UNIVERSIDAD AUTóNOMA METROPOLITANA UNIDAD IZTAPALAPA Casa abierta al tiempo DIVISIóN DE CIENCIASBÁSICAS E INGENIERÍA TESIS PROFESIONAL LICENCIATURA EN MATEMATICAS APLICADAS PRESENTA JUAN VILLEGAS CORTEZ ASESOR DR. FELIPE PEREDO RODRÍGUEZ MÉXICO, D.F. 1996 Salmo 127 ( 1 26) Tabla de contenido. Introducción. Capítulo 1 Fenómeno tipo Poisson. Capítulo 2 Implementación de SLAM System. SLAMSystem. Comencemos. Estableciendo el proyecto. Estableciendo el escenario. Construyendo el modelo. Construyendo el archivo de control. Asociando con el escenario. Documentando la red de trabajo. Simulación de la red. Observando los resultados de la simulación. Capítulo 3 Aplicación a inventarios. Elementos de un sistema de inventarios. Simulación aplicada a control de inventarios. USOde lIAD-WI-II. Listado de I-IAD-WHI en Turbo Pascal. Simulación aplicada a control de inventarios con demanda estocástica de distribución normal. Aplicación de CMOM. Simulación aplicada a líneas de espera. Introducción a líneas de espera. Implementación. Uso de LINESP. Algoritmos de “una cola - un servidor - población finita” & “una cola - servidores en paralelo - población infinita”. Una cola - un servidor - población finita . Una cola - servidores en paralelo - población infinita. Capítulo 4 Simulación aplicada a economía Uso de TSP para regresión multilineal. Uso de mínimos cuadrados en dos etapas. Proyecto sobre las operaciones financieras mediante un modelo de dos ecuaciones en diferencias lineales y estocá sticas. Anexo 1. Anexo 2. Anexo 3. Láminas. Bibliografía. 1 2 9 11 13 14 14 15 17 19 19 20 21 28 30 3o 34 37 40 41 41 48 49 56 60 65 68 77 78 82 87 89 L a aplicación de la simulación matemática es hoy endíaunarealidadenlaindustria y empresa,por lo cual es necesarioprofundizaren su estudio y desarrollo. Cuando se habla del desarrollo de la simulación se habla también (en segundo termino) del uso de las computadoras como herramienta para alcanzar su objetivo; y es por demás mencionar los beneficios que trae la simulación misma para las empresas que la aplican, el principal de ellos es laplaneación de recursos económicos y humanos, así como la predicciónfimdamentada de desarrollos de intereses para el buen desempeño de las empresas. Unservidor ha tenidoexperiencia enel manejo de lasimulaciónparanlodelos matemáticos (continuos y discretos) deterministas; pero estos tienen su lugar en los fenómenos de lafisicanewtoniana y enlascienciasbiológicas dentro de fenómenosqueinvolucran aspectos relativos a la fisica. Recordemos que un modelo matemático de carácter continuo está dado por un conjunto dcecuacioncsdifcrcnciales(lascualesse procura scan ordinarias), mientras que cn un sistcma discreto las ccuacioncs son en diferencias. A raíz de las cxpcricncias anteriores me surgió el deseo de continuarcon este estudio, peroahoraanalizando los fenómenos involucrados con la economía y las finanzas, pues algunos de estos no tienen un carácter determinista,sino másbien aleatorio, ¡.e. lasvariables a considerar dentro de la simulación toman valores al azar, cumpliendo con determinadas características sefíaladas por la teoría de la probabilidad; es así que se decidió tomar para el presente seminario el estudio del mencionado tema. Como meta principal me he planteado dos objetivos: 1. tener un conocimientomejor acerca de la aplicación de estarama de las matemáticas a los fenómenos cotidianos dentro de la economía y lasfinanzas para brindar soluciones fkndamentadasa las necesidades que así lo requieran, 2. brindar al futuro lector del presente trabajo las herramientas necesarias para que éI laspuedaaplicar,tcniendo et1 clarolosconocimientospreliminares de una formación matemitica. Así pues, si ve alcanzaran ambos objetivoscreeré que mi labor h e fecunda. 1 Tgcnicns de Simulación Matenláticn Capítulo 1 Fenómeno tipo Poisson. Esta primera parte está dada por el desarrollo del siguiente problema, el cual es dentro de las empresas que tienen su propia planta de vehículos repartidores. muy común Problema: Una empresa transportista h a encontrado que las descomposturas diarias d e sus camiones sigue una distribución de Poisson de parhmetro h = 0.2 El númerodedíasrequeridosporunmechnicopararepararuncami6n descompuesto tiene una distribución normal con media = 6 días, y desviación esthndar = 1día. El costo diario por cami6n descompuesto es d e N$ 1500.00, y el salario d e u n mechnico es de N$180.00 diarios, y lo recibe independientemente de que este haciendo reparación o este d e ocioso. Simuleelfuncionamientodelsistemadurante10días y estimeelcosto mediano diario de las descomposturas. Suponga que se tiene a u n mec6nico por descompostura. Desarrollo. Para la simulación del problema notemos que de entrada se nos proporciona el dato de que el fenómeno del ruítnero de desconpostwas diarias sigue una distribución de Poisson con parámetro h = 0.2, y también se nos indica que los días requeridos por ut1 nlechico para de 6 días, etc. Así, como primer realizar la reparaciótl cumple con una distribución normal paso de la simulación hay que generar aleatoriamente números de descomposturas diarias para un intervalo de 10 días, pero estos números deben cumplir con una distribución de Poisson con el parámetro h indicado, i.e. no es válido generarlos sin apego a lascaracterísticasdel fenómeno; una vez hecho esto se procede a generar para cada una de las descomposturas un número aleatorio de tiempo (I) enelcualseharála reparación, de lamisma forma, estos números t, deben ser generados de tal forma que cumplan con una distribución normal con la media y la desviaciónestándarrequeridas; después de lo anterior ya se puedenrealizar los cálculos de costos, que abarcan: costo por paro de vehículo y sueldo del mecánico; dicha suma dará el costo total por reparación de una sola unidad. Se aclara que cuando un vehículo es reparado antes del medio día (o hasta el medio día) se supone que entrará en operación inmediatamente, representando para la empresa solo medio día de pérdida (N$ 750.00), y para el mecánico, si este trabajó aunque sea una fracción del día, 2 Ticnicas de Sinlulacibn Matenldlica se le pagará el día entero, i.e. para un tiempo 1 = 1.3, se considera un redondeo a 1.5 para el calculo de costo por paro de vehictrlo, y de 2 para el srreldo del mechico. Para simular una distribución de Poissoncon parámetro X, nospodemosservir ventajosamente de la relación conocida entre las distribuciones exponenciales y de Poisson. Se puede justificar quesi I ) el número total de eventos que ocurren durante un intervalo de tiempo dado es independiente del número de eventos que ya han ocurrido previamente aliniciodel intervalo, 2) la probabilidad de que un evento ocurra en el intervalo de t a !+At es aproximadamente hAf para todos los valores de t, entonces: a) la función de densidaddelintervalo t entre lasocurrencias de eventos consecutivos esf(Q b) la probabilidad de que ocurran x eventos durante el tiempo i es f (x) = c - A l (1r )" X! Un método para generar valores de variablealeatoriacondistribución de Poisson deberá considerar la generación de intervalos tl, tL ..., distribuidos en forma exponencial con un valor esperado igual a 1. Una vez generados estos intervalos aleatorios, se acumulan hasta que su suma exceda al valor de h. En términos matemáticos el valor de Poisson para x se determina haciendo uso de siguiente desigualdad: <A<Cf, X4 ¡=O la 1 (x=O,1,2 ,...) i=O donde los valores de la variable aleatoria ti se generan por mediode la fórmula ti = - Log r, con una media unitaria. Un método más rápido para generar los valores poisonianos x es el que consiste en reformular la ecuación ( l . 1) de la manera sibwiente: i=O ¡=O Este proceso se codifica en el siguiente seudocódigo: 1. - Inicializar X:=O, TR:=l, P:=h. 2. - Calcular B:=e .' 3 Técnicas de Simulncihn Matenráticn 3. - Generar aleatoriamente R. 4. - Calcular TR:=TR*R. 5. - Si TR-B 2 O entonces X:= x+l y saltar a instrucción (3). Si TR-B < O entonces N:=X (se obtiene el primernúmero aleatorio condistribución de Poissonconparámetro X). El programa para este seudocódigo ha sido elaborado en lenguaje Turbo Pascal Versión 6.0, dentro del mismo la variable h es representada por P. El listado del programa se presenta a continuación: Program GeneraNumPoisson; ( $N+ 1 uses crt, printer; (Programa para generar nfrneros aleatorios con distribucicn de Poisson] Var k , X, j : integer; prom, cont, TR, P, R ,B: resp, respl: char; DFXIN real; [prllrcipal) clrscr; randomize; write('1nqrese la cantidad d e n m e r o s a l ~ ~ l t ~ f - ai ogenerar:= s readln(k); write ( " 1 J . z a r - impresora S / N ? rendln(resp1); cont ::-O; if respl='s' then begin writeln(lst, 'k #'I; writeln(lst,'-----------' 1 ; end ELSE begin writeln ( ' k # I ) ; writeln(""""""" 1; end; for j :=1 to k do BEGIN x:=O; ( PASO 1 ) TR:=l; I ) ; '); I P:=O.2; U:=E%P(-P); R:=random; {PASO TR:=TR*R; while ('I'R-B)>=O do begin [VAI.oR DE 1 . A ~ I l ' ~ l l A ) ( PASo 2 ) { PASO 3 1 4) ( PASO 5 ) X:=Xtl; R:=random; TR:=TR*R; ( ( PASO 3) PASO 4 1 end; if respl='s' then begin writeln(lst,j,' end else writeln(j,' ',x); ',:J.); (PASO 6 ) cont:=contiX; END; prom:=cont/k; write ( ' O.Para k. resp:=readkey; end.{principal) continuar pulse una tecla...'); 4 Técnicas de Simulacicin hlatenrática Dado que se pideunasimulacióndelproblemapara 10 días entonces se lepide programa que genere los 10 números aleatorios. En la siguienteilustraciónsemuestra corrida del programa anterior así como los diez números obtenidos en la pantalla. I n g r e s el ac a n t i d a dd en ú m e r o sa l e a l n r i o s k al la a q e n e r a r := 10 ; U s a ri m p r e s o r a S/N? n # " " " " " " 1 2 3 4 5 6 7 B 9 10 1 O O 1 1 2 O O O O O. k. cPoanr tai n u a r pulse una t e c l a . . . Por lo tanto los dieznúmeros generados mostrados enla ilustraciónde la pantalla pasada son los que se usarán. Según éstos, en los diez días hay un total de 5 descomposturas, una en el primero, cuarto y quinto día; y dos en el día sexto. Nuestro siguientepasoes la generación de los tiempos de reparacióndecada descompostura, esto se hace apegándonos a la teoría de la variable aleatoria con distribución normal, corno nos lo afirma la información dcl problema. A continuación se explica el desarrollo de la teoría del generador de números aleatorios con distribución normal. La función de densidad de distribución normal está dada por para generar números aleatorios distribuidos de acuerdo af('), p y desviación estándar G por la transformación: se deriva la variable x con media El método de aproximación más usado es el que se toma sumiendo que los números aleatorios generados por la computadora tienen una distribución uniformes, a estos números generados así se les determina ri , se toman una colección de estos para formar uno solo de acuerdo a la fórmula Técnicas de Sintulación Matemática Pero por definición, z es un valor de variable aleatoria con distribución normal estándar que se puede escribir en la forma sugerida por (1.3), donde x es un valor de variable aleatoria distribuido enla forma normal que se va a simular, con media p y varianza d.Igualando las ecuaciones (1.3) y (1.4) a z, obtenemos: y resolviendo para x, se tienc que x= )+-; p (1 .S) Por lo tanto, mediante la ecuación (1.5) se puede proporcionar una formulación muy simplepara generar valores de variablealcatorianormalmentedistribuidos,cuyamcdiasea igual a p y la varianza 02.Veamos que para generar un solo valor de x (un valor de variable k números aleatorios definidos enel aleatoria condistribuciónnormal)bastaráconsumar intcrvalo O a 1 . Sustituycntlo cI1 valor dc cstn s u m ctl la ecuación (1,5), así co111otarlhidn los valores de p y cs para la distribución deseada, encontraremos que se ha determinado un valor particular de x. Se puede apreciar que el proceso se puede repetir tantas veces como valores de variable aleatoria normalmente distribuidos se requieran. El valor de k que debe aplicarse a la fórmula usualmente se determina al establecer las condiciones de balance entre eficiencia de computo y precisión. Al considerar la convergencia asintótica implicada por el procedimiento del límite central, es deseable que k corresponda a un número muy grande. Considerando el tiempoquecomprende la generación de k valores uniformes por cada valor de variable aleatoria normal, sería preferible que k estuviera asociada a un número muy chico. Según algunos autores, el valormenor deseado para k es 10 enla ya que enla práctica. Sinembargo,con k = 12 selograunaciertaventajacomputacional, ecuación (1.5) se puede evitar una multiplicación constante. No obstante este valor de k trunca la distribución a los límites +6, y además se ha encontrado que no es confiable para valores de x mayores que tres de la desviación estándar, aunque pese a lo anterior, la experiencia muestra que este criterio conduce a programas de razonablerapidez. Con el fin de obtener mayor precisión se deben considerar valores mayores para k (del orden k =’24). Cabe aclarar que la técnicaaquí mostrada no es la única existente paracalcularvalores de variablealeatori distribuida normalmente, existen otros los cuales pueden ser consultados en mayor detalle en el libro de Naylor mencionado en la bibliografia. Tkcnicas de Sinlulación hfatembtico A continuación se muestra el programa elaborado en Turbo Pascal Versión 6.0 enel cual se implementa esta subrutina para generar los valores deseados con K := l i m := 24. 'rograrnGeneradorNum; SR+I $N+ I g e n r a d o rd en f m e r o sa l e a t o r i o sc o nd i s t r i b u c i C nn o r m a l = M, y d e s v i a c i C ne s t a n d a r = D) onmedia ses c r t , p r i n t e r ; ar D, k, i , lirn : INTEGER; suma, prom, cont : real; r e s p c: h a r ; X : a r r a y [ 1 . . 2 1 1 of r e a l ; (ellimitedelarray es hast.a el v a l o r d e 1,114) M, V, EGIN randomize; clrscr; suir13: = O ; cont :=O; prom: = O ; lim:=24; I a q u is ed e c l a r ae lv a l o rd e K para l a proximacion) f o r i : = 1 t o l i m do . bcyln x[i]:-0 end; { i n g r e s od el am e d i a ( M ) y Desv.Est.(D)) D:=l; M:=G; w r i t e ( ' 1 n q r e s e 1 3 c a n t i d q d d v nfmoros a l - l t ~ i - i o . 9a 3 ~ n e r a r : readln ( k ) ; wri teln; writ.eln(' II 1 , ' V I ) ; w r i t e l " ( ~""""""""""""~"l ); €or k:=l t o k do begin for i : = l t o l i m do begin X [ i ] :=random; end; f o r i:=l t o l i r n do begin suma:=sumatx[i] end; { ac o n t i n u a c i o ns ec a l c u l a I ) ; e l numero g e n e r a d o ) V:=D1(12/litn)+(sunln-(l~m/?))+M; Writeln ( ' ',k,' ',V:l:l); c o n t : =cont.l v; suma : = O end; pruin: =cotll./k; write ( resp:=readkey O. k . . . . pc ao rnat l npuual sr e una t e c l a ' ) ; :ND. Los números así generados fueron 5, pues heron 5 el número total de descomposturas generadas para los 10 días por el generador de números con distribución de Poisson. Estos se muestran en la corrida muestra del programa a continuación: 7 'IYcnicasde I n g r e s e l a cantidad d e números aleatorio5 a r l - n p r a r Sintulncidn hífatemdtica 5 := # V "-"""""""""""" 1 5.1 2 6.3 3 4 5 5.8 6.7 6.0 ...p ara continuarpulseuna O. k . tecla Los cálculos de los costos se muestran en la tabla siguiente I 3 1 0 1 4 5 1 1 d2 d3 I I 6.3 6 6.5 7 C 97x 6 6 9ooc I 11010 1o080 8 Técnicas de Simulacidn Akternática Capítulo 2 Implementación de Slamsystem Hoy en día dado el avance en el área de la simulación matemática, se han desarrollado varios programas de computo (soffrvnre) paralaimplementación de los mismosenproblemasya definidosenbaseasuestructuraciónmodeladapreviamente.Cuandoelproblemaasimular resulta ser un sistema de ecuaciones en diferencias o de ecuaciones diferenciales (sistemas de ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos) tradicionalmente lo quese analiza en la simulación es el comportamiento de las trayectorias de cada una de las variables que entran en la simulación con respecto del tiempo, dado que no siempre se puede dar una solución explícita del modelo, esto dado a su complejidad, baste saber como ejemplo el modelo matemático de un reactor atómico (fisión nuclear) que trabaje con presión de vapor de agua’, en el cual se tiene un sistema de treinta y cinco ecuaciones diferenciales más diez de relación que hacen un total de cuarenta y cincoecuaciones;obviamente el resolverexplícitamente un sistema como el mencionado resultaría prácticamente imposible, pero con la ayuda de un software adecuado se puede analizar en detalle su comportamiento con laprecisióndeseada,siempre y cuando se cuente con el equipo de computo necesario. AI hablar de un equipo de computo adecuado me refiero a contar como mínimo con una computadora personal2 (PC) de compatibilidad IBM o Apple-Machintosh, la más común por costo económico es IBM, esta debe tener para trabajar óptimamente con un procesador tipo 80286 o 80386 DX (Le. con coprocesador matemático integrado), dos megabytes de memoria RAM (comomínimo),monitorVGA(en color de preferencia),disco duro con veinte megabytes disponibles y mouse (ratón); esto es como configuración mínima recomendable, se aclara por supuesto que de contar con u n nlcjor equipo se tome en cuenta, pues esto redituará en menor consumo de tiempo y comodidad para el manejo de los resultados. Para quc cl Icctor pucda tcncr una mejor visualizacirin de la utilidad dcl sollwarc, por ejemplo en el problcma dcl reactor lo que sc persigue observar como resultado principal es la cantidad de potencia de energíageneradapor el mismo,si se sabe que de acuerdo con las características de construcción el reactor se planea para la generación de 20 M w de energía, soportando un máximo de 35 Mw, sienlasimulación se pide visualizar en la pantalla de la computadora la variable / J I . ~ s ¡obteniéndose ~H, que a un tiempo determinado, por ejemplo 1=5 seg., que la presión es mayor a 35 entonces lo que se interpreta es que el reactor trabajando con las condiciones de arranque tomadas explotaría a los cinco segundos del arranque. Si desea analizar con detalle este problema del reactor y st1 simulación, el mismo fue desarrollado por un servidor como parte de un curso de Simulación en la UAM - I, por si desea usted realizar una consulta el-mismo está a su disposición con elautor. I’ersonnl ~ o ~ n p u t :cITr . 9 Técnicas de Sin~ulaciónAfaatemática Para problemas en los cuales la modelación tiene una estructura como la mencionada (de ecuaciones en diferencias o diferenciales) se cuenta con programas tales como Phase? y ~Inlnon~. En el presente capítulo se procederá a implementar el problema abordado en el capítulo uno, pero ahora con la ayuda de la herramienta de un software diseñado específicamente para Slan~.systenr5versión 2.1 para Windows, este realizarsimulaciones deeste tipollamado programa esta disefíado para abordar diversos tipos de modelos, entre ellos los que se modelan en base a una redde servicio (manufacturas, ensambladoras,etc.), dada la estructura de nuestro problema, este se puede representar de acuerdo a la figura 2. l . I I . - L ___, Llegada dc carnioncs - U Taller de reparaci6n Unidadcs rcpnrndw I Figura 2.1. Esquema de funcionamiento del problema de reparaciones de camiones repartidores del capítulo l . Aquí podemos considerar al taller de reparaciones como una estación de trabajo (Work Station). Antes de continuar es válido mencionar los pasos fundamentales para la rnodelación de una red para un problema específico, a su vez también se pasa como consecuencia a la primera fase de utilización del programa Slannsystem. Pasos a seguir para la modelación de la red de trabajo (network): l. ldentificar las identidades' a ser modeladas; 2. construir un modelo gráfico del flujo de las identidades a través del sistema; 3. transcribir el modelográficocon los comandos de representacióndelprograma Slamsystem. 7écnica.s de Sin~ulaciór~ Matemática Analizando el dibujo de l a figura 2.1 ., podemos considerar al taller de reparación como una estación de trabajo (del ingles Work Station), así tenemos al problema planteado en una red de trabajo, la primera etapa es la llegada de las unidades descompuestas que cumple con una distribución de Poisson de parámetro h=0.2 ; la segunda es la primera estación de trabajo (en este problema es la única existente) en la cual un mecánico repara a cada unidad en un número de días que cumplen una distribución normal con media de seis días y desviación estándar de un día. Así queda estructurado gráficamente nuestro sistema a simular. En base a lo anterior se desprende el hecho de que la variables-identidades a observar son: 1. el número de unidades descompuestas en el periodo a simular; y 2. la utilización de la estación de trabajo (taller - tiempo de reparación, promedio total). Todo lo anterior para poder estimar costos en un lapso de 10 días que es el periodo a considerar en la simulación. Antes de continuarharcnlos un brcveparéntesisparahablaracerca estructurado el programa Slamsystem y corno trabaja. de cómo está Slamsystem. El programa Slamsystem es un sistema de sirnulación el cual da soporte a la construcción de modelos7, análisisde los rnodelos usando l a sirnulaci6n y la presentación de los resultados de la simulación.Slamsystem se desarrollaen el ambienteMicrosoft'Windowspara PC's, esto simplifica e1 trabajo de ingreso de la formación gráfica y textual que conforma al modelo mismo en sus datos y estructura dedatos, así conlo proyectos de información. Un nmrtlenedor. (asisten/e) de proyecto (proyect maintainer) automáticamente realiza las tareas requeridas para analizar el sistema usando la simulación. Las capacidades de presentación de los resultados del programa incluyen la animación para visualizar la dinámica, estructura y control logic0 de un modclotalcornolasgrhlicas y losreportes lo Ilacenparapresentarcuarltitativarllclltc el desempeiio de la silnulaci6n de uno o más escenarios. Es claro por lo anterior dicho, dado que elprograma es bajoambienteWindows,el usuario tiene grandes ventajas en el uso del programa, pues el trabajo principalmente se reduce a saber usar la interface9 gráfica, la cual tiene u n manejo muy similar en todas las aplicaciones 'Entiéndase por esto a n/oddosnrafenlriticos. * Microsoll cs U I I ~n l m x rcgistrocla Jc Microsoll Corp. hlterface (interfaz): Una conexión e interacción entre hardware, soltware y usuario . Las interfaces de hardware son los conectores, z6calos y cables que transportan las sefinles elkctricas en un orden prescrito. Las interfaces de software son los lenguajes, ccidigos y mcnsajcs que utilizan los programas pnra comunicarse unos con otros, tal como un programa de aplicaciOn y e1 sislclno opcrativo (DOS: Disk Opcrating System - Sistema Operativo de Disco). Las inlerfaces dc usutlrio so11los teclados, ratones, dihlogos, lcnguajes dc co1nando y mcnús empleados para la conwnicacibn entre el usuario y a l 7kcnicas de Sinrulncidn Afntemáticn que son para trabajo bajo este ambiente de cornputadoras personales. Esto es con respecto a l a operación de los comandos (las ordenes) para el programa. Así Slamsystem está implementado usando Microsoft Windows (versión 2.3 o superior) e incorpora el lenguaje Slam 11 (versión 4, 5, 6). Podemos decir entonces apoyándonos en lo anterior dicho, que Slamsystem provee un soporte total para un proyecto de simulación. Una característica de Slamsystem es que permite múltiples proyectos para ser desarrolladosconsecuentemente.Slamsystemtrabaja bajo el soporte de una estructura para desarrollar cada proyecto. Un proyecto es una colección de escetlnrios. Un escenario incluye: 0 0 0 unmodelo, resultados de la simulación y notas de documentación. El modelo describe al sistema a simular de interés. El lenguaje Slam I1 provee de una representación matetn~ltica-lógica del usode un sistema usando una representación en rcd y un control, asícornoopcionalmenteinsercionesdelusuario y datos delmismopararecrearel patrón de comportamiento de l a operacióndelsistema. La red de flujo delsistema y las inserciones del usuario son desarrolladas desde una construcción de modelación por parte de espccifica las rncdicias de función para el desempefío, análisis, Slam 11. Un control procedimientos y las condiciones bajo las cualcs se harán las corridas del sistema. Los datos del usuario caracterizan los objetos, patrones y rasgos de un sistema y es típicamente retomado desde las operaciones del sistema. Estos datos son entrados al modelo con una inserción del usuario. L a animacióngráficamuestra los cambiosenelsistemarespectodeltiempo. La facilidad del diagrama describe al sistema con figuras elementales y es la pantalla de fondo para la animación. El llamado Scripf dice que tanto los eventos de la simulación son animados por los cambios y movimientos sobre la misma facilidad del diagrama. En el presente trabajo no se desarrolla por falta de tiempo la parte de descripción detallada de esta herramienta. El nombre dcl escenario darct’crencia de los resultados producidos por la sitnulacicin del modelo. Estos resultadosincluyenobservaciones de valoresindividuales de las variables y resúmenes estadísticos de estos mismos. Los reportes, gráficas y animación son tres maneras de presentar los resultados para proyectar y personalizar el control del sistema dado. Las notas para documentación, describiendo cualquier aspecto de un escenario, son entradas y mantenidas usando el propio Slamsystem. computadora. EIl discfio y conslrucci611 de intclI:,lccs constituye U I M parte principal del trabajo de los ingellieros, programadores y consultorcs. Los usuarios “dialogan” con cl sohvare. E 1 soRware “dialoga” con otro hardware, así corno con otro soltwarc. El hardware “dialoga” con otro hard\vare; y todo este “dialogo” no es lnhs que el uso de interfaces. Dcbcn scr disefiadas, dcsnrrollatlas, probadas y rcdisefindas, y con cada encarnación nace una nueva eslxcikción que puede convertirse c111111 cstrirdar, de hecho o rcgulodo. 12 Técnicm de Simulacidn Mdenrblicn Slamsystem soporta unavia de modelación iterativa, dando un ambiente para definir, desarrollar, refinar, actualizar, modificar y extender los modelos. El proyec! mnir~tninerde Slamsystem desarrolla las tareas requeridas para cada iteración. Así, cada modelo ya existente sirven como una base para el desarrollo de modelos futuros. Slamsystem brinda la capacidad para construir en lenguaje Slam I1 redes interactivas y gráficas. Los datos del usuario, tan bien como los eventos discretos del lenguaje Slam I1 y los modelos continuos son ingresados como texto. La información para el control es ingresada en una serie de formas las cuales son de fácil acceso y son dadas en los mismoscampos de uso de los comandos dentro delambiente Windows. Las gráficas y reportes de losresultados de l a simulaciónsonseleccionadospor el usuario. Por medio del mismo programa se pueden seleccionar diversos resúmenes estadísticos o histogramas del reporte general,así como series de tiempo de valoresindividuales recolectados por los comandos Record y Vnr. Hago la aclaración de que en el presente capítulo por medio del programa mencionado se analiza la simulación tomando resultados generales, i.e. se hace una evaluación general del tiempo empleado en la reparación de unidades, diferencia de como se expuso en el capítulo anterior en el que se detallaba cada número generado para cada caso. A partir de lo anteriorpodemosdecir que sabemos lo necesarioparacomenzara trabajar con el programa Slamsystem". Comencemos. Una vez que el usuario tenga instalado el programa es muy sencillo comenzar a usarlo, si aún no está dentro del ambiente Windows ingrese escribiendo en el prompt delDOS: WIN J Una vez dentro del ambiente Windows en la ventana de Ayficaciorles busque el icono al programa; si se titulado Sim? System Z'ri/skw, seleccione" y de dobleclickparaactivar encuentraen el caso de no contar con el icono creado dentro de dichaventana entonces proceda a la ventana Pritlcipf y active el Admitlistrodor de Archivos, busque en el árbol de directorios el subdirectorio S'/m~~sys\/Ji~~ y de doble click en el nombre de archivo Sfn~n.exe, así obtendrá la entrada al sistema. Cuando se activa el programaaparece la leyenda de los derechos reservados, de u n click en el botón de OK, a continuación tendrá en frente a la ventana ejecutiva de Slamsystem. 13 Esta es similar a la de todas las aplicaciones Windows, cuenta con una barra de título, barra de menú, botones de maxirnización y mininlización de ventanas, etc. La barra de menús cuenta con las opciones de I<i‘lc( ~ ~ t d ~ i vBuild o ) , (cotls/txit~, Sitnuldc (sintular),Animate ( ~ w i t m r )I-3qmrt , (reporte), Graph (grc$fico.s), Optioru (opcioues), Ulilities (rrtilerías) y Help (ayda); éstas son las knciones delprograma. El espacio(lacaja) enmediodela ventanamuestra los componentes de los cualescomprenden un escenario. Esto se muestra enla figura 2.2 siguiente12. Current Scenario eatltF”dr%: &.m&* Figura 2.2. Ventana ejecutiva de Slamsystem. €stab/eciendo el proyecto. Corno prinner paso a seguir es dar nombre a nucstro proyecto con el cual vamos a trabajar A continuación se danlos pasos a seguir: 1. Seleccione File de la barra de menú y escoja en selección la opción New. 2, Por defecto, el prompt aparecerá enel apartado listo para escribir el nuevo nombre, en caso de no ser así seleccione usted mismo la misma caja. 3. Teclee el nombre del proyecto, es este caso para ejemplificar escriba S-1 . 4. Selecciones el botón New. Estableciendo e/ escenario. A menudo, un proyecto de simulación evalúa alternativas del sistema. El programa Slamsystem llama a cada unade estas alternativas un escetmio. Para el presente ejemplo, sólo será analizado un escenario. El siguiente paso es nombrar al escenario. I’ Hago la aclaracihn de que l a ventana aquí mostrada difiere de la que usted tendrá por el detalle en la barra dc título en la esquina dcrecha a l mostrar la hora en cual file capturada, esta característica dentro del sistema está dada por el programa Clock Man de Graphical 1)ynarnics Inc., cstc es un shareware disponible c11l a compra de libros especiali7ados sobre l a operación dcl alnbielltc Windows. i’ecnicns de Sintulaci6n hfatemálica 1, Dentro de la ventana, seleccione Scerlnrio. 2. Por defecto, el apartado bajo “ S C ~ J K estará I ~ ~ Oseleccionado, ” de no ser asíhágalo usted mismo. 3. Teclee el nombre del escenario, en este caso: E’en~plo. 4. Selecciones el botón New. Construyendo el modelo. Paso siguiente, construyamos nuestra red de trabajo para nuestro sistema de una estación de trabajo. La gráfica completa de la red terminada se muestra en la figura 2.3. Los comandos de red, los cuales son automáticamente %eneradospor Slamsystem, son mostrados bajo el modelo gráfico. Los campos de los comandos de red de izquierda a derecha correspondientes con los campos sobre las formas de entrada para los símbolos de la red. Las unidades a ser procesadas por la estación de trabajo entran al sistema generadas por el nodo CZZATE. El nodo QUEUE nombrado WSZ (Work Station 1 := Estación de Trabajo 1) y la línea de servicio ACTZJWY que sale de éI modelan a nuestro problema representado por solo una estación de trabajo. El nodo COLCII’ rotulado C’I observa el tiempo enel sistemaparalasunidadesterrninadas (¡.e. reparadas). RNORM[G.I). I @ Figura 2.3. Gráfica de lared , ,+ INT(1) TIEMPO TALLER INF U de trabajo y los comandosde linea correspondientes que se CREATE,NPSSN(0.2),,1; ACTIVITY; WS1 QUEUE(l).,.; AC‘~lVl’rY(SO)/l,f~NOf~M((,, 1); COLCT,lNT( l),TlEMPO TALLER; ACTIVITY; TERMINATE; END; elaboranautomáticamentedesde Slam 11, peroque hechos por el Project Mcrintnirrer. enel ambiente de interface gráfica son Para construir la red síganse los siguientes pasos: l . Seleccione Network de la lista que esta dentro de la ventana. 2. Seleccione el botón New para ingresar al asistente (constructor) de redes (Network BuiIdctj. Dentro delasistente de red se ingresará la redparanuestromodelo en Slam 11. El primer nodo del modelo es un nodo tipo CZUiAYE el cual se ingresa de la siguiente manera: l . Seleccione CI(I;;A772 dentro de la lista. 2. Seleccione el botón OK. 3. Seleccione laposiciónparael nodo enlatablillapunteada de fondo, esta será su posición dentro de la red. 4. Dé alnodo CREAIE parámetrosen la plantilladesplegada. EL cursorvertical parpadeante en líneaindica el campo enelcualel respectivo dato-parámetro será ingresado. Los caracteres con ingresados a la izquierda del cursor, si se comete algún la tecla de retroceso (hack space). error estese puederemediarborrandocon Pulsando latecla TAB se cambia al siguientecampo de la plantilla o bien seleccionando el campo deseado con el ratón. Para el nodo CZEAIE en el campo “Timebetween”escriba NZ1SS‘(0.2),con esto activa un generador de números aleatorios con distribución de Poisson con parámetro h = 0.2, después en el campo “Marking attrib” escriba I , y los campos restantes tómelos con sus valores por defecto. 5. Cuando todos los valores de los campossoningresados o tomados pordefecto, seleccione el botón OK o bien pulse la tecla ENTER (-I). Si por alguna causa se quiere editar un campo, ya sea por mal ingreso de un dato o por simplemente querer verificarenlaplantilla,simplementeseleccione el respectivo nodo con doble click y activará en pantalla la respectiva plantilla con los valores ingresados; posteriormente pulse nuevamente la tecla ENTER. A continuación,repita de manerasimilar los pasos anterioresparaingresarun nodo QUEUE con sus respectivos parámetros, después una al nodo C I E A I E con una flecha-nodo ACTIVI7Y. l . Seleccione ACUVZTY de la lista. 2. Seleccione OK. 3. Localiceelinicio de AC77VIZY tornando un punto en el nodo C I E A I E y unala parte final (de la flecha) al nodo QUIIUE. 4. Dé a ACII(VZ7’Y parámetros en la plantilla resultante, en este caso tome los parámetros por defecto. 5. Una vez ingresado los datos seleccione OK. Los nodosrestantes y actividadessoningresadas de manerasimilar. Para asistencia respectoa los campos de los respectivos nodos puede consultar la ayudapresentadaen ~antalla’~. La red debe quedar al finalizar como la mostrada en la figura 2.3. Técnicas de Sintulacidn Afatenthtica Hago la observación de que en la presente simulación se considera que se cuenta con un número de 50 mecánicos disponibles para realizar las reparaciones, es por esto que en la línea de ACTIVIIY de la red se seiialan 50 servidores (Le. cada servidor de la estación de trabajo es quien realiza la tarea representada con la duración estipulada, aquí cada servidor es igual a un mecánico, se da por hecho de que todos los servidores son idénticos) Unavezconcluida la construcción de la red, esta debe ser salvada y salirnosdel asistente de red. Para esto siga los siguientes pasos: 1. Selecciones File de l a barra de menú del constructor de red y escoja la opción Save as. 2. Por defecto estará el prompt dentro del apartado para el nombre de la red construida. De no ser así, hágalo usted mismo. 3. Teclee el nombre de la red, en este caso IELII, en el apartado Save as. 4. Seleccione OK. 5. Seleccione File de l a barra de menú y escoja Exit de las opciones resultantes. Construyendo el archivo de Control. El archivo de control brindalainformaciónnecesariapara el proceso de simulación en la simulación del modclo. lJn control consiste en 1111 conjunto de comandos en lenguaje Slam I I . Cada comando consiste de un conjunto de campos a los cuales se ingresan datos por medio de una plantilla desde el asistente de control (control builder). El control completo es mostrado en la figura 2.4. GEN,JUAN VILLEGAS CORTEZ,REPARACIONES,7/27/1995,1,Y,Y,YN,Y,Y/1,72; LIMITS,I ,2,400; NETWORK; MONTR,TRACE; INITIALIZE,,IO,Y; FIN; Figura 2.4. Archivo de control para el modelo. Construir el archivo de control es nuestro siguiente paso: l.Seleccione COIVIROL en la ventana. 2. Seleccione New para ingresar al asistente de control. Una vez que se ha entrado al asistente, los comandos requeridos GEN,LIMITS y FIN son mostrados en su estructura dada por defecto. Para nuestro ejemplo, los campos de GEN y LIMITS se cambiarán y los comandos NLY'WUXK, MON7R e INIT se agregarán. El comando GEN proporciona información general acerca del modelo con el que se está trabajando, y el comando LIMITS dice cuantas identidades de Slam I1 son necesarias. El comando NETWORK relaciona a la red compuesta dentro del control. El comando INIT proporciona el tiempo final 17 Técnicos de Simulacibn Matemítico de la simulación y el comando MUNU( con la opción 77¿4CZ< es usada para grabar (escribir) cada evento de la simulación. El comando I2IA4I7'Sse edita de la siguiente forma: l.De doble click en el listado de pantalla sobre la palabra I,IMZTS. 2. En pantalla aparecerá la plantilla para el ingreso de parámetros para el comando con valores dados por defecto. Ingrese el respectivo valor para cada campo de manera similar a como lo hizo con la plantilla para el asistente de red. En este caso en el campo lfi'lesescriba 2, en At/ibutes escriba 4, y en Entities escriba 400. 3. Una vez que haya terminado seleccione OK. El comando GEN se edita de la misma manera. Para el nombre (Name), el proyecto (Prujecr),y fecha (%/e), escriba su nombre (en este caso tome si gusta como ejemplo el mio J~mnVillegas Curtez - para que le sirva como referenciaparacompararresultados), Reparacioms y la fechaactual 07/27/1995 respectivamente.En un principio se haráuna corrida, posteriormente realizaremos 10 corridas (recordemos que cada una comprende de 10 días), esto con la finalidad de realizar un promedio de comportamiento general. Paso siguiente, editemos al comando INI'l'de l a siguiente forma: I . Seleccione la línea de comando I<IN. 2. De la barra de menú seleccione Ellit y escoja Itrsert. 3. En la caja de dialogo resultante seleccione lNIUALZZf<de la lista. 4. Seleccione OK. 5. De valores en la plantilla resultante. En este caso, seleccione el campo Ltlditlg tinre, y escriba 10 pues haremos l a simulación del problema para 10 unidades de tiempo, aquí cada unidad de tiemporepresenta un día.Deje los campos restantesconsus valores dados por defecto. * 6. Seleccione OK. Así usted puedeingresar el comando NII7'CVOf<K de lanlisnlaforma.Primero seleccionelalinea de comando INIT y después inserte como se hizoconlasinstrucciones anteriores el comando NI~7W'ORK.Deje todos los valores de la plantillacon los dados por defecto. De forma sindar ingrese el comando MON'lX. Unavezmás,seleccioneprimero la línea de comando INIT, en la plantilla resultante especifique 1K4CE en el campo de Option, deje con los valores por defecto a todos los dernás campos de la plantilla. Paso siguiente, salve el archivo de control recien elaborado y salga del asistente. Si tiene duda de como hacerlo guiase de los siguientes pasos: 1. De la barra de menú seleccione File, y escoja la opción Save as del menú resultante. 2. Por defecto, el prompt estará dentro del campo para dar nombre al nuevo archivo, de no ser así seleccione usted mismo dicho campo. 3. Escriba dentro del campo el notnbre para el archivo, en este caso escriba W S E D . 4. Seleccione OK. 5. Seleccione de la barra de menú f;i'lc.y la opción Exit del menú resultante. 18 Técnicas de Simulación hlaternática Asociando con el escenario. La red de trabajo y el archivo de control recien elaborado deben de asociarse con el escenario EJEi'dPLO. Para hacerlo aquí le digo como: l . Seleccione la opción NE7'WOZK de la ventana de Slamsystem. 2. De la lista que aparecerá, seleccione I X D f . 3. Seleccione el botón de Set Clrrretlt. 4. Seleccione OK. 5. Seleccione la opción CONIROL de la ventana de Slamsystem. 6. De la lista que aparecerá, seleccione WSZED. 7. Seleccione el botón de Set C~rrrerlt. 8. Seleccione OK. Documentando la red de trabajo(Network). Respecto a la documentación, al igual que cuando se programa en un lenguaje al cual se esté acostumbrado a operar Slamsystem no es la excepción. Es por el usuario bien sabidolas ventajas de poner notas a los listados de nuestros programas para que en una ocasión futura que serecurra a ellos,pormedio de las notas,recordemosrápidamenteconreferencias concretas la operación del mismo. En este caso lo que nos interesa documentar es el significado de los atributos de las identidadesusadas, las cuales se grabaran enuna nota, tal como se muestra en la figura 2.5. Tome los siguientes pasos. l.Seleccione la opción Noles de la ventana de Slamsystem. 2. Seleccione la opción New en la ventana que aparece. 3. En el asistente de notas, escriba la documentación requerida tal como aparece en la figura 2.5. 4. Seleccione I?/e de la barra de nnenú y escoja la opción Save as. 5. Por dcfecto el prompt estará en la caja de dialogo para el nombre de la nota, de no ser así, hágalo usted mismo. 6. Escriba el nonlbre de la nota, en este casa JVSA I N . 7. Seleccione OK. 8. Seleccione File de la barra de menli, y escoja Exit. 9. Seleccione Noks en la ventana de Slamsystem. 10.Seleccione WSA7'XZ en la lista que aparece de lado derecho de la lista. 1 1.Seleccione el botón Add 12.Seleccione OK. 19 Simulacidn de la red. Una de las características de la ventana ejecutiva del Slamsystem es que integra la función de simularelproyectobasadoenel estatusde componentes dado porelescenario.Unavez simulado el escenario, la salida de resultados por medio de reportes es seleccionada. L a ventana ejecutiva determinará cuales pasos serán necesarios para desplegar los reportes seleccionados que reflejen los componentes del escenario en turno. Los pasos para la simulación son: 1, Construya y asocie un archivo de control con el escenario actual. 2. Construya y asocie una red de trabajo con el escenario actual (opcional en el sentido de construir, pudo haber sido construida con anterioridad). 3. Traslade el control y la red (esto lo hace de forma automática Slamsystem en esta versión). 4. Construya y asocie inserciones del usuario (como notas) con el modelo (opcional). 5. Compile y depure las inserciones del usuario, por si hubiera algún error durante l a simulación. 6. Simule el modelo (esto se hace desde l a ventana ejecutiva de Slamsystem). 7. Presentc los rcsultados obtc~~idos de forma gráfica o textual, Los pasosanteriormente dados son hechospor l a ventanaejecutiva de Slamsystem basado en los componentes que integran el escenario. Estos pasos pueden hacerse de forma manua~'~. antigua version de Slam, que file desarro~~ada para DOS todo se Ilacia de roma ~ n a n u a esta ~ ; es tula gran ventaja que ofrecell los progl-mas inlcgrados a una interface gr:ifica con~ol a de Microson Windows, pucs nllorran siglliticaliv~uncnteticnlpo en la elaboración de ordeneslargas disminuyendo la posibilidad de errores en l a elaboracion de las ordenes y la ejccuci6n de varias fhcioncs al mismo tienyo (esto ultimo en DOS es imposible de hacer). Es de aclarar que Windows no es la hita interface gr6fica para PC basada en compatibilidad IBM operada bajo DOS, pero si es l a m6s famosa en uso por SII versatilidad y sencillez de opcraci6n; hoy en día la scgunda en uso es la OSNOS de JBM, ambas son 100% colnpatibles CII operaciOn cn sus ultimas versiones dada la conqxtcncia en el mercado. I4EII la 20 Ticnicas de Simulación Matembtica Observando los resultados de la simulacibn. Los resultados de la simulaciónpueden observarse gráficamenteusandográficasdepae, histogramas, barras, y puntos así como textualmente en un reporte general(resumen) de la simulación. El reporte resumen de la simulación (Sumary) es examinado en se muestra en la figura 2.6. 11 el Text Browser como I S L A M I t S U M M A R YR E P O R T SIMULATION PROJECT REPARACIONES BY JUAN VILLEGAS CORTE NUMBER DATERUN 712711995 1 OF 1 CURRENTTIME.1000E+02 STATISTICAL ARRAYS CLEARED AT TIME .0000E+00 "STATISTICS FOR VARIABLES BASED ON OBSERVATION'* MEANSTANDARDCOEFF.OFMINIMUMMAXIMUMNO.OF VALUE DEVIATION VARIATION VALUE VALUE OBS . 471E+01 .733E+01 25 TIEMPO TALLER .616E+01 .671E+00 .109E+00 "FILE STATISTICS" AVERAGE STANDARD FILEMAXIMUM CURRENT AVERAGE NUMBER LABELTYPE 1 30.91 CALENDAR2 W S l QUEUE LENGTH DEVIATION LENGTH LENGTH ,000 ,000 51O 13.852 WAITTIME O ,000 1.241 O 50 "SERVICE ACTIVITY STATISTICS" ACT ACT LABEL OR SER AVERAGE NUMSTARTNODE CAP UTlL 1 1 WS1 QUEUE 50 29.910 13.85 STD CUR AVERAGE MAX IOL MAX BSY ENT DEVUTlLBLOCK TMUSER TMUSER CNT 49 .00 50.00 50.00 1 25 Figura 2.6. Reporte general de la simulación en el Text Browser. A continuación se danlos pasos a seguir: l . Seleccione Repurl de la barra de menú y escoja Outpuf del menú resultante. 2. Seleccione Szrntnry (resumen). Slamsystem presentará una ventana como se muestra en la figura 2.7. Esta fimción requerirá hacer la traslación del archivo de control y de la red, y simular el escenario antes de ver el reporte. Seleccione OK pararealizar estas tareas. 3. Sinosehallaron errores es los pasosanteriores, el ReportBrowser aparecerá en pantallaconteniendo enlaventanael reporte resumen.Maximicela ventanapara tener una mejor visión del mismo. 21 Técnicas de Simulnciótl Matemática ~,~T~ -Required Updates: ranslation .... . . . .. . . ... . .o ... f .... network . . . . .. . . .. . . ...and ... .. ..controls; . ... . . . .. . .... ....... , , , oCornpi LE! t1:ier i.nsor%s -0p t ions : @Update Scenario OContinue without updating scenario Figura 2.7. Si fueron hallados errores durante la traslación o la simulación, estos tienen que ser corregidos antes de continuar. a) Si en l a traslacióndel control y la red(Le. Simclufe / 7rcr1rsh,e) se tienen errores, seleccione la opción Echo en l a lista de reportes y analice los errores en éste mismo. b) Si en la simulación o en la ani~nación’~ ocurre un error del tipo “run-time error” (Le. Simukrte / Rwl), seleccione la opción Iflfermediafey analiceen éste el posible error. Después de dctectarse la(s) f’uente(s) del error, seleccione la opción Cirrlcefen la lista, rcgresc al asistente apropiado y haga los canlbios necesarios para corregir los errores y vuelva al paso l. 4. Para salirdel I < e p r f Hrowser, seleccione de la barra de menú la opción File y después l h i f . Interpretando la infornlación del reporte vemos que se tuvo u n total de 25 observaciones, aquí representan 25 días totales empleados en la reparación de las unidades, Is Esta característica avanzada de Slalnsystem no scrh tomada consulte la guía dc rcl‘crencia dcl progralna. en el prescntc trabajo, pero si tiene interés en la nlistna 22 esto se ve muy claro en el renglón de TIEMPO TALLER, además se obtuvo un valor medio de 6.16 con una desviación estándar de 0.671, y el mínimo tiempo de reparación fue de 4.7 1 y el máximo de 7 . 3 3 días; así también de la planta con 50 mecánicos disponibles se tuvo que se mantuvo ocupada un 29.91 %. La utilización de cualquier actividad de servicio puede visualizarse en una gráfica de pae como se muestra en la figura 2.8, en este caso la actividad a visualizarse es el porcentaje de uso del total de los 50 mecánicos que se tienen para realizar las reparaciones, esto se hace de la siguiente forma: l.Seleccione Graph de la barra de menú y escoja Olrtpt del menú resultante. 2. Seleccione el botón con la opción Pie Clmrt. 3. Seleccione el número de servicio de la actividad de interés de la lista resultante. J. Seleccione OK. 5. Para salir de la gráfica, seleccione OK. U T I L . OF FICTIUITY: 1 BUSY( 609.) IDLE( 40%) Figura 2.8. Gráfica de pae. Como comentario podemos ver, a partir de la información de la gráfica, que se mantuvo en un 40% ocupada la planta de 50 mecánicos (podríamos decir que puede darse un recorte de personal al 50%, esto tiene que fkndamentarse aún más con otras corridas de la simulación). El número promedio de espera en la cola de la estación de trabajo en esta ocasión es cero (como lo marca el reporte general), lo que nos interesa observar es el número de unidades de tiempo (en este caso cada unidad de tiempo es un día), recordemos que para nuestro caso la estación de trabajo representa al taller, se muestra en una gráfica de barras como se muestra en la figura 2.9, de la siguiente forma: l.Seleccione el botón Bar Chart de la misma lista de opciones. 2. Seleccione UbserwdMenn de la lista resultante. 23 Técnicos de Simulacih Matenrcitico 3. Seleccione OK. 4. Seleccione 77EMPO TALLER, así se asociará esta a la barra 1. 5. Seleccione OK para dibujar la gráfica. 6. Para salir seleccione OK. 7. Para dar por terminada la generación de gráficas seleccione Cancel. Obserued Mean 6.164 4.931 M 3.698 Q 1.233 o.O00 I TIEMPOTALLER S T A T I S T I C LABEL Figura 2.9. Gráfica de barras para la media observada de la única actividad dentro de nuestro problema (recordemos que es l a actividad del taller). De esta forma he mostrado los pasos a seguirparahacer lasimulación dentro de Slamsystem, espero haya quedado claro el procedimiento, es de aclarar que la ayuda en línea presentada dentro del programa es escasa en relación a las actuales aplicaciones para Windows; pero tomemos en cuenta de que este es un programa de 1990 año en el cual apenas estaba en boga la versión 3.0 de Windows, en ésta aim 110 estaba disponible el modo 386 mejorado y otras herramientas que se añadieron y otras quesemejoraroncon laversión 3.1, y posteriormente se refinaron en la versión 3.1 I para trabajo en grupo16. L o que a continuación se realiza es la sinlulación(corno ya se habíamencionado párrafos anteriores) de lasimulación de 10 corridas, cada una de 10 días,para así poder formular criterios en base a un mayor número de observaciones. Para realizar lo que nos proponemos ábrase el archivo de control (seleccione C o m d en la ventana de Slamsystem), y seleccione el comando GEN,en este enlaopción de plantilla Number of runs escriba 10. Guarde el archivo y vuelva a la ventana de Slamsystem, pida Mago la observación del hecho de quc el prcscllte trabajo, dcstlc la simulaci6n y la redacción del presente reporte se elaboró en una nxiquina con procesador 80486 DX con la vcrsi6n 3.1 1 de Windows, en estos momentos esta en espera el lanzamiento a l mercado de l a versión 95’, dentro de la cual se hnbr6 superado las famosas “caídas de sistema” que son muy conlunes cualdo ~ n aplicación a sc sale de lo prcdisprlcsto e11cantidad de recursos del sistema para su operaci611, tenidndose conlo consecuencia que se “aborta” hacia 110s pcrcliCndose toda l a infomlación de las aplicaciones existentes a l momento de la falla. nuevamente la opción Ikporí, Output, Swmry, etc. Ahora en el listado tendrá el resumen de las diezcorridas.Ustedpuedevisualizarunaaunamaximizando la ventana o bienparamayor comodidad imprima los resultados. He resumido los resultados obtenidos, así como los cálculos de promedios generales en las siguientes páginasque presento junto con las respectivas gráficas. Resumen de corridas 40 T 5""""""""""""""".""""""""". O I I 1 2 3 I I 4 6 I 1 I 5 7 I I 0 9 1 0 Coridas Valor medio de reparación 6.4 T 6.2 6 5.4 5 1 1 I 2 3 I I 4 5 6 I I 0 7 8 1 I 9 1 0 Días 25 Olas de reparacl6n-promedio plunldad Prom Min ' b Max. gral. I)I I Promedlo de uso de personal con 60 rnec. J) m% 25 0 0 % 20 00% 15 00% 10 0 0 % 5 00% o m% 2 1 3 5 6 corridas 7 8 9 1O 11 Técnicas de Sinwlnción Alatermitica Costo Prom N$ p/paro vehlculo = Costo Prom plpago mecbrllco = N$ Costo Prom Total-= N$ 35.550 O0 4.266 O0 39.816 O0 27 Técnicas de Sintulación A Iatentátich Capítulo 3 Aplicación a Inventarios. Elementos de,un sistema de inventarios. Se comprende por inventario cornoun conjunto de recursos litifes que se encuentran ociosos en algún momento. Podemos ver como ejemplo el llamado slock que se maneja en almacen como reservaparadeterminado fin (mercados,tiendasdepartamentales, etc...). El objetivo en los problemas de inventarios consiste enminimizar los costos (totales o esperados) delsistema, sujeto a la restricción de que se debe satisfaceruna demanda (conocida o aleatoria). Existen dos cuestiones fundamentales al controlar el inventario de un producto, o grupo de productos: i. ¿Cuanto ordeno o produzco? ii. ¿Qué tan frecuente ordeno o produzco? Con el fin de que queden más claros los componentes de un sistema de inventarios, en la siguiente página se muestraun cuadro sinoptico (figura 3.1). La teoría de inventario se dividede acuerdo a la combinación de los siguientes factores: a) Detelminística o estocástica, según el tipo de demanda. b) Demarlda comtallte o variable según el tiempo. c) De u11producto, t~tr~ltiprodr~ctos o productos s~rbstitutos, productos perecederos. d) Con tiempos de et1ftvga dctermi~~isticos o estocásficos. e) Con tienpos de elltrega irlstarltáneoso no itlstautáueos. í) Con costos pemles o sin costos p e d e s . g) Con costosjijos o sir1 coslosjijos. h) Con costos litleales o 110 lineales (discontímos, concavos o convexos). Aún más, la teoría de inventarios puede dividirse en función de la forma como se toma una decisión. Existen decisiones a partir de revisiones coiltimras o revisiolles periodicas del inventario. En el primer caso se toma una decisión (cuánto comprar o producir) cuando el nivel del inventario alcanza un cierto valor; en el segundo, se toma cuando ha transcurrido un periodo de tiempo prefijado. Los sistemas de inventarios pueden clasificarse teóricamente en función al número de periodos de tiempo que se van a analizar, siendo este un núrnero3finito o inJrlito. Finalmente los inventarios se puedenclasificar en función al número de nivelesrelacionadoscon 10s 28 . Técnicas de Simulncidn A4ntenralicn posibles puntos de almacenamiento de un producto. En este caso el sistema de inventarios se llama multinivel, cuando se trata de un solo nivel no recibe un nombre especial. En el presente reporte se aborda el tema de Sim~lrl~~cicir~ nplicadu a Control de Inventarias. Figura 3 . l . Cuadro sinoptico. * costos de * hlantcnirniento * Penales * Fijos * de Producción o Rcordcn * * * acarreo (csliba, carga, descarga) de almaccnan~iento administrativos seguros. costos Dcnlanda Componentes dcl sistema de inventarios 0 0 * Corlstantc o Estática * V;lriable o Ditlrlmica * Sustitutos * por unidac Productos * p o r lote varios * pereccderc * duradero Tiempo de entrega y * divisible producción * indivisible Horizontes de planeación Simulación aplicada a Control de lnventarios. Aqui se toma una extensión para el modelo del lote económico para el caso estocástico, se considera que la demanda es estocástica, se tiene una distribución de probabilidad conocida, y las desiciones de producción y reorden se hacen en forma corrlirara, entiendase esto último, en función de nivel de inventario (no en forma periódica). Considerando que se decide producir u ordenar Y unidades cada vez que elnivel de inventario alcanza un punto crítico R,el modelo ideado por Hadley y Whitin, calcula los valores optimos de Y y X que minimizan el costo total esperado del inventario por unidad de tiempo (día, mes, año, etc...). Se define como ciclo al intervalodetiempo que transcurre entre la llegada dedos órdenes consecutivas. Como el tiempo de entrega es a su vezunavariable aleatoria con distribución de probabilidad conocida", la medida de los ciclos es diferente; además, se pueden tener varios ciclos por unidad de tiempo. Se supone que la demanda insatisfecha se difiere al futuro, a un costo penal determinado, que la distribución de la demanda durante u n tiempo de entrega es independiente delperiodo en que esto ocurre y que el valor esperado de la demanda, durante el tiempo de entrega, nunca es mayor a X, con objeto de no tener varias órdenes diferidas de demanda insatisfecha. El costo total esperado para este modeloincluye esperado de mantenimiento y costo esperado penal. al costo fijo promedio, el costo Uso de HAD- WHI. Usando el programa HAD-WI-lI'* se resuelven los siguientes tres problemas de inventarios con demanda estocástica, distribuciones de probabilidad uniforme o exponencial y revisión continua. 3 . l.Un comerciante vendepiezas de cerámicapara uso industrialcuyademandamensual (promedio) es de 240 unidades al mes,el costo fijo de ordenar es de $150, el costo de mantenimiento mensual es de $3 por pieza, y la demanda durante el tiempo de entrega es unavariable aleatoria con distribuciónuniforme cuyo rango es el intervalo de O a 24 (piezas). Si el costo penal por unidad es de $20. ¿Cuál es el tamaño del lote y el punto de reorden que minimizanel costo total del inventario de este producto?, ¿cuál es el costo esperado mensual?. Técnicas de Simulación hdatemálica PROGRAMA DE CALCULO DEL TAMARO DEI, LOTE PARA IN'JEIITARIO DE U N PRODUCTO CON DEMANDA ESTOCASTICA Y REVISTOH CONTIHIJA (t4ODELO DE HADLEY-WHITIN) D i s t r i b u c i 6 n d e l a d e m a n d a e n u n tiempo d e e n t r e g a :U n i f o r m e 20 penal T a s a d e d e m a n d a d e l p r o d u c t o2 4 0 ( p i e z a s / Mes) C o s t o f i j o de r e o r d e n 150 ( $ C o s t o de m a n t e n i m i e n t o 3 ( $ / p i e z a s Mes 1 ( $ / p i e z a s Mes ) Costo L i m i t e i n f e r i o r del i n t e r v a l o de d e m a n d a 0 (piezas) L i m i t e s u p e r i o r d e l i n t e r v a l o d e d e m a n d2 a4 (piezas1 ~ I J Cc I n d i q u e e l M a r g e n d e a p r o x i m a c i S (nm a y o r ~ r o )deseado 0.0001 E s c p a r a i r a preg a n t 1LIST 2RUNU 3LOAD" ISAVE" SCOH'I'II fj,"l,F"I'1 'I'1'RONU 8'l'ROF'm 9KEY OSCREEN Figura 3.2. Ejemplo de pantalla de captura para el programa HAD-WHI para el primer problema. A continuación se muestran los datos obtenidos de la corrida del programa: """""""""~""""""""""""""""""""""""""! !"""""""""""""""""""""""""""""""""""! I TASA DE DEMANDA !"""""""""""""""""""""""""""""""""""I ! cos'ro FIJO DE REORDEN DATOS DF:I. P!IOBL,EMA I / Mes) ( p i e z a 2s 4 0 I 150 ( 3 ( $ / 20 ( $ $ ! I I """""""""""""""""""""""""""""""""""I ! COSTO DE MANTENIMIENTO p i e z a s Mes ) """""""""""""""""""""""""""""""""""I I PENAL COSTO / p i e z a s Mes ) ! 1 ! l"""""""""""""""""""""""""""""""""""1 ! I I D I S T R I B U C I O NENDE LA DEMANDA U N 1 FORME ! O (piezas) I ! U N T I E M P O DE ENTREGA I"""""""""""""""""""""""""""""""""""1 INFERIOR I I LIMITE DE L A D I S T R I B U C I O N DE LA DEMANDA 1"""""""""""""""""""""""""""""""""""l SUPERIOR I ! LIMITE DE L A U I S T R I B U C I O N DE LA DEMAllI3A ! 21 ( [ ~ i e z ~ l s ] .................................... I VALOR ESPERADO DE LA DEMANDA ! I ! .................................... .................................... I ! SOLUCION I 1""""""""""""""""""""""""""""""""""" LOTE ! TAMANO DEL 156.1 ( p i e z a s ) I (piezas) ! I"""""""""""""""""""""""""""""""""""! ! PUNTO DE REOKDEN 21.7 """""""""""""""""""""""""""""""""""I ESPERADO I TOTAL COSTO I """"""""""""""""""""""""""""""""""" [ I NUMERO ESPERADO DE ORDENES ! POR Mes 497.26 ( $ / Mes ) I ! 1.54 I ! o. 0001 I I-----------------------------------"""""""""""""""""-l ! MARGEN DE APROXIMACION """""""""""""""""""""""""""~""""""""- 31 7écnicas de Sintulacidn Matem6lico De este listadotenemoslosoptimosque minimizan que el costo total del inventario para el tamaíío del lote es de 156.1 piezas y del punto de reorden de 21.7 piezas, y el costo esperado mensual es de $497.26, estos datos con una aproximación de 3.2. Resuelva el problema anterior suponiendo que la demanda durante el tiempo de entrega tiene distribución exponencial con media12 manteniendo los demás datos iguales, compare los resultados de ambos ejercicios para indicar cuálde los dos requiere de un lote mayor de inventario, Les esta la solución más costosa de las 2? lngresando los datos como se marca se obtiene el siguiente listado: """""""""""""""""""""""""""""""~""""- I DATOS DEL PROBLEMA ! 1"""""""""""""""""""""""""""""""""""l ! TASA DE DEMANDA 2 4 0 ( p i e z a s / Mes) I 150 I ! I ! I"""""""""""""""""""""""""""""""""""1 I COSTO FIJO DE REORDEN !""""""""""""""""""""""""""""""""""" I COSTO DE MANTENIMIENTO 3 ( $ / p i e z a s Mes ) """""""""""""""""""""""""""""""I I ) 2 0 I $ / piezas Mes COSTO PENAL ! I 1"""""""""""""""""""""""""""""""""""I r I ! INFERIOR D I S T R I R U C I O N DE LA DEMANDA EN UN TIEMPO DE ENTREGA I"""""""""""""""""" ! LIMITE DE L A ! D I S T R I B U C I O N DE LA DEMAHDA LXW~!~l~tJ~.~IAL ! I ! """""""""""""""""""""""""""""""""""I ! ! """""""""""""""""""""""""""""""""I I L I M I TS EU P E R I O R DE LA D I S T R I B U C I O N DE LA DEMANDA VALOR ESPERADO DL: LA IIEMAIIIJA ! I ! 12 ! I I (FiC'Z;IZ) " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " I ! I SOLUCION """""""""""""""""""""""""""""""""I LOTE TAMANO DEL I G7.4 I I (pimz.3~) ! ~ " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! PUNTO DE REORDEN ?7.1 ! (pipzas) 1"""""""""""""""""""""""""""""""""""l ! COSTO TOTAL ESPERADO 547.42 ( $ / Mes I ! ) ~ " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! I " " " " " " " " " " " " "~" " "~" " " " " " " " " " " " " " " " " " I ! NUMERO ESPERADO ORDENE:; DE POR Mes 1.43 MARGEN DE APROXIMACION o. OUOl ! I I I .................................... De acuerdo a este illtinlo listado, los optimos que minimizan el costo total del inventario para el tamarlo del lote es de 167.4 piezas y del punto de reorden de 27.1 piezas, y el costo esperado mensual es de $547.42 , estos datos con una aproximación de Comnarando. -.~~ 156.1 167.4 21.7 27.1 497.26 547.42 1.54 1.43 De aqui que para el 3.2. se requiera de un lote mayor de inventario pero generando un costo total esperado minim0 mayor en $49.84 con referencia al primero, y el punto de reorden como era de esperarse esmayor para el 3.2. En resumen como vemos hay una aumento 32 Técnicas de Sirwlncion A fntertlirticn sustancial en el Coslo t o l d e.spcrcrdo y el t l r i n w o esperado de arderles por tnes no aumenta, teniendo que este segundo caso resulta ser mas costoso 3.3. Regresando al enunciado del problema 3. l . y considerando la demanda durante el tiempo de entrega con distribución uniforme (como ahí se indica), suponga que una mejora en los procedimientos administrativos de la empresa permite reducir en un 20% los costos fijos de las ordenes (pedidos), calcule la nueva solución (i.e. tamaño del lote y punto de reorden) que minimizan el costo del inventario. ¿En cuanto se reduce el costo mensual del inventario con respecto a la solución anterior? Aquí tenemos queahora software obtenemos: el costo fijo de ordenar es igual a $120, así aplicando el """""""""""""""""""""""~""""""~"""""-DATOS DE:L ! !""""""""""""""""""I ! DEMANDA TASA DE PROBLEElA ! 240 (ptrz,ls / MES) I I 120 ( $ I I )"""""""""""~"""""""- F I !J O C OREORDEN STO DE I""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! 3 ( C. / p i r z a s Mes ) COSTO DE MANTENIMIENTO I I ~ " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " I COS'I'O PENAL !""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! D I S T R I B U C I O N DE LA DEMANDA EN I UN TIEMPO DE ENTREGA 70 ( $ / ['i f'Z;\s M e 3 1 I I I I UN1 FORI,IE !"""""""""""""""""""""""""""""""""""I ! ! L I M I TI N E FERIOR DE LA D I S T R I B U C I O N DE LA DEMANDA I O (piezas) I (piezas) ! ! ("""""""""""""""""""""""""""""""""""I ! ! L I MSI T UEP E R I O R DE LA D I S T R I B U C I O N DE LA DEMANDA 24 I ~""""""""""""""""""""~"""""""""""""l ! I VALOR ESPERADO DE L A DEMANDA ..................................... I [email protected] ! l"""""""""""""""""""""""""""""""""""1 LOTE ! TAMANO DEL 139.6 (piezas) 21.9 (piezas) I I I I I""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! PUNTO DE REORDEN """""""""""""""""""""""""""""""""""l 4 4 8 . 5 6 ( $ / Mes ) ESPERADO ! TOTAL COSTO I 1"""""""""""""""""""""""""""""""""""I I ! NUMERO ESPERADO DE ORDENES POR Mes l""""""""""""""""""""""""""""""""""" DE ! MARGEN APHOXIMACION 1 .72 I I o . noel I I ComDarando: 156.1 1.54 139.6 21.7 21.9 497.26 448.56 1.72 Como vemos el nuevo coslo lofa1 esperado disminuye $48.7 con respecto al primero, pero aumenta a 1.72 el ruínlero de órderles por mes lo que significa que cada tres meses se harían un poco más de dos órdenes para volver a poner el tamaño del lote del inventrario a su punto optimo de 139.6 piezas, lo que se compensa con la baja del costo total esperado. 33 Listado de HAD-WHI en Turbo Pascal. ' Complementando se hizo la traducción delprogramaoriginal deBASICa Pascal" , el listado en el nuevo código se muestra en las siguientes líneas". lenguaje Turbo 1 program HAD-WHI; I Sn+ I USES CRT, PRINTER; var A, B, X, H, P, Dl K, LM, TOL,, YO, RO :real; CT, NP, Y, R, EO, E l . , AUX :real; TD2, uni, peri :st.ring[l2]; Resp, resp2, r e s p 3 :char; T D :byte; [""------"--Aqui se ingresan las funciones ..................... FUNCTION E(x:real) : real; begin [E:=-LM*Ln(H*X/(P*D)); primera funcitrl) E:=LM*Ln( D+P*EXP(k/LM)/( H*X*EEXP(k/LM)+DCP ) ; end; FUNCTION U(X:real) : real; begin U:=B-(H*X*(B-A))/(P*D); end; ("""""""""""""""""""-""""""""""""""""" 1 1 PROCEDURE UNIE'ORME; (este es el procedimiento para cuando se tiene " 1 " 1 BEGIN (inicio del procedure1 write( 'L,imite inferior del intervalo de demanda (',uni,') := ) ; readln(A); write('Lirnite superior del intervalo de demanda ( ' , u n i , ' ) := I ) ; readln(B); write(' Indique l a TOLERANCIA:= I ) ; readln(T0L); writeln('Se1eccione el dispositiv9 en que s e listaran los resultados:'); write('(1) Pantalla o (2) Impresora := readln(resp1; I ) ; IF (P*D/H < SQRT(2*D*(KtP*(AtB)/2)/ti))and (A<=B) THEN BEGIN writeln('E1 algoritmo de Hadley-Whitin NO ES APLICABLE A ESTE PROGRAMA'); write1n;writeln;writeln; writeln('Para continuar pulse cualquier tecla...'); END ELSE BEGIN YO:=sqrt(2+D*K/II); RO:=U(YO); Y:=SQRT(2*D*(KtP*SQR(B-RO)/(2*(B-A)))/H); R:=U(Y); WHILE (ABS(Y-YO)>TOL) AHD (ABS(R-RO)>TOL) W BEGIN YO:=Y; RO: =R; Y:=SQRT(2+D1(KtP*SQR(B-RO)/(2'(B-A)) R:=U(Y); END; END; (del else] END;[del procedure) (""""""""""""""""""""""""""""-"""""""" 1 Versión 6 de Borland. Obscrvnción: la instrucción ($N+} indica el uso dcl co-procesndor matemático (i.e se redirecciolmn las operaciones aritmkticas involucradas con los calculos a nivcl hardwarc). lécnicas de Simulación Matematicn PROCEDURE EXPONENCIAL; (este es el procedimiento para cuando se tiene " T D - 2 " ) BEGIN write( I Valor esperado de l a DE:MAtJDA:= I ) ; readln(LM); write(' Indique la TOLERAtICIA:= ' 1 ; readln(T0L); writeln('Se1eccione el dispositivo en que s e listaran los resultados:'); write('(1) Pantalla o ( 2 ) Impresora :-= ' 1 ; readln(resp); AUX:=LM-(LMtK)*EXP(-K/LM); IF P+D/H < SQR~(2*D*(KtPtAUX)/H) THEN BEGIN writeln('E1 alqoritmo de Hadley-Whitin NO ES APLICABLE A ESTE PROGRAMA'); write1n;writeln;writeln; writeln('Para continuar pulse cualquier tecla...'); END ELSE BEGIN YO:=sqrt (2*DfK/H); RO:=E(YO); Y:=SQRT(2*Df(KtP*LM*EXP(-RO/Lf.l) )/HI; (verificar que la formula este correcta) R:=E(Y); WHILE (ABS(Y-YO)>TOL) AND (ABS(R-RO)>TOL) Do BEGIN YO:=Y; RO :=R; Y:=SQR'I(2*D+(Kt(PtLM*E%P(-RO/LM)))/H); R:=E(Y); END; END; (del ELSE) END; (del procedure] (""""""""""""""""""- I [ PRINCIPAL] BEGIN resp2:='l'; WHILE RESPP='l' DO BEGIN clrscr; writeln('Programa del c lculo del tamaoo del lote para inventario de un'); writeln(' producto con demanda estoc s t i c a y revisiCn continua'): writeln( ' "MODELO DE HADLEY-WHITIN" ' ) ; writeln; writeln; writeln(' Indique las UNIDADES del producto en inventario'); write ( I e . g . piezas, cajas, . . := ' ) ; readln(uni); writeln(' Indique la unidad de tiempo para un PERIOW'); := ' 1; write ( ' e.g. minuto, hora, semana, dia, mes, readln(peri); writeln(' Indique l a TASA DE DEMANDA d e l producto (',uni,' / ',peri.')'); write ( ' := I ) ; read([)); := ' 1; write ( ' Indique el COSTO FIJO DE REORDEN ( S ) readln(K); writeln(' Indique el COSTO DE MANTENIMIENTO ( S /',uni,' ',peril' ) ' ) ; write ( ' := I ) ; read(H); writeln(' Indique el COSTO E'ENAI, ( S /',u~li,' ',perí,')'); write ( I := I ) ; read(P); writeln('Se1eccione la DistribUci.Cn de la demanda en un tiempo de entrega:'); writeln ( ' 1 . UNIFORME'); writeln( ' 2 EXPONENCIAL'); write ('pulse el n€mero acorde a la selecciCn : I ) ; readln (TD); . .. . . IF TD=1 THEN UNIFORME; TD=2 THEN EXPONENCIAL; IF NP:=D/Y; IF TD=1 THEN BEGIN EO:=(AtB)/2; El:=(sqr(B-R))/(2'(B-A)); CT:=NP~Kttl'(Y/2IR-Eil)tP*NF*i~:l; END 35 Técnicas de Sinrulacibn Matemdtica ELSE BEGIN EO:=LM; El:=L,M*EXP(-R/I,M); CT:=NPtKtH*(Y/2tR-EO)t€"NP'El; END; IF RESP='l' THEN (Resultados en Pantalla} BEGIN clrscr; writeln( ' DATOS DEL PROBLEMA' ) ; w r i t e l n ( ' ~ A DE ~ ~ DEMANDA ...................... ',D:8:1,' (',UNI,' / ',PERI,')'); writeln('COST0 FIJO DE REORDEIJ . . . . . . . . . . . . . . . . ' , K : 8 : 1 , ' ($1'); writeln('COST0 DE MANTENIMIEIITO ............... ',H:8:1,' (',UNI,' / ',PERI,'l'); writeln('C0~~0PENAL .......................... ',P:E:l,' (',UNI,' / ',PERI,')'); writeln( 'DISTRIBUCION DE L A DEMANDA EN' ) ; write ('UN TIEMPO DE ENTREGA ................. I ) ; IF TD=1 then writelnl 'UNIFORME')ELSE writeln( 'EXPONENCIAL'); IF TD=1 THEN BEGIN writeln( 'LIMITE INFERIOR DE LA' ) ; writeln('DISTRIBUCIOt1 DE LA DEMANDA. .......... ' , A : 8 : 1 , ' ',UNI); writeln('LIM1TE SUPERIOR DE L A ' ) ; writeln ( 'DISTRIBUCIOIJ DE LA DEMAI4DA.. ', B: 8: 1, ' ' ,UN11 ; END; IF TD=2THEN BEGIN writeln('VAL0R ESPERADO DE LA DEtW4DA ......... ',LM:8:1); END; writeln; writcln( ' S o I , II c I o N'); writeln('I'AMAY0 DEL LO'I'E ................ ' , Y : 8 : ? , ' (',\JNI,')' writeln('PUNT0 DE REORDEN ' , R : 8 : 2 , ' (',UNI,')' writeln('COST0 TOTAL ESPERADO ........... ' ,CT:8:2,' ($/',PERI, writeln('NUMER0 ESPERADO DE ORDENES . . . . . ' ,NP:8:2,' POR ',UN11 writeln("ARGEN DE APROX. (Tolerancia).. ' ,TOL: ) ;1 writeln(' +*'I; write('"Quiere volver a usar el p r o g r a m a : S.i=1, no=2 : I ) ; readln(resp2); END; (del RESP='l'] ......... ............... + + + + IF RESP='Z' THEN (Resultados en Impresora) BEGIN (clrscr;1 writeln(' . . . prepare la impresora!'); writeln( 'PULSE CUALQUIER TECLA PARA IMFRIMIR.. ' ) ; resp3:=readkey; DATOS DEL PROBLEMA t ) ; writeln(lst, ' writeln (lst,'TASA DE DEMANDA.. ......... . . . . . . . . . . ',D:8:1,' (',UNI,' / ',PERI,')'); ($)'I; writeln(lst, 'COSTO FIJO DE RE0RDF:N.. . . . .......... ' , K : 8 : 1 , ' / ',PERl,')'); writeln(lst, 'COSTO DE MANTEIIIMIENTO.. . . .......... ',H:8:1,'(',UNI,' ',P:8:1,' (',UNI,' / ' , P E R I , ' ) ' ) ; writeln(lst, 'COSTO PEIJAL... . . . . . . . . . . . . .......... writeln( lst, 'DISTRIBUCION DE LADEMANIIA Et1 ' ) ; write (lst,'UN TIEMPO DE ENTREGA...... .......... ' 1 ; IF TD=1 then writeln(lst,'UNIFOKME') E 1,SE writeln(lst,'EXPONENCIAL'); IF TD-1 TllEN BEGIN X I I A ' ) ; writrlrr(lst, ql,IMl'I'k; IIII.'E:KIOR ',A:8:1,' ',UNI); writeln(lst,'DISTRIBUCION DE LA UEl.lAfJDA writeln(lst,'LIMITE SUPERIOR DE LA'); writeln(lst,'DISTRIBUCION DE LA DEMANDA ........... ' , B : 8 : 1 , ' ',UNI); END; IF T W 2 THEN BEGIN writeln(lst,'VALOR ESPERADO DE LA DEMANDA ......... ',LM:8:1); END; writeln (1stI ; writeln(lst, ' S O L U C I O N'); wrj tell\( I s C , 'TAMAYO l ) C I , I,CYl'l<. . . . . . . . . . . . . . . . ., Y : O : I , ( ,UEII, ) ) ; writeln(lst,'PUNTO DE I<EORDt,:PJ . . . . . . . . . . . . . . . ',R:8:1, (',UNI,')'); writeln(lst,'COSTO TOTAL ESPERADO . . . . . . . . . . . ',CT:8:1,' ($/',PERI,')'); writeln(lst,'NUMERO ESPERADO DE ORDEPIES. . . . . ',NP:8:1,' POR ',UNI); writeln(lst,'MARGEN DE APROX. (Tolerancia).. ',TOL:2); writeln(lst, ** *C. * + I ) ; writeln; writeln; write('"Quiere volver a U B ~ Kel proqram,l: si=l, no=2 : I ) ; . ........... .. . . . 36 Técnicas de Sinwlaciórl Alatemrjtica readln(resp2); END; ( d e l R E S P = ' 2 ' ] END; ( d e l W h i l e ] I FR E S P 2 = ' 2 ' THEN BEGIN writeln; writeln(' writeln( ' END; END. ( P R I N C I P A L ] t t , * 1; ............... ok!'); I Este programa se probó usando el problema 3. l . obteniéndose los siguientes resultados: DATOS DEL PROBLEMA TASA DEMANDA DE COSTO F I J O DE REORDEN ................ COSTO DE M A N T E N I M I E N T O . . . . . . . . . . . . . . . COSTOPENAL D I S T R I B U C I O N DE LA DEMANDA EN U N T I E M P O DE ENTREGA., L I M I T EI N F E R I O R DE LA D I S T R I B U C I O N DE LA DEMANDA L I M I T ES U P E R I O R DE LA D I S T R I B U C I O N DE LA DEMANDA ...................... .......................... ................ ........... ........... S O L U C I O N TAMARO DEI, L O T E . . PlJNTO DE REORDEN.. COSTOTOTALESPERADO NUMERO ESPERADO DE O R D E N E S . . . . MARGEN DE APROX. ( T o l e r a n c i a ) . . .............. ............. ........... . ** ** ** 2 4 0 . 0 ( p i e z a s / mes) 150.0 ( S ) 3.0 ( p i e z a s / mes) / mes) 2 0 . 0( p i e z a s U t 4 1 FORNE 0.0 p i e z a s 2 4 .p0i e z a s 1 5 6 . 0 9 (pl<,:n:;) 21.G6 (pieza:;) 4 9 7 . 2 6 ($/mes) 1 . 5 4 POR p i e z a s 1.OE-0004 ¿ Q u i e r e v o l v e r a u s a r e l p r o q r a r n ~ : si'l, no=2 : Como vemos los resultados son iguales a la corrida con el sistema original, salvo que aqui se muestran las cantidades con 2 cifas decimalesy se tiene una mejor aproximación. Al final se muestra el diagrama de flujo del algoritmo de HAD-WHI en la lámina 1 Simulación aplicada a Control de Inventarios con demanda estocástica de distribución normal. Aplicaci&n de CMOM. A partir del uso delprogramaparaSistemas de Inventario CMOM (Computer Models for Operation Management) se trata el siguiente problema. 3.11.1. Jack Burton, el gerente de producción de la compañia impresora Ajax, estima que l a demanda del próximo aÍio de papel bond será de 12000 cajas. El precio de cada caja es de $IO.= y el costo de colocar y procesar una orden es de $IO.=. Jack estima que los costos de mantenimiento del inventario son del 2% de precio unitario por cada caja y por cada mes. Debido a la incertidumbre que existe en la demanda de servicios de impresión, el Sr. Burton considera que la demanda durante el tiempo de reorden (i.e. mientras se hace, se 37 lkcnicas de Sinlulación Maatenuitico envía y se surte un pedido) es de 20 cajas en promedio con una desviación estándarde 4.5 . Además el costo de penalización por falta de producto (Shortage cost) es de $1 por caja por mes. El tiempo que se tarda en entregar un pedido es de 3 días. Se desea encontrar el nivel optimo de reorden y la cantidad de cajas en cada pedido que minimicen el costo total del inventario. LOSdatos del problema se ingresan en la pantalla de edición de 10s mismos según se muestra a continuación: f i l08-21-1996 e: input SEM2-22.IDD 21:19:38 I n d e p e n d e n t Dprnand I n v e n t o r yS y s t e m s S t o c h a s t i c Demand D a t aE n t e r e d Demand per 100 10 Cost per, unit C o s tH o l d i n g Time Lead Time 2 ( % of period) 1 20 LDemand ead over S t a n dD ae rd v i a toL ivoTeeniarm de per C o sSt h o r t a g e : unit 4.5000 1 Obteniéndose la siguiente solución: I n d e p e n d e n t Demand I n v e n t o r yS y s t e m s S t o c h a s t i c Dem3nd Solution O p t i m a lO r d e rQ u a n t i t y R e o r d e rL e v e l S a f e t yS t o c k S t o c k o upt sP e re r i o d O r d e r i n gC o s t s H o l d i n gC o s t s S a f e t yS t o c kC o s t s S h o r t a g eC o s t s T o t aIln v e n t o r C y osts : : : 31.6228 1 -1 9 59.9220 31.6228 31.6228 -38 59.9220 85.1676 Ahora nuestro objetivo es resolver el problema usando la técnica del método de Had-Whi que se usó previamente enel reporte pasado, pero ahora implementandounasubrutinaque involucre el calculo de la función de distribución normal. 38 Técnicas de Sintulncidn Afnfenlcitica La aproximación de la fbnción de distribución normal se hace con el método de regla de Simpson, considerándose una partición de 100 para asegurar tener una tolerancia de 5 cifras decimales, que creo es bastante, misma que seusaparalasaproximacionesnuméricas de la esperanza E[s(E)]. Con diferencia a lo hechoanteriormente, enel pasadoalgoritmo,ahorasesolicita ademáslosvalores de p y o respectivos que involucra la demanda;conla característica especial de que se necesita tener cuidado al implementar el cálculo de los valores de /(I a partir de con I?/ > O. Para hacer este cálculo se consideró lo siguiente: veamos que En el programa lo que se busca es encontrar el respectivo X I para el cual el valor de la función de distribución normal sea el valor constante (Cte.) ya conocido. En un primer intento se trata de usar algo similar al método de bisección para hallar raíces de funciones; más no se puede usar directamente dado que el intervalo es abierto a la derecha, por lo tanto se procede a partir de un valor para el límite superior de la ultima integral muy próximo a cero, incrementándose consecutivamente con un 6 hasta obtener una aproximación con cierta tolerancia (sea de de momento), la variación de 6 se hace dentro de un intervalo asignado de [B +-a]; y una vez que esta se alcance entonces se considera a la cota superior como el valor de XI,es así que este proceso se repite en cada iteración. Con respecto al diagrama de flujo, este no tiene variante relevante con respecto al de la actividadpasada, puesto queaqui ahora ya de entrada se supone que el fenómenotiene distribución de tipo normal (recuerdese que anteriormente se escogía entre tipo exponencial o uniforme), así ahora adicionalmente se piden los valores para p y 0. Hago la observación de que cuando secalculanlasinicializaciones de R; sehacenimplementando la subrutinadel calculo inverso para la función de distribución normal, la cual aparece en el anexo 2. Al final en la lámina 2 se muestra el mismo. 39 Técnicas de Sinrulncion hfafembfico Simulación aplicada a Lineas de Espera Los modelos de líneas de espera permiten discernir un buen balance que equilibra por un lado el costo social de la espera y por otro el costo del servicio. Infroducci6n a h e a s de espera. A continuación se muestran los conceptos que se usan en la simulación matemática aplicada al fenómeno de las líneas de espera. Sistema: Conjunto de clientes que están formados en un área de espera para ser atendidos por uno o más servidores. Un sistema de variosservidorestiene estructura en paralelo cuando los clientespuedenrecibir su servicio de cualquierservidorindistintamente; tiene estructura en serie cuando cada cliente debe recibir el servicio de cada servidor en una cierta secuencia; o puede tener una estructura combinada o mixta. Periodo: Lapso deduracióndefinida en que ocurre la llegada de clientes y la prestacihn de servicios. Servidor: Componente delsistemaqueefectua l a prestación de serviciosatendiendo a una cierta política, con tiempos aleatorios de servicio regidos por una cierta distribución, a la que se asociará una tasa de servicio esperda por periodo. Población: Es el conjunto de clientes que pueden llegar a requerir un servicio en el sistema. La población se considerafinitacuando su tamaño es conocido y cadacliente es fácilmenteidentificable*' . Enalgunossistemas de líneas de espera lapoblaciónse subdivide enfuncióndeltipo de servicio (más o menos urgente) que requieren diversos grupos de clientes, y la política de atención se modifica para dar prioridad a los clientes que requieren el servicio con mayor urgencia. Políticas de servicio: Reglas arbitrarias pero aceptadas que determinan el orden de atención a la clientela. La política puede ser: primero en formarse, primero en atenderse o último en formarse, primero en atenderse; de acuerdo con la prioridad del cliente puede ser o no abortivd2 . Paramétrico: Rango de análisis de un sistema de líneas de espera según un número mínimo y un número máximo de servidores. 21 Una población se puedeconsiderar infinita cuando su tamafio, a pesar de serfinito, no es conocido, y cada cliente no es por l o general fácilmente identificable. 22 Política no abortiva significa que la llcgada de un clientc con prioridad más alta no implica que se suspenda el servicio al que cstá atendiendo. Técnicas de Sindacidn Matemática Factor de utilización: Es el cociente de la ttrscl p u m t i i o de llegada entre la fusapro11m.h de servicio para el caso de un solo servidor. Los modelos de líneas de espera requieren que este factor sea menor a uno, por lo que la fosa de llegadas debe ser menor que la tasa de servicio. Para el caso de servidores múltiplesenparalelo, este factor es el cociente que resulta de dividir la tasa promedio de llegadas entre una tasa global de servicio, esta ultima definida como el yroducto de la tasa de servicio por el mintero de servidores. Implementacibn. Problema 3.111 : Una compañía aerea tiene cuatro aviones tipo 747, se ha observado que el número de aviones que presentanfallas enla turbina es unavariable aleatoria condistribución Poisson corn media 1 (i.e. un promedio de falla al año). El tiempo promedio de revisión y compostura de una turbina es de 72 días. Só10 hay un equipo de mecánicos para hacer las reparaciones y se dan servicioa los aparatos en el orden que llegan. La dirección de la conlpaíiia está considerando la posibilidad de reemplazar el equipo de laboratorio parareparación de lasturbinas,perono se conoce con certeza cómo afectará el tiempo requerido para dar servicio a un avión con el nuevo equipo, por lo cual se harán tres estimaciones, una optimista de 36 días, una conservadora de 45 días y una pesimista de 60 dias. Para calcular el costo de estar un avión en espera de ser reparado seconsidera lo siguiente: El ingreso generado por avión y por hora de vuelo es de $20, OOO.= El costo ahorrado en combustible y mantenimiento si el avión no vuela es de $ 2,000.= por hora y pór avión. El número de horas de vuelo promedio al día es de 18. Uso de LINESP. Ejecutar el programa LINESP para obtener los valores esperados de tiempos perdidos mientras son atendidos los aviones (para c/u de los tres casos mencionados), y en c/u de ellos calcular el costo estimado anual de espera. Solución: Este problema es del tipo z l t m cola - 11t1 servidor - poblrció~~Jj~~ita, dado que se considera al laboratorio como el servidor. El periodo que se considera es de un año, dado que un mes se toma como 30 días, por lo tanto en la presente simulación se considerará a 360 días = 1 aíio (i.e. 12 * 30), así: 41 Tdcnicns de Simulacidn Aíatemálicn Como vemos la tasa de llegada es de 1 cliente por ario (aviódaño), la tasa de servicio es 5 y el tamaño de la población es finito (m).La corrida del programa es la siguiente23: Una cola, un servidor, poblacion infinita Una cola, un servidor, poblacion finita Una cola, servidores multiples en paralelo, poblacion infinita Tasa de llegada 1 (Clientes/AUo) Tasa de servicio 5 (Servicios/A#o) Tamaho de la poblacihn 4 (Clientes) Seleccione el dispositivo e n que se listar6n l o s resultados Pantalla Impresora O Utilice O o O para sehalar; Return para seleccionar """"""""""""""""~""""""""""""""""""""""DATOS DEI, PROBLEMA LIE Una cola, un servidor, poblacion finita ! ! ! I (""~"""""""""""""""""-~ ! TASA DE LLEGADA 1.00 ! (Clientes/A#o) I""""""""""""""""""" I ! 5.00 TASA LIE SERVICIO (Sr-rvir,lc~::/A#o) 1 ....................................... I TAMANO DE LA POBLACION I I (Clientes) 4 ........................................ ~ " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ~ DESCRIPCION DEL sIzrEtm I I ....................................... I I I-NO. CLTES PROB HALLAR I CLIENTES PROB tIALLAR ! I=NO. t [?E I CL,TS ! CLTESI PROB HALLAR CLIENTES I PROB HALLAR I t DE ICLTS I ! ! ! O ! 2 ! 4 3983 0.1912 O. 0153 O. ! ! 0.6017 ! ! ! 0.0918 -.o000 I 1 3 0.3187 0.0765 O . 2830 O. 0153 ! I ! ! ! 1""""""""""""""""""""""""""""""""""""""l ! VALOR ESPERADO DE OCUPACION DEL SISTEMA 0.99 (Clientes) VALOR ESPERADO DE LONGITUD DE LA COLA 0.39 (Clientes) VALOR ESPERADO DE TIEMPO EN EL SISTEMA O """""""""""""""""""I ! " " " " " " " " " " " " " " " " " " l ! A#o 3.9 Mes I ! ! ! ! I ~ " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! VALOR ESPERADO DE TIEMPO El4 L A COLA O Ano 1.5 Mes I " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " Interpretando, la probabilidad de que no se encuentre ningún avión en el sistema de compostura es de 39.83% en el tiempo t . Similarmente la probabilidad de que se encuentre un avión en mantenimiento y otro en espera es de 19.12% y la probabilidad de tener los cuatro aviones en el sistema es de 1.53% (es minima). El número promedio de aviones que esperan servicio de 1 año es de 0.39 aviones, mientras que el número promedio de aviones en el sistema (eseprando en la cola y en el taller) es de 0.99 aviones. El tientpo promedio de espera en la cola para recibir el servicio es de 1.5 meses (i.e. 45 días), y el tientpo promedio en el sislenla es de 3.9 meses (i.e. 175.5 días, casi 4 meses). '' esta corrida es para un día, para cada u110 de los casos propuestos en el enunciado se necesitan cuatro corridas del programa. 42 Técnicas de Simulación híatentbtica Haciendo las conversiones a años para los cálculos de las estimaciones, como el número de horas promedio de vuelo por día por avión esde 18 entonces dias ( 1 año )("-)1 diahrs 365 18 elvuela, avión = 6570 como 1 año= 8760 horas entonces 8760 - 6570 = 2190 hrs/año está parado el avión en tierra, es así que el costo total atlrtalyor nvih es de (6570 hrs. vuelo/ailo)(20000 pesos/hr.vuelo) + 135.78 millones de pesodaAo-avi6n i(2190 hr.tierra/ailo)(2000 pesos/hr.tierra)= (explícitamente, éste sería el costo del tiempo que está parado), por lo tanto, si un avión esta parado 36 días (0.09863 año) enel sistemade compostura, el costo asociado a esetiempo muerto es: (135.78 millones $/ailo-avi6n)(0.09863 ailo) = 13.392 millones gavi6n. si para 45 días (O. 12328 año) el costo asociado es: (135.78 millones $/aiio-avi6n)(O. 12328 ailo) = 16.74 millones Qavi6n. si para 60 días (O. 1643 año) el costo asociado es: (135.78 millones $/ailo-avi6n)(0.1643 aAo) = 22.32 millones Qevi6n. . . ...... . .e ,..... . ........... .. Problema 3.IV : En un cruce fronterizo entre dos países con un tráfico intenso, la carretera se bifurca en 5 garitas de inspección migratoria y aduana, suponga que las llegadas de automoviles tienen unadistribución de Poissonconmedia de 15 automóvilesporhora,mientrasque el número de servicios tiene una distribución exponencial negativa conun valor esperado de 8 servicios por hora. Por razones legales las garitas proporcionan servicio en cuanto se desocupan y se atienden a los automóviles en el orden en que llegan. Se han estimado los costos de operación de cada garita por hora en $ 800.= , y el costo promedio de espera de cada automóvil por hora en $ 1200.=. Se desea averiguar si hay un número de garitas (entre 2 y 7 ) que minimice el costo total ( = costo de operación + costo de espera), para determinarlo ejecute el programa LINESP connúmero de servidores de 2 a 7 (con opción de análisis paramétrico). Solución: Este es un problema de tipo cola - servidores et] paralelo - poblaciotl ilfinita. La corrida con los datos respectivos se lista a continuación: Técnicas de Sirnulacion Matentajlica I Una cola, un servidor, poblacion infinita Una cola, servidores multiples paralclo, enpoblacion infinita An6lisis pararnetrico de la descripci6n del s i s t respecto al número de serv Tasa de llegada 15 (Clientes/Hora) Tasa de servicio 8 (Servicios/Hora) 2 7 Número minim0 de servidores Número msximo de servidores I I Seleccione el dispositivo en que se listar6n los resultados O Pantalla Impresora Utilice O o O para sehalar; Return para seleccionar """"""""""""""""""""""~""""""""""""""""! DEL DE DATOS PROBLEMA ! Una cola, servidores multiples en paralelo, poblacion infinita ! ! ! ! """""""""""""""""""I 15.00 LLEGADA ! TASA DE (Clientes/tlora) ........................................ ! 8.00 TASA DE SERVICIO ! ! (Servicios/Hora) " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ........................................ DESCRIPCION D E L SISTEMA CON ! I 2 SERVIWRES l""""""""""""""""""""""""""""""""""""""~ ! ! I=NO. CLTES PROB HALLAR PROB I CLIENTES HALIAR ! I = N O . ! CLTES + DE ICLTS PROB HALLAR PROB HALLAR ! I CLIENTES + DE I CLTS ! l"""""""""""""""""""f""""""""""""""""""-l I ! ! O 2 ! 4 ! 6 ! 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 41 46 48 50 52 54 56 58 60 62 ! 0 . 4 4 6 10 . 0 2 9 7! ! ! ! 0 . 2 6 6 20 . 0 1 7 7! 0.2340 .0156 ! ! 0 . 1 8 0 70 . 0 1 2 0! 0 . 1 5 08 .80 1!0 6 ! I ! I ! 0 . 0 7 3 20 . 0 0 4 !9 0 . 0 0!4 3 ! ! 0 . 0 4 03 .70 0!2 9 ! ! ! 0 . 0 2 6 10 . 0 0 1 7! ! ! ! ! ! 64 66 0 . 9 6O 7. 70 3 2 3 O . 0567 0.74760.0498 0.65700.0438 0.5O 7 .7 05 3 8 5 0 . 5 0O7. 50 3 3 8 0 . 3 9O2. 10 2 6 1 0 . 3 4O4. 60 2 3 0 0 . 3 0o2.90 2 0 2 0 . 2 0 5 60 . 0 1 3 7 0 . 1O3. 9060 9 3 0 . 1o2 .2 07 0 8 2 O . 0072 O. 0063 0 . 0O8. 30 30 5 6 0 .O0. 506063 8 0 . 0O4.9070 3 3 0 . 0O3. 8040 2 6 0 . 0 3o3.70 0 2 2 0 . 0 2o9 .7 O 0 2 0 O . 0015 0 . 0O2. 0010 1 3 0 . 0 1o7 .70 0 1 2 0 . 0 105.60 0 1 0 o . O009 ! O . 8506 ! ! 1 3 5 7 9 ! 11 0.4182 0 . 0 2 7 9! 13 0 . 3 607.60 2 4!5 1 5 ! 17 0 . 2 803. 90 1 8!9 1 9 ! 21 0 . 2 1 9 03 . 0 1 4 6 ! 23 0 . 1 9 2 08 . 0 1 2 9! 25 ! 27 ! 29 ! 31 ! 33 0.10'18 ! 35 0.094B ! 37 ! 39 0 . 0 6 8 60 . 0 0 4 6 ! 41 0.0644 ! 43 ! 45 ! 47 ! 49 ! 51 ! 53 0 . 0 2 07 .80 0 1I9 5 5 ! 57 0 .00,20220 91.50 0 1!4 5 9 ! 61 0 . 0 1 06 .60 0 1!1 6 3 ! 65 0.0137 ! 67 ! ! ! ! ! 0.90 O 7. 03 6 0 5 0 . 7O9. 7045 3 2 0.7008 0.0467 0.61600.0411 0 . 5 4O1. 40 3 6 1 0.470 5 .80 3 1 7 ! ! ! ! ! ! I ! 0 . 3 203.10 2 1 5 ! 0 . 2 4 905. 0 1 6 6 ! ! ! 0 . 1 6 9 04 . 0 1 1 3 0 . 1 4O8. 90 0 9 9 0 . 1O3.0090 8 7 0 . 1O1. 5000 7 7 O . 0067 0 . 0O8. 8090 5 9 0 . 0O7. 8010 5 2 0.0040 O. 0035 0 . 0O4. 6060 3 1 0 . 0 4 O1 .0 0 0 2 7 0 . 0O3.6000 2 4 0.0021 ! ! I 0.1011 O. 0603 O. 0530 ! ! ! ! ! I I ! ! ! 0.0316 0 . 0 2 4 40 . 0 0 1 6 O. 0 0 1 3 0.0189 0 . 0010 o . O009 0.0146 0.0128 ! I I ! ! ! ! I ~""""""""""""""""""""""""""""""""""""""l ! VALOR ESPERADO !""""""""""""""""""""""""""""""""""""""~ ! OCUPACION DE DEL VALOR ESPERADO DE LONGITUD LA DE SISTEMA COLA 15.48 (Clientes) ! 13.61 (Clientes) ! I ~""""""""""""""~""""""""""""""""""""""l ! VALOR ESPERADO DE TIEMPO EN EL SISTEMA 1 Hor 1 . 9 Min ! Técnicas de Simulacibn hfatenratica ~"""~"""""""""""""""""""""""""""""""-------~ ! VALOR ESPERADO O Hor DE TIEMPO EN LA COLA 54.4 Min ! ....................................... """"""""""""""""""""""""""""""""""""--"-DESCRIPCION DEL S I S T E M A COI4 ! 3 SERVIDORES ! ~------""""""""""""""""""l ! ! I=NO. PROB CLTES HALLAR I CLIENTES PROB HALLAR ! I=NO. t DE I C L T S ! C L T E S PROB HALLAR PROB HALLAR I CLIENTES t DE I C L T S ! ! I"""""""""""""""""""I""""""""""""""---------~ ! ! ! ! ! O ! ! ! ! ! ! ! ! 2 4 6 8 10 12 14 0 . 8 6 7 80 . 1 3 2 2 0.3874 0.2324 0.1O 5 .1 03 9 0 8 0.0O 5 9. 01 3 5 5 0 . 0 2 301. 0 1 3 9 0 . O0 .0 09 0 5 4 0 . 0o0. 3050 2 1 o . O008 1 3 ! ! ! ! I ! ! ! ! 0.0014 5 7 9 11 13 0 . 6 1 9 80 . 2 4 7 9 0 . 2 4 2 10 . 1 4 5 3 0 . 0 9O4. 60 5 6 7 0 . 0 3o 6. 90 2 2 2 O . 0087 O . 0034 0.0013 ! 0.0144 O. 0056 o. 0022 ! ! ! ! ! ! I ......................................... ! ESPERADO VALOR DE OCUPACION DEL SISTEMA 2.52 (Clientes) ! 0.65 (Clíentes) ! 1""""""""""""""""""""""""""""""""""""""l I ESPERADO VALOR DE LONGITUD DE LA COLA !""""""""""""""""""""""""""""""""""""""I ! VALOR ESPERADO DE TIEMPO EN S I SE TL EMA O Hor 10.0 M i n ! O Hor 2.5 Min ! 1""""""""""""""""""""""""""""""""""""""l ! VALOR ESPERADO DE TIEMPO EN LA COLA " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " I DESCRIPCION DEL Coli SISTEMA '1 SERVIDORES ! ! HALLAR ! t DE I C L T S ! ....................................... ! ! I=NO. CLTES PROB HALLAR PROB I CLIENTES HALLAR t DE I C L T S ! I=P.IO. ! CLTES PROB HALLAR PROB I CLIENTES I"""""""""""""""""""I""""""""""""""""""-l ! ! ! ! ! ! ! O 2 4 6 8 10 0.8500 0.1492 0 . 3 0 0O6. 2 6 2 3 0 . 0 6 708. 0 7 6 9 0.01490.0169 0 . 0 0 3O3. 0 0 3 7 O. 0008 !"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! ESPERADO VALOR ! ! ! ! ! 7 9 ! O . 0007 DE OCUPACION DEL ! 1 3 5 0.57090.2798 0 . 1 4 407. 1 6 4 0 0 . 0 3 1O 8. 0 3 6 0 0 . 0 0 7 00 . 0 0 7 9 0 . 0 0 105. 0 0 1 7 ! ! I ! ! ! ! SISTEMA 2.00 (Clientes) I I 0.13 (Clientes) ! 1""""""""""""""""""""""""""""""""""""""l ! ESPERADO VALOR DE LONGITUD DE LA COLA !""""""""""""""""""""""""""""""""""""""I I VALOR ESPERADO O Hor DE TIEMPO EN SIST EE LM A 8.0 M i n 1L--------------------------------------------------------------------------- ! O Hor DE TIEMPO EN LA COLA VALOR ESPERADO 0 . 5 Min ! I I ........................................ ....................................... ! l"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! ! I=NO. CLTES DESCRIPCION DEL S I S T E M A CON PROB HALLAR I CLIENTES PROD tWJ,I.AR ! I = t J O . t D'Z I CL.1'S ! C L T E S 5 SERVIDORES FROB HALLAR PROB HALLAR I CLIENTES ~"""""""""l"""""""""~" ! I ! ! O 2 4 ! 6 ! 8 """"""""""""""""""""""""""""""""""" ! ! 0 . 8O4.7155 2 5 0 . 2O9. 3236 8 1 0.0471 0.0786 0.0110 O. 0016 I ! 0.0066 o . O009 ! ! ! ! ESPERADO VALOR DE OCUPACION DEL ESPERADO VALOR DE LONGITUD DE LA COLA 1 3 5 7 9 SISTEMA ! O. 2860 O. 1676 0.0295 0.0041 O . 0006 ! ! + DE I C L T S ! I 0.5614 0.1257 0.0177 O. 0025 O. 0003 I ! ! ! ! ! 1.90 (Clientes) ! 0.03 (Clientes) ! 1"""""""l ! 1""""""""""""""""""""""""""""""""""""""l ! VALOR ESPERADO DE TIEMPO EN E L S I S T E M A O Hor 7 . 6 Min I VALOR ESPERADO O Hor 0.1 Min ! ~""""""""""""""""""""""""""""""""""""""l ! DE TIEMPO COLA EN LA " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ~ " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ~ ! DESCRIPCION DEL S I S T E M A COH I"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 6 SERVINRES ! ! Técnicas de Sirnulacidn hfatenlaticn ! ! - """""""""""""""""" I """"""""""""""""""" ! I=NO. CLTES PROB HALLAR I CLIENTES PROB HALLAR DE I C L T S t ! I=NO. ! CLTES PROB HALLAR t DE I C L T S O 2 ! 4 ! ! I 6 8 0.8468 0.1532 0 . 2 9 0O2. 2 6 9 3 0 . 0 4 300. 0 7 8 9 0 . 0 0 4O.2 0 0 9 2 o. O009 ! ! ! ! I ! O . 0004 """""""""""""""""""""""""""""""I ESPERADO VALOR DE OCUPACION DEL ESPERADO VALOR 1 3 5 7 9 SISTEMA ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! PROB HALLAR I CLIENTES 0.5595 0.2873 0 . 1 2 109. 1 6 8 3 0 . 0 1 3O. 4 0296 0 . 0 0 103. 0 0 2 9 O. 0 0 0 3 o. 0001 ! ! I ! ! 1.88 (Clientes) ! DE LONGITUD DE LA COLA 0.01 (Clientes) ! VALOR ESPERADO DE TIEMPO EN S I S TEELM A O Hor 7 . 5 Min ! VALOR ESPERADO DE TIEMPO EN LA COLA O Hor 0.0 Min ! 1""""""""""""""""""""""""""""""""""""""I ! 1""""""""""""""""""""""""""""""""""""""I ! 1""""""""""""""""""""""""""""""""""""""I ! ....................................... S I S T E I G DDEESLC R I P C I O N ! COll 7 SERVIDORES ! 1"""""""""""""""""""l ! ! I =PNH ROO X. B LAR CLTES I CLIENTES PROB HALLAR ! I=HO. PROB DE I C L T S I C L T E S t HALLAR PROB I CLIENTES + HALLAR ! DE I C L T S ! ~-"--""""""""l"""""""""~" ! ! ! ! I I O 2 0 . 044 2 2 6 8 ! ! ! ! 0 . 8 4 6O. 7 1533 0.28 O.9 1 2695 90 O. 0 7 O. 0093 O. 0 0 0 7 o. 0 0 3 1 ! ! O.OOO? 1 3 5 7 ! ! 0 . 5 5 90 2. 2 8 7 5 0 . 1 O. 2 11 26 8 5 0 . 0 102. 6 0296 0.0025 ! 0.0009 ! I I I""""""""""""""""""""""""""""""""""""""1 ! VALOR ESPERADO DE OCUPACION DEL SISTEMA 1.88 (Clientes) ! 0.00 (Clientes) ! I""""""""""""""""""""""""""""""""""""""l ! ESPERADO VALOR DE LONGITUD DE LA COLA VALOR ESPERADO DE TIEMPO EN SIST EE LM A O Hor 1 . 5 Min ! ! VALOR ESPERADO O Hor 0 . 0 Min ! ....................................... ! "I""""""""""""""""""1 ! I"""""""""""""""""""! DE TIEMPO EN LA COLA Resumiendo el listado: No garitas i 2 3 esp. de Val. esp. de Val. Val. esp. de ocupaci6n del tiempo en ladecola tiempo en longitud la cola el sistema (clientes) 61.9 2.52 5 1.9 6 1.88 7 1.88 O. 65 O. 03 0.01 O 7.6 7.5 7.5 Val. esp. de (min) sistema (min.) (clientes) 13.61 54.4 15.48 2.5 10 0.5 8 0.13 o. 1 O O Analizando el costo total (costo de operación + costo de espera), el costo deoyeracicin se calculamultiplicando el tiempodel Valor de eJperade tiempo en el sistema convertido de minutos en horas por el costo de operncih por garita por hora ($ SOO), analogamente para el costo de espera, se obtiene multiplicando el valor esperado de tientyo en la cola por el costo prontedio deesperadecada ntrtonu3vil por hora ($ 1200); ambos productos, cada uno se multiplica por el número de garitas. 46 2 4 Técnicas de Simulocicin Matenrdtica Veamos gráficamente los valores del costo total: 3500 3UlO # 2M0 ~3 Cost. Operaah 1500 m Cost. E spera 0 Cost. TOTAL I(XI0 500 2 3 4 5 6 7 Garita3 De acuerdo a lo resumido podemos ver que con 4 garitas obtenemos un mínimo costo de operación y por ende un bajo costo total que es (por una minima diferencia) aun menor a la operación con 5 garitas, por lo tanto nos quedamos con la operación de 4 modulos de servicio. 47 Tkcnicas de Simulación Mdembtica Algoritmos de “Una cola - un servidor - población finita” & “Una cola - servidores en paralelo población infinita” En el presente escrito se explicará como fkncionan los mencionados algoritmos. A continuación se muestra la notación usada: :Número promedio de llegadas ai sistema por unidad de tiempo. :Número promedio de servicios por unidadde tiempo. :Factor de utilización del sistema con un servidor. :Número de servidores en el sistema. :Factor de utilización de un sistema con servidores múltiples. :Esperanza (valor esperado) del tiempo de espera para que se proporcione servicio a la última llegada de la cola. :Esperanza del tiempo de espera para que la última llegada de la cola abandone el sistema una vez quese le haya proporcionado el servicio. :Tiempo promedio que transcurre entre dos llegadas consecutivas. :Tiempo promedio de servicio de un cliente. :Número esperado de llegadas de nuevos clientes por unidadde tiempo, cuando ya existen n en el sistema. :Número esperado de servicios por unidad de tiempo, cuando existen II clientes en el sistema. Representa la tasa combinada de servicios a la cual trabajan todos los servidores ocupados. :Valor esperado del número de gentes formadas en la cola. :Valor esperado del número de gentes en el sistema, (i.e. esperando en la cola y recibiendo un servicio). :Probabilidad de que en el momcnto f dc arribo a la cola se encuentren m personas en el sistema, S recibiendo servicio, en el caso de S (S 2 I) servidores, y m-S formados en la cola. :Probabilidad de que en el momento f dc arribo a la cola, el sistema se encuentre vacío. :Número esperado de clientes que no requieren de un servicio en el momento de arribar al sistema (esto sólo tiene sentido para el caso de población finita). :Utilización promediode cada uno de los S servidores (S 2 I), dada en porcentaje del tiempo. Técnicas de Sirnulncidn Alaterncitica - Una cola Un s,ervidor - Población finita Para podercomprender el hncionamiento y el razonamientodelalgoritmo tma cola - t o 1 sewidor - yoblacih jhlita, primeroseexplicará el algoritmo cuando se considera que la población es infinita, i.e. se supone que el número de clientes que requieren el servicio en una periodo de tiempo determinado en infinito, obviamente este caso no corresponde a la realidad ya que una población es por regla finita. La disciplina de la cola es “primero que llega primero que se le proporciona el servicio”. Se supone una población finita y una sala de espera de capacidad ilimitada. El tiempo de llegada tiene una distribución de Poisson, con media I/h.Esto quiere decir que si, por ejemplo, llegan 5 clientes en promedio cada minuto (h=5), lamedia de la distribución es 0.2 minutos (lA), es decir 12 segundos24.Lamedia representa el tiempopromedio que transcurre entre llegadas. El tiempo de servicio tiene una distribución exponencial negativa con tiempo medio de servicio25l/p, Analíticamente lo anterior quieredecir que si A([) es el número de llegadas en u n intervalo de tiempo t, con una distribución de Poisson, entonces la probabilidad de que A(I) sea igual a k llegadas está dada por: Z’(A(t) = k } = e-&(&)‘ mientrasque si Z representa el tiempo aleatorio de servicio,condistribuciónexponencial negativa, la probabilidad de que este tiempo sea mayor a I unidades está dado por: ahora se derivan las fórmulas generales de este sistema. Se inicia con el desarrollo de la fórmula general para P,,,(z), la probabilidad de que en el momento de arribo a la cola (tiempo t ) se encuentren m personas (m 2 U) enel sistema ( 1 recibiendo servicio, y ni-Z formadas). Se escoge un intervalodetiempo At U bastantepequeño y sesuponeque la probabilidad de más de unallegadaen At es prácticamente nula, así se tienenlassiguientes expresiones: a) Probabilidad de que no lleguen clientes en At = 1-hAt (3.1.1) b) Probabilidad de no requerir servicio en At= 1- p A t 24 Probabilidad de x llegadas por unidadde tiempo = (h”e-’) 1 x! ” Probabilidad de que se sirvanx clientes por unidadde tiempo = p e”“ (3.1.2) Técnicas deSinrulacidn Matenrática Con esta información la probabilidad de tener m personas enel sistema en cualquier tiempo t + At, denotada por P, (t + A t), es la suma de las probabilidades asociadas a eventos independientes específicos ABC + DBE + I;GC + AGE (3.1.3) donde los términos A, B,C, D,E,F y G significan respectivamente lo siguiente: pm (0 : Probabilidad de que existan m personas en el sistema en el tiempo t, una recibiendo servicio y m-1 formadas (A). (I - h A I) : Explicada en (3.1.1) (B). (I - p A 1) : Explicada en (3.1.2) (C). Pmt,(o : Probabilidad de que existan m - I personas en el sistemaen el tiempo 1, 1 recibiendo servicio y m formadas (U). p A( t) : Complemento de (3.1.2), i.e. probabilidad de un servicio enel tiempo A t, (E). P,.,(t) : Probabilidad de que existan m-1 personas en el sistema en el tiempo t, 1 recibiendo servicio y m-2 formadas (F). hAt : Complemento de (3.l. l), i.e. probabilidad de unallegadaen el tiempo At (G). Por lo tanto 3.1.3 queda explicitamente como: que desarrollada conduce a si a esta última expresión se le resta tiene: cuando At lo que: + O, la última /’,,,(I) en ambos términos y se divide entre At (A I >,O), se parte de la expresibn anterior tiende a cero, y ]’,,,(I)= P,,,(t~i I), por Técnicas de Sinrulacibn Matentálica La expresión (3.1.4) se analiza por inducción. Para n1=0 (no existe nadie en el sistema), la expresión queda: sin embargo, pPo(t)=O; nadie y porque no habiendo gente enelsistemano se puededarservicio a que finalmente queda como: (3.1.5) Para m = l , la expresión (3.1.4) se convierte en: (3.1.6) sustituyendo (3.1.5) en (3.1.6) se obtiene: (3.1.7) En forma análoga, para m=2 se obtiene: y para el caso general: Técnicas de Sinlulncidn hlatenrática (3.1.8) De la teoría de probabilidad sabemos que la suma de todas ellas: por lo que (3.1.9) o lo que es lo mismo: acorde con lo que se sabe de series, la serieinfinita dentro delparéntesis de (3.1.9) es una progresión geomdtrica de la forma: 1 1+ a + a'+ ...+am+...= 1-a tal que a<1 así (3.1.9) queda de la forma: (3.1.10) entonces (3. l . 1O) genera en (3. l .8) (3.1.11) Desarrollando la fómula para W, el número esperado de personas en el sistema (en cola y en servicio). Por definición de valor esperado se tiene: m w =Po(t)(0)+I:(t)(l)+P,(t)(2)+...+P,( t ) ( k ) +...= CPm(l).(m)(3.1.12) m=O 52 TPcnicas de Simulación Afa!enrtj!ica de (3.1.11) se obtiene en (3.1.12) m W=Cpm(l-p)*~=(1-p)(p++ 23 p ~2~ + . . . ) = ( 1 - ~ ) p ( l + 2 p + 3 p ~ + . . . ) m=O como ya sabemos, tenemos que: m siempre que p < 1 por lo que (3.1.13) El número esperado de gente en la cola, L, se define como: m ...=C( m-l)P,(r) L = l P , ( t ) + 2 P , ( i ) t 3 P , ( r ) + . . . + ~ ~r)+ ~+,( (3.1.14) m -2 Usando (3. l . 12) y (3. l . 14) en la expresión W-L se obtiene: m Por definición, CPm(t)= 1, así la expresión (3.1.15) es igual a 1-Po(O,por 10 que: m -O w - L = l-&(t) L=W-l+P,(f) (3.1.16) Usando (3.1.10) y (3.1.13) se obtiene, en (3.1.16) 53 Técnicas de Simulación hlatemática Por último, el tiempo esperado enla cola antes de recibir el servicio, I;, y el tiempo esperado para abandonar el sistema, Tw, se obtienen a partir del siguiente razonamiento: Po(f) es la probabilidad de que nadie esté enel sistemaen el tiempo f ; I-Po(t) es la probabilidad de que nlgrrten esté en el sistema recibiendo un servicio. Entonces: (3.1.18) donde B,,es el número esperado de personas a las cuales se les proporciona servicio en una unidad de tiempo. Si al tamaño esperado de la cola, L, se le divide por el producto del número promedio de servicios por unidad de tiempo y por B, se obtiene T,, es decir: R2 Con esta expresión se concluye que si un individuo debe esperar enpromedio 7; unidades de tiempo antes de recibir un servicio que dura, en promedio, 1/p unidades de tiempo, entonces T, , el tiempo total esperado en el sistema, es: 1 T, = 7j + - (3.1.20) P Todas las expresiones anteriores permiten calcular: a) La probabilidad de que el número de gentes en el sistema, W , sea mayor a Z: b) La probabilidad de que la espera total en la cola, Ts, sea mayor a g unidades de tiempo: c) La probabilidad de que la espera total en el sistema T,, sea mayor a h unidades de tiempo: Técnicos de Sinwlación Motenlático Ahora a continuaciónse aborda el caso que nosinteresa,cuando la poblaciónseconsidera finita. Suponiendo que una población finita de m elementos (O<nt<a) requiera servicios de un sistema similar al anteriormente explicado, ahora las series infinitas resultantes en el análisis se convierten en seriesJij1ita.sy generan de manera análoga los siguientes resultados. Si n? es la población que pudiera requerir un servicio determinado y 11 ( r K n 1 ) elementos de esa población piden ese servicio, entonces se calcula mediante el uso simultáneo de las expresiones (3.1.20) y (3.1.21) definidas a continuación26: PO(u (3.1.20) (3.1.21) Una vez conocida P& se calcula L, W, T,,T, de: L = m - - a - (1 - 1 ; (9) (3.1.22) 1 /t W=L+(l-P,(t)) L T,= d l - Po 1 T,=T,+- 1 (3.1.23) (3.1.24) (3.1.25) lu Obviamente, conocida Po(t) se calcula P,,(t) de (3.1.20), de la siguiente manera: (3.1.26) Técnicas de Simulación Matematica - - Una cola Servidores en paralelo Poblacidn infinita. Se supone un sistema con una cola, a la cual pueden llegar un número infinito de clientes en espera de recibir un mismo servicio por parte de S ( S > f ) servidores en paralelo. La política del sistema es que se sirve a los clientes en el orden de su llegada; el servicio lo proporciona el primer servidor que se haya desocupado. Todos los servidores están desocupados al principio y se irán ocupando en forma progresiva (primero el servidor 1, después el 2 y así sucesivamente) en la medida en que vayan llegando los clientes. El número promedio de llegadas por unidad de tiempo es h.y se supone que este tiene una distribución de Poisson. El número promedio de servicios de cada servidor por unidad de tiempo es el mismo y se denota por p. Se supone que este número tiene una distribución exponencial negativa. Se observa que cuando el número de elementos enla cola y en lasestaciones de servicio, nt, esmayor que el númerode servidores, S, (rn>S), la probabilidad de quealgún clienteabandone el sistema (después de recibirsuservicio) enel intervalodetiempo At es SpAt. En caso contrario (Dm), dicha probabilidad es m,uAt. Esta observación incorporada a la expresión (3.1.3) origina: It,( t + Al) = Zk ( I ) (1 - , U t ) ( 1 - S/rAt) + ~ m J w P A ~ ) ( lU- t ) +PWl (t)(AAt)(l- SpAt)-t- Zi(Z)(A,At)(SpAt) En la expresión anterior P,,,-,(o no tienesentidocuando agrupados los términos se obtiene: m = O , por lo queunavez Restando en ambos lados ZJo(o y dividiendo entre At, se tiene: Po(t+ A t ) - Po(t) = -P, (I)A - P,(t)Sp + P,(t)SpAA/ At Tomando el límite cuando At +O genera: (3.1.27) 7écnica.s de Sirnulacidn Afatenráticn por lo que ;1 4 ( 0 = y,( W + -1 (3.1.28) SP El límite cuando At +O de la expresión general (3.1.27) para m = Z , genera e ( t + A t ) - e ( t ) - dP(I) -"-=o Al-10 Af df lim (3.1.29) sustituyendo (3.1.28) en (3.1.29) (3.1.30) L Generalizando (3.1.30) para un valor m - Z cualquiera se obtiene que se puede reescribir: (3.1.31) Para el caso en que m<S, se sigue el mismo razonamiento cambiando el término SpAt de (3.1.27) por nzpAt, para obtener (3.1.32) m Una fórwula explícita de Po(t) se genera despejando este término de z P m ( t )= 1, nr= O arrojando la expresión: S7 Ticnicm de Simulacidn hialenrálica (3.1.33) Combinando (3.1.33) con (3.1.3 1) y (3.1.32) y tomando el límite cuando nt construye la expresión final para P0(Q dada por -+ 00 se (3.1.34) El largo de la cola L, lo dará la expresión UI Z( m L= - s)r;(t) m=S+I que una vez desarrollada, utilizando(3.1.31) y agrupando términos27, generala fórn~ula (3.1.35) El número de elementos en el sistema W, es igual a 1 W =L+- P (3.1.36) El tiempo de espera en la cola, T, , es: (3.1.37) mientras que el tiempo de espera en el sistema, T, qv= Ts +-1 P n-l l7 an-1 nk = - recuerdcse que k=O a-1 con a # 1 (3.1.38) Técnicas de Sirrrulacibn hiatenráticn ;1 Así como en’el caso de un servidor se supone que - < 1 (para que no se formen colas P de tamaño infinito), en el caso de servidores múltiples se requiere que se cumpla la condición A A - < 1, la cual se puede reescribir como -< S . SP P Se puede desmostrar que donde Z’{ 2; = o} = Y c S-] 1; Tdcnicas de Sirnulación A!íaternáfica La gráfica de los residuos: r 90 -BO - 70 - 60 - 50 50 - 40 / 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O ”.,,. 30 - 20 A., .......$< .‘I. -25 - ’%>.. . . . . . . 1% (’ ”%.,,.,”.” / $ . . I , . . . . . . . . . . . . . . . . . .,L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . j l/ / ‘4 -50 .......... RESIDUAL “.-ACTUAL (TI-Type (PI-Print (S)-Sa!e(O)-Options(F)-Plotter .“FITTED 8, HPCL (R)”Redew (XI-eXi’ Grci/ica 4 - 1 Acorde con los resultados los coeficientes son: = -33.197854, p 2 = 0.0193303, P j =15.479647, p4 = 0.8101972 y se tiene que el coeficiente de correlación de Neyman-Pearson R2=0.2747 el cual no es muy próximo a I por lo cual a partir de esto se puede decir que la regresión no es muy buena, es decir, no existe una fuerte relación lineal entre las variables independientes (el irlb.re.sofcrtnilitrr protmw’io, el tanttrZo nledio de la fatnilia y In tcrsa de tlesenlpleo) con respecto a la variable dependiente (elyorceutnje en Iafitcrza de ttanOtrjo de las familias como participacicin). El estadístico de la prueba de Durbin-Watson da 2.404697 de lo cual podemos decir a partir de que como valor de esta prueba (d) toma valores O < d < 4; consultando en tablas el límite superior e inferior de margencon 11=15 observaciones y k ’ = 4 número de variables explicativasincluyendo la constante: dt-0.685 y du=1.977,a un nivel de significancia de 95% . Esquematizando los intervalos parala prueba: 62 Técnicas de Simulación Matemática Capítulo 4 Simulación aplicada a Economía Antes de aplicar dicho modelo para la simulación de varios escenarios propuestos, es necesaria la estimación estadística de los coeficientes en las ecuaciones. Uso de TSP para regresidn multilineal. El problema siguiente se resuelve usando el software TSP versión 6 . Problema: Para estudiar la participación de la herza de trabajo de familias pobres urbanas, se obtuvieron a partir del censo de población de 1970 las cifras que aparecen a continuación : Participación de la fuerza de trabajo, familias pobres urbanas: áreas del censo, ciudad de Nueva York, 1970 Area No % en la fuerzadeIngreso familiarTamailomedio Tasa de 'x1 = % de la fierza de trabajo civil dcscmplcada. Fuente: Census Tracts: New York, Bureau o f ff~eCcnsus, U.S. Department of commerce, 1970. a) Utilizando un modelo de regresión lineal: y= P,+ P z x 2 ( I ) + P3x3(1) +P 4 X 4 ( 0 +40 Técnicas de Sintulacidn Matenldtica obtenga una estimación de los coeficientes e interprete las estadísticas R,t's y de Durbin-Watson del reporte de TSP. b) Obtenga intervalos de confianza con un nivel de confiabilidad de 95% para los cuatro coeficientes estimados (en base a los resultados de la regresión). c) ¿Cuales son los signos "a priori" (desde el punto de vista de la economía) de los coeficientes de la regresión?, Len la estimación efectuada por computadora se obtuvieron los signos correctos de dichos coeficientes? Resultados: Se ingresaron los valores de la tabla mostradaa TSP y se obtuvo el siguiente listado: I I Variable LS / / Dependent is Y Date: 9-16-1996 / Time: 23:39 SMPL range: 1 15 Number of observations: 15 - .................................. " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " VARIABLE COEFFICIENT STD. ERROR T-STAT. 2-TAIL SIG. __P=_PPP_P_P___P3P___=====~==~~=====*====P======-=================="- -33.197 854 0.0193304 15.479647 0.8101972 C x2 x3 x4 " " " " " " " " " " " " " " 48.750098 0.0192793 9.4755912 1.9116215 " " -0.6809803 l. 0026508 1.6336339 0.4238272 " " 0.510 O . 338 O. 131 O. 680 " 0.274726dependent of Mean var 0.076924 S.D. of dependent var 18.39159 Sum of squared resid 2.404697 F-statistic -62.63632 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Durbin-Watson stat likelihood Log " ~ ~ ~ 63.64667 19.14258 3720.756 1.388893 .................................. .................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coefficient Covariance Matrix .................................. .................................. c ,c c ,x3 C , X2 C,X4 X2,X3 X3, X4,X4 2376.572 -309.6027 0.000372 O . 0051 X391 0.978492 x2,x2 X2,X4 x3,x4 -0.583732 -31.18092 -0.022569 89.78683 3.654297 P===PP___I=P==_EPPP==*=============================================~ " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " obs RESIDUAL ACTUAL FITTED Residual Plot - 3 P P " P P P P I P P P P P P - P ~ - = = ~ ~ = ~ = ~ ~ ~ ~ ~ = * ~ = ~ = = = = ~ = = = = = = = ~ = = = = ~ = = = = = ~ = ~ = ~ ~ ~ I I I I I I I I I I I I * * * : * : * I * I I I I I * * : * : * : I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 15.3570 I 6 I 7 I 8 I 9 I 10 11 I I 12 I * : - * I I I I *I I * : I I ----"""-"""""""""""""""""""""""""""~~~ I I I I* I I 9.83915 1.67829 -36.2173 10.9892 -0.03635 64.3000 45.4000 26.6000 87.5000 71.3000 82.4000 -29.1223 26.3000 3.88030 61.6000 -7.05745 52.9000 -4.40323 64.7000 -9.79031 64.9000 10.1142 70.5000 13 26.9883 87.2000 14 -1.7529181.2000 15 9.53348 67.9000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.4609 43.7217 62.8173 76.5108 71.3364 67.0430 55.4223 57.7197 59.9575 69.1032 74.6903 60.3858 60.2117 82.9529 58.3665 I ~ Técnicas deSirnulncidn Afaalenráticn Zonn de Ilcchnznr 1-10 indecisibn Evidencia de autocorrelación positiva O dL=O. 685 &=l. 9 77 Ho : No hay autocorrelacibn positiva. 13; : NO hay autocorrelación negativa. Aceptar I IO o I I{ o ambas 2 Zona dc indecisibn 4- d"= 2.023 Ilccllazclr I IO Evidencia de autocorrelacibn positiva 4- dl.=3.315 Como el valor obtenido nocae dentro de este intervalo,sino que sesitúa enla indecisión no podemos aseverar que no exista autocorrelación positiva. 4 zona de Interpretando el estadístico T para los coeficientes PI,..., P 4 con ayuda de la prueba que aparece a un lado (2-Tail Sig), la cual calcula la probabilidad de que el coeficiente sea muy próximo a cero, y este es para /?4, es así que en una posterior regresión nos podemos justificar en esta prueba para quitar este cociente de nuestro modelo de regresión. para Obteniendo los intervalos de confianza confiabilidad, estos están dados por los coeficientes con el 95% de donde y cii es el coeficiente de la matriz (X'X)" con X acorde a la estructura matricial del modelo lineal general: Y=X,O+&,explícitamente: lamisma queda de 15x4 (15: el tamaño de la muestra, 4: el número de coeficientes). Aclaro que este procedimiento es para el caso donde el modelo es de regresión lineal simple, pero aquí estamos tratando una regresión multilineal, el proceso es similar, sólo que cambia la estructura de la matriz, pues aquí tenemos tres variables independientes. Para obtener los respectivos cii me auxilie de la corrida de lamisma regresión dentro delprograma NCSS2*, lamisma se muestra en el anexo, de esta se toman los respectivos valores para i=2,3,4. 28 Number Cruncher Statistical System Version 5.03 9/92. Ver [7]. Tecnicas de Sir?lulacit>n Alatenrtjtica Considerando el listado, con los valores de los errores estátdar respectivos podemos calcular respectivamente tambiénlos intervalos de confianza de acuerdo a la fórmulaz9: p, rfi tl-% n-(&+I) es$,) con es(),): error estandar de b, el error estándar aparece a un lado de la aproximación del coeficiente respectivo en el listado. En tablas para la t con a=0.05 se tiene: t:b75 = 2.199, así: Interpretando estos resultados (con una confianza del 95%), tenemos para PZ que en el largo plazo en 95 de cada 100 casos intervalos como (-0.02306687,0.06172771) contendrán el verdadero p2, pero no podemos decir que existe una probabilidad del 95% de que este intervalo específico contenga el verdadero valor de p2 porque este intervalo es ahora fijo, dejando por lo tanto, de ser aleatorio; en consecuencia, p 2 está o no está enel intervalo: la probabilidad de que el intervalo fijo que se especifique contenga el verdadero valor de pz es, por tanto, 1 ó O. Análogamente para los demás coeficientes. Podemos analizar los valores de Y entre el valor calculado y el real en la gráfica 5-1 de la página 3. Puedo concluir que a partir de los estadísticos de prueba R, T y Drrrbin- Wcrfsm no se obtuvieron unos coeficientes “buenos” en la regresión, y con respecto al signo, para PI el signo pegativono tiene unainterpretaciónqueserefleje enlarealidad, o a lo más creo que lo pudiéramos interpretar que cuando es nulo el ingreso familiar promedio, el tamaíio de la familia y la tasa de desempleo hay pérdida con un porcentaje de 33.2% , , p i la tasa de desempleo es nula?,buenoaquíno hay coherencia (para cuando hay valores cero enlas variables). Analizando la ecuación resultante de la regresihn se tiene que la contribución más significativa para el porcentaje a calcular, es el ttrwrt7o n7edio t k la firmilia (contribuye con u n índice de 15.47), y que el irgresofiwzilicrrpro/?wclio no es muy preponderante (pues contribuye con un índice 0.0 19). Nota: Consultar anexo 3 para ver la solución del problema con el uso de NCSS. 29 Ver: [5]. Cnp.5. Tdcnicns de Simulacidn A~aiemática Uso de Mínimos Cuadrados en Dos Etapas. Continuandocon los antecedentes al últimotema, se considera el siguientenlodelo de dos ecuaciones simultáneas: o + PIM, + P 2 K + u,, Y, = a , + a,& + a21,+ uzr R, = P donde: R : tasa de interés, Y : nivel de ingreso, M : oferta monetaria (variable exógena"), I : Irn~ersión(variable exógena), u l , 212 : perturbaciones estocásticas. Esto representa un modelo tasa de irrterés - Nivel de irlgreso, el cual se trabaja a continuaciim utilizando los datos de la tabla 4.2, se estiman los coeficientes del modelo usando regresión por dos etapas. Acorde con los rótulos de la tabla tenemos las siguientes equivalencias: X=&, Y=Y, , M=Y2, I=X, En las siguientes líneas se muestrael desarrollo analítico de la regresión en dos etapas. Primera etapa: aplicamos la regresión considerando las variablesexógenas. R, = ir,,+ ir,,^, + fiI2lf +e,, if = i r l O + f I I I M ,+ fi,21, A R, = R, +e,, Segunda etapa, ahora reemplazamos y así aplicamos la regresión a la ecuación resultante (4.4) ~~ 6 predetcnninada del sistema. (4.3) Tkcnicas de Sinlulacidn Matemática N" Y1 ( P W y2 X1 (ofertn de dtnero) (gnstos de x2 (gastos de x3 (YOtasa de hlterks) y3 (PNU rrzngado) Datos macroccon6micos sclcccionados, Estados Unidos, 1970-1984. Todas las cifras excepto X3 están en millones de dólares y X3 es un porcentaje. Fttente: Economic Renort of the President. 1986. Tabla 4.2 La regresión la aplicamos en base a TSP bajo la siguiente línea de comando3': TSLS Y1 C X3 @ Y2 C X1 el comando TSLS ordena a TSP hacer la regresión en dos etapas. El listado resultante se muestra a continuación: ITSLS / / Dependent Variable is Y1 Date: 10-16-1996 / Time: 23:24 SMPL range: 1 16 Number of observations: 16 Instrument list: C Y2 X1 VARIABLE COEFFICIENT STD. ERROR C ' -2023.1821 941.08518 x3 480.09363 102.700'13 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Durbin-Watson stat Log likelihood 0.382266 0.338142 799.3885 Sum 0.895504 -128.5763 T-STAT. -2.1498396 4.6746859 2-TAIL SIG. 0.050 o. O00 Mean of dependent var 2275.756 S . D . of dependent var 982.5971 of squared resid 8946307. F-statistic 8.663470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coefficient Covariance Matrix 885641.3 c,c x3,x3 10547.44 C,X 3 -94445.73 66 í'ecnicas de Simulncidn hlatenlática Residual P l o t I I . * I I I 1 * , , I . I * I t f I I I I , . $ * 9 f I I I I I I f obs R E S 1 DUAL + * . +I * I I * * 1 1 f * . 1 f 1 1 f f f * *. . I I I I * I* I ACTUAL 1 . . * 1 f f 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 FITTED -461.200 413.353 489.847 45.8315 -258.350 25.6810 555.748 801.856 292.906 -130.327 -789.899 -1856.77 -1013.63 407.804 89.5686 1387.58 1015.50 1102.70 1212.80 1359.30 1472.80 1598.40 1782.80 1990.50 2249.70 2508.20 2732.00 3052.60 3166.00 3401.60 3774.70 3992.50 1476.70 689.347 722.953 1313.47 1731.15 1572.72 1227.05 1188.64 1956.79 2638.53 3521.90 4909.37 4179.63 2993.80 3685.13 2604.92 La gráfica de los residuos resultantes es: RESIDUAL -ACI'UAL -FITTED1 Es de verse a partirdelcoeficiente de regresión ( 0.3822) que lamisma no es muy buena, agregado a que la misma gráfica de los residuos muestra como es que estos se disparan, i.e. que la aproximaciónobtenida no satisfacefavorablemente, los residuos como podemos apreciar estan dentro de labanda de -2000 a 1400 aproximadamente; ¿por qué?, bueno, consideremos que el fenómenoconsiste de másvariables de entorno, no sólo lasaqui contempladas, por un lado, por otro, el tamaño de la muestra que estamos considerando es muy pequeño en relación a la magnitud de lo que pretendemos alcanzar. Consideremos que también el obtener más datos paralamuestramuchasveces, si no es que casisiempre,resulta demasiado constoso en tiempo y dinero. Este ejercicio es un ensayo para la siguiente actividad, en la cual ya contemplaremos un mayor número de variables y por ende la regresión en dos etapas será más detallada. 67 Técnicas de Sinrulación Matematicn Proyecto sobre las operaciones financieras3* mediante un modelo de dos ecuacionesen diferencias lineales y estocásticas. Continuando, ahora se examinan los datos de la cartera del Banco WellsFargo, se trabaja la estimación por mínimos cuadrados en dos etapas y l a solución de modelos simultáneos. Se tienen los datos anualesdelbancocomenzandoen 1963 y terminando en 1983. También se tienen algunos datos económicos de California para ese periodo. Las series que se usan son: SEW LOAN RSECU RLOAN SALES RCPGM CONTR TREND Valorcs dc scguridad dcl banco, en milloncs dc dólarcs. Los valores de prkstamos. Porcentaje obtcnido por el banco sobrc valores. Porccnhjc obtcnido sobrc prdslamos. Mínimo dc vcntas en California, cn ntillollcs dc d6larcs. Tasa de intcrés sobre títulos (papeles comerciales) a 6 meses (%). Valor de contratos de construcción en California, en millones de dólares. Tiempo de tendcncia, comenzando con 1 en 1963. Tubla 4.3 El archivo creado paratrabajar los datos en TSP es “A”, lasbasesyageneradas se hallanenarchivos de texto (conextensión *.db). A partir de los datos de lasseriesarriba expuestas, mismas que aparecen en la Tabla 4.3, se generan las nuevas variables: 32 Manejo de una “cartera” de prestamos y acciones. 68 Tgcnicas de Sinrulncicin hintenrálico PORT = LOAN + SECU SPREAD = RLOAN + RCPGM LOARAT = LOAN / PORT LOASAL = LOAN/SALES CONSAL = CONTR/SALES TatnaiIo total de la cartera del banco. Extensión del porcentaje entre el inter& obtenido sobre préstamos y los títulos conlcrcialcs a 6 nicscs. Proporción dc la cartera en prkstamos. Radio de los préstamos del banco para ventas en el estado. Radio de construcción para ventas minilnas. Lo que se pretende alcanzar es entender la determinación de la tasa que el banco gana sobre sus préstamos y la proporción de su cartera que asigna para los mismos (los préstamos). Así tenemos en consideración estas dos variables, para las cuales hay que tomar la relación entre las mismas a partir de lo siguiente: 1. Lo más que el banco gana sobre los préstamos en relación a los valores, lo más de su cartera que se gustara asignar para prestamos. La oferta de préstamos, en otras palabras, depende positivamente de la tasa de interés de los préstamos. 2. A fin de tener más clientes que soliciten más prestado, el banco tendrá que hacer que la tasa de interés de los mismos sea más atractiva en relación a tasas alternativas, tales como las La demanda de préstamos depende tasas de interés para los títulos de inversión. negativamente de la tasa de interés de los mismos. Nuestro objetivo es ordenar ambas consideraciones y esto es lo que hace el método de ntininlos cuadrados en dos erapas. Una involucra una relación positiva entre los préstamos y la tasa de interés de los mismos, y la otra involucra una relación negativa. De esto rápidamente vemos que no podemos hacer regresión sobre la tasa de interés de préstamos en alguna medida sobre el volumen de los préstamos.Yasea que el coeficiente de regresiónseapositivo o negativo, esto nonosdiráseparadamente el coeficientepositivo de la oferta o bienel coeficiente negativo. A menosquesepamosalgomás acerca delproblema,nohaymanera de separar el comportamiento de oferta y de la demanda. Pero setieneunainformaciónadicional. Específicamente sabemos que el mercado de la demanda de oferta está hertemente influenciado por la actividad de la construcción. Los constructores, desarrolladores y propietarios de casasIlabitación típicamente no tienen acceso al mercado de títulos de inversión. Cuando la actividad de la construcción es fuerte, se esperaría que la tasa de interés sobre préstamos fuera alta en relación a otras tasas. Por otro lado, no hay razón obvia para el porqué el banco cambiase su cartera tan solo porque pase algo en el mercado de la construcción. Por supuesto que cuando la tasa de interés sobre préstamos se alza en relación a otras tasas, el banco cambiase su cartera en relación a préstamos,pero esto es asíenconsecuencia a la tasa de interés, no como consecuencia directa del boom dela construcción. Nuestra experiencia respecto de la demandadelmercado de prestamosnosdauna referencia respecto a la oferta. Cuando el mercado de los préstamos se robustece por el boom de la construcción, esperamos ver una más alta tasa de interés y esperamos que el banco cambie su cartera hacia los préstamos. Más aún el monto del cambio revela la magnitud de la respuesta de la oferta de la cual nosotros estamos interesados. Si aislásemos los cambios enla tasa del Tkcnicas de Sinlulación Maatenrcitica préstamo que son causadas por las altas y bajas de la industria de la construccih, y entonces hacemosregresión de lavariable de préstamo sobre la versión de la tasa deinterés, esperaríanlos encontrar un coeficiente que mida la respuesta de la oferta. El método de mínimos cuadrados en dos etapas toma una variable como la coratmcción, consideradaexógena al mercado de préstamos, y lausapara encontrar la componente de otra variable, la tasa de interés del préstamo en este caso, esto es atribuible a la variable exógena. Este proceso es la primera etapa de la regresión. Entonces se corre una segunda regresión de la variable de interés, la proporción de la cartera del banco que asignará para préstamos en este caso, sobre la componente aislada de la primera etapa. Recordemos que el banco desea hacer préstamos sin que dependa mucho sobre el nivel absoluto de la tasa de interés de préstamo como sobre la relación de la tasa de préstamo a la tasa de interés sobre valores. Es así que se incluye la tasa de interés sobre valores con la tasa de préstamo enla ecuación. Se considera la tasa sobre valores como una variable exógena y la usamos como una instrumental. Además el banco no se puede mover muy rápidamente cuando los cambios en las tasas sugieren un movimientohacia dentro o íüera de los préstamos. Algunos préstamos son conciliados este año del año pasado. Se puede considerar a cuenta esta consideración incluyendo la proporción del último año de préstamos enla cartera como una variableenlaecuación y como unainstrumental. Así tambiénexisten otros factores en comparación alnivel de actividaddelaconstrucciónquesoninfluenciasexógenas sobre el mercado de préstamos. Lasúnicasvariablesqueincluimos como instrumentalesson PORT, tamaíío total de la cartera del banco, SALES, mínimo de ventas en California, y TREND, el periodo. Dados los valores de latabla 4.2, consideramos la muestra de 1964 a 1983. La regresión en dos etapas que se aplica en TSP es: TSLS LOARAT C RLOAN RSECU LOARAT(-1) @ C RSECU LOARAT(-1) LOASAL(-I) CONSALPORT SALES TREND de aquí se desprende el modelo: LOARAT = a. + al RLOAN + a2 RSECU + a3 LOARAT(-1) LOARAT = bo + b l RSECU + b2 LOARAT(-1) + b3 LOASAL(-I) + b4 CONSAL + bg PORT + bs SALES + b7 TREND. 70 Técnicas de Sirwlación Matentálica Z1 listado de resultados aquí se muestra: PSLS / / D e p e n d e n tV a r i a b l e i s LOARAT Date: 1 0 - 0 3 - 1 9 9 6 / Time: 2 0 : 4 0 SMPL r a n g e : 1964 - 1 9 8 3 Number of o b s e r v a t i o n s : 2 0 I n s t r u m e n t l i s t : C RSECU LOARAT(-l) LOASAL(-l) COPJSAL PORT SALES TREND VARIABLE COEFFICIENT STD. ERROR T-STAT. 2-TAIL SIC. C RLOAN RSECU LOARAT(-l) 0.2463987 0.0278675 -0.0273581 0.6360296 R-squared Adjusted R-squared S.E. of r e g r e s s i o n Durbin-Watson s t a t Log l i k e l i h n n d 0.1029943 O . 0086550 0.0110880 O . 1667083 0.916910 0.901331 0.023326 1.961604 49.01621 2.3923534 3.2198186 -2.4673574 3.8152246 Mean of d e pveanrd e n t S.D. of d e p e n dveanrt Sum of s q u a r e sdi d F-statistic 0.029 O . 005 O . 025 o. 002 0.782730 0.074260 0.008706 58.85402 La ecuación con coeficientes numéricos resultante es: LOARAT = 0.2463 + 0.0278 * RLOAN - 0.0273 * RSECU + 0.6360 * LOARAT(-1) Notemos que el coeficiente de la tasa de interés es positivo, como se esperaba, mientras que prácticamente en la misma magnitud lo es, pero negativo, el de la tasa de interés de los valores. Sólo la diferencia entre las dos tasas de interés actualmente importa para la decisión que tome el banco respecto a la asignación de su cartera. Para cada punto porcentual para el que la tasa de interés de préstamo se elevehaciala tasa de valores, el banco intercambiará cerca de 2.7% de su cartera para préstamos. Esta ecuación se salva en disco para incorporarle adelante en un modelo más completo con el nombre de “SUPPLY”. Ahora veamos el caso de la demanda del mercado de préstamos. Nuevamente queremos encontrar influencias de otras fkentes que causen el declive de la tasa de interés de préstamo tal que sea necesario obtener más clientes que pidan préstamos adicionales. Un factor obvio es el tamaño de la cartera del banco. Cuando el banco cuenta con más dinero en cuenta, se tendrá una ligera baja en sus tasas de interés (de préstamos) a fin de que los clientes adquieran más préstamos. Si pudiésemos aislar una componente del volumen de prestamos que esta asociado con el tamaíio de la cartera, podremos Ilaccr rcgresi6n de la tasa de interés de p r é s ~ a n ~ osobre s esa cornpoaente a fin de encontrar que tallto la tasatiende a declinarpara adaptar mis prestamos. Es conveniente en este caso asumir que importante es la diferencia entre la tasa de préstamo y otras mayores, la tasa de títulos comerciales. La diferencia es la serie SPREAD. Las variables a considerar en la siguiente ecuación son LOASAL, el retraso del valor de LOASAL, CONSAL y TREND. Las variablesinstrumentales son LOASAL(-]), CONSAL y TREND, además RSECU, SALES y PORT. Nuestra regresión queda en TSP como: 71 Técnicas de Sinlulaciór? Matemática TSLS SPREAD C TREND LOASAL LOASAL(-I) CONSAL @ RSECU LOARAT(-I) LOASAL(-I) CONSAL PORT SALES TREND los resultados son: TSLS / / Dependent Variable is SPREAD Date: 10-03-1996 / Time: 23:46 - 1983 SMPLrange:1964 Number of observations: 20 Instrument list: C RSECU LOARAT(-l) LOASAL(-1) CONSAL PORTSALES TREND VARIABLE C TREND LOASAL LOASAL(-1) CONSAL COEFFICIENT -4.2774769 0.1052452 -112.24961 103.59053 20.451396 R-squared 0.736807 Mean Adjusted R-squared 0.666622 S.E. of regression 0.581478 Sum F-statistic 2.252218 10.49811 Durbin-Watson stat likelihood -14.65832 Log STD. ERROR 3.8759064 0.0587144 24.107582 31.657386 6.9567454 T-STAT. 2 - T A I LS I G . O . 287 O . 093 o . O00 O . 005 -1.1036069 1.7924946 -4.6561953 3.2722387 2.9397 937 o . 010 of dependent 1.664186 var S.D. of dependent var 1.007083 of squared resid 5.071757 La ecuación resultante es: SPREAD = -4.2774 + 0.1052 *TREND - 112.2496 * LOASAL + 103.59 * LOASAL(-I) + 20.4513 * CONSAL Como se esperaba, la tasa de interés de préstamos cae cuando el banco pone fondos extras para préstamos. El coeficiente -112 significa que cuando el banco alcanza sus préstamos totales del 10% de ventas a1 1% sus tasas de préstamosdeclinan en l . 12porcentual en relación a los títulos comerciales. Veamos que el radio de ventas de construcción, CONSAL, tiene un importante efecto positivo sobre las tasas de interés de prestamos, tal como la teoría lo había sugerido. Sila construcciónseeleva de 30% de ventas a 31%, la tasa de interés de préstamo se elevaenbase de 20 puntos (0.2 puntos porcentuales). La ecuación se salva en disco con el nombre de “DEMAND”. En resumen hasta aquí tenemos que la primera ecuación nos dice como el banco toma sus decisiones sobre su cartera basado sobre las tasas de interés de los prestamos y los valores, la segunda ecuación nos dice como los clientes del banco se les necesita ofrecer una tasa más baja en orden de quc ellos pidan mhs prestado. Ahorasenecesitaresolverlasecuacionesconjuntamente en orden de encontrar que nivel de préstamos y tasas de interés de prestamos prevalecerán bajo condicionesdadas. En TSP ensamblamosen un archivomodelopararesolver el modelo planteado. El archivo contiene las ecuaciones del modelo y toda la información necesaria para resolverlo (los valores de lasvariables,ecuaciones, etc.) . Tres tipos de sentenciasaparecen enel mismo. Primero ASSIGN que agrega conveniencia al proceso de la solución, pero no es esencial; con esta sentencia se colocan los valores resueltos para una serie dentro de una serie con diferente nombre, de esta manera no revolvemos con los anteriores valores originales. Los ASSIGN se designan generalmente poniendouna “P” como prefijo a los nombre originales de las series. 72 Técnicas de Sirrlulaciórt Adatenrritica El segundo tipo de sentencia es la identidad. No todo modelo tendrá identidades, pero generalmenteseagregan a la convenienciadel proceso. En nuestro caso lasidentidadesson importantes. Estas nos informan el proceso de solución que la variable LOAN es el producto de las variables LOARAT y PORT, y que la variable LOASAL es el radio de LOAN para SALES. Estas tambiénnosdicenque RLOAN puede ser calculada como lasuma de SPREAD y RCP6M. El tercer tipo de sentencia es l a ecuación estimada. Estas se colocan dentro del archivo de las ecuaciones que se almacenaron en las pasadas corridas (las salvadas bajo el comando STOREQ. El archivo a editar queda como: ASSIGN LOARAT PLORAT LOAN PLOAN SPREAD PSPRED ASSIGN RLOAN PRLOAN LOASAL PLOASA LOAN=LOARAT*PORT RLOAN=SPREAD+RCPGM LOASAL=LOAN/SALES LOARAT= 0.2463987 +0.0278675*RLOAN -0.0273581 *RSECU +0.6360296* LOARAT(-1) SPREAD = -4.2774769 +O. 1052452TREND -1 12.24961 *LOASAL + I 03.59053*LOASAL(-I) +20.451396*CONSAL elmismo se edita en TSP con el comando EDlT LOAN, setranscribe como tal, pero al momento de escribir las ecuaciones de LOART y SPREAD, dado que ya están salvadas enel disco entonces laspodemosmandar a llamarconel comando " .F '' y despuésescribir el respectivo nombre con el cual se grabaron (.F SUPPLY, .F DEMAND). Se sale del editor con el comando " .X , Así nuestro archivo modelo queda salvado bajoel nombre de LOAN. " Como primer tarea se creará una solución base. Para esta solución se usarán los actuales datos históricos para las variables exógenas. Los valores resueltos para las variables endógenas (LOAN y RLOAN, y lasvariablesderivadas de ellas)sinembargo,noseránexactamente igualcs a los valores históricos. N o hay modelo que fije los datos precisamente. Las diferencias entre los valores resueltos y los actuales de las variables endógenas son llamadas los residuos estructurales. Esta simulación sólo tomará la ultima parte de los valores de la muestra, de 1976 a 1983. Esto se hace en TSP de la siguiente manera: SMPL 76 83 SOLVE LOAN a continuación se crean la siguiente serie adicional: 73 Técnicas de Sirttulnción Matemática GENR PSECU = PORT - PLOAN y entonces creamos una tabla para comparar las soluciones base (con los nombres iniciando con "P") a los datos históricos: SHOW LOAN PLOAN SECU PSECU RLOAN PRLOAN obteniéndose la siguiente tabla: - - - - - "_ """_ " obs LOAN --- "_ --- " . . - -. - - " PLOAN PSECU " SECU - - -- -- - --- ---- - -.---- " " PRLOAN - - - .. .. - . ..- - " - " RLOAN ......................................... 1976 1977 1978 1979 1 3 3 1 01. 90 80 0 1 4 5 3 51. 0 90 81 1982 1983 5 85 491 5081 .9780.20.8025.7.0804. 60786 015 43 1 4 6 760929511.59098.7051.8.0 8070.7.7 40841029535482 2 8779.000 8863.005 11374.00 11547.64 13342.26 15172.00 1 51 351 81213501.12310.3.30805..801910297 032 30 2 1 61 151470192541.79810.0.2 009..407030656082 51 1 2018.000 1986.000 1781.000 1757.000 ------"""""""""""""""""""""""""""""""""""~""" " " 1933.995 1812.360 1748.740 1120.000 10.06967 11.58872 12.88082 14.87114 10.19654 11.94053 12.57904 14.91955 ~ Excepto paraalgunosmovimientosdevalores en 1981 y 1983, el modelohace u n trabajo razonable de registro en historial en esta solución base, veamos que es aquí donde hay mayores residuos. A continuaciónsepide al modelo que simule el mercado de préstamosse la construcción ha sido 10% más alta de 1976 a 1983. Temporalmentesecambia la serie CONSAL: GENR CONSAL = l.l*CONSAL Volvemos a usar EDIT para editar un archivo modelo idéntico que LOAN, excepto que la sentencia ASSIGN llevará "S" en lugar de "P" al inicio de los nombres de las series. De esta manera podemos comparar las simulaciones de l a solución base. El nuevo modelo se guarda en un archivo llamado S I M L N . Se resuelve indicando en la línea de comando de forma igual: SOLVE SIMLN y también generamos la nueva serie: GENR SSECU = PORT - SLOAN 74 Tdcnicas de Simulacibn Afatenrdtictl obteniéndose la siguiente tabla: ~~~~~~~~~ ~~ ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PLOAN obs PSECU SLOW SSECU PRLOAN SR LOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5909.286 6955.177 8863.005 11547.64 13342.26 15172.00 15451.88 15727.24 5909.286 6955.177 8863.005 11547.64 13342.26 15172.00 15451.88 15727.24 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 8.465414 8.415422 10.19654 11.94053 12.57984 14.91955 13.17282 12.36244 8.465414 8.415422 10.19654 11.94053 12.57984 14.91955 13.17282 12.36244 1807.714 1950.823 1933.995 1812.360 1748.740 1119.999 1133.120 1480.760 1807.714 1950.823 1933.995 1812.360 1748.740 1120.000 1133.120 1480.760 ....................................... Recordemos,que la íüerte construcción significa más demanda de préstamo. Ambos, el volumen de préstamos y la tasa de interés sobre préstamos son más altas en la simulación que en la solución base. Antes de continuar con otras simulaciones, restauremos el valor de la variable CONSAL a sus valores originales conel comando: GENR CONSAL = CONSAUI .I Nuestra siguientesimulaciónbusca el impactodelcambio de oferta enel mercado de préstamos. Ahora nos interesa como se verían las cosas si la cartera del banco íüera 10% más klta, esto se hace en la línea de comando como: GENR PORT = PORT * 1.I Una vez más resolvemos la versión del archivo SlMLN, pero ahora cambiamos a las variables en lugar de una "S" alinicio de los nombre le ponemos una "Q", y lellamamosal archivo SIMLN2. Análogamente pedimos resolver el nuevo modelo y generamos la nueva serie QSECU. Obteni6ndose la siguiente tabla: ~ ~ obs "_""""""""" 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 ~ ~ P P P PLOAN * ~ ~ ~ ~ ~ ~ 3 ~ PSECU 6242.584 7292.281 9273.850 12064.43 13949.71 15915.71 16239.58 16534.23 1 8 0 7 . 114 1950.823 1933.995 1812.360 1748.740 1120.000 1133.120 1480.760 - 5909.286 6955.177 8863.005 11547.64 13342.26 15172.00 15451.88 15727.24 1 QLOAN ~ 3 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ QSECU FRLOAN 2246.116 2504.319 2602.851 2631.570 2650.390 2005.489 2003.920 2394.570 8.465414 8.415422 10.19654 11.94053 12.57984 14.91955 13.17282 12.36244 ~ ~ " - ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Ql<l.OAlr ~ . ~ ~ .. 7.373594 7.800468 9.591562 11.29753 12.00061 14.37209 12.66713 11.85525 Como vemos una más alta oferta hace que el volumen de préstamos elevarse (comparar QLOAN con PLOAN) pero provoca una caídaen la tasa de interés de préstamo. 75 ~ - ~ . - ~ Técnicas de Sirnulaciórl Malenralicn Esta última simulación supuso que la tasa sobre valores y títulos comerciales había sido en base 50 puntos más alta GENR RSECU = RSECU + 0.50 GENR RCPGM = RCPGM + 0.50 los resultados son: ....................................... obs QLOAN PLOAN QSECU PSECU PRLOAN QRL0AI.J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " " " 5691202848192072.9.44 7.2.73 656 .867.856113414515944 6791252998 155572.9004.17482.1778.08573201413129628 1978 1 97 9 1980 1981 1982 1 5 7 2 71.92843 ""- " " " 8 89 6213792.3510.3090.2.5915.090955115 46 7 1 1 125201151571324. 1 6.1. 934.. 245639070'50135 3 1 31 31 4972 2461.985212.0.2575. 14370 090 08 46 1 15172.00 15915.71 15451.88 16239.58 16534.23 1120.000 1133.120 1480.760 ~ . - 2005.489 2003.920 2394.570 . "" 14.91955 13.17282 12.35244 14.37209 12.66713 11.85525 ~._ . ~ ~ Técnicas de Sintulación A4atemáfica Anexo l. Hasta aquí se ha explicado el proceso de la simulación para este problema, pero nuestro trabajo no para aquí, cuando se hace una simulación lo que se persigue es poder predecir en base a varios casos de la misma, i.e. para los casos extremos e intermedios hablando de número de descomposturas y en total del monto promedio de estas durante el tiempo trabajado enel proceso, para este caso se trabajó para 10 días. Basándomeenlo anterior se ha procedido a realizar otras simulacionesdel proceso obteniéndose los resultados condensados en la tabla que aparece al final de la sección presente. A continuación se muestra en resumen lo obtenido: I Descomposturas O 2 3 5 I Costo Promedio (N$)I O 11,385 9.270 10.452 I Como puede verse en el ejemplo muestra del capítulo sucedió el caso extrenlo en que ocurrieron cinco descomposturas, mientras que en otras corridas se tuvieron cero, dos y tres; pero el caso extremo en costo promedio se obtuvo para el caso de dos descomposturas. Así entonces podemos hacer la recomendación - tomando la cota máxima de costo - al encargado de dicha área de que cuente con la cantidad de N$ 11400 para poder hacer frente a esta situaci6n en el caso extremo. 77 Anexo 2. Algoritmo para el cálculo de tablas de valores de la función de distribución de la variable aleatoria normal estándar. El algoritmo permite calcularla fhción de distribución a partir de la hnción de densidad, tal como muestran las ecuaciones: @(E) = j‘ #(E)JE = 0.5 + r # ( ~ ) d ~ , -m O P = 1- @ ( E ) . Para la aproximación numérica de las integrales se usa el método de Simpson con una partición de N=80 para asegurar una buena aproximación. Dada la simetría de la distribución normal respecto al origen, sólo se considera la mitad de la misma, los cálculos se realizan en tres pasos fundamentales: l . Los valores de q$ son calculados de acuerdo a los correspondientes q =jh para j=O,1,2,... ,H. 2. Los valores son obtenidos en los puntos alternosj=O, 2, 4, ...,II donde u es par, por repetidas iteraciones de la regla de Simpson 3. El valor de cP correspondiente a I), ¡.e. para @=l-Z’ se encuentra por interpelación lineal para E entre dos consecutivos valores de 0. El diagrama de flujo para el algoritmo se presenta a continuación. 78 Tdcnicm de Simulncidn hlatemdticn .................................................................. v ' PI.PAh,...S, n, q. j=O, 1, + El t j h ...,n ................................................................................................... +I . I h +4mj-,+@,I <Dl j=2,4, ..,n 1 2 <Do t - .............................................................. v t j=O. 2,..., n 'Yk m, ' Y & A ..................................................................... \ El programa elaborado en lenguaje Turbo Pascal es el siguiente: I lprogram dist-normal; (programa para el c a l c u l o d e l a funcion de Distribucion del a variable aleatoria Normal) uses crt, printer; type VECTORl-array[O..lOO] VECTORZ=array[l..20] var of real; of real; N, k , NPROBS, j sigma, mu, DXI, R CAPPHI, PHI, XI PROB, X, Y resp m, : integer; : real; : VECTOR1; : VECTORZ; :char; BEGIN 1 PRINCIPAL) clrscr; sigma : =1; (varianza , media) mu:-O; R:=l/(sigma+sqrt(2+pi)); N:-80; (particien Simpson's para rule) 79 Tkcnicns de Sintulocidn Motentdtico DXI:=0.05; [tamaoo del paso "h"1 [a continuacicn se piden los datos de entradal PROGRAMA PARA EL CALCULO DE LA EWNCION DE DISTRIBUCION'); VARIABLA UNA DE ALEATORIA NORMAL'); writeln( ' writeln( ' writeln; writeln ( ' Se considera para la aproximacien num,rica'); writeln ( ' un Tamaoo de paso h-0.05 y una particien de n-80'); write1n;writeln; writeln('1ngrese los datos siguientes: ' ) ; write('Tamaoo de la muestra: '1; readln(NPROBS1; FOR k:-1 to NPROBS DO begin write('Muestra ',k,' : '1; readln(PROB(k1); end; FOR j:=O to N DO begin XI[j] :=j*DXI; PHI[j]:=R*exp(-sqr( XIIj1-mu )/(2*sqr(sigma))); end ; CAPPHI[Ol:-0.5; FOR j:-1 to 40 DO [Termina hasta la mitad de la particicn N-801 begin C A P P H I [ 2 r j ] : = C A P P H I [ 2 * j - 2 1 + D X I * ( P H I [ 2 * j - 2 ] t 4 * F H I [ ~ * ~ - l ~ t P H )/3; ~[~*j~ end; FOR k:-1 to NPROBS DO begin Y[kJ:~l-PROB[k]; rn:=O; while (rn<=40) DO [del while) begin j :=2+rn; IF CAPPHI(j1 > Y[kl THEN begin X[k]:=XI[j-Z]t2~DXI+(Y[k]-CAPPHI(J-2])/(CAPFHI[j~-CAPPHI[j-2l~; m:=41; end ELSE BEGIN rn:=mtl; END; end; end; writeln('A continuacicn se mostraran los resultados.'); I [a continuacicn se listan los resultados1 writeln('V.N.E. FunciCn de FunciCn de ' 1 ; writeln(' (Xi) densidad distribuciCn'); FOR j:-O to 40 DO begin writeln(XI[2+jl:l:3,' ',PHI(2*jI:l:5,' ',CAPPHI[Z+JI:1:5); i f (j=15) or (j-30) then begin writeln('pu1se una tecla para continuar...'); resp:=readkey; resp:=readkey; end; end; writeln; writeln ( ' PROB XI'); FOR k:=l to NPROBS DO begin ',X[kJ:1:4); writeln(PROB[kj : 1 : 4 , ' end; END. { PRINCIPAL] I Como ejemplo se corrió el programa con seis valores de probabilidad: 0.2, O. 1, 0.05, 0.02, 0.01, 0.005, 0.002, 0.001; obteniendose la siguiente corrida: 80 Tdcnicas de Simulacidn h~atembtica 'ROGRAMA PARA EL CALCULO DE LA FUNCION DE DlSTRlBUClON DE UNA VARIABLAALEATORIA NORMAL Se considera para la aproximaci6n nurnbrica un TamaAo de pasoh=0.05 y una partici6n den=80 Ingrese los datos siguientes: TqmaAo de la muestra: 8 Muestra 1 : 0.2 Muestra 2 : 0.1 Muestra 3 : 0.05 Muestra 4 : 0.02 Muestra 5 : 0.01 Muestra 6 : 0.005 Muestra 7 : 0.002 Muestra 8 : 0.001 A continuaci6n se mostraranlos resultados. 2 3 0.0010 V.N.E. Funcl6n de (XI) densidad 0.OOO 0.39894 2.700 0.39695 0.100 2.800 2.900 0.200 0.391O4 0.38139 0.300 791 0.400 0.36827 3.100 0.500 0.35207 0.33322 0.600 3.300 0.700 0.31 225 3.400 0.28969 0.800 0.900 0.26609 3.600 1.o00 0.24197 0.21785 1.100 1.2000.1941 9 3.900 0.17137 1.300 4.000 1.W 0.14973 1.500 0.1 2952 1.S00 0.11092 0.1 . 1.700 0.09405 0.07895 1.800 1.900 0.06562 28 0.05399 2.000 0.04398 2.100 0.03547 2.200 0.02833 2.300 0.02239 2.$00 Funcidn de distrlbucl6n 0.5oooO 0.53983 0.57926 0.61 0.65542 0.69146 0.72575 0.75804 0.78814 0.81594 0.84134 0.86433 0.88493 0.90320 0.91924 0.93319 0.94520 0.95543 0.96407 0.971 0.97725 0.98214 0.98610 0.98928 0.99180 0.99379 0.01753 2.500 0.99534 2.600 0.01358 0.99653 3.000 0.00595 0.99813 0.00443 0.99865 3.200 0.00238 0,99977 3.500 0.00087 0.99989 0.99993 3.700 3.800 0.00042 0.00029 O.OOO20 PROB 0.99931 0.99995 XI 0.2OoO 0.8427 1.2825 000 0.05oO 1.6469 2.0563 2.3287 O.OO50 2.5781 0.0020 2.8805 0.0200 0.0100 81 Tkcnicas de Sirttulacih Matem6tica Anexo 3. Tambitn se implement6 el programa NCSS para comparar la aproximaci6n y obtener los intervalos de confianza para los padmetros, el listado generado p o r el mismo se presenta a continuacibn,los valores se resumen al final: I "_""--""""_"-"~"-"'. I Multiple Regression------------------------------ Date/Time 09-17-1996 00:05:32 Data Base Name C:\MATE\NCSS\SEMIZ-S Description Data base created at 23:44:48 on 09-16-1996 Descriptive Statistics Co 1 umn Mean 1732.467 3.828667 5.046667 63.64667 x2 x3 x4 Y Standard Deviation 259.8183 .5241301 2.604081 19.14258 Correlations x2 0.1327 x2 1.0000 X3 x4 Y- -0,1489 O . 3022 x3 0.1327 1.0000 -0.072J 0.4506 x4 -0.1489 -0.0727 l. O000 0.0403 Y O. 3022 0.4506 0.0403 1.0000 Multiple Regression Report Dependent Variable: Y Independent Parameter Stndized Standard t-value Variable Estimate Estimate Error (b=O) Intercept -33.19785 0 . 0 0 0 0 48.7501 -0.68 x2 .1933E-01 0.2624 .1928E-01 1.00 x3 15.47965 0.4238 9.475592 1.63 x4 .E10197 O. 1102 1.911621 0.42 Prob. Seq. Level R-Sqr 0.5100 0.3376 0.0913 0.1306 0.2629 0.6799 0.2747 Simple R-Sqr 0.0913 0.2031 0.0016 Analysis of Variance Report Dependent Variable: Y Source Constant Mode 1 Error Total df 1 3 11 14 Sums of Squares (Sequential) 60763.47 1409.381 3720.756 5130.137 Mean Square F-Ratio 60763.47 469.7938 338.2506 366.4 304 1.39 Root Mean Square Error Mean of Dependent Variable Coefficient of Variation 18.39159 63.64667 .2889639 R Squared Adjusted R Squared 0.2747 0.0769 Prob.Level 0.298 82 Tkcnicas de Sinrulacibn Aídenrálicn Individual Regressor Report Dependent Variable: Independent Variable: Y X2 1.933042202472733D-02 Parameter Estimate 6.172771E-02 (t = -2.306687E-02 95% Conf. Int. for b Std. Parameter Estimate .2623678 Standard Error 1.927932E-02 Variance of Parameter Prob. Level T for Parameter = O 1.002651 2.199) 3.716922E-04 0.3376 Simple Correlation Partial Correlation O . 3022 0.2894 Simple R Squared Partial R Squared Sequential R Squared Overall U Squared 0.0913 O . 0837 0.0913 0.2747 Sequential Sum Squares Last Squares Sum 468.4688 340.0461 Model Sum of Squares Total Sum of Squares 1409.381 5130.137 Mean Standard Deviation Diagonal of Inverse 1732.467 259.8183 1.098867E-06 R Squared with other Variance Inflation Tolerance Xs 0.0371 1.038514 O . 9629 Individual Regressor Report Dependent Variable: Independent Variable: Y X3 Parameter Estimate 15.47964801857494 95% Conf. Int. for b -5.358191 36.31749 (t * 2.199) Std. Parameter Estimate .4238378 Standard Error 9.475592 Variance of Parameter 89.78684 T for Parameter = O 1.633634 Prob. Level O . 1306 Simple Correlation Partial Correlation 0.4506 0.4419 Simple R Squared Partial R Squared Sequential R Squared Overall R Squared O . 2031 0.1952 0.2629 0.2747 Sequential Sum Squares Last Sum Squares 880.1528 902.7095 Model Sum of Squares Total Sun of Squares 1409.381 5130.137 Mean Standard Deviation Diagonal of Inverse 3.828667 .5241301 .2654448 R Squared with other Xs 0.0205 Variance Inflation 1.020893 Tolerance O . 9795 Individual Regressor Report Dependent Variable: Independent Variable: Y x4 - Parameter Estimate .8101969718550184 Conf. lnt. for b -3.393663 5.014057 (1 2.199) Std. Parameter Estimate .110216 Standard Error 1.911621 Variance of Parameter 3.654297 T for Parameter = O .4238271 Prob. Level 0.6799 q!)H Simple Correlation Partial Correlation 0.0403 0.1268 Simple R Squared Partial R Squared Sequential R Squared Overall R Squared 0.0016 0.0161 0.2747 0.2747 Sequential Sum Squares 60.75975 Last Sum Squares 60.75975 Model Sum of Squares Total S u m of Squares 1409.381 5130.137 Mean Standard Deviation Diagonal of Inverse R Squared with other Xs 0.0250 Variance Inflation 1.025657 Tolerance O . 9750 5.04 6667 2.604081 1.080352E-02 83 Tdcnicns de Simulación Matenrdticn Residual Analysis Predicted Value Actual Row Std E r r of Pred 11.2783 1 64.3 54.46085 2 45.4 43.72171 13.82452 9.49375 62.81733 3 26.6 8.955902 76.51078 4 87.5 71.33636 9.405558 5 71.3 67.04303 5.287903 6 82.4 55.42228 6.986746 7 26.3 57.7197 7.395299 8 61.6 59.95745 14.60645 9 52.9 7.074633 69.10323 10 64.7 74.69031 10.2189 1 1 64.9 6.339139 60.38582 12 70.5 60.21171 6.377019 13 87.2 12.61393 14 81.2 82.9529 58.36652 6.052013 15 67.9 Durbin Watson Statistic 2.404697 Y - Influence Row 1 2 Residual Rstudent 9.83915 0.6597 1.678291 0.1320 3 -36.21733 -3.0418* 4 10.98922 0.6666 5 -.364E-01 -0.0022 6 15.35697 0.8615 7 -29.12228 -1.9055 8 3.880299 0.2202 9 -7.057449 -0.6133 10 -4.403229 -0.2481 11 -9.790306 -0.6222 12 10.11418 0.5675 13 26.98829 1.6917 14 -1.752907 -0.1250 15 9.533478 0.5307 Press 6159.405 Hat Diag Lower95% Upper95% Mean Mean 9.83915 1.678291 -36.21733 10.98922 -.364E-01 15.35697 -29.12228 3.880299 -7.057449 -4.403229 -9.790306 10.11418 26.98829 -1.752907 9.533478 Analysis Cov Ratio .3760530 .5650169* .2664631 .2371265 .2615355 .O826663 .1443150 .1616862 .6307407*' ,1479685 .3087237 .1188015 .1202256 .4703942 .lo82832 79.26305 74.12331 83.69511 96.20577 92.02019 78.67169 70.78688 73.98276 92.0786 84.6611 97.16277 74.32626 74.23545 110.6923 71.67555 29.65866 13.32012 41.93956 56.8158 50.65253 55.41436 40.05768 41.45665 27.8363 53.54 535 52.21785 46.44537 46.18796 55.21353 45.0575 Residual 1.9789 3.3425 0.1453 1.6128 1.9826 1.1986 0.4956 1.7130 3.4205 1.6767 1.8195 1.4636 0.6081 2.7473 1.4692 Dfflts .5121156 .1504833 -1.833346* .3716462 -.131E-02 .2586273 -.7825583 .9672E-01 -.EO15755 -.lo33753 -.4157773 .2083701 .6253731 -.117777 .le49357 MSE(I) 356.5601 371.4281 193.2578 356.2456 372.0754 346.3667 272.9612 370.2795 358.5871 369.8001 358.21 360.4668 289.2853 371.4955 361.8832 Cook's D .6911E-01 .O062166 .4800952 .3637E-01 .4685E-06 .1712E-01 .123548 .2560E-02 .1702884 .2921E-02 .4577E-01 .1157E-O1 .8362E-O1 .38096-02 .9148E-02 ........ ...... .............. .. ...... .. ........ Residual ........ ...... .... P.. .l.o...t. ............ ................ .............. ........ * 26.98829' 0 O 0 R O 0 e O S O I d O * 0 * * O * * o * o 0 oo*""""""~"""""""""""""""""""""""-~o * O Y * O 0 * O 0 O Y o 0 O 0 O 0 O 0 * O 0 O 0 -36.21733O h.. ...... ...... ...... * .. .. ........ .............. .. .... .... .. .... ...... ....,. ................ .. .. .................... ..h 1114 0 2026 x2 84 Técnicas de Sinrulocicin Alatenrdica R e s i d u a lP l o t 6 ............................................................................................................................ t 26.98829O O O O t O t O* t t * O 00"""""""t"""""-t"""""""""""""""""-o * O O Y + O o t O o t O 0 O O O O O o O o t o o -36.21733' t k ............................................................................................................................ 2.95 o % 4.96 x3 R e s i d u a lP l o t E: ............................................................................................................................ >> t 26.98829' O O * O O t * O + * O O c o gO""""""-*"""-"""""""-t""""""""""""-o * O o t O *O * O Y O O O O O O O O O O o t O -36 O 21733O* k .........." ................................................................................................................ 1.1 O 4 12.2 x4 R e s i d u a lP l o t 6 ............................................................................................................................ 26.98829" * O >> O o O O O O t O o O * t O * O O t * O * O *O O * O O O O O o O o O O O t O O O -36.21733O k .......................... t ...... .......... ......................... , 43.72171 ..................,. ...................................... o 4 82.9529 Yhat 85 Técnicas de Sinlulaciórl hiatenlátictl Residual Autocorrelation Plot .. .............................................................................................................. .'>> , * O o O * o O * o t * o ~o"""""""~""""""""""""""-*-~---------------~ * O *O * O Y Y * O O O O O o O O O O O O t o O * .......................................................................................................................... -36.21733' -36.21733 0 r, 26.98829 Residuals Lagged One Normal Probability Plot ............................................................................................ ................................. *O 26.98829' O O o O O * O O * O * + * O O * O O ~0""""""""""""""*"*"""""""""""""""~ O t * O O * * O O O O O o , O O O O o * O O O O O -36.21733O* B ............................................................................................................................ -1.711675 r, 1.711675 Expected Normal Quantiles Rstudent versus Hat Diagonal ............................................................................................................................ 1.691712' * O O O* o ** t t * O Oo""""""""""*"""""""-"""""""""*"""-o O * * O O t * O O O O O * e ............................................................................................................................ -3.041844' t 0826663 .6307407 Hat Diagonals O r, Técnicas de Sinlulncibn hfntenraticn Láminas. T 1 L I I 1I --"-- Lámina 1. 87 i Lámina 2. 88 Técnicas de Simulación Aídemiticn BIBLIOGRAFÍA l . Apostol T.M., “Análisis Matemático”, 2” edición, Editorial Reverté s.a. 2. Burden R. L., Faires J. D., “Análisis Numérico”, Grupo Editorial Iberoamérica. 3. Carnahan B., “Applied Numerical Methods”, John Wiley. 4. Freedman A., “Diccionario De Computación”, Mac GrawH i l l . 5. Gordon G., “System Simulation”, 2” Edición, Prentice Hall. 6. Gujarati D., “Econometría”, 2” Edición, Mac Graw Hill. 7. Hall O. P., “Computer Models For Operations Management”, Pepperdine UniversityAddison Wesley Publishing CompanyInc. 8. Hintze J. L. , “Number Cruncher Statical System User’s Manual” ver. 5.03. 9. Larson H. J., “Introducción A La Teoria De ProbabilidadesE Inferencia Estadística”, Grupo Noriega Editores. 10. Levine G., “Introducción A La Computación Y A La Programación Estructurada”, Mac Graw Hill. 11. Lilien D. M., Hall E., “Micro TSP User’s Manual” ver. 7, Quantitative Micro Software. 12. 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