mecánica computacional de sólidos: prácticas sobre el método de

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EDITORIAL
UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA
Colección Académica
Los contenidos de esta publicación han sido revisados por el 'HSDUWDPHQWR de
Mecánica de los Medios Continuos y Teoría de Estructuras de la Universitat
Politécnica de València
Para referenciar esta publicación utilice la siguiente cita: JOSEP CASANOVA COLON (2016). Mecánica
Computacional de Sólidos: Prácticas sobre el Método de los Elementos Finitos con SAP2000. Valencia:
Universitat Politècnica de València
© Josep Casanova Colon
© 2016, de la presente edición: Editorial Universitat Politècnica de València
distribución: Telf.: 963 877 012 / www.lalibreria.upv.es / Ref.: 0380_05_01_01
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ISBN: 978-84-9048-482-1
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cualquier otra forma de explotación, por cualquier procedimiento, de la totalidad o de cualquier
parte de esta obra sin autorización expresa y por escrito de los autores.
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Prólogo
La Mecánica Computacional se ocupa de la resolución de problemas mecánicos mediante métodos numéricos basados en la discretización de las ecuaciones que los gobiernan tanto en el espacio como en el tiempo. En ella se pueden considerar dos grandes ramas, la Mecánica Computacional de Sólidos y la Mecánica Computacional de
Fluidos. Es una parte fundamental de la formación en ingeniería civil, mecánica, aeronáutica, naval...
Hoy en día, aunque en el ámbito de la Mecánica Computacional de Sólidos se recurre a
distintos métodos numéricos, el más importante de ellos, con mucha diferencia, es el
Método de los Elementos Finitos, en el que se basan la práctica totalidad de los programas comerciales de orientación profesional que se utilizan en esta materia.
Este texto está concebido como complemento de las referencias teóricas sobre el Método de los Elementos Finitos en la formación de ingenieros civiles, aunque también podría utilizarse en otras ramas de la técnica. Plantea un conjunto de ejercicios prácticos
que pretenden capacitar al estudiante como usuario solvente de programas comerciales
de cálculo de estructuras basados en este método, ya que en la actualidad los ingenieros desarrollan su actividad profesional como usuarios de tales programas.
Su finalidad es doble. Por una parte, que el lector se familiarice con la utilización de un
programa de elementos finitos: pasos a seguir en la implementación del modelo, herramientas de mallado, visualización de resultados, interpretación de algunas presentaciones alternativas de éstos, etc. Por otra, que aplique determinados procedimientos propios del Método de los Elementos Finitos, como el test de la parcela; que compruebe si
un elemento presenta ciertos problemas, como el bloqueo; que compare la respuesta
proporcionada por elementos similares ante el mismo problema como base para tomar
decisiones de modelización, como la de usar elementos de elasticidad bidimensional
con o sin modos incompatibles o decantarse por mallas de elementos triangulares o
cuadrangulares; que modelice barras curvas mediante elementos rectos, y láminas mediante elementos placa, y analice los resultados; etc. Todo esto le capacitará para poder
realizar por sí mismo comprobaciones similares cuando, en su quehacer profesional,
tenga que desarrollar modelos complejos, utilizar otros elementos finitos, familiarizarse
con nuevos programas, etc.
I
Prácticas sobre el Método de los Elementos Finitos con SAP2000
Los diferentes ejercicios se desarrollan utilizando el programa SAP2000, muy conocido
en el ámbito del cálculo de estructuras. La elección de este programa se justifica en la
amplia difusión del citado programa y, sobre todo, en el convencimiento de que la elección concreta es poco relevante: si el estudiante llega a dominar un programa de este
tipo, en poco tiempo será capaz de utilizar con seguridad cualquier otro similar.
El texto se ha preparado, inicialmente, como guía para las prácticas informáticas de la
asignatura Mecánica Computacional de Sólidos (primer curso del Máster en Ingeniería
de Caminos, Canales y Puertos que se imparte en la Universitat Politècnica de València). Está redactado de manera que, en cada ejercicio, el lector encuentra la descripción
de los pasos a seguir, los resultados esperados y, cuando procede, su análisis crítico.
Esto facilita que cualquiera que esté interesado en el tema pueda utilizarlo para desarrollar los ejercicios y comprobar sus resultados por sí mismo.
Valencia, diciembre 2015
J. Casanova
II
Índice
Prólogo .................................................................................................................. I
Índice ................................................................................................................... III
1
Elasticidad Bidimensional (I)............................................................................ 1
1.1 Primera parte: Introducción interactiva de datos y visualización de resultados
en la pantalla. Test de la parcela .............................................................................. 1
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.1.4
1.1.5
Introducción ............................................................................................................... 1
Objetivos ....................................................................................................................2
Proceso a seguir ........................................................................................................ 2
Variante 1 .................................................................................................................. 4
Variante 2 .................................................................................................................. 4
1.2 Segunda parte: Mallado. Fiabilidad de los elementos finitos utilizados por el
programa ................................................................................................................... 4
1.2.1
1.2.2
1.2.3
Introducción ............................................................................................................... 4
Objetivos ....................................................................................................................6
Proceso a seguir ........................................................................................................ 6
1.3 Tercera parte: Salida de resultados.......................................................................... 9
1.3.1
1.3.2
1.3.3
Introducción ............................................................................................................... 9
Objetivos .................................................................................................................. 10
Proceso a seguir ...................................................................................................... 10
1.4 Cuarta parte: Análisis de la distribución tensional .................................................. 12
1.4.1
1.4.2
2
Introducción y objetivos............................................................................................ 12
Proceso a seguir ...................................................................................................... 12
Elasticidad Bidimensional (II)......................................................................... 15
2.1 Primera parte: Opciones avanzadas de modelización (1) ...................................... 15
2.1.1.
2.1.2.
Introducción ............................................................................................................. 15
Objetivos .................................................................................................................. 16
III
Prácticas sobre el Método de los Elementos Finitos con SAP2000
2.1.3.
Proceso a seguir ......................................................................................................16
2.2 Segunda parte: opciones avanzadas de modelización (2) .................................... 21
2.1.4.
2.1.5.
2.1.6.
Introducción ............................................................................................................. 21
Objetivos .................................................................................................................. 21
Proceso a seguir ......................................................................................................21
2.3 Tercera parte: Isostáticas ....................................................................................... 25
2.3.1
2.1.7.
3
Introducción ............................................................................................................. 25
Proceso a seguir ......................................................................................................25
Estructuras de barras (I) ................................................................................ 27
3.1 Primera parte: Definición interactiva de estructuras de barras. Bloqueo ............... 27
3.1.1.
3.1.1
3.1.2
Introducción ............................................................................................................. 27
Objetivos .................................................................................................................. 28
Proceso a seguir ...................................................................................................... 28
3.2 Segunda parte: Definición interactiva de estructuras de barras (2).
Nudos de dimensión finita. Enlaces no concordantes. .......................................... 31
3.2.1
3.2.2
3.2.3
Introducción ............................................................................................................. 31
Objetivos .................................................................................................................. 32
Proceso a seguir ...................................................................................................... 32
3.3 Adenda: Revisión de las instrucciones de selección y copia. Desconexiones ...... 34
3.3.1
3.3.2
3.3.3
4
Selección: ................................................................................................................ 34
Copia: Cut/Copy/Paste o Replicate .......................................................................... 35
Desconexiones ........................................................................................................ 35
Estructuras de barras (II) ............................................................................... 37
4.1 Primera parte: Vigas de sección variable (I) .......................................................... 37
4.1.1.
4.1.1
4.1.2
4.1.3
4.1.4
Introducción ............................................................................................................. 37
Objetivos .................................................................................................................. 38
Proceso a seguir ...................................................................................................... 38
Análisis de los resultados......................................................................................... 41
Conclusiones ...........................................................................................................42
4.2 Segunda parte: Vigas de sección variable (II) ....................................................... 43
4.2.1
4.2.2
4.2.3
4.2.4
Introducción ............................................................................................................. 43
Objetivos .................................................................................................................. 44
Proceso a seguir ...................................................................................................... 44
Conclusiones ...........................................................................................................46
4.3 Tercera parte: representación de vigas curvas mediante la poligonal inscrita ...... 46
4.3.1
4.3.2
4.3.3
4.3.4
4.3.5
IV
Introducción ............................................................................................................. 46
Objetivos .................................................................................................................. 47
Proceso a seguir ...................................................................................................... 47
Justificación ............................................................................................................. 50
Conclusiones ...........................................................................................................50
Índice
5
Placas y láminas (I) ....................................................................................... 51
5.1 Primera parte: Definición de elementos lámina. Test de la parcela ....................... 51
5.1.1
5.1.2
5.1.3
5.1.4
Introducción ............................................................................................................. 51
Objetivos .................................................................................................................. 53
Proceso a seguir ...................................................................................................... 54
Nota final .................................................................................................................. 55
5.2 Segunda parte: validez del elemento de Reisnner-Mindlin. Bloqueo.
Interpretación de las reacciones ............................................................................. 56
5.2.1
5.2.2
5.2.3
Introducción ............................................................................................................. 56
Objetivos .................................................................................................................. 58
Proceso a seguir ...................................................................................................... 58
5.3 Tercera parte: el giro alrededor de la normal como grado de libertad en
elementos de membrana o de lámina .................................................................... 61
5.3.1
5.3.2
5.3.3
Introducción ............................................................................................................. 61
Objetivos .................................................................................................................. 63
Proceso a seguir ...................................................................................................... 63
5.4 Observaciones finales............................................................................................. 64
5.4.1
5.4.2
Recomendaciones sobre el modelado ..................................................................... 64
Validación del modelo .............................................................................................. 64
5.5 Anexo: Solución de comparación del problema resuelto en la segunda parte ...... 65
6
Placas y láminas (II) ...................................................................................... 71
6.1 Primera parte: Enlaces elásticos. Placas sobre cimentación elástica .................... 71
6.1.1
6.1.2
6.1.3
Introducción ............................................................................................................. 71
Objetivos .................................................................................................................. 71
Proceso a seguir ...................................................................................................... 72
6.2 Segunda parte: Modelización de láminas mediante elementos planos ................. 76
6.2.1
6.2.2
6.2.3
6.2.4
6.2.5
7
Introducción ............................................................................................................. 76
Objetivos .................................................................................................................. 76
Proceso a seguir ...................................................................................................... 77
Procedimiento alternativo 1 de definición de la geometría ....................................... 79
Procedimiento alternativo 2 de definición de la geometría ....................................... 79
Referencias.................................................................................................... 81
V
Prácticas sobre el Método de los Elementos Finitos con SAP2000
Ficheros complementarios
VI
Dibujar Isostáticas
http://bit.ly/0380_DibujarIsostaticas
Model3
http://bit.ly/0380_Model3
PI4_p1
http://bit.ly/0380_PI4_p1_v2
PI4_p2
http://bit.ly/0380_PI4_p2
1
Elasticidad Bidimensional (I)
1.1
Primera parte: Introducción interactiva de datos y visualización de resultados en la pantalla. Test de la parcela
1.1.1 Introducción
En esta primera parte de la práctica se aplicará el test de la parcela a una laja rectangular subdividida en elementos cuadrangulares1. La figura muestra la disposición de elementos y las coordenadas de los diferentes nudos. Material, E=1 GPa, ν=0,25.
Figura 1-1
La laja se someterá a un campo de desplazamientos impuesto, dado por
u=
1
X +Y
1000
2
,
v=
Y+X
2
1000
Este ejercicio coincide, salvo por las unidades, con uno de los propuestos en Macneal & Harder (1985). También figura,
con las mismas unidades que en el artículo mencionado, en la colección de ejercicios de verificación del SAP2000 que
se facilita con el programa.
1
Prácticas sobre el Método de los Elementos Finitos con SAP2000
que se definirá en los nudos 1, 2, 7 y 8 (valores sombreados en la tabla). Si el test sale
bien, los desplazamientos de los puntos intermedios deberían coincidir con los que se
indican en la tabla anterior, y las tensiones con las que se calculan a continuación:
1
1
∂u
∂v
,
=
εY =
=
∂X 1000
∂Y 1000
E
(ε X + νε Y ) = 1333,33 kPa
σX =
1 −ν 2
E
(ε Y + νε X ) = 1333,33 kPa
σY =
1 −ν 2
E
τ XY = Gγ XY =
γ XY = 400 kPa
2(1 + ν )
εX =
,
γ XY =
1
∂u ∂v
+
=
∂Y ∂X 1000
1.1.2 Objetivos
En esta parte se pretende que el lector aprenda a:
1) Introducir un modelo plano de forma interactiva, definiendo los elementos uno a uno.
2) Procesarlo.
3) Ver los resultados en la pantalla.
Así mismo, se pretende que compruebe que los cuatro tipos de elemento plano implementados en el programa SAP2000 (cuadrangular y triangular degenerado, en ambos
casos con modos incompatibles2 o sin ellos) satisfacen el test de la parcela3 y, por lo
tanto, con una subdivisión suficiente, permiten resolver cualquier problema.
1.1.3 Proceso a seguir
1) Establecer las unidades: kN, m, ϶C.
2) Crear un nuevo documento y definir una retícula con 6 líneas en dirección X, 5 según Y y 1 según Z, con separaciones uniformes de 0,4 m en dirección X y 0,2 m en
dirección Y, empezando la numeración en 0.
3) Editar la retícula (pulsando sobre una de las líneas con el botón derecho del ratón y
eligiendo Edit Grid Data…) y mover las líneas a las abscisas y ordenadas de los nudos.
4) Definir el material (Define Æ Materials… Æ Add New Material, Region=User, Material=Other), asignando Nombre=MAT1, E=1.000.000 (kN/m2, es decir, kPa, equivalente a 1 GPa) y ν=0,25. Anular el peso específico para evitar problemas. El coeficiente de dilatación térmica no interviene, puede anularse o no.
5) Definir las características del elemento (Define Æ Section Properties Æ Area Sections). Tipo: Plane; nombre: Plano1; tipo: tensión plana con modos incompatibles;
material: MAT1; espesor: 0,1 m.
6) Dibujar los elementos uno a uno. Si empieza por los elementos del contorno, no olvide el central.
2
3
2
Sobre modos incompatibles, véase Oñate (1991, 190) o Wilson,(2002, capítulo 6).
Sobre el test de la parcela o criterio de la parcela, véase Zienkiewicz (1980, 307), Oñate (1991, 84) o Wilson (2002, 2-3)
Elasticidad Bidimensional (I)
7) Asignar la sección4 Plano1 a cada uno de los cuadriláteros dibujados (Assign Æ
Area Æ Sections…).
8) Coartar los desplazamientos u y v en los nudos 1, 2, 7 y 8 (Assign Æ Joint Æ Restraints…).
9) Definir un patrón de carga (Define Æ Load Patterns…) de nombre PARCELA, con
multiplicador del peso igual a 0. El tipo es irrelevante. El patrón de carga es una mera descripción de las cargas.
10) Comprobar que el programa ha generado un caso de carga (Define Æ Load Cases…) de tipo Static Linear con las cargas —las ya asignadas o las que se incorporen más adelante— del patrón PARCELA. El caso de carga es el elemento que
realmente se calcula; consiste en la asociación de unas cargas y un procedimiento
de cálculo, en nuestro caso las cargas del patrón PARCELA y el cálculo de tipo estático lineal.
11) Definir los desplazamientos impuestos (Assign Æ Joint LoadsÆ Displacements…)
en los nudos 1, 2, 7 y 8, asignándolos al caso de carga PARCELA.
12) Comprobar los ejes locales de cada elemento (Display Æ Show Misc Assigns Æ
Area… o botón Set Display Options en la barra de herramientas), que luego se necesitarán para interpretar las tensiones.
13) Definir las características del análisis (Analyze Æ Set Analysis Options): el desplazamiento w y los giros no intervienen.
14) Ejecutar el análisis (Analyze Æ Run Analysis, F5 o botón Run Analysis) indicando al
programa que el único caso de carga a procesar es PARCELA. Llame PI1_p1 (práctica informática 1, parte 1) al modelo y guárdelo en una carpeta específica para los
cálculos con SAP2000 de la primera práctica.
15) Verificar los desplazamientos. Muestre la deformada, eligiendo el caso de carga
PARCELA e indicando al programa que dibuje también el contorno de la estructura
sin deformar (seleccionando opción Wire Shadow). En la deformada, poniendo el
cursor sobre cada nodo podrá leer los desplazamientos. Compruebe que son los esperados, teniendo en cuenta el redondeo de la salida de datos.
16) Preparar la presentación de resultados. Sobre la imagen de la deformada sitúe el
cursor en el nudo 5 para que se muestren los desplazamientos, copie la imagen de
la pantalla al portapapeles (pulsando ImprPant), abra un procesador de textos, escriba “Resultados de la primera parte”, pegue la imagen a continuación y guarde el
documento como Resultados PI1.
17) Verificar las tensiones. Vaya a mostrar esfuerzos o tensiones (Display Æ Show Forces-Stresses o botón Show Forces-Stresses). Escoja elemento plano, caso de carga
PARCELA, tensión S11 (corresponde a σX) y en las restantes opciones deje el valor
por defecto. Poniendo el cursor en un punto cualquiera leerá la tensión en ese punto.
Compruebe que es la esperada. Repita el proceso con las otras componentes de
tensión, teniendo en cuanta que S22 corresponde a σY y S12 a τXY.
4
Recuerde que el programa llama sección a un conjunto de datos que incluyen las funciones de interpolación, el material
y ciertos factores multiplicadores que afectan a la rigidez
3
Prácticas sobre el Método de los Elementos Finitos con SAP2000
18) Preparar la presentación de resultados. Imprima una imagen de la pantalla mostrando las tensiones S11 y péguela en el documento Resultados PI1 a continuación de
la imagen anterior.
1.1.4 Variante 1
Desbloquee el análisis para que el programa borre los resultados. Repita el análisis
pero utilizando elementos triangulares (recuerde que el manual sólo los recomienda
cuando son inevitables). Puede adoptar la disposición de la figura o cualquier otra resultado de dividir cada cuadrilátero anterior en dos triángulos.
Figura 1-2
Comience editando la retícula (pulsar con el botón derecho sobre un tramo de la misma
fuera de la laja y elegir Edit grid) para crear una nueva capa Z2 a cota 1. Sitúese sobre
ella (flechas arriba o abajo en la barra de herramientas) y repita el proceso anterior con
los nuevos elementos. Obtendrá los mismos resultados (la versión triangular también
pasa el test de la parcela).
1.1.5 Variante 2
Desbloquee el análisis para que el programa borre los resultados. Vaya a la definición
del elemento (paso 5 anterior) y anule la opción de modos incompatibles. Repita el
cálculo y verifique los resultados en los dos modelos. Compruebe que, de nuevo, ambos
elementos pasan el test.
1.2
Segunda parte: Mallado. Fiabilidad de los elementos finitos utilizados por el
programa
1.2.1 Introducción
En esta parte se va a analizar la ménsula de la figura 2 (sección rectangular de espesor
5 cm; material: E=300.000 kp/cm2, ν=0,2, γ=0), con diferentes mallas y tipos de elemento. La carga es una distribución parabólica de fuerzas de superficie verticales aplicadas
en la cara X=400 cm, que en el modelo de elementos finitos se introducirá mediante las
tres cargas puntuales indicadas, cada una de las cuales representa la resultante de una
de las áreas señaladas en la parte derecha de la figura (tenga en cuenta que se representan fuerzas de superficie y para hallar la resultante se debe considerar el espesor).
Como valores de contraste, verificaremos los desplazamientos en la sección X=400 cm
4
Elasticidad Bidimensional (I)
y las distribuciones de tensiones en las secciones X=0 y X=1 m, utilizando como solución de contraste el cálculo analítico pormenorizado de esta pieza, que figura en Casanova (1992, 68 y s.s.)5, así como los valores que proporciona la teoría de vigas. Dado
que en la resolución analítica se ha hecho uso del principio de Saint-Venant en el empotramiento, cabe esperar alguna pequeña discrepancia entre esta, la solución numérica y
los valores reales que sólo podrían determinarse experimentalmente.
50 cm
0,16 Mp
4,5 kp/cm
0,68 Mp
50 cm
2
6 kp/cm
25 cm
4,5 kp/cm
0,16 Mp
2
2
400 cm
Figura 1-3
Resultados de contraste, según Casanova (1992):
σ X = −0,0192 XY + 7,68Y
σY = 0
kp/cm 2
τ XY = 0,0096Y 2 − 6 kp/cm 2
u = 2,35 × 10 −8 Y 3 − 3,2 × 10 −8 X 2Y + 2,56 × 10 −5 XY − 2,4 × 10 −5 Y
cm
v = 1,07 × 10 −8 X 3 + 6,4 × 10−9 XY 2 − 2,56 × 10 −6 Y 2 − 1,28 × 10 −5 X 2 − 2,5 × 10 −5 X
cm
En estas expresiones, las coordenadas intervienen en centímetros. La teoría de vigas de
Navier-Bernoulli —de dudosa aplicación a este caso, pues h/L=1/8— conduce a la misma distribución de tensiones y a la flecha en el extremo libre que se determina a continuación (nótese que E=300.000 kp/cm2 = 300 Mp/cm2):
5 × 503
= 52083 cm 4
12
PL3
1× 4003
= −1,365 cm
v X = 400 cm = −
=−
3EI
3 × 300 × 52083
IZ =
La tabla siguiente resume los resultados de contraste a considerar:
Desplazamientos X=400 cm
5
Y (cm)
u (cm)
v (cm)
25
12,5
0
-12,5
-25
0,1278
0,0637
0
-0,0637
-0,1278
-1,3728
-1,3728
-1,3728
-1,3728
-1,3728
Tensiones X=0
Tensiones X=100 cm
2
2
2
2
2
2
σX (kp/cm ) σY (kp/cm ) τXY (kp/cm ) σX (kp/cm ) σY (kp/cm ) τXY (kp/cm )
192
96
0
-96
-192
0
0
0
0
0
0
-4,5
-6
-4,5
0
144
72
0
-72
-144
0
0
0
0
0
0
-4,5
-6
-4,5
0
En la segunda edición, de 1998, no apareció este ejercicio.
5
Prácticas sobre el Método de los Elementos Finitos con SAP2000
1.2.2 Objetivos
Que el lector aprenda a:
1) Crear una malla regular más densa subdividiendo una anterior.
2) Duplicar o copiar varias veces una parte de un modelo para crear otro más complejo.
3) Crear una malla regular copiando repetidas veces una área generadora previamente
definida.
Que el estudiante observe las diferencias de comportamiento entre los elementos con
modos incompatibles6 y los elementos sin ellos y se dé cuenta de porqué es aconsejable
usar los primeros salvo que se tenga un buen motivo para no hacerlo, es decir, porqué
en caso de duda hay que incluir los modos incompatibles.
1.2.3 Proceso a seguir
1) Establecer las unidades: Tonf, cm, ͼC —Tonf se refiere a toneladas fuerza, es decir,
megapondios (Mp)—.
2) Definir una retícula con 2 líneas en dirección X, 3 según Y y 1 según Z, con separaciones uniformes de 400 cm en dirección X y 25 cm en dirección Y, 100 cm en dirección Z y empezando la numeración en 0.
3) Definir el material. Nombre MAT1, E=300 (Mp/cm2, equivalente a 300.000 kp/cm2) y
ν=0,3. Anular el peso específico para evitar problemas. El coeficiente de dilatación
térmica no interviene, puede anularse o no.
4) Definir las características de dos elementos (Area Sections) tipo: Plane:
a. Nombre: Plano1; tipo: tensión plana con modos incompatibles; material:
MAT1; espesor: 5 cm.
b. Nombre: Plano2; tipo: tensión plana sin modos incompatibles; material:
MAT1; espesor: 5 cm.
5) Definir la ménsula mediante un único elemento rectangular de 400x50 cm. Seleccionar este elemento y subdividirlo en una malla de 4x2 usando Edit Æ Edit Areas Æ
Divide Areas Æ Divide Area Into This Number Of Objects. Observe que 4 es el número de partes en dirección X y 2 el número de partes en dirección Y. (En adelante
llamaremos a este modelo Ménsula 1.)
6) Seleccionar todos los elementos y asignarles el tipo Plano1. Comprobar los ejes locales.
7) Coartar los desplazamientos u y v en los nudos de la sección X=0, extremo izquierdo
de la pieza.
8) Definir un patrón de carga Caso1 con multiplicador del peso igual a 0. El tipo es irrelevante. Recuerde que el programa crea automáticamente el caso de carga.
9) Definir las fuerzas que actúan sobre los nudos superior, central e inferior de la sección X=400 cm, dándoles los valores indicados en la figura y asignándolas al patrón
de carga Caso1.
10) Crear dos copias de la ménsula, situándolas en el mismo plano 100 y 200 cm por
encima de esta (en adelante llamaremos a estos modelos Ménsula 2 y Ménsula 3,
6
6
En la nota a pie de página 2 se facilita algunas referencias sobre modos incompatibles.
Elasticidad Bidimensional (I)
respectivamente). Para hacerlo, seleccione la pieza completa y ejecute la instrucción
Edit Æ Replicate definiendo, en la pestaña Lineal, dy=100 (cm) y 2 incrementos (Increment Data Number). Con esto ha creado dos copias de toda la información que
contenía el modelo (geometría, cargas, características de los elementos y condiciones de contorno).
Figura 1-4
11) Situándose en la pieza que ahora está en la posición central (Ménsula 2), dividir cada elemento en 2 partes en dirección X (y 1 en Y), operando como en el punto 5.
12) Situándose en la pieza que está más arriba (Ménsula 3), seleccionar todos los elementos y cambiar la asignación de tipos a Plano2. La figura 1-4 muestra el resultado
de estas últimas operaciones; el código de colores indica los elementos utilizados:
en tono claro se representa el tipo Plano1, con modos incompatibles, y en tono oscuro el tipo Plano2, sin ellos.
13) Seleccionar esta última pieza y copiarla tres veces hacia arriba, operando como en
el punto 10 y usando los mismos parámetros que antes salvo el número de copias,
ahora 3. Llamaremos a los nuevos modelos Ménsula 4, Ménsula 5 y Ménsula 6.
Figura 1-5
14) En la pieza Ménsula 4, primera de las copias recién realizadas, dividir cada elemento
en 2 partes en dirección X (y 1 en Y), operando como en el punto 5.
15) En la pieza Ménsula 5, quinta contando desde abajo, dividir cada elemento en 4 partes en dirección X y 2 en dirección Y, operando como en el punto 5.
16) En la pieza Ménsula 6, sexta contando desde abajo, dividir cada elemento en 8 partes en dirección X y 4 en dirección Y, operando como en el punto 5.
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Prácticas sobre el Método de los Elementos Finitos con SAP2000
17) Modificar las condiciones de contorno en X=0 en las dos piezas situadas más arriba,
anulando los desplazamientos u y v también en los nudos creados por la subdivisión.
La figura 1-5 muestra el resultado de todas estas operaciones; en ella se indican los
tipos con el mismo código de tonalidades que en la figura anterior.
18) Editar la retícula (pulsando el botón derecho sobre una línea cualquiera de la misma,
fuera del cuerpo y eligiendo Edit grid) y añadir las líneas Y=-50, Y=-75 y X=50.
19) Utilizar el recuadro que se ha definido debajo de la primera ménsula para dibujar dos
elementos triangulares que definan un rectángulo. Asignarles el tipo Plano1.
20) Crear una ménsula como la inicial, mallada con triángulos, copiando los dos recién
definidos 7 veces según X, con incremento dx=50 cm, y el resultado de todo esto
una vez según Y, con incremento dy=-25 cm. Será Ménsula 7.
Figura 1-6
21) Definir en esta última las mismas condiciones de contorno y cargas que en la inicial.
El resultado se muestra en la figura 1-6.
22) Procesar el conjunto de modelos; recuerde indicar —Set Analysis Options— que el
desplazamiento Z y los giros no son grados de libertad del problema. Llame al cálculo PI1_p2 (práctica informática 1, parte 2).
23) Comprobar el desplazamiento en el punto (400,0). —En la próxima página encontrará la figura 1-7 que, resumiendo las anteriores, facilita la identificación de los diferentes modelos.
a. Observará que el modelo Ménsula 1, a pesar de estar formado por elementos
demasiado alargados (se recomienda que la proporción de lados no supere
1:2, da una aproximación razonable (1,34 en lugar de 1,37), y el modelo
Ménsula 2, con elementos menos alargados, da una excelente aproximación
(1,364 frente a 1,373). En ambos casos se consideran mallas rectangulares
con modos incompatibles.
b. Los resultados del modelo Ménsula 7, con malla de triángulos y modos incompatibles, son inaceptables.
c. Los resultados de los modelos Ménsula 3, Ménsula 4 y Ménsula 5, los tres
primeros definidos con el elemento sin modos incompatibles, también son
inaceptables; con la malla más densa (Ménsula 6) se obtiene la misma flecha
que con el primer modelo con modos incompatibles, (1,34 como aproximación a 1,37), pero el número de elementos es 32 veces mayor (256 frente a
8).
d. Queda, pues, claro, que el elemento triangular debe evitarse mientras sea
posible y que los modos incompatibles mejoran notablemente la aproximación, por lo que es aconsejable utilizarlos sistemáticamente. Probablemente,
con elementos de forma trapecial o cuadrangular en lugar de rectangulares la
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