produccion ga m3s2

Reforma Curricular del Bachillerato Tecnológico
Profesores que elaboraron la guía didáctica del
módulo profesional de la carrera de técnico en:
Producción
NOMBRE
ESTADO
Margarita Soto Medina
Baja California
Cristóbal Meneses Hidalgo
Hidalgo
Beatriz Hernández Guerrero
Hidalgo
Coordinadores de Diseño:
NOMBRE
Cuauhtémoc Rogelio Gamboa Rico
ESTADO
Chihuahua
Directorio
Lic. Josefina Vázquez Mota
Secretaria de Educación Pública
Dr. Miguel Székely Pardo
Subsecretario de Educación Media Superior
Lic. Luis F. Mejía Piña
Director General de Educación Tecnológica
Industrial
Antrop. Ana Belinda Ames Russek
Coordinadora Nacional de Organismos
Descentralizados Estatales de CECyTEs
Lic. Elena Karakowsky Kleyman
Responsable de Desarrollo Académico de los
CECyTEs
Objetivo General
Al terminar este submódulo serás capaz de realizar diversos estudios de
análisis de la calidad que te servirán tanto en el ámbito laboral, así como en tu
vida personal, ya que aprenderás a aplicar las herramientas de calidad, así
como la elaboración de graficas de control que te ayudaran a controlar los
diferentes procesos. Considerándose un nivel de competencia 2, debido a que
es importante y variada dentro de una gama de actividades laborales llevadas a
cabo en diferentes contextos. Algunas de las actividades son complejas o no
rutinarias y existe cierta autonomía y responsabilidad individual. A menudo
puede requerirse la colaboración con otras personas, quizás formando parte de
un grupo o equipo de trabajo.
Índice
I.
Mapa curricular
II.
Introducción al curso
III.
Desarrollo de competencias
IV.
Conclusiones de la guía de aprendizaje
V.
Fuentes de información
VI.
Glosario
VII.
Anexos
Mapa Curricular
CARRERA: TÉCNICO EN PRODUCCIÓN
Modulo III: Implementar Controles de Calidad del Producto
Submódulo II. Manipular el Proceso Productivo Mediante Graficas de Control Estadístico
Competencia 2
Controlar el proceso
productivo aplicando
gráficos de control
estadístico.
Competencia 1
Controlar las variables de un
proceso mediante herramientas
estadísticas básicas.
Habilidades y Destrezas
Habilidades y Destrezas
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Detectar anormalidades que
puedan estar ocurriendo en el
proceso.
Verificar el comportamiento del
proceso.
Calcular parámetros estadísticos.
Elaborar diagramas de causa y
efecto.
Elaborar diagramas de Pareto.
Elaborar histogramas.
Elaborar diagramas de
dispersión.
Realizar ajustes en los procesos
productivos.
Registrar evidencias y
desviaciones en el proceso.
Proponer alternativas para ajuste
del proceso.
• Registrar datos y variables del
proceso productivo.
• Calcular medidas de tendencia
central.
• Calcular medidas de dispersión.
• Elaborar gráficos por atributos.
• Elaborar gráficos por variables.
• Diagnosticar el comportamiento del
proceso productivo.
• Proponer alternativas para ajustar los
puntos fuera de control.
Conocimientos
Media
Mediana
Moda
Rango
Desviación estándar
Diagramas de causa y efecto
Diagramas de Pareto
Histograma
Diagramas de dispersión
Conocimientos
• Registrar datos y variables del
proceso productivo.
• Calcular medidas de tendencia
central.
• Calcular medidas de dispersión.
• Elaborar gráficos por atributos.
• Elaborar gráficos por variables.
• Diagnosticar el comportamiento del
proceso productivo.
• Proponer alternativas para ajustar
los puntos fuera de control.
Actitudes
Orden
Responsabilidad
Limpieza
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Actitudes
Orden
Responsabilidad
Limpieza
INTRODUCCIÓN
¡Hola que tal!, ahora que cursas el cuarto semestre de la carrera de
producción, modulo III, submódulo II, tendrás la oportunidad de conocer las
herramientas estadísticas básicas de la calidad y también como elaborar e
interpretar graficas de control para monitorear y controlar los diferentes procesos
productivos en una empresa.
Espero te sea de gran ayuda para terminar satisfactoriamente el submodulo y en tu
vida profesional.
También quiero que estés enterado de la manera en que se evaluarán las
competencias, habilidades y destrezas, que vas a adquirir durante el desarrollo del
submódulo, mismas que se harán de manera continua mediante la recopilación de
evidencias las cuales integraran tu portafolio de evidencias. Las evidencias se
clasifican de la siguiente manera:
Las actividades aplicando las herramientas básicas del control estadístico así como
la realización de gráficos de control estadístico corresponden a la siguiente
valoración:
Evidencias por desempeño 60%:
Evidencias por producto 30%:
Evidencias de conocimientos 0%:
Evidencias de actitudes 10%:
Orden
Responsabilidad
Limpieza
Te recuerdo que para que puedas acreditar el submódulo, siempre deberás cumplir
con todas las formas de evaluación, como son: por desempeño, por producto y por
actitud, mediante los instrumentos de evaluación correspondiente. Con lo anterior se
podrá afirmar que eres un individuo competente.
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Simbología
PRÁCTICA
EJEMPLO
ERRORES TÍPICOS
EJERCICIO
CONCLUSIONES
INTRODUCCIÓN
CONTINGENCIA
OBJETIVO
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Competencias, habilidades y destrezas
Módulo III
Submódulo
II
Implementar controles de calidad del producto.
Manipular el proceso productivo mediante gráficos de control
estadístico.
1. Controlar las variables de un proceso mediante
herramientas estadísticas básicas.
Competencias
a Desarrollar
2. Controlar el Proceso Productivo aplicando gráficos de
control estadísticos.
COMPETENCIA I.- Controlar las variables de un proceso mediante herramientas
estadísticas básicas.
Introducción
Bienvenido a la competencia “Controlar las variables de un proceso mediante
herramientas estadísticas básicas”. Todo proceso productivo es un sistema formado
por personas, equipos y procedimientos de trabajo.
El proceso genera una salida, que es el producto que se quiere fabricar. La calidad
del producto fabricado está determinada por sus características de calidad, es decir,
por sus propiedades físicas, químicas, mecánicas, estéticas, durabilidad,
funcionamiento, etc. que en conjunto determinan el aspecto y el comportamiento del
mismo es decir su calidad.
El cliente quedará satisfecho con el producto si esas características se ajustan a lo
que esperaba, es decir, a sus expectativas previas.
Por lo general, existen algunas características que son críticas para establecer la
calidad del producto. Normalmente se realizan mediciones de estas características y
se obtienen datos numéricos. Si se mide cualquier característica de calidad de un
producto, se observará que los valores numéricos presentan una fluctuación o
variabilidad entre las distintas unidades del producto fabricado.
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Como ya te habrás dado cuenta para desarrollar esta competencia será necesario
utilizar las herramientas básicas de la calidad las cuales te permitirán realizar un
análisis del comportamiento de un proceso o para las diferentes actividades de
acuerdo a tu entorno.
1. Calcular parámetros estadísticos.
HABILIDADES
RESULTADO DE
APRENDIZAJE
Al término de estas habilidades serás capaz de calcular
Parámetros estadísticos.
Desarrollo
INTRODUCCION
Por mucho tiempo, la palabra estadística se refería a información numérica sobre
los estados o territorios políticos. La palabra viene del latín “statisticus” que significa
“del estado”. Las estadísticas como las conocemos hoy día tomaron en
desarrollarse varios siglos y muchas mentes privilegiadas. John Graunt (1620-1674),
un inglés que estudiaba los expedientes de los nacimientos y muertes descubrió que
nacían más niños que niñas, pero también encontró que por estar los hombres más
expuestos a accidentes ocupacionales , a enfermedades y la guerra, el número de
hombres y mujeres en la edad de casarse era más o menos la misma.
Graunt fue el primero en publicar sobre el análisis estadístico y su trabajo llevó
al desarrollo de las ciencias actuariales utilizadas por las compañías de seguros.
¿Qué es estadística?
La estadística es una colección de métodos para planificar y realizar experimentos,
obtener datos y luego analizar, interpretar, y formular una conclusión basada en
esos datos. Es la ciencia encargada de recopilar, organizar, analizar e interpretar
información numérica o cualitativa, de manera que pueda llevar a conclusiones
válidas.
La estadística se puede definir como la ciencia que recopila, organiza, analiza
e interpreta la información numérica o cualitativa, mejor conocida como datos, de
manera que pueda llevar a conclusiones válidas.
La estadística descriptiva es la ciencia que recopila, organiza e interpreta la
información numérica ó cualitativa. Los periódicos, revistas, radio y televisión usan
la estadística descriptiva para informar y persuadirnos acerca de ciertas acciones a
tomar y en la formación de opiniones.
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La estadística inferencial es la ciencia que interpreta información de manera que
pueda llevar a conclusiones válidas. Los gobiernos y las organizaciones utilizan la
estadística para tomar decisiones que afectan directamente nuestras vidas.
Las medidas descriptivas son valores numéricos calculados a partir de la muestra y
que nos resumen la información contenida en ella.
Centralización: Indican valores con respecto a los datos que aparecen en el centro.
Dispersión: Indican la mayor o menor concentración de los datos con respecto a las
medidas de centralización
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Medidas de Tendencia Central
Nos dan un centro de la distribución de frecuencias, es un valor que se puede tomar
como representativo de todos los datos. Hay diferentes modos para definir el
"centro" de las observaciones en un conjunto de datos. Por orden de importancia,
son:
MEDIA: (media aritmética o simplemente media). es el promedio aritmético de las
observaciones, es decir, el cociente entre la suma de todos los datos y el numero de
ellos. Si xi es el valor de la variable y ni su frecuencia, tenemos que:
∑i xi
X =
n
Si los datos están agrupados utilizamos las marcas de clase, es decir ci en vez de xi.
MEDIANA (Me):es el valor que separa por la mitad las observaciones ordenadas
de menor a mayor, de tal forma que el 50% de estas son menores que la mediana y
el otro 50% son mayores. Si el número de datos es impar la mediana será el valor
central, si es par tomaremos como mediana la media aritmética de los dos valores
centrales.
MODA (M0): es el valor de la variable que más veces se repite, es decir, aquella
cuya frecuencia absoluta es mayor. No tiene porque ser única.
Medidas de Dispersión
Las medidas de tendencia central tienen como objetivo el sintetizar los datos en un
valor representativo, las medidas de dispersión nos dice hasta que punto estas
medidas de tendencia central son representativas como síntesis de la información.
Las medidas de dispersión cuantifican la separación, la dispersión, la variabilidad de
los valores de la distribución respecto al valor central. Distinguimos entre medidas
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de dispersión absolutas, que no son comparables entre diferentes muestras y las
relativas que nos permitirán comparar varias muestras.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTAS
VARIANZA (s2): es el promedio del cuadrado de las distancias entre cada
observación y la media aritmética del conjunto de observaciones.
donde:
n i = Frecuencia (f)
x i = Marca de clase
x = Media
n = # total de datos
Haciendo operaciones en la fórmula anterior obtenemos otra fórmula para calcular la
varianza:
n i = frecuencia (f)
Si los datos están agrupados utilizamos las marcas de clase en lugar de Xi.
DESVIACIÓN TÍPICA (S): La varianza viene dada por las mismas unidades que la
variable pero al cuadrado, para evitar este problema podemos usar como medida de
dispersión la desviación típica que se define como la raíz cuadrada positiva de la
varianza
Para estimar la desviación típica de una población a partir de los datos de una
muestra se utiliza la fórmula (desviación típica muestral):
RECORRIDO O RANGO MUESTRAL (Re). Es la diferencia entre el valor de las
observaciones mayor y el menor. Re = xmax – xmin
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EJEMPLOS 1
El número de días necesarios por 10 equipos de trabajadores para terminar 10
instalaciones de iguales características han sido: 21, 32, 15, 59, 60, 61, 64, 60, 71, y
80 días. Calcular la media, mediana, moda, varianza y desviación típica.
SOLUCIÓN:
La media: suma de todos los valores de una variable dividida entre el número total
de datos de los que se dispone:
La mediana: es el valor que deja a la mitad de los datos por encima de dicho valor y
a la otra mitad por debajo. Si ordenamos los datos de mayor a menor observamos la
secuencia:
15, 21, 32, 59, 60, 60,61, 64, 71, 80.
Como quiera que en este ejemplo el número de observaciones es par (10
individuos), los dos valores que se encuentran en el medio son 60 y 60. Si
realizamos el cálculo de la media de estos dos valores nos dará a su vez 60, que es
el valor de la mediana.
La moda: el valor de la variable que presenta una mayor frecuencia es 60
La varianza S2: Es la media de los cuadrados de las diferencias entre cada valor de
la variable y la media aritmética de la distribución.
S x2=
La desviación típica S: es la raíz cuadrada de la varianza.
S = √ 427,61 = 20.67
El rango: diferencia entre el valor de las observaciones mayor y el menor
R= 80 - 15 = 65 días
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EJERCICIO 1
El precio de un interruptor magneto térmico en 10 comercios de electricidad de una
ciudad son: 25, 25, 26, 24, 30, 25, 29, 28, 26, y 27 Euros. Hallar la media, mediana,
moda, desviación media, desviación estándar, rango.
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DATOS AGRUPADOS
Media
La media para datos agrupados es la siguiente:
x=
n = ∑ fi
donde
1 m
∑ xi f i
n i =1
es el total de datos, m el número total de clase y f i es la frecuencia
de datos.
La definición es claramente entendida como una extensión de la definición que
dimos para datos no agrupados, ya que es lógico suponer que datos xi que se
n
∑ xi
m
xi f i
∑
f
i
i
=
1
i
=
1
repiten con una frecuencia
pueden simplificar la suma
por,
supuesto
que los índices de la segunda suma con respecto a la primera corren con respecto a
menor número, es decir, con respecto al número de agrupamientos m.
La mediana
La extensión para el cálculo de la mediana en el caso de datos agrupados es realiza
a continuación:
n
− f acum (i −1)
Md = Li + 2
A
f mediana
Donde:
Md = Mediana.
Li = Limite inferior o frontera inferior de donde se encuentra la mediana, la forma de
calcularlo es a través de encontrar la posición n / 2 . En ocasiones en el intervalo
donde se encuentra la mediana de conoce como intervalo mediano.
n = Número de observaciones o frecuencia total.
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f acum (i −1)
= frecuencia acumulada anterior al intervalo mediano.
f mediana = Frecuencia del intervalo mediano.
A = Amplitud del intervalo en el que se encuentra la mediana.
Geométricamente la mediana se encuentra en el valor X que divide al histograma en
dos partes de áreas iguales.
La Moda
Para determinar la moda de datos agrupados en clases de igual tamaño su cálculo
se puede realizar de la siguiente forma:
Mo = Li +
∆f i
A
∆f i + ∆f s
donde:
Página 16 de 98
Li = límite inferior o frontera inferior.
∆f i = Exceso de la frecuencia modal sobre la clase modal inferior inmediata.
∆f s = Exceso de la frecuencia modal sobre la clase modal superior inmediata.
A = Anchura o intervalo de la clase modal.
En ocasiones la expresión para el cálculo de la moda suele presentarse de la
siguiente forma:
Mo = Li +
f m − f ( m−1)
2 f m − f (m−1) − f (m+1)
A
Donde:
f m = Frecuencia de clase modal
f ( m−1) = Frecuencia de clase premodal
f ( m+1) = Frecuencia de clase posmodal
Aunque la expresión se ve un poco diferente en realidad se trata de una misma
ecuación, ya que el exceso de la clase modal inferior se puede determinar como:
∆f i = f m − f ( m −1)
y el exceso de la clase modal superior se determina como
∆f s = f m − f ( m −1)
Por lo que basta sustituir estos valores en una de ellas para encontrar la otra
expresión.
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EJEMPLO 2
Calcular: a) media b) mediana c) moda d) varianza e) desviación estándar
(típica), f) rango
Supongamos que una clínica de salud, obtiene una tabla de edades de las personas
que son atendidas en un fin de semana, ¿Cuál será el promedio (media) de edades
de los enfermos que acudieron a recibir atención médica?
Tabla de frecuencias reportadas por la clínica
Clases
(Datos en años)
Punto
Frecuencias de cada
medio de
clase
cada clase
xi
fi
10 ≤ x < 20
15
8
20 ≤ x < 30
25
20
30 ≤ x < 40
35
14
40 ≤ x < 50
45
8
50 ≤ x < 60
55
2
60 ≤ x < 70
65
2
70 ≤ x < 80
75
1
55 enfermos
atendidos
a) Media:
x=
(15)(8) + (25 )(20 ) + (35 )(14 ) + (45)(8) + (55)(2 ) + (65 )(2 ) + (75 )(1) ≈ 32.45 años
53
Página 18 de 98
b) Mediana: Retomemos la tabla del ejemplo mostrado para determinar la media de
atenciones médicas brindadas por el hospital, adicionando la columna de la
frecuencia acumulada.
Tabla de frecuencias reportadas por la clínica
Clases
(Datos en
años)
Punto
Frecuencias
Frecuencias
medio de
de cada
acumulada
cada
clase
f acumulada
clase xi
fi
10 ≤ x < 20
15
8
8
20 ≤ x < 30
25
20
28
30 ≤ x < 40
35
14
42
40 ≤ x < 50
45
8
50
50 ≤ x < 60
55
2
52
60 ≤ x < 70
65
2
54
70 ≤ x < 80
75
1
55
55 enfermos
atendidos
Determinemos el dato medio de los datos, como n = 53 entonces n / 2 = 26.5
El intervalo mediano o la clase donde se encuentra la mediana se encuentra en la
segunda clase.
Li = 20;
f acum (i −1) = 8;
f mediana = 20;
A = 10
Sustituyendo en la ecuación tendremos
Página 19 de 98
n
− f acum (i −1)
2
Md = Li +
A
f mediana
55
−8
2
= 20 +
10 = 20.926
20
por lo que se puede concluir que el 50% de las personas atendidas en un fin de
semana por el hospital tienen una edad inferior a los 20.926 años.
c) Moda: Identificamos que
Li = 20;
f m = 20 ;
f (m −1) = 8;
f ( m +1) = 14;
A = 10;
Sustituyendo tenemos
Mo = Li +
f m − f ( m −1)
2 f m − f (m −1) − f ( m +1)
A = 20 +
20 − 8
= 20.666
2(20 ) − 8 − 14
Pese a que el valor de la moda no pueda constituir un dato real, para el ejercicio,
se puede asumir que ese es el parámetro de mayor ocurrencia.
d) VARIANZA ( s2 ): es el promedio del cuadrado de las distancias entre cada
observación y la media aritmética del conjunto de observaciones.
donde:
f i = Frecuencia
x i = Marca de clase
x = Media
n = # total de datos
S2 =
∑ (x
− x ) fi
2
i
i
n
=
9843 .57
= 178.97
55
Página 20 de 98
Clases
(Datos en
años)
Punto
Frecuencias
medio
de cada
de
clase
cada
clase
2
2
(xi − x)2 (xi − x) fi (xi − x) fi
fi
xi
10 ≤ x < 20
15
8
(15 - 32.45)²
(304.50)8
2436.02
20 ≤ x < 30
25
20
(25 – 32.45)²
(55.50)20
1110.05
30 ≤ x < 40
35
14
(35 – 32.45)²
(6.50)14
91
40 ≤ x < 50
45
8
(45 – 32.45)²
(157.50)8
1260
50 ≤ x < 60
55
2
(55 – 32.45)²
(508.50)2
1017
60 ≤ x < 70
65
2
(65 – 32.45)² (1059.50)2
2119
70 ≤ x < 80
75
1
(75 – 32.45)² (1810.50)1
1810.5
55 enfermos
9843.57
atendidos
Haciendo operaciones en la fórmula anterior obtenemos otra fórmula para calcular la
varianza:
n i = frecuencia (f)
Si los datos están agrupados utilizamos las marcas de clase en lugar de Xi.
e) DESVIACIÓN TÍPICA (S): La varianza viene dada por las mismas unidades que
la variable pero al cuadrado, para evitar este problema podemos usar como medida
de dispersión la desviación típica que se define como la raíz cuadrada positiva de la
varianza
= 13.37
f) RECORRIDO O RANGO MUESTRAL (Re): Es la diferencia entre el valor de las
observaciones mayor y el menor. Re = xmax – xmin
R = 75 – 15 = 60
Página 21 de 98
EJERCICIO 2
La oficina del censo reportó las edades de los hombres y mujeres divorciadas de 15
años en adelante (en miles de personas):
Calcule:
La media aritmética, la mediana, y la moda, la desviación estándar, varianza rango
de los hombres y mujeres.
EDAD
15-24
25-34
35-44
45-54
55-64
65-74
75-84
Hombres
85
384
385
450
295
174
56
Mujeres
219
618
656
656
409
200
69
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HABILIDADES
RESULTADO DE
APRENDIZAJE
1. Verificar el comportamiento del proceso.
2. Detectar anormalidades que puedan estar ocurriendo en
el proceso.
3. Registrar evidencias y desviaciones en el proceso.
4. Realizar ajustes en los procesos productivos
5. Proponer alternativas para ajuste del proceso.
Al término de estas habilidades serás capaz de proponer
alternativas de solución para ajustar el proceso mediante
herramientas estadísticas básicas.
Desarrollo
INTRODUCCION
CALIDAD
HECHOS
Y
DATOS
TRABAJO EN
EQUIPO
Te preguntaras ¿Para qué se miden las características de calidad? El análisis de los
datos medidos permite obtener información sobre la calidad del producto, estudiar y
corregir el funcionamiento del proceso y aceptar o rechazar lotes de producto.
En todos estos casos es necesario tomar decisiones y estas decisiones dependen del
análisis de los datos. Como hemos visto, los valores numéricos presentan una
Página 23 de 98
fluctuación aleatoria y por lo tanto para analizarlos es necesario recurrir a técnicas
estadísticas que permitan visualizar y tener en cuenta la variabilidad a la hora de
tomar las decisiones.
Siguiendo el pensamiento del Dr. Kaoru Ishikawa, en la competencia siguiente
vamos a explicar algunas de estas técnicas, que se conocen como Las 7
Herramientas de la Calidad. Estas son:
1. Histogramas
2. Diagrama de Pareto
3. Diagramas de Causa-Efecto (diagrama de Ishikawa)
4. Estratificación
5. Hoja de Inspección (hoja de verificación, check list)
6. Diagramas de Dispersión
7. Gráficos de Control
HISTOGRAMA
¿Que son los histogramas?
Un histograma es un gráfico o diagrama que muestra el número de veces que se
repiten cada uno de los resultados cuando se realizan mediciones sucesivas. Esto
permite ver alrededor de que valor se agrupan las mediciones (Tendencia central) y
cual es la dispersión alrededor de ese valor central.
Ventajas.
• Su construcción ayudará a comprender la tendencia central, dispersión y
frecuencias relativas de los distintos valores.
• Muestra grandes cantidades de datos dando una visión clara y sencilla de su
distribución.
Utilidades:
El Histograma es especialmente útil cuando se tiene un amplio número de datos que
es preciso organizar, para analizar más detalladamente o tomar decisiones sobre la
base de ellos.
Es un medio eficaz para transmitir a otras personas información sobre un proceso
de forma precisa e inteligible.
Permite la comparación de los resultados de un proceso con las especificaciones
previamente establecidas para el mismo. En este caso, mediante el Histograma
puede determinarse en qué grado el proceso está produciendo buenos resultados y
hasta qué punto existen desviaciones respecto a los límites fijados en las
especificaciones. Proporciona, mediante el estudio de la distribución de los datos,
un excelente punto de partida para generar hipótesis acerca de un funcionamiento
insatisfactorio.
Página 24 de 98
EJEMPLO 3
Supongamos que un médico dietista desea estudiar el peso de personas adultas de
sexo masculino y recopila una gran cantidad de datos midiendo el peso en
kilogramos de sus pacientes varones:
74.6
74.5
77.0
70.7
79.4
74.6
85.2
81.6
67.9
63.7
72.1
71.6
69.4
69.8
83.5
83.5
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73.2
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70.7
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63.7
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85.9
113.7
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95.7
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97.4
74.5
77.0
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63.7
70.7
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74.6
85.2
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67.9
63.7
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83.5
83.5
81.6
65.8
57.8
74.5
77.0
70.7
79.4
74.6
85.2
81.6
67.9
63.7
72.1
71.6
69.4
69.8
83.5
74.9
73.2
70.7
79.4
74.6
85.2
81.6
67.9
63.7
72.1
71.6
69.4
69.8
83.5
75.4
63.5
69.9
63.7
72.1
71.6
69.4
69.8
83.5
69.7
68.4
70.7
79.4
74.6
85.2
81.6
67.9
63.7
67.5
85.3
88.6
70.7
79.4
74.6
85.2
81.6
67.9
63.7
72.1
71.6
69.4
Página 25 de 98
69.8
95.7
74.5
77.0
70.7
79.4
74.6
85.2
81.6
67.9
63.7
72.1
71.6
69.4
69.8
83.5
79.3
76.3
79.8
70.7
79.4
74.6
85.2
81.6
67.9
63.7
72.1
71.6
69.4
69.8
83.5
68.4
69.4
74.3
63.2
68.4
76.9
75.4
74.8
78.9
77.0
76.7
77.0
70.7
79.4
74.6
85.2
81.6
67.9
63.7
72.1
71.6
69.4
69.8
83.5
67.9
63.7
70.7
73.2
70.7
79.4
74.6
71.6
69.4
69.8
83.5
67.9
69.7
68.4
70.7
79.4
71.6
85.2
81.6
63.7
72.1
71.6
69.8
83.5
72.1
71.6
69.4
69.8
83.5
83.5
72.1
71.6
63.7
72.1
71.6
69.4
69.8
Así como están los datos es muy difícil sacar conclusiones acerca de ellos.
Entonces, lo primero que hace el médico es agrupar los datos en intervalos
contando cuantos resultados de mediciones de peso hay dentro de cada intervalo
(Esta es la frecuencia). Por ejemplo, ¿Cuántos pacientes pesan entre 60 y 65 kilos?
¿Cuántos pacientes pesan entre 65 y 70 kilos?:
Intervalos
<50
50-55
55-60
60-65
65-70
70-75
75-80
80-85
85-90
90-95
95-100
100-105
105-110
>110
Nº Pacientes
(Frecuencia)
0
0
1
17
48
70
32
28
16
0
3
0
0
1
Ahora se pueden representar las frecuencias en un gráfico como el siguiente:
Página 26 de 98
Por ejemplo, la tabla nos dice que hay 48 pacientes que pesan entre 65 y 70
kilogramos. Por lo tanto, levantamos una columna de altura proporcional a 48 en el
gráfico:
Y agregando el resto de las frecuencias nos queda el histograma siguiente:
¿Qué utilidad nos presta el histograma? Permite visualizar rápidamente información
que estaba oculta en la tabla original de datos. Por ejemplo, nos permite apreciar
que el peso de los pacientes se agrupa alrededor de los 70-75 kilos. Esta es la
Tendencia Central de las mediciones. Además podemos observar que los pesos de
todos los pacientes están en un rango desde 55 a 100 kilogramos. Esta es la
Dispersión de las mediciones. También podemos observar que hay muy pocos
pacientes por encima de 90 kilogramos o por debajo de 60 kilogramos.
Ahora el médico puede extraer toda la información relevante de las mediciones que
realizó y puede utilizarlas para su trabajo en el terreno de la medicina.
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EJERCICIO 3
Estos datos se obtuvieron de la medición del espesor de ciertos materiales
utilizados en un proceso.
9.5
9.6
10.3
9.8
9.6
9.7
9.4
9.6
9.8
9.3
10.6
10.1
9.7
9.7
10.0
Calcule:
a) n=
b) XM=
Xm=
d) K= utilizar el número de clase= 5
Límites de clase
10.1
10.1
10.1
9.5
9.8
c) El rango R= XM - Xm
e) El ancho de clase H= R/K
Clase
No.
1
2
3
4
5
6
9.5
9.5
9.7
10.1
10.0
f) Tabule los límites de clase
Valor medio
Frecuencia
Total
∑
g) Graficar histograma
h) Sea claro en su conclusión.
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DIAGRAMA DE PARETO
El Diagrama de Pareto constituye un sencillo y gráfico método de análisis que
permite discriminar entre las causas más importantes de un problema (los pocos y
vitales) y las que lo son menos (los muchos y triviales).
Ventajas:
• Ayuda a concentrarse en las causas que tendrán mayor impacto en caso de ser
resueltas.
• Proporciona una visión simple y rápida de la importancia relativa de los
problemas.
• Ayuda a evitar que se empeoren algunas causas al tratar de solucionar otras.
• Su formato altamente visible proporciona un incentivo para seguir luchando por
más mejoras.
Utilidades:
• Determinar cuál es la causa clave de un problema, separándola de otras
presentes pero menos importantes.
• Contrastar la efectividad de las mejoras obtenidas, comparando sucesivos
diagramas obtenidos en momentos diferentes.
• Pueden ser asimismo utilizados tanto para investigar efectos como causas.
• Comunicar fácilmente a otros miembros de la organización las conclusiones
sobre causas, efectos y costes de los errores.
EJEMPLO 4
En una tienda de discos están teniendo grandes pérdidas por devoluciones del
producto
DEVOLUCION
FRECUENCIA
COSTO
TOTAL
1200
1600
%
%ACUMULADO
10
20
COSTO
C/U
120
80
NO LE GUSTO
PRODUCTO
DAÑADO
NO LO QUIERE
DISCO
EQUIVOCADO
VARIOS
20.87
27.83
20.87
48.7
10
20
150
50
1500
1000
26.08
17.39
74.78
92.17
10
45
450
5750
7.83
100
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Ordenar el porcentaje de mayor a menor y calcular el porcentaje acumulado
DEVOLUCION
FRECUENCIA
COSTO
TOTAL
1600
%
%ACUMULADO
20
COSTO
C/U
80
PRODUCTO
DAÑADO
NO LO QUIERE
NO LE GUSTO
DISCO
EQUIVOCADO
VARIOS
27.83
27.83
10
10
20
150
120
50
1500
1200
1000
26.08
20.87
17.39
53.91
74.78
92.17
10
45
450
5750
7.83
100
% = 1,600 x 100 / 5750 = 27.83
a) Elaborar el diagrama de Pareto.
b) Graficar la contribución porcentual acumulada mediante la intercepción de la
curva de causas.
c) Indica las causas vitales en el 80%, sea claro en su conclusión.
GRAFICA:
92.17
5000
74.78
4000
53.91
3000
2000
1600
1500
27.83
1200
1000
NLG
DE
1000
0
PD
NLQ
100 100
90
80
70
60
50
40
30
20
450
10
0
V
COSTO TOTAL
% ACUMULADO
CONCLUSION:
Se puede observar en la grafica, que las causas vitales son producto dañado, no lo
quiere, no le gusto, son las principales que debemos resolver; las triviales serian
disco equivocado y varios, las cuales se resolverán en segundo grado de
importancia.
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EJERCICIO 4
Datos recopilados para recuperar el nivel productivo de laminación.
No.
1
2
3
4
5
6
7
CAUSAS DE
FRECUENCIA
FALLAS
DE FALLAS
MATERIA PRIMA
380
P. TERMINADO
120
MOLINO
190
ENROLLADORES
75
MANTO. PVO.
8
HORNOS DE
15
REC.
OTROS
210
DEMORAS
TOTALES
280
90
75
35
30
30
%
%ACUMULADO
25
a) Elaborar el diagrama de Pareto.
b) Graficar la contribución porcentual acumulada mediante la intercepción de la
curva de causas.
c) Indica las causas vitales en el 80%, sea claro en su conclusión.
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DIAGRAMA CAUSA – EFECTO
El diagrama de Ishikawa, o Diagrama Causa - Efecto, es una herramienta que
ayuda a identificar, clasificar y poner de manifiesto posibles causas, tanto de
problemas específicos como de características de calidad. Ilustra gráficamente las
relaciones existentes entre un resultado dado (efectos) y los factores (causas) que
influyen en ese resultado.
Ventajas:
• Permite que el grupo se concentre en el contenido del problema, no en la historia
del problema ni en los distintos intereses personales de los integrantes del
equipo.
• Ayuda a determinar las causas principales de un problema, o las causas de las
características de calidad, utilizando para ello un enfoque estructurado.
• Estimula la participación de los miembros del grupo de trabajo, permitiendo así
aprovechar mejor el conocimiento que cada uno de ellos tiene sobre el proceso.
• Incrementa el grado de conocimiento sobre un proceso.
Utilidades:
• Identificar las causas - raíz, o causas principales, de un problema o efecto.
• Clasificar y relacionar las interacciones entre factores que están afectando al
resultado de un proceso.
Hemos visto en la introducción como el valor de una característica de calidad
depende de una combinación de variables y factores que condicionan el proceso
productivo.
La variabilidad de las características de calidad es un efecto observado que tiene
múltiples causas. Cuando ocurre algún problema con la calidad del producto,
debemos investigar para identificar las causas del mismo. Para ello nos sirven los
Diagramas de Causa - Efecto, conocidos también como Diagramas de Espina de
Pescado por la forma que tienen. Estos diagramas fueron utilizados por primera vez
por Kaoru Ishikawa.
Para hacer un Diagrama de Causa-Efecto seguimos estos pasos:
Decidimos cual va a ser la característica de calidad que vamos a analizar.
Por ejemplo, en el caso de la mayonesa podría ser el peso del frasco
lleno, la densidad del producto, el porcentaje de aceite, etc.
Trazamos un flecha gruesa que representa el proceso y a la derecha
escribimos la característica de calidad:
Indicamos los factores causales más importantes y generales que puedan
generar la fluctuación de la característica de calidad, trazando flechas
secundarias hacia la principal. Por ejemplo, Materias Primas, Equipos,
Operarios, Método de Medición, etc.:
Página 32 de 98
a.
b.
c.
d.
e.
Incorporamos en cada rama factores más detallados que se puedan
considerar causas de fluctuación. Para hacer esto, podemos formularnos
estas preguntas:
¿Por qué hay fluctuación o dispersión en los valores de la característica de
calidad? Por la fluctuación de las Materias Primas. Se anota Materias Primas
como una de las ramas principales.
¿Qué Materias Primas producen fluctuación o dispersión en los valores de la
característica de calidad? Aceite, Huevos, sal, otros condimentos. Se agrega
Aceite como rama menor de la rama principal Materias Primas.
¿Por qué hay fluctuación o dispersión en el aceite? Por la fluctuación de la
cantidad agregada a la mezcla. Agregamos a Aceite la rama más pequeña
Cantidad.
¿Por qué hay variación en la cantidad agregada de aceite? Por
funcionamiento irregular de la balanza. Se registra la rama Balanza.
¿Por qué la balanza funciona en forma irregular? Por que necesita
mantenimiento. En la rama Balanza colocamos la rama Mantenimiento.
Así seguimos ampliando el Diagrama de Causa-Efecto hasta que contenga todas
las causas posibles de dispersión.
Finalmente verificamos que todos los factores que puedan causar dispersión
hayan sido incorporados al diagrama. Las relaciones Causa-Efecto deben
quedar claramente establecidas y en ese caso, el diagrama está terminado.
EJEMPLO 5
Veamos un ejemplo de la Guía de Control de Calidad de Kaoru Ishikawa, publicada
por UNIPUB (N. York). Se trata de una máquina en la cual se produce un defecto de
rotación oscilante. La característica de calidad es la oscilación de un eje durante la
rotación:
Un diagrama de Causa-Efecto es de por si educativo, sirve para que la gente
conozca en profundidad el proceso con que trabaja, visualizando con claridad las
relaciones entre los Efectos y sus Causas. Sirve también para guiar las discusiones,
al exponer con claridad los orígenes de un problema de calidad. Y permite encontrar
más rápidamente las causas asignables cuando el proceso se aparta de su
funcionamiento habitual.
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EJERCICIO 5
Fabricación de mayonesa:
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ESTRATIFICACION
Es un método consistente en clasificar los datos disponibles por grupos con
similares características. A cada grupo se le denomina estrato.
Los estratos a definir lo serán en función de la situación particular de que se trate,
pudiendo establecerse estratificaciones atendiendo a:
• Personal.
• Materiales.
• Maquinaria y equipo.
• Áreas de gestión.
• Tiempo.
• Entorno.
• Localización geográfica.
• Otros.
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Ventajas:
Es muy completa para la calidad de la empresa.
Utilidades:
Permite aislar la causa de un problema, identificando el grado de influencia de
ciertos factores en el resultado de un proceso.
La estratificación puede apoyarse y servir de base en distintas herramientas de
calidad, si bien el histograma es el modo más habitual de presentarla.
EJEMPLO 6
ESTRATIFICACION
La estratificación es la separación de datos en categorías o clases. Su utilización
más frecuente se da durante la etapa de Diagnóstico, para identificar qué clases o
tipos contribuyen al problema que hay que resolver. Podemos clasificar o separar
una masa de datos en diferentes grupos o categorías. Los datos observados en un
grupo dado comparten unas características comunes que definen la categoría. Este
proceso de clasificación recibe el nombre de estratificación. La estratificación es la
base para otras herramientas, como el Análisis de Pareto, y se utiliza conjuntamente
con otras herramientas, como los Diagramas de dispersión.
Cómo interpretar la estratificación:
Si los resultados de la estratificación se presentan en forma de gráfico de barras, es
fácil examinar las categorías de una variable para ver si alguna o algunas de las
categorías destacan sobre el resto. ¿Tiene un proveedor un porcentaje de defectos
particularmente elevado? ¿Qué tipos de pernos son más propensos a error?
Después de la estratificación, si los resultados dan una indicación clara de la fuente
probable del fenómeno que se estudia, el equipo tendrá que validar sus resultados
iniciales o necesitará un mayor conocimiento de los detalles sobre la causa precisa.
Si inicialmente no se obtienen unos resultados útiles, se optará o bien por proceder
a una estratificación de segundo orden, o por estratificar según otras variables.
Cómo elaborar una estratificación:
1. Seleccionar las variables de estratificación.
2. Establecer las categorías que se utilizarán en cada variable de estratificación.
3. Clasificar las observaciones dentro de las categorías de la variable de
estratificación
4. Calcular el fenómeno que se está midiendo en cada categoría.
5. Mostrar los resultados. Los gráficos de barras suelen ser los más eficaces.
6. Preparar y exponer los resultados para otras variables de estratificación.
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7. Planificar una confirmación adicional.
EJERCICIO 6
Elabora una estratificación de los dos histogramas resueltos en clase, de la
medición del espesor de ciertos materiales utilizados en un proceso.
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HOJA DE VERIFICACION
Una Hoja de Verificación (también llamada "de Control" o "de Chequeo") es un
impreso con formato de tabla o diagrama, destinado a registrar y compilar datos
mediante un método sencillo y sistemático, como la anotación de marcas asociadas
a la ocurrencia de determinados sucesos. Esta técnica de recogida de datos se
prepara de manera que su uso sea fácil e interfiera lo menos posible con la actividad
de quien realiza el registro.
Ventajas:
• Supone un método que proporciona datos fáciles de comprender y que son
obtenidos mediante un proceso simple y eficiente que puede ser aplicado a
cualquier área de la organización.
• Las Hojas de Verificación reflejan rápidamente las tendencias y patrones
subyacentes en los datos.
Utilidades:
• En la mejora de la Calidad, se utiliza tanto en el estudio de los síntomas de un
problema, como en la investigación de las causas o en la recogida y análisis de
datos para probar alguna hipótesis.
• También se usa como punto de partida para la elaboración de otras
herramientas, como por ejemplo los Gráficos de Control.
EJEMPLO 7
Control de Aisladores
Identificación:
Tipo:
Lote:
Hoja de ruta
Total Revisado
Defectos:
Tipo
Soldadura
Poro
Deformado
Incompleto
Otros
Notas e incidencias:
Fecha :
Línea:
Operario:
Total:
Página 38 de 98
EJERCICIO 7
Elabora una hoja de verificación (formato) para el reglamento interno de
presentación y uniforme para los alumnos.
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DIAGRAMA DE DISPERSION
Un diagrama de dispersión es una representación gráfica de la relación entre dos
variables, muy utilizada en las fases de Comprobación de teorías e identificación de
causas raíz y en el Diseño de soluciones y mantenimiento de los resultados
obtenidos. Tres conceptos especialmente destacables son que el descubrimiento de
las verdaderas relaciones de causa-efecto es la clave de la resolución eficaz de un
problema, que las relaciones de causa-efecto casi siempre muestran variaciones, y
que es más fácil ver la relación en un diagrama de dispersión que en una simple
tabla de números.
Cómo interpretar un diagrama de dispersión:
El análisis de un diagrama de dispersión consta de un proceso de cuatro pasos, se
elabora una teoría razonable, se obtienen los pares de valores y se dibuja el
diagrama, se identifica la pauta de correlación y se estudian las posibles
explicaciones. Las pautas de correlación más comunes son correlación fuerte
positiva (Y aumenta claramente con X), correlación fuerte negativa (Y disminuye
claramente con X), correlación débil positiva (Y aumenta algo con X), correlación
débil negativa (Y disminuye algo con X), correlación compleja (Y parece
relacionarse con X pero no de un modo lineal) y correlación nula (no hay relación
entre X e Y). Errores comunes son no saber limitar el rango de los datos y el campo
de operación del proceso, perder la visión gráfica al sintetizarlo todo en resúmenes
numéricos, etc.
Cómo elaborar un diagrama de dispersión:
1. Obtener tabla de pares de valores con valores máximos y mínimos de cada
variable.
2. Situar la causa sospechada en el eje horizontal.
3. Dibujar y rotular los ejes horizontales y verticales.
4. Trazar el área emparejada usando círculos concéntricos en pares de datos
idénticos.
5. Poner título al gráfico y rotular.
6. Identificar y clasificar el modelo de correlación.
7. Comprobar los posibles fallos en el análisis.
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EJEMPLO 8
Supongamos que tenemos un grupo de personas adultas de sexo masculino. Para
cada persona se mide la altura en metros (Variable X) y el peso en kilogramos
(Variable Y). Es decir, para cada persona tendremos un par de valores X, Y que son
la altura y el peso de dicha persona:
Página 41 de 98
Nº
Persona
001
002
003
004
005
006
007
008
009
010
011
012
013
014
015
016
017
018
019
020
021
022
023
024
025
Altura
(m)
1.94
1.82
1.79
1.69
1.80
1.88
1.57
1.81
1.76
1.63
1.59
1.84
1.92
1.84
1.88
1.62
1.86
1.91
1.99
1.76
1.55
1.71
1.75
1.76
2.00
Peso
(Kg.)
95.8
80.5
78.2
77.4
82.6
87.8
67.6
82.5
82.5
65.8
67.3
88.8
93.7
82.9
88.4
69.0
83.4
89.1
95.2
79.1
61.6
70.6
79.4
78.1
90.6
Nº
Persona
026
027
028
029
030
031
032
033
034
035
036
037
038
039
040
041
042
043
044
045
046
047
048
049
050
Altura
(m)
1.66
1.96
1.56
1.55
1.71
1.90
1.65
1.78
1.83
1.98
1.67
1.53
1.96
1.66
1.62
1.89
1.53
1.59
1.55
1.97
1.51
1.59
1.60
1.57
1.61
Peso
(Kg.)
74.9
88.1
65.3
64.5
75.5
91.3
66.6
76.8
80.2
97.6
76.0
58.0
95.2
74.5
71.8
91.0
62.1
69.8
64.6
90.0
63.8
62.6
67.8
63.3
65.2
Entonces, para cada persona representamos su altura y su peso con un punto en un
gráfico:
Una vez que representamos a las 50 personas quedará un gráfico como el
siguiente:
Página 42 de 98
Qué nos muestra este gráfico? En primer lugar podemos observar que las personas
de mayor altura tienen mayor peso, es decir parece haber una correlación positiva
entre altura y peso. Pero un hombre bajito y gordo puede pesar más que otro alto y
flaco. Esto es así porque no hay una correlación total y absoluta entre las variables
altura y peso.
Para cada altura hay personas de distinto peso:
Sin embargo podemos afirmar que existe cierto grado de correlación entre la
altura y el peso de las personas.
Página 43 de 98
EJERCICIO 8
Por ejemplo, en el siguiente gráfico podemos ver la relación entre el contenido de
Humedad de hilos de algodón y su estiramiento:
% DE HUMEDAD
58
59
60
61
62
% DE ESTIRAMIENTO
20
35
50
65
70
%
%
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PRACTICA 1
Formar equipos de 3 alumnos, investigar las calificaciones de matemáticas de tu
grupo, primer parcial; calcular todos los parámetros estadísticos (media, mediana,
moda, varianza, desviación estándar, rango), aplicar las herramientas básicas
(histograma, Pareto, Causa – Efecto, Estratificación (promedios de cada alumno),
Hoja de verificación, Dispersión.
Nombre de la competencia a desarrollar:
1.- Controlar las variables de un proceso mediante herramientas estadísticas
básicas.
Nombre de las habilidades o destrezas que se deben adquirir:
1. Detectar anormalidades que puedan estar ocurriendo en el proceso.
2. Verificar el comportamiento del proceso.
3. Calcular parámetros estadísticos.
4. Elaborar diagramas de causa y efecto.
5. Elaborar diagramas de Pareto.
6. Elaborar histogramas.
7. Elaborar diagramas de dispersión.
8. Realizar ajustes en los procesos productivos.
9. Registrar evidencias y desviaciones en el proceso.
10. Proponer alternativas para ajuste del proceso.
Número de práctica: 1
Instrucciones para el alumno:
1. Leer cada ejercicio con detenimiento para la comprensión del mismo.
2. De forma individual cada alumno traerá su calculadora científica, lápiz,
borrador, pluma.
3. La práctica se realizará en el taller de producción o área que el docente
designe.
4. De manera individual realizaras los cálculos y graficar.
5. Entregar la practica en tiempo y forma.
Instrucciones para el docente:
1. Verificar que los alumnos trabajen en equipos de 3.
2. Verificar que se tengan los materiales necesarios para realizar la práctica.
3. Realizar la práctica determinando los datos necesarios mediante consulta
de los alumnos o con datos ficticios que sean adecuados para desarrollar
las habilidades de la competencia (ver ejemplos).
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4. Observar el orden, la responsabilidad y la limpieza dentro del taller de
producción o área asignada al realizar la práctica.
Recursos materiales de apoyo:
•
•
•
•
Calculadora.
Formato.
Cañón.
Computadora.
ERRORES TÍPICOS
DESCRIPCIÓN DEL ERROR TÍPICO
ACCIONES DE CORRECCIÓN
Empleo inadecuado de la calculadora.
Indicar el resultado final para
cerciorarse que se empleo bien la
calculadora, durante los ejemplos.
Utilizar otra fórmula para el cálculo.
Revisar varias veces la fórmula a
emplear de acuerdo a los ejemplos.
No utilizar el gráfico adecuado al Identificar cada uno de los gráficos
problema.
elaborados.
No saber graficar
Apoyarse en el maestro para la
comprensión de hacer graficas.
CONTINGENCIA
CONTINGENCIA
Calculadora con batería baja
No traer material de apoyo
ALTERNATIVAS DE SOLUCIÓN
Tener baterías de repuesto
Verificar con anticipación el material
que se utilizara en la práctica.
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Conclusiones de la competencia 1
CONCLUSIONES
El primer aspecto destacable es que la mayor parte de las Herramientas requieren
el trabajo en equipo como escenario para su óptima aplicación, teniendo en cuenta
que un conjunto de personas alrededor de una mesa, tal y como generalmente se
cree, en modo alguno significa que estén trabajando en equipo. Desgraciadamente,
una de las principales dificultades para rentabilizar el uso de las Herramientas es la
deficiente capacidad para trabajar en equipo que se detecta en la mayoría de las
organizaciones.
El otro aspecto importante a tener en consideración es que la mayor parte de las
Herramientas son rediseñables, son modificables en su formato, propósito o
mecánica de implantación, o son aplicables con finalidad diferente a la que en
principio propone la Herramienta. En muchas organizaciones hemos cambiado la
versión original de algunas Herramientas con resultados altamente satisfactorios.
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Competencias, habilidades y destrezas
Módulo III
Submódulo II
COMPETENCIA
Implementar Controles de Calidad del Producto
Manipular el Proceso Productivo Mediante Gráficos de Control
Estadístico
2. Controlar el Proceso Productivo aplicando gráficos de
control estadísticos.
Introducción
INTRODUCCIÓN
Ahora entraremos al área de procesos productivos, donde elaboraras gráficos de
control estadístico, y aprenderás a controlar los diferentes procesos que existen en
las empresas.
La idea tradicional de inspeccionar el producto final y eliminar las unidades que no
cumplen con las especificaciones una vez terminado el proceso, se reemplaza por
una estrategia más económica de prevención antes y durante del proceso industrial
con el fin de lograr que precisamente estos productos lleguen al consumidor sin
defectos.
Así las variaciones de calidad producidas antes y durante el proceso pueden ser
detectadas y corregidas gracias al empleo masivo de Gráficas de Control.
Según este nuevo enfoque, existen dos tipos de variabilidad. El primer tipo es una
variabilidad aleatoria debido a "causas al azar" o también conocida como "causas
comunes".
Página 48 de 98
El segundo tipo de variabilidad, en cambio, representa un cambio real en el proceso
atribuible a "causas especiales", las cuales, por lo menos teóricamente, pueden ser
identificadas y eliminadas.
Los gráficos de control ayudan en la detección de modelos no naturales de variación
en los datos que resultan de procesos repetitivos y dan criterios para detectar una
falta de control estadístico. Un proceso se encuentra bajo control estadístico cuando
la variabilidad se debe sólo a "causas comunes".
Los gráficos de control de Shewart son básicamente de dos tipos; gráficos de
control por variables y gráficos de control por atributos. Para cada uno de los
gráficos de control, existen dos situaciones diferentes:
a) Cuando no existen valores especificados y b) cuando existen valores
especificados.
"Por variables" cuando las medidas pueden adoptar un intervalo continúo de
valores; ejemplo: la longitud, el peso, la concentración, etc.
"Por atributos" cuando las medidas adoptadas no son continuas; ejemplo: tres
tornillos defectuosos cada cien, 3 paradas en un mes en la fábrica, seis personas
cada 300, etc.
HABILIDADES
RESULTADO DE
APRENDIZAJE
1. Registrar datos y variables del proceso
productivo.
2. Diagnosticar el comportamiento del proceso
productivo.
3. Elaborar gráficos por variables.
4. Elaborar gráficos por atributos.
5. Proponer alternativas para ajustar los puntos
fuera de control.
Al término de estas habilidades serás capaz de controlar
procesos por medio de gráficos por variables y atributos.
Página 49 de 98
Desarrollo
GRÁFICAS X y R
Las cartas de control X y R se usan ampliamente para monitorear la media y la
variabilidad. El control del promedio del proceso, o nivel de calidad medio, suele
hacerse con la gráfica de control para medias, o gráfica X . La variabilidad de
proceso puede monitorizar con una gráfica de control para el rango, llamada gráfica
R. Generalmente, se llevan gráficas X y R separadas para cada característica de la
calidad de interés.
Las gráficas X y R se encuentran entre las técnicas estadísticas de monitoreo y
control de procesos en línea más importantes y útiles.
EJEMPLO 1
Los pasos para crear las gráficas se irán detallando paso a paso con un ejemplo de
contenido de plomo en agua.
PASO 1
Toma de muestras
Periódicamente se toma una pequeña muestra (por ejemplo, de cinco unidades) del
proceso, y se calculará el promedio (X) y el rango (R) de cada una. Debe
recolectarse un total de al menos 50 medias individuales (esto es, diez muestras de
cinco cada una) antes de calcular los límites de control. Éstos se establecen a +3 σ
para los promedios y rangos muéstrales. Los valores de X y R se grafican por
separado contra sus límites a +3 σ .
Se ha obtenido una gráfica del contenido de plomo en partes por billón de 5
muestras de agua registradas diariamente por un periodo de 5 días, que se muestra
a continuación:
Día
1
2
3
4
5
6
7
1
13
0
4
3
5
9
0
Muestras de agua
2
3
4
8
2
5
6
1
9
2
4
3
15
8
3
10
5
4
5
13
7
4
4
3
Página 50 de 98
5
8
15
4
5
0
7
9
8
9
10
11
12
13
14
15
9
14
3
5
3
5
13
7
3
0
9
8
2
11
5
0
0
0
5
0
2
14
5
1
6
5
0
7
7
8
12
0
0
3
2
8
4
3
7
6
Estos datos servirán para el desarrollo de las gráficas X y R. Éstos deberán ser
introducidos en una hoja de Excel como se muestra en el cuadro.
Día
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
13
0
4
3
5
9
0
9
14
3
5
3
5
13
7
Muestras de agua
2
3
4
8
2
5
6
1
9
2
4
3
15
8
3
10
5
4
5
13
7
4
4
3
3
0
6
0
0
5
9
5
0
8
0
7
2
2
7
11
14
8
5
5
12
0
1
0
5
8
15
4
5
0
7
9
0
3
2
8
4
3
7
6
Página 51 de 98
Xi
7.2
6.2
3.4
6.8
4.8
8.2
4
3.6
4.4
3.8
5.6
3.6
8.2
8.4
2.8
P.
M.
R
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4
11
15
2
12
10
8
9
9
14
9
8
5
11
8
7
P.
R.
9.2
9.2
9.2
9.2
9.2
9.2
9.2
9.2
9.2
9.2
9.2
9.2
9.2
9.2
9.2
PASO 2
Cálculo del promedio (X) y rango (R) de las muestras
∑ Xi
X =
R = XMayor - Xmenor
n
PASO 3
Calculo de la Media del Proceso ( )
X
∑ Ri
R=
=
N
N
PASO 4
Calcule los limites de Control
Son calculados para mostrar la extensión de la variación de cada subgrupo, los
límites superior e inferior nos ayudan a deducir si nuestro gráfico se encuentra
dentro o fuera de control.
Número de
observaciones en
una muestra
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A2
1.880
1.023
0.729
0.577
0.483
0.419
0.373
0.337
0.308
0.285
0.266
0.249
0.235
0.223
D3
0
0
0
0
0
0.076
0.136
0.184
0.223
0.256
0.284
0.308
0.329
0.348
D4
3.268
2.574
2.282
2.114
2.004
1.924
1.864
1.816
1.777
1.744
1.717
1.692
1.671
1.652
Factor para la
estimación de R:
d2=R/s
1.128
1.693
2.059
2.326
2.534
2.704
2.847
2.97
3.078
3.173
3.258
3.336
3.407
3.472
Cálculo de Límites Superior e Inferior de X
Los límites se calculan con las siguientes fórmulas:
Límite de Control superior = X + A2 R
Límite de Control superior = 5.4 + (0.577)(9.2) = 10.7*
Límite de control inferior = X − A2 R
Límite de control inferior = 5.4 - (0.577 (9.2) = 0.09*
Donde :
X = Gran promedio = promedio de los promedios muéstrales
R = Promedio de los rangos muéstrales
A2 = Constante
Página 52 de 98
En la tabla de datos se agrega una columna y se realiza el cálculo de los promedios,
que es la suma de los elementos de la primera muestra m entre el número de
elementos, esto es, X = (m1 + m2 +... + mn)/ n.
Día
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
13
0
4
3
5
9
0
9
14
3
5
3
5
13
7
Muestras de agua
2
3
4
8
2
5
6
1
9
2
4
3
15
8
3
10
5
4
5
13
7
4
4
3
3
0
6
0
0
5
9
5
0
8
0
7
2
2
7
11
14
8
5
5
12
0
1
0
5
8
15
4
5
0
7
9
0
3
2
8
4
3
7
6
Xi
7.2
6.2
3.4
6.8
4.8
8.2
4
3.6
4.4
3.8
5.6
3.6
8.2
8.4
2.8
P.
M.
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4
LSC
10.7084
10.7084
10.7084
10.7084
10.7084
10.7084
10.7084
10.7084
10.7084
10.7084
10.7084
10.7084
10.7084
10.7084
10.7084
LIC
0.0916
0.0916
0.0916
0.0916
0.0916
0.0916
0.0916
0.0916
0.0916
0.0916
0.0916
0.0916
0.0916
0.0916
0.0916
R
11
15
2
12
10
8
9
9
14
9
8
5
11
8
7
P. R.
9.2
9.2
9.2
9.2
9.2
9.2
9.2
9.2
9.2
9.2
9.2
9.2
9.2
9.2
9.2
LSC R
19.45616
19.45616
19.45616
19.45616
19.45616
19.45616
19.45616
19.45616
19.45616
19.45616
19.45616
19.45616
19.45616
19.45616
19.45616
Cálculo de Límites Superior e Inferior de R
Donde D3 y D4 son constantes aplicadas se encuentran en la tabla.
La selección de las constantes D dependerán del número de observaciones en
nuestra muestra; como nuestro ejemplo consta de 5 observaciones, D3=0 y
D4=2.114.
Limite de control superior = D4 R
Limite de control superior = (2.114) ( 9.2) = 19.45*
Limite de Control Inferior = D3 R
Limite de control superior = (0)(9.2) = 0
CALCULAR Y GRAFICAR CON EXCEL
PARA LA GRAFICA X:
1.- En Excel puede utilizarse la fórmula (=PROMEDIO (m1: mn)), para cada
subgrupo.
Aplicándolo al ejemplo, se tiene que el valor de n=5 porque son 5 muestras en total,
obteniendo los valores de X , y así sucesivamente con todos los demás datos de la
tabla.
Página 53 de 98
LIC
R
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2.- Ya calculados todos los promedios X en la tabla, se calcula el valor de con la
fórmula de Excel PROMEDIO, seleccionando la columna obtenida de valores X .
=PROMEDIO (S1:Sn)
El valor de es de 5.4, que es el valor Central para la Gráfica X.
* Añádase este valor al listado de valores importantes.
PARA LA GRAFICA R
3.- Calcular todos los rangos de cada subgrupo por medio de la formula siguiente:
= max (S1:Sn) – min(S1:Sn)
Y así sucesivamente con todos los demás datos de la tabla.
4.- Ya calculados todos los rangos R en la tabla, se calcula el valor de R con la
fórmula de Excel PROMEDIO, seleccionando la columna obtenida de valores R.
=PROMEDIO (S1:Sn)
5.- Calcular los límites superior e inferior de las medias y los rangos con las formulas
de Excel:
=promedio de medias + (0.577*promedio de rangos) para LSC X
=promedio de medias - (0.577*promedio de rangos) para LIC X
=D4 * promedio de rangos para LSC R
=D3 * promedio de rangos para LIC R
Crear el gráfico X y el gráfico R en EXCEL
1. Seleccionado los valores de X (Xi, P.M., LSC, LIC) crear el grafico X y
seleccionado los valores de R (R, P.M., LSC, LIC) crear el grafico R.
2. Dé clic en el icono de Gráficos,
3. Elija el gráfico de líneas y Siguiente>.
4. Cambie las opciones del gráfico como lo desee, se coloca el titulo de la
grafica, el de los ejes y siguiente.
5. Dé clic en Finalizar.
Crear el gráfico X
GRAFICA X
12
10
8
Xi
P. M.
6
4
2
0
LSC
LIC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
M U EST R A S
Página 54 de 98
11
12
13
14
15
16
Crear el gráfico R
GRAFICA R
30
R
20
P. R.
10
LSCR
0
LICR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
MUESTRAS
EJERCICIO 1
Elabora las gráficas de control estadísticos de las medias y los rangos y también
calcula y grafica por EXCEL.
Datos obtenidos del tiempo de transporte en minutos.
X-R GRAFICAS (CHART)
TIEMPO DE TRANSPORTACION (min.)
SEMANA
1
2
3
4
5
1
55
75
65
80
80
2
90
95
60
60
55
3
100
75
75
65
65
4
70
110
65
60
60
5
55
65
95
70
70
6
75
85
65
65
65
X
LSC X
LIC X
R
R
LSC R
LIC R
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7
120
110
65
85
70
8
65
65
90
90
60
9
70
85
60
65
75
10
100
80
65
60
80
Interpretación de las Gráficas
Se colocan las gráficas para X y R una encima de la otra de manera que el
promedio y el rango para cualquier subgrupo se encuentren en la misma línea
vertical. Observe si alguna de ellas o ambas indican una falta de control para ese
subgrupo.
Las X fuera de los límites de control son seña de un cambio general que afecta a
todas las piezas posteriores al primer subgrupo fuera de los límites. El registro que
se guarda durante la recolección de datos, la operación del proceso y la experiencia
del trabajador deben estudiarse para descubrir la variable que pudo haber causado
que saliera de los límites de control. Las causas comunes son un cambio en el
material, el personal, la preparación de la máquina, el desgaste de las herramientas,
la temperatura o la vibración.
Las R fuera de los límites de control indican que la uniformidad de proceso ha
cambiado. Las causas comunes son un cambio en el personal, un aumento en la
variabilidad del material o desgaste excesivo en la maquinaria del proceso.
Una sola R fuera de control puede ser causada por un cambio en el proceso
ocurrido mientras se tomaba la muestra del subgrupo.
Se buscan patrones poco usuales o no aleatorios. Nelson (1984, 1985) proporciona
ocho pruebas para detectar esos patrones en las graficas de control usando límites
de control a 3 σ :
Prueba 1. Un punto fuera de la zona A.
Prueba 2. Nueve puntos seguidos en la zona C.
Prueba 3. Seis puntos seguidos con aumento o disminución estables.
Prueba 4. Catorce puntos seguidos alternando arriba y abajo.
Prueba 5. Dos de cada tres puntos seguidos en la zona A o más allá.
Prueba 6. Cuatro de cada cinco puntos seguidos en la zona B o más allá.
Prueba 7. Quince puntos seguidos en la zona C (arriba y debajo de la recta central).
Prueba 8. Ocho puntos seguidos a ambos lados de la recta central.
ANALISIS DE LA CAPACIDAD DEL PROCESO
La capacidad del proceso es la forma en que se compara la variabilidad inherente
de un proceso con las especificaciones o requerimientos del producto.
Evidentemente, la variabilidad del proceso es una medida de la uniformidad de la
salida. Hay 2 formas de conceptualizar esta variabilidad:
1. La variabilidad natural o inherente en un tiempo especificado; es decir, la
variabilidad “instantánea”.
2. La variabilidad con el tiempo
El análisis de capacidad del proceso se define como el estudio de ingeniería para
estimar la capacidad del proceso. La estimación de la capacidad del proceso puede
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estar en la condición de una distribución de probabilidad que tenga una forma,
centro (media) y dispersión (desviación estándar) especificados. De manera
alternativa, la capacidad del proceso puede expresarse como un porcentaje fuera de
las especificaciones. Sin embargo, las especificaciones son necesarias para realizar
el análisis de capacidad del proceso.
La fórmula para la capacidad del proceso que más se usa es:
Capacidad del proceso = +3 (un total de 6 σ )
Donde σ = la desviación estándar del proceso cuando se encuentra en estado de
control estadístico, es decir sin la influencia de fuerzas externas o cambios
repentinos.
Si el proceso está centrado en la especificación nominal y sigue una distribución de
probabilidad normal, 99.73% de la producción caerá a menos de 3 σ de la
especificación nominal. Sólo el 0.27% de la salida del proceso quedará fuera de los
límites de tolerancia natural.
Es necesario recordar dos puntos:
1. El valor 0.27% fuera de las tolerancias naturales suena pequeño, pero
corresponde a 2700 partes de millón disconformes.
2. Si la distribución de salida del proceso no es normal, entonces el porcentaje
de la salida quedará fuera de +3 σ puede diferir considerablemente de
0.27%.
Una razón importante para cuantificar la capacidad del proceso es poder calcular la
capacidad del proceso de mantener las tolerancias del producto. Para procesos que
se encuentran un estado de control estadístico, una comparación de la variación
entre 6 σ y los límites de tolerancia permite un cálculo rápido de porcentaje de
unidades defectuosas, mediante la teoría estadística.
Quienes planean intentan seleccionar procesos que tengan 6 σ de la habilidad del
proceso dentro de la amplitud de tolerancia.
Una medida de esta relación es la tasa de capacidad:
Cp = Tasa de capacidad =
Rango de especifica ción LES - LEI
=
Capacidad del proceso
6s
Donde LES= Límite de especificación superior
LEI = Límite de especificación inferior
Un proceso que cumple bien con los límites de especificación (rango de
especificación = +3 σ ) tiene un Cp de 1.0.
Lo crítico de muchas aplicaciones y la realidad de que el promedio del proceso no
permanecerá en el punto medio del rango de especificación sugiere que Cp debe ser
al menos 1.33.
Página 57 de 98
Tabla de los Índices del estudio de la capacidad del proceso:
ICP
Decisión
Más que adecuado, incluso puede exigirse más en términos de su
1.33<ICP<2.22 capacidad. Posee capacidad de diseño.
1<ICP<1.33
Adecuado para lo que fue diseñado. Requiere control estrecho si se
acerca al valor de 1.
0.67<ICP<1
No es adecuado para cumplir con el diseño inicial.
Requiere monitoreo constante.
ICP<0.67
No es adecuado para cumplir con el diseño inicial.
El índice de capacidad c pk
La capacidad del proceso, según se mide con Cp, se refiere a la variación en un
proceso alrededor del valor promedio.
Así, el índice Cp mide la capacidad potencial, suponiendo que el promedio del
proceso es igual al punto medio de los límites de especificación y que el proceso
está operando bajo control estadístico; como con frecuencia el promedio no se
encuentra en el punto medio, es útil tener un índice de habilidad que refleje ambas
variaciones y la localización del promedio del proceso. Tal índice es Cpk.
El índice Cpk refleja la proximidad de la media actual del proceso al límite de
especificación superior (LES) o bien, al límite de especificación inferior (LEI). Cpk se
estima mediante:
 X - LEI LES - X 
Cˆ pk = min 
,
3s
3s 

S=
R
d2
Si el promedio actual es igual al punto medio del rango de especificación, entonces
Cpk = Cp.
Entre más alto sea el valor de Cpk, más baja será la cantidad de producto que esté
fuera de los límites de especificación.
Los siguientes son dos tipos de estudios de capacidad del proceso:
1. Estudio del potencial del proceso (Cp). En este estudio se obtiene una
estimación de lo que puede hacer un proceso bajo ciertas condiciones, es
Página 58 de 98
decir, la variabilidad en condiciones definidas a corto plazo para un proceso
en estado de control estadístico. El índice Cp estima la capacidad del
proceso.
2. Estudio del desempeño del proceso (Cpk). En este estudio, una estimación
de la habilidad del proceso proporciona un panorama de lo que el proceso
está haciendo durante un periodo largo. También se supone un estado de
control estadístico. El índice Cpk estima la capacidad real del proceso.
Capacidad de Proceso
Un proceso de fabricación es un conjunto de equipos, materiales, personas y
métodos de trabajo que genera un producto fabricado.
Para cuantificar la Capacidad de Proceso se utilizan coeficientes que permiten
comparar el rango de especificaciones con la fluctuación natural del proceso. Uno
de ellos es Cp:
donde:
LSE es el Límite Superior de Especificación y LIE es el Límite Inferior de
Especificación
Si el proceso tiene capacidad para fabricar el producto, entonces Cp > 1. En general
se exige Cp > 1.30 para mayor seguridad.
Página 59 de 98
Este coeficiente tiene el inconveniente de que para poder aplicarlo el centro de
gravedad del rango de especificaciones debe coincidir con la tendencia central de
las mediciones del proceso. Cuando esto no ocurre se emplea el Cpk:
Donde:
EJEMPLO 2
Calcular la capacidad potencial (Cp) y la capacidad real (Cpk) de un proceso. cuyos
datos obtenidos fueron los siguientes:
R = 0.169
n=5
d 2 = 2.33
X = 0.738
LIE = 0.500
LSE = 0.950
Paso 1 se determina la desviación estándar
0.169
R
=
= 0.0725
S =
2.33
d2
Paso 2 Calcular la capacidad potencial del proceso:
Cp =
LSE − LIE
0.950 − 0.500
=
= 1.03
6*S
6 * 0.0725
“Es potencialmente Capaz”
Paso 3 Calcular la capacidad real del proceso:
Cpk = Cp (1- K) = 1.03 (1- 0.58) = 1.03 ( -0.22) = 0.97
realmente capaz”
K=
2D
2* D
2 * 0.013
0.55
=
=
=
= 0.058
W
W
0.45
0.45
D = M − X = 0.725 − 0.738 = 0.013
W = LSE – LIE = 0.950 – 0.500 = 0.45
Página 60 de 98
“Conclusión no es
M=
LSE+LIE
0.950 + 0.500
=
= 0.725
2
2
EJERCICIO 2
Determinar la capacidad potencial del proceso y la capacidad real del proceso de
acuerdo a lo siguiente:
R = 0.145
n=5
d 2 = 2.33
X = 0.725
LIE = 0.500
LSE = 0.980
Página 61 de 98
GRAFICO DE CONTROL X , S
Esta gráfica es el instrumento estadístico que sirve para estudiar el comportamiento
de un proceso de manufactura, considerando como indicador la desviación
estándar.
La estructura general, esta constituida por dos porciones, una se destina al registro
de los promedios de la característica de calidad en consideración y otra para
controlar la variabilidad del proceso.
La ventaja de usar esta gráfica es que para estos valores de n la desviación
estándar es más sensible a cambios pequeños que el rango.
Dentro del procedimiento de construcción para dicha grafica incluye cálculos de
límites de control para las dos partes que constituyen la gráfica y la graficación de
los promedios y desviaciones estándar obtenidos en cada subgrupo.
Es importante la variabilidad del proceso de control, al iniciar la construcción de la
gráfica, si el proceso no muestra estabilidad estadística, entonces la parte
correspondiente a los promedios no será confiable dado que los límites de control
de X dependen del valor medio de s.
Definiremos la desviación estándar muestral como:
n
2
∑ ( X i − X ) 
 i

n −1
El diagrama S tendrá por lo tanto las siguientes líneas o limites:
LSC = B 4 S
LC = S
LIC = B 3 S
Para el diagrama X los limites para un valor de k=3, serán:
LSC = X + A1 S
Central = X
LIC = X - A1 S
Los valores para A 1 , B 4 y B 3 se muestran en la tabla siguiente:
Página 62 de 98
Tamaño
de la
muestra
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Grafico X
Limites de Control
Grafico S
Limites de Control
Grafico R
Limites de Control
A1
3.760
2.394
1.880
1.596
1.410
1.277
1.175
1.094
1.028
B3
0
0
0
0
0.030
0.118
0.185
0.239
0.284
D3
0
0
0
0
0
0.76
0.136
0.184
0.233
A2
1.880
1.023
0.729
0.577
0.483
0.419
0.373
0.337
0.308
B4
3.468
2.568
2.266
2.089
1.970
1.882
1.815
1.761
1.716
Página 63 de 98
D4
3.267
2.575
2.282
2.115
2.004
1.924
1.864
1.816
1.777
EJEMPLO 3
Con los datos de la tabla elaborar una grafica de control de medias y desviación
estándar
LSC = B 4 S
= 9.062
LSC = X + A1 S = 1514
LC = S
LIC = B 3 S
= 4.338
Central = X
= 1507.328
=0
LIC = X - A1 S
= 1500
Muestra
Media
muestral
X
Observaciones
Promedio
de
medias
LSC
X
LIC
X
Desviación
típica
muestral
S
x
S
LSC
S
LIC
S
1
1515
1518
1512
1498
1511
1510.8
1507.328
1514
1500
7.661592524
4.338
9.062
0
2
1504
1511
1507
1499
1502
1504.6
1507.328
1514
1500
4.615192304
4.338
9.062
0
3
1517
1513
1504
1521
1520
1515
1507.328
1514
1500
6.892024376
4.338
9.062
0
4
1497
1503
1510
1508
1502
1504
1507.328
1514
1500
5.14781507
4.338
9.062
0
5
1507
1502
1497
1509
1512
1505.4
1507.328
1514
1500
5.941380311
4.338
9.062
0
6
1519
1522
1523
1517
1511
1518.4
1507.328
1514
1500
4.774934555
4.338
9.062
0
7
1498
1497
1507
1511
1508
1504.2
1507.328
1514
1500
6.300793601
4.338
9.062
0
8
1511
1518
1507
1503
1509
1509.6
1507.328
1514
1500
5.54977477
4.338
9.062
0
9
1506
1503
1498
1508
1506
1504.2
1507.328
1514
1500
3.898717738
4.338
9.062
0
10
1503
1506
1511
1501
1500
1504.2
1507.328
1514
1500
4.438468204
4.338
9.062
0
11
1499
1503
1507
1503
1501
1502.6
1507.328
1514
1500
2.966479395
4.338
9.062
0
12
1507
1503
1502
1500
1501
1502.6
1507.328
1514
1500
2.701851217
4.338
9.062
0
13
1500
1506
1501
1498
1507
1502.4
1507.328
1514
1500
3.911521443
4.338
9.062
0
14
1501
1509
1503
1508
1503
1504.8
1507.328
1514
1500
3.492849839
4.338
9.062
0
15
1507
1508
1502
1509
1501
1505.4
1507.328
1514
1500
3.646916506
4.338
9.062
0
16
1511
1509
1503
1510
1507
1508
1507.328
1514
1500
3.16227766
4.338
9.062
0
17
1508
1511
1513
1509
1506
1509.4
1507.328
1514
1500
2.701851217
4.338
9.062
0
18
1508
1509
1512
1515
1519
1512.6
1507.328
1514
1500
4.50555213
4.338
9.062
0
19
1520
1517
1519
1522
1516
1518.8
1507.328
1514
1500
2.387467277
4.338
9.062
0
20
1506
1511
1517
1516
1508
1511.6
1507.328
1514
1500
4.827007354
4.338
9.062
0
21
1500
1498
1503
1504
1508
1502.6
1507.328
1514
1500
3.847076812
4.338
9.062
0
22
1511
1514
1509
1508
1506
1509.6
1507.328
1514
1500
3.049590136
4.338
9.062
0
23
1505
1508
1500
1509
1503
1505
1507.328
1514
1500
3.674234614
4.338
9.062
0
24
1501
1498
1505
1502
1505
1502.2
1507.328
1514
1500
2.949576241
4.338
9.062
0
25
1509
1511
1507
1500
1499
1505.2
1507.328
1514
1500
5.403702434
4.338
9.062
0
S=
4.33794591
Promedio de Medias=
x
1507.3
Página 64 de 98
Grafica S (Desv. Estandar)
10
9
Desv. Estandar
8
7
Desviación típica
muestral
S
6
5
LSC S
4
LIC S
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
No. de Subgrupos
Grafica de Promedios
1525
v a lo r d e s u b g r u p o s
1520
1515
Media muestral
1510
Promedio de medias
1505
LSC X
1500
LIC X
1495
1490
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Muestras
Página 65 de 98
EJERCICIO 3
Con los datos de la tabla elaborar una grafica de control de medias y desviación
estándar
Muestra
Media
muestral
X
Observaciones
1
515
518
512
498
511
2
504
511
507
499
502
3
517
513
504
521
520
4
497
503
510
508
502
5
507
502
497
509
512
6
519
522
523
517
511
7
498
497
507
511
508
8
511
518
507
503
509
9
506
503
498
508
506
10
503
506
511
501
500
11
499
503
507
503
501
12
507
503
502
500
501
13
500
506
501
498
507
14
501
509
503
508
503
15
507
508
502
509
501
16
511
509
503
510
507
17
508
511
513
509
506
18
508
509
512
515
519
19
520
517
519
522
516
20
506
511
517
516
508
21
500
498
503
504
508
22
511
514
509
508
506
23
505
508
500
509
503
24
501
498
505
502
505
25
509
511
507
500
499
Promedio de Medias=
Promedio
de
medias
LSC
X
LIC
X
x
x
S=
Página 66 de 98
Desviación
típica
muestral
S
S
LSC
S
LIC
S
GRAFICAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS
Estos gráficos tienen sólo dos alternativas posibles: cumple/ no cumple, OK/ No OK,
presente/ ausente, etc. Estos gráficos son importantes por varias razones:
• Los datos atributivos existen en cualquier proceso técnico o administrativo. Su
mayor dificultad reside en el desarrollo de una definición operacional precisa.
• Los datos atributivos están disponibles en muchas situaciones, tal es el caso de
operaciones de inspección, reparaciones, selecciones, rechazos, etc.
• Cuando se debe iniciar un proceso de control, los datos por atributos están
generalmente disponibles, su costo de obtención es bajo y no requiere
especialización.
• Muchos de los informes para la gerencia están basados en datos atributivos. El
análisis de estos informes mediante gráficos de control, permite distinguir las
causas comunes de las especiales.
• Al comenzar a utilizar gráficos de control en una organización, los gráficos de
control por atributos permiten establecer las áreas donde se requieren en forma
prioritaria y permiten identificar los procesos que requieren ser controlados a
través de gráficos de control por variables.
Tipo de gráficos por atributo:
• Gráficos p, de proporción defectuosa (para tamaños de muestra no constantes)
• Gráficos np, de cantidad de defectuosos (para tamaños de muestra constantes)
• Gráficos c, de cantidad de defectos (para tamaños de muestra constantes)
• Gráficos u, de proporción de defectos (para tamaños de muestra no constantes)
Definición:
Defecto (no conformidad): cualquier defecto que hace que una unidad no se ajuste a
los requerimientos.
Defectuoso (no conforme): cualquier unidad que no se ajuste a los requerimientos.
(Ver tabla en capítulo para más detalle)
Los defectos pueden ser de diferentes tipos y se cuenta el total de todos estos
defectos en la unidad inspeccionada. Obtenemos el total de todos estos defectos en
la unidad inspeccionada. Obtenemos un resultado que es el Número de Defectos
por unidad de inspección.
Página 67 de 98
Página 68 de 98
De esta forma los gráfico p y np (que considera unidades defectuosas) tienen
menos poder de discriminación que los c y u (que considera defectos) porque un
producto defectuoso puede serlo como consecuencia de tener uno o más defectos.
Defectos:
3 GRIETAS, 6 HOYOS, 1 REBABA, 1 DESGASTE
NÚMERO DEFECTOS=11
NÚMERO DE UNIDADES DEFECTUOSAS=6
FRACCIÓN DE UNIDADES DEFECTUOSAS=6/10
PROMEDIO DE DEFECTOS POR UNIDAD=11/10
Gráfico (p) de proporción de defectuosos
El gráfico p mide la proporción de producto defectuoso o no conforme de un
proceso, considerando un muestreo racional.
Es importante considerar que:
Página 69 de 98
•
•
Cada componente, pieza o elemento que se inspeccione, debe identificarse y
agruparse como defectuoso o no defectuoso, independientemente de la cantidad
de defectos que presente.
El resultado de estas inspecciones esté agrupado racionalmente y las unidades
no conformes se expresen como una fracción decimal del tamaño de la muestra.
Conformación:
Tener en cuenta:
• Establecer las condiciones adecuadas para que el personal involucrado en el
proceso de control esté preparado para la acción. Capacitar y brindar el soporte
gerencial necesario.
• Definir el proceso estableciendo sus componentes (5M), relaciones con otros
procesos y clientes.
• Determinar las características a controlar, concentrándose en aquellas que
ofrezcan mayores oportunidades de mejoramiento. Para ello, se deberá tomar en
cuenta:
o Las necesidades del cliente. Por cliente entendemos al cliente interno y
externo.
o Las áreas de problemas actuales y potenciales. Considerar las que generen
pérdidas o que presenten bajo desempeño.
o La correlación entre características. Tomar en cuenta que si varias
características de un producto presentan un comportamiento homogéneo,
será suficiente controlar una sola de ellas.
• Definir el sistema de medición. La característica debe definirse
operacionalmente, de manera de tener el mismo significado para todos los
involucrados, y ser consistente a lo largo del tiempo. La definición operacional es
difícil cuando los controles están basados en apreciaciones personales.
• Minimizar la variación antes de iniciar la toma de muestras. Eliminar/ reducir las
causas de variación externas que puedan o deban ser resueltas, aún sin la
utilización de los gráficos de control.
1RO: Obtención de datos y graficar
a. Seleccionar el tamaño de muestra, la frecuencia y cantidad de subgrupos:
• Tamaño del subgrupo. En los gráficos por atributos, el tamaño de muestra debe
ser grande (50 ó más) para tener la sensibilidad necesaria para detectar cambios
en el desempeño. En el caso del gráfico p, el tamaño de muestra debe ser tal
que np > 5. Es recomendable que el tamaño de muestra sea constante, o que
su variación sea menor a + 25%.
• Frecuencia de muestreo. La frecuencia debe estar relacionada con los ciclos de
producción, para servir de ayuda al proceso de análisis y corrección de los
problemas identificados. Los intervalos cortos entre muestras son convenientes
para una rápida retroalimentación del proceso, pero pueden no ser compatibles
con el requerimiento del tamaño de muestra grande.
Página 70 de 98
•
Cantidad de subgrupos. Por lo general, se requiere un mínimo de 25 subgrupos.
b. Calcular la proporción defectuosa de cada subgrupo. Registrar los siguientes
datos de cada subgrupo:
• la cantidad de ítems inspeccionados (n)
• la cantidad de ítems defectuosos encontrados (np)
• la proporción defectuosa (p = np / n).
c. Seleccionar la escala del gráfico de control.
La escala seleccionada debe ser tal que la diferencia entre la mayor y menor
proporción defectuosa calculada ocupen la mitad central del gráfico. Indicar el día,
turno, hora, tamaño de la muestra (n), cantidad de defectuosos (np) y proporción
defectuosa (np/n) en la planilla del gráfico.
d. Graficar los valores de p.
Graficar los valores de las proporciones defectuosas calculadas y unirlas mediante
líneas rectas. Asegurarse que los puntos graficados estén alineados correctamente
sobre la misma línea vertical que corresponda a su hora de medición.
2DO: Calcular los límites de control
a. Calcular el promedio y desvío estándar del proceso.
1. Calcular la proporción defectuosa de cada muestra
np
p=
n
2. Calcular la proporción defectuosa de todas las muestras
∑ np
p=
∑n
3. Calcular la desviación estándar de la proporción defectuosa
p (1 − p )
σp =
n
b. Calcular los límites de control.
Los límites de control se ubican a + tres (3) desvíos estándar de la media del
proceso. Cuando la proporción defectuosa del proceso es pequeña, y/o el tamaño
de muestra es chico, el límite de control inferior podrá ser negativo. Esto significa
que dicho límite es cero (0).
LCS = p + 3 xσ p
y
LCI = p − 3 xσ p si es negativo LCI=0
c. Trazar los límites de control en el gráfico.
Página 71 de 98
Estos límites de control son válidos si los tamaños de muestra varían menos de +
25% del tamaño de muestra promedio (n). Cuando una muestra varía en mayor
proporción que esta cantidad, se deben recalcular los límites de control para esa
muestra específicamente. La fórmula para el cálculo de estos límites de control es la
misma, pero utilizando el tamaño de muestra que supera el porcentaje indicado.
3RO: Análisis de la estabilidad
a. Detectar condiciones de inestabilidad
Condiciones de inestabilidad (capitulo 7, primer parcial):
• puntos fuera de los límites de control
• serie de seis (6) puntos crecientes o decrecientes
• serie de siete (7) puntos consecutivos por encima o por debajo del promedio
• más del 90% de los puntos en el tercio central
• menos del 45% de los puntos en el tercio central
• ciclos repetitivos.
b. Estudiar causa de inestabilidad, adoptar acciones correctivas y prevenir
recurrencia
c. Eliminar las causas especiales de variación
d. Recalcular los límites de control excluyendo los puntos cuyas causas raíces
hayan sido corregidas.
4TO: Análisis de la aptitud del proceso
En los gráficos de control por atributos, cada punto representa el porcentaje o
cantidad de producto defectuoso o no conforme (fuera de especificación). Por
consiguiente, la aptitud del proceso está determinada por el valor promedio de la
proporción o cantidad de defectuosos o defectos determinado.
a. Calcular la aptitud del proceso.
Para el cálculo de la aptitud se requiere una cantidad de por lo menos 25 muestras.
En los gráficos de control p, la aptitud del proceso está determinada por el promedio
de defectuosos (p) del proceso. Otra forma de expresar la aptitud es a través de la
proporción de producto conforme expresada por (1 – p).
b. Analizar la aptitud.
En caso de que esta proporción defectuosa no sea aceptable para la gerencia, se
deberán arbitrar los medios para cambiar el diseño del proceso, actuando sobre uno
o más de los elementos que lo conforman (responsabilidad de la gerencia). Las
acciones locales al alcance de los operadores del proceso no serán efectivas para
mejorar las no conformidades crónicas.
Página 72 de 98
c. Mejorar aptitud
Implementar acciones correctivas dirigidas a reducir la variación generada por las
causas comunes. El gráfico de control permitirá evaluar el resultado efectivo de
dicha mejoras.
EJEMPLO 4
Donde n es el tamaño de la muestra y p es la proporción promedio de artículos
defectuosos, que se obtiene al dividir la cantidad de los artículos defectuosos en
toda la totalidad de productos inspeccionados. Como se puede apreciar en la
formula para calcular los limites, la raíz cuadrada de la expresión anotada es la
estimación de la desviación estándar.
En una empresa del ramo metal-mecánico se fabrican válvulas. Después del
proceso de fundición se hace una inspección y las piezas que no cumplen con
ciertas características son rechazadas. Las razones por las que pueden se
rechazadas son diversas: piezas incompletas, porosas, mal formadas, etc. Para
evaluar la variabilidad y la magnitud de la proporción de las piezas defectuosas en el
proceso de fundición se decide implantar una carta p.
Lote Tamaño
de lote
1
300
2
300
3
300
4
300
5
300
6
300
7
300
8
280
9
290
10 300
Artículos
defectuosos
15
12
15
7
16
6
18
10
9
25
Proporción Lote Tamaño
de lote
0.05
11 300
0.04
12 300
0.05
13 300
0.02
14 300
0.05
15 305
0.02
16 295
0.06
17 300
0.04
18 300
0.03
19 300
0.08
20 300
Artículos
defectuosos
9
4
7
9
5
15
19
7
12
10
Proporción
0.03
0.01
0.02
0.03
0.02
0.05
0.06
0.02
0.04
0.03
Tamaño de muestra promedio n= 300, p= 0.03662.Los limites son:
Página 73 de 98
•
•
•
LCS = 0.0362 + 3Ö{0.0362(1-0.0362)/300}= 0.0686
Línea central = 0.0362
LCI = 0.0362 - 3Ö{0.0362(1-0.0362)/300}= 0.00386
EJERCICIO 4
El ingeniero de calidad de una empresa toma muestras de la producción diaria con
el objeto de elaborar una gráfica p.
La tabla anexa muestra los rechazos encontrados y la cantidad de piezas revisadas
cada día. Si la fracción defectuosa de cierto día excede los límites de control el
ingeniero debe inspeccionar al 100% el lote producido.
a) Determine los límites de control y construya la gráfica
b) Determine los límites de control futuros, suponiendo que se identifican las causas
especiales de los puntos fuera de control.
Rechazos
20
18
14
16
13
29
21
14
6
6
7
7
9
5
8
9
9
10
9
10
40
Muestras
98
104
97
99
97
102
104
101
55
48
50
53
56
49
56
53
52
51
52
47
24
Página 74 de 98
Gráfico (np) de cantidad de defectuosos
El gráfico np mide la cantidad de defectuosos en una muestra inspeccionada. Es
igual al gráfico p, excepto que en lugar de registrar la proporción de defectuosos, se
grafica la cantidad de los mismos.
El gráfico np requiere que el tamaño de muestras permanezca constante a lo largo
del tiempo.
Ambos gráficos, el p y el np, se utilizan para las mismas situaciones y las
instrucciones para su construcción son las mismas, excepto lo indicado a
continuación:
1RO: Obtención de datos.
Recordemos que los intervalos entre muestras sucesivas deben estar asociados a
los requerimientos de producción y su proceso de retroalimentación. El tamaño de
muestra debe ser tal que permita la aparición de varios ítems defectuosos en cada
subgrupo.
Tamaño de muestra constante.
2DO: Calcular los límites de control
a. Calcular el promedio y desvío estándar del proceso.
1. Contar el número de no conformes de cada muestra
np
p=
n
2. Calcular el promedio de no conformes de todas las muestras
∑ np donde k: cantidad de muestras
np =
k
3. Calcular la desviación estándar del promedio de no conformes


σ np = np 1 −
np 

n 
b. Calcular los límites de control. Los límites de control se ubican a + tres (3)
desvíos estándar de la media del proceso.
y
LCS = np + 3 xσ np
LCI = np − 3xσ np si es negativo LCI=0
c. Trazar los límites de control en el gráfico.
3RO: Analizar la estabilidad del proceso. Igual que el gráfico de proporción
defectuosa (p).
4TO: Analizar de la aptitud del proceso. Igual que el gráfico de proporción
defectuosa (p).
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EJEMPLO 5
En ocasiones, cuando el tamaño de muestras en las cartas es constante, es mas
conveniente usar la carta np en la que se gráfica el numero de artículos defectuosos
por muestra (Di ), en lugar de la proporción.
Los límites de control para la carta np se obtiene bajo el supuesto de la distribución
binomial, por lo que están dados por:
•
•
•
LCS = np+ 3Ö[np(1-np)/n]
Línea central = np
LCI = np - 3Ö[np(1-np)/n]
Donde igual que en la carta p, n es el tamaño de muestra y p es la proporción
promedio de artículos defectuosos, con lo que np es la estimación del numero
promedio de artículos defectuosos por muestra. En la formula los limites de control,
la raíz cuadrada de la expresión anotada es la estimación de la desviación estándar
de D i (numero de piezas defectuosas por muestra).
En un proceso de manufactura al final de la línea de ensamble, antes de empacar,
se hace una inspección y prueba final, y en una cata p se registra la proporción de
artículos defectuosos. En esta misma carta se combinan las fallas de los diferentes
componentes.
Analizando los datos obtenidos en la inspección final, a través de una estratificación
y un análisis de Pareto, se encuentra que la principal causa por la que los artículos
salen defectuosos esta relacionado con los problemas en el componente W, por lo
que se decide analizar mas de cerca el proceso que produce tal componente.
Para ello, de cada lote de componentes W se decide inspeccionar una muestra de
n= 120, inmediatamente que salen de su proceso(antes de ser ensamblados). Los
datos obtenidos en 20 lotes consecutivos se muestran en la siguiente tabla
Lote
Art. Def. en muestra
Lote
Art. Def. en muestra
1
2
3
4
9
6
10
8
11
12
13
14
10
20
12
10
Página 76 de 98
5
6
7
8
9
10
5
5
14
12
9
8
15
16
17
18
19
20
10
0
13
5
6
11
Total = 183
P= 183/(120 x 20) = 0.076
Con lo que los limites de control están dados por
•
•
•
LCS = 120 x 0.076 + 3 Ö{120 x 0.076(1-0.076)}= 17.87
Línea central = 120 x 0.076 = 9.15
LCI= 120 x 0.076 - 3 Ö{120 x 0.076(1-0.076)}= 0.428
En la siguiente gráfica se aprecia que el proceso esta fuera de control estadístico,
ya que el numero de piezas defectuosas en la muestra del lote 12 es mayor que el
limite superior, mientras que la muestra del lote 16 es menor que el limite inferior
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EJERCICIO 5
Con los datos obtenidos elabora una grafica np
Lote
Defectuoso
1
7
2
2
3
8
4
8
5
6
6
3
7
4
8
8
9
12
10
10
11
8
12
9
13
7
14
6
15
5
16
8
17
4
18
2
19
3
Gráfico (c) de cantidad de defectos
Definición: El gráfico c mide la cantidad de defectos o no conformidades, en una
muestra inspeccionada.
Condición: El tamaño de las muestras debe ser constante a lo largo del tiempo.
Utilización:
•
Cuando los defectos o no conformidades, están distribuidas a lo largo de un flujo
continúo de producto (e.g., manchas sobre la superficie de una tela, rayas en la
superficie de un vidrio, etc.).
•
Cuando al inspeccionar una unidad se encuentran defectos o no conformidades
que pueden provenir de diferentes orígenes potenciales (e.g., defectos en la
inspección final de una línea de producción de heladeras, donde cada heladera
puede tener uno o más defectos dentro de una gran variedad posible).
Construcción:
El proceso de construcción del gráfico c es igual al del gráfico p excepto lo
siguiente:
1RO: Obtención de datos. Los tamaños de muestra inspeccionados deben ser
constantes de manera que los cambios en los puntos graficados de c puedan
mostrar los cambios en el desempeño del proceso. Anotar y graficar la cantidad de
defectos.
2DO: Calcular los límites de control.
Los límites de control se ubican a + 3 desvíos estándar de la media del proceso.
Con el valor de la media del proceso (c), calcular los límites de control.
a. Calcular el promedio y desvío estándar del proceso.
1. Contar el número de no conformidades en cada muestra (c)
2. Calcular el promedio de las no conformidades de todas las muestras
∑c
c=
n
Página 78 de 98
3. Calcular la desviación estándar del promedio de no conformidades
σc = c
b. Calcular los límites de control. Los límites de control se ubican a + tres (3)
desvíos estándar de la media del proceso.
y
LCS = c + 3 xσ c
LCS = c − 3 xσ c si es negativo LCI=0
c. Trazar los límites de control en el gráfico.
3RO: Analizar la estabilidad del proceso. Igual que el gráfico de proporción
defectuosa (p).
4TO: Analizar de la aptitud del proceso. Igual que el gráfico de proporción
defectuosa (p) excepto que la aptitud estará determinada por el valor del promedio
de defectos del proceso (c).
EJEMPLO 6
Los datos siguientes se pueden utilizar para ilustrar la construcción de un diagrama
c. Reflejan el numero de defectos por grupo, en 25 grupos sucesivos de cinco radios
cada uno.
Numero
grupo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
del Numero de defectos Numero
por grupo
grupo
77
64
75
93
45
61
49
65
45
77
59
54
41
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Página 79 de 98
del Numero de defectos
por grupo
87
40
22
92
89
55
25
54
22
49
33
20
El numero total de defectos para los 25 grupos es de 1 393 y el numero promedio
por unidad (es decir, por grupo de 5 radios) es C = 1 393 / 25 = 55.7. Como
estimación preliminar tomamos el numero de defectos promedio del proceso por
unidad (c') como igual a C, por tanto, tomamos como estimado de ´c la cantidad c
= C = 7.5. de aquí 3c = 3 C = 22.5, y el limite superior de control pasa a ser C- 3
C= 55.7 – 22.5 = 33.2 . estos dan la línea central y los limites superior e inferior
para nuestro diagrama preliminar de control.
Cuatro puntos están por arriba del limite superior y cinco por debajo del limite
inferior. Supongamos que se encuentran causas atribuibles para todos menos uno
de dichos puntos. Digamos por ejemplo que los puntos altos 17 y 18 son debidos a
cierto material defectuoso utilizado en la producción de estos equipos; el punto alto
4 se determino como correspondiente a un trabajador incompetente; el punto alto 14
a una maquina vieja que no funcionaba adecuadamente. Eliminemos todas estas
causas de mala calidad. Los puntos bajos 16, 20, 22 y 25 se determina que
correspondieron a un inspector que acababa de aprender su tarea. Supongamos
que no advirtió muchos de los efectos reales en los radios que inspecciono, y
excluyamos estos puntos bajos de entre los demás. No se han encontrado causas
atribuibles para el punto 24, de manera que éste será el único de los puntos
situados fuera de los límites de control que mantendremos. Después de eliminar los
puntos 4, 14,16,17,18,20,22 y 25 para los casos restantes se determinan como 943 /
17 = 55.5. esto esta tan cercano al valor anterior que podemos tomar la línea
central anterior y los limites anteriores.
Página 80 de 98
Habiendo encontrado el tamaño de la muestra, deberemos, si vamos a utilizar un
diagrama c, volver a definir nuestra unidad de inspección, de manera que el tamaño
de la muestra y la unidad de inspección sean idénticos. De esta forma, en función
de los ejemplos que acabamos de examinar, deberíamos cambiar nuestra unidad
de inspección de 5 a 3 radios o a 18 radios. En este caso situaremos en cada
ocasión el numero total de defectos por muestra directamente en nuestro
diagrama c. Si elegimos una nueva unidad de inspección de 3 radios, la línea
central del diagrama c pasara a ser 40 (0.6) = 24; si elegimos una nueva unidad
de inspección de 18 radios la línea central pasara a ser 40 (3.6) = 144.
Si después de haber determinado el tamaño de la muestra no volveremos a definir
la unidad de inspección, se hará necesario establecer un diagrama de control en
función del numero promedio de defectos por unidad de inspección. En otras
palabras, si c es el número total de defectos que se encuentra en cualquier
muestra, y k es el numero de unidades de inspección en una muestra,
estableceremos un diagrama de control en el cual situaremos la cantidad u = c/k.
Estos diagramas se denominan diagramas u.
Cuando el tamaño de la muestra varia de una muestra a otra, es necesario utilizar
un diagrama u al objeto de tener una línea central de control constante. Sin
embargo, los limites de control variaran
EJERCICIO 6
Con los datos obtenidos elabora un grafica c
Lote
Defectuoso
1
25
2
29
3
41
4
35
5
14
6
18
7
17
8
14
9
13
10
11
11
19
Página 81 de 98
12
23
13
27
14
34
15
46
1
54
61
54
7
12
18
18
19
37
Gráfico (u) de cantidad de defectos por unidad
El gráfico u mide la cantidad de defectos o no conformidades por unidad
inspeccionada, en muestras o subgrupos que pueden tener un tamaño variable. Es
igual al gráfico c excepto que la cantidad de defectos se expresa sobre una base
unitaria. Los gráficos u y c se utilizan en las mismas situaciones excepto que el
gráfico u puede utilizarse cuando la muestra tiene más de una unidad.
Construcción:
Para completar el gráfico u son las mismas que para el gráfico p, excepto lo
siguiente:
1RO: Obtención de datos.
Los tamaños de muestra inspeccionados no deben ser necesariamente constantes.
No obstante, se requiere que los tamaños de muestra no superen el + 25% del
tamaño de muestra promedio para mantener los mismos límites de control. Anotar la
cantidad de defectos encontrados (u) y el tamaño de muestra (n) en la planilla.
Graficar los valores de u en el gráfico. En este punto es importante destacar, que el
valor de n se expresa en términos de unidades inspeccionadas. En muchos casos,
la muestra es una unidad de producto (e.g., un televisor). En otros, la unidad
inspeccionada es de 100 piezas. En este caso, el valor de n debe expresarse como
la cantidad de unidades de 100 piezas que fueron inspeccionadas.
2DO: Calcular los límites de control.
Los límites de control se ubican a + 3 desvíos estándar de la media del proceso. Si
el tamaño de una muestra excede el valor del tamaño de muestra promedio en +
25%, se deberán recalcular los límites de control para esta muestra, utilizando la
misma fórmula pero reemplazando n por n.
a. Calcular el promedio y desvío estándar del proceso.
1. Calcular la proporción de no conformidades de cada muestra
c
u=
n
2. Calcular el promedio de las no conformidades de todas las muestras
∑c
u=
∑n
3. Calcular la desviación estándar del promedio de no conformidades
u
σu =
n
b. Calcular los límites de control. Los límites de control se ubican a + tres (3)
desvíos estándar de la media del proceso.
y
LCS = u + 3 xσ u
LCS = u + 3 xσ u si es negativo LCI=0
c. Trazar los límites de control en el gráfico.
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3RO: Analizar la estabilidad del proceso. Igual que el gráfico de proporción
defectuosa (p).
4TO: Analizar de la aptitud del proceso. Igual que el gráfico de proporción
defectuosa (p) excepto que la aptitud estará determinada por el valor de la cantidad
de defectos promedio por unidad (u).
EJEMPLO 7
DIAGRAMA u CON MUESTRA DE TAMAÑO VARIABLE
En ocasiones los diagramas u, como los p, se basan en una inspección de la
producción al 100% . en estos casos el numero de unidades que constituyen una
muestra variara indudablemente de una muestra a otra. Por ejemplo, supongamos
que hemos tenido los siguientes resultados:
Lote Yardas
cuad.
# defectos # defectos por c 100
yardas
1
200
5
2,5
2
250
7
2,8
3
100
3
3,0
4
90
2
2,2
5
120
4
3,3
6
80
1
1,3
En este caso cada lote inspeccionado contiene un número diferente de yardas
cuadradas de lona. Si tomamos 100 yardas cuadradas de lona. Si tomamos 100
yardas cuadradas como unidad, para utilizarla en nuestro diagrama u , en cada
caso, y al objeto de obtener posibilidad de comparación, debemos convertir el
numero de defectos por lote de inspección en el numero de defectos por unidad de
100 yardas cuadradas
Sin embargo, cuando estos resultados se sitúan en el diagrama de control, debemos
tener en cuenta que cada cifra se basa en un numero diferente de unidades.
Los limites de control variaran así de una muestra a otra. Cuanto mayor sea el
numero de unidades en una muestra mas angostos serán los limites.
Página 83 de 98
Si cada muestra consta de una sola unidad, los limites para el diagrama u vienen
dados por UCL = û + 3(û)0.5 ,
LCL = û - 3(û)0.5 . pero si el numero de unidades
en una muestra es k, en tal caso la desviación estándar del numero promedio de
defectos por unidad es (û)0.5 / (k)0.5 = (û / k)0.5 . de esta forma para una muestra de
k unidades, los limites vienen dados por
UCL = û + 3(û)0.5 ,
(1a)
LCL = û -- 3(û)0.5
Como ejemplo supongamos que deseamos construir un diagrama u para controlar la
producción de lona, y decidimos basarla en los datos anteriores (en realidad
habríamos de utilizar un volumen de producción mucho mayor que el anotado).
El primer paso consiste en calcular el numero promedio de defectos por 100 yardas
cuadradas (nuestra unidad), para los seis lotes de inspección
Esto se hace fácilmente sumando el numero total de defectos en cada lote y
dividiendo entre el numero total de unidades de 100 yardas cuadradas
inspeccionadas.
Esto da u = 22 / 8.40 = 2.62. Obsérvese que no tomamos un simple promedio del
numero de defectos por 100 yardas cuadradas en cada lote.
Si deseamos trabajar con estas cifras deberemos tomar un promedio ponderado.
Esto es, tendremos que ponderar 2.5 por 2.00, 2.8 por 2.50, 3.0 por 1.00 y así
sucesivamente.
El resultado entonces seria u = 2.62, como anteriormente.
La línea central de nuestro diagrama será u. Los limites para cada muestra vendrán
dados por la formula (1a), la cual de lo siguiente véase la siguiente figura.
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Diagramas u con muestras de tamaño variable (solo aparece el limite superior
de control)
lote de inspección
k
3(u/k)0,5 UCL = u +
3(u/k)0,5
1
2,0
3,43
6,05
2
2,5
3,07
5,59
3
1,0
4,83
7,48
4
0,9
5,12
7,74
5
1,2
5,12
7,74
6
0,8
5,43
8,05
Solo se puede construir una curva CO para un diagrama u con una muestra de
tamaño constante. Cuando el número de unidades varía de una muestra a otra
podemos, si así lo deseamos, construir una curva CO para el número promedio de
unidades. Esta seria la curva CO para el diagrama de control con limites promedios.
Página 85 de 98
EJERCICIO 7
Con los datos obtenidos de la tabla construir un grafica de atributos u
Muestra
Piezas
número verificadas
"n"
No. total de
disconformid
ades
1
33
86
2
30
72
3
31
56
4
30
60
5
28
45
6
27
38
7
32
64
8
30
48
9
33
80
10
30
75
11
28
42
12
34
78
13
29
58
14
30
39
15
32
58
16
30
81
17
30
60
18
29
38
19
31
43
20
28
62
21
33
49
22
27
49
23
30
69
24
29
78
25
30
60
TOTAL
754
Disconfor
midades/
piezas "
U"
1488
Página 86 de 98
U
LCS
LCI
PRACTICA 1
Formar equipos de 3 alumnos, investigar un proceso que este causando anomalías
en la producción en alguna empresa de tu ciudad y realiza los gráficos de control P,
Np, C, U , haciendo los respectivos cálculos para controlar el proceso.
Nombre de la competencia a desarrollar:
2. Controlar el Proceso Productivo aplicando gráficos de control estadísticos.
Nombre de las habilidades o destrezas que se deben adquirir:
1. Registrar datos y variables del proceso productivo.
2. Diagnosticar el comportamiento del proceso productivo.
3. Elaborar gráficos por variables.
4. Elaborar gráficos por atributos.
5 . Proponer alternativas para ajustar los puntos fuera de control.
Instrucciones para el alumno:
1. Leer cada ejercicio con detenimiento para la comprensión del mismo.
2. De forma individual cada alumno traerá su calculadora científica, lápiz,
borrador, pluma.
3. La práctica se realizará en el taller de producción o área que el docente
designe.
4. De manera individual realizaras los cálculos y graficar.
5. Entregar la practica en tiempo y forma.
Instrucciones para el docente:
1. Verificar que los alumnos trabajen en equipos de 3.
2. Verificar que se tengan los materiales necesarios para realizar la
práctica.
3. Realizar la práctica determinando los datos necesarios mediante
consulta de los alumnos o con datos ficticios que sean
adecuados para desarrollar las habilidades de la competencia
(ver ejemplos).
4. Observar el orden, la responsabilidad y la limpieza dentro del
taller de producción o área asignada al realizar la práctica.
Recursos materiales de apoyo:
•
•
Calculadora.
Formatos.
Página 87 de 98
•
•
Cañón.
Computadora.
ERRORES TÍPICOS
DESCRIPCIÓN DEL ERROR TÍPICO
ACCIONES DE CORRECCIÓN
Empleo inadecuado de la calculadora.
Indicar el resultado final para
cerciorarse que se empleo bien la
calculadora, durante los ejemplos.
Utilizar otra fórmula para el cálculo.
Revisar varias veces la fórmula a
emplear de acuerdo a los ejemplos.
No utilizar el gráfico adecuado al Identificar cada uno de los gráficos
problema.
elaborados.
No saber graficar
Apoyarse en el maestro para la
comprensión de hacer graficas.
CONTINGENCIA
CONTINGENCIA
Calculadora con batería baja
No traer material de apoyo
ALTERNATIVAS DE SOLUCIÓN
Tener baterías de repuesto
Verificar con anticipación el material
que se utilizara en la práctica.
Página 88 de 98
PRACTICA 2
Para su realización, los alumnos deberán trabajar en equipo; el docente
proporcionara los datos necesarios, verificando el resultado al final de la práctica.
Nombre de la competencia a desarrollar:
1 Controlar las variables de un proceso mediante herramientas estadísticas
básicas.
2 Controlar el Proceso Productivo aplicando gráficos de control estadísticos.
Nombre de las habilidades o destrezas que se deben adquirir:
1. Detectar anormalidades y verificar el comportamiento del proceso por
medio de la aplicación de las herramientas básicas de la calidad
2. Registrar datos y variables del proceso
3. En base a esos datos elaborar graficas de control por variables y por
atributos para diagnosticar el comportamiento del proceso.
4. Proponer alternativas en base a resultados.
Número de práctica: 2
Instrucciones para el alumno:
1. La práctica se realizará en el taller de producción o area que el docente
designe.
2. Los equipos fabricaran algún producto, estos podrán ser desde simples
adornos, cajas, dulces, etc. dejando a su creatividad.
3. Se establecerán estándares de calidad
4. Se verificaran esos estándares utilizando instrumentos de medición.
5. Se registraran los datos de la inspección.
6. En base a los datos se elaboraran graficas de control por variable y por
atributos
La información obtenida la desarrollaras en el formato de práctica.
Página 89 de 98
Instrucciones para el docente:
1. Verificar que los alumnos trabajen en equipo y de manera individual.
2. Verificar que se tengan los materiales necesarios para realizar la
práctica.
3. Realizar la práctica determinando los datos necesarios mediante
consulta de los alumnos o con datos ficticios que sean adecuados
para desarrollar las habilidades de la competencia (ver ejemplo de
relaciones de equivalencia).
4. Observar el orden, la responsabilidad y la limpieza dentro del taller de
producción o area asignada al realizar la práctica.
5. Aplicar correctamente los instrumentos de evaluación para lograr la
competencia.
Recursos materiales de apoyo:
•
•
•
•
Calculadora.
Producto o pieza a ensamblar.
Cañón.
Computadora.
ERRORES TÍPICOS
DESCRIPCIÓN DEL ERROR TÍPICO
ACCIONES DE CORRECCIÓN
Empleo inadecuado de la calculadora.
Indicar el resultado final para cerciorarse
que se empleo bien la calculadora,
durante los ejemplos.
Aplicar incorrectamente las formulas
Verificar formulas de la competencia.
Tomar valores de tablas erróneamente
Emplear reglas de medición o una guía
recta,
para
cerciorarse
que
seleccionemos el valor correcto.
Confundir las graficas de control.
Revisar la elección adecuada de la
grafica a elaborar.
Página 90 de 98
CONTINGENCIA
CONTINGENCIA
Calculadora con batería baja
ALTERNATIVAS DE SOLUCIÓN
Tener baterías de repuesto
Conclusiones de la competencia 2
CONCLUSIONES
Al terminar la competencia numero 2 te das cuenta que la utilización de las
diferentes graficas de control es muy importante, pues con estas podemos estar
controlando y monitoreando un proceso productivo todo el tiempo.
Como pudiste observar la construcción de estas graficas de control es
relativamente fácil, pero a la vez son muy útiles, porque además podemos estar
realizando acciones preventivas cuando la grafica nos indica que nos estamos
saliendo de control, o realizar acciones preventivas cuando el proceso esta fuera de
control.
Por otro lado aprendiste a calcular la capacidad potencial de un proceso que
también es muy importante, ya que te permite saber si un proceso o maquina será
capaz de fabricar piezas sin defectos, o es necesario cambiar de maquina o de
proceso ya que no podremos obtener piezas aceptables.
Al mismo tiempo aprendiste a calcular la capacidad real del proceso que en ciertos
casos es cuando un proceso se encuentra fuera de centro y únicamente tienes que
centrarlo para obtener piezas sin defectos.
Página 91 de 98
CONCLUSIONES DE LA GUÍA DE APRENDIZAJE
Al concluir la primera competencia, comprendiste la relación que tienen los
parámetros estadísticos con las herramientas básicas de calidad, al mismo tiempo
fuiste capaz de verificar las variaciones de los procesos y proponer alternativas de
solución para ajustarlos aplicando las herramientas estadísticas básicas. Ahora ya
eres capaz de determinar las causas de la variación de la calidad en los procesos y
la forma de controlarlos.
Al concluir la segunda competencia, puedes también utilizar las graficas de control
adecuadas para el monitoreo y control de las diferentes características de calidad
para controlar y ajustar los procesos productivos. Todo lo anterior es muy útil en tu
formación como técnico profesional. Después de que adquiriste estas competencias,
el submódulo 3 se evaluará con los instrumentos de evaluación (guías de
observación y listas de cotejo), al concluir satisfactoria mente el submodulo serás un
individuo competente.
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Fuentes de Información
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•
Maynard H.B. (1987). Manual de la Ingeniería de la Producción Industrial.
España. Editorial Reverte
Niebel y Freyvalds.(2004) Ingeniería industrial, métodos de tiempos y
movimientos . México D.F. Editorial Alfaomega.
Krick, Edward V. (2000) Ingeniería de Métodos. México D.F. Editorial
Noriega Limusa.
Riggs L., James. (1998) Sistemas de producción, Análisis y control.
México D.F. Editorial McGraw Hill.
Noori / Radford.(1997) Administración de Operaciones y Producción.
México D.F. Editorial McGraw Hill.
Montgomery Control Estadistico de La Calidad
Apuntes de Aseguramiento de la Calidad de la Ford
www.Geoogle.com
www.elprisma.com
Chase, Jacobs, Aquilano (2005) Administración de la producción y
operaciones. Editorial McGraw Hill
LOUIS TAWFIK – ALAIN M. CHAUVEL, Administración de la Producción,
ed. Interamericana, México d. f. 1984
Glosario
ELEMENTO: Parte o pieza de un proceso de manufactura.
ESPECIFICACIONES: Describir las características de los elementos de un
proceso.
MANUFACTURA: Proceso por el cual la materia prima es transformada en un
producto.
OPERACIÓN: Actuación, ejecución, realización o acción de una tarea
asignada.
PROCESO: Conjunto de operaciones ordenadas en secuencia lógica para
transformar la materia prima.
PRODUCCIÓN: Creación, elaboración, fabricación, rendimiento y manufactura
de un bien material.
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PRODUCTO: Resultado u obra de producción.
REQUERIMIENTOS: Requisitos fundamentales de los elementos y el producto
ANEXOS
RESPUESTAS:
COMPETENCIA 1
Parámetros estadísticos
ANEXO 1
HISTOGRAMA
95
93
99
86
90
66
84
72
78
65
78
53
69
95
78
83
56
60
68
68
54
75
77
79
70
97
70
68
98
83
ANEXO 1
Calificaciones de un grupo de estudiantes.
Calcule:
Página 94 de 98
80
92
87
78
85
80
85
90
88
96
91
76
90
88
88
95
69
100
70
90
a) n=
b) XM=
Xm=
utilizar el número de clase= 6
c) El rango R= XM-Xm
e) El ancho de clase H= R/K
d) K=
f) Tabule los límites de clase
Clase
Límites de clase
No.
1
2
3
4
5
6
Valor medio
Frecuencia
Total
∑
g) Graficar histograma
h) Sea claro en su conclusión.
ANEXO 2
Estos datos se obtuvieron de la medición del espesor de ciertos materiales
utilizados en un proceso.
7.9
7.8
7.6
8.1
7.9
7.3
8.1
8.0
8.3
7.8
8.2
7.9
7.8
8.0
8.3
Calcule:
a) n=
b) XM=
K= número de clase= 5
7.4
7.7
7.9
8.2
7.5
8.1
7.8
8.1
7.8
7.9
Xm=
e) Ancho de clase H= R/K
Clase
Límites de clase
No.
1
2
3
4
5
6
c) El rango R= XM-Xm
f) Tabule los límites de clase
Valor medio
Frecuencia
Total
∑
g) Graficar el histograma y de su conclusión.
Página 95 de 98
d)
Diagrama de Pareto
ANEXO 1
Datos recopilados para recuperar el nivel productivo de laminación.
No.
1
2
3
4
5
6
7
CAUSAS
DE
FALLAS
MATERIA PRIMA
P. TERMINADO
MOLINO
ENROLLADORES
MANTO. PVO.
HORNOS
DE
REC.
OTROS
FRECUENCIA
DE FALLAS
380
120
190
75
8
15
DEMORAS
TOTALES
280
90
75
35
30
30
210
25
%
%ACUMULADO
a) Elaborar el diagrama de Pareto.
b) Graficar la contribución porcentual acumulada mediante la intercepción de la
curva de causas.
c) Indica las causas vitales en el 80%, sea claro en su conclusión.
Diagrama De dispersión
ANEXO 1
Página 96 de 98
Grafica en un diagrama de dispersión las siguientes tablas.
ANEXO 2
COMPETENCIA 2
ANEXO 1
GRAFICA P
ANEXO
EJERCICIO 3
a) Límites de control
p = ∑xi =
240 = 0.16854
DIA TOTAL
OPERADORES
1 Marzo
2 Marzo
3 Marzo
4 Marzo
5 Marzo
∑ni
FALTAS
40
40
40
40
40
1424
2
6
2
0
6
LSCi = 0.168 + 3√(0.168)(1-0.168)/ni
Página 97 de 98
% DE INASISTENCIA
5%
15%
5%
0
15%
LICi = 0.168 - 3√(0.168)(1-0.168)/ni
P C hart for C 1
U C L= 0 .3 3 2 4
Proportion
0 .3
0 .2
P = 0 .1 6 85
0 .1
L C L = 0 .0 0 4 7 2 8
0 .0
b) Límites de
control (después de eliminar punto p6)
0
10
a m p le N u m be r
Pest = ∑xi = 240 - 29 = S0.1596
∑ni
1424 - 102
LSC = 0.1596 + 3√(0.1596)(1-0.1596)/ni
LSC = 0.1596 - 3√(0.1596)(1-0.1596)/ni
Rechazos Muestra
20
98
18
104
14
97
16
99
13
97
29
102
21
104
14
101
6
55
6
48
7
50
7
53
9
56
5
49
8
56
9
53
9
52
10
51
9
52
10
47
Página 98 de 98
20