Leyes de descuento

Leyes de descuento
[4.1] ¿Cómo estudiar este tema?
[4.2] Descuento simple
TEMA
[4.3] Descuento compuesto
Matemáticas para la economía
Esquema
TEMA 4 – Esquema
Matemáticas para la economía
Ideas clave
4.1 ¿Cómo estudiar este tema?
Para estudiar este tema debes leer el capítulo 3 (páginas 47–69) del manual de la
asignatura Fundamentos y Práctica de las Matemáticas Financieras, de Miguel
Córdoba Bueno.
En este tema aprenderemos conceptos fundamentales de las Leyes Financieras de
Descuento que, como indicábamos en el tema anterior, son un caso particular de Ley
Financiera en la que se calcula el valor de un capital en el momento de tiempo anterior
al del nominal que existirá posteriormente:
,
P
C
s
t
El tema se estructura en dos apartados fundamentales:
Descuento simple
Descuento compuesto
2.2. Descuento simple
Las Leyes de Descuento proyectan hacia atrás los capitales conocidos en el futuro
obteniendo capitales de cuantía inferior equivalentes en el tiempo. Esta diferencia entre
capitales vendrá definida por los descuentos generados durante el periodo de cálculo a
una tasa de descuento predeterminada. Es decir, el capital inicial será igual a otro
capital final descontando los intereses durante un determinado periodo.
Teniendo en cuenta que los principios y fundamentos en los que se basan las leyes
financieras de capitalización y descuento son los mismos, la gran diferencia es que en
capitalización la referencia es el punto final de la operación y en las leyes de descuento
el inicial.
TEMA 4 – Ideas clave
Matemáticas para la economía
Según el sistema de descuento que usemos, los descuentos variarán y darán lugar a
distintas proyecciones financieras para un mismo capital final conocido.
Descuento simple comercial
Al igual que en la Capitalización simple, el sistema de Descuento simple comercial
se usa principalmente en operaciones con duraciones menores a un año, es decir,
operaciones a corto plazo.
Si en las Leyes de capitalización teníamos un tipo de interés o tasa de capitalización, en
función del capital inicial
, en las Leyes de descuento tendremos una tasa de
descuento en función del capital final
.
CF
C0
t
t0
La representación gráfica de este sistema nos muestra como teniendo un capital final
conocido, lo descontamos con la tasa de descuento al momento actual, obteniendo una
cuantía inferior proporcional al periodo de cálculo y, por supuesto, el capital final.
Si denominamos
al descuento total, durante todo el periodo de la operación
financiera podemos definir:
En donde
es el descuento que produce el capital
por unidad de tiempo. O lo que
es lo mismo:
En donde
·
es la tasa de descuento simple comercial por unidad de tiempo.
TEMA 4 – Ideas clave
Matemáticas para la economía
Y despejando el capital inicial de las expresiones anteriores obtenemos:
·
·
Representando así la Ley financiera general del descuento simple comercial.
De la expresión anterior se deduce que en el resultado de la operación, el capital inicial
depende del capital final, de la tasa de descuento aplicado a la operación y del plazo de
la misma.
Y el descuento total de la operación vendría expresado por:
·
·
Como la tasa de descuento se refiere a unidades de tiempo, el período
lo
expresaremos en la misma unidad temporal como un cierto número de períodos
temporales
:
·
·
Y el descuento total como:
·
·
Donde se verifica que el capital inicial o proyección financiera es el resultado de restarle
al capital final el descuento total correspondiente a la tasa de descuento aplicada:
·
·
Podemos realizar una analogía entre el descuento
, en el Descuento simple, y los
intereses , en la Capitalización simple:
·
TEMA 4 – Ideas clave
·
· ·
Matemáticas para la economía
Descuento simple racional
Denominaremos Descuento simple racional o ley de Descuento simple
matemático a la inversa de la Capitalización simple. Las operaciones de
descuento se expresarán en función de la tasa de interés, en lugar de en función de la
tasa de descuento.
Teniendo en cuenta las mismas consideraciones que para la capitalización simple,
calculamos el capital inicial:
·
Pero, ¿qué relación hay entre la tasa de interés y la tasa de descuento? Asumiendo que
los capitales iniciales y finales son idénticos, podemos sustituir la fórmula del
descuento simple en la ecuación de la capitalización simple obteniendo:
·
·
·
·
·
·
De donde despejando obtenemos:
·
Interés simple frente a descuento simple
La fórmula que describe la evolución del capital en el tiempo en la Ley de capitalización
simple representa una recta, mientras que la fórmula que describe la evolución del
descuento simple es una curva. En ambos casos, los capitales iniciales y finales son
idénticos. Pero el valor del capital en un periodo intermedio difiere. Para tasas de
interés positivas, el valor de la capitalización será siempre superior al valor del
descuento para cualquier momento intermedio de la operación:
TEMA 4 – Ideas clave
Matemáticas para la economía
CF
Ley de capitalización
Ley de descuento
C0
t
t0
4.3. Descuento compuesto
De forma análoga a la Ley de capitalización compuesta, en la Ley de descuento
compuesto el descuento es acumulativo. Es decir, el capital descontado en un
periodo pasa a ser el capital a descontar en el siguiente periodo y entre periodo y
periodo. Del mismo modo, el descuento compuesto se usa para periodos superiores al
año.
En este caso, el capital del que partimos será
momento inicial
y calcularemos el valor del capital en el
.Veamos una representación gráfica del funcionamiento:
Cm
Cm-1
…
C2
C1
C0
t0
t1
t2
…
En donde se verifica que el capital final
instante
, y por tanto
y
tm-1 tm
coincide con el valor del capital en el
.
Comprobamos cómo a diferencia de la capitalización, lo que estamos proyectando un
capital futuro hacia un tiempo actual.
TEMA 4 – Ideas clave
Matemáticas para la economía
,
C0 C1
t0
d1
t1
C2
…
t2
…
d2
Cm-1
Cm
tm-1 tm
dm
Como vemos en el esquema anterior, tenemos un capital final
que descontamos
sucesivamente en cada subperíodo en el que está divido el plazo de la operación
generando capitales de cuantía cada vez más pequeños, hasta llevar al capital actual o
proyección financiera.
Tenemos que señalar que lo normal en España es que los instrumentos
financieros emitidos a descuento no tengan un periodo de emisión
superior al año, con lo que este sistema no es usado habitualmente para descontar
ningún instrumento financiero.
Como en la formulación de la Capitalización compuesta, para obtener la expresión
matemática que definen la Ley de descuento compuesto, partiremos de la hipótesis de
que los tipos de interés varíen entre los distintos periodos de descuento para suponer
con posterioridad que el tipo de interés se mantiene constante durante el tiempo de la
operación.
Para ver cómo se produce la evolución del capital en el caso del descuento
compuesto, aplicaremos la expresión de la ley de descuento simple para cada uno de
los periodos, de manera que el capital inicial de cada periodo sea igual al capital final
del anterior:
· 1
·
· 1
·
· 1
·
…
· 1
·
· 1
·
Y substituyendo los sucesivos valores intermedios del capital
capital final
obtendremos la siguiente expresión:
TEMA 4 – Ideas clave
,
en la fórmula del
Matemáticas para la economía
· 1
· 1
·
· 1
·
·
·
· 1
· 1
·
·
Con lo que se obtendría la expresión matemática generalizada para el cálculo del
descuento compuesto de una determinada operación con capital inicial
·
·
son homogéneos,
Y simplificamos considerando que los periodos temporales
,
es decir
…
:
. Así se obtendría:
·
·
De la misma forma, considerando que el tipo de interés permanece constante durante
,
todo el periodo de la operación
·
…
·
, se simplificaría la expresión a:
·
·
Finalmente, en el caso más particular en el que los periodos temporales
una anualidad
representan
:
·
Sin embargo, como se indicaba anteriormente, los mercados trabajan generalmente con
tipos de interés en lugar de tipos de descuento. Es por ello que tendremos que sustituir
a tasa de descuento por la tasa de interés para cada uno de los períodos de descuento:
·
TEMA 4 – Ideas clave
Matemáticas para la economía
Y sustituyendo en la expresión general obtendremos:
∏
·
Que constituye la fórmula general del descuento compuesto en función de los tipos de
interés de cada periodo. Y aplicando las hipótesis de simplificación anteriores
obtenemos:
TEMA 4 – Ideas clave
Matemáticas para la economía
Lo + recomendado
Lecciones magistrales
Convenciones de fechas en finanzas
El profesor Ruíz Cueva explica en esta lección magistral que las operaciones financieras
hacen referencia a la “fecha valor” del producto financiero correspondiente. Este
concepto indica la fecha efectiva a partir de la cual comienza a devengar interés la
operación, con independencia del día de la contabilización de la operación. Dichas
divergencias contables deberán ajustarse a las limitaciones establecidas en la Circular
del Banco de España 8/1990.
El vídeo está disponible en el aula virtual
TEMA 4 – Lo + recomendado
Matemáticas para la economía
No dejes de leer…
Operaciones financieras: leyes de descuento
Muy interesante la lectura de las leyes de descuento que podrás encontrar en los
capítulos 1 y 2. Aquí podrás encontrar conceptos básicos de finanzas y en particular de
las leyes financieras de descuento simple y compuesto.
La lectura está disponible en el aula virtual o en la siguiente dirección web:
http://www.matematicas-financieras.com/Prologo-P1.htm
No dejes de ver…
Valor actual neto
Serie de clases magistrales sobre el valor actual neto impartidas por el profesor Xavier
Puig, de la Universitat Pompeu Fabra de Barcelona. Te recomendamos las clases en las
que explica la formulación, interpretación y un ejemplo del valor actual neto.
Los vídeos están disponibles en el aula virtual o en las siguientes direcciones web:
Formulación: http://sclipo.com/videos/view/matema-tica-financiera-ba-sica-capatulo-3-van-formulacia-n-y-ca-lculo
Interpretación: http://sclipo.com/videos/view/matema-tica-financiera-ba-sica-capatulo-4-van-uso-e-interpretacia-n
Ejemplo: http://sclipo.com/videos/view/matema-tica-financiera-ba-sica-capa-tulo-5van-un-ejemplo
TEMA 4 – Lo + recomendado
Matemáticas para la economía
+ Información
A fondo
Curso de matemáticas financieras
Curso editado por el sitio web Valor y Empresa sobre matemáticas financieras. Muy
recomendables las clases 3 a 9 y las lecciones 10 a 14 relativas al descuento financiero.
El curso está disponible en el aula virtual o en la siguiente dirección web:
http://www.valoryempresa.com/archives/cursos/maths2/matefinancindice.htm
Webgrafía
Operaciones financieras a corto y Leyes financieras simples
En esta web encontrarás información sobre operaciones financieras, capitales
equivalentes, leyes financieras en el corto plazo, aplicaciones prácticas de las leyes de
descuento, etc.
http://www.ciberconta.unizar.es/leccion/operfincp/100.HTM
TEMA 4 – + Información
Matemáticas para la economía
Interés y descuento
Información sobre el interés simple, el valor actual, las tasas equivalentes, el descuento,
el interés compuesto, etc.
http://www.monografias.com/trabajos30/interes-simple-compuesto/interes-simplecompuesto.shtml
Descuento simple
Aquí encontrarás contenidos teóricos y prácticos sobre la operativa financiera y su
posterior reflejo contable desde el punto de vista de la empresa.
http://www.finanzasycontabilidad.co.cc/2009/11/herramientas-financierasdescuento.html
TEMA 4 – + Información
Matemáticas para la economía
Matemática financiera aplicada al negocio bancario
En esta página web tienes información sobre operaciones de descuento, descuento
simple y descuento compuesto.
http://www.zonabancos.com/ar/analisis/columnas/10-matematica-financieraaplicada-al-negocio-bancario-14411-operaciones-de-descuento.aspx
Leyes de descuento
Más información sobre descuento comercial, descuento racional y descuento
compuesto.
http://cienciasempresariales.info/leyes-de-descuento/
Bibliografía
GIL, L. Matemática de las operaciones financieras. Editorial AC. Madrid. 1997.
TEMA 4 – + Información
Matemáticas para la economía
Actividades
Trabajo: Expresión matemática de la Ley de descuento compuesto
racional
En esta actividad debes obtener la expresión matemática de la Ley de descuento
compuesto racional. Al igual que en el caso de la Ley de descuento simple racional, el
cálculo del capital actual se realiza en función de la tasa de interés. Así,
partiendo de la Ley de capitalización compuesta obtendremos la tasa de descuento en
función de la tasa de interés.
TEMA 4 – Actividades
Matemáticas para la economía
Test
1. Una empresa descuenta una letra de cambio de 12.500,00 € con vencimiento en 30
días. ¿Qué cantidad de dinero recibirá si le aplican un tipo de descuento del 2,5%?
A. 12.526,04 €
B. 12.526,09 €
C. 12.473,96 €
D. 12.474,01 €
2. ¿Qué Ley de Descuento se utiliza en los efectos y letras de cambio?
A. Ley de Descuento Simple Comercial
B. Ley de Descuento Simple Racional
C. Ley de Descuento Compuesto Comercial
D. Ley de Descuento Simple Comercial o Racional indistintamente
3. Suponiendo plazo y tasa de descuento idénticas, ¿qué descuento es superior, el
racional o el bancario?
A. Son idénticos
B. El descuento Racional
C. El Descuento Comercial
D. Depende del plazo
4. El Descuento Racional Compuesto es recíproco a:
A. La Ley de Descuento Compuesto
B. La Ley de Capitalización Simple
C. La Ley de Descuento Simple
D. La Ley de Capitalización Compuesta
5. ¿Qué descuento comercial produce un efecto cuyo valor nominal es de 9.000,00 € y
con fecha de vencimiento a dos meses si el tipo aplicado es del 3,0 %?
A. 44,77 €
B. 45,00 €
C. 44,27 €
D. 45,27 €
TEMA 4 – Test
Matemáticas para la economía
6. ¿Cuál es la fecha de vencimiento de un pagaré de valor nominal 7.500,00 € por el
que se anticiparon 7.436,25 € aplicando un descuento del 3,4%?
A. 90 días
B. 93 días
C. 89 días
D. 91 días
7. Si una entidad financiera desea ganar el 5% de interés simple en el descuento de
documentos, ¿qué tasa de descuento debe aplicar si el plazo es de tres meses?
A. 4,937%
B. 5,063%
C. 5,062%
D. 4,938%
8. Si descontamos letras por valor de 10.000,00 € con vencimiento dentro de diez
años, y pretendemos obtener hoy 5.083,49 €, ¿a qué tipo de interés se ha de realizar el
descuento?
A. 7%
B. 6%
C. 5% D. 8% 9. Tenemos el derecho de disponer de un capital de 15.000,00 € dentro de tres años.
¿Cuál será su valor equivalente a día de hoy si la tasa de descuento es del 3,5%?
A. 13.479,13 €
B. 13.425,77 €
C. 13.529,14 €
D. 13.556,77 €
10. Los Descuentos Comerciales y Racionales se diferencian en:
A. El tipo de interés del comercial es mayor que el del racional
B. En el descuento racional los intereses se calculan sobre el capital inicial y en el
descuento comercial sobre el capital final
C. En el descuento racional los intereses se calculan sobre el capital final y en el
descuento comercial sobre el capital inicial
D. Son idénticos
TEMA 4 – Test