Comentarios sobre su definición Matemática y Estado del Arte

Autómatas Celulares
Comentarios sobre su definición
Matemática y Estado del Arte
!
Lic. Ariel Torazza
IG-CONAE
Director: M. Scavuzzo
Co-director: E. Pilotta
[email protected]
Resumen
La finalidad es presentar una una introducción del
concepto de autómata celular proveniente de la Teoría
de la Computación. Se trata de Sistemas Dinámicos
Discretos sobre Reticulados.
Estructura de presentación
Por que usar AC
Historia
Formalismo
Aplicaciones (varias, uso de suelo, Incendios Forestales)
Individuo
En el mundo natural y artificial uno observa fenómenos de gran complejidad. Las
investigaciones en física y hasta cierto punto la biología y otros campos han
mostrado que los componentes básicos de muchos sistemas son simples.
Gran Complejidad
Un problema crucial para varias áreas de la ciencia es
clarificar los mecanismos matemáticos por los cuales gran
número de componentes simples, actuando juntos, pueden
producir el comportamiento de gran complejidad.
Individuo y algunas
características
Caranx latus. Es pariente del Jurel. Los machos pueden llegar hasta 1m y
pesar 13,4kg. Los adultos nadan en pequeños y grandes bancos. Se ha
conocido de bancos de estos peces que nadan alrededor de buzos, atraídos
aparentemente por las burbujas que exhalan. (Wikipedia)
¿Por qué usar Autómatas
Celulares (AC)?
★
Los AC pueden verse como poderosos motores de
cómputo.
★
Como simuladores discretos de sistemas dinámicos.
★
Como los vehículos conceptuales para el estudio de
la formación de patrones y la complejidad.
★
Como modelos originales de física fundamental.
Historia
Era de Von Neumann
Era de John Horton Conway
Era de Stephen Wolfram
Era de Von Neumann
La primera etapa la inicia Von
Neumann (1966), quien una vez
terminada su participación en el
desarrollo y terminación de la primer
computadora “ENIAC” tenía en
mente desarrollar una máquina con
la capacidad de construir a partir de
si misma otras máquinas (autoreproducción) y soportar
comportamiento complejo.
Introducción
Stanislaw Marcin Ulam
(13 de abril de 1909-13
de mayo de 1984) fue
un matemático polacoestadounidense que
participó del proyecto
Manhattan y propuso el
diseño Tell-Ulam de las
armas termonucleares.
También propuso la idea
de propulsión nuclear de
pulso y desarrolló un
número de herramientas
matemáticas en la teoría
de números, teoría de
conjuntos, teoría
ergódica y topología
algebraica. Sobre todo
es conocido por ser
coautor (con Nicholas
Metropolis) del Método
Montecarlo. También es
conocido por el espiral
de Ulam.
La génesis de los
autómatas celulares
es asignada a
Stanislaw Ulam y John
von Neumann (década
de los años 40 del
siglo XX).
John von Neumann (28
de diciembre de 1903,
Budapest, Imperio
austroúngaro- 8 de
febrero de 1957,
Washington, D.C.
Estados Unidos) fue un
matemático húngaroestadounidense que
realizó contribuciones
fundamentales en física
cuántica, análisis
funcional, teoría de
conjuntos, ciencias de la
computación, economía,
Ulam, a partir de un conjunto de juegos
análisis numérico,
para computadores, le propone a von
cibernética,
Neumann el problema de construir un
hidrodinámica,
“universo abstracto” para el estudio y
estadística y muchos
análisis de la reproducción automática,
otros campos. Está
mecánica o robótica; ofreciendo de esta
considerado como uno
forma un marco teórico para el estudio de de los más importantes
problemas provenientes de sistemas con
matemáticos de la
comportamientos complejos y descritos
historia moderna.
por reglas sencillas.
Introducción
A partir de allí el estudio y desarrollo de los
autómatas celulares ha venido recibiendo una
notable atención por investigadores en diferentes
áreas del conocimiento.
En la Teoría de la Computación promovió el impulso del procesamiento paralelo y el
procesamiento de imágenes; en la Biología han sido empleados para modelar
problemas provenientes de la Genética; en la Física son usados para el estudio, entre
otros, de problemas de la dinámica de fluidos; y en Química para el estudio de
problemas de reacciones de difusión.
Era de John Conway
En 1970, John Horton Conway dio a conocer el autómata celular que
probablemente sea el más conocido: el juego de la vida (Life).
2 Estados de su regla: Nacimiento (1), Muerte (0), Supervivencia (1).
Una de las características más importantes de Life es su capacidad
de realizar cómputo universal, es decir, que con una distribución inicial
apropiada de células vivas y muertas, Life se puede convertir en una
computadora de propósito general (máquina de Turing).
Juego de la vida (Life)
Vecindad de von Neumann y vecindad de Moore
LEY DEL JUEGO:
Condición inicial de la pistola de planeadores. (sigue
siendo la más pequeña que se conoce).
Pistolas de planeadores de
Gosper.
Si una célula tiene exactamente tres
vecinas vivas, éstas se reproducen y le
dan vida. Si una célula viva tiene dos o
tres vecinas vivas, ella permanece viva;
pero si hay menos de dos vecinas vivas,
muere por aislamiento. Si una célula tiene
más de tres vecinas vivas, muere por
superpoblación si estaba viva, y
permanece muerta si ya lo estaba.
Patrones estáticos para Life
Bloque.
Barco.
Patrones Recurrentes para
Life
Aquí está la riqueza de
Life. Según la
clasificación de Wolfram
es de CLASE IV.
Parpadeador,
período 2.
Fumarola,
período 5.
Estrella,
período 3.
Octógono,
período 5.
Cruz,
período 3.
Beso con lengua,
período 3.
Reloj,
período 4.
Molinillo,
período 4.
Pentoad,
período 5.
Galaxia de Kok,
período 8.
Pentadecathlón,
período 15.
Patrones trasladables para
Life
Planeador
(1)planeador;
(2)nave ligera (LWSS).
Juego de la vida
Se demostró que el juego de la vida es
equivalente a una Máquina de Turing,
motivando así el interés por la
construcción de máquinas de cómputo en
paralelo. De hecho en la actualidad se
continúan construyendo máquinas de
Turing soportadas sobre este autómata
celular.
Sistema Combinacional: Se denomina Sist. Comb. o lógica
combinacional a todo sistema digital en el que sus salidas son
función exclusiva del valor de sus entradas en un momento dado,
sin que intervengan en ningún caso estados anteriores de las
entradas o de las salidas. Las funciones (OR, AND, NAND, XOR)
son booleanas (de Boole) donde cada función se puede representar
en una tabla de verdad. Por tanto, carecen de memoria y de
retroalimentación.
Autómata finito: Incluye la capacidad de recordar. Poseen una
memoria primitiva en que la activación de un estado también
depende del estado anterior, así como del símbolo o de la palabra
presente en la función de transición.
Autómata con pila: cuentan con una pila en
donde pueden almacenar información para
recuperarla más tarde.
Máquina de Turing: Es un dispositivo que
manipula símbolos sobre una tira de cinta de a
cuerdo a una tabla de reglas. Puede ser
adaptada para simular la lógica de cualquier
algoritmo de computación y es particularmente
útil en la explicación de las funciones de un
CPU dentro de un computador.
Era de Stephen Wolfram
Stephen Wolfram ha realizado numerosas
investigaciones sobre el comportamiento
cualitativo de los AC. Con base en su trabajo
sobre AC unidimensionales, con dos o tres
estados, sobre configuraciones periódicas que
se presentan en el AC, observó sus evoluciones
para configuraciones iniciales aleatorias. Así,
dada una regla, el AC exhibe diferentes
comportamientos para diferentes condiciones
iniciales.
De esta manera, Wolfram clasificó el
comportamiento cualitativo de los AC
unidimensionales. De acuerdo con esto, un
AC pertenece a una de las siguientes clases:
Clasificación según Wolfram
CLASE I: La evolución lleva a una configuración
estable y homogénea, es decir, todas las células
terminan por llegar al mismo valor.
CLASE II: La evolución lleva a un conjunto de
estructuras simples que son estables o periódicas.
CLASE III: La evolución lleva a un patrón caótico.
CLASE IV: La evolución lleva a estructuras aisladas
que muestran un comportamiento complejo (es
decir, ni completamente caótico, ni completamente
ordenado sino en la línea entre uno y otro, este
suele ser el tipo de comportamiento más
interesante que un sistema dinámico puede
presentar).
Descripción de un AC
No existe una definición formal y matemática aceptada de Autómata Celular; sin
embargo, se puede describir a un AC como una 4-tupla, es decir, un conjunto
ordenado de objetos caracterizado por los siguientes componentes:
• Una rejilla o cuadriculado (lattice) de enteros infinitamente extendida, y con
dimensión . Cada celda de la cuadrícula se conoce como célula,
•
Es el conjunto finito de todos los posibles estados de las células,
• Cada célula, además, se caracteriza por su vecindad, un conjunto finito de
células en las cercanías de la misma.
• De acuerdo con esto se aplica a todas las células de la cuadrícula una función de
transformación que toma como argumentos los valores de las células en cuestión y
los valores de sus vecinos, y regresa el nuevo valor que la célula tendrá en la siguiente
etapa de tiempo. Esta función se aplica de forma homogénea a todas las células por
cada paso discreto de tiempo.
AC 1D regla 30
<--Regla 30
Vecindad cuando el radio de
vecindad r=1. También tomamos
la célula central.
El AC no trivial más simple consiste en
una retícula unidimensional de células
que sólo pueden tener dos estados
(« 0 » o « 1 »), con un vecindario
constituido, para cada célula, de ella
misma y de las dos células adyacentes
es decir 2r+1=3 (23=8 configuraciones
posibles). Existen 28=256 modos de
definir cuál ha de ser el estado de una
célula en la generación siguiente para
cada una de estas configuraciones,
luego existen 256 AC diferentes de
este tipo.
AC 2D Life
Vecindad de Moore en dos
dimensiones. Una vecindad en
2D está dada por 8 células.
AC 3D Life
Vecindad de Moore en tres dimensiones.
Una vecindad en 3D está dada por 27
células. Cada célula tienen 26 vecinos.
Carter Bays, Candidates for the Game of Life in Three Dimensions, Complex Systems 1, pp. 373-400, 1987.
Carter Bays, Classification of Semitotalistic Cellular Automata in Three Dimension, Complex Systems 2, pp. 235-254, 1988.
Carter Bays, A Note on the Discovery of a New Game of Three-dimensional Life, Complex Systems 2, pp. 255-258, 1988.
Carter Bays, The Discovery of a New Glider for the Game of Three-Dimensional Life, Complex Systems 4, pp. 599-602, 1990.
Carter Bays, New Game of Three-Dimensional Life, Complex Systems 5, pp. 15-18, 1991.
Carter Bays, A New Candidate Rule for the Game of Three-Dimensional Life, Complex Systems 6, pp. 433-441, 1992.
Carter Bays, Further Notes on the Game of Three-Dimensional Life, Complex Systems 8, pp. 67-73, 1994.
AC 3D Life
Evolución en tres dimensiones regla R(4,5,5,5)
Espacio de evoluciones en tres dimensiones en un
arreglo de 80 x 80 x 80 células. Las células de
color blanco representan el estado 0 y los cubitos
de amarillo representan el estado 1, las
ilustraciones se obtuvieron con el programa
Tresvita3.2
Los autómatas celulares en tres dimensiones son aún mas complicados de analizarlos, en la literatura de autómatas celulares
en tres dimensiones se tienen análisis de tipo estadístico y probabilístico, tratando de explicar el comportamiento de reglas
semitotalísticas.
Carter Bays, Classification of Semitotalistic Cellular Automata in Three Dimension, Complex Systems 2, pp. 235-254, 1988.
R. W. Gerling, Classification of three-dimensional cellular automata, Physica A 162, pp. 187-195, 1990.
Jan Hemmingsson, A totalistic three-dimensional cellular automaton with quasiperiodic behavior, Physica A 183, pp 255-261,
1985.
Aplicaciones: Arquitectura.
AACC 3D
Trabajar con AACC 3D conlleva un esfuerzo de cómputo que retrasó hasta
hace poco la representación de estos modelos.
En este tipo de cosas los AACC 3D se suelen utilizar para representar diferentes configuraciones
volumétricas. Se trata de agrupamientos, apilamientos y ordenamientos de grupos de celdas. El
arquitecto tiende a hacer una interpretación.
Por ejemplo: Lo más directo es entender cada celda como una unidad
habitacional, por ejemplo un cuarto de una casa. Así el azar de los sistemas
dinámicos de los AACC, provee incontables juegos de ordenamiento espacial
de unidades.