 2
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +1
𝑥2
2. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −7𝑥+10
2
3. 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 + 4𝑥 + 4
4. 𝑓(𝑥) =
2𝑥 2 −3
𝑥+2
Problemas de Teoría de conjuntos, con respuesta.
5) En una encuesta aplicada a 1000 empleados de un centro comercial
sobre el tipo de transporte que utilizan para ir de sus casas al trabajo se
obtuvo la siguiente información:
431 empleados utilizan metro.
396 empleados utilizan autobús.
101 empleados utilizan metro y trolebús pero no autobús.
176 empleados no utilizan ninguno de los tres medios considerados.
341 utilizan trolebús.
634 utilizan metro o trolebús.
201 utilizan sólo metro.
¿Cuántos empleados utilizan metro o trolebús pero no autobús?
¿Cuántos empleados utilizan sólo uno de los tres medios de transporte
mencionados?
¿Cuántos empleados utilizan sólo trolebús?
¿Cuántos empleados utilizan metro, trolebús y autobús?
Respuesta: 428 empleados utilizan metro o trolebús pero no autobús.
517 empleados utilizan sólo uno de los tres medios de transporte
mencionados.
126 empleados utilizan sólo trolebús.
37 empleados utilizan metro, trolebús y autobús.
CONJUNTOS E INTERVALOS
1) Sea  el conjunto de los números naturales. Dados
  x x   x  50
A  x x  2n  1  n   x  17
B  x x  2n  n   x  38
C  x x  5n  n 
D  x x  10n  n 
a) Define por extensión cada uno de los conjuntos siguientes:
A  C   B
B  A D
B
C

 A C

A  B  CC

b) Determina si cada una de las proposiciones siguientes es falsa o
verdadera:
2 A
DC
D  A  C 
8 B
n A  C   B  3
 A  C C
 AC  C C
c) Encuentra lo que se pide:
nC  D 
El número de subconjuntos propios de D.
2) Describe por comprensión cada uno de los conjuntos siguientes:
 3,1,1,3,5,7,9
24,32,40,,88
3) Describe en palabras lo que establecen las leyes de Morgan. Ilustra
con algunos ejemplos.
4) Identifica las regiones que comprende cada uno de los conjuntos
siguientes en un diagrama de Venn adecuado:
AC  B
AC  B C
A  C   B
A  B  B  C   C  A   A  B  C 



C C  AC  B

B  A  CC
CONJUNTOS E INTERVALOS
RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN
1)
A  C   B  10,20,30 ;
B
C
B  A  D   ;

 A  C  19,21,23,27,29,31,33,37,39,41,43,47,49


A  B  C C  19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43,45,47,49
2  A es falsa; D  C es verdadera; D   A  C  es falsa; 8  B es
falsa; n A  C   B  3 es verdadera;  A  C   AC  C C es verdadera.
C
nC  D  36
El número de subconjuntos propios de D es 14.
2)
 3,1,1,3,5,7,9  x x  2n  1  1  n  5  n  Z, donde
Z es el conjunto
de los números enteros.
24,32,40,,88  x x  8n  3  n  11 n 
3) Describe en palabras lo que establecen las leyes de Morgan. Ilustra con
algunos ejemplos.
( A  B) C  AC  B C :
La negación de una conjunción se transforma en una disyunción de
negaciones. Refiriéndose al uso del transporte decir que no es cierto que
una persona utilice metro y taxi equivale a decir que no utiliza metro o no
utiliza taxi.
( A  B) C  AC  B C :
La negación de una disyunción se transforma en una conjunción de
negaciones. Refiriéndose al uso del transporte decir que no es cierto que
una persona utilice metro o taxi equivale a decir que no utiliza metro y no
utiliza taxi.
4) Sea el siguiente diagrama de Venn:
A
B
R2 R1 R3
R4
AC  B : R1, R3, R4; AC  B C : R4.
Se considera ahora el diagrama de Venn:
A
R5
R4
B
R2
R1
R7
C
R3
R6
R8
 A  C   B : R4, R5, R7;  A  B  B  C   C  A   A  B  C  : R2, R3, R4,




R5, R6; C C  AC  B : R2, R5, R8; B  A  C C : R1, R2, R6. NOCIONES DE
LÓGICA SIMBÓLICA
Ejercicio n º 1: Decida si cada una de las oraciones siguientes es o no una
proposición lógica. Marque con una X las que sean proposición
El código postal de Mendoza es
5200
Tenga un día feliz
El baile es saludable
Un galón de agua pesa más de 5
libras
Levántese y pase a que lo cuenten
El 12 de octubre de 1949 fue
Miércoles
8+15=23
9-4=5 y 2+1=6
No todos los números son
positivos
Los Toyotas son mejores autos
que los Dodge
Ejercicio n º 2: Decida si las siguientes proposiciones son simples o
compuestas
Proposición
Yo leo novelas y leo periódicos
3+5<6
Luís canta o baila
Si Francisco no es un político, entonces Edgardo es
un ladrón
Mi hermana contrajo matrimonio en París
simple
compuesta
Ejercicio nº 3 En la columna de la izquierda hay una lista de proposiciones.
Para cada una de ellas, indique si la correspondiente proposición a la derecha
es o no su negación. Si no lo es, escriba correctamente la negación.
Proposición
El pizarrón es verde
4 es múltiplo de 8
El conjunto A tiene un solo elemento
A es un conjunto vacío
a≤b
El pizarrón es negro
4 no es múltiplo de 8
El conjunto A es vacío
A tiene al menos un elemento
a>b
a b
a < bc
Hoy no llovió en San Rafael
a  b
a  b ó b>c
Hoy llovió en Malargüe
Ejercicio n º 4: Represente con p la proposición “Ella tiene ojos azules” y con q
a “El tiene 43 años de edad”. Traduzca cada proposición compuesta a
palabras.
Proposición
p
pq
A
B
C
D
E
F
G
H
Traducción
 pq
q
pq
 p  q 
  p  q
pq
Ejercicio n º 5 Sean a, b y c números reales y sean las proposiciones: p: a < b;
q: b < c; r: a < c. Represente en términos de p, q y r los siguientes enunciados
1. a < b < c
2. (a  b y b < c) o a  c
3. No es cierto que (a < b y a < c)
Ejercicio n º 6: Lleve a lenguaje simbólico, en cada caso indique el nombre de
cada proposición
1.
2.
3.
4.
O me prestas los apuntes o no podré estudiar para el examen.
Cristina y Federico coleccionan figuritas y Juan colecciona banderines.
Ni Cristina colecciona figuritas, ni Juan banderines.
Juan colecciona banderines pero Federico no colecciona figuritas,
Federico colecciona tapitas de gaseosa.
Ejercicio n º 7: Conteste
1. Si sabemos que p es verdadera ¿Qué podemos decir acerca del valor
de verdad de p  q , aún cuando no tenemos el valor de verdad de q?
2. Si p es falsa, ¿Qué podemos saber acerca del valor de verdad de p  q ,
aún cuando no tenemos el valor de verdad de q?
3. Si p es falsa, ¿Cuál es el valor de verdad de p  q   r ?
Ejercicio n º 8: Si p es una proposición falsa y q una proposición verdadera.
Encuentre el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas
a)  p
e) p   q
b)  q
f)   p   q    q
c)  q   q 
g)  p  q
d)   p   q  p 
h)   p  q 
Ejercicio n º 9: Suponga que p representa una proposición verdadera y q y r
son proposiciones falsas. Encuentre el valor de verdad de las siguientes
proposiciones compuestas
a) q   r   p
b)  r   q    r  q 
c)   p  q   r   q 
Ejercicio n º 10: Construya la tabla de verdad para cada una de las siguientes
proposiciones compuestas
a)  p  q
b)  q   p  q 
c)  p   q    p  q 
Ejercicio n º 11: Utilice una de las Leyes de De Morgan para escribir la
negación de cada una de las proposiciones siguientes
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Puedes pagarme ahora o puedes pagarme después
Es verano y no hay nieve
Un número positivo es 1/3 y -12 es menor que cero.
Yo dije si pero ella dijo no
5-1=4 y 9+12≠7
3<10 o 7≠2
El abogado y el cliente se presentaron en la corte.
Ejercicio n º 12: Decida si cada una de las proposiciones siguientes que
incluyen cuantificadores son verdaderas o falsas.
1.
2.
3.
4.
5.
Todo número natural es un entero.
Existe un entero que no es un número natural.
Todos los números irracionales son números reales.
Algunos números racionales no son enteros.
Cada número racional es un número positivo.
Ejercicio n º 13 Para cada una de las siguientes proposiciones analice su valor
de verdad y escriba, en forma simbólica, su negación. Asuma que las variables
toman valores en el conjunto de los números reales.
Por ejemplo, dada la proposición x | 3  x  2  4 x  1 , la misma es verdadera
puesto que para x  3 / 7 se verifica 3  73  2  4 73  1 , y la negación de la
proposición es (x), 3  x  2  4 x  1.
1.
2.
3.
4.
5.
x | x2  x  1  0
x, ( x 1)  ( x  1)  x2 1
x | x2  1  0
x, x2  3x  2  0
x | x   x
6.
x, x  x  0
7.
8.
9.
x, (y | x2  y 2  ( x  y)2 )
x, (y, x  y  y  x)
x | (y, x  y  0)
Ejercicio n º 14 Escriba las siguientes frases con notación lógica.
1.
2.
3.
4.
Para todo x  0 , existe n natural tal que n  x y x  1/ n .
Para todos m, n 
existe p natural tal que m  p y p  n .
Existe u en los naturales tal que un  n para todo n natural.
Para cada n natural existe m natural, tal que m  n .
Ejercicio n º 15: Encuentre el valor de verdad
1.
2.
3.
4.
Para cualquier número real y, y<12 o y>4
Para cualquier número real t, t>3 o t<3
Para algún entero p, p≥5 y p≤5
Existe un entero n tal que n>0 y n<0
Ejercicio n º 16: Decida cuando cada proposición es verdadera o falsa
1. Si el antecedente de una proposición condicional es falso, la proposición
condicional es verdadera.
2. Si el consecuente de una proposición condicional es verdadero, la
proposición condicional es verdadera.
3. si q es verdadera, entonces  p  q   q es verdadera.
4. La negación de “Si los cerdos vuelan, yo lo creería” es “si los cerdos no
vuelan, yo no lo creería”
5. La proposición “si esto vuela, entonces es un pájaro” y “esto no vuela o
es un pájaro” son proposiciones lógicas equivalentes.
6. Dado que  p es verdadera y q falsa, la condicional p  q es verdadera.
Ejercicio n º 17: Escriba cada proposición usando los conectivos
“si…entonces”. Reacomode la redacción o agregue palabras si es necesario
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Es suficiente ser triángulo equilátero para ser isósceles.
Es necesario ser isósceles para ser triángulo equilátero.
Es necesario tener 18 años para poder votar.
Todos los enteros son números racionales.
Defender la ecología es necesario para ser reelecto.
El director contratará más profesores sólo si la junta escolar lo aprueba..
Resolver crucigramas es suficiente para volverme loco.
Ejercicio n º 18: Complete la siguiente tabla.
Antecedente
Si hace frío entonces uso
guantes
Consecuente
2x>10 si x>5
Todo
cuadrado
paralelogramo
Ser
mendocino
suficiente
para
argentino
es
es
ser
Ejercicio n º 19: Sean p , q y r las proposiciones siguientes:
p : “está lloviendo''
q : “el sol está brillando''
r : “hay nubes en el cielo''.
Traduzca los siguientes enunciados a notación lógica, utilizando p , q , r y
conectivos lógicos.
1. Si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo.
2. Si no está lloviendo, entonces el Sol no está brillando y hay nubes en el
cielo.
3. El Sol está brillando si y sólo si no está lloviendo.
4. Si no hay nubes en el cielo, entonces el Sol está brillando.
Ejercicio n º 20: Sean p , q y r como en el ejercicio anterior. Traduzca las
siguientes proposiciones a oraciones en español.
1.
2.
3.
4.
( p  q)  r
p  (q  r )
( p  r)  q
( p  (q  r ))
Ejercicio n º 21: Supongamos que todos los días que llueve Juan usa paraguas.
¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y en cuáles no puede
asegurarse nada?
1.
2.
3.
4.
5.
Si llueve entonces Juan usa paraguas.
Si Juan usa paraguas entonces llueve.
Si Juan no usa paraguas entonces no llueve.
Si no llueve entonces Juan no usa paraguas.
Si no llueve entonces Juan usa paraguas.
Ejercicio n º 22: Clasifique como verdadera o falsa a cada condicional. Aquí V
representa a una proposición verdadera y F a una proposición falsa.
a) F   4  7
b) F  3  3
c) V   4  2
d)  4  11  7  3  0
Ejercicio n º 23: Encuentre el valor de verdad de de cada proposición sabiendo
que p y r son falsas y que q es verdadera.
a) r  q
b) r  p
c) p  r
d)  p  r    p  r 
Ejercicio n º 24: Suponiendo que p  q es falso, indique los valores de
verdad para
a) p  q
b) p  q
c) q  p
Ejercicio n º 25: Escriba la negación de cada proposición. Recuerde que la
negación de p  q es p  q
1. Si das a tus plantas ternura, y las cuidas con cariño, florecerán.
2. Si el cheque está en la correspondencia, estaré sorprendido.
3. Si ella no lo hace, el lo hará.
4. Todos los hombres alguna vez fueron niños.
Ejercicio n º 26: Decida cuáles de las siguientes proposiciones son
equivalentes usando tablas de verdad.
a) p  q; p  q
b) q  p; p  q
c)  p  q  ; p  q
Ejercicio n º 27: Realice las siguientes demostraciones
1. Si p: a.b es impar y q: a y b son impares. Demostrar p  q
2. “Si un número es impar, entonces su cuadrado es impar” enunciar el
contrarecíproco, el contrario y el recíproco. Demuestre el primero.
3. Si a  b y c  d entonces a  c  b  d .
4. Si a  b entonces b   a .
5. Si a  b y c  0 entonces ac  bc
6. Si a  b y c  0 entonces ac  bc
INDUCCIÓN MATEMÁTICA
Ejercicio nº 28: Aplique inducción matemática para demostrar que la fórmula es
verdadera para todos los números naturales n
1. 2  4  6  ....  2n  n(n  1)
n (3n  1)
2. 1  4  7  ....  (3n  2) 
2
n
(
n

1) (2n  1)
3. 12  22  32  ....  n 2 
6
2
n (n  1)2
4. 13  23  33  ....  n3 
4
n
1
1
1
1


 .... 

5.
1.2 2.3 3.4
n(n  1) n  1
Ejercicio nº 29 Demuestre que n2  n es divisible entre 2 para todos los
números naturales n.
Los ejercicios que deben presentarse son:
Ejercicio 8, d-g-h.
Ejercicio 10, c.
Ejercicio 11, 4-5-6.
Ejercicio 13, 5-6-7.
Ejercicio 19, 3-4.
Ejercicio 28, 2.